2 预备知识
设 $X$ 是Banach空间. $T$ 是 $X$ 上的一个线性算子, 我们用 $D(T)$ , $R(T)$ , $T^{*}$ 分别表示 $T$ 的定义域, 值域和共轭算子. ${\cal L}(X)$ 和 ${\cal C}(X)$ 分别表示 $X$ 上的有界线性算子和稠定闭线性算子的集合.对于线性算子 $T$ 而言, $\sigma(T)$ , $\rho(T)$ , ${\cal N}(T)$ 分别表示 $T$ 的谱集, 预解集和零空间.
$\alpha(T)=\mbox{dim}{\cal N}(T)$ , $\beta(T)=\mbox{dim}(X/R(T))$ .上半Fredholm算子的集合定义为
| $
\Phi_{+}(X)=\{T\in{\cal C}(X):\alpha(T)<\infty\mbox{ 且}R(T)\mbox{ 是闭的}\}.
$ |
下半Fredholm算子的集合定义为
| $
\Phi_{-}(X)=\{T\in{\cal C}(X):\beta(T)<\infty\mbox{ 且} R(T)\mbox{是闭的}\}.
$ |
半Fredholm算子的集合定义为
| $
\Phi_{\pm}(X)=\Phi_{+}(X)\cup\Phi_{-}(X).
$ |
Fredholm算子的集合定义为
| $
\Phi(X)=\Phi_{+}(X)\cap\Phi_{-}(X).
$ |
$\Phi_{T}$ 的集合定义为
| $
\Phi_{T}=\{\lambda\in{\Bbb C}:\lambda-T\in\Phi(X)\}.
$ |
如果 $T\in\Phi(X)$ , $i(T)=\alpha(T)-\beta(T)$ 称为 $T$ 的指标.
定义2.1[6] 在Hilbert空间 $X \times X$ 中稠定线性算子 $H$ 称为无穷维Hamilton算子, 如果 $H$ 具有如下 $2 \times 2$ 分块形式
| $
H=\left(
\begin{array}{cc}
A ~~& B \\
C ~~& -A^{*} \\
\end{array}
\right),
$ |
其中 $A$ 是 $X$ 中的稠定闭线性算子, $B$ , $C$ 是自伴算子.
定义2.2[8] 设 $X$ 是Banach空间, 且 $T\in{\cal L}(X)$ .如果 $U\in\Phi(X)$ 时有 $U+T\in\Phi(X)$ , 那么称 $T$ 是一个Fredholm扰动.如果 $U\in\Phi_{+}(X) (\mbox{或 }U\in\Phi_{-}(X))$ 时有 $U+T\in\Phi_{+}(X)(\mbox{或 }U\in\Phi_{-}(X))$ , 那么称 $T$ 是一个上(或下)半Fredholm扰动.
我们用 ${\cal F}(X)$ , ${\cal F}_{+}(X)$ 和 ${\cal F}_{-}(X)$ 分别表示Fredholm扰动, 上半Fredholm扰动和下半Fredholm扰动的集合.在文章的其余部分我们用 ${\cal I}(X)$ 表示满足条件 ${\cal I}(X)\subset{\cal F}(X)$ 的 ${\cal L}(X)$ 的任意非零的闭双边理想.
如果 $X$ 是Banach空间且 $T\in{\cal C}(X)$ , 则
| $
\sigma_{e1}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:\lambda-T\notin\Phi_{+}(X)\}={\Bbb C}\setminus\Phi_{+T}, \\
\sigma_{e2}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:\lambda-T\notin\Phi_{-}(X)\}={\Bbb C}\setminus\Phi_{-T}, \\
\sigma_{e3}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:\lambda-T\notin\Phi_{\pm}(X)\}={\Bbb C}\setminus\Phi_{\pm T}, \\
\ \ \ \sigma_{e4}(T)=\{\lambda\in{\Bbb C}:\lambda-T\notin\Phi(X)\}={\Bbb C}\setminus\Phi_{T}, \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma_{e5}(T)={\Bbb C}\setminus\rho_{5}(T), \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \sigma_{e6}(T)={\Bbb C}\setminus\rho_{6}(T).
