本文研究了如下二阶中立随机偏微分方程

(1.1) $\begin{equation}\label{e2.1} \left\{ {\begin{array}{ll}d[x'(t) - f\left( {t, x(t - \tau (t))} \right)]\\=[Ax(t) + g\left( {t, x(t - \tau (t))} \right)]{\rm d}t{+ \sigma \left( {t, x(t - \tau (t))} \right){\rm d}W(t), ~t \ge 0, }\\ {{x_0}(s) = \phi (s) \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([ - \tau , 0], H), ~- \tau \le s \le 0, ~x'(0) = {\phi _1}, } \end{array}} \right. \end{equation}$

其中$H$为Hilbert空间, $A:D(A)\subset H\to H$是在$H$上的强连续cosine集族的无穷小生成子; $f, g:[0, \infty) \times {H} \to H$, $\sigma :[0, \infty) \times {H} \to {\cal L}_2^0$均为连续函数; $0 \le \tau (t) \le \tau $和${\phi _1}$是${H}$上的${{\cal F} _0}$ -可测,且独立于$W(t)$的随机变量.

近来,对二阶随机微分方程的研究越来越多.与一阶系统相比,二阶系统反映了更复杂的情况,可以揭示更多的现象.研究人员已经在二阶随机微分方程中得到了许多有价值的结论^[1-4].分析发现,以往的研究通过一些较强的条件来研究二阶随机微分方程的稳定性.然而,这种条件往往过于严苛.

为了找到较弱的约束来估计稳定状态, Xu^[5]讨论了Volterra微分方程组的不变集和吸引集.随后,吸引集和动力系统的不变组合被得到了广泛的研究.对于离散系统,参见文献[6-7];对于带有时滞项的确定性差分系统,参见文献[8-9];对于偏微分系统,参见文献[10];对于随机系统,参加文献[11-12].更进一步的, Li和Xu ^[13]估计了一阶随机中立偏微分方程的吸引集和拟不变集,稳定条件得以进一步减弱,估计出了更好的结果.

因此,通过使用不等式技术,本文研究了二阶中立随机偏微分系统(1.1),估计了系统的吸引集和拟不变集,拓展了文献14中的有关结论.

为了对方程(1.1)的吸引集和拟不变集进行估计,本文首先定义了一些必要的空间及范数.

定义两个Hilbert空间$H$和$K$的内积为${\left\langle { \cdot, \cdot } \right\rangle _H}$和${\left\langle { \cdot, \cdot } \right\rangle _K}$,范数为${\left\| \cdot \right\|_H}$和${\left\| \cdot \right\|_K}$; ${\cal L}(K, H)$是从$K$映到$H$的所有线性有界算子的集合; $E[f]$为函数$f$的数学期望; $\left({\Omega, {\cal F}, {{\left\{ {{{\cal F}_t}} \right\}}_{t \geqslant 0}}, P} \right)$是一个完备的概率空间,其中${{\left\{ {{{\cal F}_t}} \right\}}_{t \geqslant 0}}$满足通常的性质(右连续,且${{{\cal F}_0}}$包含了所有的$P$ -集合).

定义$\left\{ {W(t), t \geqslant 0} \right\}$是一个在空间$\left({\Omega, {\cal F}, {{\left\{ {{{\cal F}_t}} \right\}}_{t \geqslant 0}}, P} \right)$上的$K-{{\left\{ {{{\cal F}_t}} \right\}}_{t \geqslant 0}}$-Wiener过程,其中$x, y$$\in K$, $Q$是正定的、自伴随的协方差算子.因此可得到如下性质

$E{\left\langle {W(t), x} \right\rangle _K}{\left\langle {W(s), y} \right\rangle _H} = (t \wedge s){\left\langle {Qx, y} \right\rangle _K}.$

