本文研究如下具广义非线性源的波动方程的初边值问题

(1.1) $\begin{eqnarray} &u_{tt}-\Delta u=f(u), \ (x, t)\in \Omega\times(0, \infty), \label{1. 1a} \end{eqnarray} $

(1.2) $\begin{eqnarray} &u(x, t)=0, \ x\in\partial\Omega, \ t\ge0, \label{1. 2a} \end{eqnarray} $

(1.3) $\begin{eqnarray} &u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ x\in\Omega\label{1. 3a} \end{eqnarray} $

的解的有限时间爆破行为,其中$\Omega\subset {\Bbb R}^n(n\ge 1)$是一个具有光滑边界$\partial \Omega$的有界域,非线性源$f(u)$满足

${\rm (H)} \left\{\begin{array}{ll} {\rm (i)}~~~ f\in C^1\ \mbox{且}\ f(0)=f'(0)=0. \\ {\rm (ii)}~~~ f(u)\ \mbox{是单调的,且当}\ u>0\ \mbox{是凸函数}, \ \mbox{当}\ u <0\ \mbox{是凹函数}. \\ {\rm (iii)}~~~ (p+1)F(u)\le u f(u), \mbox{其中}\ 1 <p <\infty\ \mbox{若}\ n=1, 2;\\ \;\;\;\; 1 <p\le \frac{n+2}{n-2}\ \mbox{若}\ n\ge3;\ F(u)=\int_0^u f(s) {\rm d} s. \end{array}\right.$

显然方程(1.1)是数学物理领域一类基本重要的非线性偏微分方程,可分别用来描述来自于声学、电磁学和流体力学领域的声波、光波和水波.由于本文是文献[6-7]的进一步研究,故本文简要介绍一下相关的研究背景以便快速地在位势井框架下研究该问题,而针对该问题的相关背景及研究成果请参考文献[1-9]及引用它们的文献.鉴于初始能量$E(0)$与位势井深$d$的关系,我们可分三种情况考虑问题(1.1)-(1.3),亦次临界能级$E(0) <d$,临界能级$E(0)=d$和超临界能级$E(0)>d$.其中, Liu和Zhao^[6]通过引入一族位势井给出了问题(1.1)-(1.3)次临界能级解的整体存在与有限时间爆破行为,同时讨论了临界能级整体解的存在性.之后临界能级解的有限时间爆破行为被文献[7]证明.此后文献[8]补充研究了该问题次临界能级解的长时间行为.然而该基本问题的超临界能级情形一直没有任何结果.对于存在阻尼的情况,文献[9-13]在不同能级下研究了相关问题解的动力学行为.本文借鉴文献[9]研究具线性弱阻尼的非线性波动方程超临界能级爆破的方法试图解决问题(1.1)-(1.3)超临界能级解有限时间爆破的问题,同时将文献[9]对初值的要求由$\|\nabla u_0\|_2^2 - \int_{\Omega}u_0 f(u_0) {\rm d}x < 0$放宽到$\|\nabla u_0\|_2^2 - \int_{\Omega}u_0 f(u_0) {\rm d}x <\|u_1\|_2^2$.

在本文中, $L^{p}(\Omega)$表示定义在$\Omega$上的$p$次可积函数空间并装备以下范数

$\|u\|=\|u\|_{L^2(\Omega)}, \ \|u\|_{p}=\|u\|_{L^{p}(\Omega)}, \ 2\le p <\infty$

和内积$(u, v)=\int_{\Omega}uv{\rm d}x.$

下面,我们给出问题(1.1)-(1.3)弱解的定义.

