设$X$是自反巴拿赫空间, $X^*$是其对偶空间, $\left\| x \right\|$是$x\in X$的范数, $\left\langle {\phi, x} \right\rangle$是$\phi\in X^*$与$x\in X$的对偶积.设$K\subset X$是非空闭凸子集, $F:K\to 2^{X^*}$是具有非空值的集值映射和$f:K\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是函数.本文将讨论以下广义混合变分不等式:求$x\in K$和$x^*\in F(x)$使得

(1.1) $\begin{equation}\label{eq:mvi}\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle +f(y)-f(x)\ge 0, \quad \forall y\in K.\end{equation}$

上述问题引起了众多学者的广泛关注^[1-6].下面的讨论中, GMVIP(F, f, K)和S$(F, f, K)$分别表示问题(1.1)及其解集.

GMVIP(F, f, K)包括大量其他问题作为其特例:

(ⅰ)如果$f\equiv0$,则(1.1)式退化为以下广义变分不等式GVIP(F, K)^[7-14]:求$x\in K$和$x^*\in F(x)$使得

$\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle\ge 0, \quad \forall y\in K.$

(ⅱ)如果$F$是单值且$f\equiv0$,则(1.1)式退化为经典的变分不等式VIP(F, K)^[15-17]:求$x\in K$使得

$\label{ineq2} \left\langle {F(x)}{y-x} \right\rangle\ge 0, \quad \forall y\in K.$

数学规划中，研究带扰动项的变分不等式的一些性质是重要课题之一^[18-24].特别地,文献[15,推论5.5.12]利用拓扑度为理论工具研究了$X={\Bbb R}^n$和$F$是单值时,强制条件蕴含了扰动变分不等式VIP(F+q, K)有解.

数学规划中，研究带扰动项的变分不等式的一些性质是重要课题之一^[18-24].特别地,文献[15,推论5.5.12]利用拓扑度为理论工具研究了$X={\Bbb R}^n$和$F$是单值时,强制条件蕴含了扰动变分不等式VIP(F+q, K)有解.

目前,扰动变分不等式的稳定性分析被推广到了空间是无限维, $F$是集值的情形. He^[10]在自反巴拿赫空间中,研究了当$F$是伪单调时,映射或约束集扰动的情形下, GVIP(F, K)的稳定性.在文献[9]中, Fan和Zhong推广了文献[10]的结果到映射与约束集同时被扰动的情形. Zhong和Huang^[25]进一步将文献[9-10]的结果推广到含$f$ -伪单调映射的混合变分不等式.最近, Li和He^[12]推广了文献[15]的结果,在一个较弱的强制条件下,讨论了$F$是集值时,扰动广义变分不等式的可解性.随后, Li和Sun^[26]推广了文献[12]的主要结果到无限维空间,还给出了比文献[12,定理1.1]更强的结论.那么,研究广义混合变分不等式的可解性结果是一个自然的问题.

受到文献[12, 26]中研究工作的启发,本文讨论了在自反巴拿赫空间中,映射和集合同时被方向扰动的情形下,广义混合变分不等式的可解性结果.本文改进与推广了文献[12, 26]的结果.值得一提的是集合受方向扰动的情形是首次被讨论,是一个全新的结果.

设$X$, $X^*$和$K$与第一部分的假设相同. "$\rightarrow$"和"$\rightharpoonup$"分别表示强收敛和弱收敛.定义

$barr(K):=\{x^*\in X^*:\mathop {\sup }\limits_{x \in K}\left\langle {x^*}{x} \right\rangle<\infty\}$

为$K$的匣锥. $K$的回收锥是闭凸锥,被定义为

$K_\infty:=\{d\in X:\exists t_n\downarrow 0, \exists x_n\in K, t_nx_n\rightharpoonup d\}.$

众所周知,给定$x_0\in K$,则

$K_\infty=\{d\inX:x_0+\lambda d\in K \mbox{ for all }\lambda>0\}.$

对于$X$中的非空子集$D$, $D^-:=\{x^*\in X^*:\left\langle {x^*}{x} \right\rangle\le0, \forall x\in D\}$和$int(D)$表示$D$的内部.由文献[27,命题3.10],可知

