本文中,我们考虑了如下带有衰退记忆和超临界非线性项的非经典扩散方程解的渐近性态

(1.1) $\begin{equation}\label{1.1}\left\{\begin{array}{ll} u_{t}-\nu\Delta u_t-\Delta u+\lambda u-\int_0^\infty{k(s)\Delta u(t-s){\rm d}s}+f(x, u)=g(x), ~(x, t)\in \mathbb{R} ^n \times \mathbb{R} ^+, \\[2mm]u(x, t)=u_{0}(x, t), ~(x, t)\in\mathbb{R} ^n\times(-\infty, 0], \end{array}\right.\end{equation}$

其中$\lambda$为正常数,外力项$g(x)\inH^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,并且非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足如下条件

(1.2) $\begin{eqnarray}\label{1.2}&\alpha_1|u|^p-\beta_1|u|^2\leqslant f_1(u)u\leqslant \gamma_1|u|^p+\delta_1|u|^2, ~p\geqslant 2, \\ &f_1(u)u\geqslant0, f_1^\prime(u)\geqslant -c_1, ~\mbox{且}~\beta_1 <\lambda;\end{eqnarray}$

(1.3) $\begin{equation}\label{1.3} \alpha_2|u|^p-\beta_2\leqslant f_2(u)u \leqslant \gamma_2|u|^p+\delta_2, p\geqslant 2, ~\mbox{且}~ f_2^\prime(u)\geqslant -c_1;\end{equation}$

及

(1.4) $\begin{equation}\label{1.4} a\in L^1(\mathbb{R} ^n)\cap L^\infty(\mathbb{R} ^n), ~a(x)>0, \end{equation}$

其中$\alpha_i, \beta_i, \gamma_i, \delta_i$ ($i=1, 2$)和$c_1$均为正常数.

设

$F_1(u)=\int_0^u{f_1(s){\rm d}s}, ~~ F_2(u)=\int_0^u{f_2(s){\rm d}s}.$

根据(1.2)-(1.3)式,可知存在正常数$\tilde{\alpha}_i, \tilde{\beta}_i, \tilde{\gamma}_i, \tilde{\delta}_i$ ($i=1, 2$),使得

(1.5) $\begin{equation}\label{1.5} \tilde{\alpha}_1|u|^p-\tilde{\beta}_1|u|^2\leqslant F_1(u)\leqslant \tilde{\gamma}_1|u|^p+\tilde{\delta}_1|u|^2, \end{equation}$

且

(1.6) $\begin{equation}\label{1.6} \tilde{\alpha}_2|u|^p-\tilde{\beta}_2\leqslant F_2(u) \leqslant \tilde{\gamma}_2|u|^p+\tilde{\delta}_2.\end{equation}$

具有衰退记忆的非经典扩散方程(1.1)源于流体力学,固体力学和传导介质为黏性材料的热传导理论,可参见文献[1-2, 16, 23-24]及相关文献.通过方程中函数$\Delta u(\cdot)$和记忆核$k(\cdot)$的线性卷积项,对应于(1.1)式的动力系统的能量耗散被衰退记忆所影响.因此,能量的传播不仅受到现时外力的影响,而且还受到历史外力的影响,并且能量耗散的速度要比通常的非经典扩散方程(不包含衰退记忆项)更快.

类似于文献[8],设$k(\cdot)\in C^2(\mathbb{R} ^+)$, $k(s)\geqslant 0$, $k(0)=k_0>0$, $k(\infty)=0$, $k^\prime(s)\leqslant 0$, $ \forall s\in \mathbb{R}^+$.进一步,设$\mu(s)=-k^\prime(s)$且$\mu(s)$满足

(1.7) $\begin{eqnarray}\label{1.7}& \mu\in C^1(\mathbb{R} ^+)\cap L^1(\mathbb{R} ^+), ~~ \mu(s)\geqslant 0, ~~\mu^{\prime }(s)\leqslant 0, ~~\forall s\in \mathbb{R} ^+; \end{eqnarray}$

(1.8) $\begin{eqnarray} \label{1.8} &\mu^\prime(s)+\delta\mu(s)\leqslant 0, ~~\forall s\geqslant 0, \end{eqnarray}$

其中$\delta$为正常数,根据(1.8)式,可知

(1.9) $ \begin{equation}\label{1.9} 0\leqslant \mu(s)\leqslant \mu(0){\rm e}^{-\delta s}, \end{equation}$

这里蕴含着核$\mu(s)$沿指数速度衰退于零.

近二十年来,许多学者致力于研究动力系统吸引子理论,参见文献[6, 9, 11-13, 15, 22].关于通常的非经典扩散方程(不包含衰退记忆)的解在有界域中的渐近性态更是成为研究热点问题,见文献[3-4, 14, 20-21, 26-27].当非线性项满足次临界增长且外力项属于$L^2(\Omega)$时,作者在文献[26]中证明了全局吸引子在$H_0^1(\Omega)$中的存在性.当非线性项满足临界增长,对于自治情形当外力项仅属于$H^{-1}(\Omega)$时,作者在文献[21]中获得了全局吸引子的存在性;对于非自治情形,当外力项仅属于$L_b^2(\mathbb{R} ;L^2(\Omega))$时作者在文献[21]中还获得了一致吸引子和指数吸引子的存在性.基于以上这些结果,当非线性项满足临界指数增长时,我们研究了另一种模型,即带有衰退记忆的非经典扩散方程,在弱拓扑空间和强拓扑空间对应的有界域中分别讨论了解的动力学行为.对于自治情形,当外力项仅属于$H^{-1}(\Omega)$或$L^2(\Omega)$时,我们在文献[23]中获得了全局吸引子的存在性和正则性;对于非自治情形,当外力项仅属于$g(x, t)\in L_b^2(\mathbb{R} ;~L^2(\Omega))$或$g(x, t)\in L_b^2(\mathbb{R} ;~H_0^1(\Omega))$时,我们在文献[24-25]中得到了紧的一致吸引子及其结构和正则性结果.

值得注意的是以上结果均在非线性项满足临界增长或次临界增长时获得,当非线性项满足超临界增长时吸引子是否存在则成为一个值得探讨的新问题.正如我们所知,超临界非线性项在解半群的紧性验证中将会导致一些本质性困难.关于带有超临界非线性项的通常的非经典扩散方程(没有衰退记忆),文献[27]中,作者在无界域中当外力项属于$H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$时讨论了此问题,并且得到了全局吸引子在$H^1(\mathbb{R} ^n)$中的存在性.受此结果启发,我们将在无界域中考虑带有衰退记忆和超临界非线性项的问题(1.1).在研究中我们发现衰退记忆,超临界非线性项和无界域将会带来一些无法回避的本质性研究困难.首先,因为Sobolov嵌入在无界域中非紧,使得紧性验证变得更加困难;其次,经典反应扩散方程不包含$-\nu\Delta u_t$项.这意味着经典问题具有某种光滑性,即尽管初值属于弱拓扑空间,解可以属于具有更高正则性的强拓扑空间.然而对于非经典问题,因为包含$-\nu\Delta u_t$项,当初值属于弱拓扑空间时,解仅属于弱拓扑空间,因而导致不能运用紧嵌入定理验证解半群(过程)的渐近紧性;其三,非紧的记忆空间$L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; H^1(\mathbb{R} ^n))$也会给紧性验证带来困难,主要表现在不能使用试验函数$(I-P_m)u$验证解半群的紧性;最后,超临界非线性项在解半群的紧性验证中会带来本质性障碍.总之,由于衰退记忆和超临界非线性项在无界域中验证验证解半群的性质(紧性,渐近紧性,连续性)会变得更加困难.