为了定义关于$Q$-Wiener过程$W(t)$上的随机积分,本文引出了子空间${K_0} = {Q^{\frac{1}{2}}}(K)$.子空间${K_0}$是一个希尔伯特空间,空间的内积为${\left\langle {x, y} \right\rangle _{{K_0}}} = \left\langle {} \right.{Q^{ - \frac{1}{2}}}x, {Q^{ - \frac{1}{2}}}y{\left. {} \right\rangle _K}$.定义${\cal L}_2^0$是一个Hilbert-Schmidt空间,空间上的的算子是从$K_0$映到$H$上的.因此Hilbert-Schmidt空间上的范数为$\left\| \psi \right\|_{{\cal L}_2^0}^2 ={\rm tr}((\psi {Q^{\frac{1}{2}}}){(\psi {Q^{\frac{1}{2}}})^ * }), ~\psi \in {\cal L}_2^0.$且当$\psi \in {\cal L}(K, H)$,范数定义为$\left\| \psi \right\|_{{\cal L}_2^0}^2 = {\rm tr}(\psi Q{\varphi ^ * }).$

空间$C(X, Y)$由拓扑空间上$X$到$Y$的连续映射组成, ${\mathbb{R}^{+} } = [0, + \infty)$.当$\tau>0$,定义$C\triangleq C([-\tau, 0], \mathbb{R})$, ${C_H} = C([- \tau, 0], H)$.如果$\varphi \in C$,则${\left| {\varphi (t)} \right|_\tau } = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \le s \le 0} \left| {\varphi (t + s)} \right|, $${\left\| \varphi \right\|_{{C_H}}} = \mathop {\sup } \limits_{ - \tau \le s \le 0} {\left\| \varphi \right\|_H}$.定义$ BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$是所有有界${{\cal F}_0}$ -可测, ${C_H}$ -上的随机变量$\varphi $的集合,且有$\left\| \varphi \right\|_{{L^p}}^p = \mathop {\sup }\limits_{ - \tau \le s \le 0} E\left\| {\varphi (s)} \right\|_H^p < \infty.$

参数族${(T(t))_{t \ge 0}}$是一个强连续cosine集族^[15],如果以下条件成立

(1) $T(0)=I; $

(2) $T(t)x$在$\mathbb{R}$上关于$t$连续,对于所有的$x \in H; $

(3) $T(t + s) + T(t - s) = 2T(t)T(s)$,对于所有的$t, s \in \mathbb{R}$.

若$A$是一个在$H$上的稠密算子,则无穷小生成子$A:D(A)\subset H\to H$是关于算子${(T(t))_{t \ge 0}}$的cosine集族,且满足$Ax= {\left. {\frac{{{{\rm d}^2}}}{{{\rm d}{t^2}}}T(t)x} \right|_{t = 0}}$.

定义强连续sine集族${(S(t))_{t \ge 0}}$满足$S(t)x = \int_0^t {T(s)x}{\rm d}s, \ t \in \mathbb{R}, \ x \in H.$

定义2.1^[4] 随机过程$\left\{ {x(t), - \tau \le t \le b} \right\} (0 < b < \infty)$是方程(1.1)的柔和解,如果以下条件成立:

(1) $x(t)$是一个可测的${{\cal F}_t} $ -适应过程,且$E\int_0^b {\left\| {x(t)} \right\|} _H^2{\rm d}t < \infty; $

(2) $x(t)$满足如下积分方程

(2.1) $ \begin{eqnarray} \label{e2.2} x(t)&=& T(t){\phi(0)} + S(t)({\phi _1} - f(0, {x_0})) + \int_0^t {T(t - s)f(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s\\ &&+ \int_0^t {S(t - s)g(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s + \int_0^t {S(t - s)\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} {\rm d}W(s). \end{eqnarray} $

对于$\phi \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$,方程(1.1)的温和解常记为$x(t) = x(t, 0, {\phi})$或者${x_t}(0, {\phi})$.

定义2.2 当系统(1.1)有零解时,系统的温和解被称为$p$ -指数$(p \ge 2)$稳定,若存在两个取值为正的常数$\lambda > 0$和${M_1} > 1$,对于初值为$\phi \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$的解$x(t)$满足

$E\left\| {x(t)} \right\|_H^p \le {M_1}\left\| \phi \right\|_{{L^p}}^p{{\rm e}^{ - \lambda t}}, ~ t \ge 0.$

定义2.3 当$\phi \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$时,集合$X \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$被称为方程(1.1)的不变集,如果

${x_t}(0, \phi ) \in X, \ t \ge 0, \ \phi \in X.$

定义2.4^[13] 当$\phi \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$时,集合$S \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$被称为方程(1.1)的吸引集,如果

${\rm{dist}}({x_{{t}}}(0, \phi ), S) = \mathop {\inf }\limits_{\psi \in S} p(\phi (s), \psi (s)) \to 0, ~t\rightarrow\infty, $

其中$p(\cdot, \cdot)$为$S \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$上的任意距离.

