设$\Omega\subset\mathbb{R} ^n$是具有光滑边界$\partial\Omega$的有界区域, $2 <p <n$.我们研究下述具有对数非线性项的伪抛物型方程的初边值问题

(1.1) $\begin{equation}\label{1.1}\left\{\begin{array}{ll}u_t-\Delta u_t-\Delta_p u=|u|^{p-2}u\log(|u|), &x\in \Omega, t>0, \\u(x, t)=0, &x\in \partial\Omega, t>0, \\u(x, 0)=u_0(x), &x\in \Omega, \end{array}\right.\end{equation}$

其中$u_0\in W_0^{1, p}(\Omega)\setminus \{0\}$.

伪抛物型方程在物理学中有很多应用.数学上对它的研究要追溯到1970年Showalter和Ting的工作^[15].

近年来,许多作者研究了伪抛物型方程,对它的解的存在性、不存在性、爆破、熄灭、衰减估计和渐近行为得到了很多有意义的结果(参见[2-5, 9, 12, 16]以及其后的参考文献).在$p=2$的情形,运用位势井方法, Chen和Tian^[5]得到了问题(1.1)的解的全局存在性、$+\infty$处爆破、衰减估计和渐近行为.这一方法是Payne和Sattinger^[13]首先使用的,后来被许多数学家所应用^{[1, 5, 7]}.

考虑下述的伪抛物型方程

(1.2) $\begin{equation}\label{1.2}u_t-\Delta u_t-\Delta_p u=f(u).\end{equation}$

当$f(u)=|u|^{p-2}u$时,这是文献[1]中问题(2.185)的一个特殊情形,它是半导体的非平稳过程模型.对这种情形,文献[1]的作者得到了方程解的存在性和爆破结果.

在$p=2$, $f(u)=u^q$, $q>1$的情形,运用位势井方法, Xu和Su^[16]证明了在初始能量$J(u_0) \le d$时解的全局存在性、有限时间爆破和渐近行为的结果.文献[5]和[16]的结论显示:多项式非线性项和对数非线性项的情形有着很大的差异.

Nhan和Truong^[12]研究了方程(1.1).通过运用位势井方法,他们得到了问题(1.1)的弱解的存在性、唯一性、有限时间爆破和渐近行为的结果.

在本文中,我们得到问题(1.1)的弱解的衰减和有限时间爆破的结果,这推广了文献[12]的结果.主要结果将在第2节的定理2.2和定理2.3给出.

在本文中,我们采用以下约定

$u'=\frac{\partial u}{\partial t}=u_t, ~~ \|u\|_p=\|u\|_{L^p(\Omega)}, ~~ \|u\|_{1, p}=\|u\|_{W_0^{1, p}(\Omega)}=(\|\nabla u\|^p_p+\|u\|^p_p)^{1/p}, $

其中$1 <p <+\infty$.我们用$W^{-1, p'}(\Omega)$表示$W_0^{1, p}(\Omega)$的对偶空间,其中$p'=\frac{p}{p-1}$.为方便起见,我们用$X_0$表示$W_0^{1, p}(\Omega)\setminus\{0\}$.

$X_0$上的能量泛函$J$和Nehari泛函$I$分别定义如下

(2.1) $\begin{equation}\label{2.1}J(u)=\frac{1}{p}\int_\Omega|\nabla u|^p{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_\Omega|u|^p\log(|u|){\rm d}x+\frac{1}{p^2}\int_\Omega|u|^p{\rm d}x, \end{equation}$

(2.2) $\begin{equation}\label{2.1.1} I(u)=\int_\Omega|\nabla u|^p{\rm d}x-\int_\Omega|u|^p\log(|u|){\rm d}x, \end{equation}$

由Gagliardo-Nirenberg嵌入不等式(参见文献[7,第一章的定理2.1]或者文献[10,第二章的定理2.2])易知$I$和$J$都是连续的.此外,我们有

(2.3) $ \begin{equation}\label{2.2}J(u)=\frac{1}{p}I(u)+\frac{1}{p^2}\int_\Omega|u|^p{\rm d}x.\end{equation} $

设$u\in X_0$.如同Drabek和Pohozaev^[8]一样,我们定义纤维映射$j: \mathbb{R} ^+\to\mathbb{R} $为$j(\lambda)=J(\lambda u)$.下面的引理给出了$j$的一些性质.

