弦长积分的极限性质与不等式

弦长积分的极限性质与不等式

曾春娜^,¹, 李冉^,², 朱保成^,³

Some Properties and Inequalities for Chord-Integrals of Star Bodies

Zeng Chunna^,¹, Li Ran^,², Zhu Baocheng^,³

通讯作者: 朱保成, zhubaocheng814@163.com

收稿日期: 2017-09-20

基金资助:

国家自然科学基金.  11501185
国家自然科学基金.  11801048
重庆市基础科学与前沿技术研究专项.  cstc2017jcyjAX0022
重庆市留学人员回国创业创新支持计划.  cx2018034

Received: 2017-09-20

Fund supported:

Supported by the NSFC.  11501185
Supported by the NSFC.  11801048
the Chongqing Basic Science and Frontier Technology Research Project.  cstc2017jcyjAX0022
the Venture & Innovation Support Program for Chongqing Overseas Returnees.  cx2018034

作者简介 About authors

曾春娜,E-mail:zengchn@163.com , E-mail：zengchn@163.com

李冉,E-mail:lizhunran@163.com , E-mail：lizhunran@163.com

摘要

该文获得了 $\mathbb{R}$ ⁿ中星体弦长积分的一些极限性质，建立了星体弦长积分的不等式，包括弦长积分和对偶均质积分之间的不等式以及对偶Blaschke-Santaló不等式.

关键词： 凸体 ; 星体 ; 宽度积分 ; 弦长积分

Abstract

In this paper, we obtain some limit properties of chord-integrals in $\mathbb{R}$ ⁿ, and establish some inequalities for chord-integrals of star bodies, including the inequalities between chord-integrals and dual quermass-integrals, the dual Blaschke-Santaló inequality and so on.

Keywords： Convex bodies ; Star bodies ; Width-integrals ; Chord-integrals

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本文引用格式

曾春娜, 李冉, 朱保成. 弦长积分的极限性质与不等式. 数学物理学报[J], 2018, 38(6): 1049-1057 doi:

Zeng Chunna, Li Ran, Zhu Baocheng. Some Properties and Inequalities for Chord-Integrals of Star Bodies. Acta Mathematica Scientia[J], 2018, 38(6): 1049-1057 doi:

1 引言

设 ${\cal K}^n$ 表示 $n$ 维欧氏空间 $\mathbb{R} ^n$ 中所有的凸体(含非空内点的紧凸集),用 $V(K)$ 和 $S(K)$ 分别表示 $K\in {\cal K}^n$ 的体积和表面积. ${\cal K}_o^n$ 表示 ${\cal K}^n$ 中所有包含原点的凸体的集合.设 $B$ 为以原点为中心的单位球,其体积记为 $\omega_n$ , $S^{n-1}$ 表示 $\mathbb{R} ^n$ 中的单位球面, $u$ 表示 $\mathbb{R} ^n$ 中的单位向量.

凸体的宽度积分首先由Blaschke^[1]提出,随后Hadwiger^[2]又作了进一步研究, Lutwak^[3]更为深入地研究了宽度积分,并定义了 $i$ 次宽度积分:设 $K\in {\cal K}^n$ ,则 $K$ 的 $i$ 次宽度积分定义为

$B_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}b_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u),$

其中 $i\in \mathbb R$ , $b_K(u)$ 表示凸体 $K$ 在 $u$ 方向上的半宽度, ${\rm d}S(u)$ 表示 $S^{n-1}$ 在 $u$ 的面积元.

Lutwak在1975年定义的 $i$ 次宽度积分是凸体的一个重要的几何量,并得到许多关于凸体度量性质的不等式.关于宽度积分的研究,参见文献[4, 6, 10-14].受Lutwak工作的启发,在文献[14]中,作者引入了星体弦长积分的概念,研究了其性质并建立了有关星体弦长积分的不等式.作为应用,作者给出了相交体的星对偶的Brunn-Minkowski型不等式和星体弦长积分的Aleksandrov-Fenchel型不等式的局部形式.在文献[15]中,作者研究了星体弦长积分的性质,并建立了星体弦长积分的Brunn-Minkowski型不等式和对偶的Bieberbach型不等式.