$ |
其中 $\rho_{5}(T)=\{\lambda\in\Phi_{T}:i(\lambda-T)=0\}$ ,
$\rho_{6}(T)=\{\lambda\in\rho_{5}(T)$ :存在 $\lambda$ 的去心邻域 ${\bf O}(\lambda, \varepsilon)\subset\rho(T)\}$ .所有的这些本质谱的集合都是闭的, 并且满足
| $
\sigma_{e1}(T)\cap\sigma_{e2}(T)=\sigma_{e3}(T)\subset\sigma_{e4}(T)\subset\sigma_{e5}(T)\subset\sigma_{e6}(T).
$ |
注2.1 如果 $T$ 是Hilbert空间 $X$ 上的自伴算子, 那么
| $
\sigma_{e1}(T)=\sigma_{e2}(T)=\sigma_{e3}(T)=\sigma_{e4}(T)
=\sigma_{e5}(T)=\sigma_{e6}(T).
$ |
证 只需证明 $\sigma_{e1}(T)=\sigma_{e6}(T)$ 即可.设 $\lambda\in\Phi_{+T}$ , 则 $R(T-\lambda)$ 闭且 $\alpha(T-\lambda)<\infty$ .当 $\alpha(T-\lambda)=0$ 时, 由于 $T$ 是自伴算子, 从而 $R(T-\lambda)=X$ , 即
| $
\alpha(T-\lambda)=\beta(T-\lambda)=0.
$ |
从而 $\lambda\in\rho_{5}(T)$ 且 $\lambda\in\rho(T)$ , 即 $\lambda\in\rho_{6}(T)$ .当 $\alpha(T-\lambda)\neq0$ 时, 由 $R(T-\lambda)$ 的闭性可知 $\beta(T-\overline{\lambda})=\alpha(T-\lambda)$ .另一方面, 由 $T$ 是自伴算子可知 $\lambda\in{\Bbb R}$ , 从而
| $
\alpha(T-\lambda)=\beta(T-\lambda)<\infty.
$ |
对于自伴算子而言, 有限重特征值是离散的, 故 $\lambda$ 附近的点都属于 $\rho(T)$ , 即 $\lambda\in\rho_{6}(T)$ .于是 $\sigma_{e1}(T)=\sigma_{e6}(T)$ .结论证毕.
命题2.1[10] 设 $T\in{\cal L}(X)$ , 则下列结论成立
(ⅰ) $\Phi_{T}$ 是开集.
(ⅱ)对于任意的 $\lambda\in\Phi_{T}$ , $i(\lambda-T)$ 不变.
(ⅲ)除了在一组离散点集上, 在这个点集上 $\alpha(\lambda-T)$ 和 $\beta(\lambda-T)$ 有更大的值, 它们在 $\Phi(T)$ 其它任何部分是不变的.
引理2.1[9] 设 $T\in{\cal L}(X)$ , 则下列结论成立
(ⅰ) $T\in{\cal F}_{+}(X)$ 当且仅当对每个 $A\in\Phi_{+}(X)$ , 有 $\alpha(A-T)<\infty$ .
(ⅱ) $T\in{\cal F}_{-}(X)$ 当且仅当对每个 $A\in\Phi_{-}(X)$ , 有 $\beta(A-T)<\infty$ .
(ⅲ) $T\in{\cal F}(X)$ 当且仅当对每个 $A\in\Phi(X)$ , 有 $\alpha(A-T)<\infty$ 或 $\beta(A-T)<\infty$ .
命题2.2[8] 设 $A\in{\cal C}(X)$ , 如果 $T\in{\cal I}(X)$ , 那么
(ⅰ)如果 $A\in\Phi(X)$ , 那么 $A+T\in\Phi(X)$ , 并且 $i(A+T)=i(A)$ .
(ⅱ)如果 $A\in\Phi_{+}(X)$ , 并且 ${\cal I}(X)\subseteq{\cal F}_{+}(X)$ , 那么 $A+T\in\Phi_{+}(X)$ .