引理2.1^[12]  设$u\in X_0$,则有

(1) $ \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to {0^ + }} j(\lambda)=0$以及$ \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } j(\lambda)=-\infty$;

(2)存在唯一的$\lambda_*>0$使得$j'(\lambda_*)=0$;

(3) $j(\lambda)$在$(0, \lambda_*)$上单调增加,在$(\lambda_*, +\infty)$上单调减少,在$\lambda_*$处达到最大值;

(4)当$\lambda\in (0, \lambda_*)$时$I(\lambda u)>0$,当$\lambda\in (\lambda_*, +\infty)$时$I(\lambda u) <0$, $I(\lambda_*u)=0$.

由文献[6,定理1.1]可得如下的对数索伯列夫不等式^[14].

引理2.2  设$1 <p <n$以及$u\in X_0$,则对任意的$\mu>0$有

(2.4) $\begin{equation}\label{1.3}\int_\Omega|u(x)|^p\log\left(\frac{|u(x)|}{\|u\|_p}\right){\rm d}x+\frac{n}{p^2}\log\left(\frac{p^2\mu e}{n{{\cal L}_p}}\right)\int_\Omega|u(x)|^p {\rm d}x <\mu\int_\Omega|\nabla u(x)|^p{\rm d}x, \end{equation}$

其中

$ {\cal L}_p=\frac{p}{n}\left(\frac{p-1}{e}\right)^{p-1}\pi^{-\frac{p}{2}}\left[\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{n(p-1)}{p}+1\right)}\right]^{\frac{p}{n}}.$

令

${\cal N}=\{u\in W_0^{1, p}(\Omega)\setminus\{0\}: I(u)=0\}$

为Nehari流形.由引理2.1 (4)可知${\cal N}$是非空集合.于是可定义

(2.5) $\begin{equation}\label{n0.1} d=\inf\limits_{u\in{\cal N}}J(u).\end{equation}$

令

(2.6) $\begin{equation}\label{n0.2}M=\frac{1}{p^2}\left(\frac{p^2 e}{n{{\cal L}_p}}\right)^{n/p}.\end{equation}$

在文献[12]中实际上证明了下述引理.

引理2.3^[12]   $M <d$,且存在正的函数$u\in{\cal N}$使得$J(u)=d$.

注2.1  由文献[12.引理2.4]有$M\le d$.但是由于(2.4)式是一个严格的不等式,文献[12]中引理2.3和引理2.4的证明实际上蕴含了$M <d$.

在文献[12]中, Nhan和Truong引入了下列记号

$\begin{array}{lll} {\cal W}_1=\{u\in X_0: J(u) <d\}, & {\cal W}_1^+=\{u\in {\cal W}_1: I(u)>0\}, & {\cal W}_1^-=\{u\in {\cal W}_1: I(u) <0\}, \\ {\cal W}_2=\{u\in X_0: J(u)=d\}, &{\cal W}_2^+=\{u\in{\cal W}_2: I(u)\ge 0\}, &{\cal W}_2^-=\{u\in{\cal W}_2: I(u) <0\}, \\ {\cal W}^+={\cal W}_1^+\cup{\cal W}_2^+, & {\cal W}^-={\cal W}_1^-\cup{\cal W}_2^-, &{\cal W}={\cal W}_1\cup{\cal W}_2. \end{array}$

集合${\cal W}$称为位势井, $d$称为${\cal W}$的深度.

我们定义问题(1.1)的弱解如下

定义2.1  设$u\in L^\infty (0, T; W_0^{1, p}(\Omega))$满足$u' \in L^2(0, T; H_0^1(\Omega))$.如果$u$满足初始条件$u(0)=u_0$,并且对任意的$w\in W_0^{1, p}(\Omega)$以及几乎所有的$t\in [0, T]$都有

(2.7) $\begin{equation}\label{3.1}\langle u_t, w\rangle+\langle\nabla u_t, \nabla w\rangle+\langle|\nabla u|^{p-2} \nabla u, \nabla w\rangle=\int_\Omega |u|^{q-2}u\log (|u|)w{\rm d}x, \end{equation}$

则称$u$是问题(1.1)在$[0, T]$上的一个弱解.

