变量核Marcinkiewicz积分及其交换子在变指标Morrey空间上的有界性

变量核Marcinkiewicz积分及其交换子在变指标Morrey空间上的有界性

邵旭馗^,¹, 陶双平²

Boundedness of Marcinkiewicz Integrals and Commutators with Variable Kernel on Morrey Spaces with Variable Exponents

Shao Xukui^,¹, Tao Shuangping²

通讯作者: 邵旭馗, E-mail: shwangsp@126.com

收稿日期: 2017-05-24

基金资助:

国家自然科学基金. 11561062
甘肃省高等学校科研项目. 2017A-100

Received: 2017-05-24

Fund supported:

the NSFC. 11561062
the College Scientific Research Project of Gansu Province. 2017A-100

摘要

利用变量核Marcinkiewicz积分算子μ_Ω在变指标Lebesgue空间上的有界性，证明了它们在变指标Morrey空间上的有界性.同时还得到了由μ_Ω与BMO函数b生成的交换子μ_Ω^b在变指标Morrey空间上的估计.

关键词： Marcinkiewicz积分 ; 变指标Morrey空间 ; $\mathbb{R}$ ⁿ)空间]]> ; 变量核

Abstract

In this paper, we using the boundednes results of Marcinkiewicz integrals with variable kernels μ_Ω and their commutators μ_Ω^b which generated by μ_Ω and BMO function b on Lebesgue spaces with variable exponents, the boundednes results are established on Morrey spaces with variable exponents..

Keywords： Marcinkiewicz integrals ; Morrey spaces with variable exponent ; $\mathbb{R}$ ⁿ) ]]> ; Variable kernel

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本文引用格式

邵旭馗, 陶双平. 变量核Marcinkiewicz积分及其交换子在变指标Morrey空间上的有界性. 数学物理学报[J], 2018, 38(6): 1067-1075 doi:

Shao Xukui, Tao Shuangping. Boundedness of Marcinkiewicz Integrals and Commutators with Variable Kernel on Morrey Spaces with Variable Exponents. Acta Mathematica Scientia[J], 2018, 38(6): 1067-1075 doi:

1 引言及主要结果

记 $S^{n-1}$ 为 ${\Bbb R}^n(n\geq2)$ 中的单位球面,其上的Lebesgue测度用 ${\rm d}\sigma={\rm d}\sigma(x')$ 表示.设函数 $\Omega (x, z)$ 满足

$\Omega (x, \lambda z)=\Omega (x, z), \ \ \forall x, z\in {\Bbb R}^{n}, \forall \lambda>0$

(1.1)

与消失条件

$\int_{S^{n-1}}\Omega(x, z'){\rm d}(z')=0, \ \ \forall x\in {\Bbb R}^{n}, \;\;\; z'=\frac{z}{\mid z\mid}, \ \ \forall z\in {\Bbb R}^{n}\setminus\{0\}.$

(1.2)

变量核Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 定义为

$\mu_{\Omega}(f)(x)=\left(\int_{0}^{\infty}|F_{\Omega, t}(x)|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\right)^{1/2},$

(1.3)

其中

$F_{\Omega, t}(x)=\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n-1}}f(y){\rm d}y.$

设 $b\in {\rm BMO}({\Bbb R}^n)$ ,变量核Marcinkiewicz积分交换子 $\mu^{b}_{\Omega}(f)$ 定义为

$\mu^{b}_{\Omega}(f)(x)=\left(\int_{0}^{\infty}\bigg|\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n-1}}[b(x)-b(y)]f(y){\rm d}y\bigg|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\right)^{1/2}.$

(1.4)

Stein^[1]首先证明了当 $\Omega(z)=\Omega(x, z)$ 满足 $\Omega\in{\rm Lip}_{\alpha}(S^{n-1})(0<\alpha\leq1)$ 时, Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 是 $(p, p)$ 型 $(1<p\leq2)$ 和弱 $(1, 1)$ 型的.这里 $\Omega\in {\rm Lip}_{\alpha}(S^{n-1})(0<\alpha\leq1)$ 是指,存在一个常数 $C$ ,使得

$|\Omega(x, y')-\Omega(x, z')|\leq C|y'-z'|^{\alpha}, \;\;\; \forall y', z'\in S^{n-1}.$

(1.5)

Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子 $T_{\Omega}$ 的 $L^{p}$ 有界性.他们发现这类算子与变系数的二阶线性椭圆方程密切相关.近年来,关于变量核奇异积分算子的有界性受到了人们的广泛关注,例如, Ding等^[3]得到了带变量核的Marcinkiewicz积分算子的 $L^{p}$ 有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6].