(ⅲ)如果 $A\in\Phi_{-}(X)$ , 并且 ${\cal I}(X)\subseteq{\cal F}_{-}(X)$ 或者 $[{\cal I}(X)]^{*}\subseteq{\cal F}_{+}(X^{*})$ , 那么 $A+T\in\Phi_{-}(X)$ .
(ⅳ)如果 $A\in\Phi_{\pm}(X)$ , 并且 ${\cal I}(X)\subseteq{\cal F}_{+}(X)\cap{\cal F}_{-}(X)$ , 那么 $A+T\in\Phi_{\pm}(X)$ .
引理2.2[6] 设 $T=\left( \begin{array}{cc} A ~~& B \\ C ~~& D \\ \end{array} \right):D(T)\subset X \times X\rightarrow X\times X$ 是稠定分块算子矩阵, 如果 $\rho(A)\neq\emptyset$ , $C$ 可闭且 $D(A)\subset D(C)$ , $D(A^{\ast})\subset D(B^{\ast})$ , 则对任意 $\lambda\in\rho(A)$ 有
| $
T-\lambda I=\left(
\begin{array}{cc}
I~~&0 \\
C(A-\lambda I)^{-1}~~& I \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
A-\lambda I ~~& C \\
0 ~~& S_{1}(\lambda)\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& \overline{(A-\lambda I)^{-1}B} \\
0 ~~& I \\
\end{array}
\right),
$ |
其中 $S_{1}(\lambda)=D-\lambda I- C(A-\lambda I)^{-1}B$ .
引理2.3[6] 设 $T=\left( \begin{array}{cc} A ~~& B \\ C ~~& D \\ \end{array} \right):D(T)\subset X \times X\rightarrow X\times X$ 是稠定分块算子矩阵, 如果 $\rho(A)\neq\emptyset$ , $C$ 可闭且 $D(A)\subset D(C)$ , $D(A^{\ast})\subset D(B^{\ast})$ , 则
(ⅰ) $T$ 闭当且仅当存在 $\lambda\in\rho(A)$ 使得 $S_{1}(\lambda)$ 是闭算子.
(ⅱ) $T$ 可闭当且仅当存在 $\lambda\in\rho(A)$ 使得 $S_{1}(\lambda)$ 是可闭算子且有
| $
\overline{T}=\lambda+\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& 0 \\
C(A-\lambda I)^{-1}~~& I \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
A-\lambda I ~~& C \\
0 ~~& \overline{S_{1}(\lambda)}\\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
I~~&\overline{(A-\lambda I)^{-1}B} \\
0 ~~& I \\
\end{array}
\right).
$ |
3 主要结果及其证明
设 $X$ 是Hilbert空间, 对于无穷维Hamilton算子
| $
\begin{equation}\label{ham001}
H=\left(
\begin{array}{cc}
A ~~& B \\
C ~~& -A^{\ast} \\
\end{array}
\right):D(A)\times D(A^{\ast})\subset X \times X\rightarrow X\times X,
\end{equation}
$ |
(3.1) |
我们给出下列假设
$(H_{1})~ \rho(A)\neq \emptyset$ .
$(H_{2})$ 当 $\lambda\in \rho(A)$ , 算子 $-A^{\ast}-C(A-\lambda I)^{-1}B$ 是闭的, 且记 $S(\lambda)=-A^{\ast}-C(A-\lambda I)^{-1}B$ .
$(H_{3})$ 当 $\lambda\in \rho(A)$ , $(A-\lambda I)^{-1}\in{\cal I}(X)$ .
$(H_{4})$ 当 $\lambda\in \rho(A)$ , $C(A-\lambda I)^{-1}\overline{(A-\lambda I)^{-1}B}\in{\cal I}(X)$ .
注3.1 (ⅰ)由闭图像定理可知, 对于每个 $\lambda\in \rho(A)$ , 当 $D(A)\subset D(C)$ 且 $C$ 是自伴算子时, 算子 $G(\lambda)=C(A-\lambda I)^{-1}$ 有界.
