自从1982年曹晋华和程侃^[1]对$M/G/1$可修排队系统中服务台的可靠性指标进行研究以来,可修排队得到了更广泛的关注,研究成果陆续出现^{[2-19, 23]},而且已有的文献在可修排队中引入了服务员有休假机制和系统有控制策略,使得可修排队系统研究更丰富和深入^{[7-19, 23]}.在实际中,修理设备由于磨损和老化等问题,修理工在用修理设备修理故障的服务台时也有可能发生故障,此时就需要对发生故障的修理设备进行更换或者修理.因此,基于这样的实际情况,有文献把"修理设备可能发生故障"引入到可修系统的研究中,这又进一步推广了可修系统的研究范围^[13-18].从成本的角度,当生产制造环境发生改变并且系统拥有者想转换成另一种控制策略时,在这种情况下抛弃现有的硬件系统是不现实的,从而混合的二维策略就是一种可供选择的好方案,能更好地解决这一实际问题.从目前的研究看,两种策略的结合并非只是增加了数学模型的复杂性,而是更加符合实际情况,而且联合策略比其中单纯的任意一种策略都优越^[21].例如在文献[19, 21-23]中引入的Min($N, D$) -策略,单一的$N$ -策略仅仅是依靠系统中有$N$个顾客就重新开始服务或结束休假,系统就会变得比较警惕,但在某些情况下是不必要的,正如在缓冲区中的大量顾客未必会成为服务员大工作量的标志,因为许多顾客所需的服务时间也许较短,然而单一的$N$ -策略没有考虑这点.单一的$D$ -策略又仅仅是从形成的累积服务量来考虑,过多的顾客数又会使得缓冲区过多拥挤,这又成为了单一$D$ -策略的盲区.这两种控制策略哪一个更好,这要依赖于系统的构造和费用因素.如果要兼顾服务工作量和顾客数两种因素,显然联合的Min($N, D$) -策略更好,而且从管理的角度,当生产制造环境发生变化并且系统拥有者想转换成另一种控制策略时,在多数情况下抛弃现有的硬件系统是不可能的,此时联合的Min($N, D$) -策略仍然是一个较好的选择,因为仅仅通过使${N}\to \infty $或$D\to \infty $,系统就可以从一种策略转换成另一种控制策略.文献[19]将有"Bernoulli反馈、不同到达率和具有Min($N, D$) -策略控制"引入到离散时间可修排队中,讨论了服务员在任意时刻处于繁忙的瞬态概率和稳态概率,并分析了服务台的一些可靠性指标.文献[23]在文献[21]的基础上,研究了具有Min($N, D$) -策略控制的$M/G/1$可修排队系统,重点讨论了服务台的一些可靠性指标,并在建立成本费用模型基础上,研究了系统的最优控制策略问题.文献[22]研究了带有延迟的Min($N, D$) -策略控制的$M/G/1$排队系统,从任意初始状态出发,讨论了队长的瞬态性质和稳态性质,获得了稳态队长分布的递推表达式等排队指标.本文在已有文献的基础上,把"服务台可发生故障且可修复"和"修理设备可发生故障且可更换"引入到带有延迟的Min($N, D$) -策略控制的$M/G/1$排队系统中,通过使用全概率分解技术和拉普拉斯变换工具,讨论了系统的排队指标,同时重点讨论了服务台和修理设备的可靠性指标.最后在给定的费用结构下,用数值计算实例讨论了系统的二维最优控制策略$\left( {{N^ * }, {D^ *}} \right)$.本文所研究系统的模型描述如下.

1)  顾客相继到达的间隔时间序列$\left\{ {{\tau }_{i}}, i\ge 1 \right\}$相互独立、有分布$F(t)=1-{{e}^{-\lambda t}}, t\ge 0$.顾客实际所需的服务时间序列$\left\{ {{\chi }_{n}}, n\ge 1 \right\}$相互独立、有任意分布$G(t)$,且设平均服务时间为$\frac{1}{\mu }\left( 0<\mu <\infty \right).$

2)  系统采取延迟的Min($N, D$) -策略控制机制:每当系统变空时,服务员不是立即关闭系统,而是有一段随机时间为$H$的延迟关闭期,如果有顾客在延迟关闭期内到达,那么服务员立即为顾客服务,直到系统再次变空而重新启动延迟关闭期；如果没有顾客在延迟关闭期内到达,则服务员关闭系统(但服务员未离开系统),直到系统中到达的顾客数累积达到$N\left( N\ge 1 \right)$个顾客,或者等待服务的顾客所需服务时间总量不小于$D\left( D\ge 0 \right)$,无论哪一个先发生,服务员就重新开始服务顾客,直到系统再次变空而重新启动延迟关闭期,其中$N$是预先给定的正整数, $D$是预先给定的非负实数,延迟时间$H$服从任意分布$H(t)$,记平均延迟时间为

$0<\frac{1}{\theta }=\int_{0}^{\infty }{t{\rm d}H(t)}<\infty .$

3)  系统中有一个服务台,服务台的寿命为$X$,且服从参数为$\alpha \left( >0 \right)$的负指数分布$X(t)=P\left\{ X\le t \right\}=1-{{e}^{-\alpha t}}$, $t\ge 0$.服务台失效后立即进行修理,其修理时间$Y$服从任意分布$Y(t)$,且设平均修理时间为

$0\le \beta =\int_{0}^{\infty }{t{\rm d}Y(t)}<\infty .$

4)  在修理故障服务台的过程中,修理设备本身也可能发生失效,其使用寿命$U$服从参数为$\nu (0<\nu <\infty )$的负指数分布.当修理设备发生失效时立即对修理设备进行更换(修理),更换所需时间$W$服从任意分布$W(t)$,且设平均更换时间为

$0\le \gamma =\int_{0}^{\infty }{t{\rm d}W(t)}<\infty .$

5)  到达的间隔时间$\tau $,顾客的服务时间$\chi $,延迟时间$H$,服务台的寿命$X$,修理时间$Y$,修理设备寿命$U$,更换时间$W$是相互独立的.

6)  服务台和修理设备在空闲期间(没有使用的时间)内是不会发生故障,也不会影响寿命,即处于冷储备状态.