问题(1.1)的弱解的下述局部存在性和唯一性定理是在文献[12]中证明的.

定理2.1^[12]  设$u_0 \in X_0$,则存在$T>0$以及问题(1.1)的定义在$[0, T]$上满足初始条件$u(0)=u_0$的唯一弱解$u$.此外, $u$满足下述能量不等式

(2.8) $\begin{equation}\label{3.2}\int_0^t\|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s+J(u(t))\leq J(u_0), \end{equation}$

对所有的$0\leq t\leq T$.

在文献[12]中, Nhan和Truong在$u_0\in{\cal W}^+$的条件下证明了问题(1.1)存在唯一的全局弱解$u$满足$u(t)\in\overline{{\cal W}^+}$以及能量不等式(2.8)对所有的$0\le t <+\infty$成立.他们还证明了如果$u_0\in{\cal W}_1^+$并且$J(u_0)\le M$,则问题(1.1)的弱解代数衰减.当$u_0\in{\cal W}_1^-$且$J(u_0)\le M$时,他们证明了解在有限时间爆破.

在本文中,我们去掉上述代数衰减和爆破结果中的条件$J(u_0)\le M$.确切地说,我们证明下述两个定理.

定理2.2  设$u_0\in {\cal W}_1^-$, $u$是问题(1.1)的唯一弱解,则$u$在有限时间爆破.

定理2.3  设$u_0\in {\cal W}_1^+$, $u$是问题(1.1)的唯一弱解,则$u$代数衰减.

注2.2  由于$M <d$,故条件$J(u_0) <d$弱于条件$J(u_0)\le M$.因此,我们的结果改进了文献[12]中的相应结果.

定理2.2的证明  首先,由定理2.1可知, $u$满足能量不等式

(3.1) $\begin{equation}\label{4.1}\int_0^t \|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s+J(u(t))\leq J(u_0) <d, \quad 0\leq t\leq T_{\max}, \end{equation}$

其中$T_{\max}$是$u$的最大存在时间.

与文献[12]中类似,通过反证法可得对$t\in [0, T_{\max})$有$u(t)\in {\cal W}_1^-$.下证$u$在有限时间爆破.用反证法,假设$u$是全局的.

定义$\Gamma: [0, +\infty)\to \mathbb{R} ^+$如下

(3.2) $\begin{equation}\label{4.2}\Gamma (t)=\int_0^t\|u(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s.\end{equation}$

于是,经直接计算可得

(3.3) $\begin{eqnarray}\label{4.3}\Gamma'(t)-\Gamma'(0)&=&\|u(t)\|_{H_0^1(\Omega)}^2-\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2\\&=&2\int_0^t\langle u'(s), u(s)\rangle+\langle \nabla u'(s), \nabla u(s)\rangle {\rm d}s, \end{eqnarray}$

以及

(3.4) $\begin{equation}\label{4.4}\Gamma''(t)=2\langle u'(t), u(t)\rangle+2\langle \nabla u'(t), \nabla u(t)\rangle=-2I(u(t)).\end{equation}$

由(2.3)和(3.1)式可得

(3.5) $\begin{eqnarray}\label{4.5}\Gamma''(t)&=&-2I(u(t))=-2pJ(u(t))+\frac{2}{p}\int_\Omega |u(t)|^p{\rm d}x\\&\geq &-2pJ(u_0)+2p\int_0^t \|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s+\frac{2}{p}\int_\Omega |u(t)|^p{\rm d}x. \end{eqnarray}$

由于$u(t)\in {\cal W}_1^-, t\in[0, T]$,故$I(u(t)) <0$,于是存在$\lambda_*\in(0, 1)$使得$I(\lambda_*u(t))=0$.因而,由$d$的定义可得

(3.6) $ \begin{equation}\label{n.1} \frac{1}{p^2}\|u(t)\|_p^p>\frac{\lambda_*^p}{p^2}\|u(t)\|_p^p=J(\lambda_*u(t))\ge d.\end{equation}$