运用半群理论和收缩函数方法,我们克服了由衰退记忆,超临界非线性项和无界域导致的本质性研究困难.最终我们证明了本文的主要结果,即$H^1(\mathbb{R} ^n)\times L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;~H^1(\mathbb{R} ^n))$中全局吸引子的存在性(定理).

为了叙述方便,在下文中$C$ (或者$C_i$)均表示正常数.

本文结构如下:在第二节,我们引入一些符号和函数空间,给出将要用到的预备结果;在第三节,证明了主要结果,即$H^1(\mathbb{R} ^n)\times L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;~ H^1(\mathbb{R} ^n))$中全局吸引子的存在性.

在本节中,我们将回顾一些符号,函数空间和预备结果.

如同文献[8],设

(2.1) $\begin{equation}\label{2.1}\eta^{t}(x, s)=\int_0^s{u(x, t-r){\rm d}r}, ~ s\geqslant0, \end{equation}$

则

(2.2) $\begin{equation}\label{2.2}\partial_t\eta^{t}(x, s)=u(x, t)-\partial_s\eta^{t}(x, s), ~ s\geqslant0.\end{equation}$

令$\mu (s)=-k^{\prime }(s)$,则根据假设$k(\infty)=0$,可得如下问题

(2.3) $\begin{equation}\label{2.3}\left\{\begin{array}{ll} u_{t}-\nu\Delta u_t-\Delta u+\lambda u-\int_0^\infty{\mu (s)\Delta\eta ^{t}(s){\rm d}s}+f_1(u)+a(x)f_2(u)=g(x), \\[2mm]\eta _t^t=-\eta _s^t+u, \end{array}\right.\end{equation}$

并且相应的初值条件为

(2.4) $\begin{equation}\label{2.4}\left\{\begin{array}{ll}u(x, t)=u_0(x, t), &(x, t)\in \mathbb{R} ^n\times(-\infty, 0] , \\ \eta ^0(x, s)=\eta _0(x, s)=\int_0^s{u(x, -r){\rm d}r}, &(x, s)\in \mathbb{R} ^n\times \mathbb{R} ^+, \end{array}\right.\end{equation}$

其中$u(\cdot)$满足:存在正常数$\mathcal R$和$\varrho=\min\{\frac{\delta}{2}, \frac{\lambda_1}{2}\}$,使得

$ \int_0^\infty{{\rm e}^{-\varrho s}\| \nabla u(-s)\|^2{\rm d}s}\leqslant{\cal R}, $

其中$\lambda_1$为$-\Delta$的第一特征值, $\|\cdot\|$表示$L^2(\mathbb{R} ^n)$范数.易知问题(2.3)-(2.4)等价于问题(1.1).

我们将使用Pata和Squassina^[17]中的一些符号.设

$A=-\Delta, ~~\mbox{其域}~~D(A)= H^2(\mathbb{R} ^n).$

对于$s\in\mathbb{R} $,带着标准内积的Hilbert空间族$D(A^{\frac{s}{2}})$

$\langle \cdot, ~\cdot\rangle_{D(A^{\frac{s}{2}})}=\langleA^{\frac{s}{2}}\cdot, A^{\frac{s}{2}}\cdot\rangle$

及范数

$\|\cdot\|_{D(A^{\frac{s}{2}})}=\|A^{\frac{s}{2}}\cdot\|, $

这里$\langle\cdot, ~\cdot\rangle$和$\|\cdot\|$分别表示$L^2(\mathbb{R} ^n)$的内积与范数.

对于$0\leqslant s <3$,设

${\cal H}_s=D(A^{\frac{s}{2}}), ~\mbox{范数}~\|\cdot\|_{{\cal H}_s}=\|\cdot\|_{D(A^{\frac{s}{2}})}, $

则${\cal H}_0=L^2(\mathbb{R} ^n)$, ${\cal H}_1=H^1(\mathbb{R} ^n)$且${\cal H}_2= H^2(\mathbb{R} ^n)$.

设$L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_r)$为函数$\varphi:~\mathbb{R} ^+\rightarrow {\cal H}_r$, $0 < r <3$构成的Hilbert空间族,赋予内积

$\langle \varphi_1, \varphi_2\rangle_{\mu, {\mathcalH}_r}=\int_0^\infty{\mu(s)\langle \varphi_1(s), \varphi_2(s)\rangle_{{\cal H}_r}{\rm d}s}$

及范数

$\|\varphi\|_{\mu, {\cal H}_r}^2=\int_0^\infty{\mu(s)\|\varphi(s)\|_{{\cal H}_r}^2{\rm d}s}.$

下面我们引入Hilbert空间族

${\cal E}_r={\cal H}_{r}\times L_\mu ^2(\mathbb{R} ^+; {\mathcalH}_r), $

赋予范数

$\| z\| _{{\cal E}_r}^2=\| (u, \eta^t )\| _{{\cal E}_r}^2=\frac{1}{2}(\| u\|_{{\cal H}_{r}} ^2+\| \eta ^t\| _{\mu, {\cal H}_r}^2).$

为了方便估计,我们需要以下预备结果(参见文献[5, 7, 18]).

引理2.1  设$I=[0, T]$, $\forall~ T>0$.设记忆核函数$\mu(s)$满足(1.7)-(1.8)式,则对于任意的$\eta^t\in C(I;L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_r))$, $0 <r <3$,存在常数$\delta>0$,使得

(2.5) $\begin{eqnarray}\label{2.5}\langle \eta^t, \eta_s^t\rangle_{\mu, {\mathcalH}_r}\geqslant\frac{\delta}{2}\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_r}^2.\end{eqnarray}$

我们还需要以下结果来证明解半群的渐近紧性和全局吸引子的存在性,并且此结果借助和运用了Sun, Cao和Duan^[19]的思想和方法.

定义2.1^[19]  设$X$为Banach空间, $B$为$X$中的有界集.称函数$\phi(\cdot, \cdot)$定义于$X\times X$为$B\times B$上的收缩函数,如果对于任意序列$\{x_m\}_{m=1}^{\infty}\subset B$,存在子列$\{x_{m_k}\}_{k=1}^{\infty} \subset \{x_m\}_{m=1}^{\infty}$,使得

$\lim\limits_{k\to \infty}\lim\limits_{l\to \infty}\phi(x_{m_k}, \, x_{m_l})=0.$

并且, ${\mathfrak C}(B)$表示$B\times B$上的收缩函数集合.

引理2.2^[19]  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为作用于Banach空间$(X, \, \|\cdot\|)$上的半群,并且半群$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$拥有有界吸收集$B_0$.进一步,如果对于任意的$\varepsilon>0$,存在$T=T(B_0, \varepsilon)$和$\phi_{T}(\cdot, \cdot)\in {\mathfrak C}(B_0)$,使得

(2.6) $\begin{equation}\label{2.6}\|S(T)x-S(T)y\|\leqslant \varepsilon + \phi_{T}(x, \, y), \quad\forall x, y\in B_0, \end{equation}$

其中$\phi_{T}$依赖于$T$.则$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在$X$中渐近紧,即,对于任意的有界序列$\{y_m\}_{m=1}^{\infty}\subset X$及$\{t_m\}$,当$m\to \infty$, $t_m \to \infty$时, $\{S(t_m)y_m\}_{m=1}^{\infty}$在$X$中相对紧.