令${{\tilde{Y}}_{n}}$表示服务台第$n$次的"广义修理时间" (是指从本次开始修理故障服务台的时刻起,直到修理结束的时间,其中包括了修理设备在对服务台的修理过程中因修理设备本身的故障而进行更换的时间),其分布记为${{\tilde{Y}}_{n}}\left( t \right)=P\left\{ {{{\tilde{Y}}}_{n}}\le t \right\}$,则类似文献[25]第十章(10.1.2)式的讨论,可得

(2.1) $\tilde{Y}\left( t \right)={{\tilde{Y}}_{n}}\left( t \right)=P\left\{ {{{\tilde{Y}}}_{n}}\le t \right\}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\int_{0}^{t}{{{W}^{\left( k \right)}}\left( t-x \right)}}{{e}^{-\nu x}}\frac{{{\left( \nu x \right)}^{k}}}{k!}{\rm d}Y\left( x \right) , n\ge 1.$

与$n$无关.对$\Re (s)>0$,其拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换为

(2.2) $ \tilde{y}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}\tilde{Y}\left( t \right)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\left[ w\left( s \right) \right]}^{k}}\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\left( s+\nu \right)t}}\frac{{{\left( \nu t \right)}^{k}}}{k!}}}{\rm d}Y\left( t \right)=y\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right). $

而且平均"广义修理时间"为

(2.3) $ \tilde{\beta }=E\left[ {\tilde{Y}} \right]=\beta \left( 1+\nu \gamma \right) .$

其中, ${{W}^{\left( k \right)}}\left( t \right)$表示分布函数$W\left( t \right)$自身的$k$重卷积, $k\ge 1$,且${{W}^{\left( 0 \right)}}\left( t \right)=1$, $t\ge 0$, $w\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}}{\rm d}W\left( t \right)$与$y\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}}{\rm d}Y\left( t \right)$分别表示相应分布函数$W\left( t \right)$与$Y\left( t \right)$的拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换, $\Re \left( s \right)$表示复变量$s$的实部.

注2.1  下面类似的记号表示上面相应的含义.

令${{\tilde{\chi }}_{n}}$表示第$n$个顾客的"广义服务时间" (是指第$n$个顾客从开始接受服务的时刻起直到服务结束的时间,其中包括了在该顾客的服务期间内,服务台可能发生故障而进行的"广义修理时间").令${{\tilde{G}}_{n}}\left( t \right)=P\left\{ {{{\tilde{\chi }}}_{n}}\le t \right\}$,如果把服务台的"广义修理时间"看成服务台失效后的修理时间,则类似文献[25]第十章(10.1.2)式的讨论,可得

(2.4) $\tilde{G}\left( t \right)={{\tilde{G}}_{n}}\left( t \right)=P\left\{ {{{\tilde{\chi }}}_{n}}\le t \right\}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{{\tilde{Y}}}^{\left( k \right)}}\left( t-x \right)}{{e}^{-\alpha x}}\frac{{{\left( \alpha x \right)}^{k}}}{k!}{\rm d}G\left( x \right) , n\ge 1.$

与$n$无关,其拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换为

(2.5) $\tilde{g}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}\tilde{G}\left( t \right)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\left[ \tilde{y}\left( s \right) \right]}^{k}}\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-\left( s+\alpha \right)t}}\frac{{{\left( \alpha t \right)}^{k}}}{k!}}}{\rm d}G\left( t \right)=g\left( s+\alpha -\alpha \tilde{y}\left( s \right) \right).$

而且平均"广义服务时间"为

(2.6) $E\left[ {{{\tilde{\chi }}}_{n}} \right]=\frac{1+\alpha \tilde{\beta }}{\mu }=\frac{1+\alpha \beta \left( 1+\nu \gamma \right)}{\mu }.$

引理2.1  如果我们把${{\tilde{\chi }}_{n}}$直接理解成第$n$个顾客的"服务时间",那本文研究的系统等价于带有延迟Min($N, D$) -策略控制的$M/G/1$排队系统^[22].

因此本文研究的系统的排队指标可按文献[22]的讨论方法得到.为节约篇幅,本文只列出后面讨论要用到的结果.

设$\tilde{b}$表示该系统从一个顾客开始的"服务员忙期"长度,且设$\tilde{B}\left( t \right)=P\left\{ \tilde{b}\le t \right\}$, $t\ge 0$, $\tilde{b}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d} \tilde{B}\left( t \right)}$.

推论2.1^[29]  对$\Re \left( s \right)>0$, $\tilde{b}\left( s \right)$是方程$z=\tilde{g}\left( s+\lambda -\lambda z \right)$在$\left| z \right|<1$内的唯一解,并且

(2.7) $ \tilde{B}\left( t \right)=\sum\limits_{j=1}^{\infty }{\int_{0}^{t}{{{e}^{-\lambda x}}\frac{{{\left( \lambda x \right)}^{j-1}}}{j!}}}{\rm d}{{\tilde{G}}^{\left( j \right)}}\left( x \right) , $

(2.8) $ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\tilde{B}(t)=\left\{ {\begin{array}{ll} 1,&\tilde{\rho}\leq 1, \\ \omega<1, &\tilde{\rho}>1, \end{array}} \right.\ \E(\tilde{b})=\left\{ {\begin{array}{ll} \frac{\tilde{\rho}}{\lambda(1-\tilde{\rho})}, &\tilde{\rho}< 1, \\[2mm] \infty,&\tilde{\rho}\geq 1. \end{array}} \right. $

其中, $\tilde{\rho }=\frac{\lambda \left[ 1+\alpha \beta \left( 1+\nu \gamma \right) \right]}{\mu }$, $\omega \left( 0<\omega <1 \right)$是方程$z=\tilde{g}\left( \lambda -\lambda z \right)$在$\left( 0, 1 \right)$内的根.

又令${{\tilde{b}}^{\left\langle i \right\rangle }}$表示从$i$个顾客开始的服务员忙期长度,因为到达过程是泊松过程,所以有$P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}\le t \right\}= {{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( t \right)$, $t\ge 0$, $i\ge 1$.

首先,考虑一个经典的单部件可靠性系统^[24],部件的工作寿命$X$服从参数为$\alpha $的负指数分布,部件失效后立即修理,其修理时间$Y$有一般分布$Y\left( t \right)$,平均修理时间为$\beta $,且修复如新, $X$与$Y$相互独立.对$t\ge 0$,令

$\tilde{\Phi}(t)=P\left\{{时刻t系统失效}\right\}, \;\;\;\;\tilde{M}(t)=E\left\{ (0, t]{内系统的失效次数}\right\}.$

$\tilde{\varphi}^{*}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\tilde{\Phi}(t){\rm d}t,\;\;\;\;\tilde{m}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}{\rm d}\tilde{M}(t).$

引理3.1^[24]  对$\Re(s)>0$,有

$\tilde{\varphi}^{*}(s)=\frac{\alpha[1-y(s)]}{s[s+\alpha-\alpha y(s)]},\;\;\;\;\tilde{m}(s)=\frac{\alpha}{s+\alpha-\alpha y(s)}, $

且有平稳结果

$\lim\limits_{t \to\infty}\tilde{\Phi}(t)=\lim\limits_{s \to 0^{+}}s\tilde{\varphi}^{*}(s)=\frac{\alpha\beta}{1+\alpha\beta}, \lim\limits_{t \to\infty}\frac{\tilde{M}(t)}{t}=\lim\limits_{s \to 0^{+}}s\tilde{m}(s)=\frac{\alpha}{1+\alpha\beta}.$

有了以上准备后,下面讨论服务台的不可用度.对$t\geq0$,令

$\Phi_{i}(t)=P\left\{ {时刻t服务台失效}\mid_{N(0)=i}\right\}, \;\;\;\; \varphi_{i}^{*}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\Phi_{i}(t){\rm d}t, \ i\geq0.$

其中, $N(0)=i$表示$t=0$时刻在系统中的顾客数.