(2.1) $\begin{eqnarray}\label{eq:barr}barr(K)^-=K_\infty.\end{eqnarray}$

对于正整数$m\in\mathbb N$, $K_m:=\{x\in K:\left\| x \right\|\leq m\}, $${\Bbb B}(0, m):=\{x\in X:\left\| x \right\| < m\}$和$\bar{{\Bbb B}}(0, m):=\{x\in X:\left\| x \right\|\leq m\}.$

设$f:K\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数.定义$f$的上境图为

$epi f:=\{(x, \lambda)\in K\times {\Bbb R}: f(x)\leq \lambda\}.$

$epi f$的回收锥是回收函数$f_{\infty}$的上境图,被定义为

$f_{\infty}(d):=\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{f(x_0+t d)-f(x_0)}{t}, $

其中,任意的$x_0\in dom f.$可知,回收函数$f_{\infty}$是真凸下半连续的,即是弱下半连续的.

定义2.1 设$F:K\to 2^{ X^{*}}$是具有非空值的集值映射和$f:K\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数.称$F$

(i)在$K$上单调,如果对于任意的$x, y\in K$及任意的$x^{*}\in F(x)$和$y^{*}\in F(y)$,

$\left\langle {y^*-x^*}{y-x} \right\rangle\ge 0;$

(ⅱ)在$K$上拟单调,如果对于任意的$x, y\in K$及任意的$x^{*}\in F(x)$和$y^{*}\in F(y)$,

$\left\langle {x^{*}, y-x} \right\rangle>0\Rightarrow\langle y^{*}, y-x\rangle\geq0;$

(ⅲ)在$K$上$f$ -拟单调,如果对于任意的$x, y\in K$及任意的$x^{*}\in F(x)$和$y^{*}\in F(y)$,

$\langle x^{*}, y-x\rangle+f(y)-f(x)>0\Rightarrow\langle y^{*}, y-x\rangle+f(y)-f(x)\geq0;$

(ⅳ)在$K$上$f$ -伪单调,如果对于任意的$x, y\in K$及任意的$x^{*}\in F(x)$和$y^{*}\in F(y)$,

$\langle x^{*}, y-x\rangle+f(y)-f(x) \geq0\Rightarrow\langle y^{*}, y-x\rangle+f(y)-f(x)\geq0;$

(ⅴ)在$K$上关于$U\subset X^*$稳定$f$ -拟单调,如果$F$和$F(\cdot)-u$对于所有的$u\in U$是拟单调的;

(ⅵ)在$x_{0}\in K$处上半连续,如果对于$F(x_{0})$的任意邻域$ {\cal N}(F(x_{0}))$,存在$x_{0}$的邻域${\cal N}(x_{0}), $使得

$F(x)\subset{\cal N}(F(x_{0})), \quad \forall\ x\in{\cal N}(x_{0})\cap K;$

(ⅶ)在$K$上沿线节上半连续，如果$F$在$X^*$中关于弱拓扑在$K$中的任意线段上都是上半连续的.

注2.1 (ⅰ)显然地,单调映射必定是拟单调和$f$ -拟单调的;

(ⅱ)如果$f\equiv0, $则$f$ -拟单调退化为拟单调的;

(ⅲ) $f$ -伪单调映射是$f$ -拟单调的,然而$f$ -拟单调映射不一定是$f$ -伪单调的.

以下例子说明了如果$f\neq0, $$f$ -拟单调映射不一定是拟单调.