定义2.5^[13] 集合$S \subset BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)$被称为方程(1.1)的拟不变集,若有正数$k$和$b$,对于初值$\phi \in S$,满足$[k{x_t}(0, \phi) + b] \in S, \ t \ge 0.$

引理2.1^[16] 对于任意的$x \in \mathbb{R}_ + ^n$以及$p>0$,有

${\left| x \right|^p} \le {n^{(\frac{p}{2} - 1) \vee 0}}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^p} , ~{\bigg(\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} \bigg)^p} \le {n^{(p - 1) \vee 0}}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^p} .$

引理2.2^[17] 对于任意的$r \ge 1$和${\cal L}_2^0 $ -可预测过程$\varphi (\cdot)$,

$\mathop {\sup }\limits_{s \in [0, t]} E{\left\| {\int_0^s {\varphi (u){\rm d}W(u)} } \right\|^{2r}} \le {C_r}{ \bigg(\int_0^t {{{(E\left\| {\varphi (s)} \right\|_{{\cal L}_2^0}^{2r})} ^{\frac{1}{r}}}{\rm d}s} \bigg)^r}, ~t \ge 0, $

其中${C_r} = {(r(2r - 1))^r}.$

引理2.3 设$z(t) \in C(\mathbb{R}, {\mathbb{R}_ + })$是如下时滞积分不等式的解

(2.2) $\begin{equation}z(t) \le {\lambda _3}\int_0^t {{{\rm e}^{ - {c_1}(t - s)}}{{\left| {z(t)} \right|}_\tau }{\rm d}s} + {\lambda _4}\int_0^t {{{\rm e}^{ - {c_2}(t - s)}}{{\left| {z(t)} \right|}_\tau }{\rm d}s} + {\lambda _5}, ~t \ge 0, \label{e2.3}\end{equation}$

其中${\lambda _3}$, ${\lambda _4}$, ${\lambda _5}$是非负常数, ${c_1}, \ {c_2}>0$.如果

(2.3) $\begin{equation}\Upsilon = \frac{{{\lambda _3}}}{{{c_1}}} + \frac{{{\lambda _4}}}{{{c_2}}} < 1, \label{e2.4}\end{equation}$

那么

(2.4) $\begin{equation}z(t) \le {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}{\lambda _5}, ~t \ge 0, \label{e2.5}\end{equation}$

且

(2.5) $\begin{equation}z(t) \le {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}{\lambda _5}, ~t \in [ - \tau , 0].\label{e2.6}\end{equation}$

证  依据文献[18,引理8.2],引理2.3容易得证.

引理2.4 设$z(t) \in C(\mathbb{R}, {\mathbb{R}_ + })$是如下时滞积分不等式的解

(2.6) $\begin{eqnarray} \label{e2.10}z(t) &\le &{\lambda _1}{{\rm e}^{ - {c_1}t}} + {\lambda _2}{{\rm e}^{ - {c_2}t}} + {\lambda _3}\int_0^t {{{\rm e}^{ - {c_1}(t - s)}}{{\left| {z(t)} \right|}_\tau }{\rm d}s} \\&&{ + {\lambda _4}\int_0^t {{{\rm e}^{ - {c_2}(t - s)}}{{\left| {z(t)} \right|}_\tau }{\rm d}s} + {\lambda _5}, \;\;\;\;t \ge 0}, \end{eqnarray}$

且满足

(2.7) $\begin{equation}z(t) \le \phi (t), ~t \in [ - \tau , 0], \label{e2.11}\end{equation}$

其中$\lambda _1, \cdots, \lambda _5$是非负常数; ${c_1}, \ {c_2}>0$; $\phi (s) \in C([- \tau, 0], {R_ + })$, $s \in [- \tau, 0].$