定理3.1  对$\Re(s)>0$,有

(3.1) $\varphi _{0}^{*}\left( s \right)={{\tilde{\varphi }}^{*}}\left( s \right)f\left( s \right)\left\{ 1-\frac{\tilde{b}\left( s \right)\left[ 1-\xi (s) \right]}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\}, $

(3.2) $\varphi _{i}^{*}\left( s \right)={{\tilde{\varphi }}^{*}}\left( s \right)\left\{ 1-\frac{{{{\tilde{b}}}^{i}}\left( s \right)\left[ 1-\xi (s) \right]}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\} , i\ge 1 .$

且平稳结果为

(3.3) $\lim\limits_{t\to \infty }{{\Phi }_{i}}\left( t \right)=\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s\varphi _{i}^{*}\left( s \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\alpha \beta }{1+\alpha \beta }\cdot \frac{\lambda \left[ 1+\alpha \beta \left( 1+v\gamma \right) \right]}{\mu }, &\tilde{\rho }<1, \\[3mm] \frac{\alpha \beta }{1+\alpha \beta }, &\tilde{\rho }\ge 1. \end{array} \right.$

其中

$\xi \left( s \right)=\left[ 1-h\left( s+\lambda \right) \right]f\left( s \right)+{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right){{f}^{N}}\left( s \right)h\left( s+\lambda \right)+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}\left( D \right)}{{f}^{m}}\left( s \right)h\left( s+\lambda \right), $

$\begin{array}{l}\tilde{\Delta }\left( s \right)=1-\left[ 1-h\left( s+\lambda \right) \right]f\left( s \right)\tilde{b}\left( s \right) -{{G}^{\left( N-1 \right)}} \left( D \right){{f}^{N}}\left( s \right){{\tilde{b}}^{N}}\left( s \right)h\left( s+\lambda \right)\\ \;\;\;\;\;\;\;\; -\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}\left( D \right)}{{f}^{m}}\left( s \right){{\tilde{b}}^{m}}\left( s \right)h\left( s+\lambda \right),\\{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right)=P\left\{ \sum\limits_{k=1}^{m}{{{\chi }_{k}}\le D} \right\}, {{G}^{\left( 0 \right)}}\left( D \right)=1, \\{{A}_{m}}\left( D \right)={{G}^{\left( m-1 \right)}}\left( D \right) -{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right), \ m=1, 2, \cdots , N-1.\end{array}$

证  1) 根据模型描述,服务台在系统闲期内不失效,而且在每个"广义忙期"的开始时刻服务台都正常,所以时刻$t$服务台失效当且仅当时刻$t$落在服务员的某个"广义忙期"中且时刻$t$服务台失效.令${{S}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\chi }_{i}}}$, ${{l}_{k}}=\sum\limits_{i=1}^{k}{{{\tau }_{i}}}$,且${{S}_{0}}={{l}_{0}}=0.$于是对$i\ge 1$,有

(3.4) $\begin{eqnarray*}{{\Phi }_{i}}\left( t \right)&=&P\left\{ 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}, {时刻t服务台失效}\right\}\\&&+P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\hat{\tau }}}_{1}}\le t, \ {{{\hat{\tau }}}_{1}}<H, {时刻t服务台失效}\right\}\\&& +P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{l}_{N-1}}\le t, \ {{{\hat{\tau }}}_{1}}\ge H, {{S}_{N-1}}<D, {时刻t服务台失效}\right\}\\&&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\hat{\tau }}}_{1}}+{{l}_{m-1}}\le t, \ {{{\hat{\tau }}}_{1}}\ge H, {{S}_{m-1}}<D\le {{S}_{m}}, {时刻t服务台失效}\right\}}\\&=&{{S}_{i}}\left(t \right)+\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left(y \right)}}{{\Phi }_{1}}\left(t-x-y \right){\rm d}F\left(y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left(i \right)}}\left(x \right)\\&& +{{G}^{\left(N-1 \right)}}\left(D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left(y \right)}}{{\Phi }_{N}}\left(t-x-y \right){\rm d}F\left(y \right){\rm d}\left[{{F}^{\left(N-1 \right)}}\left(x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left(i \right)}}\left(x \right) \right]\\&&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left(D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left(y \right)}}{{\Phi }_{m}}\left(t-x-y \right){\rm d}F\left(y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left(m-1 \right)}}\left(x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left(i \right)}}\left(x \right) \right], \end{eqnarray*}$

(3.5) $\Phi_{0}(t)=\int_{0}^{t}\Phi_{1}(t-x){\rm d}F(x).$

其中, ${{S}_{i}}\left( t \right)=P\left\{ 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}, {时刻t服务台失效}\right\}$, $i\ge 1$.

2)  类似文献[23]定理3.2中(3.17)式的推导,用${{\tilde{b}}^{\left\langle i \right\rangle }}$对引理3.1中的$\tilde{\Phi }\left( t \right)$进行全概率分解,可得

$\begin{eqnarray*}\tilde{\Phi}(t)&=&P\left\{{时刻t系统失效}\right\}\\&=&P\left\{0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}, {时刻t系统失效}\right\}+P\left\{\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t, {时刻t系统失效}\right\}\\&=&{{S}_{i}}\left(t \right)+\int_{0}^{t}{\tilde{\Phi }\left(t-x \right)}{\rm d}{{\tilde{B}}^{\left(i \right)}}\left(x \right).\end{eqnarray*}$

于是

(3.6) ${S}_{i}(t)=\tilde{\Phi}(t) -\int_{0}^{t}\tilde{\Phi}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), \;\;\;\;i\geq1.$

3)  将(3.6)式代入(3.4)式,并对(3.4)-(3.6)式作拉普拉斯变换,整理即可得到(3.1)与(3.2)式.

4)  再根据$\lim\limits_{t\to \infty }{{\Phi }_{i}}\left( t \right) =\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s\varphi _{i}^{*}\left( s \right)$,使用洛必达法则,并注意到如下结果

$\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}\frac{\rm d}{{\rm d}s}[\tilde{\Delta }\left( s \right)]=\frac{1}{\lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)}\left[ 1+h\left( \lambda \right)\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{G}^{m}}\left( D \right)} \right].$

即可得证.