例2.1 设$X={\Bbb R}=(-\infty, +\infty)$和K=[1, 2].设

$f(x)=x^2, \ \forall x\in K \quad \mbox{和} \quadF(x)\equiv[-2, 2], \ \forall x\in K.$

易知$F(\cdot)$不是拟单调的.然而, $F(\cdot)$在$K$上是$f$ -拟单调.事实上,设$x^*\in F(x)$和$y^*\in F(y), $有

$\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(x^*+y+x)(y-x)>0, $

$x^*\in$[-2, 2]和$x, y\in$[1, 2]蕴含$x^*+y+x>0.$所以$y-x>0.$这样,有

$\left\langle {y^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(y^*+y+x)(y-x)\geq0, $

因为$y^*+y+x\in[0, 6].$因此, $F(\cdot)$是$f$ -拟单调的.

以下例子说明了如果$f\neq0, $拟单调映射不一定是$f$ -拟单调的.

例2.2 设$X={\Bbb R}=(-\infty, +\infty)$和$K=[-2, 2].$设

$f(x)=x^2, \ \forall x\in K \quad \mbox{和}\quadF(x)\equiv[0, 3], \ \forall x\in K.$

易知$F(\cdot)$在$K$上是拟单调的.取$(x, x^*)=(-2, 3)$和$(y, y^*)=(-\frac{1}{2}, 2).$则

$\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(3-\frac{1}{2}-2)(-\frac{1}{2}+2)>0, $

然而

$\left\langle {y^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(2-\frac{1}{2}-2)(-\frac{1}{2}+2)<0.$

因此, $F(\cdot)$不是$f$ -拟单调的.

以下例子说明了如果$f\neq0, $$f$ -拟单调映射不一定是$f$ -伪单调的.

例2.3 设$X={\Bbb R}=(-\infty, +\infty)$和$K$=[1, 2].设$f:K\rightarrow{\Bbb R}$是可微凸函数,使得对于所有$x\in K, $$|f'(x)|\leq r, $其中$r>0$是常数.设

$F(x)\equiv[r, r+e^x], \ \forall x\in K.$

接下来证明$F(\cdot)$在$K$上是$f$ -拟单调.设$x^*\in F(x)$和$y^*\in F(y)$有

$\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)>0, $

由中值定理,存在$\xi\in(1, 2)$使得$f(y)-f(x)=f'(\xi)(y-x), $所以

$(x^*+f'(\xi))(y-x)>0.$

这样, $x^*\geq r$蕴含$x^*+f'(\xi)>0, $所以y-x>0.因为${y^*} \in \left[ {r, r + {e^x}} \right], $

$\left\langle {y^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(y^*+f'(\xi))(y-x)\geq0.$

因此, $F(\cdot)$是$f$ -拟单调.另一方面,取$(x, x^*)=(2, r)$和$(y, y^*)=(1, r+e), $有

$\left\langle {x^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(r+f'(\xi))(1-2)=0, $

易知$r+f'(\xi)=0.$然而

$\left\langle {y^*}{y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)=(r+e+f'(\xi))(1-2)=-e<0.$

因此, $F(\cdot)$不是$f$ -伪单调的.

引理2.1^[10] 设$K$是$X$中的非空闭凸集且$int(barr K)\ne\emptyset, $则不存在$\{x_n\}\subset K$且$\left\| {{x_n}} \right\| \to \infty$使得$\frac{{{x_n}}}{{\left\| {{x_n}} \right\|}} ⇀ 0$.如果$K$是锥,则不存在$\{d_n\}\subset K$且$\left\| {{d_n}} \right\|=1$使得$d_n\rightharpoonup 0$.

引理2.2^[9] 设$K$是$X$中的非空闭凸集且$int(barr K)\ne\emptyset, $则不存在$\{d_n\}\subset K_{\infty}$且$\left\| {{d_n}} \right\| = 1$使得$d_n\rightharpoonup0$.

命题2.1  (ⅰ)如果$D$在$K$中是非空有界闭凸集, $F: K\rightarrow 2^{X^*}$是具有弱$^*$紧凸值的沿线节上半连续和拟单调映射,则GVIP(F, D)有解.

(ⅱ)如果$D$在$K$中是非空有界闭凸集, $f:K\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数, $F: K\rightarrow 2^{X^*}$是具有弱$^*$紧凸值的沿线节上半连续和稳定$f$ -拟单调映射,则对于任意的$\zeta\in X^*, $GMVIP (${F-\zeta}, {f}, {D}$)有解.