如果(2.3)式成立,那么一定存在常数$\alpha \in (0, {c_1} \wedge {c_2})$和$N>0$满足

(2.8) $\begin{equation}z(t) \le N{{\rm e}^{ - \alpha t}} + {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}{\lambda _5}, ~t \ge 0, \label{e2.12}\end{equation}$

其中

(2.9) $\begin{equation}{[{\phi(0)}]_\tau } < N, ~\frac{{{\lambda _1} + {\lambda _2}}}{N} + {{\rm e}^{\alpha \tau }}\frac{{{\lambda _3}}}{{{c_1} - \alpha }} + {{\rm e}^{\alpha \tau }}\frac{{{\lambda _4}}}{{{c_2} - \alpha }} < 1.\label{e2.13}\end{equation}$

证  依据文献[18,引理8.2],引理2.4容易得证.

在(2.4)式中令${\lambda _5}=0$,可得到如下引理

推论2.1 若$(2.4)$式中的所有条件都成立,那么所有关于系统(2.6)和(2.7)的解都指数收敛于零.

首先给出两个重要的条件.

(H1) cosine集族${(T(t))_{t \ge 0}}$和sine集族${(S(t))_{t \ge 0}}$满足如下条件

${\left\| {T(t)} \right\|_H} \le M{{\rm e}^{ - \gamma t}}, \ {\left\| {S(t)} \right\|_H} \le M{{\rm e}^{ - \beta t}}, \ t \ge 0, \ \mbox{对于常数}\ M \ge 1, \gamma , ~\beta \ge 0.$

(H2)存在非负常数${L_f}, \ {L_g}, \ {L_\sigma }, \ {b_f}, \ {b_g}$和${b_\sigma }$,对于任意的$x, ~y \in {H}$, $t \ge 0$满足

${\left\| {f(t, x) - f(t, y)} \right\|_H} \le {L_f}{\left\| {x - y} \right\|_{{H}}}, ~{\left\| {f(t, 0)} \right\|_H} = {b_f}, $

${\left\| {g(t, x) - g(t, y)} \right\|_H} \le {L_g}{\left\| {x - y} \right\|_{{H}}}, ~{\left\| {g(t, 0)} \right\|_H} = {b_g}, $

${\left\| {\sigma (t, x) - \sigma (t, y)} \right\|_{{\mathcal L}_2^0}} \le {L_\sigma } {\left\| {x - y} \right\|_{{H}}}, ~{\left\| {\sigma (t, 0)} \right\|_{{\cal L}_2^0}} = {b_\sigma }. $

定理3.1 设(H1)-(H2)满足,那么${S_1} = \left\{ {\left. {\varphi \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)} \right|\left\| \varphi \right\|_{{L^p}}^p \le {{(1 - \Upsilon)}^{ - 1}}{ I}} \right\}$是系统(1.1)温和解的全局吸引集, ${S_2} = \left\{ {\left. {\varphi \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([- \tau, 0], H)} \right|} \right.$$\left. {\left\| \varphi \right\|_{{L^p}}^p \le l, \; l > 0} \right\}$是方程(1.1)温和解的拟不变集,若如下不等式成立

(3.1) $\begin{align} &\Upsilon ={{10}^{p-1}}{{M}^{p}}{{\gamma }^{1-p}}L_{f}^{p}/\gamma +{{10}^{p-1}}{{M}^{p}}({{\beta }^{1-p}}L_{g}^{p}+\frac{p(p-1)}{2}{{(\frac{2\beta (p-1)}{p-2})}^{\frac{2-p}{2}}}L_{\sigma }^{p})/\beta \\ &\ \ \ <1, \\ \end{align}$

且

(3.2) $\begin{equation}I= {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{ - p}}b_f^p +{10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{ - p}}b_g^p+ {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}})^{\frac{{2 - p}}{2}}}\frac{{{M^p}b_\sigma ^p}}{\beta }.\label{e3.2}\end{equation}$