2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标 $L^{q(\cdot)}$ 上有界,调和分析中的很多经典算子,如极大算子、奇异积分算子等等都是有界的. 2012年, Wang, Fu和Liu^[8]得到了高阶Marcinkiewicz积分交换子在变指标Lebesgue空间上的有界性.Liu和Wang^[9]考虑了Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 及其交换子在变指标Morrey空间上的有界性,最近, Wang和Xu^[11]又得到了多线性Calderón-Zygmund算子及其与BMO函数生成的交换子在变指标Morrey空间上的有界性,受以上研究的启发,本文的主要目的是研究带变量核的Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 以及由 $\mu_{\Omega}$ 与BMO函数 $b$ 生成的交换子 $\mu^{b}_{\Omega}$ 在变指标Morrey空间上的有界性.

首先给出一些定义与记号.

设 $k\in Z$ ,记 $B_k=B(0, 2^k)=\{x\in {\Bbb R}^n:|x|\leq 2^k\}$ ,及 $C_k=B_k\setminus B_{k-1}$ ,并记 $\chi_k=\chi_{C_k}$ 为集 $C_k$ 的特征函数.

定义1.1 给定一个可测函数 $q(\cdot):{\Bbb R}^n\rightarrow[1, \infty)$ ,设 $f$ 是可测函数,对某个 $\eta>0$ ,变指标Lebesgue空间 $L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ 定义如下

$L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)=\bigg\{f:\int_{{\Bbb R}^n}(\frac{|f(x)|}{\eta})^{q(\cdot)}{\rm d}x<\infty, \eta>0\bigg\},$

其范数为

$\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}={\rm inf}\bigg\{\eta>0:\int_{{\Bbb R}^n}(\frac{|f(x)|}{\eta})^{q(\cdot)}{\rm d}x\leq1\bigg\}.$

易见,如果 $q(\cdot)=q_{0}$ 是常数,那么 $L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ 成为标准的Lebesgue空间 $L^{q_{0}}({\Bbb R}^n)$ .记

${\cal P}({\Bbb R}^n)=\{q(\cdot):1<q_{-}, q^{+}<\infty\}.$

用 ${\cal B}({\Bbb R}^n)$ 表示使得Hardy-Littlewood极大算子在 $L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ 上有界的所有 ${\cal P}({\Bbb R}^n)$ 中的函数 $q(\cdot)$ 构成的集合^[7].

定义1.2^[12] 设 $q\in L^{\infty}$ 并且 $1<q(\cdot)\leq\infty,$ 若存在一个常数 $C$ ,使得对任意的 $x\in{\Bbb R}^n$ 和 $r>0$ ,可测函数 $u(x, r):{\Bbb R}^n\times(0, \infty)\rightarrow(0, \infty)$ 满足

$\mathop \sum \limits_{j = 0}^\infty \frac{\|\chi_{B(x, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B(x, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}u(x, 2^{j+1}r)<C u(x, r),$

(1.6)

则称 $u(x, r)$ 是 $L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ 上的一个Morrey权函数.用 ${\Bbb W}_{q(\cdot)}$ 来表示Morrey权函数类.

定义1.3^[12] 设 $q(\cdot)\in {\cal P}({\Bbb R}^n), u(x, r)\in{\Bbb W}_{q(\cdot)}$ ,变指标Morrey空间定义为

${\cal M}_{q(\cdot), u}({\Bbb R}^n)=\bigg\{f:\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), u}}=\sup\limits_{z\in{\Bbb R}^n, r>0}\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}<\infty\bigg\}.$

容易看出,当 $\lambda, q$ 为常数,且 $u(x, r)=r^{\lambda}, 0\leq\lambda<n, q(\cdot)=q$ 时,变指标的Morrey空间 ${\cal M}_{q(\cdot), u}({\Bbb R}^n)$ 就是经典的Morrey空间 $M_{q, \lambda}({\Bbb R}^n).$

