积分-微分算子的迹公式

积分-微分算子的迹公式

陈仕荣^,

A Trace Formula for Integro-Differential Operators

Chen Shirong^,

收稿日期: 2017-07-11

Received: 2017-07-11

作者简介 About authors

陈仕荣,E-mail:somxiaorong@163.com , E-mail：somxiaorong@163.com

摘要

该文研究积分-微分算子的迹公式，它在反问题、特征值的数值计算、可积系统理论等有着重要的应用.得到了Dirichlet-Robin边界条件和Dirichlet边界条件下积分-微分算子的迹公式.

关键词： 积分-微分算子 ; 特征值 ; 迹公式 ; 势函数

Abstract

The trace formulae for the integro-differential operator are studied, which have many applications in the inverse problem, the numerical computation of eigenvalues and the theory of integrable system, etc. The trace formula for integro-differential operators with Dirichlet-Robin boundary conditions or Dirichlet boundary conditions are obtained.

Keywords： Integro-differential operator ; Eigenvalue ; Trace formula ; Potential

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本文引用格式

陈仕荣. 积分-微分算子的迹公式. 数学物理学报[J], 2019, 39(2): 244-252 doi:

Chen Shirong. A Trace Formula for Integro-Differential Operators. Acta Mathematica Scientia[J], 2019, 39(2): 244-252 doi:

1 引言

积分-微分算子 $L:=L\left(q, M, h, H\right)$ 定义如下

$\begin{equation}\label{E1.1} Ly:=-y''+q(x)y+\int_{0}^{x}M(x, t)y(t) {\rm d}t=\lambda y, \quad x\in(0, \pi), \\ \end{equation}$

(1.1)

满足边界条件

$y'\left(0, \lambda\right)-hy\left(0, \lambda\right)=0,$

(1.2)

$y'\left(\pi, \lambda\right)+Hy\left(\pi, \lambda\right)=0,$

(1.3)

其中 $h, H\in \mathbb{R} \cup\{\infty\}$ , $q(x)$ 和 $M(x, t)$ 是实值函数, $q\in L^2\left[0, \pi\right]$ , $M\in L^2(D_0)$ , $D_0:=\{(x, t):0\leq t\leq x\leq \pi, x, t\in \mathbb{R} \}$ .当 $h=\infty, H\in \mathbb{R}$ 时,称问题(1.1)-(1.3)为Dirichlet-Robin边界条件下积分-微分算子；当 $h=H=\infty$ 时,称问题(1.1)-(1.3)为Dirichlet边界条件下积分-微分算子.

在 $M(x, t)$ 已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子 $L$ 的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子 $L$ 的逆结点问题.当 $M(x, t)=M(x-t)$ 时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件 $y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$ 下的积分-微分算子 $L$ 的逆谱问题,在 $q(x)$ 已知的条件下,用一组谱重构了 $M(x)$ ；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子 $L$ 的逆谱问题,并建立了 $M(x)$ 的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在 $M\in W_2^{1}(D_0)$ 条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子 $L$ 稠定的结点集能够唯一确定 $[0, \pi]$ 上的势函数 $q(x)$ 和积分扰动核 $M(x)$ ,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法.

经典的Sturm-Liouville算子的谱理论也得到深入的研究^[8-14].特别地, 1953年, Gelfand和Levitan^[14]研究了下面的Sturm-Liouville问题

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} -y''+q(x)y=\lambda y, \quad x\in(0, \pi), \\ y'(0)=y'(\pi)=0, \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

其中 $q\in C\left[0, \pi\right]$ .他们得到了Neumann边界条件下Sturm-Liouville算子的迹公式

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\lambda_{n}-n^{2}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x\right)= \frac{1}{4}\left(q(0)+q(\pi)\right)-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x. \end{eqnarray*}$

他们还得到Dirichlet边界条件下Sturm-Liouville算子的迹公式如下

$\begin{equation}\label{E1.4} \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\lambda_{n}-n^{2}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x\right)= -\frac{1}{4}\left(q(0)+q(\pi)\right)+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x. \end{equation}$

(1.4)

之后,不少学者对迹公式产生了浓厚的兴趣,得到一些有意义的结果^[15-18].当 $h, H\in \mathbb{R}$ 时,王於平等^[18]得到了积分-微分算子(1.1)-(1.3)的迹公式如下

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\lambda_n-n^2-\frac{2\omega}{\pi}\right)=\frac{1}{4}\left(q(0)+q(\pi)\right)-\frac{\omega}{\pi} +\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{h^2+H^2}{2}, \end{eqnarray*}$

其中 $\omega=h+H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x$ .