引理2.3^[6]  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为Banach空间$X$上的连续半群.如果$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在$X$中渐近紧,则它在$X$中拥有全局吸引子.

首先,我们给出具有衰退记忆的动力系统(2.3)-(2.4)解的定义.

定义3.1  设$I=[0, T]$, $\forall T>0$.设$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且$z_0\in{\cal E}_1$.称二元组$z=(u, \eta^t)$带着初值$z(0)=z_0$满足

$\begin{eqnarray}&&u\in C(I; {\cal H}_1)\capL^p(I; L^p(\mathbb{R} ^n)), \\&&u_t\in L^2(I; {\cal H}_1), \\&&\eta^t\in C(I; L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_1)), \\&&\eta_t^t+\eta_s^t\in L^\infty(I; L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_0))\capL^2(I; L_\mu^2(\mathbb{R} ^+; {\cal H}_1)), \end{eqnarray}$

为问题(2.3)-(2.4)在区间$I$上的一个弱解,如果

(3.1) $\begin{eqnarray}\label{3.1}&&\langle u_t, \omega\rangle+\nu\langle u_t, \omega\rangle_{{\cal H}_1}+\langle u, \omega\rangle_{{\cal H}_1}+\lambda\langle u, \omega\rangle+\langle\eta^t, \omega\rangle_{\mu, {\cal H}_1}+\langle f_1(u), \omega\rangle+\langle a(x)f_2(u), \omega\rangle=\langle g, \omega\rangle, \\&&\langle \eta_t^t+\eta_s^t, \varphi\rangle_{\mu, {\cal H}_1}=\langle u, \varphi\rangle_{\mu, {\cal H}_1}, \end{eqnarray}$

对于所有的$\omega\in {\cal H}_1$, $\varphi\in L_\mu^2(\mathbb{R} ^+;{\cal H}_1)$和几乎处处的$ t\in I$.

运用Galerkin逼近方法(参见文献[5, 18]),我们可以得到方程(2.3)-(2.4)的解在${\cal E}_1$中的存在唯一性结果.

定理3.1 (存在唯一性)  若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\inH^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则对于任意给定的$z_0\in {\cal E}_1$及任意的$T>0$,方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中存在唯一解$z=(u, \eta^t)$,并且满足

(3.2) $ \begin{eqnarray}\label{3.2}&&u\in C([0, T]; {\cal H}_1)\cap L^p([0, T];L^p(\mathbb{R} ^n)), \\&&z\in C([0, T]; {\cal E}_1)\cap L^\infty([0, \infty); {\mathcalE}_1).\end{eqnarray} $

进一步,解在${\cal E}_1$中连续依赖于初值$z_0=(u_0, \eta^0)$.

根据定理3.1,可定义解算子

$S(t):~{\cal E}_1\rightarrow{\cal E}_1, $

且

$z_0=(u_0, \eta^0) \rightarrow (u(t), \eta^t)=z(t)=S(t)z_0.$

显然, $\{S(t)\}_{t\geqslant0}$可构成半群.在下文中,用$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$表示方程(2.3)-(2.4)对应的解半群.

首先我们将证明方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中有界吸收集的存在性.

定理3.2  若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则存在正常数$\varrho_0$,使得对于任意有界子集$B\subset {\cal E}_1$且$z_0\in B$,有

$\|S(t)z_0\|_{{\cal E}_1}\leqslant \varrho_0, ~~\mbox{对于所有的}\ t\geqslant t_0=t_0(\| B\|_{{\cal E}_1}) $

成立.

证  将(2.3)式乘以$u$并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

(3.3) $ \begin{eqnarray}\label{3.4}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| u\| ^2+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \nabla u\| ^2+\|\nabla u\|^2+\lambda\| u\|^2-\int_0^\infty {\mu (s)\langle\Delta\eta ^t(s), u(t)\rangle{\rm d}s}\\ &=& -\langle f_1(u), u\rangle-\langle a(x)f_2(u), u\rangle+\langle g(x), u\rangle.\end{eqnarray} $

根据$u(x, t)=\eta_t^{t}(x, s)+\eta_s^t(x, s)$,可知

(3.4) $\begin{eqnarray}\label{3.5}-\int_0^\infty{\mu(s)\langle \Delta\eta^t(x, s), u(t)\rangle {\rm d}s}&=&-\int_0^\infty{\mu(s)\langle\Delta\eta^t(x, s), \eta_t^{t}(x, s)+\eta_s^t(x, s)\rangle {\rm d}s}\\&=&\int_0^\infty{\mu(s)\langle\nabla \eta^t(x, s), \nabla \eta_t^{t}(x, s)+\nabla \eta_s^t(x, s)\rangle {\rm d}s}.\end{eqnarray}$

在$\mathbb{R} ^n$上关于$x$分部积分,可得

(3.5) $\begin{eqnarray}\label{3.6}\int_0^\infty{\mu(s)\langle\nabla \eta^t(x, s), \nabla \eta_t^{t}(x, s)\rangle {\rm d}s}&=&\frac{1}{2}\int_0^\infty{\mu(s)\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla \eta^t(x, s)\|^2{\rm d}s}\\&=&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^\infty{\mu(s)\|\nabla\eta^t(x, s)\|^2{\rm d}s}.\end{eqnarray}$

运用引理2.1,得

(3.6) $\begin{eqnarray}\label{3.7}\int_0^\infty{\mu(s)\langle\nabla \eta^t(x, s), \nabla \eta_s^{t}(x, s)\rangle {\rm d}s}\geqslant\frac{\delta }{2}\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2.\end{eqnarray}$

同时根据(1.2)-(1.4)式,有

(3.7) $\begin{eqnarray}\label{3.8}&& -\langle {f_1(u), u} \rangle-\langle a(x)f_2(u), u \rangle+\langle g(x), u \rangle \\ &\leqslant&\int_{\mathbb{R} ^n}{(\beta_1|u|^2-\alpha_1|u|^p){\rm d}x}+ \int_{\mathbb{R} ^n}{a(x)(\beta_2-\alpha_2|u|^p){\rm d}x}+\int_{\mathbb{R} ^n}{|g||u|{\rm d}x} \\ &\leqslant &\beta_1\|u\|^2-\alpha_1\int_{\mathbb{R} ^n}{|u|^p{\rm d}x}+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}-\alpha_2\int_{\mathbb{R} ^n}{a(x)|u|^p{\rm d}x} \\&& +\frac{1}{2}\|\nabla u\|^2 +\frac{1}{2}\|g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2.\end{eqnarray}$

则将上述估计代入(3.3)式,得到

(3.8) $\begin{eqnarray}\label{3.9}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\| u\|^2+\nu\|\nabla u\|^2+\|\eta^t\|_{\mu, { \mathcalH}_1}^2)+(\lambda-\beta_1)\|u\|^2+\frac{1}{2}\| \nabla u\|^2+\frac{\delta}{2}\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2\\&&+\alpha_1\int_{\mathbb{R} ^n}{|u|^p{\rm d}x}+\alpha_2\int_{\mathbb{R} ^n}{a(x)|u|^p{\rm d}x}\\&\leqslant&\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}.\end{eqnarray}$

定义

(3.9) $\begin{eqnarray}\label{3.10}{\cal L}(t)=\frac{1}{2}(\| u\|^2+\nu\|\nabla u\|^2+\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2).\end{eqnarray}$

令$\alpha=\min\{2(\lambda-\beta_1), \frac{1}{\nu}, \delta\}$,可以得到

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal L}(t)+\alpha {\cal L}(t)\leqslant\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}.$