定理3.2  对$\Re \left( s \right)>0$,有

(3.7) ${{m}_{0}}\left( s \right)=\tilde{m}\left( s \right)f\left( s \right)\left\{ 1-\frac{\tilde{b}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\}, $

(3.8) ${{m}_{i}}\left( s \right)=\tilde{m}\left( s \right)\left\{ 1-\frac{{{{\tilde{b}}}^{i}}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\} ,\;\;\;\;i\ge 1.$

且平稳结果为

(3.9) $\lim\limits_{t\to \infty }\frac{{{M}_{i}}\left( t \right)}{t}=\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{m}_{i}}\left( s \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\lambda \alpha \left[ 1+\alpha \beta \left( 1+v\gamma \right) \right]}{\mu \left( 1+\alpha \beta \right)}, &\tilde{\rho }<1, \\ \frac{\alpha }{1+\alpha \beta }, &\tilde{\rho }\ge 1. \end{array} \right.$

证  1) 显然,有

(3.10) ${{M}_{0}}\left( t \right)=\int_{0}^{t}{{{M}_{1}}\left( t-x \right)}{\rm d}F\left( x \right).$

对$i\ge 1$,利用全概率分解,有

(3.11) $\begin{eqnarray}M_{i}(t)&=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数, }0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\\&&+E\left\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}]\mbox{内服务台的失效次数, } \tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\&& +\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left( y \right)}}{{M}_{1}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right)\\&& +{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{M}_{N}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( N-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&& +\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{M}_{m}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\& =&{{\Gamma }_{i}}\left( t \right)+{{L}_{i}}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left( y \right)}}{{M}_{1}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right)\\&&+{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{M}_{N}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( N-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&& +\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{M}_{m}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right].q\label{eq:b25}\end{eqnarray}$

其中

${{\Gamma }_{i}}=E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数, }0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle} \right\}, $

${{L}_{i}}=E\left\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}] \mbox{内服务台的失效次数, }\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}, i\geq1.$

2)  类似文献[23]定理3.3中(3.27)式的推导,用${{\tilde{b}}^{\left\langle i \right\rangle }}$对引理3.1中的$\tilde{M}\left( t \right)$进行全概率分解,可得

$\begin{eqnarray*}\tilde{M}(t)&=&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数, }0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\\&&+E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数, }\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\& =&E\left\{ (0, t]\mbox{内服务台的失效次数, }0\leq t<\tilde{b}^{\langle i\rangle}\right\}\\&&+E\left\{ (0, \tilde{b}^{\langle i\rangle}]\mbox{内服务台的失效次数, }\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\&&+E\left\{ (\tilde{b}^{\langle i\rangle}, t]\mbox{内服务台的失效次数, }\tilde{b}^{\langle i\rangle}\leq t \right\}\\& =&{{\Gamma }_{i}}+{{L}_{i}}+\int_{0}^{t}\tilde{M}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x).\end{eqnarray*}$

于是

(3.12) ${{\Gamma }_{i}}+{{L}_{i}}=\tilde{M}(t) -\int_{0}^{t}\tilde{M}(t-x){\rm d}\tilde{B}^{(i)}(x), i\geq1.$

3)  将(3.12)式代入(3.11)式,并对(3.10)和(3.11)式作拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换,整理即可得(3.7)-(3.8)式.

4)  再根据$\lim\limits_{t\to \infty }\frac{{{M}_{i}}\left( t \right)}{t}= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{m}_{i}}\left( s \right)$,使用洛必达法则,经计算可得(3.9)式.

修理设备的"广义忙期":是指修理设备从开始修理失效服务台的时刻起,直到服务台被修复好的这段时间,其中包括了因修理设备本身发生故障而进行更换(修理)的时间.显然,修理设备的"广义忙期"长度就是服务台的"广义修理时间"长度$\tilde{Y}$.

为了讨论修理设备的不可用度,我们作如下准备.

首先,考虑修理设备的寿命$U$和更换时间$W$形成的交替更新过程$\left\{ \left( {{U}_{i}}, {{W}_{i}} \right), i\ge 1 \right\}$,如图 1所示.

对$t\ge 0$,令

$ \Pi \left( t \right)=P\left\{ {时刻t修理设备处于更换状态} \right\}, {{\pi }^{{*}}}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}\Pi \left( t \right)}{\rm d}t , $

$ \Psi \left( t \right)=E\left\{{修理设备在(0,t]内更换的次数} \right\}, \psi \left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}\Psi \left( t \right)}. $

引理4.1^[24]  对$\Re \left( s \right)>0$,有

$ {{\pi }^{*}}\left( s \right)=\frac{\nu \left( 1-w\left( s \right) \right)} {s\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right)} , \psi \left( s \right)= \frac{\nu }{s+\nu -\nu w\left( s \right)} , $

而且平稳结果

$ \lim\limits_{t\to \infty }\Pi \left( t \right)= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{\pi }^{*}}\left( s \right)=\frac{\nu \gamma } {1+\nu \gamma } , \lim\limits_{t\to \infty }\frac{\Psi \left( t \right)}{t}= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s\psi \left( s \right) =\frac{\nu }{1+\nu \gamma } . $

证  由修理设备的寿命$U$和更换时间$W$形成的交替更新过程$\left\{ \left( {{U}_{i}}, {{W}_{i}} \right), i\ge 1 \right\}$,完全等价于文献[24]的经典单部件可靠性系统,因此类似讨论易得证.

其次,在修理设备的"广义忙期"期间,修理设备的寿命$U$和更换时间$W$形成交替更新过程,且在修理设备的"广义忙期"的开始和结束时刻,修理设备一定是正常的,注意到修理设备的寿命$U$服从指数分布,具有无记忆性,因此用$\tilde{Y}$对$\Pi \left( t \right)$和$M\left( t \right)$作全概率分解(见图 2),可得

$\begin{array}{l}\Pi \left( t \right)&=&P\left\{{时刻t修理设备处于更换状态}\right\}\\& =&P\left\{{ 0\le t<\tilde{Y};时刻t修理设备处于更换状态}\right\}\\&&+P\left\{{ t\ge \tilde{Y};时刻t修理设备处于更换状态} \right\}\\&=&\tilde{S}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{\Pi \left( t-x \right)}{\rm d}\tilde{Y}\left( x \right).\end{array}$

其中, $ \tilde{S}\left( t \right)=P\left\{ 0\le t<\tilde{Y};{时刻t修理设备处于更换状态}\right\}. $

$\begin{eqnarray*}\psi \left( t \right)&=&E\left\{{修理设备在(0, t]内的更换次数} \right\}\\& =&E\left\{ 0\le t<\tilde{Y};{修理设备在(0, t]内的更换次数} \right\}\\& &+E\left\{ t\ge \tilde{Y};{修理设备在(0, \tilde{Y}]内的更换次数} \right\}+\int_{0}^{t}{M\left( t-x \right){\rm d}\tilde{Y}\left( x \right)}\\& =&\delta \left( t \right)+L\left( t \right)+\int_{0}^{t}{M\left( t-x \right){\rm d}\tilde{Y}\left( x \right)}.\end{eqnarray*}$

其中

$\delta \left( t \right)=E\left\{{{ 0\le t<\tilde{Y}};修理设备在(0, t]内的更换次数} \right\} , $

$ L\left( t \right)=E\left\{ t\ge \tilde{Y};{修理设备在(0, \tilde{Y}]内的更换次数}\right\}.$

因此可得如下引理4.2.