本文研究Dirichlet-Robin边界条件和Dirichlet边界条件下积分-微分算子的迹公式.由于研究积分-微分算子迹公式的需要,在这篇文章中,我们还要假设 $q\in C\left[0, \pi\right]$ , $M\in W_2^{1}(D_0)$ .

2 主要结果及证明

记 $\lambda=\rho^{2}$ , $\tau=\left|{\rm Im}\rho\right|.$ 根据文献[5],当 $h=\infty$ 时,满足初始条件 $\varphi(0, \lambda)=0$ , $\varphi'(0, \lambda)=1$ ,方程(1.1)的解 $\varphi(x, \lambda)$ 表示为

$\begin{equation} \varphi\left(x, \lambda\right)=\frac{1}{\rho}\sin (\rho x) +\int_{0}^{x}\varphi\left(t, \lambda\right)\left[\frac{\sin (\rho(x-t))}{\rho}q(t)+\int_{t}^{x}M(\xi, t)\frac{\sin (\rho(x-\xi))}{\rho}{\rm d}\xi\right]{\rm d}t. \end{equation}$

(2.1)

当 $M\in W_{2}^{1}(D_0)$ 时,我们得到方程(1.1)的解 $\varphi(x, \lambda)$ 的渐近式,这个引理在本文主要结果的证明过程中起着重要的作用.

引理2.1 当 $M\in W_{2}^{1}(D_0)$ 时,则 $\varphi(x, \lambda)$ 满足下面渐近式

$\begin{eqnarray}\label{E2.2} \varphi(x, \lambda)&=&\frac{1}{\rho}\sin(\rho x)-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t+\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\ && +\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t-\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^3}\int_{0}^{x}M(t, t){\rm d}t \\&&-\frac{\sin(\rho x)}{8\rho^3}\left(\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t\right)^2 +o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\left|\rho\right|^{3}}\right). \end{eqnarray}$

(2.2)

设 $\lambda_{n}(n=0, 1, 2, \cdots)$ 是Dirichlet-Robin边界条件下积分-微分算子的特征值,则对于充分大的 $n$ , $\lambda_{n}$ 满足下面的渐近式

$\begin{equation}\label{E2.3}\rho_{n}=\sqrt{\lambda_{n}}=n+\frac{1}{2}+\frac{\omega_1}{n\pi}+\frac{\kappa_{n, 1}}{n}, \quad H\in\mathbb{R} , \end{equation}$

(2.3)

其中 $\omega_1=H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(x){\rm d}x$ , $\{\kappa_{n, 1}\}\in l^2$ .

设 $\lambda_{n}(n=1, 2, \cdots)$ 是Dirichlet边界条件下积分-微分算子的特征值,则对于充分大的 $n$ , $\lambda_{n}$ 满足下面的渐近式

$\begin{equation}\label{E2.4}\rho_{n}=\sqrt{\lambda_{n}}=n+\frac{\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{n\pi}+\frac{\kappa_{n, 2}}{n}, \quad H=\infty, \end{equation}$

(2.4)

其中 $\{\kappa_{n, 2}\}\in l^2$ .关于(2.3)和(2.4)式的证明,读者可以参考文献[7].

本文的主要结果是两类边界条件下积分-微分算子 $L$ 的迹公式,即

定理2.1 Dirichlet-Robin边界条件下积分-微分算子 $L$ 的迹公式为

$\begin{equation}\label{E2.5}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[\lambda_{n}-\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{2\omega_1}{\pi}\right]\\=-\frac{1}{4}\left(q(0)-q(\pi)\right)-\frac{\omega_1}{\pi}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{H^{2}}{2}.\end{equation}$

(2.5)

定理2.2 Dirichlet边界条件下积分-微分算子 $L$ 的迹公式为

$\begin{equation}\label{E2.6}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\lambda_{n}-n^2-\frac{\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\right)=-\frac{1}{4}\left(q(0)+q(\pi)\right)+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t.\end{equation}$

(2.6)

显然, Dirichlet边界条件下积分-微分算子 $L$ 的迹公式(2.6)是Dirichlet边界条件下Sturm-Liouville算子的迹公式(1.4)的本质推广.

