量子游荡作为经典随机游荡的量子类似物,在1993年由Aharonov等人提出^[1],它主要包括离散时间量子游荡和连续时间量子游荡.大量研究表明,量子游荡对量子算法的研究起非常重要的作用^[2-3].近几年来,量子游荡的渐进行为更是被广泛关注,见文献[4-6]. 2014年, Konno通过CGMV方法在文献[7]中得出空间齐次两态量子游荡的一致测度集包含于平稳测度集.同年, Endo等人利用SGF方法在文献[8]中得出了空间非齐次两态量子游荡的平稳测度及特征值问题. 2015年, Wang等人又利用SGF方法相继得出了空间非齐次单亏的三态Wojcik游荡的平稳测度,并发现在一些适当的条件下,它的平稳测度关于位置呈指数衰减^[9].不久, Endo等人在文献[10]中阐述了对角量子游荡的平稳测度.最近, Konno等人提出了一个新方法Reduced matrix,以此得出了离散时间三态量子游荡的一些性质^[11].本文将利用此方法进一步得出空间非齐次三态量子游荡的单相位和双相位模型的平稳测度及特征值问题.

在本章,我们介绍单相位三态量子游荡的单亏模型和双相位三态量子游荡的单亏模型及一些必要的定义.

定义2.1  空间非齐次三态量子游荡的单相位模型是定义在整数集${\Bbb Z}$上的,用一个手征空间$\{|L\rangle, |O\rangle, |R\rangle\}$和位置空间$\{|x\rangle:x\in{\Bbb Z}\}$来刻画.它的时间演化过程由下列$3\times3$阶酉矩阵决定

其中

且$\tau\epsilon(0, 1), \eta_{x}$表示游荡的相位为$2\pi\tau$.

设${\Bbb N}$是非负整数集, $\Psi_{n}(x)=(\Psi_{n}^{L}(x), \Psi_{n}^{O}(x), \Psi_{n}^{R}(x))^{T}$表示质点在$n\in{\Bbb N}$时刻,处于$x\in{\Bbb Z}$位置的波函数的振幅.下面我们讨论三态量子游荡的单相位单亏模型的平稳测度.显然,对每个位置$x\in{\Bbb Z}$, $U_{x}$都可以被分为三部分

其中

通过这三个矩阵,我们可将波函数的时间演化过程定义为

其中手征"$L$"和"$R$"分别表示游荡者向左和向右移动的手征, "$O$"表示游荡者移动到中性态的手征.设

其中$T$表示转置,量子游荡在$n$时刻的态可表示为

下面定义平稳测度,先引入一个映射$\phi:({\Bbb C}^{3})^{{\Bbb Z}}\rightarrow{\Bbb R}_{+}^{{\Bbb Z}}$

其中$\Psi=(\cdots, \Psi(-1), \Psi(0), \Psi(1), \cdots)^{T}\in({\Bbb C}^{3})^{{\Bbb Z}}$.对每个$x\in{\Bbb Z}$,我们有

显然,对固定的$\Psi\in({\Bbb C}^{3})^{{\Bbb Z}}$,函数$x\mapsto\phi(\Psi)(x)$通过$\mu(\cdot)=\phi(\Psi)(\cdot)$给出了$\mu$在${\Bbb Z}$上的一个测度.

对$n\geq0$,若定义$\mu_{n}(x)=\phi(\Psi_{n})(x), x\in{\Bbb Z}$,则$\mu_{n}$是${\Bbb Z}$上的一个测度,我们把这个概率测度便称为量子游荡在$n$时刻的测度,把$\mu_{n}(x)$看作是游荡者在$n$时刻,处于$x$位置的概率.

定义2.2  设${\cal M}_{s}=\{\phi(\Psi)\in{\Bbb R}_{+}^{{\Bbb Z}}|$存在$\Psi\in({\Bbb C}^{3})^{{\Bbb Z}}$,使得$\phi((U^{(s)})^{n}\Psi)=\phi(\Psi), n\geq0\}$.我们把${\cal M}_{s}$中的元素就称为量子游荡的平稳测度.

下面我们来考虑相应的特征值问题

显然,上式等价于下列问题

定义2.3  空间非齐次三态量子游荡的双相位模型是定义在整数集${\Bbb Z}$上的,用一个手征空间$\{|L\rangle, |O\rangle, |R\rangle\}$和位置空间$\{|x\rangle:x\in{\Bbb Z}\}$来刻画.它的时间演化由下面酉矩阵决定

其中

其中$g_{\pm}=\cos\gamma_{\pm}, \hbar_{\pm}=\sin\gamma_{\pm}, \gamma_{\pm}\in[0, 2\pi), \xi={\rm e}^{2\pi {\rm i} \tau}, \tau\in(0, 1).$

可以看出,由此酉矩阵所确定的量子coin的移位在正部和负部是不相同的,而且此量子游荡的行列式关于位置是独立的.我们便称此模型为"双相位三态量子游荡".

