本文研究下面带衰退记忆的四阶拟抛物方程的整体吸引子存在性

(1.1) $\begin{equation}\label{c2eq1}u_t-\Delta u_t-\Delta u+\Delta^2 u-\int_0^{\infty} k(s)\Deltau(t-s){\rm d}s+f(u)=g(x), \ x\in \Omega, \end{equation}$

配以边界条件

(1.2) $\begin{equation}\label{c2eq2}u\Big|_{x\in\partial\Omega}=\frac{\partial u}{\partial \nu}\Big|_{x\in\partial\Omega}=0\end{equation}$

和初始条件

(1.3) $\begin{equation}u(x, 0)=u_0(x), \ \ x\in \Omega.\end{equation}$

为了计算方程(1.1)中的卷积项,本文假设$u$对过去所有时间的值是已知的,即

(1.4) $\begin{equation}u(-s)\big|_{s>0}=h(s), \end{equation}$

其中过去历史函数$h:\Omega\times(0, \infty)\rightarrow \mathbb{R}$.

为了应用类似文献[1-3]中的方法处理核函数$k(s)$,本文假设$k(\cdot)\in C^2({\mathbb{R} ^+}), \ k(s)\geqslant 0, $$ k'(s)\leqslant 0, \ \forall s\in{\mathbb{R} ^+}$.此外,设函数$\mu(s)=-k'(s)$并满足

(1.5) $\begin{equation} \mu\in C^1({\mathbb{R} ^+})\cap L^1({\mathbb{R} ^+}), \quad \mu(s)\geqslant 0, \quad \mu'(s)\leqslant 0, ~~\forall s\in{\mathbb{R} ^+}, \label{c2eq6} \end{equation}$

(1.6) $ \begin{equation} \mu'(s)+\delta\mu(s)\leqslant 0, \quad \forall s\geqslant 0, \label{c2eq7}\end{equation}$

其中$\delta$是一个正常数.显然,核函数$k(s)$和$\mu(s)$都是指数衰减到0.

当$k(s)\equiv0$时,方程(1.1)约化为四阶拟(伪)抛物方程.拟(伪)抛物方程可以用来描述各种各样的物理问题,例如热传导分析,具有非线性阻尼的非线性电报线中的电子信号,粘性流等^[4].关于四阶拟抛物方程解的整体存在性已有许多结果,可以参考文献[5-9].此外,关于四阶抛物方程解的长时间行为也已经有了一些结果. 2010年, Song等在文献[10]中研究了修正Swift-Hohenberg方程的长时间动力学

(1.7) $ \begin{equation} u_t=-\Delta^2u+g(u). \end{equation} $

他们利用正则性估计的迭代技巧结合整体吸引子的经典存在性定理证明了Swift-Hohenberg方程在$H^k$空间中整体吸引子的存在性. 2015年,徐润章等在文献[11]中使用相同的方法证明了四阶半线性抛物方程

(1.8) $\begin{equation} u_t-q\Delta u+\Delta^2u+f(u)=0 \end{equation}$

在$H^k$空间中整体吸引子的存在性.

当方程(1.1)中不含正则项$\Delta^2 u$时,其约化为著名的带衰退记忆的非经典扩散方程.近十年来,大量学者对带衰退记忆的非经典扩散方程进行了研究并取得许多深刻的结果. 2009年, Wang和Zhong^[12]率先对带衰退记忆的非自治非经典扩散方程的一致吸引子的存在性进行了研究

(1.9) $\begin{equation}\label{c1e1} u_t-\Delta u_t-\Delta u-\int_0^{\infty} k(s)\Delta u(t-s){\rm d}s+f(u)=g(x, t), \ \ x\in \Omega. \end{equation} $

当$g(x, t)$满足平移有界时,汪璇和钟承奎运用解过程分解技术和紧性转移定理克服了临界非线性项和衰退记忆项给证明解过程的紧性所带来的困难,从而证明了在弱拓扑空间$H_0^1(\Omega)\times L^2_{\mu}({\mathbb{R} }^+, H_0^1(\Omega))$上一致紧吸引子的存在性.随后, Wang等^[13]在文献[12]的基础之上进一步证明了方程(1.9)在强拓扑空间$H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)\times L^2_{\mu}({\mathbb{R} }^+, H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega))$上一致紧吸引子的存在性.