证  (ⅰ)的证明参见文献[13]. (ⅱ)利用与(ⅰ)中类似的方法即可得证.

本部分为本文的主要结果,给出了扰动混合变分不等式在扰动项为映射$F$和集合$K$时的可解性结果. $I$表示集合$K-tK_\infty\setminus\{0\}, $对于任意的$t>0.$

引理3.1 如果$K$是$X$中的非空闭凸集,则$K_\infty=I_{\infty}$和$barr(K)=barr(I).$

证 设$d\in I_{\infty}.$给定$x_0\in K, $因为$K:=I+tK_\infty\setminus\{0\}, $存在$y_0\in I$和$\bar{d}\in K_\infty\setminus\{0\}$使得$x_0=y_0+t\bar{d}.$对于任意的$\lambda>0, $有

$x_0+\lambda d=(y_0+t\bar{d})+\lambda d=(y_0+\lambda d)+t\bar{d}\in I+tK_\infty\setminus\{0\}=K, $

因此, $d\in K_\infty.$这样, $I_{\infty}\subset K_\infty$得证.

另一方面,设$d_1\in K_{\infty}.$给定$x_1\in I, $因为$I:=K-tK_\infty\setminus\{0\}, $存在$y_1\in K$和$\bar{d_1}\in K_\infty\setminus\{0\}$使得$x_1=y_1-t\bar{d_1}.$对于任意的$\lambda_1>0, $有

$x_1+\lambda_1 d_1=(y_1-t\bar{d_1})+\lambda_1 d_1=(y_1+\lambda d_1)-t\bar{d_1}\in K-tK_\infty\setminus\{0\}=I, $

因此, $d_1\in I_\infty.$这样, $K_\infty\subset I_{\infty}.$因此, $K_\infty=I_{\infty}.$

再由(2.1)式,有$barr(K)=barr(I).$

定理3.1 设$K$是$X$中的非空闭凸集且$int(barr K)\ne\emptyset.$设$f:I\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数和$F:I\to 2^{X^*}$是具有非空弱$^*$-紧凸值的沿线节上半连续和稳定$f$ -拟单调映射.如果以下强制条件成立: $\exists r>0, $$\forall x\in K\setminus K_r, $$\exists y\in K_r$使得

(3.1) $\begin{eqnarray}\label{eq:2220}&&\nonumber\exists y^*\inF(y)\cap\{y^*:\left\langle {y^*}{d} \right\rangle+f_{\infty}(d)<0, \forall d\inK_\infty\setminus\{0\}\}, \\&&\left\langle { y^*, y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)<0, \end{eqnarray}$

则对于任意的$q\in int(barr K), $存在$k>r, $使得

$\emptyset\neq{\rm S}(F-\varepsilon q, f, K-tK_\infty\setminus\{0\})\subset\overline{\mathbb{B}}(0, \frac{1}{\varepsilon}), \quad\forall\varepsilon\in(0, \frac{1}{k}), \forall t>0.$

证  (1)首先,需要证明对于任意的$q\in int(barr K), $存在$m>r$使得对所有的$\varepsilon\in(0, \frac{1}{m}), $ S$(F-\varepsilon q, f, K-tK_{\infty}\setminus\{0\})\neq\emptyset.$假设存在$q\in int(barr K), $对所有的$m>r, $存在$\varepsilon_m\in(0, \frac{1}{m})$使得S$(F-\varepsilon_m q, f, K-tK_{\infty}\setminus\{0\})=\emptyset.$

设$E_m:=\{x\in I:\left\| x \right\|\leq \frac{1}{\varepsilon_m}\}.$由$E_m$是有界闭凸的,利用命题2.1(ⅱ),可知GMVIP (${F-\varepsilon_{m}q}, {f}, {E_m}$)有解.对于每一$m>r, $存在$x_m\in E_m$使得