定义1.1 (弱解)   若存在函数

$u\in C^0\left([0, T_0], H_0^1(\Omega)\right)\cap C^1\left([0, T_0], L^2(\Omega)\right) \cap C^2\left([0, T_0], H^{-1}(\Omega)\right), $

$u_t\in L^2\left([0, T_0], L^2(\Omega)\right) $使得$u(0)=u_0$, $u_t(0)=u_1$且

(1.4) $\begin{equation} \langle u_{tt}(t), v \rangle + \int_\Omega \nabla u(t)\nabla v {\rm d}x = \int_\Omega f(u)v {\rm d}x, \ {\rm a. e.} \ t\in[0, T_0], \ v\in H_0^1(\Omega), \end{equation}$

$\langle \cdot, \cdot\rangle$表示$H^{-1}(\Omega)$和$H_0^1(\Omega)$上的对偶对,则称$u (x, t)$为问题(1.1)-(1.3)在$[0, T_0]$上的弱解.

利用文献[6]和[9]的方法我们给出如下的局部解的存在性定理.

定理1.1 (局部解)  设$u_0(x)\in H_0^1(\Omega)$, $u_1(x)\in L^2(\Omega)$.则问题(1.1)-(1.3)在最大存在区间$[0, T_0]$上存在唯一一个局部解

$ u(x, t)\in C\left([0, T_0], H_0^1(\Omega)\right), \ u_t(x, t)\in L^2\left([0, T_0], L^2(\Omega)\right). $

若$ \mathop {\sup }\limits_{t \in [0,{T_0}]} \|u(x, t)\| <\infty, $则$T_0=\infty$.且

(1.5) $\begin{equation}\label{new2. 1b}E(t)=E(0), \end{equation}$

其中

(1.6) $\begin{equation}\label{2. 1b}E(t)=\frac{1}{2}\|u_t\|^2 + \frac{1}{2}\|\nabla u\|^2-\int_{\Omega}F(u) {\rm d}x.\end{equation}$

我们通过引入一个单调递增且正定的辅助泛函给出问题(1.1)-(1.3)的超临界能级解的有限时间爆破.

引理2.1 (正定且单调递增的辅助函数)  令$u_0(x)\in H_0^1(\Omega)$, $u_1(x)\in L^2(\Omega)$.若

(2.1) $\begin{equation}\label{2. 2b}E(0)>d\end{equation}$

且

(2.2) $\begin{equation}\label{2. 4b}\|u_1\|^2 + \frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0) - 2( u_0, u_1 ) \le 0, \end{equation}$

这里$C$是来自Poincaré不等式

(2.3) $\begin{equation}\label{P1}\|\nabla u\|^2\ge C\|u\|^2\end{equation}$

的常数,则$\left\{t\mapsto \|u(t)\|^2\right\}$是正定且严格单调递增的映射只要

(2.4) $\begin{equation}\label{newadd1}\|\nabla u\|^2-\int_{\Omega}u f(u) {\rm d}x < \|u_t\|^2.\end{equation}$

证  令

(2.5) $\begin{equation}{\label{2. 5b}}F(t)=\|u(t)\|^2, \end{equation}$

则

(2.6) $\begin{equation}\label{2. 6b}F'(t)=2(u, u_t)\end{equation}$

且

(2.7) $\begin{equation}\label{2. 7b}F''(t)=2\langle u_{tt}, u\rangle+2\|u_t\|^2.\end{equation}$

用$u$检验方程(1.1)有

$\langle u_{tt}, u\rangle+\|\nabla u\|^2=(f(u), u), \ \ t\in[0, T_0].$

将其代入(2.7)式可得

(2.8) $\begin{equation}\label{2. 8b}F''(t) = 2\|u_t\|^2 - 2 \|\nabla u\|^2 + 2\int_{\Omega}u f(u) {\rm d}x.\end{equation}$

再由(2.4)式可知$F''(t)>0, \ t\in[0, T_0], $亦

(2.9) $\begin{equation}\label{add2. 8b}F'(t)>F'(0), \ t\in[0, T_0].\end{equation}$

同时由(2.1)与(2.2)式可得

(2.10) $\begin{equation}\label{newadd2. 8b}F'(0)= 2( u_0, u_1) \ge \|u_1\|^2 + \frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0)>\frac{2(p+1)}{C(p-1)}d>0.\end{equation}$