2010年, Wang等在文献[14]中研究了下列带衰退记忆的自治非经典扩散方程的长时间行为

(1.10) $\begin{equation}\label{c1e2} u_t-\Delta u_t-\Delta u-\int_0^{\infty} k(s)\Delta u(t-s){\rm d}s+f(u)=g(x). \end{equation} $

当受迫项$g(x)\in H^{-1}(\Omega)$和$g(x)\in L^2(\Omega)$,他们分别证明了方程(1.10)的整体吸引子在弱拓扑空间$H_0^1(\Omega)\times L^2_{\mu}({\mathbb{R} }^+, H_0^1(\Omega))$和强拓扑空间$H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)\times L^2_{\mu}({\mathbb{R} }^+, H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega))$的存在性和正则性. 2011年, Tang等在文献[15]中证明了方程(1.10)的周期边值问题整体吸引子的存在性.随后,他们在文献[16]中证明了整体吸引子具有有限分形维数. 2015年, Conti等在文献[17]中证明了方程(1.10)具有最优正则性的整体吸引子的存在性. 2016年, Conti和Marchini^[18]在一个新的框架,即极小状态框架下研究了具有最优正则性整体吸引子和指数吸引子的存在性并且还证明了吸引子具有有限分形维数.

最近,狄华斐等在文献[19]中研究了下列带记忆项和非线性项的拟抛物方程的初边值问题

(1.11) $ \begin{equation} |u_t|^{\rho}u_t-\beta\Delta u_t-\Delta u+\gamma\Delta^2u+\int_0^tg(t-s)\Delta u(s){\rm d}s=f(u), \end{equation} $

其中$\rho\geqslant 1$.他们不仅利用位势井方法证明了弱解的整体存在性,而且建立了解能量的衰减估计.此外,对初始能量$E(0) <0$和$0 <E(0) <\hat{\hat{\rm d}}$时,他们分别证明了解在有限时间爆破.

现在将方程(1.1)重写成一个合适的相空间上的自治动力系统.为此,根据Dafermos^[20]的方法,引入辅助过去历史变量

$\eta^t(x, s)=\int_0^su(x, t-r){\rm d}r, \qquad s\geqslant 0 , $

对上式求导可得

$ \partial_t\eta^t(x, s)=u(x, t)-\partial_s\eta^t(x, s), \qquad s\geqslant 0. $

根据$\mu(s)=-k'(s)$并利用假设$k(\infty)=0$,方程(1.1)可化为下面的方程组

(1.12) $\begin{equation}\label{c2eq99} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\Delta u_t-\Delta u+\Delta^2 u-\int_0^{\infty}\mu(s)\Delta\eta^t(s){\rm d}s+f(u)=g(x), \\ \eta^t_t=-\eta^t_s+u. \end{array}\right. \end{equation}$

具有初始条件

(1.13) $ \begin{equation}\label{c2eq100} u(x, 0)=u_0(x), \qquad \eta^0(x, s)=\eta_0(x, s)=\int_0^sh(r){\rm d}r, \end{equation} $

其中$u(\cdot)$满足下面的条件:存在两个正常数$\mathfrak{R}$和$\varrho\leqslant \delta$使得

$\int_0^{\infty}e^{-\varrho s}\|\nabla u(-s)\|^2{\rm d}s\leqslant \mathfrak{R}.$

对边界条件(1.2),定义算子$\Lambda=-\Delta$具有Dirichlet零边界条件.显然$\Lambda : H^2(\Omega)\cap H_0^1(\Omega)\mapsto L^2(\Omega)$是一个严格正定的自伴算子.定义算子$\Lambda$在$H_0^2(\Omega)$上的限制$A=\Lambda\big|_{ H_0^2(\Omega)} : H_0^2(\Omega)\mapsto L^2(\Omega)$.不难证明,对任意的$u, \ v\in H_0^2(\Omega)$,有

$\langle Au, v\rangle=\langle\nabla u, \nabla v\rangle, \ \ \langle Au, u\rangle=\|u\|^2\geqslant 0.$

$A$也是一个严格正定的自伴算子.因此可以定义一族Hilbert空间

$H_s=D(A^{\frac{s}{2}}), \ \ s\in \mathbb{R}, $

装配内积和范数

$\langle u, v\rangle_s=\langle A^{\frac{s}{2}}u, A^{\frac{s}{2}}v\rangle \ \ \mbox{和} \ \ \|u\|_s=\|A^{\frac{s}{2}}u\|.$

从而有

$D(A^{\frac{s}{2}})\hookrightarrow D(A^{\frac{r}{2}}), \qquad \mbox{对任意的} \ s>r$

和连续嵌入

(2.1) $ \begin{equation}\label{c2eq23} D(A^{\frac{s}{2}})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2s}}, \qquad \mbox{对所有的} \ s\in[0, \frac{n}{2}). \end{equation}$

当$s=0$时,总是省略指标$s$.显然

$H=L^2(\Omega), \quad H_1=H_0^1(\Omega), \quad H_2=H_0^2(\Omega), $

并且有如下一般形式的Poincaré不等式

$ \lambda_1\|u\|^2_r\leqslant\|u\|^2_{r+1}, $

其中$\lambda_1$是$A$的第一特征值.