(3.2) $\begin{eqnarray}\label{eq:11x}\sup\limits_{\xi\in F(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}{y-x_m} \right\rangle+f(y)-f(x_m)\geq0, \quad \forall y\in E_m.\end{eqnarray}$

(ⅰ)对某一$m>r, $$\left\| {{x}_{m}} \right\| < \frac{1}{\varepsilon_m}, $则对于任意的$y\in K-tK_\infty\setminus\{0\}, $存在$\lambda\in(0, 1)$使得$z_{\lambda}:=x_m+\lambda(y-x_m)\in E_m, $因为$K$和$K_{\infty}$的凸性蕴含$K-tK_{\infty}\setminus\{0\}$是凸的.所以,由(3.2)式和$f$是凸函数,有

$\begin{eqnarray*}0&\leq&\sup\limits_{\xi\in F(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}{z_{\lambda}-x_m} \right\rangle+f(z_{\lambda})-f(x_m)\\&\leq&\lambda[\sup\limits_{\xi\inF(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q} {y-x_m} \right\rangle+f(y)-f(x_m)].\end{eqnarray*}$

由$y\in K-tK_\infty\setminus\{0\}$的任意性,可知$x_m$是GMVIP(${F-\varepsilon_{m}q}, {f}, {K-tK_{\infty}\setminus\{0\}}$)的解.这样, $x_m\in {\rm S}(F-\varepsilon_{m}q, f, K-tK_\infty\setminus\{0\})\neq\emptyset.$

(ⅱ)对每一$m>r$, $\left\| {{x}_{m}} \right\|=\frac{1}{\varepsilon_m}>m.$因为$x_m\in K-tK_\infty\setminus\{0\}, $存在$\widetilde{x_m}\in K$和$p_m\in K_\infty\setminus\{0\}$使得$x_m=\widetilde{x_m}-tp_m.$下面需要证明$\widetilde{x_m}\not\in K_r.$事实上,若不然,则$\left\| {\widetilde{x_m}} \right\|\leq r.$这样

$t||p_m||\leq\left\| {{x}_{m}} \right\|+||\widetilde{x_m}||\leq\frac{1}{\varepsilon_m}+r<\frac{2}{\varepsilon_m}.$

所以,对于所有的$m, $$t||p_m|| < +\infty.$然而,由$p_m\in K_\infty\setminus\{0\}, $可得$||p_m||>0.$令$t\to+\infty$时, $t||p_m||$没有上界,则产生矛盾.

由强制条件(3.1)可知存在$y_m\in K_r$使得存在$y^*_m\in F(y_m)\cap\{y^*:\left\langle {y^*}, {d} \right\rangle+f_{\infty}(d) < 0, $$\forall d\in K_\infty\}, $$\left\langle {y^*_m}{y_m-\widetilde{x_m}} \right\rangle+f(y_m)-f(\widetilde{x_m}) < 0.$因此

$\begin{eqnarray*}\label{eq:xx}&&\left\langle {y^*_m}{y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)\\&=&\left\langle {y^*_m}{y_m-\widetilde{x_m}} \right\rangle+f(y_m)-f(\widetilde{x_m})+\left\langle {y^*_m}{\widetilde{x_m}-x_m} \right\rangle+f(\widetilde{x_m})-f(x_m)\\&<&\left\langle {y^*_m}, {tp_m} \right\rangle+f(x_m+tp_m)-f(x_m), \quad \forall t>0.\end{eqnarray*}$

进而

$\begin{eqnarray*}\label{eq:YY}\frac{\left\langle {y^*_m}{y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)}{t}&<&\left\langle {y^*_m}, {p_m} \right\rangle+\frac{f(x_m+tp_m)-f(x_m)}{t}\\&\rightarrow&\left\langle {y^*_m}, {p_m} \right\rangle+f_{\infty}(p_m), \quad \mbox{ as } t\rightarrow\infty.\end{eqnarray*}$

