设${\cal K}^n$表示$n$维欧氏空间$\mathbb{R} ^n$中所有的凸体(含非空内点的紧凸集),用$V(K)$和$S(K)$分别表示$K\in {\cal K}^n$的体积和表面积. ${\cal K}_o^n$表示${\cal K}^n$中所有包含原点的凸体的集合.设$B$为以原点为中心的单位球,其体积记为$\omega_n$, $S^{n-1}$表示$\mathbb{R} ^n$中的单位球面, $u$表示$\mathbb{R} ^n$中的单位向量.

凸体的宽度积分首先由Blaschke^[1]提出,随后Hadwiger^[2]又作了进一步研究, Lutwak^[3]更为深入地研究了宽度积分,并定义了$i$次宽度积分:设$K\in {\cal K}^n$,则$K$的$i$次宽度积分定义为

$B_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}b_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u), $

其中$i\in \mathbb R$, $b_K(u)$表示凸体$K$在$u$方向上的半宽度, ${\rm d}S(u)$表示$S^{n-1}$在$u$的面积元.

Lutwak在1975年定义的$i$次宽度积分是凸体的一个重要的几何量,并得到许多关于凸体度量性质的不等式.关于宽度积分的研究,参见文献[4, 6, 10-14].受Lutwak工作的启发,在文献[14]中,作者引入了星体弦长积分的概念,研究了其性质并建立了有关星体弦长积分的不等式.作为应用,作者给出了相交体的星对偶的Brunn-Minkowski型不等式和星体弦长积分的Aleksandrov-Fenchel型不等式的局部形式.在文献[15]中,作者研究了星体弦长积分的性质,并建立了星体弦长积分的Brunn-Minkowski型不等式和对偶的Bieberbach型不等式.

本文继续研究星体弦长积分,并得到了关于弦长积分一些性质,主要是一些弦长积分的极限值(定理3.1-3.3).我们还建立了一些新的弦长积分不等式,包括关于弦长积分和对偶均质积分之间的不等式(定理4.3-4.5),对偶Blaschke-Santaló不等式等.

设$K\in {\cal K}^n$, $K$的支撑函数定义为: $h_{K}(u)=\max\{u\cdot x: x\in K\}, u\in S^{n-1}.$设$b_K(u)$表示凸体$K$在$u\in S^{n-1}$方向上的半宽度,其定义为

$b_K(u)=\frac{1}{2}[h_K(u)+h_K(-u)]. $

一个集合$K$称为包含坐标原点的星形,如果每一个通过原点的直线交$K$成闭线段.如果$K$是一个包含原点的星形,则它的径向函数定义为: $\rho_K(u)=\max\{\lambda\geq 0, \lambda u\in K \}, u\in S^{n-1}.$如果$K$的径向函数是正的且连续,则称$K$是一个包含原点的星体,所有这样的星体构成的集合记为$S_o^n$.对于$u\in S^{n-1}$, $p_K(u)$表示$K$在$u$方向上的半弦长,其定义为

$p_K(u)=\frac{1}{2}[\rho_K(u)+\rho_K(-u)], \;\;\;u\in S^{n-1}. $

设$K, L\in S_o^n $,如果存在一个常数$\lambda > 0$,使得对于所有的$u\in S^{n-1}$,有$\rho_K(u)=\lambda \rho_L(u)$,则称星体$K$和$L$互为膨胀.设$K, L\in S_o^n $, $\lambda, \mu >0$, $K$与$L$的径向线性组合$\lambda K\widetilde{+}\mu L\in S_o^n$,且$\rho_{\lambda K\widetilde{+}\mu L}(u)=\lambda \rho_K(u)+\mu \rho_L(u).$根据$p_K(u)$的定义,有$ p_{K\widetilde{+}L}(u)=p_K(u)+p_L(u).$

定义2.1^[3] 若$K_i\in {\cal K}^n (i=1, 2, \cdots, r)$, $\lambda_i(i=1, 2, \cdots, r)$是非负实数,则

(2.1) $\begin{equation}\label{eq:2.1} V\bigg(\sum\limits_{i=1}^{r}\lambda_iK_i\bigg)=\sum\limits_{i_1, \cdots, i_n=1}^r\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_n}V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n}), \end{equation}$

其中$V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n})$称为$K_{i_1}, \cdots, K_{i_n}$的混合体积.令$K_1=\cdots=K_{n-i}=K$和$K_{n-i+1}=\cdots=K_n=L$,则混合体积$V(K, \cdots, K, L, \cdots, L)$通常记为$V_i(K, L)$.设$L=B$,则称$V_i(K, B$)为$K$的$i$次均质积分并记为$W_i(K)$.