故结合(2.9)和(2.10)式可知$\left\{t\mapsto \|u(t)\|^2\right\}$是严格单调递增的,再结合Schwarz不等式和(2.2)式,有

$ F(t)>\|u_0\|^2\ge -\|u_1\|^2 + 2(u_0, u_1)\ge\frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0)> \frac{2(p+1)}{C(p-1)}d>0, t\in(0, T_0]. $

故我们证明了辅助函数$F(t)$在区间$t\in[0, T_0]$是严格单调递增且正定的.

引理2.2 (守恒不等式)  令$u_0(x)\in H_0^1(\Omega)$, $u_1(x)\in L^2(\Omega)$.若(2.1)和(2.2)式成立且

(2.11) $\begin{equation}\label{add2}\|\nabla u_0\|^2-\int_{\Omega}u_0 f(u_0) {\rm d}x <\|u_1\|^2, \end{equation}$

则解$u(x, t), t\in[0, T_0]$满足(2.4)式.

证  我们采用反证法证明(2.4)式对于$t\in[0, T_0]$成立.假设$t_0\in(0, T_0)$是第一个使得

(2.12) $ \begin{equation}\label{B2.9b}\|\nabla u(t_0)\|^2-\int_{\Omega}u(t_0) f(u(t_0)) {\rm d}x = \|u_t(t_0)\|^2\end{equation} $

成立的时间点且

$\begin{eqnarray*}\|\nabla u\|^2-\int_{\Omega}u f(u) {\rm d}x < \|u_t\|^2, \ t\in[0, t_0).\end{eqnarray*}$

回顾引理2.1,可知$F(t)$在区间$[0, t_0]$是严格单调递增的且

$F(t)>\|u_0\|^2\ge -\|u_1\|^2 + 2(u_0, u_1)\ge\frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0), \ t\in(0, t_0).$

再结合$\|u(t)\|^2$关于时间的连续性,可知

(2.13) $\begin{equation}\label{2.10b}F(t_0)>\frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0).\end{equation}$

另一方面,由(1.5)和(1.6)式,假设(H)及(2.12)式可得

(2.14) $\begin{eqnarray}\label{GB1}E(0)&= &E(t_0) \\&= &\frac{1}{2}\|u_t(t_0)\|^2 + \frac{1}{2}\|\nabla u(t_0)\|^2-\int_{\Omega}F(u(t_0)) {\rm d}x \\&\ge& \frac{1}{2}\|u_t(t_0)\|^2 + \frac{1}{2}\|\nabla u(t_0)\|^2-\frac{1}{p+1}\int_{\Omega} u(t_0) f(u(t_0)) {\rm d}x \\&= &\frac{p+3}{2(p+1)}\|u_t(t_0)\|^2 + \frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u(t_0)\|^2 \\&>&\frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u(t_0)\|^2, \end{eqnarray}$

并结合Poincaré不等式(2.3)有

(2.15) $\begin{equation}\label{new2.10b}F(t_0)=\|u(t_0)\|^2\le \frac{1}{C}\|\nabla u(t_0)\|^2 <\frac{2(p+1)}{C(p-1)}E(0).\end{equation}$

显然(2.15)式与(2.13)式矛盾.证毕.

现在我们给出问题(1.1)-(1.3)的超临界能级解的有限时间爆破结果.

定理2.1 (有限时间爆破)  令$u_0(x)\in H_0^1(\Omega)$, $u_1(x)\in L^2(\Omega)$.假设(2.1), (2.2)和(2.11)式成立,则问题(1.1)-(1.3)的解在有限时间内爆破.