根据Gronwall引理,有

(3.10) $\begin{equation}\label{3.11}{\cal L}(t) \leqslant {\cal L}(0){\rm e}^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}(\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}).\end{equation}$

由于(3.9)式,可知存在常数$C_1$, $C_2$,使得

(3.11) $\begin{equation}\label{3.12}C_1\|z(t)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant{\cal L}(t)\leqslant C_2\|z(t)\|^2_{{\cal E}_1}.\end{equation}$

设$\|z(0)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant R_0$,当$t\geqslant t_0=\frac{1}{\alpha}\ln\frac{\alpha C_2R_0}{\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}}$时,可得

$ \|z(t)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant \frac{2}{C_1\alpha}\Big (\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}\Big)=\varrho_0^2.$

故

(3.12) $\begin{equation}\label{3.13} \|z(t)\|_{{\cal E}_1}= \Big(\frac{1}{2}(\|u\|_{{\cal H}_1}^2+\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2) \Big)^{\frac{1}{2}} \leqslant \varrho_0 \end{equation}$

成立.证毕.

为了得到全局吸引子的存在性,我们还需要证明以下预备结果.

引理3.1  设B为${\cal E}_1$中的任意有界子集,并且$z(t)$为方程(2.3)-(2.4)在${\mathcalE}_1$中带着初值$z_0\in B$的解.若假设(1.2)-(1.4), (1.7)-(1.8)成立,且$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,存则在常数$N_0>0$,对于任意的$t\geqslant t_0$,使得

(3.13) $\begin{equation}\label{3.14}\int_t^{t+1}{\|\nabla u(s)\|^2{\rm d}s}\leqslant N_0, \end{equation}$

(3.14) $\begin{equation}\label{3.15}\int_t^{t+1}{\|u(s)\|_{L^p(\mathbb{R} ^n)}^p{\rm d}s}\leqslant N_0, \end{equation}$

且

(3.15) $\begin{equation}\label{3.16}\int_t^{t+1}{\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)|u(s)|^p{\rm d}x{\rm d}s}\leqslant N_0.\end{equation}$

证  关于(3.8)式在$[t, t+1]$上积分并且利用(3.12)式,可得

(3.16) $ \begin{eqnarray}\label{3.17}&& (\lambda-\beta_1)\int_t^{t+1}{\|u(s)\|^2{\rm d}s}+\frac{1}{2}\int_t^{t+1}{\|\nabla u(s)\|^2{\rm d}s}+\frac{\delta}{2}\int_t^{t+1}{\|\eta^s(r)\|_{\mu, {\cal H}_1}^2{\rm d}s}\\&&+\alpha_1\int_t^{t+1}{\|u(s)\|_{L^p(\mathbb{R} ^n)}^p{\rm d}s}+\alpha_2\int_t^{t+1}{\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)|u(s)|^p{\rm d}x{\rm d}s}\\&\leqslant&\frac{1}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}+C\varrho^2_0, ~~ t\geqslant t_0, \end{eqnarray} $

故(3.13)-(3.15)式成立.证毕.

引理3.2  若引理3.1的假设成立,则存在常数$N_1>0$及时刻$t_1\geqslant t_0$,使得对于任意的$z_0\in B$及$t\geqslant t_1$,以下估计

(3.17) $\begin{eqnarray}\label{3.18}\|u(t)\|_{L^p(\mathbb{R} ^n)}^p\leqslant N_1\end{eqnarray}$

成立.

证  选取$u_t$作为试验函数,可得

(3.18) $ \begin{eqnarray}\label{3.19}&&\|u_t\|^2+\nu\|\nabla u_t\|^2+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \nabla u\| ^2+\frac{\lambda}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| u\|^2+\langle f_1(u), u_t\rangle+\langle a(x)f_2(u), u_t\rangle\\& =&\int_0^\infty {\mu (s)\langle\Delta\eta ^t(s), u_t\rangle{\rm d}s}+\langle g(x), u_t\rangle.\end{eqnarray} $

易知

(3.19) $\begin{eqnarray}\label{3.20}\int_0^\infty {\mu (s)\langle\Delta\eta ^t(s), u_t\rangle {\rm d}s}&=&-\int_0^\infty {\mu (s)\langle\nabla\eta ^t(s), \nabla u_t\rangle{\rm d}s}\\ &\leqslant& \frac{\nu}{4}\|\nabla u_t\|^2+\frac{1}{\nu}\|\eta^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2\end{eqnarray}$

且

(3.20) $\begin{equation}\label{3.21}\langle g(x), u_t\rangle\leqslant \frac{\nu}{4}\|\nabla u_t\|^2+\frac{1}{\nu}\|g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2.\end{equation}$

根据(3.12)式并且运用Poincaré表达式,可得

$\|u\|^2\leqslant \frac{1}{\lambda_1}\|\nabla u\|^2\leqslant\frac{2}{\lambda_1}\varrho_0^2.$

利用假设(1.5)-(1.6),有

(3.21) $\begin{eqnarray}\label{3.22}&& \langle f_1(u), u_t\rangle+\langle a(x)f_2(u), u_t\rangle\\&=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}{F_1(u){\rm d}x}+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}{a(x)F_2(u){\rm d}x}\\&=&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg(\int_{\mathbb{R} ^n}F_1(u){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}\bigg)+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}{a(x)(F_2(u)+\tilde{\beta}_2){\rm d}x}.\end{eqnarray}$

根据(1.4)-(1.6)式,可以得到

$\int_{\mathbb{R} ^n}F_1(u){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}\geqslant\int_{\mathbb{R} ^n}(F_1(u)+\tilde{\beta}_1|u|^2){\rm d}x\geqslant\int_{\mathbb{R} ^n}\tilde{\alpha}_1|u|^p {\rm d}x \geqslant 0, $

且

$\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)(F_2(u)+\tilde{\beta}_2){\rm d}x\geqslant\int_{\mathbb{R} ^n}\tilde{\alpha}_2a(x)|u|^p {\rm d}x \geqslant 0.$

令

${\cal M}(t)=\frac{\nu}{2}\|\nabla u\|^2+\frac{\lambda}{2}\|u\|^2+\int_{\mathbb{R} ^n} F_1(u){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}+\int_{\mathbb{R} ^n} a(x)(F_2(u){\rm d}x+\tilde{\beta}_2){\rm d}x.$

则, ${\cal M}(t)$非负.将其代入(3.18)式,可得

(3.22) $\begin{equation}\label{3.23}\|u_t\|^2+\frac{\nu}{2}\|\nabla u_t\|^2+\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal M}(t) \leqslant\frac{1}{\nu}(2\varrho^2_0+\|g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2)\leqslant C, \end{equation}$

它蕴含着

(3.23) $\begin{equation}\label{3.24}\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal M}(t)\leqslant C.\end{equation}$

因此,根据(3.13)-(3.15)式和引理3.1,可得

(3.24) $\begin{equation}\label{3.25}\int_t^{t+1}{\cal M}(s){\rm d}s\leqslant C.\end{equation}$

进一步,根据一致Gronwall引理及(3.22)-(3.23)式,可得

${\cal M}(t+1)\leqslant C, ~~ t\geqslant t_0, $

和

(3.25) $\begin{equation}\label{3.26}{\cal M}(t)\leqslant C, ~~ t\geqslant t_1=t_0+1.\end{equation}$

因此,我们得到

(3.26) $\begin{equation}\label{3.27}\int_{\mathbb{R} ^n}\tilde{\alpha}_1|u|^p {\rm d}x\leqslant\int_{\mathbb{R} ^n}F_1(u){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}\leqslant C.\end{equation}$

即

$\int_{\mathbb{R} ^n}|u|^p {\rm d}x\leqslant N_1$

成立.证毕.