引入加权$L^2$ -空间

${\cal M}_r=L^2({\mathbb{R} ^+};H_{r}), $

配以内积和范数

$\langle \eta_1, \eta_2\rangle_{{\cal M}_r}=\int_0^{\infty}\mu(s)\langle\eta_1, \eta_2\rangle_{r}{\rm d}s, \qquad \|\eta\|^2_{{\cal M}_r}=\int_0^{\infty}\mu(s)\|\eta\|^2_{r}{\rm d}s.$

记

${\cal H}_r=H_{r}\times{\cal M}_r, $

装配范数

$\|(u, \eta^t)\|_{{\cal H}_r}^2=\|u\|^2_{H_{r}}+\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_r}.$

考虑右平移半群在${\cal M}_2$上的无穷小生成子,即线性算子

$T\eta=-\eta', \qquad \mbox{dom}(T)=\{\eta\in{\cal M}_2:\eta'\in{\cal M}_2, \eta(0)=0\}, $

其中" $\prime$ "表示分布导数.

如果$u\in L^1_{{\rm loc}}(0, \infty;H_2)$,那么对每一个$\eta_0\in{\cal M}_2$, Cauchy问题

(2.2) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} \eta_t=T\eta+u, \\ \eta^0=\eta_0 \end{array}\right. \end{equation}$

有唯一解$\eta\in C[0, \infty;{\cal M}_2)$且具有显示表达式

(2.3) $ \begin{equation}\label{c2eq8} \eta^t(s)=\left\{ \begin{array}{ll}\int_0^su(t-y){\rm d}y, & 0 <s\leqslant t, \\ \eta_0(s-t)+\int_0^tu(t-y){\rm d}y, ~~ &s>t. \end{array} \right. \end{equation}$

此时,方程组(1.12)可以改写成

(2.4) $\begin{equation}\label{c2eq9} \left\{\begin{array}{ll} u_t+ Au_t+A u+A^2 u+\int_0^{\infty}\mu(s)A\eta^t(s){\rm d}s+f(u)=g(x), \\ \eta^t_t=T\eta^t+u. \end{array}\right. \end{equation} $

具有初始条件

(2.5) $ \begin{equation}\label{c2eq10} u(x, 0)=u_0(x), \qquad \eta^0(x, s)=\eta_0(x, s). \end{equation} $

现在给出外力项和非线性项的一些假设.设外力项$g\in L^2(\Omega)$,非线性项$f\in C^1(\mathbb{R})$满足

(2.6) $\begin{equation}|f'(u)|\leqslant C(1+|u|^{p}), \label{c2eq3}\end{equation}$

(2.7) $\begin{equation}f'(u)\geqslant -l, \label{c2eq4} \end{equation}$

(2.8) $\begin{equation} \liminf\limits_{|u|\rightarrow\infty}\frac{f(u)}{u}\geqslant -\lambda_1, \label{c2eq5} \end{equation}$

其中

(2.9) $ \begin{equation} 0 <p <\infty, \quad \mbox{当}\ n <5; \quad 0 <p\leqslant\frac{4}{n-4}, \quad \mbox{当}\ n\geqslant 5, \end{equation} $

$0 <l <\frac{\lambda_1}{2}$.不失一般性,设$f(0)=0$.

为了估计方便,首先给出下面的基本结果.

引理2.1  令$I=[0, T], \ \forall\ T>0$.设记忆核$\mu(s)$满足(1.5)和(1.6)式,则对任意的$\eta^t\in C(I;{\cal M}_r)$,存在一个常数$\delta>0$使得

(2.10) $ \begin{equation}\label{c2eq11}\langle\eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_r}\leqslant -\frac{\delta}{2}\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_r}.\end{equation} $

证  关于$s$进行分部积分并利用(1.6)式,得到

(2.11) $\begin{eqnarray}\langle\eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_r}&=&-\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\mu(s)\frac{\rm d}{{\rm d}s}\|A^{r/2}\eta^t\|^2{\rm d}s\\&=&-\bigg[\frac{1}{2}\mu(s)\|A^{r/2}\eta^t\|^2\bigg]_0^{\infty}+\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\mu'(s)\|A^{r/2}\eta^t\|^2{\rm d}s\\&=&\frac{1}{2}\int_0^{\infty}\mu'(s)\|A^{r/2}\eta^t\|^2{\rm d}s\\&\leqslant&-\frac{\delta}{2}\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_r}.\end{eqnarray}$

引理证明完毕.