证  由(2.1)式可得

(3.3) $\begin{eqnarray}\label{e3.3}E\left\| {x(t)} \right\|_H^p &=& E\bigg\| {T(t){\phi (0)} + S(t)({\phi _1} - f(0, {x_0} ))} + \int_0^t {T(t - s)f(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s\\&&+ \int_0^t {S(t - s)g(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s + \int_0^t {S(t - s)\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} {\rm d}W(s)\bigg\|_H^p\\&\le& {5^{p - 1}}E\left\| {T(t){\phi(0)}} \right\|_H^p + {5^{p - 1}}E\left\| {S(t)({\phi _1} - f(0, {x_0}))} \right\|_H^p \\&&+ {5^{p - 1}}E\left\| {\int_0^t {T(t - s)f(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^p\\&&+ {5^{p - 1}}E\left\| {\int_0^t {S(t - s)g(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^p\\&&+{5^{p - 1}}E\;\left\| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s, {x(s-\tau(s))})} {\rm d}W(s)} \right\|_H^p\\&:=&{5^{p - 1}}\sum\limits_{i = 1}^5 {{\omega _i}(t)}.\end{eqnarray} $

由定义(H1), (3.3)式中等式右边的第一项被放缩为

(3.4) $\begin{eqnarray}\label{e3.4}{\omega _1}(t) = E\left\| {T(t){\phi (0)}} \right\|_H^p \le E\left\| {{\phi(0)}} \right\|_H^p{M^p}{{\rm e}^{ - p\gamma t}}\le E\left\| {{\phi (0)}} \right\|_H^p{M^p}{{\rm e}^{ - \gamma t}}.\end{eqnarray} $

由定义(H1)-(H2), (3.3)式中等式右边的第二项被放缩为

(3.5) $\begin{eqnarray}\label{e3.5}{\omega _2}(t) &=& E\left\| {S(t)({\phi _1} - f(0, {x_0 }))} \right\|_H^p \\&\le& E\left\| {({\phi _1} - f(0, {x_0 } ))} \right\|_H^p{M^p}{{\rm e}^{ - p\beta t}}\\&\le &E\left\| {({\phi _1} - f(0, {x_0 }))} \right\|_H^p{M^p}{{\rm e}^{ - \beta t}}\\&\le &E{({\left\| {{\phi _1}} \right\|_H} + {L_f}{\left| {{{\left\| {{\phi (0)}} \right\|}_H}} \right|_\tau } + {b_f})^p}{M^p}{{\rm e}^{ - \beta t}}.\end{eqnarray} $

由定义(H1)-(H2),引理2.1和Hölder不等式, (3.3)式中等式右边的第三项被放缩为

(3.6) $\begin{eqnarray}\label{e3.6}{\omega _3}(t)&=& E\left\| {\int_0^t {T(t - s)f(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^p\\&\le& E{\bigg[\int_0^t {M{{\rm e}^{ - \gamma (t - s)}}({L_f}{{\left| {{{\left\| {x(s)} \right\|}_H}} \right|}_\tau } + {b_f}){\rm d}s}\bigg ]^p} \\&\le &{2^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{1 - p}}L_f^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \gamma (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg ) + {2^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{ - p}}b_f^p.\end{eqnarray} $

类似于$\omega _3(t)$, $\omega _4(t)$被放缩为

(3.7) $\begin{eqnarray} \label{e3.7}{\omega _4}(t)&= &E\left\| {\int_0^t {S(t - s)g(s, {x(s-\tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^p\\&\leqslant& {2^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{1 - p}}L_g^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s} \bigg) + {2^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{ - p}}b_g^p.\end{eqnarray}$

