设${\Bbb C}$表示复平面, ${\cal A}$表示在单位圆盘${\Bbb U}=\{z\in{\Bbb C}:|z|<1\}$内解析且具有如下形式

的函数类.

1967年, Macgregor^[1]给出了优化的定义.

定义1.1  设函数$f$和$g$在${\Bbb U}$内解析.若存在${\Bbb U}$内的解析函数$\varphi(z)$,使得

则称函数$f$在${\Bbb U}$内优于$g$,记作$f(z)\ll g(z)~~(z\in{\Bbb U}).$

1970年, Roberston^[2]引入了拟从属的概念.

定义1.2  设函数$f$和$g$在${\Bbb U}$内解析.若存在${\Bbb U}$内的解析函数$\varphi(z)$,使得$\frac{f(z)}{\varphi(z)}$在${\Bbb U}$内解析且

满足

则称函数$f$在${\Bbb U}$内拟从属于$g$,记作$f(z)\prec_q g(z)~~(z\in{\Bbb U}).$我们注意到,当$\varphi(z)=1$时, $f(z)=g(\omega(z))~~(z\in{\Bbb U})$,此时称函数$f$在${\Bbb U}$内从属于$g$,记作$f(z)\prec g(z)~~(z\in{\Bbb U})$ (参见文献[3]);当$\omega(z)=z$时,拟从属关系即为上述优化关系.因此,从属关系和优化关系是拟从属关系的特殊情形.

1981年, Salagean^[4]引入算子$D^n: {\cal A}\rightarrow{\cal A}$,其定义为(简称Salagean算子)

若$f\in{\cal A}$,则由(1.1)式和(1.2)式,我们易得

利用上述Salagean算子和从属关系,我们定义解析函数的两个新子类$L_n^{\gamma}$和$R_n^{b}(a, c)$.

定义1.3  设函数$f\in{\cal A}$,则$f$属于伯努利双纽线左半有界区域内的复$\gamma$阶解析函数类$L_n^{\gamma}$当且仅当

这里$n\in{\Bbb N}_0$, $\gamma\in{\Bbb C}\setminus\{0\}$, $z\in {\Bbb U}$.

注1.1  在定义1.3中,若参数$n, ~\gamma$取不同的值,则可得到如下一些函数类:

(1)若取$\gamma=1$,则

(2)若取$\gamma=1$和$n=0$,则

蕴含$\frac{zf'(z)}{f(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~|(w-\sqrt{2})^{2}-1|<1\}$的伯努利双纽线左半有界区域内(如图 1).

(3)若取$\gamma=n=1$,则

蕴含$1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~|(w-\sqrt{2})^{2}-1|<1\}$的伯努利双纽线左半有界区域内(如图 2).

定义1.4  设函数$f\in{\cal A}$,则$f$属于伯努利双纽线右半有界区域内复$b$阶解析函数类$R_n^{b}(a, c)$当且仅当

这里$n\in{\Bbb N}_0, a\geq1, b\in{\Bbb C}\setminus\{0\}, c\geq\frac{1}{2}, z\in {\Bbb U}$.

注1.2  在定义1.4中,若参数$n, ~a, ~b, ~c$取不同的值,则也可得如下一些函数类

(1)若取$b=1$,则

(2)若取$b=1$和$n=0$,则

蕴含$\frac{zf'(z)}{f(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~~|w^{a}-c|<c\}$的伯努利双纽线右半有界区域内.

(3)若取$b=n=1$,则

蕴含$1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~~|w^{a}-c|<c\}$的伯努利双纽线右半有界区域内.

(4)若取$a=2$, $b=c=1$和$n=0$,则

蕴含$\frac{zf'(z)}{f(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~~|w^{2}-1|<1\}$的伯努利双纽线右半有界区域内(如图 3).

(5)若取$a=2$和$b=c=n=1$,则

蕴含$1+\frac{zf''(z)}{f'(z)}$位于满足$\{w\in{\Bbb C}: {\rm Re} w>0, ~~|w^{2}-1|<1\}$的伯努利双纽线右半有界区域内(如图 4).

1967年, MacGregor^[1]最早开始研究星象函数类的优化问题.随后, 2001年, Altintas等人^{[8, 9]}研究了复阶单(多)叶星象和凸像函数类的优化问题.近年来,许多中外学者对由各种算子定义的不同单(多)叶解析函数类的优化问题作了大量研究,如Goyal等人^{[10, 11]}, Goswami等人^[12], Prajapat等人^[13],汤获等人^[14-16].最近,汤获等人^[17]又讨论了多叶亚纯解析函数类的优化问题.然而,我们发现,很少有人研究伯努利双纽线区域内解析函数类的优化问题.在上述工作的基础上,本文主要研究伯努利双纽线左、右半有界区域内复阶解析函数类$L_n^{\gamma}$和$R_n^{b}(a, c)$的优化问题,所得结果扩充了单复变几何函数论的优化理论.