(ⅱ)如果对于一些 $\lambda\in\rho(A)$ 使得算子 $(A-\lambda I)^{-1}B$ 有界, 则对于所有的 $\lambda\in\rho(A)$ , 算子 $(A-\lambda I)^{-1}B$ 也是有界的.事实上, 设 $\lambda_{0}\in\rho(A)$ 使得算子 $(A-\lambda_{0} I)^{-1}B$ 是有界的.那么对于任意的 $\lambda\in \rho(A)$
| $
\begin{equation}\label{equ001}
(A-\lambda I)^{-1}B=(A-\lambda_{0} I)^{-1}B+(\lambda-\lambda_{0})(A-\lambda I)^{-1}(A-\lambda_{0} I)^{-1}B.
\end{equation}
$ |
(3.2) |
由此可知 $(A-\lambda I)^{-1}B$ 也是有界的.
(ⅲ)我们用 $F(\lambda)$ 表示 $\overline{(A-\lambda I)^{-1}B}$ , 由(3.2)式可知
| $
F(\lambda)=F(\lambda_{0})+(\lambda-\lambda_{0})(A-\lambda I)^{-1}F(\lambda_{0}).
$ |
(ⅳ) 对于一些 $\lambda\in \rho(A)$ 假设 $(H_{2})$ 成立, 则对于所有的 $\lambda\in \rho(A)$ 假设 $(H_{2})$ 都成立.
引理3.1 设 $T\in{\cal C}(X)$ .如果 $\sigma_{e5}(T)$ 的补集 $C\sigma_{e5}(T)$ 是连通的, 并且 $\rho(T)\neq \emptyset$ , 那么
| $
\begin{equation}
\sigma_{e5}(T)=\sigma_{e6}(T).
\end{equation}
$ |
(3.3) |
证 因为 $\sigma_{e5}(T)\subset\sigma_{e6}(T)$ 是显然的, 所以我们只需要证明 $\sigma_{e5}(T)\supset\sigma_{e6}(T)$ 即可.事实上, $\sigma_{e5}(T)\supset\sigma_{e6}(T)$ 等价于 $C\sigma_{e5}(T)\cap\sigma_{e6}(T)=\emptyset$ .因为 $\rho(T)\neq\emptyset$ , 则存在 $\lambda_{1}\in{\Bbb C}$ 使得 $\lambda_{1}\in\rho(T)$ , 从而 $\lambda_{1}\in\rho_{6}(T)$ , 所以 $\alpha(\lambda_{1}-T)=\beta(\lambda_{1}-T)=0$ .假设 $C\sigma_{e5}(T)\cap\sigma_{e6}(T)\neq\emptyset$ , 则存在 $\lambda_{0}\in{\Bbb C}$ 使得 $\lambda_{0}\in C\sigma_{e5}(T)\cap
\sigma_{e6}(T)$ .由于 $C\sigma_{e5}(T)$ 是连通的, 由命题(ⅲ)可知 $\alpha(\lambda_{1}-T)=\alpha(\lambda_{0}-T)=0$ , $\beta(\lambda_{1}-T)=\beta(\lambda_{0}-T)=0$ .由此可得 $\lambda_{0}\in\rho_{6}(T)$ , 所以 $\lambda_{0}\notin\sigma_{e6}(T)$ , 这与假设矛盾, 因此 $C\sigma_{e5}(T)\cap\sigma_{e6}(T)=\emptyset$ .综上可得 $\sigma_{e5}(T)=\sigma_{e6}(T)$ .
引理3.2 对于 $\lambda$ , $\lambda_{0}\in\rho(A)$ ,
| $
\begin{equation}\label{equ003}
(-A^{\ast}-C(A-\lambda)^{-1}B)-(-A^{\ast}-C(A-\lambda_{0})^{-1}B)=(\lambda-\lambda_{0})C(A-\lambda)^{-1}(A-\lambda_{0})^{-1}B
\end{equation}
$ |
(3.4) |
是有界算子.