本文继续研究星体弦长积分,并得到了关于弦长积分一些性质,主要是一些弦长积分的极限值(定理3.1-3.3).我们还建立了一些新的弦长积分不等式,包括关于弦长积分和对偶均质积分之间的不等式(定理4.3-4.5),对偶Blaschke-Santaló不等式等.

2 预备知识

设 $K\in {\cal K}^n$ , $K$ 的支撑函数定义为: $h_{K}(u)=\max\{u\cdot x: x\in K\}, u\in S^{n-1}.$ 设 $b_K(u)$ 表示凸体 $K$ 在 $u\in S^{n-1}$ 方向上的半宽度,其定义为

$b_K(u)=\frac{1}{2}[h_K(u)+h_K(-u)].$

一个集合 $K$ 称为包含坐标原点的星形,如果每一个通过原点的直线交 $K$ 成闭线段.如果 $K$ 是一个包含原点的星形,则它的径向函数定义为: $\rho_K(u)=\max\{\lambda\geq 0, \lambda u\in K \}, u\in S^{n-1}.$ 如果 $K$ 的径向函数是正的且连续,则称 $K$ 是一个包含原点的星体,所有这样的星体构成的集合记为 $S_o^n$ .对于 $u\in S^{n-1}$ , $p_K(u)$ 表示 $K$ 在 $u$ 方向上的半弦长,其定义为

$p_K(u)=\frac{1}{2}[\rho_K(u)+\rho_K(-u)], \;\;\;u\in S^{n-1}.$

设 $K, L\in S_o^n$ ,如果存在一个常数 $\lambda > 0$ ,使得对于所有的 $u\in S^{n-1}$ ,有 $\rho_K(u)=\lambda \rho_L(u)$ ,则称星体 $K$ 和 $L$ 互为膨胀.设 $K, L\in S_o^n$ , $\lambda, \mu >0$ , $K$ 与 $L$ 的径向线性组合 $\lambda K\widetilde{+}\mu L\in S_o^n$ ,且 $\rho_{\lambda K\widetilde{+}\mu L}(u)=\lambda \rho_K(u)+\mu \rho_L(u).$ 根据 $p_K(u)$ 的定义,有 $p_{K\widetilde{+}L}(u)=p_K(u)+p_L(u).$

定义2.1^[3] 若 $K_i\in {\cal K}^n (i=1, 2, \cdots, r)$ , $\lambda_i(i=1, 2, \cdots, r)$ 是非负实数,则

$\begin{equation}\label{eq:2.1} V\bigg(\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_iK_i\bigg)=\sum\limits_{i_1, \cdots, i_n=1}^r\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_n}V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n}), \end{equation}$

(2.1)

其中 $V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n})$ 称为 $K_{i_1}, \cdots, K_{i_n}$ 的混合体积.令 $K_1=\cdots=K_{n-i}=K$ 和 $K_{n-i+1}=\cdots=K_n=L$ ,则混合体积 $V(K, \cdots, K, L, \cdots, L)$ 通常记为 $V_i(K, L)$ .设 $L=B$ ,则称 $V_i(K, B$ )为 $K$ 的 $i$ 次均质积分并记为 $W_i(K)$ .

定义2.2^[4] 若 $K_j\in S_o^n (1\leq j\leq n)$ ,则 $K_1, \cdots K_n$ 的对偶混合体积 $\widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)$ 为

$\widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K_1}(u)\cdots\rho_{K_n}(u){\rm d}S(u).$

通常 $\widetilde{V}_i(K_1, K_2)$ 表示 $\widetilde{V}(K_1, n-i; K_2, i)$ ,即 $K_1$ 出现了 $n-i$ 次, $K_2$ 出现了 $i$ 次.