结合(3.6)与(3.5)式,我们得到

(3.7) $\begin{equation}\label{4.6}\Gamma''(t)\geq 2p\int_0^t \|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s+2p(d-J(u_0)).\end{equation}$

由(3.4)式以及$I(u(t)) <0$,我们有$\Gamma''(t)>0$,从而

(3.8) $\begin{equation}\label{4.7}\Gamma'(t)>\Gamma'(0)=\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2>0, \quad \forall t>0.\end{equation}$

由(3.3)式及Hölder不等式可得

(3.9) $\begin{equation}\label{4.8}\frac{1}{4}({\Gamma'}(t)-\Gamma'(0))^2 \leq \int_0^t\|u(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s\int_0^t\|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s.\end{equation}$

结合(3.2), (3.7)及(3.9)式,我们得到

$\begin{eqnarray*}\Gamma (t)\Gamma''(t)&\geq&2p\int_0^t \|u'(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s\int_0^t \|u(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s +2p\left(d-J(u_0)\right)\Gamma (t) \\&\geq &\frac{p}{2}\left(\Gamma'(t)-\Gamma'(0)\right)^2+2p\left(d-J(u_0)\right)\Gamma(t). \end{eqnarray*}$

现在固定$t_0>0$,则由(3.8)式可得

(3.10) $\begin{equation}\label{nn.1} \Gamma(t)\ge \Gamma(t_0)\ge \|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2t_0>0, \quad \forall t\ge t_0.\end{equation}$

因此

(3.11) $\begin{equation}\label{nn.2}\Gamma(t)\Gamma''(t)-\frac{p}{2}(\Gamma'(t)-\Gamma'(0))^2\ge 2p(d-J(u_0))\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2t_0>0, \quad \forall t\ge t_0.\end{equation}$

选取充分大的$T>t_0$,且令

$M(t)=\Gamma(t)+(T-t)\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2, \quad t\in[0, T].$

则$M(t)\ge\Gamma(t)>0$, $M'(t)=\Gamma'(t)-\Gamma'(0)$以及$M''(t)=\Gamma''(t)>0$,因而(3.11)式蕴含着

(3.12) $ \begin{equation}\label{nn.3} M(t)M''(t)-\frac{p}{2}(M'(t))^2\ge2p(d-J(u_0))\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2t_0>0, \quad \forall t\in [t_0, T].\end{equation} $

令$y(t)={M(t)}^{-\frac{p-2}{2}}$,则(3.12)式化为

$y''(t)\leq -\gamma y(t), \quad \forall t\in [t_0, T], $

其中$\gamma=p(p-2)(d-J(u_0))\|u_0\|_{H_0^1(\Omega)}^2t_0> 0$.这表明对每个$T>t_0$, $y$是$[t_0, T]$上的一个凹函数.由于$y(t_0)>0$以及$y'(t_0) <0$,如果我们选取$T$充分的大,则存在有限时刻$T_*$使得

$ \lim\limits_{t\to T_*^-}y(t)=0. $

于是

$\lim\limits_{t\to T_*^-}M(t) =+\infty.$

这蕴含着

$\lim\limits_{t\to T_*^-}\int_0^t \|u(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2{\rm d}s=+\infty.$

因此,我们有

$ \lim\limits_{t\to T_*^-}\|u(s)\|_{H_0^1(\Omega)}^2=+\infty. $

这与$u$是全局的假定矛盾.

为证明定理2.3,我们需要下述引理^[11].

引理3.1  设$f: \mathbb{R} ^+\to\mathbb{R} ^+$是一个单调递减函数, $\sigma$是一个正的常数,并且

$ \int_{t}^{+\infty}f^{1+\sigma}(s){\rm d}s\le\frac{1}{\omega}f(t), \quad\forall t\ge 0, $

则对所有的$t\ge 0$都有$f(t)\le f(0)\left(\frac{1+\sigma}{1+\omega\sigma t}\right)^{1/\sigma}$.

现在我们给出定理2.3的证明.