BMO空间定义如下

${\rm BMO}({\Bbb R}^n)=\bigg\{b\in L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n):\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}:=\sup\limits_{Q\subset{\Bbb R}^n}\frac{1}{|Q|}\int_{Q}|b(x)-b_{Q}|{\rm d}x<\infty\bigg\},$

其中 $b_{Q}=\frac{1}{|Q|}\int_{Q}f(y){\rm d}y.$

$\dot{\Lambda}_{\beta}({\Bbb R}^n)=\bigg\{f\in L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n):\|f\|_{\dot{\Lambda}_{\beta}({\Bbb R}^n)}:=\sup\limits_{x, y\in{\Bbb R}^n, x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\beta}}<\infty\bigg\}.$

给定 $f\in L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n)$ , Hardy-Littlewood极大算子定义为

$Mf(x)=\sup\limits_{Q\ni x}\frac{1}{|Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y,$

这里上确界取遍所有边平行于坐标轴的方体 $Q\subset{\Bbb R}^n$ , $|Q|$ 表示 $Q$ 的Lebesgue测度.

给定 $\lambda\in(0, 1)$ 及 ${\Bbb R}^n$ 上可测函数 $f$ ,局部Sharp极大算子 $M_{\lambda}^{\sharp}$ 定义为

$M_{\lambda}^{\sharp}f(x)=\sup\limits_{Q\ni x}\inf\limits_{c\in{\Bbb R}}((f-c)\chi_{Q})^{\ast}(\lambda|Q|).$

本文主要结果如下

定理1.4 设变量核Marcinkiewicz积分 $\mu_{\Omega}$ 由(1.3)式所定义, $\Omega(x, z)$ 满足条件(1.1), (1.2)和(1.5),且 $q(\cdot)\in {\cal B}({\Bbb R}^n)$ ,则 $\mu_{\Omega}$ 在变指标Morrey空间上是有界的,即存在与 $f$ 无关的常数 $C>0$ ,使得对任意的 $f\in{\cal M}_{q(\cdot), \mu}$ ,有

$\|\mu_{\Omega}(f)\|_{{\cal M}_{q(\cdot), \mu}}\leq C\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), \mu}}.$

定理1.5 设 $b\in {\rm BMO}({\Bbb R}^n)$ , $\Omega(x, z)$ 满足条件(1.1), (1.2)和(1.5), $q(\cdot)\in {\cal B}({\Bbb R}^n)$ ,且函数 $u$ 满足

$\mathop \sum \limits_{j = 1}^\infty (j+1)\frac{\|\chi_{B(x, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B(x, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\frac{u(x, 2^{j+1}r)}{u(x, r)}<C.$

(1.7)

则 $\mu_{\Omega}$ 在变指标Morrey空间上是有界的,即存在与 $f$ 无关的常数 $C>0$ ,使得对任意的 $f\in{\cal M}_{q(\cdot), \mu}$ ,有

$\|\mu_{\Omega}(f)\|_{{\cal M}_{q(\cdot), \mu}}\leq C\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), \mu}}.$

2 定理的证明

证明定理,需要以下引理

引理2.1^[13] (广义Hölder不等式) 设 $q(\cdot)\in{\cal B}({\Bbb R}^n)$ 且 $f\in L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n), g\in L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ ,则 $f, g$ 在 ${\Bbb R}^n$ 上可积,且有

$\int_{{\Bbb R}^{n}}|f(x)g(y)|{\rm d}x \leq r_{q}\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|g\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)},$

其中 $r_{q}=1+\frac{1}{q_{-}}-\frac{1}{q_{+}}$ .