引理4.2  对$t\ge 0$,有

$\tilde{S}\left( t \right)=\Pi \left( t \right) -\int_{0}^{t}{\Pi \left( t-x \right){\rm d}\tilde{Y}\left( x \right)}, \;\;\;\;\delta \left( t \right)+L\left( t \right)=\Psi \left( t \right) -\int_{0}^{\infty }{\Psi \left( t-x \right)}{\rm d}\tilde{Y}\left( x \right).$

其中, $\Pi \left( t \right)$和$\Psi \left( t \right)$由引理4.1给出.

又考虑$X$、$\tilde{Y}$形成的交替更新过程$\left\{ \left( {{X}_{i}}, {{{\tilde{Y}}}_{i}} \right), i\ge 1 \right\}$ (见图 3).

修理设备在服务员对顾客进行服务的"广义忙期"长度$\tilde{b}$中,修理设备的闲期长度(即为服务台的寿命长度$X$)和修理设备的"广义忙期"长度(即为服务台的"广义修理时间"长度$\tilde{Y}$)形成相互交替的交替更新过程,而且在修理设备的"广义忙期" $\tilde{Y}$中,修理设备的寿命$U$和更换时间$W$也形成交替更新过程(见图 2).

对于交替更新过程$\left\{ \left( {{X}_{i}}, {{{\tilde{Y}}}_{i}} \right), i\ge 1 \right\}$ (图 3),对$t\ge 0$,令

$ A\left( t \right)=P\left\{{时刻t处于修理设备的"广义忙期",且时刻t修理设备处于更换状态} \right\}, $

$ D\left( t \right)=E\left\{{修理设备在(0, t]内的更换次数}\right\}, $

$ {{a}^{*}}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}A\left( t \right)}{\rm d}t, \;\;\;\; {\rm d}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}{\rm d}D\left( t \right)}.$

引理4.3  对$\Re \left( s \right)>0$,有

${{a}^{*}}\left( s \right)=\frac{\nu \left[ 1-w\left( s \right) \right]}{s\left[ s+\nu -\nu w\left( s \right) \right]}\cdot \frac{\alpha \left[ 1-y\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right) \right]}{s+\alpha -\alpha y\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right)}, $

${\rm d}\left( s \right)=\frac{\nu }{s\left[ s+\nu -\nu w\left( s \right) \right]}\cdot \frac{\alpha \left[ 1-y\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right) \right]}{s+\alpha -\alpha y\left( s+\nu -\nu w\left( s \right) \right)}, $

而且平稳结果

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\to\infty}A\left( t \right)= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}} s{{a}^{*}}\left( s \right)=\frac{\alpha \beta \nu \gamma }{1+\alpha \beta (1+\nu \gamma )}, \lim\limits_{t\to\infty}\frac{D\left( t \right)}{t} =\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}sd\left( s \right)= \frac{\alpha \beta \nu }{1+\alpha \beta \left( 1+\nu \gamma \right)}.\end{eqnarray*}$

证  由图 3,可得

$\begin{eqnarray*} A\left( t \right)&=&\sum\limits_{m=1}^{\infty }{P\left\{ \sum\limits_ {l=1}^{m-1}{\left( {{X}_{l}}+{{{\tilde{Y}}}_{l}} \right)+{{X}_{m}}\le t<\sum\limits_{l=1}^{m}{\left( {{X}_{l}}+{{{\tilde{Y}}}_{l}} \right), {时刻t修理设备处于更换状态}}} \right\}}\\&&=\sum\limits_{m=1}^{\infty }{\int_{0}^{t}{P\left\{ {{{\tilde{Y}}}_{m}}>t-x, {时刻t-x修理设备处于更换状态} \right\}}}\\&&\cdot \, {\rm d}\left[ {{X}^{\left( m \right)}}(x)*{{{\tilde{Y}}}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right) \right]\\&=&\sum\limits_{m=1}^{\infty }{\int_{0}^{t}{\tilde{S}\left( t-x \right)}}{\rm d}\left[ {{X}^{\left( m \right)}}(x)*{{{\tilde{Y}}}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right) \right].\end{eqnarray*}$

其中$\tilde{S}\left( t \right)$由引理4.2给出.

对$A\left( t \right)$作$L$变换并结合引理4.1和4.2可得${{a}^{*}}\left( s \right)$.再根据$\lim\limits_{t\to\infty}A\left( t \right)= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{a}^{*}}\left( s \right)$,使用洛必达法则,经计算则可得证.

同样,因为修理设备只在"广义忙期" $\tilde{Y}$中可能发生故障,且修理设备的寿命$U$和更换时间$W$也形成交替更新过程,所以$D\left( t \right)$与$R\left( t \right)$有如下关系

$D\left( t \right)=\int_{0}^{t}{R\left( t-x \right)}{\rm d}P \left\{ X\le x \right\}.$

其中, $R\left( t \right)$表示在交替更新过程$\left\{ \left( {{{\tilde{Y}}}_{k}}, {{X}_{k}} \right), k\ge 1 \right\}$下于$\left( 0, t \right]$时间内修理设备的平均更换次数(见图 4).

$\begin{eqnarray*}R\left( t \right)&=&E\left\{ \left( {{{\tilde{Y}}}_{k}}, {{X}_{k}} \right), k\ge 1;{在\left( 0, t \right]内修理设备的更换次数; }{{{\tilde{Y}}}_{1}}>t\ge 0 \right\}\\&& +E\left\{ \left( {{{\tilde{Y}}}_{k}}, {{X}_{k}} \right), k\ge 1;{在\left( 0, {{{\tilde{Y}}}_{1}} \right]内修理设备的更换次数; }{{{\tilde{Y}}}_{1}}\le t \right\}\\& & +E\left\{ \left( {{{\tilde{Y}}}_{k}}, {{X}_{k}} \right), k\ge 1;{在\left( {{{\tilde{Y}}}_{1}}, t \right]内修理设备的更换次数; }{{{\tilde{Y}}}_{1}}\le t \right\}\\& =&E\left\{{在\left( 0, t \right]内修理设备的更换次数; } {{{\tilde{Y}}}_{1}}>t \right\}\\&& +E\left\{{在\left( 0, {{{\tilde{Y}}}_{1}} \right]内修理设备的更换次数; }{{{\tilde{Y}}}_{1}}\le t \right\}+\int_{0}^{t}{D\left( t-x \right)}{\rm d}P\left\{ \tilde{Y}\le x \right\}\\& =&\delta \left( t \right)+L\left( t \right)+\int_{0}^{t}{D\left( t-x \right)}{\rm d}P\left\{ \tilde{Y}\le x \right\}.\end{eqnarray*}$

其中, $\delta \left( t \right)+L\left( t \right)$由引理4.2给出.