若 $K\in S_o^n, i=0, 1, \cdots, n$ ,则 $K$ 的 $i$ 阶对偶均质积分定义为^[4]

$\widetilde{W}_i(K)=\widetilde{V}(K, n-i;B, i)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

特别地, $\widetilde{W}_0(K)=V(K), \widetilde{W}_n(K)=\omega_{n}$ .

星体 $K$ 的星对偶 $K^{\circ}$ 的定义是由Moszyńska引入的(文献[18]).对任意的 $u\in S^{n-1}$ ,星体 $K$ 的星对偶 $K^{\circ}$ 由下面的径向函数给出

$\rho_{K^{o}}(u)=\frac{1}{\rho_{K}(u)}.$

3 弦长积分的性质

定义3.1^[15-16] 设 $K\in S_o^{n}$ , $i\in \mathbb{R}$ , $K$ 的 $i$ 阶弦长积分定义为

$P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

对于每个固定的 $i$ ,易知 $P_i(K)$ 是一个映射

$P_i: S_o^{n}\rightarrow \mathbb{R} .$

弦长积分具备如下的性质:

(1)对于任意的 $i\in\mathbb{ R}$ , $P_i(B)=\omega_n$ ;对于任意的 $K\in S_o^{n}$ , $P_n(K)=\omega_n$ .

(2) ( $n-i$ 阶齐次性):若 $\lambda \geq 0$ ,则 $P_i(\lambda K)=\lambda^{n-i}P_i(K)$ .

(3) (连续性): $P_i(K)$ 是一个关于 $K$ 的连续函数.

(4) (单调性):若 $K\subseteq L$ ,则当 $i\leq n$ 时, $P_i(K)\leq P_i(L)$ ;当 $i> n$ 时, $P_i(K)\geq P_i(L)$ .

(5) (旋转不变性):对 $\mathbb{R} ^{n}$ 中的任意旋转运动 $g$ ,则 $P_i(gK)=P_i(K)$ .

定义3.2^{[7, 17]} 设 $f$ 为定义在 $S^{n-1}$ 上的正的连续函数,对于任意的实数 $p\neq 0$ , $f$ 的 $p$ 平均 $M_p[f]$ 定义为

$M_p[f]=\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}f^p(u){\rm d}S(u)\right]^{\frac{1}{p}}.$

特别地,当 $p=-\infty, 0, +\infty$ 时,则 $M_p[f]$ 定义为

$\lim\limits_{s\rightarrow p}M_s[f].$

引理3.1^{[7, 17]} 设 $f$ 为定义在 $S^{n-1}$ 上的正的连续函数, $M_p[f]$ 代表 $f$ 的 $p$ 平均,则

$\begin{equation} M_{+\infty}[f]=\max\{f(u)| u\in S^{n-1}\}, \label{le:2.1} \end{equation}$

(3.1)

$\begin{equation} M_{-\infty}[f]=\min\{f(u)| u\in S^{n-1}\}.\label{le:2.2} \end{equation}$

(3.2)

由引理3.1,我们可以得到关于弦长积分的如下极限性质.

定理3.1 设 $K\in S_o^n$ , $i\neq n$ ,则

$\lim\limits_{i\rightarrow +\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\min\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\},$

即为 $K$ 的最小半弦长.

$\lim\limits_{i\rightarrow -\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\max\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\},$

即为 $K$ 的最大半弦长.

证由于 $P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)$ ,所以当 $i\neq n$ 时

$\frac{P_i(K)}{\omega_n}=\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u),$

则

$M_{n-i}[p_K]=\bigg[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}.$

因为 $p_K(u)$ 为 $S^{n-1}$ 上的正的连续函数,由(3.2)式知

$\lim\limits_{i\rightarrow +\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}} =\lim\limits_{i\rightarrow +\infty}M_{n-i}[p_K] =\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}M_{t}[p_K]= \min\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}.$

同理,由(3.1)式知

$\lim\limits_{i\rightarrow -\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\max\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}.$

证毕.