注3.2 由引理2.2和引理2.3可知, 如果 $(H_{1})$ 和 $(H_{2})$ 都成立, 设 $\lambda\in\rho(A)$ , 那么由(3.1)式定义的无穷维Hamilton算子 $H$ 是闭算子, 且
| $
H = \lambda I+\left(
\begin{array}{cc}
I~~& 0 \\
G(\lambda) ~~&I \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
A-\lambda I~~&0 \\
0~~&S(\lambda)-\lambda I \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& F(\lambda) \\
0~~&I \\
\end{array}
\right).
$ |
定理3.1 如果假设 $(H_{1})$ - $(H_{3})$ 都成立, 则 $(H_{4})$ 成立当且仅当 $S(\lambda)$ 满足
| $
\begin{equation}\label{equ004}
S(\lambda)=S_{0}+M(\lambda), \lambda\in\rho(A),
\end{equation}
$ |
(3.5) |
其中 $S_{0}$ 是闭算子, 且与 $\lambda$ 无关, $M(\lambda)\in{\cal I}(X)$ .
证 如果 $(H_{4})$ 成立, 对任意的 $\lambda_{0}\in\rho(A)$ , 由式(3.4), $S(\lambda)$ 可写成如下形式
| $
\begin{eqnarray}
S(\lambda)&= &S(\lambda_{0})+(\lambda-\lambda_{0})G(\lambda)F(\lambda_{0}) \\
&=&S(\lambda_{0})+(\lambda-\lambda_{0})G(\lambda_{0})F(\lambda_{0})+(\lambda-\lambda_{0})^{2}G(\lambda_{0})(A-\lambda I)^{-1}F(\lambda_{0}).
\end{eqnarray}
$ |
(3.6) |
令 $S_{0}=S(\lambda_{0})$ , $M(\lambda)=(\lambda-\lambda_{0})G
(\lambda_{0})F(\lambda_{0})+(\lambda-\lambda_{0})^{2}G(\lambda_{0})(A-\lambda I)^{-1}F(\lambda_{0})$ , 从假设 $(H_{2})$ - $(H_{4})$ 我们可以推出 $S_{0}$ 是闭算子且 $M(\lambda)\in{\cal I}(X)$ .
相反地, 由于等式(3.5)成立蕴含
| $
\begin{equation}\label{equ005}
S(\lambda)-S_{0}=(M(\lambda)-M(\lambda_{0}))_{|D(S_{0})}.
\end{equation}
$ |
(3.7) |
另一方面
| $
\begin{equation}\label{equ006}
S(\lambda)-S(\lambda_{0})=(\lambda-\lambda_{0})G(\lambda)F(\lambda_{0})_{|D(S_{0})}.
\end{equation}
$ |
(3.8) |
所以由(3.7)和(3.8)式可得
| $
G(\lambda)F(\lambda_{0})=(\lambda_{0}-\lambda )^{-1}(M(\lambda)-M(\lambda_{0})).
$ |
如果 $\lambda\rightarrow\lambda_{0}$ , 那么算子 $G(\lambda)F(\lambda_{0})\rightarrow G(\lambda_{0})F(\lambda_{0})$ , 由上式可知 $(\lambda_{0}-\lambda )^{-1}(M(\lambda)-M(\lambda_{0}))$ 也收敛到 $G(\lambda_{0})F(\lambda_{0})$ .又因为 $(M(\lambda)-M(\lambda_{0}))\in{\cal I}(X)$ , 且 ${\cal I}(X)$ 是 ${\cal L}(X)$ 的一个闭双边理想, 因此 $G(\lambda_{0})
F(\lambda_{0})\in{\cal I}(X)$ , 从而有 $G(\lambda)F(\lambda)\in{\cal I}(X)$ .
推论3.1 如果 $(H_{1})$ 和 $(H_{2})$ 成立, 对于 $\lambda\in\rho(A)$ ,
$(A-\lambda I)^{-1}\in{\cal K}(X)$ , 算子 $G(\lambda)F(\lambda)
\in{\cal K}(X)$ 当且仅当
| $
S(\lambda)=S_{0}+M(\lambda), \lambda\in\rho(A),
$ |
其中 ${\cal K}(X)$ 表示 ${\cal L}(X)$ 中所有紧算子的集合,
$S_{0}$ 是闭算子且 $M(\lambda)\in{\cal K}(X)$ .
