本文中,我们考虑了如下带有衰退记忆和超临界非线性项的非经典扩散方程解的渐近性态

其中$\lambda$为正常数,外力项$g(x)\inH^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,并且非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足如下条件

及

其中$\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta_i$ ($i=1, 2$)和$c_1$均为正常数.

设

根据(1.2)-(1.3)式,可知存在正常数$\tilde{\alpha}_i, \tilde{\beta}_i, \tilde{\gamma}_i, \tilde{\delta}_i$ ($i=1, 2$),使得

且

具有衰退记忆的非经典扩散方程(1.1)源于流体力学,固体力学和传导介质为黏性材料的热传导理论,可参见文献[1-2, 16, 23-24]及相关文献.通过方程中函数$\Delta u(\cdot)$和记忆核$k(\cdot)$的线性卷积项,对应于(1.1)式的动力系统的能量耗散被衰退记忆所影响.因此,能量的传播不仅受到现时外力的影响,而且还受到历史外力的影响,并且能量耗散的速度要比通常的非经典扩散方程(不包含衰退记忆项)更快.

类似于文献[8],设$k(\cdot)\in C^2(\mathbb{R} ^+)$, $k(s)\geqslant 0$, $k(0)=k_0>0$, $k(\infty)=0$, $k^\prime(s)\leqslant 0$, $\forall s\in \mathbb{R}^+$.进一步,设$\mu(s)=-k^\prime(s)$且$\mu(s)$满足

其中$\delta$为正常数,根据(1.8)式,可知

这里蕴含着核$\mu(s)$沿指数速度衰退于零.

近二十年来,许多学者致力于研究动力系统吸引子理论,参见文献[6, 9, 11-13, 15, 22].关于通常的非经典扩散方程(不包含衰退记忆)的解在有界域中的渐近性态更是成为研究热点问题,见文献[3-4, 14, 20-21, 26-27].当非线性项满足次临界增长且外力项属于$L^2(\Omega)$时,作者在文献[26]中证明了全局吸引子在$H_0^1(\Omega)$中的存在性.当非线性项满足临界增长,对于自治情形当外力项仅属于$H^{-1}(\Omega)$时,作者在文献[21]中获得了全局吸引子的存在性;对于非自治情形,当外力项仅属于$L_b^2(\mathbb{R} ;L^2(\Omega))$时作者在文献[21]中还获得了一致吸引子和指数吸引子的存在性.基于以上这些结果,当非线性项满足临界指数增长时,我们研究了另一种模型,即带有衰退记忆的非经典扩散方程,在弱拓扑空间和强拓扑空间对应的有界域中分别讨论了解的动力学行为.对于自治情形,当外力项仅属于$H^{-1}(\Omega)$或$L^2(\Omega)$时,我们在文献[23]中获得了全局吸引子的存在性和正则性;对于非自治情形,当外力项仅属于$g(x, t)\in L_b^2(\mathbb{R} ;~L^2(\Omega))$或$g(x, t)\in L_b^2(\mathbb{R} ;~H_0^1(\Omega))$时,我们在文献[24-25]中得到了紧的一致吸引子及其结构和正则性结果.

值得注意的是以上结果均在非线性项满足临界增长或次临界增长时获得,当非线性项满足超临界增长时吸引子是否存在则成为一个值得探讨的新问题.正如我们所知,超临界非线性项在解半群的紧性验证中将会导致一些本质性困难.关于带有超临界非线性项的通常的非经典扩散方程(没有衰退记忆),文献[27]中,作者在无界域中当外力项属于$H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$时讨论了此问题,并且得到了全局吸引子在$H^1(\mathbb{R} ^n)$中的存在性.受此结果启发,我们将在无界域中考虑带有衰退记忆和超临界非线性项的问题(1.1).在研究中我们发现衰退记忆,超临界非线性项和无界域将会带来一些无法回避的本质性研究困难.首先,因为Sobolov嵌入在无界域中非紧,使得紧性验证变得更加困难;其次,经典反应扩散方程不包含$-\nu\Delta u_t$项.这意味着经典问题具有某种光滑性,即尽管初值属于弱拓扑空间,解可以属于具有更高正则性的强拓扑空间.然而对于非经典问题,因为包含$-\nu\Delta u_t$项,当初值属于弱拓扑空间时,解仅属于弱拓扑空间,因而导致不能运用紧嵌入定理验证解半群(过程)的渐近紧性;其三,非紧的记忆空间$L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; H^1(\mathbb{R} ^n))$也会给紧性验证带来困难,主要表现在不能使用试验函数$(I-P_m)u$验证解半群的紧性;最后,超临界非线性项在解半群的紧性验证中会带来本质性障碍.总之,由于衰退记忆和超临界非线性项在无界域中验证验证解半群的性质(紧性,渐近紧性,连续性)会变得更加困难.