定理3.2 若 $K\in S_o^n$ , $i\neq n$ ,则

$\begin{equation} \lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\exp\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}} \ln(p_K(u)){\rm d}S(u)\right]. \end{equation}$

(3.3)

证由弦长积分定义

$\lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}= \lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}.$

令 $t=n-i$ ,则

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow 0}\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{t}{\rm d}S(u)\right]^{\frac{1}{t}}& =&\lim\limits_{t\rightarrow 0}\exp\bigg[{\frac{\ln{(\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u))}}{t}}\bigg]\\ &=&\exp\lim\limits_{t\rightarrow 0}\bigg[{\frac{\ln{(\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u))}-\ln(n\omega_n)}{t}}\bigg]\\& =&\exp\lim\limits_{t\rightarrow 0}\bigg[\frac{\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)}{\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u)}\bigg]\\ &=&\exp\bigg[\frac{\int_{S^{n-1}}\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)}{n\omega_n}\bigg]\\ &=&\exp\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)\right]. \end{eqnarray*}$

证毕.

Lutwak在1988年得到了关于混合体积 $V_1(K, L)$ 的重要命题.

命题3.1^[8] 若 $K, L\in {\cal K}^n$ ,则

$\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon}=nV_1(K, L).$

与命题3.1类似,我们得到关于星体弦长积分的如下定理.

定理3.3 若 $K\in S_o^n$ , $\mu>0, j=0, 1, 2, \cdots, n-1$ , $K_\mu=K\widetilde{+}\mu B$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:2.4} \lim\limits_{\mu\rightarrow 0^{+}}\frac{P_j(K_\mu)-P_j(K)}{\mu}=(n-j)P_{j+1}(K). \end{equation}$

(3.4)

特别地,当 $j=0$ 时,有

$\lim\limits_{\mu\rightarrow 0^{+}}\frac{P_0(K_\mu)-P_0(K)}{\mu}=nP_1(K).$

证

$\begin{eqnarray*} \frac{P_j(K_\mu)-P_j(K)}{\mu}&=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_{K_\mu}(u)^{n-j}{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(p_K(u)+\mu)^{n-j}{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}[\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}p_K(u)^{n-j-i}\mu^i]{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-(j+i)}\mu^i{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\&=&\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}P_{j+i}(K)\mu^i-P_j(K)}{\mu}\\& =&\frac{P_j(K)+{n-j\choose 1}P_{j+1}(K)\mu+\cdots+{n-j\choose n-j}P_n(K)\mu^n-P_j(K)}{\mu}\\ &=&(n-j)P_{j+1}(K)+O(\mu)\rightarrow (n-j)P_{j+1}(K) (\mu\rightarrow 0^{+}). \end{eqnarray*}$

证毕.

4 弦长积分不等式

定理4.1 若 $K\in {\cal K}_o^n$ , $0\leq i\leq n, i\in N$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.1} P_i(K)\leq B_i(K), \end{equation}$

(4.1)

等号成立当且仅当 $i=n$ 或者 $K$ 是 $n$ 维球体.

证对任意的 $u\in S^{n-1}$ , $\rho_K(u)\leq h_k(u)$ .且

$p_K(u)=\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2}, \;\;\;b_K(u)=\frac{h_K(u)+h_K(-u)}{2},$

所以 $p_K(u)\leq b_K(u)$ ,进而

$p_K(u)^{n-i}\leq b_K(u)^{n-i}.$

所以 $P_i(K)\leq B_i(K)$ .

当 $i=n$ 时, $P_i(K)=B_i(K)=\omega_n$ ,等号成立.