同单相位量子游荡一样,我们设

其中$\Psi_{n}(x)=(\Psi_{n}^{L}(x), \Psi_{n}^{O}(x), \Psi_{n}^{R}(x))^{T}$,

其中$T$表示转置,在上式中

其中初始量子态为

其中$\Psi_{0}(x)=(\Psi_{0}^{L}(x), \Psi_{0}^{O}(x), \Psi_{0}^{R}(x))^{T}.$

相应的特征值问题等价于

对于一个定义在整数集${\Bbb Z}$上离散时间的三态量子游荡,它的时间演化过程由酉矩阵A所确定

设

且$a_{ij}\neq0\ (i, j=1, 2, 3).$

引理3.1^[11]  假设$\lambda=-\frac{C}{a_{13}}=-\frac{D}{a_{31}}$, $\lambda$为酉矩阵A对应的特征值且$|\lambda|=1,$初始态$\Psi^{L}_{0}=\varphi_{1}, \Psi^{R}_{0}=\varphi_{3}$,则

其中

引理3.2^[11]  假设$\lambda=\frac{B}{a_{11}}=\frac{E}{a_{33}}$, $|\lambda|=1$且$\lambda^{2}=\tilde{a}_{1}\tilde{a}_{2}$,令$\{\varphi_{x}\}_{x\in{\Bbb Z}}$为一列复数序列, $\Psi^{L}(x)=\varphi_{x}\in C(x\in Z),$不包括$\varphi\equiv {0}$,则

其中

接下来我们考虑单相位单亏模型的平稳测度.

定理3.3  令$\Psi_{n}(x)=(\Psi_{n}^{L}(x), \Psi_{n}^{O}(x), \Psi_{n}^{R}(x))^{T}$为波函数的概率振幅,初始态$\Psi^{L}_{0}=\varphi_{1}, \Psi^{R}_{0}=\varphi_{3}, \varphi_{1}, \varphi_{3}\in{\Bbb C}^{2}$且$|\varphi_{1}|^{2}+|\varphi_{3}|^{2}>0$.在定义$2.1$给出的模型中

其中$\xi={\rm e}^{2\pi{\rm i}\tau}, \tau\in(0, 1)$.则平稳测度

其中$\Delta=\bar{\xi}, x=-1; \quad \Delta=\xi, x=1;\quad \Delta=1$,其它.

可以看出此平稳测度为非一致测度.

证  由第二章内容可知,解方程(2.5)等价于解方程(2.6),即

其中$x\neq0$时,有

$x=0$时,有

结合(3.3)-(3.5)式可知:

当$x\neq0, \pm1$时,有

由引理$3.1$可以得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=\tilde{a}_{2}=-1$,则相应的简化矩阵为

则

同理, $x=1$时,可得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=-1, \tilde{a}_{2}=-\xi.$则相应的简化矩阵为

故

$x=-1$时,可得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=-\xi, \tilde{a}_{2}=-1.$则相应的简化矩阵为

故

$x=0$时,可得$\lambda=-\xi, \tilde{a}_{1}=\tilde{a}_{2}=-1.$则相应的简化矩阵为

故

证毕.

下面我们考虑用引理$3.2$来讨论单相位模型的平稳测度:当$x\neq0, \pm1$时,由引理$3.2$可以得$\lambda=1, \tilde{a}_{1}=\tilde{a}_{2}=1$,则相应的简化矩阵为

则

当$x=1$时, $\lambda=1, \tilde{a}_{1}=1, \tilde{a}_{2}=\xi,$由于$\lambda^{2}\neq\tilde{a}_{1}\tilde{a}_{2}$,故不满足条件;同理, $x=0, -1$时也不满足.故引理$3.2$不适用此模型.

下面讨论两相位单亏模型的平稳测度.

定理3.4  设$\Psi_{n}(x)=(\Psi_{n}^{L}(x), \Psi_{n}^{O}(x), \Psi_{n}^{R}(x))^{T}$为两相位三态量子游荡的波函数的概率振幅,令初始态$\Psi^{L}_{0}=\varphi_{1}, \Psi^{R}_{0}=\varphi_{3}, \varphi_{1}, \varphi_{3}\in{\Bbb C}^{2}$且$|\varphi_{1}|^{2}+|\varphi_{3}|^{2}>0$.对定义$2.3$给出的双相位单亏模型,可以得出平稳测度

其中

证  结合(2.9)-(2.13)式可知

当$x\neq0, \pm1$时,有

由引理$3.1$可以得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=\tilde{a}_{2}=-1$,则相应的简化矩阵为

则

同理, $x=1$时,可得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=-1, \tilde{a}_{2}=-\xi.$则相应的简化矩阵为

故

$x=-1$时,可得$\lambda=-1, \tilde{a}_{1}=-\xi, \tilde{a}_{2}=-1.$则相应的简化矩阵为

故

$x=0$时,可得$\lambda=\frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{\hbar_{+}\xi}{1-g_{+}}+\frac{\xi}{3}, \tilde{a}_{1}=\tilde{a}_{2}=-1.$则相应的简化矩阵为

故

证毕.

与单相位模型的类似,引理$3.2$的结论也不适用于双相位模型.