首先,我们给出并证明函数类$L_n^{\gamma}$的优化性质.

定理2.1  设$\gamma\in{\Bbb C}\setminus\{0\}$且$|\gamma|\leq\sqrt{2}+1$,函数$f\in{\cal A}$, $g\in L_n^{\gamma}$.若$D^{n+1}f(z)\ll D^{n}g(z)$$(z\in{\Bbb U}, ~n\in{\Bbb N}_0),$则

其中$r_1=r_1(\gamma)$是如下方程的最小正根

证  由于$g\in L_n^{\gamma}$,故由从属关系和(1.3)式,有

其中$\omega(z)=c_1z+c_2z^2+\cdots\in{\cal P}$, ${\cal P}$表示在${\Bbb U}$内有界且满足条件

的解析函数类^[18].

根据(2.2)式和(2.3)式,可得

又$D^{n+1}f(z)\ll D^{n}g(z)$,故由定义1.1可知

对上式两边关于$z$求导,并乘以$z$,可得

又注意到$\varphi\in{\cal P}$满足不等式^[19]

故将(2.4)式和(2.6)式代入(2.5)式,有

若取$|z|=r$和$|\varphi(z)|=\rho~~(0\leq\rho\leq1)$,则上式可变为

其中

要确定$r_1$,我们只需取

其中

显然,当$\rho=1$时, $\Psi_1(r, \rho)$取得最小值,即

这里

又$\psi_1(0)=1>0, ~\psi_1(1)=-2<0$,故存在$r_1$,使得当$r\in[0, r_1]$时$\psi_1(r)\geq0$成立,其中$r_1=r_1(\gamma)$为方程(2.1)的最小正根.定理2.1得证.

下面,我们讨论函数类$R_n^{b}(a, c)$的优化性质.

定理2.2  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_n^{b}(a, c)$且$2c|b|^a\leq(|b|+1)^a$.若$D^{n+1}f(z)\ll D^{n}g(z)$$(z\in{\Bbb U}, ~n\in{\Bbb N}_0),$则

其中$r_2=r_2(a, b, c)$是如下方程的最小正根

证  因为$g\in R_n^{b}(a, c)$,故由从属关系和(1.4)式,可得

这里$\omega(z)$如(2.3)式所述.

利用(2.3)式和(2.8)式,易有

再将(2.6)式和(2.9)式代入(2.5)式,类似于定理2.1的证明,易得

令$|z|=r$和$|\varphi(z)|=\rho~~(0\leq\rho\leq1)$,则上式可写为

其中

当$r\leq r_2$时,函数$\Phi_2(r, \rho)$关于$\rho~(0\leq\rho\leq1)$递增且在$\rho=1$处取得最大值,这里$r_2=r_2(a, b, c)$由(2.7)式给出.于是,有

即有

定理2.2得证.

在定理2.1中,若分别取$\gamma=1$, $\gamma-1=n=0$和$\gamma=n=1$,则可得如下推论.

推论3.1  设函数$f\in{\cal A}$和$g\in L_n$.若$D^{n+1}f(z)\ll D^{n}g(z)~~(z\in{\Bbb U}, ~n\in{\Bbb N}_0),$则

其中$r_3=r_1(1)$是如下方程的最小正根

推论3.2  设函数$f\in{\cal A}$和$g\in L_0$.若$zf'(z)\ll g(z)~~(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_3$由(3.1)式给出.

推论3.3  设函数$f\in{\cal A}$和$g\in L_1$.若$D^{2}f(z)\ll Dg(z)~~(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_3$由(3.1)式给出.

在定理2.2中,若取$b=1$,则有如下推论3.4.

推论3.4  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_n(a, c)$且$c\leq2^{(a-1)}$.若$D^{n+1}f(z)\ll D^{n}g(z)$$(z\in{\Bbb U}, ~n\in{\Bbb N}_0),$则

其中$r_4=r_2(a, 1, c)$是如下方程的最小正根

在推论3.4中,若分别取$n=0$和$n=1$,则可得如下推论3.5和推论3.6.

推论3.5  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_0(a, c)$且$c\leq2^{(a-1)}$.若$zf'(z)\ll g(z)$$(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_4$由(3.2)式给出.

推论3.6  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_1(a, c)$且$c\leq2^{(a-1)}$.若$D^{2}f(z)\ll Dg(z)~~(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_4$由(3.2)式给出.

进一步,在推论3.5和推论3.6中,若分别取$a=2$和$c=1$,则可得如下推论3.7和推论3.8.

推论3.7  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_0$.若$zf'(z)\ll g(z)~~(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_5=r_2(2, 1, 1)$是如下方程的最小正根

推论3.8  设函数$f\in{\cal A}$, $g\in R_1$.若$D^{2}f(z)\ll Dg(z)$$(z\in{\Bbb U}),$则

其中$r_5$由(3.3)式给出.