本文主要结论的证明如下.

引理2.1的证明 由(2.1)式,得

$\begin{equation}\label{E2.7}\varphi(x, \lambda)=\frac{1}{\rho}\sin\left(\rho x\right)+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^2}\right).\end{equation}$

(2.7)

由(2.7)式,可得

$\begin{eqnarray}\label{E2.8}&&\int_{0}^{x}\varphi(t, \lambda)\frac{\sin(\rho(x-t))}{\rho}q(t){\rm d}t \\&=&\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{\rho}\sin\left(\rho t\right)+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau t}}{\rho^2}\right)\right)\frac{\sin(\rho(x-t))}{\rho}q(t){\rm d}t \\&=&\frac{1}{\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cdot\frac{1}{2}\left[\cos\left(2\rho t-\rho x\right)-\cos(\rho x)\right]{\rm d}t+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right) \\&=&\frac{1}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos\left(2\rho t-\rho x\right){\rm d}t-\frac{1}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos(\rho x){\rm d}t+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau t}}{\rho^2}\right)+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right) \\&=&\frac{1}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\left(\cos(2\rho t)\cos(\rho x)+\sin(2\rho t)\sin(\rho x)\right){\rm d}t-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right) \\&=&\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t \\&&-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right).\end{eqnarray}$

(2.8)

因为 $M\in W_2^{1}(D_0)$ ,所以通过分部积分,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.9}&&\int_{t}^{x}M(\xi, t)\frac{\sin(\rho(x-\xi))}{\rho}{\rm d}\xi \\&=&\frac{1}{\rho^{2}}M(\xi, t)\cos(\rho(x-\xi))\biggr|_{t}^{x}-\frac{1}{\rho^{2}}\int_{t}^{x}M_{\xi}'(\xi, t)\cos(\rho(x-\xi)){\rm d}\xi \\&=&\frac{1}{\rho^{2}}M(x, t)-\frac{1}{\rho^{2}}M(t, t)\cos(\rho(x-t))-\frac{1}{\rho^{2}}\int_{t}^{x}M_{\xi}'(\xi, t)\cos(\rho(x-\xi)){\rm d}\xi.\end{eqnarray}$

(2.9)

由(2.9)式,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.10}&&\int_{0}^{x}\varphi(t, \lambda)\left(\int_{t}^{x}M(\xi, t)\frac{\sin(\rho(x-\xi))}{\rho}{\rm d}\xi\right) {\rm d}t\nonumber\\&=&\int_{0}^{x}\frac{1}{\rho}\sin(\rho t)\left[\frac{1}{\rho^{2}}M(x, t)-\frac{1}{\rho^{2}}M(t, t)\cos(\rho(x-t))\right]{\rm d}t+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right)\nonumber\\&=&\frac{1}{\rho^3}\int_{0}^{x}M(x, t)\sin(\rho t){\rm d}t-\frac{1}{\rho^3}\int_{0}^{x}M(t, t)\cdot\frac{1}{2}\left[\sin(\rho x)+\sin(2\rho t-\rho x)\right]{\rm d}t+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right)\nonumber\\&=&\frac{1}{\rho^3}\int_{0}^{x}M(x, t)\sin(\rho t){\rm d}t-\frac{1}{2\rho^{3}}\int_{0}^{x}M(t, t)\sin(\rho x){\rm d}t\nonumber\\&&-\frac{1}{2\rho^{3}}\int_{0}^{x}M(t, t)\sin(\rho(2t-x)){\rm d}t+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right).\end{eqnarray}$

(2.10)

因此(2.8)和(2.10)式证明下式成立

$\begin{eqnarray}\label{E2.11}\varphi(x, \lambda)&=&\frac{1}{\rho}\sin(\rho x)-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t+\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t+O\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\rho^3}\right).\end{eqnarray}$