引理2.2^[14] 设 $q(\cdot)\in {\cal B}({\Bbb R}^n)$ ,则存在常数 $C>0$ ,使得对 ${\Bbb R}^n$ 中所有的球 $B$ ,有

$C^{-1}\leq\frac{1}{|B|}\|\chi_{B}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C .$

(2.1)

引理2.3^[15] 设 $g\in L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n)$ ,可测函数 $\varphi$ 满足对任意 $\alpha>0$ 有

$|\{x:|\varphi(x)|>\alpha\}|<\infty,$

则

$\int_{{\Bbb R}^{n}}|\varphi(x)g(x)|{\rm d}x \leq C_n\int_{{\Bbb R}^{n}}M^{\sharp}_{\lambda_n}\varphi(x)g(x),$

(2.2)

其中 $\lambda_n\in(0, 1).$

引理2.4 若 $\Omega(x, z)$ 满足条件(1.1), (1.2)和(1.5).假设 $q(\cdot)\in{\cal B}({\Bbb R}^n)$ ,则存在常数 $C$ ,使得对任意的 $f\in L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ ,有

$\|\mu_{\Omega}(f)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C_p\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}.$

证令 $f\in L^{\infty}_{c}.$ 对于任意 $g\in L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)\subset L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n),$ 由引理2.3,我们有

$\begin{eqnarray*} \int_{{\Bbb R}^{n}}|\mu_{\Omega}(f)(x)g(x)|{\rm d}x &\leq&c_n\int_{{\Bbb R}^{n}}M^{\sharp}_{\lambda_n}(\mu_{\Omega}(f))(x)Mg(x){\rm d}x\\ &\leq &c_n\int_{{\Bbb R}^{n}}(1/\lambda_n)^{1/\delta}(\mu_{\Omega}(f))^{\sharp}_{\delta}(x)Mg(x){\rm d}x\\ &\leq &c_n\int_{{\Bbb R}^{n}}Mf(x)Mg(x){\rm d}x\\ &\leq &c_nr_{p}\|Mf\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|Mg\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq &C_{p}\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|g\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}, \end{eqnarray*}$

其中 $C_{p}=c_nr_{p}\|M\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)\rightarrow L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|M\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)\rightarrow L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}.$ 从而

$\|\mu_{\Omega}(f)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C_{p}\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}.$

由Hardy-Littlewood极大算子 $M(f)$ 与局部Sharp极大算子 $M^{\sharp}_{\lambda}(f)$ 的性质,引理2.4得证.

引理2.5^[14] 设 $b\in {\rm BMO}, m\in{\Bbb N}, i, j\in{\Bbb Z}$ ,满足 $i<j,$ 则有

$C^{-1}\|b\|^{m}_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\leq\sup\limits_{B}\frac{\|(b-b_{B})^{m}\chi_{B}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\leq\|b\|^{m}_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)},$

(2.3)

$\|(b-b_{B_i})^{m}\chi_{B_j}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C(j-i)^{m}\|b\|^{m}_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)},$

(2.4)

其中 $B=(x, r), B_i=(x, 2^{ir})$ .

引理2.6 若 $\Omega(x, z)$ 满足条件(1.1), (1.2)和(1.5).假设 $q(\cdot)\in {\cal B}({\Bbb R}^n)$ ,则存在常数 $C$ ,使得对任意的 $f\in L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ ,有

$\|\mu^{b}_{\Omega}(f)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\|f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}.$

利用文献[8]与[16]中相应定理的证明方法可证引理2.6.

定理1.4的证明 设 $f\in{\cal M}_{q(\cdot), u}.$ 对任意的 $z\in{\Bbb R}^n$ 和 $r>0$ ,分解 $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ,其中 $f_{1}=f\chi_{B(z, 2r)}, f_{2}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}f_{j}, f_{j}=f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)},$ 则

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)} &\leq&\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f_1)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &&+\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f_2)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &=:&E_1+E_2. \end{eqnarray*}$

先估计 $E_1$ .由引理2.4, $\mu_{\Omega}(f)$ 在 $L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$ 上有界,所以我们有

$\begin{eqnarray*} E_1 &\leq&C\frac{1}{u(z, 2r)}\|\chi_{B(z, 2r)}f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sup\limits_{y\in{\Bbb R}^n, r>0}\frac{1}{u(y, r)}\|\chi_{B(y, r)}f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), u}}. \end{eqnarray*}$

下面估计 $E_2$ .注意到当 $x\in B(z, r), y\in B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)$ 时,有