所以

$\begin{eqnarray*}\label{eq:YY1}\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\left\langle {y^*_m}{y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)}{t}\leq\left\langle {y^*_m}, {p_m} \right\rangle+f_{\infty}(p_m)<0.\end{eqnarray*}$

由$t>0, $有

$\mathop {\inf }\limits_{y_m^* \in F({y_m})} \left\langle {y^*_m}{y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)<0.$

由$F$的$f$ -拟单调性,可得

(3.3) $\begin{eqnarray}\label{eq:x}\mathop {\sup }\limits_{\xi \in F({x_m})} \left\langle {\xi}{y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)\leq0.\end{eqnarray}$

不失一般性,假设$\frac{x_m}{\left\| {{x}_{m}} \right\|}\rightharpoonup d\in I_{\infty}.$由引理3.1,有$d\in K_{\infty}.$因为$int(barr I)=int(barr K)\ne\emptyset, $引理2.2蕴含$d\neq0.$由$q\in int(barr K)$和(2.1)式,可知$\left\langle {q}, {d} \right\rangle\leq0.$接下来证明$\left\langle {q}, {d} \right\rangle < 0.$事实上,若不然,则$\left\langle {q}, {d} \right\rangle=0.$因为$q\in int(barr K), $所以对于所有的$x^*\in X^*, $存在$\delta\in(0, 1)$使得$\delta q+(1-\delta)x^*\in barr K.$所以, $\left\langle {\delta q+(1-\delta)x^*}, {d} \right\rangle\leq0$,进而, $\left\langle {x^*}, {d} \right\rangle\leq0.$类似地,可证得$-\left\langle {x^*}, {d} \right\rangle\leq0.$这样, $\left\langle {x^*}, {d} \right\rangle=0, $与$d\neq0$产生矛盾.因此, $\left\langle {q}, {d} \right\rangle < 0.$

因为$\left\| {{y_m}} \right\| < r < \frac{1}{\varepsilon_m}, $则对任意的$y\in K-tK_\infty\setminus\{0\}, $存在$\theta\in(0, 1)$使得$z_{\theta}:=y_m+\theta(y-y_m)$和$\left\| {{z_\theta }} \right\|\leq \frac{1}{\varepsilon_m}.$现在,将证明$z_{\theta}\in I.$事实上,由$I:=K-tK_\infty\setminus\{0\}$和$y_m\in K, $存在$\widetilde{y_m}\in I$和$\widetilde{p_m}\in K_{\infty}, $有$y_m=\widetilde{y_m}+t\widetilde{p_m}, $因此, $z_{\theta}=\widetilde{y_m}+\theta(y-\widetilde{y_m})+(1-\theta)t\widetilde{p_m}.$因为$I$是凸的, $\widetilde{y_m}+\theta(y-\widetilde{y_m})\in I.$由引理3.1,可知$\widetilde{p_m}\in K_{\infty}=I_{\infty}.$由回收锥的定义和$(1-\theta)t>0, $有$z_{\theta}\in I.$因此, $z_{\theta}\in E_m.$

由(3.2)和(3.3)式,有

$\begin{eqnarray*}0&\leq&\sup\limits_{\xi\in F(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}, {z_{\theta}-x_m} \right\rangle+f(z_{\theta})-f(x_m)\\&=&\theta[\sup\limits_{\xi\inF(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}, {y-x_m} \right\rangle+f(y)-f(x_m)]\\&&+(1-\theta)[\sup\limits_{\xi\in F(x_m)}\left\langle {\xi}, {y_m-x_m} \right\rangle+f(y_m)-f(x_m)]+\varepsilon_{m}(1-\theta)(\left\langle {q}, {x_m} \right\rangle-\left\langle {q}, {y_m} \right\rangle)\\&\leq&\theta[\sup\limits_{\xi\in F(x_m)}\left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}, {y-x_m} \right\rangle+f(y)-f(x_m)]+\varepsilon_{m}(1-\theta)(\left\langle {q}, {x_m} \right\rangle-\left\langle {q}, {y_m} \right\rangle).\end{eqnarray*}$