(2.11)

再次将(2.11)式代入(2.1)式,通过计算,得 $\varphi(x, \lambda)$ 的表达式为

$\begin{eqnarray}\label{E2.12}\varphi(x, \lambda)&=&\frac{1}{\rho}\sin(\rho x)-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t+\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t-\frac{\sin(\rho x)}{2\rho^3}\int_{0}^{x}M(t, t){\rm d}t\nonumber\\&&-\frac{\sin(\rho x)}{8\rho^3}\left(\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t\right)^2+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{\left|\rho\right|^{3}}\right).\end{eqnarray}$

(2.12)

证毕.

定理2.1的证明 由引理2.1中的(2.2)式,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.13}\varphi'(x, \lambda)&=&\cos(\rho x)-\frac{\sin(\rho x)}{2\rho}\int_{0}^{x}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\frac{\cos(\rho x)}{2\rho}\int_{0}^{x}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\sin(\rho x)}{2\rho}\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t-\frac{\cos(\rho x)}{2\rho^2}\int_{0}^{x}M(t, t){\rm d}t \\&&-\frac{\cos(\rho x)}{8\rho^2}\left(\int_{0}^{x}q(t){\rm d}t\right)^2+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau x}}{|\rho|^{2}}\right).\end{eqnarray}$

(2.13)

定义Dirichlet-Robin边界条件下积分-微分算子 $L$ 特征值的示性函数为

$w(\lambda)=\varphi'(\pi, \lambda)+H\varphi(\pi, \lambda).$

由(2.2)和(2.13)式,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.14}w(\lambda)&=&\varphi'(\pi, \lambda)+H\varphi(\pi, \lambda)\nonumber\\&=&\cos(\rho\pi)-\frac{\sin(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\frac{\cos(\rho \pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\sin(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{\cos(\rho\pi)}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{\cos(\rho \pi)}{8\rho^2}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&+\frac{H}{\rho}\sin(\rho\pi)-\frac{H\cos(\rho\pi)}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau\pi}}{\left|\rho\right|^{2}}\right).\end{eqnarray}$

(2.14)

则 $\lambda_{n}\left(n=0, 1, 2, \cdots\right)$ 为 $w(\lambda)$ 的零点.令 $w_{0}(\lambda)=\cos\rho\pi$ ,则

$\begin{eqnarray}\label{E2.15}\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}&=&1-\frac{\tan(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\frac{1}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\tan(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{1}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{1}{8\rho^2}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&+\frac{H}{\rho}\tan(\rho\pi)-\frac{H}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+o\left(\frac{{\rm e}^{\tau\pi}}{\left|\rho\right|^{2}\cos(\rho\pi)}\right).\end{eqnarray}$

(2.15)

记 $\Gamma_{N_{0}}:=\{\rho:\left|\rho\right|=N_{0}+\frac{3}{4}\}$ , $G_{\delta}=\{\rho :\left|\rho-\left(k+\frac{1}{2}\right)\right|\geq\delta, k=0, \pm1, \pm2, \cdots\}$ ,其中 $N_{0}$ 充分大, $\delta>0$ 充分小.则

$\begin{eqnarray*}\left|\cos\left(\rho\pi\right)\right|\geq C_{\delta}{\rm e}^{\tau\pi}, \quad \lambda\in C_{\delta}, \quad \left|\rho\right|\geq\rho^{*}, \end{eqnarray*}$

其中 $\rho^{*}=\rho^{*}\left(\delta\right)$ 充分大, $C_{\delta}$ 连续地依赖于 $\delta$ .因此

$\begin{equation}\label{E2.16}\left|o\left(\frac{{\rm e}^{\tau\pi}}{\left|\rho\right|^{2}\cos(\rho\pi)}\right)\right|=o\left(\frac{1}{\left|\rho\right|^2}\right), \quad \left|\rho\right|\geq\rho^{*}.\end{equation}$

(2.16)

令 $\mu_{j}=j+\frac{1}{2}\left(j=0, \pm1, \pm2, \cdots\right)$ 是 $w_0(\lambda)$ 的零点.则由留数定理,得