对于(3.3)式中等式右边的第五项,由定义(H1)-(H2), Hölder不等式和引理2.2可得

(3.8) $\begin{eqnarray}\label{e3.8}{\omega _5}(t) &=& E\left\| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} {\rm d}W(s)} \right\|_H^p\\&\leqslant &{M^p}{\bigg(\frac{{p(p - 1)}}{2}\bigg)^{\frac{p}{2}}}{\bigg(\int_0^t {({{\rm e}^{ - \beta p(t - s)}}E\left\| {\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} \right\|_{{\cal L}_2^0}^p} )^{\frac{p}{2}}}{\rm d}s{\bigg)^{\frac{p}{2}}}\\&=& {M^p}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\int_0^t {({{\rm e}^{ - 2\beta (t - s)}}E\left\| {\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} \right\|_{{\cal L}_2^0}^p})^{\frac{p}{2}}}{\rm d}s{\bigg)^{\frac{p}{2}}}\\&\quad&+{M^p}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \frac{{2\beta (p - 1)(t - s)}}{{p - 2}}}}{\rm d}s}\bigg )^{\frac{p}{2} - 1}}\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}E\left\| {\sigma (s, {x(s-\tau(s) )})} \right\|_{{\cal L}_2^0}^p{\rm d}s}\bigg )\\&\quad&+{2^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}{M^p}L_\sigma ^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\&\quad&+ {2^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}\frac{{{M^p}b_\sigma ^p}}{\beta }.\end{eqnarray} $

依据(3.3)-(3.8)式,有

(3.9) $\begin{eqnarray}\label{e3.9}E\left\| {x(t)} \right\|_H^p &\le& {5^{p - 1}}E\left\| {\phi (0)} \right\|_H^p{M^p}{{\rm e}^{ - \gamma t}}+ {5^{p - 1}}E{({\left\| {{\phi _1}} \right\|_H} + {L_f}{\left| {{{\left\| {\phi (0)} \right\|}_H}} \right|_\tau } + {b_f} )^p}{M^p}{{\rm e}^{ - \beta t}}\\&&+ {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{1 - p}}L_f^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \gamma (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s} \bigg)\\&& + {10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{1 - p}}L_g^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\&&+ {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}{M^p}L_\sigma ^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\&&+ {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{ - p}}b_f^p + {10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{ - p}}b_g^p+ {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}\frac{{{M^p}b_\sigma ^p}}{\beta }.\\\end{eqnarray} $

接下来估计系统(1.1)的吸引集和拟不变集.

由${\varphi \in BC_{{F_0}}^b([- \tau, 0], H)}$和(3.1)式,存在常数$N>0$和$\alpha \in (0, \gamma \wedge \beta)$满足${\left| {E\left\| {{\phi (0)}} \right\|_H^p} \right|_\tau } \leqslant N$且

(3.10) $\begin{array}{l}\;\;\;\;{5^{p - 1}}{M^p}[E\left\| {\phi (0)} \right\|_H^p + E{({\left\| {{\phi _1}} \right\|_H} + {L_f}{\left| {{{\left\| {\phi (0)} \right\|}_H}} \right|_\tau } + {b_f})^p}]/N\\\;\;\;\; + {{\rm{e}}^{\alpha \tau }}{10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{1 - p}}L_f^p/\gamma - \alpha \\\;\;\;\; + {{\rm{e}}^{\alpha \tau }}{10^{p - 1}}{M^p}[{\beta ^{1 - p}}L_g^p + \frac{{p(p - 1)}}{2}{(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}})^{\frac{{2 - p}}{2}}}L_\sigma ^p]/\beta - \alpha \\ < 1.\end{array}$

由引理2.4

$E\left\| {x(t)} \right\|_H^p \leqslant N{{\rm e}^{ - \lambda t}} + {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}I, ~t \geqslant 0.$

因此${S_1}$是系统(1.1)解的吸引集.

(3.9)式通过放缩可得

$\begin{eqnarray*}E\left\| {x(t)} \right\|_H^p &\leqslant &{5^{p - 1}}{M^p}l + {10^{p - 1}}E\left\| {{\phi _1}} \right\|_H^p{M^p} + {20^{p - 1}}L_f^p{M^p}l + {20^{p - 1}}{M^p}b_f^p\\&\quad &+ {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{1 - p}}L_f^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \gamma (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\&\quad &+ {10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{1 - p}}L_g^p\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\ &\quad&+ {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{ \bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}{M^p}L_\sigma ^p \bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^p} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg )\\&\quad&+ {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{ - p}}b_f^p+ {10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{ - p}}b_g^p+ {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}\frac{{{M^p}b_\sigma ^p}}{\beta } .\end{eqnarray*}$