证  令$u(t)$是问题(1.1)-(1.3)满足(2.1), (2.2)及(2.11)式的解.往证此解$u(t)$在有限时间内爆破.采用反证法,假设该解$u(x, t)$是整体存在的.对于任意的$T_0>0$,我们定义$F(t)$满足(2.5)式.则由引理2.2和引理2.1可知

(2.16) $ \begin{equation}\label{3. 2c}F(t)> \frac{2(p+1)}{C(p-1)} E(0) > \frac{2(p+1)}{C(p-1)}d = \rho>0, \ \ \ t\in[0, T_0].\end{equation} $

同时,利用Schwarz不等式并结合(2.6)式,我们有

(2.17) $\begin{equation}\label{3. 3c}F'(t)^2=4(u, u_t)^2\le 4 \|u\|^2 \|u_t\|^2= 4 F(t) \|u_t\|^2.\end{equation}$

再结合(2.8)式可知

(2.18) $\begin{eqnarray}\label{add1}F''(t)F(t)-\frac{p+3}{4}F'(t)^2&\ge& F(t)\left(F''(t)-\left(p+3\right)\|u_t\|^2\right) \\&\ge& F(t)\left(2\|u_t\|^2-2\|\nabla u\|^2+2\int_{\Omega}u f(u) {\rm d}x-\left(p+3\right)\|u_t\|^2\right).\end{eqnarray}$

令

(2.19) $\begin{equation}\label{3. 4c}\xi(t):=2\|u_t\|^2-2\|\nabla u\|^2+2\int_{\Omega}u f(u) {\rm d}x-\left(p+3\right)\|u_t\|^2.\end{equation}$

则由(1.5), (1.6)式和条件(H)可知

(2.20) $\begin{eqnarray}\label{add3. 4c}E(0)=E(t)&= &\frac{1}{2}\|u_t(t)\|^2 + \frac{1}{2}\|\nabla u(t)\|^2-\int_{\Omega}F(u(t)) {\rm d}x \\&\ge& \frac{1}{2}\|u_t(t)\|^2 + \frac{1}{2}\|\nabla u(t)\|^2-\frac{1}{p+1}\int_{\Omega} u(t) f(u(t)) {\rm d}x.\end{eqnarray}$

将(2.20)式代入(2.19)式可得$\xi(t)\ge (p-1)\|\nabla u\|^2 - 2(p+1) E(0).$此时,结合Poincaré不等式(2.3)、引理2.1及Schwarz不等式与(2.2)式,可得

(2.21) $\begin{eqnarray}\label{3. 8c}\xi(t)&\ge& (p-1)\|\nabla u\|^2 - 2(p+1) E(0) \\&\ge& (p-1)C\|u\|^2 - 2(p+1) E(0) \\&>& (p-1)C\|u_0\|^2 - 2(p+1) E(0) \\&\ge& (p-1)C\left(-\|u_1\|^2 + 2(u_0, u_1)\right) - 2(p+1) E(0) \\&:=& \sigma>0, \ t\in[0, T_0].\end{eqnarray}$

故由(2.18)-(2.21)式和(2.16)式,可知

(2.22) $\begin{equation}\label{add3. 8c}F''(t)F(t)-\frac{p+3}{4}F'(t)^2> \rho\sigma>0, \ t\in[0, T_0].\end{equation}$

将$y(t)=F(t)^{-\frac{p-1}{4}}$代入(2.22)式,有

$y''(t) < -\frac{p-1}{4}\rho\sigma y(t)^{\frac{p+7}{p-1}}, \ t\in[0, T_0].$

简单计算可得

$\lim\limits_{t\to T_*} y(t) =0.$

其中$T_*$和$T_0$的选取无关且$T_* <T_0$,故

$\lim\limits_{t\to T_*} F(t)=+\infty.$

证毕.

(ⅰ)目前对于问题(1.1)-(1.3)的超临界能级解的整体存在性,仍是一个公开问题.

(ⅱ)具此类非线性项的非线性拟抛物方程$u_{t}-\Delta u=f(u)$初边值问题的解在超临界能级的存在性与有限时间爆破依然是个公开问题.