$\begin{equation}\label{E2.17}\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}\lambda\left[\frac{w'(\lambda)}{w(\lambda)}-\frac{w_{0}'(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right]{\rm d}\lambda=\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\left[2\lambda_{n}-2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\right].\end{equation}$

(2.17)

另一方面,由分部积分,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.18}\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}\lambda\left[\frac{w'(\lambda)}{w(\lambda)}-\frac{w_{0}'(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right]{\rm d}\lambda&=&\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}\lambda {\rm d}\ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right) \\&=&-\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}2\rho \ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right){\rm d}\rho.\end{eqnarray}$

(2.18)

由(2.17)和(2.18)式,得

$\begin{equation}\label{E2.19}\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\left[2\lambda_{n}-2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\right]=-\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}2\rho \ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right){\rm d}\rho.\end{equation}$

(2.19)

根据泰勒展式

$\ln(1+x)=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2),$

则由(2.15)式,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.20}\ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_0(\lambda)}\right)&=&-\frac{\tan(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\frac{1}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\frac{\tan(\rho\pi)}{2\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{1}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{1}{8\rho^2}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&+\frac{H}{\rho}\tan(\rho\pi)-\frac{H}{2\rho^2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{1}{2}\cdot\frac{\tan^{2}\rho\pi}{4\rho^2}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&-\frac{1}{2}\cdot\frac{H^2}{\rho^2}\cdot\tan^{2}(\rho\pi)-\frac{1}{2}\cdot\frac{H\tan^{2}(\rho\pi)}{\rho^2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+o\left(\frac{1}{\left|\rho\right|^2}\right).\end{eqnarray}$

(2.20)

所以(2.20)式意味着下式成立

$\begin{eqnarray}\label{E2.21}2\rho \ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right)&=&-\tan(\rho\pi)\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t+\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&+\tan(\rho\pi)\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{1}{\rho}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{1}{4\rho}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&+2H\tan(\rho\pi)-\frac{H}{\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\frac{\tan^{2}(\rho\pi)}{4\rho}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&-\frac{H^2}{\rho}\cdot\tan^{2}(\rho\pi)-\frac{H\tan^{2}(\rho\pi)}{\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+o\left(\frac{1}{\left|\rho\right|}\right).\end{eqnarray}$

(2.21)

将(2.21)式代入(2.19)式,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.22}&&-\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}2\rho \ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right){\rm d}\rho \\&=&\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}\Biggr\{\tan(\rho\pi)\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t-\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\nonumber\\&&-\tan(\rho\pi)\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+\frac{1}{\rho}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t+\frac{1}{4\rho}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&-2H\tan(\rho\pi)+\frac{H}{\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+\frac{\tan^{2}(\rho\pi)}{4\rho}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2\nonumber\\&&+\frac{H^2}{\rho}\cdot\tan^{2}(\rho\pi)+\frac{H\tan^{2}(\rho\pi)}{\rho}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+o\left(\frac{1}{|\rho|}\right)\Biggr\}{\rm d}\rho.\end{eqnarray}$

(2.22)

经过计算得

$\begin{eqnarray}\label{E2.23}&&{\rm Res}\left[\tan(\rho\pi)\int_{0}^{\pi}q(t)\cos(2\rho t){\rm d}t\right]=\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos((2n+1)t){\rm d}t, \nonumber\\&&{\rm Res}\left[\tan(\rho\pi)\right]=\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}-\frac{1}{\pi}, \quad{\rm Res}\left[\int_{0}^{\pi}q(t)\sin(2\rho t){\rm d}t\right]=0, \quad {\rm Res}\left[\frac{1}{\rho}\right]=1, \nonumber\\&&{\rm Res}\left[\frac{\tan^{2}(\rho\pi)}{\rho}\right]=-\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}\frac{4}{(2n+1)^{2}\pi^2}.\end{eqnarray}$

(2.23)