$2^{j-1}r\leq|y-z|-|x-z|\leq|x-y|<t.$

因此,应用Hölder不等式有

$\begin{eqnarray*} |\mu_\Omega(f_2)(x)| &\leq&\sum\limits_{j=1}^{\infty}\bigg(\int_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n-1}}|f(y)|{\rm d}y\bigg)\bigg(\int^{\infty}_{2^{(j-1)n}r^{n}}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{1/2}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{1}{n}}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)}\frac{\Omega(x, x-y)}{|x-y|^{n-1}}|f(y)|{\rm d}y. \end{eqnarray*}$

又由条件(1.5)知 $\Omega$ 有界,利用引理2.1,有

$\begin{eqnarray*} |\mu_\Omega(f_2)(x)|&\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{1}{n}}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)}\frac{|f(y)|}{|x-y|^{n-1}}{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{1}{n}}}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{n-1}{n}}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}.\end{eqnarray*}$

因此

$|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f_2)(x)|\leq C\mathop \sum \limits_{j = 1}^\infty \frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\cdot\chi_{B(z, r)}.$

上式两端同时取范数 $\|\cdot\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}$ ,可得

$\begin{eqnarray*} \|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f_2)(x)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)} &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &&\cdot\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}. \end{eqnarray*}$

在引理2.2中,取 $B=B(z, 2^{j+1}r)$ ,则

$\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\leq C\frac{2^{(j+1)n}r^{n}}{\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}.$

(2.5)

由(2.5)式知

$\begin{eqnarray*} &&\|\chi_{B(z, r)}\mu_\Omega(f_2)(x)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)} \\&\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\frac{2^{(j+1)n}r^{n}}{\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\frac{u(z, 2^{(j+1)}r)}{u(z, 2^{(j+1)}r)}\|f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}u(z, 2^{(j+1)}r)}{\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\sup\limits_{z\in{\Bbb R}^n, r>0}\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}. \end{eqnarray*}$

由定义1.2,若 $u\in{\Bbb W}_{q(\cdot)}$ ,有

$\mathop \sum \limits_{j = 1}^\infty \frac{\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B(z, 2^{j+1}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}\frac{u(z, 2^{(j+1)}r)}{u(z, r)}<C.$

因此

$E_2\leq C\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), u}}.$

从而定理1.4得证.

定理1.5的证明 设 $f\in{\cal M}_{q(\cdot), u}, b\in {\rm BMO}({\Bbb R}^n)$ 对任意的 $z\in{\Bbb R}^n$ 和 $r>0$ ,分解 $f(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ,其中 $f_{1}=f\chi_{B(z, 2r)}, f_{2}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}f_{j}, f_{j}=f\chi_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)},$ 记

$\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_{\Omega}^{b}(f)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_{\Omega}^{b}(f_1)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}+\frac{1}{u(z, r)}\|\chi_{B(z, r)}\mu_{\Omega}^{b}(f_2)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &=:&F_1+F_2. \end{eqnarray*}$

由引理2.6及定理1.4中关于 $E_1$ 的估计,我们有 $F_1\leq C\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), u}}$ .

以下估计 $F_2,$ 当 $x\in B(z, r), y\in B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)$ 时,有

$2^{j-1}r\leq|y-z|-|x-z|\leq|x-y|<t.$

因此,应用Hölder不等式有

$\begin{array}{l} \|\mu_\Omega^{b}(f)(x)\| =\bigg(\int^{\infty}_{0}\bigg|\int_{(B(z,r))^{c}\bigcap\{y:|x-y|<t\}}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}[b(x)-b(y)]f(y)\bigg|^{2}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq\sum\limits_{j=1}^{\infty}\bigg(\int_{B(z,2^{j+1}r)\setminus B(z,2^{j}r)}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}[b(x)-b(y)]|f(y)|{\rm d}y\bigg)\bigg(\int^{\infty}_{2^{(j-1)n}r^{n}}\frac{{\rm d}t}{t^{3}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\leq C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{1}{n}}}\cdot\int_{B(z,2^{j+1}r)\setminus B(z,2^{j}r)}\frac{\Omega(x,x-y)}{|x-y|^{n-1}}[b(x)-b(y)]|f(y)|{\rm d}y. \end{array}$