定义2.2^[4] 若$K_j\in S_o^n (1\leq j\leq n)$,则$K_1, \cdots K_n$的对偶混合体积$\widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)$为

$ \widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K_1}(u)\cdots\rho_{K_n}(u){\rm d}S(u).$

通常$\widetilde{V}_i(K_1, K_2)$表示$\widetilde{V}(K_1, n-i; K_2, i)$,即$K_1$出现了$n-i$次, $K_2$出现了$i$次.

若$K\in S_o^n, i=0, 1, \cdots, n$,则$K$的$i$阶对偶均质积分定义为^[4]

$\widetilde{W}_i(K)=\widetilde{V}(K, n-i;B, i)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u). $

特别地, $\widetilde{W}_0(K)=V(K), \widetilde{W}_n(K)=\omega_{n}$.

星体$K$的星对偶$K^{\circ}$的定义是由Moszyńska引入的(文献[18]).对任意的$u\in S^{n-1}$,星体$K$的星对偶$K^{\circ}$由下面的径向函数给出

$\rho_{K^{o}}(u)=\frac{1}{\rho_{K}(u)}. $

定义3.1^[15-16] 设$K\in S_o^{n}$, $i\in \mathbb{R} $, $K$的$i$阶弦长积分定义为

$ P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

对于每个固定的$i$,易知$P_i(K)$是一个映射

$P_i: S_o^{n}\rightarrow \mathbb{R} . $

弦长积分具备如下的性质:

(1)对于任意的$i\in\mathbb{ R}$, $P_i(B)=\omega_n$;对于任意的$K\in S_o^{n}$, $P_n(K)=\omega_n$.

(2) ($n-i$阶齐次性):若$\lambda \geq 0$,则$P_i(\lambda K)=\lambda^{n-i}P_i(K)$.

(3) (连续性): $P_i(K)$是一个关于$K$的连续函数.

(4) (单调性):若$K\subseteq L$,则当$i\leq n$时, $P_i(K)\leq P_i(L)$;当$i> n$时, $P_i(K)\geq P_i(L)$.

(5) (旋转不变性):对$\mathbb{R} ^{n}$中的任意旋转运动$g$,则$P_i(gK)=P_i(K)$.

定义3.2^{[7, 17]} 设$f$为定义在$S^{n-1}$上的正的连续函数,对于任意的实数$p\neq 0$, $f$的$p$平均$M_p[f]$定义为

$ M_p[f]=\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}f^p(u){\rm d}S(u)\right]^{\frac{1}{p}}.$

特别地,当$p=-\infty, 0, +\infty$时,则$M_p[f]$定义为

$\lim\limits_{s\rightarrow p}M_s[f].$

引理3.1^{[7, 17]} 设$f$为定义在$S^{n-1}$上的正的连续函数, $M_p[f]$代表$f$的$p$平均,则

(3.1) $\begin{equation} M_{+\infty}[f]=\max\{f(u)| u\in S^{n-1}\}, \label{le:2.1} \end{equation}$

(3.2) $\begin{equation} M_{-\infty}[f]=\min\{f(u)| u\in S^{n-1}\}.\label{le:2.2} \end{equation}$

由引理3.1,我们可以得到关于弦长积分的如下极限性质.

定理3.1 设$K\in S_o^n$, $i\neq n$,则

$ \lim\limits_{i\rightarrow +\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\min\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}, $

即为$K$的最小半弦长.

$ \lim\limits_{i\rightarrow -\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\max\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}, $

即为$K$的最大半弦长.

证 由于$ P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)$,所以当$i\neq n$时

$\frac{P_i(K)}{\omega_n}=\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u), $

则

$M_{n-i}[p_K]=\bigg[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}.$

因为$p_K(u)$为$S^{n-1}$上的正的连续函数,由(3.2)式知

$ \lim\limits_{i\rightarrow +\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}} =\lim\limits_{i\rightarrow +\infty}M_{n-i}[p_K] =\lim\limits_{t\rightarrow -\infty}M_{t}[p_K]= \min\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}. $

同理,由(3.1)式知

$\lim\limits_{i\rightarrow -\infty}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\max\{p_K(u)| u\in S^{n-1}\}.$

证毕.