为了叙述简便,在下文中设$B_0$为${\cal E}_1$中的有界吸收集(由定理3.2和引理3.2)而得),即

$B_0=\{z|z=(u, \eta^t), z\in{\cal E}_1~\mbox{且} ~u\in L^p(\mathbb{R} ^n), \|z\|_{{\cal E}_1}\leqslant \varrho_0~\mbox{且}~ \|u\|_{L^p(\mathbb{R} ^n)}^p\leqslant N_1 \}.$

引理3.3  设$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n))$中的有界吸收集,并且$z(t)$为方程(2.3)-(2.4)在${\cal E}_1$中带着初值$z_0\in B_0$的解.若$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$, (1.7)-(1.8)式成立且非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足(1.2)-(1.4)式.则存在正常数$N_2$,使得对于任意的$z_0\in B_0$及任意给定的$T\geqslant t_2\geqslant t_1$,以下估计

(3.27) $\begin{equation}\label{3.28}\int_0^T(\|u_t(s)\|^2+\|\nabla u_t(s)\|^2){\rm d}s\leqslant N_2\end{equation}$

成立.

证  对于任意给定的$T\geqslant t_2$,将(3.22)式关于$t$从$0$到$T$积分,得到

(3.28) $\begin{eqnarray}\label{3.29}&&\int_0^T(\|u_t(s)\|^2+\frac{\nu}{2}\|\nabla u_t(s)\|^2){\rm d}s\\&\leqslant& {\cal M}(0)-{\cal M}(T)+CT\\&\leqslant&\frac{\nu}{2}\|\nabla u(0)\|^2+\frac{\lambda}{2}\|u(0)\|^2+\int_{\mathbb{R} ^n} F_1(u(0)){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho_0^2}{\lambda_1}\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n} a(x)(F_2(u(0))+\tilde{\beta}_2){\rm d}x+CT\\&\leqslant&({\nu}+\frac{\lambda}{\lambda_1})\varrho^2_0+CT+\int_{\mathbb{R} ^n} F_1(u(0)){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n} a(x)(F_2(u(0))+\tilde{\beta}_2){\rm d}x.\end{eqnarray} $

利用(1.5)-(1.6)式,可得

(3.29) $\begin{eqnarray}\label{3.30}&&\int_{\mathbb{R} ^n} F_1(u(0)){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}+\int_{\mathbb{R} ^n} a(x)(F_2(u(0))+\tilde{\beta}_2){\rm d}x\\&\leqslant&\int_{\mathbb{R} ^n}(\tilde{\gamma}_1|u(0)|^p+\tilde{\delta}_1|u(0)|^2){\rm d}x+\frac{2\tilde{\beta}_1\varrho^2_0}{\lambda_1}+\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)(\tilde{\gamma}_2|u(0)|^p+\tilde{\delta}_2+\tilde{\beta}_2){\rm d}x\\&\leqslant&(\tilde{\gamma}_1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}\tilde{\gamma}_2)N_1+\frac{2(\tilde{\delta}_1+\tilde{\beta}_1)\varrho^2_0}{\lambda_1}+(\tilde{\delta}_2+\tilde{\beta}_2)\|a\|_{L^{1}(\mathbb{R} ^n)}.\end{eqnarray}$

显然(3.27)式成立.证毕.

引理3.4  设$\beta=\min\{\lambda, \frac{1}{\nu}, \delta\}$且$l=\frac{32c_1}{{C}_1\beta}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)})$.若引理3.3的假设成立,则对于任意的$z_0\in B_0$及$\epsilon>0$,存在$\tilde{k}(\epsilon)$和$\tilde{T}(\epsilon)$,使得当$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)$及$t\geqslant\tilde{T}(\epsilon)$时,有

$\int_{|x|\geqslant\sqrt{2}k}| u(t)|^2{\rm d}x\leqslant \frac{16}{\beta l}\epsilon $

成立.

证  选取光滑函数

(3.30) $\begin{equation}\label{3.31}\theta(s)=\left\{\begin{array}{ll}0, ~~& 0\leqslant s\leqslant 1, \\1, &s\geqslant 2.\end{array}\right.\end{equation}$

显然

(3.31) $\begin{eqnarray}0\leqslant \theta(s)\leqslant 1, ~~ 1\leqslant s \leqslant 2, \end{eqnarray}$

且存在正常数$c$,使得$|\theta^{\prime}(s)|\leqslant c$.

将(2.3)式乘以$\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u$并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

(3.32) $\begin{eqnarray}\label{3.32}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u| ^2{\rm d}x-\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u_t\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n}\lambda u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\Delta \eta^t(x, s)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}s{\rm d}x\\&=&-\int_{\mathbb{R} ^n}f_1(u)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)f_2(u)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}g(x)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}) u{\rm d}x.\end{eqnarray}$

下面我们将估计等式(3.32)左侧第二项至第五项.

首先

(3.33) $\begin{eqnarray}\label{3.33}&&-\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u_t\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x\\&=&\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u_t\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x+\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u_t\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\nabla u{\rm d}x\\&=&\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u_t\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

进一步,根据定理3.2和条件$|\theta^{\prime}(s)|\leqslant c$,对于$t\geqslant t_0$,有

(3.34) $\begin{eqnarray}\label{3.34}&&\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u_t\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x \\&\leqslant&\nu|\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u_t\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x|\\&\leqslant&\nu|\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k}\nabla u_t\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u {\rm d}x|\\&\leqslant&\frac{4\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k} \theta(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t| \cdot|u|{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\bigg(\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}|u|^2{\rm d}x\bigg)\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x+\frac{4\sqrt{2}c\nu}{k\lambda_1}\varrho^2_0, \end{eqnarray}$

它蕴含着

(3.35) $\begin{eqnarray}\label{3.35}&&-\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u_t\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x\\&\geqslant&\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x-\frac{4\sqrt{2}c\nu}{k\lambda_1}\varrho^2_0\\&\geqslant&\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x-\frac{\nu \tilde{C}}{k}, \end{eqnarray}$

其中$\tilde{C}=\frac{4\sqrt{2}c}{\lambda_1}\varrho_0^2$且独立于$k$.