应用广义Hölder不等式,有

$\begin{eqnarray*} \|\mu_\Omega^{b}(f)(x)\| &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)}r|^{\frac{1}{n}}}\cdot\int_{B(z, 2^{j+1}r)\setminus B(z, 2^{j}r)}\frac{|b(x)-b(y)|}{|x-y|^{n-1}}|f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{|2^{(j+1)n}r^{n}|^{\frac{1}{n}}}\frac{1}{|2^{(j+1)}r|^{\frac{n-1}{n}}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|b(x)-b(y)||f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|b(x)-b(y)||f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}|b(x)-b_{B(z, r)}|\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|f(y)|{\rm d}y\\ &&+ C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\int_{B(z, 2^{j+1}r)}|b_{B(z, r)}-b(y)||f(y)|{\rm d}y\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}|b(x)-b_{B(z, r)}|\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &&+C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|(b_{B(z, r)}-b)\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}, \end{eqnarray*}$

现记 $I=\|\chi_{B(z, r)}\mu_{\Omega}^{b}(f_2)\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}$ ,则

由引理2.5,有

$\begin{eqnarray*} I &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|b\|_{{\rm BMO}} \|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &&+C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{j+1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|b\|_{{\rm BMO}} \|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{j+1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|b\|_{{\rm BMO}}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)} \|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}. \end{eqnarray*}$

将(2.5)式代入上式,可得

$\begin{eqnarray*} I &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}\frac{j+1}{2^{(j+1)n}r^{n}}\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &&\cdot\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)} \frac{2^{(j+1)n}r^{n}}{\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}} \|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}(j+1)\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\frac{\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}}{\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)} ({\Bbb R}^n)}}\frac{u(z, 2^{(j+1)}r)}{u(z, 2^{(j+1)}r)}\|f\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}\\ &\leq&C\sum\limits_{j=1}^{\infty}(j+1)\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\frac{\|\chi_{B(z, r)}\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}u(z, 2^{(j+1)}r)}{\|\chi_{B(z, 2^{(j+1)}r)}\|_{L^{q(\cdot)} ({\Bbb R}^n)}}\\ &&\cdot\sup\limits_{y\in{\Bbb R}^n, r>0}\frac{1}{u(y, r)}\|\chi_{B(y, r)}f\|_{L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)}. \end{eqnarray*}$

因此,由(1.7)式,可得

$F_2\leq C\|b\|_{{\rm BMO}({\Bbb R}^n)}\|f\|_{{\cal M}_{q(\cdot), u}}.$

至此,定理1.5得证.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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变量核Marcinkiewicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间中的有界性

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Wang

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, Tao

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Boundedness of Marcinkiewicz integral commutators with variable kernels on homogeneous Morrey-Herz spaces

J Sys Sci and Math Scis, 2013, 33 (12): 1498- 1506

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On the function of Littlewood-Paley, Lusin and Marcinkiewicz

1958

... Stein^[1]首先证明了当

$\Omega(z)=\Omega(x, z)$

满足

$\Omega\in{\rm Lip}_{\alpha}(S^{n-1})(0<\alpha\leq1)$

时, Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

是

$(p, p)$

型

$(1<p\leq2)$

和弱

$(1, 1)$

型的.这里

$\Omega\in {\rm Lip}_{\alpha}(S^{n-1})(0<\alpha\leq1)$

是指,存在一个常数

$C$

,使得 ...

On a problem of Mihlin

1995

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性.他们发现这类算子与变系数的二阶线性椭圆方程密切相关.近年来,关于变量核奇异积分算子的有界性受到了人们的广泛关注,例如, Ding等^[3]得到了带变量核的Marcinkiewicz积分算子的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

On the Marcinkiewicz integral with variable kernels

2004

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间的有界性

2010

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间的有界性

2010

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

带变量核的Marcinkiewicz积分交换子的加权Lipschitz估计

2012

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

带变量核的Marcinkiewicz积分交换子的加权Lipschitz估计

2012

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

变量核的Marcinkiewicz高阶交换子在Hardy空间的有界性

2013

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

变量核的Marcinkiewicz高阶交换子在Hardy空间的有界性

2013

... Calderón等^[2]考虑了带变量核的奇异积分算子

$T_{\Omega}$

的

$L^{p}$

有界性; Tao等^[4]证明了带变量核的Marcinkiewicz积分算子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性;有关变量核Marcinkiewicz积分的相关结果见文献[5-6]. ...