定理3.2 若$K\in S_o^n$, $i\neq n$,则

(3.3) $\begin{equation} \lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=\exp\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}} \ln(p_K(u)){\rm d}S(u)\right]. \end{equation}$

证 由弦长积分定义

$ \lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}= \lim\limits_{i\rightarrow n}\bigg[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}.$

令$t=n-i$,则

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow 0}\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{t}{\rm d}S(u)\right]^{\frac{1}{t}}& =&\lim\limits_{t\rightarrow 0}\exp\bigg[{\frac{\ln{(\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u))}}{t}}\bigg]\\ &=&\exp\lim\limits_{t\rightarrow 0}\bigg[{\frac{\ln{(\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u))}-\ln(n\omega_n)}{t}}\bigg]\\& =&\exp\lim\limits_{t\rightarrow 0}\bigg[\frac{\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)}{\int_{S^{n-1}}p_K(u)^t{\rm d}S(u)}\bigg]\\ &=&\exp\bigg[\frac{\int_{S^{n-1}}\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)}{n\omega_n}\bigg]\\ &=&\exp\left[\frac{1}{n\omega_n}\int_{S^{n-1}}\ln(p_K(u)){\rm d}S(u)\right]. \end{eqnarray*} $

证毕.

Lutwak在1988年得到了关于混合体积$V_1(K, L)$的重要命题.

命题3.1^[8] 若$K, L\in {\cal K}^n$,则

$ \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon}=nV_1(K, L).$

与命题3.1类似,我们得到关于星体弦长积分的如下定理.

定理3.3 若$K\in S_o^n$, $\mu>0, j=0, 1, 2, \cdots, n-1$, $K_\mu=K\widetilde{+}\mu B$,则

(3.4) $\begin{equation}\label{eq:2.4} \lim\limits_{\mu\rightarrow 0^{+}}\frac{P_j(K_\mu)-P_j(K)}{\mu}=(n-j)P_{j+1}(K). \end{equation}$

特别地,当$j=0$时,有

$\lim\limits_{\mu\rightarrow 0^{+}}\frac{P_0(K_\mu)-P_0(K)}{\mu}=nP_1(K).$

证

$ \begin{eqnarray*} \frac{P_j(K_\mu)-P_j(K)}{\mu}&=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_{K_\mu}(u)^{n-j}{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(p_K(u)+\mu)^{n-j}{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}[\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}p_K(u)^{n-j-i}\mu^i]{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\ &=&\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-(j+i)}\mu^i{\rm d}S(u)-P_j(K)}{\mu}\\&=&\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-j}{n-j\choose i}P_{j+i}(K)\mu^i-P_j(K)}{\mu}\\& =&\frac{P_j(K)+{n-j\choose 1}P_{j+1}(K)\mu+\cdots+{n-j\choose n-j}P_n(K)\mu^n-P_j(K)}{\mu}\\ &=&(n-j)P_{j+1}(K)+O(\mu)\rightarrow (n-j)P_{j+1}(K) (\mu\rightarrow 0^{+}). \end{eqnarray*}$

证毕.

定理4.1 若$K\in {\cal K}_o^n$, $0\leq i\leq n, i\in N$,则

(4.1) $\begin{equation}\label{eq:3.1} P_i(K)\leq B_i(K), \end{equation}$

等号成立当且仅当$i=n$或者$K$是$n$维球体.

证 对任意的$u\in S^{n-1}$, $\rho_K(u)\leq h_k(u)$.且

$p_K(u)=\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2}, \;\;\;b_K(u)=\frac{h_K(u)+h_K(-u)}{2}, $

所以$p_K(u)\leq b_K(u)$,进而

$p_K(u)^{n-i}\leq b_K(u)^{n-i}.$

所以$P_i(K)\leq B_i(K)$.

当$i=n$时, $P_i(K)=B_i(K)=\omega_n$,等号成立.

当$0\leq i < n, i\in N$时,等号成立当且仅当对任意的$u\in S^{n-1}$, $p_K(u)=b_K(u)$,即$K$为$n$维球体.