当 $0\leq i < n, i\in N$ 时,等号成立当且仅当对任意的 $u\in S^{n-1}$ , $p_K(u)=b_K(u)$ ,即 $K$ 为 $n$ 维球体.

引理4.1^{[7, 17]} 若 $f$ 为定义在 $S^{n-1}$ 上的正的连续函数, $p, q\neq 0, p < q$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.2} M_p[f]\leq M_q[f], \end{equation}$

(4.2)

等号成立当且仅当 $f$ 为 $S^{n-1}$ 上的常函数.

定理4.2 若 $K\in S_o^n$ , $i, j\neq n, i>j$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.3} \bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\leq \bigg[\frac{P_j(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-j}}, \end{equation}$

(4.3)

等号成立当且仅当 $K$ 的弦长为常数.

证由定义

$P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u), \;\;\;P_j(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-j}{\rm d}S(u),$

所以

$\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=M_{n-i}[p_K], \;\;\;\bigg[\frac{P_j(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-j}}=M_{n-j}[p_K].$

因为 $i, j\neq n, i>j$ ,所以 $n-i < n-j$ .由(4.2)式得

$M_{n-i}[p_K]\leq M_{n-j}[p_K].$

由引理4.1,等号成立当且仅当 $p_k(u)$ 为常数,即 $K$ 的弦长为常数.

定理4.3 若 $K\in S_o^n$ , $0\leq i < n-1, i\in N$ ,则

$\begin{eqnarray*} P_i(K)> \frac{1}{2^{n-i-1}}\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*}$

特别地,当 $i=0$ 时, $P_0(K)> \frac{1}{2^{n-1}}V(K).$

证由于 $n-i> 1$ ,则由文献[17],有

$\begin{eqnarray*} P_i(K)&=&\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)}{2}+\frac{\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\\& >&\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)+\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\\ &=&\frac{1}{2^{n-i}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u))^{n-i}{\rm d}S(u)+\frac{1}{2^{n-i}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\\& =&\frac{1}{2^{n-i-1}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u))^{n-i}{\rm d}S(u)\\ &=&\frac{1}{2^{n-i-1}}\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*}$

证毕.

定理4.4 若 $K\in S_o^n$ ,则当 $0\leq i\leq n-1, i\in N$ 时,有

$\begin{equation}\label{eq:3.5.0} P_i(K)\leq \widetilde{W}_i(K). \end{equation}$

(4.4)

当 $n < i\leq 2n, i\in N$ 时,有

$\begin{equation}\label{eq:3.6.0} P_i(K)\leq \widetilde{W}_{2n-i}(K^{\circ}). \end{equation}$

(4.5)

(4.4)式和(4.5)式等号成立当且仅当 $K$ 是关于原点的中心对称体.当 $i=n-1$ 时, (4.4)式为恒等式.

证 $i=n-1$ 时,显然 $P_{n-1}=\widetilde{W}_{n-1}(K)$ .

(1)当 $0\leq i < n-1, i\in N$ 时,由Minkowski积分不等式,有

$\begin{eqnarray*}P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}&=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg[\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u)+\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\& \leq &\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg\{\bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}+ \bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(-u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\bigg\}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{1}{n-i}}=\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*}$

即 $P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}\leq \widetilde{W}_i(K)^{\frac{1}{n-i}}$ ,所以 $P_i(K)\leq \widetilde{W}_i(K)$ .

等号成立当且仅当存在正数 $\lambda$ ,对任意的 $u\in S^{n-1}$ 都有 $\rho_K(u)=\lambda \rho_K(-u)$ ,即 $\rho_K(u)= \rho_K(-u)$ ,也就是 $K$ 为关于原点的中心对称体.