下面的引理在我们证明解算子半群的渐近紧性中起重要作用.

引理2.2^[1-3]  假设$\mu\in C^1({\mathbb{R} ^+})\cap L^1({\mathbb{R} ^+})$是一个非负函数并满足:若存在$s_0\in{\mathbb{R} ^+}$,则对所有的$s\geqslant s_0$有$\mu(s)=0$.此外,令$B_0, \ B_1, \ B_2$是三个Banach空间并满足

$B_0\hookrightarrow B_1\hookrightarrow B_2, $

$B_0, \ B_1 \ \mbox{是自反的, }\ B_0\hookrightarrow B_1 \ \mbox{为紧的.}$

又设${\cal C}\subset L^2_{\mu}({\mathbb{R} ^+};B_1)$满足

(ⅰ) ${\cal C}\subset L^2_{\mu}({\mathbb{R} ^+};B_0)\cap H_{\mu}^1({\mathbb{R} ^+};B_2)$

(ⅱ) $\displaystyle\sup_{\eta\in{\cal C}}\|\eta(s)\|^2_{B_1}\leqslant h(s), \forall s\in{\cal R^+}, h(s)\in L^1_{\mu}({\mathbb{R} ^+})$;

则${\cal C}$在$L^2_{\mu}({\mathbb{R} ^+};B_1)$中是相对紧的.

本节讨论问题(2.4)-(2.5)的整体吸引子的存在性.在此之前,我们先给出弱解的存在唯一性结果.下面给出问题(2.4)-(2.5)弱解的定义.

定义3.1  定义$I=[0, T], \ \forall\ T>0$.令$g\in H$和$z_0=(u_0, \eta_0)\in{\cal H}_2$.若一个双线性形式$z=(u, \eta^t)$满足

$u\in C(I;H_2), \qquad u_t\in L^2(I;H_1), \qquad \eta^t\in C(I;{\cal M}_2), $

$\eta^t_t+\eta^t_s\in L^2(I;{\cal M}_1)\cap L^{\infty}(I;{\cal M}_2), $

且对所有的$\omega\in H_2, \ \varphi\in {\cal M}_1$和a.e. $t\in I$,有

$\langle u_t, \omega\rangle+\langle u_t, \omega\rangle_{1}+\langle u, \omega\rangle_{1}+\langle u, \omega\rangle_{2} +\langle\eta^t, \omega\rangle_{{\cal M}_1}+\langle f(u), \omega\rangle=\langle g, \omega\rangle, $

$\langle\eta^t+\eta^s, \varphi\rangle_{{\cal M}_1}=\langle u, \varphi\rangle_{{\cal M}_1}, $

则称$z=(u, \eta^t)$为问题(2.4)-(2.5)在时间区间$I$上的一个弱解.

利用Galerkin方法,我们可以得到下面解的存在唯一性结果.

定理3.1  定义$I=[0, T], \ \forall\ T>0$.设(2.6)-(2.8)式成立, $g\in H$.则对任意的$z_0\in{\cal H}_2$,问题(2.4)-(2.5)在${\cal H}_2$中存在唯一解$z=(u, \eta^t)$.此外,解$z=(u, \eta^t)$在${\cal H}_2$范数下连续依赖初始值$z_0 =(u_0, \eta_0)$.

根据定理3.1,我们可以定义解半群,即

$S(t):{\cal H}_2\rightarrow {\cal H}_2, $

$z_0=(u_0, \eta_0)\rightarrow (u, \eta^t)=S(t)z_0.$

为了证明有界吸收集的存在性,首先,对问题(2.4)-(2.5)的解在${\cal H}_2$中做先验估计.

引理3.1  令(2.6)-(2.8)式成立且$g\in H$.设$z(t)$是问题(2.4)-(2.5)具有初始值$z_0\in {\cal H}_2$的解.则存在一个正常数$R_0$使得对任意的有界子集$B$,存在$t_0=t_0(\|B\|_{{\cal H}_2})$使得

(3.1) $\begin{equation}\label{c2eq12} \|z(t)\|_{{\cal H}_2}^2\leqslant R_0, \qquad \ t\geqslant t_0=t_0(\|B\|_{{\cal H}_2}). \end{equation}$

证  在方程(2.4)两边乘以$Au(t)$并积分,得到

(3.2) $\begin{equation}\label{c2eq13}\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\nabla u\|^2+\|Au\|^2+\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_2})+\|Au\|^2+\|A^{\frac{3}{2}}u\|^2-\langle\eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_2} +\langle f(u), Au\rangle=\langle g, Au \rangle.\end{equation}$

