用概率距离研究非时齐马氏链的收敛性
Study on the Convergence of Nonhomogeneous Markov Chains with Probability Distance
Received: 2017-04-23
Fund supported: |
|
该文用概率距离和耦合方法研究了一般状态空间非时齐马氏链的收敛性,得到了一般状态空间非时齐马氏链收敛的一个条件.
关键词:
In this paper, we study the convergence of nonhomogeneous Markov chains in general state space by using the probability distance and the coupling property, a condition for convergence of nonhomogeneous Markov chains in general state space is obtained.
Keywords:
本文引用格式
朱志锋, 张绍义.
Zhu Zhifeng, Zhang Shaoyi.
1 引言和结果
非时齐马氏链是马氏过程中较难研究的一种类型,如何判断马氏链的收敛性,特别是非时齐马氏链的收敛性一直是国内外许多学者研究的课题.Dobrushin-Isaacson-Madsen定理研究了有限状态空间非时齐马氏链的收敛性[4]参考文献的标记与引用本文对一般状态空间非时齐马氏链进行了研究,得到非时齐马氏链收敛的一个充分条件即定理1.1.定理A (Dobrushin-Isaacson-Madsen定理)是定理1.1的特例.
下面Dobrushin-Isaacson-Madsen定理给出了有限状态空间非时齐马氏链的收敛性的充分条件.
定理A (Dobrushin-Isaacson-Madsen定理[4])设
(A1)
(A2)
(A3) 或者满足Isaacson-Madsen条件:对于
或者满足Dobrushin条件:对于任意
其中
那么存在
(1)
(2) 无论什么初始分布
其中
本文的目的就是将定理A从有限状态空间
定义1.1 设
记
定义1.2 设
称之为
则称
定理A介绍了有限状态空间上非时齐马氏链的收敛性,在实际应用中是不够的.下面我们将用概率距离和耦合方法研究一般状态空间上非时齐马氏链的收敛性问题.
设
定理1.1 设
(i) 每个概率核
(ii)
(iii)
(iv)
其中
注 定理中的条件(iv)一般说来是易于验证的,特别地
2 预备知识
引理2.1 设
证明见文献[1]第175页定理5.4.
引理2.2 设
证 对任意
于是对任意正整数m,由三角不等式知
故
引理2.3 设
其中
证 由(2.1)式有
设
即
下面证明
要证明(2.5)式成立,只需证明
同理可证
3 主要结果的证明
为了证明定理1.1,下面分三步来证明.
(a) 对
(b) 存在概率测度
(c) 对初始分布
定理1.1的证明 (a) 先证明
下面验证边缘性条件
注意到
即(3.1)式成立,类似地,可证(3.2)式成立.
于是有
反复利用条件(ii)得
由于
结合条件(iii)
(b) 由条件(i)知
由引理
(c) 为证(c),即要证对
对任意的正整数
对上式第二项反复利用三角不等式并注意条件
从而有
由(b)知,当
同理,当
由条件
由
所以
最后,取
再把(3.9)和(3.10)式代入(3.4)式得到(3.3)式成立.结论(c)得证.定理证毕.
参考文献
The convergence of Cesaro averagesfor certain non-stationary Markov chains
DOI:10.1016/0304-4149(77)90032-1
转移概率的可测耦合与概率距离
The measurable coupling and probability distance of transition probability
转移概率最优可测耦合的存在性
The existence of optimal measurable coupling of transition probability
Regularity and existence of invariant measures for jump processes
Existence of the optimal measurable coupling and ergodicity for markov processes
A method for discrete stochastic optimization
Simulated annealing for noisy cost functions
M-Simulation-based optimization using simulated an. nealing with ranking and selection
DOI:10.1016/S0305-0548(00)00073-3
/
〈 |
|
〉 |
