重调和方程非平凡解的存在性

数学物理学报

重调和方程非平凡解的存在性

唐春霞;张正杰

张正杰华中师范大学数学与统计学学院武汉 430079

收稿日期:2005-08-15 修回日期:2006-12-19 出版日期:2008-04-25 发布日期:2008-04-25
通讯作者: 张正杰
基金资助:
国家自然科学基金(10471052)资助

The Existence of a Nontrivial Solution for Biharmonic Equation

Tang Chunxia; Zhang Zhengjie

Department of Mathematics and Statistics. Central China Normal University, Wuhan 430079

Received:2005-08-15 Revised:2006-12-19 Online:2008-04-25 Published:2008-04-25
Contact: Zhang Zhengjie

摘要/Abstract

摘要： 该文主要研究 $R^N(N>4)$ 上
重调和方程

\begin{array}{rcl} {\begin{cases} Δ^{2} u + λ u = \bar{f} (x, u); \\ lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0; \\ u \in H^{2} (R^{N}), x \in R^{N} \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2 u+\lambda u=\overline{f}(x,u);\\ \lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=0;\\ u\in{H^2}(R^N),\hspace{0.1cm}x\in{R^N } \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
的非平凡解的存在性.
为了便于研究,将方程转化为

R^{N} (N > 4)

$R^N(N>4)$ 上带有扰动项的重调和方程

\begin{array}{rcl} {\begin{cases} Δ^{2} u + λ u = f (u) + ε g (x, u); \\ lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0; \\ u \in H^{2} (R^{N}), x \in R^{N} . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2 u+\lambda u=f(u)+\varepsilon g(x,u);\\ \lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=0;\\ u\in{H^2}(R^N),\hspace{0.1cm}x\in{R^N } . \end{array} \right. \end{eqnarray*}$
并运用扰动方法进行研究(其中

f (u) = lim_{| x | ⟶ \infty} \bar{f} (x, u), ε g (x, u) = \bar{f} (x, u) - f (u), ε

$f(u)=\lim\limits_{|x|\longrightarrow \infty}\overline{f}(x,u), \varepsilon g(x,u)=\overline{f}(x,u)-f(u),\varepsilon$ 为任意小常数),
证明了在适当条件下上述问题非平凡解的存在性.

关键词: 存在性, 重调和方程, 扰动

Abstract:

The paper mainly studies biharmonic equation in $R^N(N>4)$ as

{\begin{cases} Δ^{2} u + λ u = \bar{f} (x, u); \\ lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0; \\ u \in H^{2} (R^{N}), x \in R^{N} . \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2 u+\lambda u=\overline{f}(x,u);\\ \lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=0;\\ u\in{H^2}(R^N),\hspace{0.1cm}x\in{R^N }. \end{array} \right.$

For studying it, the authors change it to the biharmonic equation with a perturbation in $R^N(N>4)$ as

{\begin{cases} Δ^{2} u + λ u = f (u) + ε g (x, u); \\ lim_{| x | \to \infty} u (x) = 0; \\ u \in H^{2} (R^{N}), x \in R^{N} \end{cases}

$\left\{ \begin{array}{ll} \Delta^2 u+\lambda u=f(u)+\varepsilon g(x,u);\\ \lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}u(x)=0;\\ u\in{H^2}(R^N),\hspace{0.1cm}x\in{R^N } \end{array} \right.$
and use the perturbation method to study it (where

f (u) = lim_{| x | ⟶ \infty} \bar{f} (x, u), ε g (x, u) = \bar{f} (x, u) - f (u), ε

$f(u)=\lim\limits_{|x|\longrightarrow \infty}\overline{f}(x,u),\varepsilon g(x,u)=\overline{f}(x,u)-f(u),\varepsilon$
is a small constant).

The authors can prove the existence of nontrivial
solutions of the above question under some conditions.

Key words: Existence, Biharmonic equation, Perturbative

中图分类号:

35J70

唐春霞;张正杰. 重调和方程非平凡解的存在性[J]. 数学物理学报, 2008, 28(2): 256-265.

Tang Chunxia; Zhang Zhengjie. The Existence of a Nontrivial Solution for Biharmonic Equation[J]. Acta mathematica scientia,Series A, 2008, 28(2): 256-265.

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