(2)当 $n < i\leq 2n, i\in N$ 时,由逆向的Minkowski不等式

$\begin{eqnarray*}P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}&=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}} \bigg[\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u)+\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{ 1}{n-i}}\\&\geq&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg\{\bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}+ \bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(-u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\bigg\}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{1}{n-i}}\\& =&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K^{\circ}}(u)^{n-(2n-i)}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\widetilde{W}_{2n-i}(K^\circ)^{\frac{1}{n-i}}. \end{eqnarray*}$

即 $P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}\geq \widetilde{W}_{2n-i}(K^\circ)^{\frac{1}{n-i}}$ .因为 $n-i < 0$ ,所以 $P_i(K)\leq \widetilde{W}_{2n-i}(K^{\circ})$ .

等号成立当且仅当存在正数 $\lambda$ ,对任意的 $u\in S^{n-1}$ 都有 $\rho_K(u)=\lambda \rho_K(-u)$ ,即 $\rho_K(u)= \rho_K(-u)$ ,也就是 $K$ 为关于原点的中心对称体.证毕.

引理4.2(星体弦长积分的循环不等式)^[15-16] 若 $K\in S_o^n$ , $i < j < k$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.5} P_j(K)^{k-i}\leq P_i(K)^{k-j}P_k(K)^{j-i}, \end{equation}$

(4.6)

等号成立当且仅当 $K$ 的弦长为常数.

定理4.5 若 $K\in S_o^n$ , $0 < i < n$ ,则

$P_{n+i}(K)^n\leq \omega_n^{n-i} V(K^\circ)^i,$

等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

证在定理4.4中,令 $i=2n$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.6} P_{2n}(K)\leq \widetilde{W}_0(K^\circ)=V(K^\circ), \end{equation}$

(4.7)

等号成立当且仅当 $K$ 为关于原点的中心对称体.

在引理4.2中,令 $k=2n, i=n, j=n+i$ , (4.6)式成为

$P_{n+i}(K)^{n}\leq P_n(K)^{n-i} P_{2n}(K)^{i},$

即

$\begin{equation}\label{eq:3.7} P_{n+i}(K)^{n}\leq \omega_n^{n-i} P_{2n}(K)^{i}, \end{equation}$

(4.8)

等号成立当且仅当 $K$ 的弦长为常数.

由(4.7)和(4.8)式,有 $P_{n+i}(K)^n\leq \omega_n^{n-i} V(K^\circ)^i,$ 等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

引理4.3(对偶的Bieberbach型不等式)^[16] 若 $K\in S_o^n$ ,则

$V(K)\geq \omega_n^2P_{2n}(K)^{-1},$

等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

凸体几何中有如下的著名的Blaschke-Santaló不等式.

命题4.1(Blaschke-Santaló不等式)^[9] 若 $K\in {\cal K}^n$ ,则

$V(K)V(K^{*})\leq \omega_n^2,$

等号成立当且仅当 $K$ 为 $n$ 维椭球.

由引理4.3和(4.7)式,我们得到如下对偶Blaschke-Santaló不等式.

定理4.6 若 $K\in S_o^n$ ,则

$\begin{equation} V(K) V(K^\circ)\geq \omega_n^2, \end{equation}$

(4.9)

等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

证由(4.7)式,有 $P_{2n}(K)\leq V(K^\circ).$ 由引理4.3,有

$V(K)\geq \omega_n^2P_{2n}(K)^{-1}\geq \omega_n^2V(K^\circ)^{-1}.$

所以 $V(K)\cdot V(K^\circ)\geq \omega_n^2$ ,等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

定理4.7 若 $K\in S_o^n, 0\leq i < n, i\in N$ ,则

$\begin{equation} \omega_n^{n+1-i}\leq \widetilde{W}_{n-1}^{n-i}(K) \widetilde{W}_i(K^\circ), \end{equation}$

(4.10)

等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

证在引理4.2中,令 $j=n, k=2n-i, i=n-1$ ,则

$\begin{equation}\label{eq:3.10} P_n(K)^{n+1-i}\leq P_{n-1}(K)^{n-i}P_{2n-i}(K). \end{equation}$

(4.11)

由于 $P_n(K)=\omega_n, P_{n-1}(K)=\widetilde{W}_{n-1}(K)$ ,所以(4.11)式成为

$\begin{equation}\label{eq:3.11} \omega_n^{n+1-i}\leq\widetilde{W}_{n-1}^{n-i}(K)P_{2n-i}(K). \end{equation}$

(4.12)

等号成立当且仅当 $K$ 的弦长为常数.