依据(2.3)式,进一步放缩为

$E\left\| {x(t)} \right\|_H^p \leqslant {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}(Gl + D) = {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}Gl + {(1 - \Upsilon )^{ - 1}}D, $

其中

$G = {5^{p - 1}}{M^p} + {20^{p - 1}}L_f^p{M^p}, $

$\begin{eqnarray*}D &= &{10^{p - 1}}E\left\| {{\phi _1}} \right\|_H^p{M^p} + {20^{p - 1}}{M^p}b_f^p+ {10^{p - 1}}{M^p}{\gamma ^{ - p}}b_f^p \\&\quad& + {10^{p - 1}}{M^p}{\beta ^{ - p}}b_g^p + {10^{p - 1}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2\beta (p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}\frac{{{M^p}b_\sigma ^p}}{\beta } .\end{eqnarray*}$

因此, ${S_2}$是系统(1.1)的拟不变集.证毕.

接下来将讨论系统(1.1)的一些特殊情形.

推论3.1 设(H1)-(H2)成立,且${b_f} = {b_g} = {b_\sigma } = 0$, $p = 2$,那么系统(1.1)的解是全局均方指数稳定的,若

(3.11) $\begin{equation}5{M^2}\bigg[\frac{{L_f^2}}{{{\gamma ^2}}} + \frac{{L_g^2}}{{{\beta ^2}}} + \frac{{L_\sigma ^2}}{\beta }\bigg] < 1.\label{e3.11}\end{equation}$

证  首先建立不等式如下

(3.12) $\begin{equation}{(a + b + c + d + e)^2} \le 5{a^2} + 5{b^2} + 5{c^2} + 5{d^2} + 5{e^2}, \label{e3.12}\end{equation}$

其中$a-e$是任意正的常数.

由(3.9)式, (3.12)式和Hölder不等式

(3.13) $\begin{eqnarray}E\left\| {x(t)} \right\|_H^2 &\leqslant &5E\left\| {T(t){\phi (0)}} \right\|_H^2 + 5E\left\| {S(t)({\phi _1} - f(0, {x_0})} \right\|_H^2\\&\quad&+ 5E\left\| {\int_0^t {T(t - s)f(s, {x(s - \tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^2\\&\quad&+ 5E\left\| {\int_0^t {S(t - s)g(s, {x(s - \tau(s) )})}{\rm d}s} \right\|_H^2\\&\quad&+ 5E\;\left\| {\int_0^t {S(t - s)\sigma (s, {x(s - \tau(s) )})} {\rm d}Ws} \right\|_H^2\\&\le &5E\left\| {\phi (0)} \right\|_H^2{M^2}{{\rm e}^{ - \gamma t}} +5E{({\left\| {{\phi _1}} \right\|_H} + {L_f}{\left| {{{\left\| {\phi (0)} \right\|}_H}} \right|_\tau } + {b_f})^2}{M^2}{{\rm e}^{ - \beta t}}\\&\quad& + 5{M^2}{\gamma ^{ - 1}}L_f^2\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \gamma (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^2} \right|}_\tau }{\rm d}s} \bigg)\\ &\quad &+ 5{M^2}({\beta ^{ - 1}}L_g^2 + L_\sigma ^2)\bigg(\int_0^t {{{\rm e}^{ - \beta (t - s)}}{{\left| {E\left\| {x(s)} \right\|_H^2} \right|}_\tau }{\rm d}s}\bigg ). \label{e3.13}\end{eqnarray}$

依据(3.11)式, (3.13)式和推论2.1可知,系统(1.1)的温和解全局均方指数稳定.证毕.

注3.1 当去掉脉冲项时,因为本文的时滞项是与时间$t$有关的函数,因此推论$3.1$可看为文献[14]中推论$3.3$的推广.比较文献[14]中的证明过程,本文的方法更加简洁.