运用半群理论和收缩函数方法,我们克服了由衰退记忆,超临界非线性项和无界域导致的本质性研究困难.最终我们证明了本文的主要结果,即$H^1(\mathbb{R} ^n)\times L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;~H^1(\mathbb{R} ^n))$中全局吸引子的存在性(定理).

为了叙述方便,在下文中$C$ (或者$C_i$)均表示正常数.

本文结构如下:在第二节,我们引入一些符号和函数空间,给出将要用到的预备结果;在第三节,证明了主要结果,即$H^1(\mathbb{R} ^n)\times L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;~ H^1(\mathbb{R} ^n))$中全局吸引子的存在性.

在本节中,我们将回顾一些符号,函数空间和预备结果.

如同文献[8],设

则

令$\mu (s)=-k^{\prime }(s)$,则根据假设$k(\infty)=0$,可得如下问题

并且相应的初值条件为

其中$u(\cdot)$满足:存在正常数$\mathcal R$和$\varrho=\min\{\frac{\delta}{2}, \frac{\lambda_1}{2}\}$,使得

其中$\lambda_1$为$-\Delta$的第一特征值, $\|\cdot\|$表示$L^2(\mathbb{R} ^n)$范数.易知问题(2.3)-(2.4)等价于问题(1.1).

我们将使用Pata和Squassina^[17]中的一些符号.设

对于$s\in\mathbb{R}$,带着标准内积的Hilbert空间族$D(A^{\frac{s}{2}})$

及范数

这里$\langle\cdot, ~\cdot\rangle$和$\|\cdot\|$分别表示$L^2(\mathbb{R} ^n)$的内积与范数.

对于$0\leqslant s <3$,设

则${\cal H}_0=L^2(\mathbb{R} ^n)$, ${\cal H}_1=H^1(\mathbb{R} ^n)$且${\cal H}_2= H^2(\mathbb{R} ^n)$.

设$L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_r)$为函数$\varphi:~\mathbb{R} ^+\rightarrow {\cal H}_r$, $0 < r <3$构成的Hilbert空间族,赋予内积

及范数

下面我们引入Hilbert空间族

赋予范数

为了方便估计,我们需要以下预备结果(参见文献[5, 7, 18]).

引理2.1  设$I=[0, T]$, $\forall~ T>0$.设记忆核函数$\mu(s)$满足(1.7)-(1.8)式,则对于任意的$\eta^t\in C(I;L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_r))$, $0 <r <3$,存在常数$\delta>0$,使得

我们还需要以下结果来证明解半群的渐近紧性和全局吸引子的存在性,并且此结果借助和运用了Sun, Cao和Duan^[19]的思想和方法.

定义2.1^[19]  设$X$为Banach空间, $B$为$X$中的有界集.称函数$\phi(\cdot, \cdot)$定义于$X\times X$为$B\times B$上的收缩函数,如果对于任意序列$\{x_m\}_{m=1}^{\infty}\subset B$,存在子列$\{x_{m_k}\}_{k=1}^{\infty} \subset \{x_m\}_{m=1}^{\infty}$,使得

并且, ${\mathfrak C}(B)$表示$B\times B$上的收缩函数集合.

引理2.2^[19]  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为作用于Banach空间$(X, \, \|\cdot\|)$上的半群,并且半群$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$拥有有界吸收集$B_0$.进一步,如果对于任意的$\varepsilon>0$,存在$T=T(B_0, \varepsilon)$和$\phi_{T}(\cdot, \cdot)\in {\mathfrak C}(B_0)$,使得

其中$\phi_{T}$依赖于$T$.则$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在$X$中渐近紧,即,对于任意的有界序列$\{y_m\}_{m=1}^{\infty}\subset X$及$\{t_m\}$,当$m\to \infty$, $t_m \to \infty$时, $\{S(t_m)y_m\}_{m=1}^{\infty}$在$X$中相对紧.