引理4.1^{[7, 17]} 若$f$为定义在$S^{n-1}$上的正的连续函数, $p, q\neq 0, p < q$,则

(4.2) $\begin{equation}\label{eq:3.2} M_p[f]\leq M_q[f], \end{equation}$

等号成立当且仅当$f$为$S^{n-1}$上的常函数.

定理4.2 若$K\in S_o^n$, $i, j\neq n, i>j$,则

(4.3) $\begin{equation}\label{eq:3.3} \bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\leq \bigg[\frac{P_j(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-j}}, \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$的弦长为常数.

证 由定义

$P_i(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u), \;\;\;P_j(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-j}{\rm d}S(u), $

所以

$\bigg[\frac{P_i(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-i}}=M_{n-i}[p_K], \;\;\;\bigg[\frac{P_j(K)}{\omega_n}\bigg]^{\frac{1}{n-j}}=M_{n-j}[p_K]. $

因为$i, j\neq n, i>j$,所以$n-i < n-j$.由(4.2)式得

$M_{n-i}[p_K]\leq M_{n-j}[p_K].$

由引理4.1,等号成立当且仅当$p_k(u)$为常数,即$K$的弦长为常数.

定理4.3 若$K\in S_o^n$, $0\leq i < n-1, i\in N$,则

$\begin{eqnarray*} P_i(K)> \frac{1}{2^{n-i-1}}\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*}$

特别地,当$i=0$时, $P_0(K)> \frac{1}{2^{n-1}}V(K).$

证 由于$n-i> 1$,则由文献[17],有

$\begin{eqnarray*} P_i(K)&=&\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)}{2}+\frac{\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\\& >&\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)+\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\\ &=&\frac{1}{2^{n-i}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u))^{n-i}{\rm d}S(u)+\frac{1}{2^{n-i}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\\& =&\frac{1}{2^{n-i-1}n}\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u))^{n-i}{\rm d}S(u)\\ &=&\frac{1}{2^{n-i-1}}\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*} $

证毕.

定理4.4 若$K\in S_o^n$,则当$0\leq i\leq n-1, i\in N$时,有

(4.4) $\begin{equation}\label{eq:3.5.0} P_i(K)\leq \widetilde{W}_i(K). \end{equation}$

当$n < i\leq 2n, i\in N$时,有

(4.5) $\begin{equation}\label{eq:3.6.0} P_i(K)\leq \widetilde{W}_{2n-i}(K^{\circ}). \end{equation}$

(4.4)式和(4.5)式等号成立当且仅当$K$是关于原点的中心对称体.当$i=n-1$时, (4.4)式为恒等式.

证 $i=n-1$时,显然$P_{n-1}=\widetilde{W}_{n-1}(K)$.

(1)当$0\leq i < n-1, i\in N$时,由Minkowski积分不等式,有

$\begin{eqnarray*}P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}&=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg[\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u)+\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\& \leq &\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg\{\bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}+ \bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(-u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\bigg\}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{1}{n-i}}=\widetilde{W}_i(K). \end{eqnarray*}$

即$P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}\leq \widetilde{W}_i(K)^{\frac{1}{n-i}}$,所以$P_i(K)\leq \widetilde{W}_i(K)$.

等号成立当且仅当存在正数$\lambda$,对任意的$u\in S^{n-1}$都有$\rho_K(u)=\lambda \rho_K(-u)$,即$\rho_K(u)= \rho_K(-u)$,也就是$K$为关于原点的中心对称体.

(2)当$n < i\leq 2n, i\in N$时,由逆向的Minkowski不等式

$\begin{eqnarray*}P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}&=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}p_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}(\frac{\rho_K(u)+\rho_K(-u)}{2})^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}} \bigg[\int_{S^{n-1}}(\rho_K(u)+\rho_K(-u))^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{ 1}{n-i}}\\&\geq&\frac{1}{2}(\frac{1}{n})^{\frac{1}{n-i}}\bigg\{\bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}+ \bigg[\int_{S^{n-1}}\rho_K(-u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\bigg\}\\ &=&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\bigg ]^{\frac{1}{n-i}}\\& =&\bigg[\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K^{\circ}}(u)^{n-(2n-i)}{\rm d}S(u)\bigg]^{\frac{1}{n-i}}\\ &=&\widetilde{W}_{2n-i}(K^\circ)^{\frac{1}{n-i}}. \end{eqnarray*}$

即$P_i(K)^{\frac{1}{n-i}}\geq \widetilde{W}_{2n-i}(K^\circ)^{\frac{1}{n-i}}$.因为$n-i < 0$,所以$P_i(K)\leq \widetilde{W}_{2n-i}(K^{\circ})$.

