设$\Omega\subset\mathbb{R} ^n$是具有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $2 <p <n$.我们研究下述具有对数非线性项的伪抛物型方程的初边值问题

其中$u_0\in W_0^{1, p}(\Omega)\setminus \{0\}$.

伪抛物型方程在物理学中有很多应用.数学上对它的研究要追溯到1970年Showalter和Ting的工作^[15].

近年来,许多作者研究了伪抛物型方程,对它的解的存在性、不存在性、爆破、熄灭、衰减估计和渐近行为得到了很多有意义的结果(参见[2-5, 9, 12, 16]以及其后的参考文献).在$p=2$的情形,运用位势井方法, Chen和Tian^[5]得到了问题(1.1)的解的全局存在性、$+\infty$处爆破、衰减估计和渐近行为.这一方法是Payne和Sattinger^[13]首先使用的,后来被许多数学家所应用^{[1, 5, 7]}.

考虑下述的伪抛物型方程

当$f(u)=|u|^{p-2}u$时,这是文献[1]中问题(2.185)的一个特殊情形,它是半导体的非平稳过程模型.对这种情形,文献[1]的作者得到了方程解的存在性和爆破结果.

在$p=2$, $f(u)=u^q$, $q>1$的情形,运用位势井方法, Xu和Su^[16]证明了在初始能量$J(u_0) \le d$时解的全局存在性、有限时间爆破和渐近行为的结果.文献[5]和[16]的结论显示:多项式非线性项和对数非线性项的情形有着很大的差异.

Nhan和Truong^[12]研究了方程(1.1).通过运用位势井方法,他们得到了问题(1.1)的弱解的存在性、唯一性、有限时间爆破和渐近行为的结果.

在本文中,我们得到问题(1.1)的弱解的衰减和有限时间爆破的结果,这推广了文献[12]的结果.主要结果将在第2节的定理2.2和定理2.3给出.

在本文中,我们采用以下约定

其中$1 <p <+\infty$.我们用$W^{-1, p'}(\Omega)$表示$W_0^{1, p}(\Omega)$的对偶空间,其中$p'=\frac{p}{p-1}$.为方便起见,我们用$X_0$表示$W_0^{1, p}(\Omega)\setminus\{0\}$.

$X_0$上的能量泛函$J$和Nehari泛函$I$分别定义如下

由Gagliardo-Nirenberg嵌入不等式(参见文献[7,第一章的定理2.1]或者文献[10,第二章的定理2.2])易知$I$和$J$都是连续的.此外,我们有

设$u\in X_0$.如同Drabek和Pohozaev^[8]一样,我们定义纤维映射$j: \mathbb{R} ^+\to\mathbb{R}$为$j(\lambda)=J(\lambda u)$.下面的引理给出了$j$的一些性质.

引理2.1^[12]  设$u\in X_0$,则有

(1) $\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} j(\lambda)=0$以及$\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } j(\lambda)=-\infty$;

(2)存在唯一的$\lambda_*>0$使得$j'(\lambda_*)=0$;

(3) $j(\lambda)$在$(0, \lambda_*)$上单调增加,在$(\lambda_*, +\infty)$上单调减少,在$\lambda_*$处达到最大值;

(4)当$\lambda\in (0, \lambda_*)$时$I(\lambda u)>0$,当$\lambda\in (\lambda_*, +\infty)$时$I(\lambda u) <0$, $I(\lambda_*u)=0$.

由文献[6,定理1.1]可得如下的对数索伯列夫不等式^[14].

引理2.2  设$1 <p <n$以及$u\in X_0$,则对任意的$\mu>0$有

其中

令

为Nehari流形.由引理2.1 (4)可知${\cal N}$是非空集合.于是可定义

令

在文献[12]中实际上证明了下述引理.

引理2.3^[12]   $M <d$,且存在正的函数$u\in{\cal N}$使得$J(u)=d$.

注2.1  由文献[12.引理2.4]有$M\le d$.但是由于(2.4)式是一个严格的不等式,文献[12]中引理2.3和引理2.4的证明实际上蕴含了$M <d$.

在文献[12]中, Nhan和Truong引入了下列记号

集合${\cal W}$称为位势井, $d$称为${\cal W}$的深度.

我们定义问题(1.1)的弱解如下

定义2.1  设$u\in L^\infty (0, T; W_0^{1, p}(\Omega))$满足$u' \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega))$.如果$u$满足初始条件$u(0)=u_0$,并且对任意的$w\in W_0^{1, p}(\Omega)$以及几乎所有的$t\in [0, T]$都有

则称$u$是问题(1.1)在$[0, T]$上的一个弱解.

问题(1.1)的弱解的下述局部存在性和唯一性定理是在文献[12]中证明的.

定理2.1^[12]  设$u_0 \in X_0$,则存在$T>0$以及问题(1.1)的定义在$[0, T]$上满足初始条件$u(0)=u_0$的唯一弱解$u$.此外, $u$满足下述能量不等式

对所有的$0\leq t\leq T$.