由于 $0\leq i < n$ ,所以 $n < 2n-i\leq 2n$ .由定理4.4,有

$\begin{equation}\label{eq:3.12} P_{2n-i}(K)\leq \widetilde{W}_i(K^\circ), \end{equation}$

(4.13)

等号成立当且仅当 $K$ 为关于原点的中心对称体.

由(4.12)和(4.13)式

$\omega_{n}^{n+1-i} \le \widetilde{W}_{n - 1}^{n - i}(K) \widetilde{W}_i(K^\circ),$

等号成立当且仅当 $K$ 是以原点为中心的球.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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Blaschke

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1936

... 凸体的宽度积分首先由Blaschke^[1]提出,随后Hadwiger^[2]又作了进一步研究, Lutwak^[3]更为深入地研究了宽度积分,并定义了

$i$

次宽度积分:设

$K\in {\cal K}^n$

,则

$K$

的

$i$

次宽度积分定义为 ...

1957

... 凸体的宽度积分首先由Blaschke^[1]提出,随后Hadwiger^[2]又作了进一步研究, Lutwak^[3]更为深入地研究了宽度积分,并定义了

$i$

次宽度积分:设

$K\in {\cal K}^n$

,则

$K$

的

$i$

次宽度积分定义为 ...

1995

... 凸体的宽度积分首先由Blaschke^[1]提出,随后Hadwiger^[2]又作了进一步研究, Lutwak^[3]更为深入地研究了宽度积分,并定义了

$i$

次宽度积分:设

$K\in {\cal K}^n$

,则

$K$

的

$i$

次宽度积分定义为 ...

... 定义2.1^[3] 若

$K_i\in {\cal K}^n (i=1, 2, \cdots, r)$

$\lambda_i(i=1, 2, \cdots, r)$

是非负实数,则 ...

Width-integrals of convex bodies

1975

... Lutwak在1975年定义的

$i$

次宽度积分是凸体的一个重要的几何量,并得到许多关于凸体度量性质的不等式.关于宽度积分的研究,参见文献[4, 6, 10-14].受Lutwak工作的启发,在文献[14]中,作者引入了星体弦长积分的概念,研究了其性质并建立了有关星体弦长积分的不等式.作为应用,作者给出了相交体的星对偶的Brunn-Minkowski型不等式和星体弦长积分的Aleksandrov-Fenchel型不等式的局部形式.在文献[15]中,作者研究了星体弦长积分的性质,并建立了星体弦长积分的Brunn-Minkowski型不等式和对偶的Bieberbach型不等式. ...

... 定义2.2^[4] 若

$K_j\in S_o^n (1\leq j\leq n)$

,则

$K_1, \cdots K_n$

的对偶混合体积

$\widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)$

为 ...

... 若

$K\in S_o^n, i=0, 1, \cdots, n$

,则

$K$

的

$i$

阶对偶均质积分定义为^[4] ...

Dual mixed volumes

1975

Mixed width-integrals of convex bodies

1997

... Lutwak在1975年定义的

$i$

A general isepiphanic inequality

1984

... 定义3.2^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,对于任意的实数

$p\neq 0$

$f$

的

$p$

平均

$M_p[f]$

定义为 ...

... 引理3.1^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$M_p[f]$

代表

$f$

的

$p$

平均,则 ...

... 引理4.1^{[7, 17]} 若

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$p, q\neq 0, p < q$

,则 ...