由(2.19), (2.22)和(2.23)式,得

$\begin{eqnarray*}&&\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\left[2\lambda_{n}-2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\right]=-\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint_{\Gamma_{N_{0}}}2\rho \ln\left(\frac{w(\lambda)}{w_{0}(\lambda)}\right){\rm d}\rho\\&=&\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos((2n+1)t){\rm d}t+\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}\frac{1}{\pi}\cdot\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t\\&&+\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+2H\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}\frac{1}{\pi}+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\\&&-\left[\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+H^2+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right]\sum\limits_{n=-N_{0}}^{N_{0}}\frac{4}{(2n+1)^{2}\pi^2}\\&=&-\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t{\rm d}t-\frac{2}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos (2nt)\cos t{\rm d}t\\&&+\frac{2N_{0}+1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t+\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t+\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+\frac{2H(2N_{0}+1)}{\pi}\\&&+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t-\left[\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+H^2+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right]\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\frac{8}{(2n+1)^{2}\pi^2}.\end{eqnarray*}$

从而得到

$\begin{eqnarray}\label{E2.24}&&\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\left[\lambda_{n}-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{2H+\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\right]\nonumber\\&=&-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t{\rm d}t-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos (2nt)\cos t{\rm d}t-\frac{H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\nonumber\\&&+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t+\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+\frac{H}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\nonumber\\&&-\left[\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+H^2+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right]\sum\limits_{n=0}^{N_{0}}\frac{4}{(2n+1)^{2}\pi^2}.\end{eqnarray}$

(2.24)

由(2.3)式知,级数

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[\lambda_{n}-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{2H+\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\right]$

绝对收敛,所以在(2.24)式中,令 $N_{0}\rightarrow\infty$ ,得

$\begin{eqnarray}\label{E2.25}&&\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[\lambda_{n}-\left(n+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{2H+\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\right]\nonumber\\&=&-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t{\rm d}t-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos (2nt)\cos t{\rm d}t-\frac{H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\nonumber\\&&+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t+\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+\frac{H}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\nonumber\\&&-\left[\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+H^2+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{4}{(2n+1)^{2}\pi^2}\nonumber\\&=&-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t{\rm d}t-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos (2nt)\cos t{\rm d}t-\frac{H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\nonumber\\&&+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t+\frac{1}{8}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+\frac{H}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\nonumber\\&&-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}\left(\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right)^2+H^2+H\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t\right]\nonumber\\&=&-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t{\rm d}t-\frac{1}{\pi}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos (2nt)\cos t{\rm d}t\\&&-\frac{H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{H^2}{2}.\end{eqnarray}$

(2.25)

记 $b_{2n}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t\cos(2nt) {\rm d}t$ ,则 $b_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}q(t)\cos t {\rm d}t$ ,并且

$\begin{equation}\label{E2.26}b_{2n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}q\left(\frac{u}{2}\right)\cos\left(\frac{u}{2}\right)\cos (nu) {\rm d}u.\end{equation}$

(2.26)

由(2.26)式知, $2b_{2n}$ 就是 $q\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ 的Fourier展开的系数.根据Fourier级数收敛定理,得到

$\begin{equation}\label{E2.27}b_{0}+\sum\limits_{n=0}^{\infty}2b_{2n}=\frac{q(0)\cos0+q(\pi)\cos\pi}{2}=\frac{1}{2}\left(q(0)-q(\pi)\right).\end{equation}$

(2.27)

由(2.25)-(2.27)式,得

$\begin{eqnarray}&&\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left[\lambda_{n}-\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{2H+\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}\right]\nonumber\\&=&-\frac{1}{4}\left(q (0)-q(\pi)\right)-\frac{H+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}q(t){\rm d}t}{\pi}+\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}M(t, t){\rm d}t-\frac{H^{2}}{2}.\nonumber\end{eqnarray}$

证毕.

类似可证定理2.2.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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Inverse problem for integro-differential operators

1991

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

On an inverse spectral problem for a convolution integro-differential operator

2007

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

On the reconstruction of a convolution perturbation of the Sturm-Liouville operator from the spectrum

2010

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

具有后效的逆Sturm-Liouville问题的唯一性

2012

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

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$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

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$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

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的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

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$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

具有后效的逆Sturm-Liouville问题的唯一性

2012

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

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$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

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$q(x)$

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$M(x)$

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$M(x)$

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$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

有限区间上积分-微分算子的逆结点问题

2013

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

... 记

$\lambda=\rho^{2}$

$\tau=\left|{\rm Im}\rho\right|.$

根据文献[5],当

$h=\infty$

时,满足初始条件

$\varphi(0, \lambda)=0$

$\varphi'(0, \lambda)=1$

,方程(1.1)的解

$\varphi(x, \lambda)$

表示为 ...