引理2.3^[6]  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为Banach空间$X$上的连续半群.如果$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在$X$中渐近紧,则它在$X$中拥有全局吸引子.

首先,我们给出具有衰退记忆的动力系统(2.3)-(2.4)解的定义.

定义3.1  设$I=[0, T]$, $\forall T>0$.设$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且$z_0\in{\cal E}_1$.称二元组$z=(u, \eta^t)$带着初值$z(0)=z_0$满足

为问题(2.3)-(2.4)在区间$I$上的一个弱解,如果

对于所有的$\omega\in {\cal H}_1$, $\varphi\in L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;{\cal H}_1)$和几乎处处的$t\in I$.

运用Galerkin逼近方法(参见文献[5, 18]),我们可以得到方程(2.3)-(2.4)的解在${\cal E}_1$中的存在唯一性结果.

定理3.1 (存在唯一性)  若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\inH^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则对于任意给定的$z_0\in {\cal E}_1$及任意的$T>0$,方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中存在唯一解$z=(u, \eta^t)$,并且满足

进一步,解在${\cal E}_1$中连续依赖于初值$z_0=(u_0, \eta^0)$.

根据定理3.1,可定义解算子

且

显然, $\{S(t)\}_{t\geqslant0}$可构成半群.在下文中,用$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$表示方程(2.3)-(2.4)对应的解半群.

首先我们将证明方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中有界吸收集的存在性.

定理3.2  若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则存在正常数$\varrho_0$,使得对于任意有界子集$B\subset {\cal E}_1$且$z_0\in B$,有

成立.

证  将(2.3)式乘以$u$并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

根据$u(x, t)=\eta_t^{t}(x, s)+\eta_s^t(x, s)$,可知

在$\mathbb{R} ^n$上关于$x$分部积分,可得

运用引理2.1,得

同时根据(1.2)-(1.4)式,有

则将上述估计代入(3.3)式,得到

定义

令$\alpha=\min\{2(\lambda-\beta_1), \frac{1}{\nu}, \delta\}$,可以得到

根据Gronwall引理,有

由于(3.9)式,可知存在常数$C_1$, $C_2$,使得

设$\|z(0)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant R_0$,当$t\geqslant t_0=\frac{1}{\alpha}\ln\frac{\alpha C_2R_0}{\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}}$时,可得

故

成立.证毕.

为了得到全局吸引子的存在性,我们还需要证明以下预备结果.

引理3.1  设B为${\cal E}_1$中的任意有界子集,并且$z(t)$为方程(2.3)-(2.4)在${\mathcalE}_1$中带着初值$z_0\in B$的解.若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,存则在常数$N_0>0$,对于任意的$t\geqslant t_0$,使得

且

证  关于(3.8)式在$[t, t+1]$上积分并且利用(3.12)式,可得

故(3.13)-(3.15)式成立.证毕.

引理3.2  若引理3.1的假设成立,则存在常数$N_1>0$及时刻$t_1\geqslant t_0$,使得对于任意的$z_0\in B$及$t\geqslant t_1$,以下估计

成立.

证  选取$u_t$作为试验函数,可得

易知

且

根据(3.12)式并且运用Poincaré表达式,可得

利用假设(1.5)-(1.6),有

根据(1.4)-(1.6)式,可以得到

且

令

则, ${\cal M}(t)$非负.将其代入(3.18)式,可得

它蕴含着

因此,根据(3.13)-(3.15)式和引理3.1,可得

进一步,根据一致Gronwall引理及(3.22)-(3.23)式,可得

和

因此,我们得到

即

成立.证毕.

为了叙述简便,在下文中设$B_0$为${\cal E}_1$中的有界吸收集(由定理3.2和引理3.2)而得),即

引理3.3  设$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n))$中的有界吸收集,并且$z(t)$为方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中带着初值$z_0\in B_0$的解.若$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$, (1.7)-(1.8)式成立且非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足(1.2)-(1.4)式.则存在正常数$N_2$,使得对于任意的$z_0\in B_0$及任意给定的$T\geqslant t_2\geqslant t_1$,以下估计

成立.