注3.3 对于 $\lambda\in\rho(A)$ , 设
| $
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf G}(\lambda)=\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& 0 \\
G(\lambda)~~&I \\
\end{array}
\right), \\
{\bf D}(\lambda)=\left(
\begin{array}{cc}
A-\lambda I ~~& 0 \\
0 ~~& S_{0}+M(\lambda)-\lambda I \\
\end{array}
\right), \\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\bf F}(\lambda)=\left(
\begin{array}{cc}
I ~~& F(\lambda) \\
0 ~~& I \\
\end{array}
\right).
$ |
则有
(ⅰ)由引理2.3可得
| $
\begin{equation}\label{equ007}
H-\lambda I={\bf G}(\lambda){\bf D}(\lambda){\bf F}(\lambda).
\end{equation}
$ |
(3.9) |
(ⅱ) (a) $ \alpha(A-\lambda I)=\beta(A-\lambda I)=0$ .
(b) $\alpha({\bf D(\lambda))}=\alpha( S_{0}+M(\lambda)-\lambda I)$ .
(c) $\beta({\bf D(\lambda))}=\beta( S_{0}+M(\lambda)-\lambda I)$ .
定理3.2 如果假设 $(H_{1})$ - $(H_{4})$ 都成立, 那么
(ⅰ) $\sigma_{ei}(H)=\sigma_{ei}(S_{0}), i=4, 5$ .再者如果 $C\sigma_{e5}(H)$ 是连通的且 $\rho(S_{0})\not=\emptyset$ 或 $\rho(S(\lambda))\not=\emptyset$ , 那么
| $
\sigma_{e6}(H)=\sigma_{e6}(S_{0}).
$ |
(ⅱ)如果 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{+}}(X)$ , 那么 $\sigma_{e1}(H)=\sigma_{e1}(S_{0})$ .
(ⅲ)如果 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{-}}(X)$ 或 $[{\cal I}(X)]^{\ast}\subset{\cal F_{+}}(X^{\ast})$ , 那么 $\sigma_{e2}(H)=\sigma_{e2}(S_{0})$ .
(ⅳ)如果 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{+}}(X)\cap{\cal F_{-}}(X)$ , 那么 $\sigma_{e3}(H)=\sigma_{e3}(S_{0})$ .
证 (ⅰ)假设 $\lambda\in\rho(A)$ , 显然 ${\bf G}(\lambda)$ 和 ${\bf F}(\lambda)$ 是可逆的.因此由(3.10)式可知
| $
\begin{equation}
\alpha(H-\lambda I)=\alpha({\bf D}(\lambda)),
\end{equation}
$ |
(3.10) |
| $
\begin{equation}\label{equ008}
\beta(H-\lambda I)=\beta({\bf D}(\lambda)).
\end{equation}
$ |
(3.11) |
再根据(3.10)式, 我们得到
| $
\begin{equation}
\alpha(H-\lambda I)=\alpha( S_{0}+M(\lambda)-\lambda I),
\end{equation}
$ |
(3.12) |
| $
\begin{equation}
\beta(H-\lambda I)=\beta( S_{0}+M(\lambda)-\lambda I).
\end{equation}
$ |
(3.13) |
因为 $M(\lambda)\in{\cal I}(X)$ , 所以 $\alpha(H-\lambda I)$ 和 $\beta(H-\lambda I)$ 有限当且仅当 $\alpha( S_{0}-\lambda I)$ 和 $\beta( S_{0}-\lambda I)$ 是有限的.由此可推出 $H-\lambda I$ 是一个Fredholm算子当且仅当 $S_{0}-\lambda I$ 是一个Fredholm算子, 且有 $i(H-\lambda I)=i(S_{0}-\lambda I)$ .
设 $\lambda\notin\rho(A)$ .由假设 $(H_{3})$ , $A$ 的谱是离散的, 因此 $\lambda$ 是 $A$ 的离散的特征值.设
| $
P_{\lambda}=-\frac{1}{2\pi i}\int_{|\lambda-\xi|=\varepsilon}(A-\xi I)^{-1}{\rm d}\xi.