Intersection bodies and dual mixed volumes

1988

... 命题3.1^[8] 若

$K, L\in {\cal K}^n$

,则 ...

Blaschke-Santaló inequalities

1997

... 命题4.1(Blaschke-Santaló不等式)^[9] 若

$K\in {\cal K}^n$

,则 ...

Mixed width-inthgrals of star bodies

2010

... Lutwak在1975年定义的

$i$

关于凸体i次宽度积分的不等式

2006

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2006

投影体的宽度积分和仿射表面积

2005

投影体的宽度积分和仿射表面积

2005

凸几何经典不等式的蕴含关系

2007

凸几何经典不等式的蕴含关系

2007

凸体的p-宽度积分

2008

... Lutwak在1975年定义的

$i$

... ].受Lutwak工作的启发,在文献[14]中,作者引入了星体弦长积分的概念,研究了其性质并建立了有关星体弦长积分的不等式.作为应用,作者给出了相交体的星对偶的Brunn-Minkowski型不等式和星体弦长积分的Aleksandrov-Fenchel型不等式的局部形式.在文献[15]中,作者研究了星体弦长积分的性质,并建立了星体弦长积分的Brunn-Minkowski型不等式和对偶的Bieberbach型不等式. ...

凸体的p-宽度积分

2008

... Lutwak在1975年定义的

$i$

Chord-integrals of star bodies

2006

... Lutwak在1975年定义的

$i$

... 定义3.1^[15-16] 设

$K\in S_o^{n}$

$i\in \mathbb{R}$

$K$

的

$i$

阶弦长积分定义为 ...

... 引理4.2(星体弦长积分的循环不等式)^[15-16] 若

$K\in S_o^n$

$i < j < k$

,则 ...

星体径向弦长积分

2009

... 定义3.1^[15-16] 设

$K\in S_o^{n}$

$i\in \mathbb{R}$

$K$

的

$i$

阶弦长积分定义为 ...

... 引理4.2(星体弦长积分的循环不等式)^[15-16] 若

$K\in S_o^n$

$i < j < k$

,则 ...

... 引理4.3(对偶的Bieberbach型不等式)^[16] 若

$K\in S_o^n$

,则 ...

星体径向弦长积分

2009

... 定义3.1^[15-16] 设

$K\in S_o^{n}$

$i\in \mathbb{R}$

$K$

的

$i$

阶弦长积分定义为 ...

... 引理4.2(星体弦长积分的循环不等式)^[15-16] 若

$K\in S_o^n$

$i < j < k$

,则 ...

... 引理4.3(对偶的Bieberbach型不等式)^[16] 若

$K\in S_o^n$

,则 ...

2004

... 定义3.2^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,对于任意的实数

$p\neq 0$

$f$

的

$p$

平均

$M_p[f]$

定义为 ...

... 引理3.1^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$M_p[f]$

代表

$f$

的

$p$

平均,则 ...

... 引理4.1^{[7, 17]} 若

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$p, q\neq 0, p < q$

,则 ...

... 证由于

$n-i> 1$

,则由文献[17],有 ...

2004

... 定义3.2^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,对于任意的实数

$p\neq 0$

$f$

的

$p$

平均

$M_p[f]$

定义为 ...

... 引理3.1^{[7, 17]} 设

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$M_p[f]$

代表

$f$

的

$p$

平均,则 ...

... 引理4.1^{[7, 17]} 若

$f$

为定义在

$S^{n-1}$

上的正的连续函数,

$p, q\neq 0, p < q$

,则 ...

... 证由于

$n-i> 1$

,则由文献[17],有 ...

Quotient star bodies, intersection bodies and star duality

1999

... 星体

$K$

的星对偶

$K^{\circ}$

的定义是由Moszyńska引入的(文献[18]).对任意的

$u\in S^{n-1}$

,星体

$K$

的星对偶

$K^{\circ}$

由下面的径向函数给出 ...

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