利用(2.7)式可得

(3.3) $\begin{equation}\label{c2eq14}\langle f(u), Au\rangle=\int_{\Omega}f'(u)|\nabla u|^2{\rm d}x\geqslant -l\|\nabla u\|^2.\end{equation}$

由Young不等式和Poincaré不等式可推出

(3.4) $\begin{equation}\label{c2eq15}\langle g, Au \rangle\leqslant\|g\|\|Au\|\leqslant \lambda_1\|Au\|^2+\lambda_1^{-1}\|g\|^2\leqslant\|A^{\frac{3}{2}}u\|^2+\lambda_1^{-1}\|g\|^2.\end{equation}$

再由引理2.1得到

(3.5) $\begin{equation}\label{c2eq16}-\langle\eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_2}\geqslant \frac{\delta}{2}\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_2}.\end{equation}$

将式(3.3)-(3.5)式代入(3.2)式并利用Poincaré不等式可得

(3.6) $\begin{eqnarray}\frac{\rm d}{{\rm d}t}&(\|\nabla u\|^2+\|Au\|^2+\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_2})+\alpha(\|\nabla u\|^2+\|Au\|^2+\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_2})\leqslant 2\lambda_1^{-1}\|g\|^2, \end{eqnarray} $

其中$\alpha=\min\{1, \lambda_1-2l, \delta\}$.

注意到

$\|z(t)\|_{{\cal H}_2}^2\leqslant \|\nabla u\|^2+\|Au\|^2+\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_2}\leqslant C_0 \|z(t)\|_{{\cal H}_2}^2.$

从而由Gronwall引理可得

(3.7) $\begin{equation}\|z(t)\|^2_{{\cal H}_2}\leqslant C_0\|z(0)\|^2_{{\cal H}_2}e^{-\alpha t}+\frac{2}{\alpha\lambda_1}\|g\|^2.\end{equation}$

假设$\|z(0)\|^2_{{\cal H}_2}\leqslant R^2$,则当$t\geqslant t_0=t_0(\|B\|_{{\cal H}_2})$时,有

(3.8) $\begin{equation}\|z(t)\|_{{\cal H}_2}^2\leqslant R_0.\end{equation}$

引理证明完毕.

由引理3.1立即可以得到有界吸收集的存在性.

引理3.2 (有界吸收集)  在引理3.1的假设下,则对任意有界子集$B$,存在正常数$R_0$使得对任意有界子集$B\subset{\cal H}_2$,存在$t_0=t_0(\|B\|_{{\cal H}_2})$使得$\|S(t)z_0\|_{{\cal H}_2}^2\leqslant R_0, $对所有的$t\geqslant t_0$和$z_0\in B. $

下面我们证明解半群的渐近紧性.为了克服临界非线性项给证明解半群的渐近紧性所带来的困难,我们需要对非线性项及解半群进行分解.

为此,对非线性项$f$进行如下分解$f=f_0+f_1, $其中$f_0, \ f_1$满足

(3.9) $\begin{equation}|f'_0(u)|\leqslant C(1+|u|^{p}), \qquad \forall u\in{\mathbb{R} }, \label{c2eq17}\end{equation}$

(3.10) $\begin{equation}\ f'_0(u)\geqslant -l, \qquad~~~~ \ \forall u\in{\mathbb{R} }, \label{c2eq18}\end{equation}$

(3.11) $\begin{equation}\ |f'_1(u)|\leqslant C(1+|u|^{\gamma}), \ \qquad \forall u\in{\mathbb{R} }, \label{c2eq19}\end{equation}$

(3.12) $\begin{equation}\liminf\limits_{|u|\rightarrow\infty}\frac{f_1(u)}{u}\geqslant -\lambda_1, \label{c2eq20}\end{equation}$

其中

$ 0 <p <\infty, \quad \mbox{当} \quad n\leqslant 4; \quad 0 <p\leqslant\frac{4}{n-4}, \quad \mbox{当} \quad n\geqslant 5, $

$ 0 <\gamma <\infty, \quad \mbox{当} \quad n\leqslant4; \quad 0 <\gamma <\frac{4}{n-4}, \quad \mbox{当} \quad n\geqslant 5.$

令

$\sigma=\min\bigg\{\frac{1}{4}, 2-\frac{(n-4)\gamma}{2}\bigg\}, $

其中$\gamma$由(3.11)式定义.