证  对于任意给定的$T\geqslant t_2$,将(3.22)式关于$t$从$0$到$T$积分,得到

利用(1.5)-(1.6)式,可得

显然(3.27)式成立.证毕.

引理3.4  设$\beta=\min\{\lambda, \frac{1}{\nu}, \delta\}$且$l=\frac{32c_1}{{C}_1\beta}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)})$.若引理3.3的假设成立,则对于任意的$z_0\in B_0$及$\epsilon>0$,存在$\tilde{k}(\epsilon)$和$\tilde{T}(\epsilon)$,使得当$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)$及$t\geqslant\tilde{T}(\epsilon)$时,有

成立.

证  选取光滑函数

显然

且存在正常数$c$,使得$|\theta^{\prime}(s)|\leqslant c$.

将(2.3)式乘以$\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u$并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

下面我们将估计等式(3.32)左侧第二项至第五项.

首先

进一步,根据定理3.2和条件$|\theta^{\prime}(s)|\leqslant c$,对于$t\geqslant t_0$,有

它蕴含着

其中$\tilde{C}=\frac{4\sqrt{2}c}{\lambda_1}\varrho_0^2$且独立于$k$.

其次,我们来估计等式(3.32)左侧第三项,可得

由于

可得

联合(3.35)与(3.38)式,可知对于任意的$\epsilon>0$,若

则对于$k\geqslant\tilde{k}_1(\epsilon)$,可得

然后,易知等式(3.32)左侧第四项满足

最后,我们发现等式(3.32)左侧第五项满足

进一步,可知

同时,根据引理2.1及$u(x, t)=\eta_t^{t}(x, s)+\eta_s^t(x, s)$,可知

易知(3.42)和(3.43)式蕴含着

故对于任意的$\epsilon>0$,若$k\geqslant\tilde{k}_2(\epsilon)=\max\{\frac{\lambda_1\tilde{C}l}{\epsilon}, \frac{8\sqrt{2}ck_0}{\lambda}, \tilde{k}_1(\epsilon)\}$,则

下面我们将估计等式(3.32)的右侧各项.由于$a\in L^1(\mathbb{R} ^n)$,则存在$\tilde{k}_3(\epsilon)\geqslant\tilde{k}_2(\epsilon)$,对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_3(\epsilon)$,使得

利用(1.2)-(1.4)式,可得

由于$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则存在$\tilde{k}_4(\epsilon)\geqslant\tilde{k}_3(\epsilon)$,使得对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_4(\epsilon)$,有

令

则对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_5(\epsilon)$及$|x|\geqslant k$,可以得到

因此,联合(3.32)-(3.49)式,可得

令

并且$\beta=\min\{\lambda, \frac{1}{\nu}, \delta\}$,则

运用Gronwall引理,可得

其中$t\geqslant \tilde{T}(\epsilon)=t_2+\frac{1}{\beta }\ln\frac{\beta C\varrho^2_0 l}{\epsilon}$,且$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)=\max\{\tilde{k}_5(\epsilon), \frac{2\sqrt{2}c\nu\beta N_2l}{\epsilon}\}$,且$t_2, \varrho_0$为引理3.3和定理3.3中给定常数.

这意味着

进一步

其中$t\geqslant \tilde{T}(\epsilon)=t_2+\frac{1}{\beta}\ln\frac{\beta C_2\varrho^2_0 l}{\epsilon}$,且$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)$.证毕.

为了利用收缩函数方法来证明(2.3)-(2.4)式对应系统全局吸引子的存在性,我们还需证明以下结果.

引理3.5  设$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n))$中的有界吸收集,并且$z_m(t)=(u_m(t), \eta_m^t(s))$为(2.3)-(2.4)式在${\mathcalE}_1$中满足初值条件$z_{m}^0\in B_0 (m=1, 2, \cdots)$的解.设$k>0$并且$B_k=\{x \in \mathbb{R} ^n : |x| < \sqrt{2}k\}$.若(1.7)-(1.8)式成立, $g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且非线性项$f(x, u)$满足(1.2)-(1.4)式,对于任意给定的$k>0$及$T\geqslant t_2$,则在$L^2(0, T;L^2(B_k))$中存在$\{u_m(t)\}$的收敛子列.