设$f(t, {x(t - \tau(t))}) \equiv 0, $那么系统(1.1)变为了如下的二阶随机偏微分方程

(3.14) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} dx'(t) = [Ax(t) + g(t, {x(t - \tau(t) )})]{\rm d}t + \sigma (t, {x(t - \tau(t) )}){\rm d}W(t), \;\;\;\;t \ge 0, \\ x_0(s) = \phi (s), \;\;\;\; - \tau \le s \le 0, \ \ \ \ \;x'(0) = {\phi _1}. \end{array} \right.\label{e3.14} \end{equation} $

推论3.2 设(H1)-(H2)和${b_g} = {b_\sigma } = 0$成立,那么系统(3.14)的温和解是全局$p$ -指数稳定的,若

${4^{p - 1}}{M^p}\bigg[{\beta ^{ - p}}L_g^p + {\beta ^{ - \frac{p}{2}}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2(p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}L_\sigma ^p\bigg] < 1.$

证  由(2.1), (2.2)和(3.9)式和引理2.1,命题得证.

注3.2   Arthi等在文献[14]中的引理$3.5$研究了与(3.14)类似的系统.如果不考虑脉冲项的影响,本文在时滞项上的研究可以看做是原来结论的推广.

考虑如下系统

(4.1) $\begin{eqnarray} \label{e3.15} \partial\bigg [\frac{\partial }{{\partial t}}v(t, x) - {\omega _1}v(t, x(t-1))\bigg]{\rm{ }} &=&\bigg[\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}v(t, x)+{\omega _2}v(t, x(t-1))+\sin t\bigg]{\rm d}t\\&&+ {\omega _3}v(t, x(t-1)){\rm d}W(t), \ \ t\ge 0, \;0 \le x \le \pi\end{eqnarray} $

和

(4.2) $\begin{eqnarray} \label{e3.16} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial }{{\partial t}}v(0, x) = {v_1}(x), \ \ x \in [0, \pi ], \\v(s, x) = \varphi (s, x), \;\;\; s \in [ - 1 , 0], \ \ x \in [0, \pi ], \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ \varphi (s, \cdot) \in H, $$ \varphi (\cdot, x) \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([-1, 0], H), $$H = {L^2}[0, \pi]$, ${\omega_i}(i = 1, 2, 3)$是非负的常数, $W(t)$是一个一维的Wiener过程.

设$K = \mathbb{R}$,无穷小生成子为$A= \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}:H \to H$, $D(A) = \{ v \in H:\ v (\pi) = 0, \ v'' \in H\}$,那么

$Ax = - \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{k^2}\left\langle {v, {\eta _k}} \right\rangle } {\eta _k}, \ v \in D(A), $

其中${\eta _k}(x) = \sqrt {\frac{2}{\pi }} \sin kx, \ k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n, $${\left\{ {{\eta _k}} \right\}_{n \in {\Bbb N}}}$是关于特征向量$A$的完备正交集.

定义$f, \ g$和$\sigma$满足

$f(t, x(t - 1)) = {\omega _1}v(t, x(t-1)), \;\;\;\;g(t, x(t - 1)) = {\omega _2}v(t, x(t-1))+\sin t, $

$ \sigma (t, x(t - 1)) = {\omega _3}v(t, x(t-1)).$

若(H1)-(H2)成立,且$M=1$, $\gamma = \beta = \pi$,由定理3.1,系统(4.1)和(4.2)温和解的吸引集为${S_1} = \left\{ {\varphi \in BC_{{{\cal F}_0}}^b} \right.$$\left. {\left. {([-1, 0], H)} \right|\left\| \varphi \right\|_{{L^p}}^p \le {{(1 - \Upsilon)}^{ - 1}}{I}} \right\}$,系统(4.1)和(4.2)温和解的拟不变集为${S_2} = \left\{ {\left. {\varphi \in BC_{{{\cal F}_0}}^b([-1, 0], H)} \right|\left\| \varphi \right\|_{{L^p}}^p \le R, \ R > 0} \right\}$,若

$\Upsilon=\bigg[{10^{p - 1}}{\pi ^{ - p}}(\omega _1^p + \omega _2^p) + {10^{p - 1}}{\pi ^{ - \frac{p}{2}}}\frac{{p(p - 1)}}{2}{\bigg(\frac{{2(p - 1)}}{{p - 2}}\bigg)^{\frac{{2 - p}}{2}}}\omega _3^p\bigg] < 1$

且

$I =2\cdot {10^{p - 1}}{\pi ^{ - p}}.$