等号成立当且仅当存在正数$\lambda$,对任意的$u\in S^{n-1}$都有$\rho_K(u)=\lambda \rho_K(-u)$,即$\rho_K(u)= \rho_K(-u)$,也就是$K$为关于原点的中心对称体.证毕.

引理4.2(星体弦长积分的循环不等式)^[15-16] 若$K\in S_o^n$, $i < j < k$,则

(4.6) $\begin{equation}\label{eq:3.5} P_j(K)^{k-i}\leq P_i(K)^{k-j}P_k(K)^{j-i}, \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$的弦长为常数.

定理4.5 若$K\in S_o^n$, $0 < i < n$,则

$ P_{n+i}(K)^n\leq \omega_n^{n-i} V(K^\circ)^i, $

等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

证 在定理4.4中,令$i=2n$,则

(4.7) $\begin{equation}\label{eq:3.6} P_{2n}(K)\leq \widetilde{W}_0(K^\circ)=V(K^\circ), \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$为关于原点的中心对称体.

在引理4.2中,令$k=2n, i=n, j=n+i$, (4.6)式成为

$P_{n+i}(K)^{n}\leq P_n(K)^{n-i} P_{2n}(K)^{i}, $

即

(4.8) $\begin{equation}\label{eq:3.7} P_{n+i}(K)^{n}\leq \omega_n^{n-i} P_{2n}(K)^{i}, \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$的弦长为常数.

由(4.7)和(4.8)式,有$P_{n+i}(K)^n\leq \omega_n^{n-i} V(K^\circ)^i, $等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

引理4.3(对偶的Bieberbach型不等式)^[16] 若$K\in S_o^n$,则

$ V(K)\geq \omega_n^2P_{2n}(K)^{-1}, $

等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

凸体几何中有如下的著名的Blaschke-Santaló不等式.

命题4.1(Blaschke-Santaló不等式)^[9] 若$K\in {\cal K}^n$,则

$ V(K)V(K^{*})\leq \omega_n^2, $

等号成立当且仅当$K$为$n$维椭球.

由引理4.3和(4.7)式,我们得到如下对偶Blaschke-Santaló不等式.

定理4.6 若$K\in S_o^n$,则

(4.9) $\begin{equation} V(K) V(K^\circ)\geq \omega_n^2, \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

证 由(4.7)式,有$ P_{2n}(K)\leq V(K^\circ). $由引理4.3,有

$V(K)\geq \omega_n^2P_{2n}(K)^{-1}\geq \omega_n^2V(K^\circ)^{-1}. $

所以$V(K)\cdot V(K^\circ)\geq \omega_n^2$,等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

定理4.7 若$K\in S_o^n, 0\leq i < n, i\in N$,则

(4.10) $\begin{equation} \omega_n^{n+1-i}\leq \widetilde{W}_{n-1}^{n-i}(K) \widetilde{W}_i(K^\circ), \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.

证 在引理4.2中,令$j=n, k=2n-i, i=n-1$,则

(4.11) $\begin{equation}\label{eq:3.10} P_n(K)^{n+1-i}\leq P_{n-1}(K)^{n-i}P_{2n-i}(K). \end{equation}$

由于$P_n(K)=\omega_n, P_{n-1}(K)=\widetilde{W}_{n-1}(K)$,所以(4.11)式成为

(4.12) $\begin{equation}\label{eq:3.11} \omega_n^{n+1-i}\leq\widetilde{W}_{n-1}^{n-i}(K)P_{2n-i}(K). \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$的弦长为常数.

由于$0\leq i < n$,所以$n < 2n-i\leq 2n$.由定理4.4,有

(4.13) $\begin{equation}\label{eq:3.12} P_{2n-i}(K)\leq \widetilde{W}_i(K^\circ), \end{equation}$

等号成立当且仅当$K$为关于原点的中心对称体.

由(4.12)和(4.13)式

$\omega_{n}^{n+1-i} \le \widetilde{W}_{n - 1}^{n - i}(K) \widetilde{W}_i(K^\circ), $

等号成立当且仅当$K$是以原点为中心的球.