证  对于任意序列$\{z_{m}^{0}\}\subset B_0$,需证明存在子列$\{z_{m_k}^{0}\}_{k=1}^\infty\subset\{z_m^{0}\}_{m=1}^\infty$使得

其中$u_{m_l}(t)=\Pi_1 S(t)z^{0}_{m_l}$, $\Pi_1: ~H^1(\mathbb{R} ^n)\timesL_{\mu}^2({\Bbb R}^+;H^1(\mathbb{R} ^n)\to H^1(\mathbb{R} ^n)$为投影算子.

下面仅需证明

首先,关于(3.8)式在$[0, T]$上积分并且利用(3.12)式,可知

因此${\cal U}$在$L^2([0, T]; H^1(\mathbb{R} ^n))\cap L^p([0, T];L^p(\mathbb{R} ^n))$中有界.显然, ${\cal U}$在$L^2([0, T]; H^1(B_k))\cap L^p([0, T];L^p(B_k))$中亦有界.

然后,根据引理3.3,可得$\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{1}(\mathbb{R} ^n))$中有界.易知$\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{1}(B_k))$中有界,即, $\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{-1}(B_k))$中亦有界.

故${\cal U}$在$L^2([0, T]; L^2(B_k))$中相对紧.证毕.

定理3.3  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为方程(2.3)-(2.4)在能量空间${\cal E}_1$中的解半群.若非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足条件(1.2)-(1.4), $g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且(1.7)-(1.8)式成立,则$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中渐近紧.

证  设$z_1=(u_1, \eta_1^t)$和$z_2=(u_2, \eta_2^t)$为方程(2.3)-(2.4)的两个解,分别满足初值条件$z_{1}^0=(u_{1}^0, \eta_{1}^0)$和$z_{2}^0=(u_{2}^0, \eta_{2}^0)$,并且$z_{1}^0$和$z_{2}^0$属于半群$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中的有界吸收集$B_0$.令$w=u_1-u_2$, $\xi^t=\eta_1^t-\eta_2^t$.则,利用(2.3)式,有

将(3.58)式乘以$w(t)$,并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

令

则

利用(1.2)与(1.4)式,可得

及

根据引理2.1,可以得到

因此

其中$C_\delta=\min\{\frac{2}{\nu}, \delta, 2\lambda\}$.

由于(3.11)式,故存在常数${C}_1, {C}_2$,使得

将(3.64)式乘以${\rm e}^{C_\delta t}$并且从$0$到$T$积分,有

则对于任意的$\epsilon>0$,存在$\bar{T}(\epsilon)=\max\{\tilde{T}(\epsilon), \frac{1}{C_\delta}\ln{\frac{4C_2\varrho^2_0}{C_1\epsilon}}\}$及$\tilde{k}(\epsilon)$(这里$\tilde{T}(\epsilon), \tilde{k}(\epsilon)$为引理3.4中的给定常数),使得对于任意的$T\geqslant \bar{T}(\epsilon)$及$k\geqslant\tilde{k}(\epsilon)$,有

另一方面,根据引理3.4,可得

故

对应于引理2.2,设

根据引理3.5,可知$w(t)$在$L^2([0, T];L^2(B_k))$中相对紧.则$\phi_T(z_1, z_2)$为$B_0\times B_0$中的收缩函数,其中$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n)$中的有界吸收集.

根据引理2.2,易知$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中相对紧,证毕.

根据引理2.3,定理3.2,引理3.2和定理3.3,可得

定理3.4  若引理3.8的假设成立,则解半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在${\cal E}_1$中拥有全局吸引子${\cal A}_0$,并且按照${\cal E}_1$ -范数吸引着${\cal E}_1$中的每一个有界集.

注3.1  在文献[27]中,作者在复杂抽象的推导过程中应用渐近先验估计技术证明了吸引子在$H^1(\mathbb{R} ^n)$中的存在性,但是该结果仅仅是我们结果的一个特例.