对$R\left( t \right)$和$D\left( t \right)$作$L$变换并结合引理4.1和4.2可得$d\left( s \right)$.再根据$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{D\left( t \right)}{t}= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}sd\left( s \right)$,使用洛必达法则,经计算则可得证.

下面我们来讨论在该文系统中修理设备的不可用度.对$t\ge 0$,令

${{\Pi }_{i}}\left( t \right)=P\left\{ {时刻t修理设备处于更换状态}\mid_{N(0)=i}\right\}, {{\pi }_{i}}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}}{{\Pi }_{i}}\left( t \right){\rm d}t.$

定理4.1  对$\Re \left( s \right)> 0$,有

(4.1) $\pi _{0}^{*}\left( s \right)={{a}^{*}}\left( s \right)f\left( s \right)\left\{ 1-\frac{\tilde{b}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\}, $

(4.2) $\pi _{i}^{*}\left( s \right)={{a}^{*}}\left( s \right)\left\{ 1-\frac{{{{\tilde{b}}}^{i}}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\}, i\ge 1.$

且平稳结果为

(4.3) $\lim\limits_{t\to\infty}{{\Pi }_{i}}\left( t \right)=\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s\pi _{i}^{*}\left( s \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\lambda \alpha \beta v\gamma }{\mu }, &\tilde{\rho }<1, \\[3mm] \frac{\alpha \beta v\gamma }{1+\alpha \beta \left( 1+v\gamma \right)}, &\tilde{\rho }\ge 1.\end{array} \right.$

证   1) 由模型的假设可知,修理设备只在它修理故障服务台的期间才可能发生故障,即在修理设备的"广义忙期"中才可能发生故障,而且形成正常、失效(更换)的交替更新过程,因此,时刻$t$修理设备处于更新状态当且仅当时刻$t$落在服务台对顾客进行服务的某个广义忙期长度中且时刻$t$落在服务台的某个"广义修理时间" $\tilde{Y}$内,如图 5所示.

于是对$i\ge 1$,类似定理3.1的分解过程,有

(4.4) $\begin{eqnarray}{{\Pi }_{i}}\left( t \right)&=&P\left\{ 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}, {时刻t处于修理设备的"广义忙期",且处于更换状态} \right\}\\&&+P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\tilde{\tau }}}_{1}}\le t, \ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}<H, {时刻t处于修理设备的"广义忙期",且处于更换状态} \right\}\\&&+P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\tilde{\tau }}}_{1}}+{{l}_{N-1}}\le t, \ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}\ge H, {{S}_{N-1}}<D, \right.\\&&\left. {时刻t处于修理设备的"广义忙期",且处于更换状态} \right\}\\&& +\sum\limits_{m=1}^{N-1}{P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}+{{{\tilde{\tau }}}_{1}}+{{l}_{m-1}}\le t, \ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}\ge H, {{S}_{m-1}}<D\le {{S}_{m}}, \right.}\\&& \left. {时刻t处于修理设备的"广义忙期",且处于更换状态}\right\}\\&=&{{\tilde{\Lambda }}_{i}}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left( y \right)}}{{\Pi }_{1}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right)\\&&+{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{\Pi }_{N}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( N-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&&+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{\Pi }_{m}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right], \end{eqnarray}$

(4.5) ${{\Pi }_{0}}\left( t \right)=\int_{0}^{t}{{{\Pi }_{1}}\left( t-x \right)}{\rm d}F\left( x \right), $

其中

$\begin{eqnarray*}{{\tilde{\Lambda }}_{i}}\left( t \right)&=&P\left\{ 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}, \right.{时刻t处于修理设备的"广义忙期", }\\&&{且修理设备处于更换状态} \Big\}, i\ge 1.\end{eqnarray*}$

2)  由于修理设备在服务台的每个忙期的开始和结束时刻都是正常的,而且在服务台的广义忙期$\tilde{b}$中,修理设备的闲期和其广义忙期$\tilde{Y}$相互交替,形成一个更新过程,而在修理设备的广义忙期长度中,修理设备是正常、更替的交替更新过程,此处的修理设备闲期长度即为服务台的寿命长度,修理设备的广义忙期长度即为服务台的广义修理时间,且服务台每个忙期的开始即为修理设备闲期的开始.由于指数分布具有"无记忆性",用${{\tilde{b}}^{\left\langle i \right\rangle }}$对$A\left( t \right)$进行全概率分解(如图 6所示),得

$\begin{eqnarray*}A\left( t \right)&=&P\left\{{时刻t处于修理设备的"广义忙期",且时刻t修理设备处于更换状态} \right\}\\& =&P\left\{ 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}, {时刻t处于修理设备的"广义忙期", }\right.\\&&\left.{且时刻t修理设备处于更换状态} \right\}\\&& +P\left\{ {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}\le t, {时刻t处于修理设备的"广义忙期", }\right.\\&&\left.{且时刻t修理设备处于更换状态} \right\}\\& =&{{\tilde{\Lambda }}_{i}}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{A\left( t-x \right)}{\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right).\end{eqnarray*}$

于是得到

(4.6) ${{\tilde{\Lambda }}_{i}}\left( t \right)=A\left( t \right) -\int_{0}^{t}{A\left( t-x \right)}{\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right), i\ge 1 .$

3)  将(4.6)式代入(4.4)式,并对(4.4)式和(4.5)式作拉普拉斯变换,整理即可得(4.1)-(4.2)式.再根据$\lim\limits_{t\to\infty}{{\Pi }_{i}}\left( t \right)= \lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s\pi _{i}^{*}\left( s \right)$,使用洛必达法则,则可得(4.3)式.