利用文献[12, 14, 22]中的分解技术,将问题(2.4)-(2.5)的解$z(t)=(u(t), \eta^t)$进行如下分解

$z(t)=z_1(t)+z_2(t), \qquad u=v+w, \qquad \eta^t=\zeta^t+\xi^t, $

其中$z_1(t)=(v, \zeta^t)$和$z_2(t)=(w, \xi^t)$分别满足下面的问题

(3.13) $\begin{equation}\label{c2eq21}\left\{\begin{array}{ll} v_t+Av_t+Av+A^2v+\int_0^{\infty}\mu(s)A\zeta^t{\rm d}s+f_0(v)=0, \\\zeta^t=T\zeta^t+v, \\v(x, 0)=u_0(x), \quad \zeta^0(x, s)=\eta_0(x, s)\end{array}\right.\end{equation}$

和

(3.14) $\begin{equation}\label{c2eq22}\left\{\begin{array}{ll} w_t+Aw_t+Aw+A^2w+\int_0^{\infty}\mu(s)A\xi^t{\rm d}s+f(u)-f_0(v)=g, \\\xi^t=T\xi^t+w, \\w(x, 0)=0, \quad \xi^0(x, s)=\xi_0(x, s)=0, \end{array}\right.\end{equation}$

与定理3.1的证明类似,可以证明问题(3.13)和问题(3.14)解的存在性和唯一性.因此,问题(3.13)和问题(3.14)的解分别定义了一个半群.为了简便,将问题(3.13)和问题(3.14)的解算子分别记为$\{S_1(t)\}_{t\geqslant 0}$和$\{S_2(t)\}_{t\geqslant 0}$.从而对每个$z_0\in {\cal H}_2 $,有

$\begin{eqnarray*}z(t)=S(t)z_0=S_1(t)z_0+S_2(t)z_0, \qquad \forall t\geqslant 0.\end{eqnarray*}$

从引理3.1,我们可以直接得到下面的引理.

引理3.3  设$f_0$满足(3.9)-(3.10)式, $g\in H$, (1.5)和(1.6)式成立.则问题(3.13)的解满足

$ \begin{eqnarray*} \|S_1(t)z_0\|^2_{{\cal H}_2}=\|\triangle v\|^2+\|\zeta^t\|^2_{{\cal M}_2}\leqslant Q(\|z_0\|_{{\cal H}_2})e^{-k_0t}, \qquad \forall t\geqslant 0, \end{eqnarray*} $

其中常数$k_0$只依赖于$\lambda_1$和$\delta$, $Q(\cdot)$是$[0, \infty)$上的增函数.

关于问题(3.14)的解$z_2(t)$有下面的结论.

引理3.4  设非线性项$f$满足(2.6)-(2.8)式和(3.9)-(3.12)式, $g\in H$以及(1.5)和(1.6)式成立.则对每一个给定的$T>0$,存在一个正常数$N_1=N_1(T, g, \delta, \|z_0\|_{{\cal H}_2})$使得问题(3.14)的解满足

(3.15) $ \begin{equation}\label{c2eq30}\|S_2(T)z_0\|^2_{{\cal H}_2}=\|w\|^2+\|\xi^t\|^2_{{\cal M}_2}\leqslant N_1, \end{equation} $

其中$\sigma=\min\{\frac{1}{4}, \ 2-\frac{(n-4)\gamma}{2}\}$.

证  方程(3.14)的两边与$A^{1+\sigma}w$在$H$中作内积得到

(3.16) $ \begin{eqnarray}\label{c2eq24} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|\xi\|^2_{{\cal M}_{2+\sigma}}) +\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{3+\sigma}{2}}w\|^2-\langle \eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_{2+\sigma}}\\ &=&-\langle f(u)-f_0(v), A^{1+\sigma}w \rangle+\langle g, A^{1+\sigma}w \rangle \\ &=&\langle f(u)-f(v), A^{1+\sigma}w \rangle-\langle f_1(v), A^{1+\sigma}w \rangle+\langle g, A^{1+\sigma}w \rangle. \end{eqnarray} $

利用(2.6)式, Hölder不等式和嵌入(2.1),可得

(3.17) $ \begin{eqnarray}\label{c2eq25} \langle f(u)-f(v), A^{1+\sigma}w \rangle &\leqslant&\int_{\Omega}|f'(v+\theta(u-v))||A^{\frac{1}{2}}w||A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|{\rm d}x \\ &\leqslant &C\int_{\Omega}(1+|u|^{p}+|v|^{p})|A^{\frac{1}{2}}w||A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|{\rm d}x \\ &\leqslant &C\left(\int_{\Omega}(1+|u|^{p}+|v|^{p})^{\frac{n}{2}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{n}} \left(\int_{\Omega}|A^{\frac{1}{2}}w|^{\frac{2n}{n-2(1+\sigma)}}{\rm d}x\right)^{\frac{n-2(1+\sigma)}{2n}}\\&&\times\left(\int_{\Omega}|A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}{\rm d}x \right)^{\frac{n-2(1-\sigma)}{2n}} \\ &\leqslant &C(1+\|u\|_{L^{\frac{np}{2}}}^{p}+\|v\|_{L^{\frac{np}{2}}}^{p}) \|A^{\frac{1}{2}}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(1+\sigma)}}}\|A^{\frac{1}{2}+\sigma}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}}\\ &\leqslant &C(1+\|Au\|^p+\|Av\|^p)\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2, \end{eqnarray}$