有限区间上积分-微分算子的逆结点问题

2013

... 在

$M(x, t)$

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$L$

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$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

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$M(x)$

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$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

... 记

$\lambda=\rho^{2}$

$\tau=\left|{\rm Im}\rho\right|.$

根据文献[5],当

$h=\infty$

时,满足初始条件

$\varphi(0, \lambda)=0$

$\varphi'(0, \lambda)=1$

,方程(1.1)的解

$\varphi(x, \lambda)$

表示为 ...

Inverse spectral problem for integro-differential operators

2007

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

An inverse nodal problem for integro-differential operators

2010

... 在

$M(x, t)$

已知的条件下, Kuryshova^[6]讨论了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题及其稳定性; Kuryshova和谢忠村^[7]研究了积分-微分算子

$L$

的逆结点问题.当

$M(x, t)=M(x-t)$

时, Yurko^[1]研究了Neumann边界条件

$y'(0, \lambda)=y'(\pi, \lambda)=0$

下的积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,在

$q(x)$

已知的条件下,用一组谱重构了

$M(x)$

；Buterin^[2-3]研究了积分-微分算子

$L$

的逆谱问题,并建立了

$M(x)$

的唯一性定理及逆谱问题的可解性、稳定性理论.王玉华和魏广生^[4]用混合谱数据研究了积分-微分算子的逆谱问题.在

$M\in W_2^{1}(D_0)$

条件下,王於平^[5]证明了积分-微分算子

$L$

稠定的结点集能够唯一确定

$[0, \pi]$

上的势函数

$q(x)$

和积分扰动核

$M(x)$

,并且给出了这个逆结点问题的解的重构算法. ...

... 其中

$\{\kappa_{n, 2}\}\in l^2$

.关于(2.3)和(2.4)式的证明,读者可以参考文献[7]. ...

Reconstruction for the spherically symmetric speed of sound from nodal data

2013

... 经典的Sturm-Liouville算子的谱理论也得到深入的研究^[8-14].特别地, 1953年, Gelfand和Levitan^[14]研究了下面的Sturm-Liouville问题 ...

Inverse problems for discontinuous Sturm-Liouville operators with mixed spectral data

2015

On the inverse nodal problems for discontinuous Sturm-Liouville operators

2016

The reconstruction of Sturm-Liouville operators

1992

On the missing eigenvalue problem for an inverse Sturm-Liouville problem

2009

2002

On a simple identity for eigenvalues of the differential operators of second order

1953

... 经典的Sturm-Liouville算子的谱理论也得到深入的研究^[8-14].特别地, 1953年, Gelfand和Levitan^[14]研究了下面的Sturm-Liouville问题 ...

... [14]研究了下面的Sturm-Liouville问题 ...

非自伴Sturm-Liouville算子的渐近迹

1981

... 之后,不少学者对迹公式产生了浓厚的兴趣,得到一些有意义的结果^[15-18].当

$h, H\in \mathbb{R}$

时,王於平等^[18]得到了积分-微分算子(1.1)-(1.3)的迹公式如下 ...

非自伴Sturm-Liouville算子的渐近迹

1981

... 之后,不少学者对迹公式产生了浓厚的兴趣,得到一些有意义的结果^[15-18].当

$h, H\in \mathbb{R}$

时,王於平等^[18]得到了积分-微分算子(1.1)-(1.3)的迹公式如下 ...

New trace formulae for a quadratic pencil of the Schr?dinger operator

2010

Trace formula for Sturm-Liouville operators with singular potentials

2001

A trace formula for integro-differential operators on the finite interval

2017

... 之后,不少学者对迹公式产生了浓厚的兴趣,得到一些有意义的结果^[15-18].当

$h, H\in \mathbb{R}$

时,王於平等^[18]得到了积分-微分算子(1.1)-(1.3)的迹公式如下 ...

... [18]得到了积分-微分算子(1.1)-(1.3)的迹公式如下 ...

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