$ |
当 $\varepsilon$ 充分小时, $P_{\lambda}$ 是一个Riesz投影.定义
| $
A_{\lambda}:=A(I-P_{\lambda})+\delta P_{\lambda}, \delta\neq\lambda.
$ |
则 $A_{\lambda}$ 是 $ A$ 的一个有限维扰动, 显然 $\lambda\in\rho(A_{\lambda})$ .
设
| $
H_{\lambda}=
\left(
\begin{array}{cc}
A_{\lambda}~~&B \\
C ~~& -A^{\ast} \\
\end{array}
\right)=H+\left(
\begin{array}{cc}
(\delta I-A)P_{\lambda}~~&0 \\
0 ~~& 0 \\
\end{array}
\right).
$ |
因此 $H_{\lambda}$ 是 $H$ 的一个有限维扰动, 所以 $H-\lambda I$ 是 $X$ 上的一个Fredholm算子当且仅当 $H_{\lambda}-\lambda I$ 是 $X$ 上的一个Fredholm算子.设 $\mu\in\rho(A_{\lambda})$ , 由定理3.2, 有
| $
-A^{*}-C(A_{\lambda}-\mu I)^{-1}B=S_{0}+M_{\lambda}(\mu),
$ |
再根据前面的证明, 我们推出 $\lambda\in\sigma_{ei}(H_{\lambda})$ 当且仅当 $\lambda\in\sigma_{ei}(S_{0}), i=4, 5$ .综上可得 $\sigma_{ei}(H)=\sigma_{ei}(S_{0})$ , $ i=4, 5.$
$i=6$ 的证明可由引理3.1和 $i=5$ 的结论可以直接推出.
(ⅱ)设 $\lambda\in\rho(A)$ .由 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{+}}(X)$ 和引理2.2(ⅰ)可以推出 $\alpha(S_{0}+M(\lambda)-\lambda I)$ 是有限的当且仅当 $\alpha(S_{0}-\lambda I)$ 是有限的.
设 $\lambda\notin\rho(A)$ .因为 ${\cal F_{+}}(X)\subset{\cal F}(X)$ , 由假设 $(H_{3})$ 可知 $\lambda$ 是 $A$ 的一个离散的特征值. (ⅱ)的其余部分的证明和(ⅰ)的证明相似.
(ⅲ)如果 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{-}}(X)$ , 那么根据(3.11)式和引理2.2(ⅱ), 证明方法和(ⅱ)的证明类似.
如果 $[{\cal I}(X)]^{\ast}\subset{\cal F_{+}}(X^{\ast})$ , 根据 $\alpha(S_{0}^{\ast}+M(\lambda)^{\ast}-\overline{\lambda}I)=\beta(S_{0}+
M(\lambda)-\lambda I)$ , $\alpha(S_{0}^{\ast}-\overline{\lambda}I)=
\beta(S_{0}-\lambda I)$ (参见文献[11]).再由(ⅰ)可知 $\beta(S_{0}+M(\lambda)-\lambda I)$ 有限当且仅当 $\beta(S_{0}-\lambda I)$ 有限.再根据(3.11)式可知 $\sigma_{e2}(H)=\sigma_{e2}(S_{0})$ .
(ⅳ)由于 $M(\lambda)\in{\cal I}(X)$ 且 ${\cal I}(X)\subset{\cal F_{+}}(X)
\cap{\cal F_{-}}(X)$ , 由命题2.2(ⅳ)可知
| $
\sigma_{e3}(S_{0}+M(\lambda)-\lambda I)=\sigma_{e3}(S_{0}-\lambda I),
$ |
再根据(3.11)和(3.12)式可得 $\sigma_{e3}(H)=\sigma_{e3}(S_{0})$ .
定理3.2证毕.
由定理3.2我们可以推出以下结论.