其次,我们来估计等式(3.32)左侧第三项,可得

(3.36) $\begin{eqnarray}\label{3.36}-\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x&=&\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\nabla u{\rm d}x\\&=&\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x.~~\end{eqnarray}$

由于

(3.37) $\begin{eqnarray}\label{3.37}\int_{\mathbb{R} ^n}\nabla u\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x&\leqslant&\bigg|\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k}\nabla u\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u{\rm d}x\bigg|\\&\leqslant&\frac{4\sqrt{2}c}{k}\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k} \theta(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u| \cdot|u|{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}c}{k}\bigg(\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}|u|^2{\rm d}x\bigg)\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{4\sqrt{2}c}{k\lambda_1}\varrho^2_0, ~~\end{eqnarray}$

可得

(3.38) $\begin{eqnarray}\label{3.38}-\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x&\geqslant&\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{4\sqrt{2}c}{k\lambda_1}\varrho^2_0\\&\geqslant&\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{\tilde{C}}{k}.\end{eqnarray}$

联合(3.35)与(3.38)式,可知对于任意的$\epsilon>0$,若

$\tilde{k}_1(\epsilon)=\max\bigg\{\frac{\tilde{C}l}{\epsilon}, \frac{\nu \tilde{C}l}{\epsilon}, 8\sqrt{2}c\bigg\}, $

则对于$k\geqslant\tilde{k}_1(\epsilon)$,可得

(3.39) $\begin{eqnarray}\label{3.39}&&-\nu\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u_t\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x\\&\geqslant&\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x-\frac{\nu C}{k}\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{C}{k}\\&\geqslant&\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x\\&&+\frac{3}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x-\frac{2}{l}\epsilon.\end{eqnarray}$

然后,易知等式(3.32)左侧第四项满足

(3.40) $\begin{eqnarray}\label{3.40}\int_{\mathbb{R} ^n}\lambda u\cdot\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x=\lambda\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

最后,我们发现等式(3.32)左侧第五项满足

(3.41) $\begin{eqnarray}\label{3.41}&&-\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\Delta\eta^t(x, s) \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u(x, t){\rm d}s{\rm d}x\\&=&\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\nabla\eta^t(x, s) \cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u(x, t){\rm d}s{\rm d}x\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\nabla\eta^t(x, s) \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\nabla u(x, t){\rm d}s{\rm d}x.\end{eqnarray}$

进一步,可知

(3.42) $\begin{eqnarray}\label{3.42}&&\bigg|\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\nabla\eta^t(x, s) \cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u(x, t){\rm d}s{\rm d}x\bigg|\\&\leqslant&\frac{4\sqrt{2}c}{k}\int_{k\leqslant|x|\leqslant\sqrt{2}k}\int_0^\infty\mu(s)\nabla\eta^t(x, s) \theta(\frac{|x|^2}{k^2}) u(x, t){\rm d}s{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}ck_0}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}ck_0}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{4\sqrt{2}c\varrho^2_0}{k}\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}ck_0}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{\lambda_1\tilde{C}}{k}.\end{eqnarray}$

同时,根据引理2.1及$u(x, t)=\eta_t^{t}(x, s)+\eta_s^t(x, s)$,可知

(3.43) $\begin{eqnarray}\label{3.43}&&\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\nabla\eta^t(x, s) \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\nabla u{\rm d}s{\rm d}x\\&\geqslant& \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x \\&&+\frac{\delta}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x.\end{eqnarray}$

易知(3.42)和(3.43)式蕴含着

(3.44) $\begin{eqnarray}\label{3.44}&&-\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\Delta\eta^t(x, s) \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u(x, t){\rm d}s{\rm d}x\\&\geqslant& \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x+\frac{\delta}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\\&&-\frac{2\sqrt{2}ck_0}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x-\frac{\lambda_1\tilde{C}}{k}.\end{eqnarray} $

故对于任意的$\epsilon>0$,若$k\geqslant\tilde{k}_2(\epsilon)=\max\{\frac{\lambda_1\tilde{C}l}{\epsilon}, \frac{8\sqrt{2}ck_0}{\lambda}, \tilde{k}_1(\epsilon)\}$,则

(3.45) $\begin{eqnarray}\label{3.45}&&-\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\mu(s)\Delta\eta^t(x, s) \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}s{\rm d}x\\&\geqslant& \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x+\frac{\delta}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\\&&-\frac{\lambda}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x-\frac{1}{l}\epsilon.\end{eqnarray}$

下面我们将估计等式(3.32)的右侧各项.由于$a\in L^1(\mathbb{R} ^n)$,则存在$\tilde{k}_3(\epsilon)\geqslant\tilde{k}_2(\epsilon)$,对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_3(\epsilon)$,使得

(3.46) $\begin{eqnarray}\label{3.46}\int_{|x|\geqslant k}|a(x)|{\rm d}x\leqslant\frac{\epsilon}{l\beta_2}.\end{eqnarray}$

利用(1.2)-(1.4)式,可得

(3.47) $\begin{eqnarray}\label{3.47}&&-\int_{\mathbb{R} ^n}f_1(u)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^N}a(x)f_2(u)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x\\&\leqslant&\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})a(x)(\beta_2-\alpha_2|u|^p){\rm d}x\\&\leqslant&\beta_2\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})a(x){\rm d}x\\&\leqslant&\beta_2\int_{|x|\geqslant k}a(x){\rm d}x\\&\leqslant&\frac{1}{l}\epsilon.\end{eqnarray}$

由于$g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$,则存在$\tilde{k}_4(\epsilon)\geqslant\tilde{k}_3(\epsilon)$,使得对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_4(\epsilon)$,有

(3.48) $ \begin{eqnarray}\label{3.48}\int_{|x|\geqslant k}|A^{-\frac{1}{2}}g|^2{\rm d}x\leqslant\frac{1}{l}\epsilon.\end{eqnarray} $

令

$\tilde{k}_5(\epsilon)=\max\bigg\{\tilde{k}_4(\epsilon), \frac{\lambda}{8\sqrt{2}c}, \frac{2\sqrt{2}cl\|g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2}{\epsilon}\bigg\}, $

则对于任意的$k\geqslant\tilde{k}_5(\epsilon)$及$|x|\geqslant k$,可以得到

(3.49) $\begin{eqnarray}\label{3.49}&&\int_{\mathbb{R} ^n}g(x)\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u{\rm d}x\\&=&\int_{\mathbb{R} ^n}A^{-\frac{1}{2}}g\cdot\nabla(\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})u){\rm d}x\\&=&\int_{\mathbb{R} ^n}A^{-\frac{1}{2}}g(2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}u+\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\nabla u){\rm d}x\\&\leqslant&\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k}|A^{-\frac{1}{2}}g|\cdot2\theta(\frac{|x|^2}{k^2})\theta^\prime(\frac{|x|^2}{k^2})\frac{2|x|}{k^2}|u|{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}|A^{-\frac{1}{2}}g|\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{4\sqrt{2}c}{k}\int_{k\leqslant|x|\leqslant \sqrt{2}k} \theta(\frac{|x|^2}{k^2})|A^{-\frac{1}{2}}g| \cdot|u|{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}|A^{-\frac{1}{2}}g|\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{2\sqrt{2}c}{k}\int_{\mathbb{R} ^n}|A^{-\frac{1}{2}}g|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}|A^{-\frac{1}{2}}g|^2\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2}){\rm d}x\\&&+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{\lambda}{4}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{2\sqrt{2}c}{k}\|g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\int_{|x|\geqslant k}|A^{-\frac{1}{2}}g|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x\\&\leqslant&\frac{\lambda}{4}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|u|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{2}{l}\epsilon.\end{eqnarray}$

因此,联合(3.32)-(3.49)式,可得

(3.50) $\begin{eqnarray}\label{3.50}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u| ^2{\rm d}x+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| \nabla u| ^2{\rm d}x\\&&+\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x+\frac{\lambda}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u| ^2{\rm d}x\\&&+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| \nabla u| ^2{\rm d}x+\frac{\delta}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\\&\leqslant& \frac{6}{l}\epsilon+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

令

$\begin{eqnarray*}{\cal L}_1(t)&=&\frac{1}{2}\bigg(\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u| ^2{\rm d}x+\frac{\nu}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| \nabla u| ^2{\rm d}x\\ &&+\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\bigg), \end{eqnarray*}$