定理2.3的证明  与文献[12]中类似,用反证法可得$u(t)\in {\cal W}_1^+$.因而, (2.8)式蕴含着

(3.13) $ \begin{equation}\label{n.2} \frac{1}{p^2}\|u(t)\|_p^p\le J(u(t))\le J(u_0), \quad t\in[0, T]. \end{equation} $

由于$I(u(t))>0$,故存在$\lambda_*>1$使得$I(\lambda_*u(t))=0$,从而

(3.14) $ \begin{equation}\label{n.3} \frac{\lambda_*^p}{p^2}\|u(t)\|_p^p=J(\lambda_*u(t))\ge d. \end{equation} $

结合(3.13)与(3.14)式可得

(3.15) $ \begin{equation}\label{n.4} \lambda_*\ge\left(\frac{d}{J(u_0)}\right)^{\frac{1}{p}}. \end{equation} $

另一方面,由于$I(\lambda_*u(t))=\lambda_*^pI(u(t))-\lambda_*^p\log\lambda_*\|u(t)\|_p^p$以及$I(\lambda_*u(t))=0$,我们得到

(3.16) $ \begin{equation}\label{n.5} I(u(t))=\log\lambda_*\|u(t)\|_p^p\ge\frac{1}{p}\log\frac{d}{J(u_0)}\|u(t)\|_p^p. \end{equation}$

在对数索伯列夫不等式(2.4)中选取$\mu=\frac{1}{2}$,我们得到

(3.17) $ \begin{equation}\label{n.6} I(u(t))\ge\frac{1}{2}\|\nabla u(t)\|_p^p+ \left(\frac{n}{p^2}\log\frac{p^2e}{2n{\cal L}_p}-\log\|u(t)\|_p\right) \|u(t)\|_p^p. \end{equation} $

结合(3.13)与(3.17)式得到

(3.18) $ \begin{equation}\label{n.7} I(u(t)) \ge\frac{1}{2}\|\nabla u(t)\|_p^p-C_1\|u(t)\|_p^p, \end{equation} $

其中

$ C_1=\frac{1}{p}\log(p^2J(u_0))-\frac{n}{p^2}\log\frac{p^2e}{2n{\cal L}_p}.$

取$\kappa$充分大使得$\frac{\kappa}{p}\log\frac{d}{J(u_0)}-C_1>0$,用$\kappa$乘以(3.16)式并与(3.18)式相加可得

(3.19) $ \begin{equation}\label{n.8} I(u(t))\ge C_2\|u(t)\|_{1, p}^p, \end{equation}$

其中$C_2>0$是一个小的常数.

另一方面,由嵌入$W_0^{1, p}(\Omega)\hookrightarrow H_0^1(\Omega)$,我们有

(3.20) $ \begin{eqnarray}\label{n.9} \int_t^TI(u(s)){\rm d}s&=&-\int_t^T(\langle u'(s), u(s)\rangle +\langle\nabla u'(s), \nabla u(s)\rangle){\rm d}s \\ &=&\frac12\|u(t)\|_{H_0^1(\Omega)}^2-\frac12\|u(T)\|_{H_0^1(\Omega)}^2 \\ &\le& C_3\|u(t)\|_{W^{1, p}(\Omega)}^2. \end{eqnarray}$

由(3.19)式及(3.20)式可得

(3.21) $ \begin{equation}\label{n.10} \int_t^T\|u(s)\|_{1, p}^p{\rm d}s\le\frac{1}{\omega}\|u(t)\|_{1, p}^2, \quad\forall t\in[0, T], \end{equation} $

其中$\omega$是一个正的常数.

在(3.21)式中令$T\to+\infty$可得

(3.22) $\begin{equation}\label{n.11} \int_t^{+\infty}\|u(s)\|_{1, p}^p{\rm d}s\le\frac{1}{\omega}\|u(t)\|_{1, p}^2. \end{equation}$

由于$p>2$,在引理3.1中选取$f(t)=\|u(t)\|_{1, p}^2$以及$\sigma=\frac{p}{2}-1$得到

$ \|u(t)\|_{1, p}\le \|u_0\|_{1, p}\left(\frac{p}{2+\omega(p-2)t}\right)^{1/(p-2)}, \quad t\ge 0.$

定理2.3证毕.