推论3.2 如果假设 $(H_{1})$ 和 $(H_{2})$ 成立, $A$ 是逆紧且 $C$ 是 $A$ -紧算子, 那么 $\sigma_{ei}(H)
=\sigma_{ei}(S_{0})$ , $ i=1, 2, 3, 4, 5. $ 进一步, 如果 $C\sigma_{e5}(H)$ 是连通的, 则 $\sigma_{e6}(H)=\sigma_{e6}(S_{0})$ .
证 由于 $\rho(A)\neq\emptyset$ , 对于任意的 $\lambda\in\rho(A)$ , 当 $A$ 是逆紧且 $C$ 是 $A$ -紧算子时, $(A-\lambda I)^{-1}\in{\cal K}(X)$ 且 $G(\lambda)F(\lambda)\in{\cal K}(X)$ , 由推论3.2可知 $S(\lambda)=S_{0}+M(\lambda)$ , 其中 $S_{0}$ 是闭算子且 $M(\lambda)\in{\cal K}(X)$ .其余证明部分与定理3.2类似.
推论3.3 设 $H= \left( \begin{array}{cc} A ~~& B \\ 0~~& -A^{\ast} \\ \end{array} \right):D(A)\times D(A^{\ast})\subset X\times X\rightarrow X\times X$ 是无穷维Hamilton算子.如果 $\rho(A)\neq\emptyset$ , 有 $\sigma_{ei}(H)\cap\rho(A)=\sigma_{ei}(-A^{\ast})\cap\rho(A)$ ,
$i=1, 2, 3, 4, 5, 6.$
证 对于任意的 $\lambda\in\rho(A)$ 有
| $
\alpha(H-\lambda I)=\alpha(-A^{*}-\lambda I), \\
\beta(H-\lambda I)=\beta(-A^{*}-\lambda I),
$ |
且当 $\lambda\in\rho(A)$ 时, $R(H-\lambda)$ 的闭性与 $R(-A^{*}-\lambda)$ 的闭性等价.所以 $\sigma_{ei}(H)\cap\rho(A)$ = $\sigma_{ei}(-A^{\ast})$
$\cap\rho(A)$ , $i=1, 2, 3, 4, 5, 6.$
推论3.4 设 $H= \left( \begin{array}{cc} A~~&B \\ C~~& -A^{\ast} \\ \end{array} \right):D(H)\subset X\times X\rightarrow X\times X$ 是无穷维Hamilton算子.如果满足 $(JH)^{*}=(JH)$ , 其中 $J= \left( \begin{array}{cc} 0~~&I \\ -I~~& 0 \\ \end{array} \right)$ , 则
(ⅰ) $\lambda\in\sigma_{e1}(H)$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{e2}(H).$
(ⅱ) $\lambda\in\sigma_{ei}(H)$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{ei}(H), i=3, 4, 5, 6.$
证 (ⅰ)由于 $N(H-\lambda)=R(H^{*}-\overline{\lambda})^{\bot}$ , 从而 $\alpha(H-\lambda)=\beta(H^{*}-\overline{\lambda})$ , 即 $\lambda\in\sigma_{e1}(H)$ 当且仅当 $\overline{\lambda}\in\sigma_{e2}(H^{*})$ .由文献[6]可知如果无穷维Hamilton算子 $H$ 满足 $(JH)^{*}=(JH)$ 时, 算子 $H$ 与算子 $-H^{*}$ 有相同的谱结构, 所以 $\overline{\lambda}\in\sigma_{e2}(H^{*})$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{e2}(H)$ .从而 $\lambda\in\sigma_{e1}(H)$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{e2}(H)$ .
(ⅱ) 由于 $\lambda\in\sigma_{ei}(H)$ 当且仅当 $\overline{\lambda}\in\sigma_{ei}(H^{*})$ , 再由 $(JH)^{*}=(JH)$ 知, $\overline{\lambda}\in\sigma_{ei}(H^{*})$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{ei}(H)$ , 从而有 $\lambda\in\sigma_{ei}(H)$ 当且仅当 $-\overline{\lambda}\in\sigma_{ei}(H)$ ,
$ i=3, 4, 5, 6.$
2018, Vol. 38 
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