在文献[12]中, Nhan和Truong在$u_0\in{\cal W}^+$的条件下证明了问题(1.1)存在唯一的全局弱解$u$满足$u(t)\in\overline{{\cal W}^+}$以及能量不等式(2.8)对所有的$0\le t <+\infty$成立.他们还证明了如果$u_0\in{\cal W}_1^+$并且$J(u_0)\le M$,则问题(1.1)的弱解代数衰减.当$u_0\in{\cal W}_1^-$且$J(u_0)\le M$时,他们证明了解在有限时间爆破.

在本文中,我们去掉上述代数衰减和爆破结果中的条件$J(u_0)\le M$.确切地说,我们证明下述两个定理.

定理2.2  设$u_0\in {\cal W}_1^-$, $u$是问题(1.1)的唯一弱解,则$u$在有限时间爆破.

定理2.3  设$u_0\in {\cal W}_1^+$, $u$是问题(1.1)的唯一弱解,则$u$代数衰减.

注2.2  由于$M <d$,故条件$J(u_0) <d$弱于条件$J(u_0)\le M$.因此,我们的结果改进了文献[12]中的相应结果.

定理2.2的证明  首先,由定理2.1可知, $u$满足能量不等式

其中$T_{\max}$是$u$的最大存在时间.

与文献[12]中类似,通过反证法可得对$t\in [0, T_{\max})$有$u(t)\in {\cal W}_1^-$.下证$u$在有限时间爆破.用反证法,假设$u$是全局的.

定义$\Gamma: [0, +\infty)\to \mathbb{R} ^+$如下

于是,经直接计算可得

以及

由(2.3)和(3.1)式可得

由于$u(t)\in {\cal W}_1^-, t\in[0, T]$,故$I(u(t)) <0$,于是存在$\lambda_*\in(0, 1)$使得$I(\lambda_*u(t))=0$.因而,由$d$的定义可得

结合(3.6)与(3.5)式,我们得到

由(3.4)式以及$I(u(t)) <0$,我们有$\Gamma''(t)>0$,从而

由(3.3)式及Hölder不等式可得

结合(3.2), (3.7)及(3.9)式,我们得到

现在固定$t_0>0$,则由(3.8)式可得

因此

选取充分大的$T>t_0$,且令

则$M(t)\ge\Gamma(t)>0$, $M'(t)=\Gamma'(t)-\Gamma'(0)$以及$M''(t)=\Gamma''(t)>0$,因而(3.11)式蕴含着

令$y(t)={M(t)}^{-\frac{p-2}{2}}$,则(3.12)式化为

其中$\gamma=p(p-2)(d-J(u_0))\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2t_0> 0$.这表明对每个$T>t_0$, $y$是$[t_0, T]$上的一个凹函数.由于$y(t_0)>0$以及$y'(t_0) <0$,如果我们选取$T$充分的大,则存在有限时刻$T_*$使得

于是

这蕴含着

因此,我们有

这与$u$是全局的假定矛盾.

为证明定理2.3,我们需要下述引理^[11].

引理3.1  设$f: \mathbb{R} ^+\to\mathbb{R} ^+$是一个单调递减函数, $\sigma$是一个正的常数,并且

则对所有的$t\ge 0$都有$f(t)\le f(0)\left(\frac{1+\sigma}{1+\omega\sigma t}\right)^{1/\sigma}$.

现在我们给出定理2.3的证明.

定理2.3的证明  与文献[12]中类似,用反证法可得$u(t)\in {\cal W}_1^+$.因而, (2.8)式蕴含着

由于$I(u(t))>0$,故存在$\lambda_*>1$使得$I(\lambda_*u(t))=0$,从而

结合(3.13)与(3.14)式可得

另一方面,由于$I(\lambda_*u(t))=\lambda_*^pI(u(t))-\lambda_*^p\log\lambda_*\|u(t)\|_p^p$以及$I(\lambda_*u(t))=0$,我们得到

在对数索伯列夫不等式(2.4)中选取$\mu=\frac{1}{2}$,我们得到

结合(3.13)与(3.17)式得到

其中

取$\kappa$充分大使得$\frac{\kappa}{p}\log\frac{d}{J(u_0)}-C_1>0$,用$\kappa$乘以(3.16)式并与(3.18)式相加可得

其中$C_2>0$是一个小的常数.

另一方面,由嵌入$W_0^{1, p}(\Omega)\hookrightarrow H_0^1(\Omega)$,我们有

由(3.19)式及(3.20)式可得

其中$\omega$是一个正的常数.

在(3.21)式中令$T\to+\infty$可得

由于$p>2$,在引理3.1中选取$f(t)=\|u(t)\|_{1, p}^2$以及$\sigma=\frac{p}{2}-1$得到

定理2.3证毕.