The boundedness of classical operators on variable L^p spaces

2006

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

上有界,调和分析中的很多经典算子,如极大算子、奇异积分算子等等都是有界的. 2012年, Wang, Fu和Liu^[8]得到了高阶Marcinkiewicz积分交换子在变指标Lebesgue空间上的有界性.Liu和Wang^[9]考虑了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Morrey空间上的有界性,最近, Wang和Xu^[11]又得到了多线性Calderón-Zygmund算子及其与BMO函数生成的交换子在变指标Morrey空间上的有界性,受以上研究的启发,本文的主要目的是研究带变量核的Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

... 用

${\cal B}({\Bbb R}^n)$

表示使得Hardy-Littlewood极大算子在

$L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n)$

上有界的所有

${\cal P}({\Bbb R}^n)$

中的函数

$q(\cdot)$

构成的集合^[7]. ...

变指标Lebesgue空间上的Marcinkiewicz积分高阶交换子

2012

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

... 利用文献[8]与[16]中相应定理的证明方法可证引理2.6. ...

变指标Lebesgue空间上的Marcinkiewicz积分高阶交换子

2012

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

... 利用文献[8]与[16]中相应定理的证明方法可证引理2.6. ...

Boundedness of Marcinkiewicz integral on Herz spaces with variable exponent

2012

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

变指标Morrey空间上的Marcinkiewicz积分

2016

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

变指标Morrey空间上的Marcinkiewicz积分

2016

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

Multilinear Calderón-Zygmund operators and their commutators with BMO functions in variable exponent Morrey spaces

2017

... 2006年, Cruz-Uribe等^[7]证明了只要Hardy-Littlewood极大算子在变指标

$L^{q(\cdot)}$

$\mu_{\Omega}$

及其交换子在变指标Herz空间上的有界性.Tao等^[10]证明了Marcinkiewicz积分

$\mu_{\Omega}$

以及由

$\mu_{\Omega}$

与BMO函数

$b$

生成的交换子

$\mu^{b}_{\Omega}$

在变指标Morrey空间上的有界性. ...

The fractional integral operators on Morrey spaces with variable exponent on unbounded domains

2013

... 定义1.2^[12] 设

$q\in L^{\infty}$

并且

$1<q(\cdot)\leq\infty,$

若存在一个常数

$C$

,使得对任意的

$x\in{\Bbb R}^n$

和

$r>0$

,可测函数

$u(x, r):{\Bbb R}^n\times(0, \infty)\rightarrow(0, \infty)$

满足 ...

... 定义1.3^[12] 设

$q(\cdot)\in {\cal P}({\Bbb R}^n), u(x, r)\in{\Bbb W}_{q(\cdot)}$

,变指标Morrey空间定义为 ...

On spaces L^p(x) and W^{k, p(x)}

1991

... 引理2.1^[13] (广义Hölder不等式) 设

$q(\cdot)\in{\cal B}({\Bbb R}^n)$

且

$f\in L^{q(\cdot)}({\Bbb R}^n), g\in L^{q'(\cdot)}({\Bbb R}^n)$

,则

$f, g$

在

${\Bbb R}^n$

上可积,且有 ...

Fractional integrals on Herz-Morrey spaces with variable exponent

2010

... 引理2.2^[14] 设

$q(\cdot)\in {\cal B}({\Bbb R}^n)$

,则存在常数

$C>0$

,使得对

${\Bbb R}^n$

中所有的球

$B$

,有 ...

... 引理2.5^[14] 设

$b\in {\rm BMO}, m\in{\Bbb N}, i, j\in{\Bbb Z}$

,满足

$i<j,$

则有 ...

Weighted norm inequality for the local sharp maximal function

2004

... 引理2.3^[15] 设

$g\in L^{1}_{{\rm loc}}({\Bbb R}^n)$

,可测函数

$\varphi$

满足对任意

$\alpha>0$

有 ...

变量核Marcinkiewicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间中的有界性

2013

... 利用文献[8]与[16]中相应定理的证明方法可证引理2.6. ...

变量核Marcinkiewicz积分交换子在齐次Morrey-Herz空间中的有界性

2013

... 利用文献[8]与[16]中相应定理的证明方法可证引理2.6. ...

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