对$t\ge 0$,令

${{Z}_{i}}\left( t \right)=E\left\{ \mbox{修理设备在}\left( 0, t \right]\mbox{内的更换次数}\mid_{N(0)=i}\right\}, {{z}_{i}}\left( s \right)=\int_{0}^{\infty }{{{e}^{-st}}}{\rm d}{{Z}_{i}}\left( t \right), i\ge 0.$

定理4.2  对$\Re \left( s \right)> 0$,有

(4.7) ${{z}_{0}}\left( s \right)=d\left( s \right)f\left( s \right)\left\{ 1-\frac{\tilde{b}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\} , $

(4.8) ${{z}_{i}}\left( s \right)=d\left( s \right)\left\{ 1-\frac{{{{\tilde{b}}}^{i}}\left( s \right)\left( 1-\xi (s) \right)}{\tilde{\Delta }\left( s \right)} \right\} , i\ge 1.$

且平稳结果为

(4.9) $\lim\limits_{t\to\infty}\frac{{{Z}_{i}}\left( t \right)}{t}=\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{z}_{i}}\left( s \right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\lambda \alpha \beta v}{\mu }, &\tilde{\rho }<1, \\[3mm] \frac{\alpha \beta v}{1+\alpha \beta \left( 1+\nu \gamma \right)}, & \tilde{\rho }\ge 1. \end{array} \right.$

证   1) 显然,有

(4.10) ${{Z}_{0}}\left( t \right)=\int_{0}^{t}{{{Z}_{1}}\left( t-x \right)}{\rm d}F\left( x \right).$

对$i\ge 1$,类似定理3.2的分解过程,有

$\begin{eqnarray*}{{Z}_{i}}\left( t \right)&=&E\left\{{修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}} \right\}\\&&+E\left\{{修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}\le t }\right\}\\&=&E\left\{{修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}} \right\}\\&& +E\left\{{修理设备在(0, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}]内的更换次数, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}\le t }\right\}\\&&+\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left( y \right)}}{{Z}_{1}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right)\\&&+{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{Z}_{N}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( N-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&& +\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{Z}_{m}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&=&{{C}_{i}}\left( t \right)+{{\Omega }_{i}}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{\bar{H}\left( y \right)}}{{Z}_{1}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right)\\&&+{{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{Z}_{N}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( N-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right]\\&& +\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{A}_{m}}}\left( D \right)\int_{0}^{t}{\int_{0}^{t-x}{H\left( y \right)}}{{Z}_{m}}\left( t-x-y \right){\rm d}F\left( y \right){\rm d}\left[ {{F}^{\left( m-1 \right)}}\left( x \right)*{{{\tilde{B}}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) \right].\end{eqnarray*}$

其中

${{C}_{i}}\left( t \right)=E\left\{ {修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, }0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }} \right\}, $

$ {{\Omega }_{i}}\left( t \right)=E\left\{ {修理设备在< (0, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}]内的更换次数, } {{{\tilde{b}}}^{\left\langle i \right\rangle }}\le t \right\} , i\ge 1.$

2)  类似文献^[17]定理2中(33)式,用${{\tilde{b}}^{\left\langle i \right\rangle }}$对引理4.3中的$D\left( t \right)$进行全概率分解,得

$\begin{array}{l}D\left( t \right)&=&E\left\{ {修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数} \right\}\\&=&E\left\{ {修理设备在<\left( 0, t \right]内的更换次数, 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }} }\right\}\\&&+E\left\{{修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }}\le t }\right\}\\&=&E\left\{{修理设备在\left( 0, t \right]内的更换次数, 0\le t<{{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }}} \right\}\\&&+E\left\{{修理设备在(0, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }}]内的更换次数, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }}\le t }\right\}\\&&+E\left\{{修理设备在(0, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }},t]内的更换次数, {{{\tilde{b}}}^{\left\langle {i} \right\rangle }}\le t }\right\}\\&=&{{C}_{i}}\left( t \right)+{{\Omega }_{i}}\left( t \right)+\int_{0}^{t}{D\left( t-x \right)}{\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right).\end{array} $

于是得到

(4.12) $ {{C}_{i}}\left( t \right)+{{\Omega }_{i}}\left( t \right)=D\left( t \right) -\int_{0}^{t}{D\left( t-x \right)}{\rm d}{{\tilde{B}}^{\left( i \right)}}\left( x \right) , i\ge 1 .$

其中$D\left( t \right)$由引理4.3给出.

3)  将(4.12)式代入(4.11)式,并对(4.10)和(4.11)式作拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换,整理即可得(4.7)-(4.8)式.

4)  再根据$\lim\limits_{t\to\infty}\frac{{{Z}_{i}}\left( t \right)}{t}=\lim\limits_{s\to {{0}^{+}}}s{{z}_{i}}\left( s \right)$,使用洛必达法则,即可得到(4.9)式.

本文建立的费用模型如下.

1)  一个顾客在系统中逗留(包括等待和服务)单位时间所需要的费用为$K$;

2)  系统在一个忙循环内的固定消耗费用(如启动费用等)为$R$; \\则当系统达到稳态$\left( \tilde{\rho }<1 \right)$下,在修理设备可更换且具有延迟Min$(N, D)$ -策略下系统单位时间内的平均费用${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$为

(5.1) $ {{F}_{{\rm Min}(N, D)}}=K\cdot E\left[ {\tilde{L}} \right]+R\cdot \frac{1}{E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]}.$

其中, $E\left[ {\tilde{L}} \right]$是稳态下的平均队长, ${{C}_{{\rm Min}(N, D)}}$表示一个忙循环的长度, $E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]$表示${{C}_{{\rm Min}(N, D)}}$的平均长度.

下面用${{N}_{{\rm Min}(N, D)}}$表示在"服务员忙期"开始时系统中的顾客数.根据模型假定,可得

(1)  当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在延迟期,其概率为

$\begin{eqnarray*} {{p}_{1}}=P\left\{ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}\le H \right\}=\int_{0}^{\infty }{F\left( t \right)}{\rm d}H\left( t \right). \end{eqnarray*}$

此时, $E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]=\frac{1}{\lambda }+E\left[ {\tilde{b}} \right]=\frac{1}{\lambda }+\frac{{\tilde{\rho }}}{\lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)}, \ \tilde{\rho }<1$.

(2)  当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在服务员的闲期,且在闲期到达$N$个顾客,其概率为

$\begin{eqnarray*} {{p}_{2}}=P\left\{ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}>H, {{S}_{N-1}}<D \right\}={{G}^{\left( N-1 \right)}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\left[ 1-F\left( t \right) \right]}{\rm d}H\left( t \right). \end{eqnarray*} $

此时, $E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]=\frac{N}{\lambda }+N\cdot E\left[ {\tilde{b}} \right]=\frac{N}{\lambda }+\frac{N\tilde{\rho }}{\lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)} , \tilde{\rho }<1$.

(3)  当忙期结束后,第一个顾客的到达发生在服务员的闲期,且在闲期到达$m$$(1\le m<N )$个顾客,其概率为

$ {{p}_{3}}\left( m \right)=P\left\{ {{{\tilde{\tau }}}_{1}}>H, {{S}_{m-1}}<D\le {{S}_{m-1}} \right\}={{A}_{m}}\left( D \right)\int_{0}^{\infty }{\left[ 1-F\left( t \right) \right]}{\rm d}H\left( t \right).$

此时, $E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]=\frac{m}{\lambda }+m\cdot E\left[ {\tilde{b}} \right]=\frac{m}{\lambda }+\frac{m\tilde{\rho }}{\lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)} , \tilde{\rho }<1$.