因为$\varepsilon_{m}=\frac{1}{\left\| {{x}_{m}} \right\|}, $所以${\varepsilon _m}\left\langle {q, {x_m}} \right\rangle = \left\langle {q, \frac{{{x_m}}}{{\left\| {{x_m}} \right\|}}} \right\rangle \to \left\langle {q, d} \right\rangle < 0.$由极限的保号性定理,存在$M>0, $当$m>M, $$\varepsilon_{m} q. {x_m} < \frac{1}{2} q. {d} < 0.$

又因为$\{y_m\}\subset K_r, $$\{y_m\}$是有界的,有$\varepsilon_{m}\left\langle {q}, {y_m} \right\rangle\rightarrow0.$因此,对于足够大的$m, $有

$\mathop {\sup }\limits_{\xi \in F({x_m})} \left\langle {\xi-\varepsilon_{m}q}{y-x_m} \right\rangle+f(y)-f(x_m)\geq0.$

由$y\in K-tK_\infty\setminus\{0\}$的任意性, $x_m$是GMVIP${F-\varepsilon_{m}q}, {f}, {K-tK_\infty\setminus\{0\}}$的解.这样, $x_m\in {\rm S}(F-\varepsilon_{m}q, f, K-tK_\infty\setminus\{0\})\neq\emptyset.$

上述两种情况均与${\rm S}(F-\varepsilon_{m}q, f, K-tK_\infty\setminus\{0\})=\emptyset$产生矛盾.

(2)下面需要证明对于任意的$q\in int(barr K), $存在$k\geq m>r$使得对每一$\varepsilon\in(0, \frac{1}{k}), $${\rm S}(F-\varepsilon q, f, K-tK_{\infty}\setminus\{0\}) \subset\bar{{\Bbb B}}(0, \frac{1}{\varepsilon}).$鉴于第一部分的证明,存在$m>r, $对任意的$k\geq m$和$\varepsilon\in(0, \frac{1}{k}), $有${\rm S}(F-\varepsilon q, f, K-tK_{\infty}\setminus\{0\})\neq\emptyset.$假设存在$q\in int(barr K), $对任意的$k\geq m, $存在$\varepsilon_k\in(0, \frac{1}{k})$使得$x_k\in {\rm S}(F-\varepsilon_k q, f, K-tK_{\infty}\setminus\{0\}), $然而, $x_k\not\in\bar{{\Bbb B}}(0, \frac{1}{\varepsilon_k}).$

因为$x_k\in I$和$||x_k||>\frac{1}{\varepsilon_k}>k\geq m>r, $运用第一部分(1)的证明方法,总能找到$\widetilde{x_k}\in K$且$||\widetilde{x_k}||>r.$由强制条件(3.1),存在$y_k\in K_r$使得存在$y_k^*\in F(y_k)\cap\{y^*:\left\langle { y^*}, {d} \right\rangle+f_{\infty}(d) < 0, $$\forall d\in K_\infty\}, $$ \left\langle {y_k^*, {y_k} - \widetilde {{x_k}}} \right\rangle + f({y_k}) - f(\widetilde {{x_k}}) < 0.$类似地,可得

$\mathop {\sup }\limits_{{\xi _k} \in F({x_k})} \left\langle {\xi_k}, {y_k-x_k} \right\rangle+f(y_k)-f(x_k)\leq0.$

同时, $y_k\in K$蕴含$y_k\in I, $因为$K=I+tK_\infty=I+tI_\infty\subset I.$由$x_k\in{\rm S}(F-\varepsilon_k q, f, $$K-tK_{\infty}\setminus\{0\}), $有

(3.4) $\begin{eqnarray}\label{eq:j1}0&\nonumber\leq&\sup\limits_{\xi^*_k\in F(x_k)}\left\langle {\xi^*_k-\varepsilon_k q}, {y_k-x_k} \right\rangle+f(y_k)-f(x_k)\\&\nonumber=&\sup\limits_{\xi^*_k\inF(x_k)}\left\langle {\xi^*_k}, {y_k-x_k} \right\rangle+f(y_k)-f(x_k)+\varepsilon_{k}(\left\langle {q}, {x_k} \right\rangle-\left\langle {q}, {y_k} \right\rangle)\\&\leq&\varepsilon_{k}(\left\langle {q}, {x_k} \right\rangle-\left\langle {q}, {y_k} \right\rangle).\end{eqnarray}$