其中$\theta\in[0, 1]$依赖于$t$.这里使用了嵌入$H_2=D(A)\hookrightarrow L^{\frac{np}{2}}$, $H_{1+\sigma}=D(A^{\frac{1+\sigma}{2}})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2(1+\sigma)}}$和$H_{1-\sigma}=D(A^{\frac{1+\sigma}{2}})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}$.

由(3.11)式可得

(3.18) $ \begin{eqnarray}\label{c2eq26} \langle f_1(v), A^{1+\sigma}w \rangle &\leqslant&\int_{\Omega}|f'_1(v)||A^{\frac{1}{2}}v||A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|{\rm d}x\\ &\leqslant &C\int_{\Omega}(1+|v|^{\gamma})|A^{\frac{1}{2}}v||A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|{\rm d}x\\ &\leqslant &C\left(\int_{\Omega}(1+|v|^{\gamma})^{\frac{n}{2-\sigma}}{\rm d}x\right)^{\frac{2-\sigma}{n}} \left(\int_{\Omega}|A^{\frac{1}{2}}v|^{\frac{2n}{n-2}}{\rm d}x\right)^{\frac{n-2}{2n}} \\ &&\times\left(\int_{\Omega}|A^{\frac{1}{2}+\sigma}w|^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}{\rm d}x \right)^{\frac{n-2(1-\sigma)}{2n}} \\ &\leqslant &C(1+\|v\|^{\gamma}_{L^{\frac{n\gamma}{2-\sigma}}})\|A^{\frac{1}{2}}v\|_{L^{\frac{2n}{n-2}}} \|A^{\frac{1}{2}+\sigma}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}} \\ &\leqslant &C(1+\|v\|^{\gamma}_{L^{\frac{2n}{n-4}}})\|A^{\frac{1}{2}}v\|_{L^{\frac{2n}{n-2}}} \|A^{\frac{1}{2}+\sigma}w\|_{L^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}} \\ &\leqslant &C(1+\|Av\|^{\gamma})\|Av\|\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\| , \end{eqnarray}$

这里用到了$\sigma\leqslant 2-\frac{(n-4)\gamma}{2}$和$\frac{n\gamma}{2-\sigma}\leqslant \frac{2n}{n-4}$,嵌入$H_2\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-4}}$和$H_{1-\sigma}= D(A^{\frac{1-\sigma}{2}})\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2(1-\sigma)}}$.

又因为$0 <\sigma <\frac{1}{4} <1$,因而有

(3.19) $\begin{equation}\label{c2eq27} \langle g, A^{1+\sigma}w \rangle \leqslant C\|g\|\|A^{\frac{3+\sigma}{2}}w\|\leqslant C\|g(t)\|^2+\frac{1}{2}\|A^{\frac{3+\sigma}{2}}w\|^2. \end{equation} $

由引理2.1可知

(3.20) $ \begin{equation}\label{c2eq28} \langle\eta^t, T\eta^t\rangle_{{\cal M}_{2+\sigma}}\leqslant \frac{\delta}{2}\|\eta^t\|^2_{{\cal M}_{2+\sigma}}. \end{equation} $

再由引理3.2和引理3.3并利用(3.16)-(3.20)式,可以推出

(3.21) $ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|A^{\frac{1+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|\xi\|^2_{{\cal M}_2}) +\|A^{\frac{3+\sigma}{2}}w\|^2 \\ &\leqslant &C(1+\|A^{\frac{1+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|\xi\|^2_{{\cal M}_2}+\|g\|^2), \end{eqnarray} $

其中$C$只依赖于$\delta$和$\|z_0\|_{{\cal H}_2}$.