综合上述(1)-(3)可得

(5.2) $\begin{eqnarray}E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]&=&{{p}_{1}}\cdot \left\{ \frac{1}{\lambda }+E\left[ {\tilde{b}} \right] \right\}+{{p}_{2}}\cdot \left\{ \frac{N}{\lambda }+N\cdot E\left[ {\tilde{b}} \right] \right\}+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{p}_{3}}\cdot \left\{ \frac{m}{\lambda }+m\cdot E\left[ {\tilde{b}} \right] \right\}}\\ &=&\frac{1}{\lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)}\left\{ 1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right)}\int_{0}^{\infty }{\left[ 1-F\left( t \right) \right]}{\rm d}H\left( t \right) \right\}. \label{eq:c5} \end{eqnarray} $

根据文献[22],系统在稳态下的平均队长为

(5.3) $ \begin{eqnarray} E\left[ {\tilde{L}} \right]=\tilde{\rho }+\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{{\tilde{\chi }}}^{2}} \right]}{2\left( 1-\tilde{\rho } \right)}+\frac{h\left( \lambda \right)\sum\limits_{j=1}^{N-1}{j{{G}^{\left( j \right)}}\left( D \right)}}{1+h\left( \lambda \right)\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right)}}. \label{eq:c6} \end{eqnarray}$

其中, $E\left[ {{{\tilde{\chi }}}^{2}} \right]$为顾客的"广义服务时间" $\tilde{\chi }$的二阶原点矩,可由$E\left[ {{{\tilde{\chi }}}^{2}} \right]=\frac{{{d}^{2}}}{d{{s}^{2}}}\left[ \tilde{g}(s) \right]{{|}_{s=0}}$给出.则系统单位时间内的平均费用为

(5.4) $\begin{eqnarray} {{F}_{{\rm Min}(N, D)}}&=&K\cdot E\left[ {\tilde{L}} \right]+R\cdot \frac{1}{E\left[ {{C}_{{\rm Min}(N, D)}} \right]}\\ &=&K\cdot \left\{ \tilde{\rho }+\frac{{{\lambda }^{2}}E\left[ {{{\tilde{\chi }}}^{2}} \right]}{2\left( 1-\tilde{\rho } \right)}+\frac{h\left( \lambda \right)\sum\limits_{j=1}^{N-1}{j{{G}^{\left( j \right)}}\left( D \right)}}{1+h\left( \lambda \right)\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right)}} \right\}\\ &&+\frac{R\cdot \lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)}{1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{{{G}^{\left( m \right)}}\left( D \right)}\int_{0}^{\infty }{\left[ 1-F\left( t \right) \right]}{\rm d}H\left( t \right)}. \end{eqnarray}$

由(5.4)式看出, ${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$是关于$N$和$D$的二维非线性函数,理论上直接求出使得${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$最小的最优$\left( {{N^ * }, {D^ *}} \right)$是非常困难的,下面我们结合具体的数值计算实例来讨论最优阀值$\left( {{N^ * }, {D^ *}} \right)$.

例  某专科医院为了提高声誉,计划高薪聘请一个兼职资深专家医生坐诊,专家医生只需在医院需要的时间内来坐诊,在其他时间内该专家医生到其他单位去兼职或休息(这段时间可以看成服务员的休假).为了控制成本,医院采取延迟Min($N, D$) -策略,当专家医生服务完在场的所有病人后(对应系统为空),该医生就整理东西准备离开(对应延迟时间),在这期间如果有病人到达,该医生立马为其服务,直到服务完在场的所有病人后又整理东西准备离开.若在整理期间没有病人到达,该医生就离开到其他单位去兼职或休息(对应服务员去休假).该医生在休假时间内,病人采取网上预约,当预约的病人数达到$N$个,或者预约的病人所需服务时间总量不小于$D\left( D\ge 0 \right)$,无论哪一个先发生,该医生立即回到医院并开始为病人服务,直到服务完在场的所有病人后离开.在医生为病人服务的过程中,设备可能会发生故障,设备故障过后会立即进行修理.假设病人按参数$\lambda $的Poisson流到达,即$F(t)=1-{{e}^{-\lambda t}}$,每诊治一位病人所需时间$\chi $服从负指数分布$G(t)=1-{{e}^{-\mu t}}$, $t\ge 0$,医生整理东西的时间$H$服从负指数分布$H(t)=1-{{e}^{-\theta t}}$, $t\ge 0$,设备失效后的修理时间$Y$服从负指数分布$Y(t)=1-{{e}^{-\frac{1}{\beta }t}}$, $t\ge 0$.一个病人在医院中逗留单位时间的成本费用为K,医院开展该项业务在一个周期内的固定费用为R (含医院付给该医生的酬劳费用).医院在这样的控制策略和成本模型下,希望寻找一个合理的预约病人数N,及预约病人所需服务时间总量$D$,使得总成本费用${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$最少.

由(5.4)式可得

(5.5) $\begin{eqnarray}{{F}_{{\rm Min}(N, D)}}&=&K\cdot \left\{ \tilde{\rho }+\frac{{{\lambda }^{2}}\left[ {{\left( 1+\alpha \tilde{\beta } \right)}^{2}}+\alpha \mu \left( {{{\tilde{\beta }}}^{2}}+\beta v{{r}^{2}} \right) \right]}{\mu \left[ \mu -\lambda \left( 1+\alpha \tilde{\beta } \right) \right]} \right.\\&&\left. +\frac{\theta \sum\limits_{j=1}^{N-1}{j\left[ 1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i=0}^{j-1}{\frac{{{\left( \mu D \right)}^{i}}}{i!}} \right]}}{\lambda +\theta \left\{ 1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{\left[ 1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i=0}^{m-1}{\frac{{{\left( \mu D \right)}^{i}}}{i!}} \right]} \right\}} \right\}\\&&+\frac{R\cdot \lambda \left( 1-\tilde{\rho } \right)\left( \lambda +\theta \right)}{\lambda +\theta \left\{ 1+\sum\limits_{m=1}^{N-1}{\left[ 1-{{e}^{-\mu D}}\sum\limits_{i=0}^{m-1}{\frac{{{\left( \mu D \right)}^{i}}}{i!}} \right]} \right\}}. \label{eq:c8}\end{eqnarray}$

取$\lambda =1.0, \mu =3.0, \alpha =0.2, \beta =0.65, \theta =0.4$, $v=0.3$, $r=5.0$, $R=100, K=10$,其中$\tilde{\rho }=0.4417<1$,将其代入(5.5)式可得到${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$. 表 1和图 7给出了${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}$在不同阀值$N, D$下的数值计算结果(保留小数点后4位).

从表 1和图 7可以看出,当$N=4$, $D=5.1381$时,系统每单位时间内所需费用的期望值最小,为${{F}_{{\rm Min}(N, D)}}=56.1792$,即系统的最优策略的控制阀值$\left( {{N}^{*}}, {{D}^{*}} \right)=\left( 4, 5.1381 \right)$,因此当系统中累积达到4个,或者等待服务的所需服务时间总量不小于5.1381时,该医生立即到医院为病人服务.