并且$\beta=\min\{\lambda, \frac{1}{\nu}, \delta\}$,则

(3.51) $\begin{eqnarray}\frac{\rm d}{{\rm d}t}{\cal L}_1(t)+\beta {\cal L}_1(t)\leqslant\frac{6}{l}\epsilon+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{\mathbb{R} ^n} \theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t|^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

运用Gronwall引理,可得

(3.52) $\begin{eqnarray}\label{3.52}{\cal L}_1(t)&\leqslant& {\rm e}^{-\beta(t-t_2)}{\cal L}_1(t_2)+\frac{6\epsilon}{\beta l}+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{t_2}^t\int_{\mathbb{R} ^n} {\rm e}^{-\beta(t-s)}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t(s)|^2{\rm d}x{\rm d}s\\&\leqslant &{\rm e}^{-\beta(t-t_2)}{\cal L}(t_2)+\frac{6\epsilon}{\beta l}+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{0}^t\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})|\nabla u_t(s)|^2{\rm d}x{\rm d}s\\&\leqslant &C{\rm e}^{-\beta(t-t_2)}\varrho^2_0+\frac{6\epsilon}{\beta l}+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}\int_{0}^t\int_{\mathbb{R} ^n}|\nabla u_t(s)|^2{\rm d}x{\rm d}s\\&\leqslant &C{\rm e}^{-\beta(t-t_2)}\varrho^2_0+\frac{6\epsilon}{\beta l}+\frac{2\sqrt{2}c\nu}{k}N_2\\&\leqslant& \frac{8\epsilon}{\beta l}, \end{eqnarray}$

其中$t\geqslant \tilde{T}(\epsilon)=t_2+\frac{1}{\beta }\ln\frac{\beta C\varrho^2_0 l}{\epsilon}$,且$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)=\max\{\tilde{k}_5(\epsilon), \frac{2\sqrt{2}c\nu\beta N_2l}{\epsilon}\}$,且$t_2, \varrho_0$为引理3.3和定理3.3中给定常数.

这意味着

(3.53) $\begin{eqnarray}\label{3.53}\frac{1}{2}\int_{|x|\geqslant \sqrt{2}k}| u| ^2{\rm d}x&\leqslant&\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| u| ^2{\rm d}x+\frac{\nu}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})| \nabla u| ^2{\rm d}x\\&&+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R} ^n}\int_0^\infty\theta^2(\frac{|x|^2}{k^2})\mu(s)|\nabla\eta^t(x, s)|^2{\rm d}s{\rm d}x\\&\leqslant &\frac{8\epsilon}{\beta l}.\end{eqnarray}$

进一步

(3.54) $\begin{equation}\label{3.54}\int_{|x|\geqslant \sqrt{2}k}|\ u| ^2{\rm d}x\leqslant \frac{16\epsilon}{\beta l}, \end{equation}$

其中$t\geqslant \tilde{T}(\epsilon)=t_2+\frac{1}{\beta}\ln\frac{\beta C_2\varrho^2_0 l}{\epsilon}$,且$k\geqslant \tilde{k}(\epsilon)$.证毕.

为了利用收缩函数方法来证明(2.3)-(2.4)式对应系统全局吸引子的存在性,我们还需证明以下结果.

引理3.5  设$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n))$中的有界吸收集,并且$z_m(t)=(u_m(t), \eta_m^t(s))$为(2.3)-(2.4)式在${\mathcalE}_1$中满足初值条件$z_{m}^0\in B_0 (m=1, 2, \cdots)$的解.设$k>0$并且$B_k=\{x \in \mathbb{R} ^n : |x| < \sqrt{2}k\}$.若(1.7)-(1.8)式成立, $g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且非线性项$f(x, u)$满足(1.2)-(1.4)式,对于任意给定的$k>0$及$T\geqslant t_2$,则在$L^2(0, T;L^2(B_k))$中存在$\{u_m(t)\}$的收敛子列.

证  对于任意序列$\{z_{m}^{0}\}\subset B_0$,需证明存在子列$\{z_{m_k}^{0}\}_{k=1}^\infty\subset\{z_m^{0}\}_{m=1}^\infty$使得

(3.55) $\begin{equation}\label{3.55}\lim\limits_{l\rightarrow\infty}\lim\limits_{p\rightarrow\infty}\int_0^T{\|u_{m_l}(s)-u_{m_p}(s)\|^2{\rm d}s}=0, \end{equation}$

其中$u_{m_l}(t)=\Pi_1 S(t)z^{0}_{m_l}$, $\Pi_1: ~H^1(\mathbb{R} ^n)\timesL_{\mu}^2({\Bbb R}^+;H^1(\mathbb{R} ^n)\to H^1(\mathbb{R} ^n)$为投影算子.

下面仅需证明

(3.56) $\begin{equation}{\cal U}:=\{u_m(t), t\in[0, T]: u_m(t)=\Pi_1 S(t)z_m^0, z_m^0\in B_0\}~ \mbox{在} ~L^2([0, T]; L^2(B_k))~\mbox{中相对紧}.\end{equation}$

首先,关于(3.8)式在$[0, T]$上积分并且利用(3.12)式,可知

(3.57) $ \begin{eqnarray}\label{3.56}& &(\lambda-\beta_1)\int_0^{T}{\|u(s)\|^2{\rm d}s}+\frac{1}{2}\int_0^{T}{\|\nabla u(s)\|^2{\rm d}s}+\frac{\delta}{2}\int_0^{T}{\|\eta^s(r)\|_{\mu, {\cal H}_1}^2{\rm d}s}\\&&+\alpha_1\int_0^{T}{\|u(s)\|_{L^p(\mathbb{R} ^N)}^p{\rm d}s}+\alpha_2\int_0^{T}{\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)|u(s)|^p{\rm d}x{\rm d}s}\\&\leqslant&\frac{T}{2}\| g\|_{H^{-1}(\mathbb{R} ^n)}^2+\beta_2\|a\|_{L^1(\mathbb{R} ^n)}T+C\varrho^2_0.\end{eqnarray} $

因此${\cal U}$在$L^2([0, T]; H^1(\mathbb{R} ^n))\cap L^p([0, T];L^p(\mathbb{R} ^n))$中有界.显然, ${\cal U}$在$L^2([0, T]; H^1(B_k))\cap L^p([0, T];L^p(B_k))$中亦有界.

然后,根据引理3.3,可得$\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{1}(\mathbb{R} ^n))$中有界.易知$\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{1}(B_k))$中有界,即, $\partial_t {\cal U}$在$L^2([0, T]; H^{-1}(B_k))$中亦有界.

故${\cal U}$在$L^2([0, T]; L^2(B_k))$中相对紧.证毕.

定理3.3  设$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$为方程(2.3)-(2.4)在能量空间${\cal E}_1$中的解半群.若非线性项$f(x, u)=f_1(u)+a(x)f_2(u)$满足条件(1.2)-(1.4), $g\in H^{-1}(\mathbb{R} ^n)$且(1.7)-(1.8)式成立,则$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中渐近紧.