注意到$\|z_2(0)\|_{{\cal H}_{2+\sigma}}=0, $因而由Gronwall引理可得

(3.22) $\begin{eqnarray}\|A^{\frac{1+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|\xi\|^2_{{\cal M}_2}\leqslant (1+\|g\|^2)e^{Ct}.\end{eqnarray}$

显然

$\|z_2(t)\|^2_{{\cal H}_{2+\sigma}}\leqslant \|A^{\frac{1+\sigma}{2}}w\|^2+\|A^{\frac{2+\sigma}{2}}w\|^2+\|\xi\|^2_{{\cal M}_{2+\sigma}}, $

由此可得

$\|z_2(t)\|^2_{{\cal H}_{2+\sigma}}\leqslant (1+\|g\|^2)e^{Ct}.$

从而有$\|S_2(T)z_0\|^2_{{\cal H}_{2+\sigma}}\leqslant N_1, $其中$N_1=N_1(T, g, \delta, \|z_0\|_{{\cal H}_2})$.这样就完成了引理的证明.

下面证明半群$S(t)$是渐近紧的.因为对所有的$r>s$,虽然嵌入$H_r\hookrightarrow H_s$是紧的,但是在过去历史框架下嵌入${\cal M}_r\hookrightarrow{\cal M}_s$有可能不是紧的(具体的反例可以参考文献[2]).对空间${\cal M}_s$,我们利用紧性引理2.2来证明半群$S(t)$的渐近紧性.为此,需要一些引理.

设$B_0$是引理3.2中得到的有界吸收集,则有下面的引理.

引理3.5  令${\cal K}_T^{\epsilon}:=\Pi S_2(T)B_0.$在引理3.4的假设下,对每一个给定的$T>0$和任意的$\epsilon>0$,存在一个正常数$N_2$使得

(ⅰ) ${\cal K}_T^{\epsilon}$在${\cal M}_{2+\sigma}\cap H^1_{\mu}(\mathbb{R}^+;H_2)$中有界;

(ⅱ) $\displaystyle\sup_{\xi\in{\cal K}_T^{\epsilon}}\|\xi(s)\|_{H_2}\leqslant N_2$.

其中$\sigma=\min\{\frac{1}{4}, $$2-\frac{(n-4)\gamma}{2}\}$, $S_2(t)$是问题(3.14)的解算子, $\Pi:H_2\times{\cal M}_{2}\rightarrow {\cal M}_{2}$是一个投影算子.

证  由显示表达(2.3)式可知

(3.23) $\begin{equation}\label{c2eq0}\xi^t(x, s)=\left\{\begin{array}{ll} \int_0^sw(t-y){\rm d}y, & 0 <s\leqslant t, \\ \xi_0(s-t)+\int_0^tw(t-y){\rm d}y, \quad&s>t.\end{array}\right.\end{equation}$

因为$\xi^0(x, s)=0$,从而(3.23)式可写成

(3.24) $\begin{equation}\label{c2eq29}\xi^t(x, s)=\left\{\begin{array}{ll} \int_0^sw(t-y){\rm d}y, \quad&0 <s\leqslant t, \\ \int_0^tw(t-y){\rm d}y, &s>t.\end{array}\right.\end{equation}$

对(3.24)式关于$s$求导,可得

(3.25) $\begin{equation}\partial_s\xi^t(x, s)=\left\{\begin{array}{ll}w(t-s), \quad& 0 <s\leqslant t, \\0, &s>t.\end{array}\right.\end{equation}$

再由引理3.4可以证得(ⅰ)成立.

(3.26) $\begin{equation}\|\xi^t(x, s)\|_{H_2}\leqslant \left\{\begin{array}{ll} \int_0^s\|w(T-y)\|_{H_2}{\rm d}y\leqslant\int_0^T\|w(T-y)\|_{H_2}{\rm d}y, \quad&0 <s\leqslant T, \\ \int_0^T\|w(T-y)\|_{H_2}{\rm d}y, &s>T.\end{array}\right.\end{equation}$

由(3.15)式易得(ⅱ)成立.引理证明完毕.

从而由引理2.2可知, ${\cal K}_T^{\epsilon}$在${\cal M}_2$中是相对紧的.再次利用紧嵌入$H_{2+\sigma}\hookrightarrow H_2\ (\sigma>0)$可以得到下面的引理.

引理3.6  令$S_2(t)$是(3.14)式的解算子.在引理3.4的假设下,对任意的$T>0$和$\epsilon>0$, $S_2(T)B_0$在${\cal H}_2$中是相对紧的.

根据吸引子的经典理论(参考文献[23-25]),从引理3.3和引理3.6可以得到本章的主要结果.

定理3.2 (整体吸引子)  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$是(2.4)-(2.5)式的解半群.在引理3.4的假设下,则$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal H}_2$中具有一个整体吸引子${\cal A}_0$,即${\cal A}_0$在${\cal H}_2$中是紧的,不变的且在${\cal H}_2$范数下吸收${\cal H}_2$中的每一个有界集.