类似地,可以假设$\frac{x_k}{||x_k||}⇀ e.$这样, $\left\langle {q}, {\frac{x_k}{||x_k||}} \right\rangle\rightarrow\left\langle {q}, {e} \right\rangle < 0.$由极限的保号性定理,存在$K>0, $当$k>K$时, $\left\langle {q}, {\frac{x_k}{||x_k||}} \right\rangle < 0.$因为$||x_k||>\frac{1}{\varepsilon_k}, $$||x_k||\varepsilon_k>1.$当$k>K$时,有

$\varepsilon_k\left\langle {q}, {x_k} \right\rangle=||x_k||\varepsilon_k\left\langle {q}{\frac{x_k}{||x_k||}} \right\rangle<0.$

类似地, $\{y_k\}\subset K_r$蕴含$\{y_k\}$是有界的, $\varepsilon_{k}\left\langle {q}, {y_k} \right\rangle\rightarrow0.$因此,对足够大的$k, $$\varepsilon_{k}(\left\langle {q}, {x_k} \right\rangle-\left\langle {q}, {y_k} \right\rangle) < 0.$这样,与(3.4)式产生矛盾.证毕.

注3.1 Li和He^[12]在${\Bbb R}^n$中给出了仅仅映射被扰动的GVIP(${F}{K}$)结果(参见文献[12,定理3.2]).因此,定理3.1是文献[12]中定理3.2的推广.定理3.1也改进与推广了文献[26]中的定理3.1到广义混合变分不等式.

如果扰动项仅仅是映射,则有如下推论3.1.

推论3.1 设$K$是$X$中的非空闭凸集且$int(barr K)\ne\emptyset.$设$f:K\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数和$F:K\to 2^{X^*}$是具有非空弱$^*$-紧凸值的沿线节上半连续和稳定$f$ -拟单调映射.如果以下强制条件成立: $\exists r>0, $$\forall x\in K\setminus K_r, $$\exists y\in K_r$使得

$\begin{eqnarray*}\inf\limits_{y^*\in F(y)}\left\langle {y^*, y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)<0, \end{eqnarray*}$

则对任意的$q\in int(barr K), $存在$k>r, $使得

$\emptyset\neq{\rm S}(F-\varepsilon q, f, K)\subset\bar{{\Bbb B}}(0, \frac{1}{\varepsilon}), \quad\forall\varepsilon\in(0, \frac{1}{k}).$

如果扰动项仅仅是集合,则有如下推论3.2.

推论3.2 设$K$是$X$中的非空闭凸集且$int(barr K)\ne\emptyset.$设$f:I\to {\Bbb R}\cup\{+\infty\}$是真凸下半连续函数和$F:I\to 2^{X^*}$是具有非空弱$^*$ -紧凸值的沿线节上半连续和稳定$f$ -拟单调映射.如果以下强制条件成立: $\exists r>0, $$\forall x\in K\setminus K_r, $$\exists y\in K_r$使得

$\begin{eqnarray*}&&\nonumber\exists y^*\inF(y)\cap\{y^*:\left\langle {y^*}, {d} \right\rangle+f_{\infty}(d)<0, \forall d\inK_{\infty}\setminus\{0\}\}, \\&&\left\langle {y^*, y-x} \right\rangle+f(y)-f(x)<0, \end{eqnarray*}$

则存在$k>r, $使得

$\emptyset\neq{\rm S}(F, f, K-tK_\infty\setminus\{0\})\subset\bar{{\Bbb B}}(0, \frac{1}{\varepsilon}), \quad\forall\varepsilon\in(0, \frac{1}{k}), \forall t>0.$