证  设$z_1=(u_1, \eta_1^t)$和$z_2=(u_2, \eta_2^t)$为方程(2.3)-(2.4)的两个解,分别满足初值条件$z_{1}^0=(u_{1}^0, \eta_{1}^0)$和$z_{2}^0=(u_{2}^0, \eta_{2}^0)$,并且$z_{1}^0$和$z_{2}^0$属于半群$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中的有界吸收集$B_0$.令$w=u_1-u_2$, $\xi^t=\eta_1^t-\eta_2^t$.则,利用(2.3)式,有

(3.58) $\begin{equation}\label{3.57}\left\{\begin{array}{ll} w_{t}-\nu\nabla w_t-\Delta w+\lambda w-\int_0^\infty{\mu (s)\Delta \xi ^t(s){\rm d}s}\\ ~~ +f_1(u_1)-f_1(u_2)+a(x)(f_2(u_1)-f_2(u_2))=0 , \\w(0)=u_{1}^0-u_{2}^0, \\\xi^0=\eta_1^0-\eta_2^0, \\w(t)=\xi _t^t+\xi _s^t.\end{array}\right.\end{equation}$

将(3.58)式乘以$w(t)$,并且在$\mathbb{R} ^n$上积分,可得

(3.59) $\begin{eqnarray}\label{3.58}&&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| w\| ^2+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \nabla w\| ^2+\| \nabla w\|^2+\lambda\|w\|^2-\int_0^\infty {\mu (s)\int_{\mathbb{R} ^n}\Delta\xi^t(s)w {\rm d}x{\rm d}s}\\&&+\int_{\mathbb{R} ^n}(f_1(u_1)-f_1(u_2))w{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)(f_2(u_1)-f_2(u_2))w{\rm d}x=0.\end{eqnarray}$

令

$E(t)=\frac{1}{2}(\|w\|^2+\nu\|\nabla w\|^2+\| \xi ^t\| _{\mu , {\cal H}_1}^2).$

则

(3.60) $\begin{eqnarray}\label{3.59}\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)&=&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| w\| ^2+\frac{\nu}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \nabla w\| ^2+\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \xi ^t\| _{\mu , {\cal H}_1}^2\\&=&-\| \nabla w\|^2-\lambda\|w\|^2-\frac{1}{2}\int_0^\infty {\mu (s)\frac{\rm d}{{\rm d}s}|\nabla \xi ^t(s)| ^2{\rm d}s}\\&&-\int_{\mathbb{R} ^n}(f_1(u_1)-f_1(u_2))w{\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)(f_2(u_1)-f_2(u_2))w{\rm d}x.\end{eqnarray}$

利用(1.2)与(1.4)式,可得

(3.61) $ \begin{equation}\label{3.60}-\int_{\mathbb{R} ^n}(f_1(u_1)-f_1(u_2))w {\rm d}x \leqslant c_1\| w\|^2, \end{equation}$

及

(3.62) $\begin{equation}\label{3.61}-\int_{\mathbb{R} ^n}a(x)(f_2(u_1)-f_2(u_2))w {\rm d}x \leqslant c_1\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}\| w\|^2.\end{equation}$

根据引理2.1,可以得到

(3.63) $\begin{equation}\label{3.62}-\frac{1}{2}\int_0^\infty {\mu (s)\frac{\rm d}{{\rm d}s}| \nabla \xi ^t(s)|^2{\rm d}s} \leqslant -\frac{\delta}{2}\|\xi^t\|_{\mu, {\cal H}_1}^2.\end{equation}$

因此

(3.64) $\begin{equation}\label{3.63}\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)+C_\delta E(t)\leqslant c_1(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)})\|w(t)\|^2, \end{equation}$

其中$C_\delta=\min\{\frac{2}{\nu}, \delta, 2\lambda\}$.

由于(3.11)式,故存在常数${C}_1, {C}_2$,使得

${C}_1\|z_1(t)-z_2(t)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant E(t) \leqslant {C}_2\|z_1(t)-z_2(t)\|^2_{{\cal E}_1}.$

将(3.64)式乘以${\rm e}^{C_\delta t}$并且从$0$到$T$积分,有

(3.65) $\begin{equation}\label{3.64}E(T)\leqslant {\rm e}^{-C_\delta T} E(0)+c_1(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}.\end{equation}$

则对于任意的$\epsilon>0$,存在$\bar{T}(\epsilon)=\max\{\tilde{T}(\epsilon), \frac{1}{C_\delta}\ln{\frac{4C_2\varrho^2_0}{C_1\epsilon}}\}$及$\tilde{k}(\epsilon)$(这里$\tilde{T}(\epsilon), \tilde{k}(\epsilon)$为引理3.4中的给定常数),使得对于任意的$T\geqslant \bar{T}(\epsilon)$及$k\geqslant\tilde{k}(\epsilon)$,有

(3.66) $\begin{eqnarray}\label{3.65}&&\|S(T)z_1^0-S(T)z_2^0\|^2_{{\cal E}_1}\\&=&\|z_1(T)-z_2(T)\|^2_{{\cal E}_1}\leqslant \frac{1}{{C}_1}E(T)\\&\leqslant& \frac{1}{{C}_1}{\rm e}^{-C_\delta T} E(0)+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}\\&\leqslant &\frac{{C}_2}{{C}_1}{\rm e}^{-C_\delta T} \|z_1(0)-z_2(0)\|^2_{{\cal E}_1}+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}\\&\leqslant &\frac{{C}_2}{{C}_1}{\rm e}^{-C_\delta T} (\|z_1(0)\|^2_{{\cal E}_1}+\|z_2(0)\|^2_{{\cal E}_1})+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}\\&\leqslant &\frac{2{C}_2}{{C}_1}{\rm e}^{-C_\delta T} \varrho^2_0+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}\\&\leqslant &{\frac{1}{2}\epsilon}+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}.\end{eqnarray} $

另一方面,根据引理3.4,可得

(3.67) $\begin{eqnarray}\label{3.66}&&\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \|w(s)\|^2{\rm d}s}\\&\leqslant& \frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \int_{|x|\geqslant\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}\\&&+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s}\int_{|x| <\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}\\&\leqslant& \frac{2c_1}{{C}_1C_\delta}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)})\frac{16}{\beta l}\epsilon\\&&+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s}\int_{|x| <\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}.%&\leqslant& \frac{1}{2}\epsilon+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\delta T}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s}\int_{|x| <\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}.\end{eqnarray}$

故

(3.68) $\begin{eqnarray}\label{3.67}&&\|S(T)z_1^0-S(T)z_2^0\|^2_{{\cal E}_1}\\&\leqslant &C\varepsilon+\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \int_{|x| <\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}.\end{eqnarray}$

对应于引理2.2,设

(3.69) $\begin{equation}\label{3.68} \phi_T(z_1, z_2)=\frac{c_1}{{C}_1}(1+\|a\|_{L^{\infty}(\mathbb{R} ^n)}){\rm e}^{-C_\deltaT}\int_0^T{{\rm e}^{C_\delta s} \int_{|x| <\sqrt{2}k}|w(x, s)|^2{\rm d}x{\rm d}s}.\end{equation}$

根据引理3.5,可知$w(t)$在$L^2([0, T];L^2(B_k))$中相对紧.则$\phi_T(z_1, z_2)$为$B_0\times B_0$中的收缩函数,其中$B_0$为$({\cal E}_1, L^p(\mathbb{R} ^n)$中的有界吸收集.

根据引理2.2,易知$\{S(t)\}_{t\geqslant 0}$在${\cal E}_1$中相对紧,证毕.

根据引理2.3,定理3.2,引理3.2和定理3.3,可得

定理3.4  若引理3.8的假设成立,则解半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在${\cal E}_1$中拥有全局吸引子${\cal A}_0$,并且按照${\cal E}_1$ -范数吸引着${\cal E}_1$中的每一个有界集.

注3.1  在文献[27]中,作者在复杂抽象的推导过程中应用渐近先验估计技术证明了吸引子在$H^1(\mathbb{R} ^n)$中的存在性,但是该结果仅仅是我们结果的一个特例.