近年来,许多学者对捕食食饵系统进行了深入研究,获得丰富的研究成果.而实际的生态系统中,各种随机干扰无处不在^[1-5],所以随机捕食-食饵模型已经受到国内外数学家与生物学家的极大关注^[5-14].本文考虑下列具有随机干扰的捕食-食饵模型

(1.1) $\left\{ \begin{array}{llc} \left. \begin{array}{llc} \displaystyle {\rm d}x=x\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}\Big){\rm d}t+\sigma_1x{\rm d}B_1(t), \\[3mm] \displaystyle{\rm d}y=y\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2+x}\Big){\rm d}t+\sigma_2y{\rm d}B_2(t), \end{array}\right. \end{array} \right.$

其中$x(t)$, $y(t)$分别表示食饵和捕食者在$ t$时刻的种群密度; $r_1>0$, $r_2>0$分别表示食饵和捕食者的内禀增长率; $a_1>0$表示食饵种群的密度制约系数; $\frac{b_1x^2}{1+x^2}$是Holling Ⅲ功能反应函数且$b_1>0$; $\frac{b_2y}{k_2+x}$表示具有Leslies形式的捕食者数量反应,系数$b_2$, $k_2$均为正常数; $\sigma_i^2(i=1, 2)$表示白噪声强度; $B_1(t), B_2(t)$是互相独立的标准布朗运动,定义在带有滤子${\cal F}_t$并且满足通常条件(即$\{{\cal F}_t\}_{t\geq0}$是右连续单调递增,且${\cal F}_0$包含所有零测集)的完备概率空间$(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{t\geq0}, P)$上.

另一方面,在生态系统中周期现象也是普遍存在的,例如白昼黑夜的变化,四季的更替,食物的供应,个体生命周期等其他原因,使得种群的出生率、死亡率和其他参数不会永久保持不变,而会表现出或多或少的周期性^{[4, 8]}.所以,研究周期因素影响下的生态系统的动力学行为显得尤为重要.所以相应系统(1.1)的非自治系统如下

(1.2) $ \left\{ \begin{array}{llc} \left. \begin{array}{llc} \displaystyle {\rm d}x=x\Big(r_1(t)-a_1(t)x-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}\Big){\rm d}t+\sigma_1(t)x{\rm d}B_1(t), \\[3mm] \displaystyle {\rm d}y=y\Big(r_2(t)-\frac{b_2(t)y}{k_2(t)+x}\Big){\rm d}t+\sigma_2(t)y{\rm d}B_2(t), \end{array}\right. \end{array} \right.$

其中$r_1(t)$, $r_2(t)$, $a_1(t)$, $b_1(t)$, $b_2(t)$, $k_2(t)$, $\sigma_1(t)$, $\sigma_2(t)$均为正的、有界的、连续的正$\omega$周期函数.

下面给出一些基本定义、引理及定理.为方便起见给出以下记号

(1)  $ {\mathbb{R}}^n_+= \{(a_1, a_2, \cdots, a_{n})\in {\mathbb{R}}^n| a_i>0, i=1, 2, \cdots, n\}. $

(2)  对于一个在$[0, \infty)$上有界的函数$h(t)$,定义$h^u=\sup\limits_{t\in[0, \infty)}h(t), h^l=\inf\limits_{t\in[0, \infty)}h(t)$.

(3)  如果$f$在$[0, \infty)$上是可积函数,定义$\langle f\rangle_w=\frac{1}{w}\int_0^{w}f(s){\rm d}s (w>0)$.

假设$x(t)=(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t))\, (t\geq0)$是随机微分方程

(2.1) ${\rm d}x(t)=f(x(t), t){\rm d}t+g(x(t), t){\rm d}B(t)$

的解,其中$f\in{\cal L}^1({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_+, {\mathbb{R}}^n)$, $g\in{\cal L}^2({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_+, {\mathbb{R}}^{n\times m})$, $B(t)$是$n$维布朗运动.

定理2.1^[15](存在唯一性定理)  假设$f(x(t), t)$和$g(x(t), t)$关于$x(t)$满足下列条件:

(1)  局部Lipschitz条件:存在$c_k>0(k=1, 2, \cdots), $使得$\forall x, y\in {\mathbb{R}}^n$且$\mid x\mid\vee\mid y\mid\leq k$有不等式

$ \mid f(x, t)-f(y, t)\mid\vee\mid g(x, t)-g(y, t)\mid\leq c_k\mid x-y\mid, $

成立;

(2)  线性增长条件:存在$c>0$,使得

$ \mid f(x, t)\mid\vee\mid g(x, t)\mid\leq c\mid 1+\mid x\mid\, \mid, \forall(x, t)\in {\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_+, $

则初始条件为$x(0)=x_0\in {\mathbb{R}}^n$的系统$(2.1)$存在唯一连续的局部解$x(t)\big(t\in[0, \tau_e)\big), \, \tau_e$是爆破时间.

定理2.2^[15] ($ {\rm{It\hat o}} $公式)  设$x(t)\, (t\geq 0)$是$ {\rm{It\hat o}} $过程,其随机微分为

$ {\rm d}x(t)=f(t){\rm d}t+g(t){\rm d}B(t), $

其中$f\in{\cal L}^1({\mathbb{R}}_+, {\mathbb{R}}^n)$, $g\in{\cal L}^2({\mathbb{R}}_+, {\mathbb{R}}^{n\times m})$.若$V(x(t), t)\in C^{2, 1}({\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}_+;{\mathbb{R}})$,则$V(x(t), t)$仍然是$ {\rm{It\hat o}} $过程,具有如下随机微分

$ {\rm d}V(x(t), t)=V_t(x(t), t){\rm d}t+V_x(x(t), t){\rm d}x(t)+\frac{1}{2}{\rm d}x^T(t)V_{xx}(x(t), t){\rm d}x(t). $

定理2.3^[15](随机微分方程比较定理)  设$x_i(t)(i=1, 2)$分别是随机微分方程

$ {\rm d}x_i(t)=f_i(x_i(t), t){\rm d}t+g(x_i(t), t){\rm d}B(t) $

的解,其中$f_i(x, t)\in C([0, +\infty)\times {\mathbb{R}})$, $g(x, t)\in C([0, +\infty)\times {\mathbb{R}})$.若满足:

(1)  存在定义在$[0, +\infty)$上满足$\rho(0)=0$及$\int_{0^+}^{+\infty}\rho(s){\rm d}s=\infty$的函数$\rho(s)$,使得

$|g(x, t)-g(y, t)|\leq \rho(|x-y|), x, y\in {\mathbb{R}}, t\geq 0;$

(2)  $f_1(x, t)\leq f_2(x, t), x\in{\mathbb{R}}, t\geq 0;$

(3)  $x_1(0)\leq x_2(0), $

则有$x_1(t)\leq x_2(t)$ a.s., $t\geq 0$.

定义2.1^[9]  设$x(t)$是系统(1.1)的任意解,则

(1)  若$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t)=0$,则称种群$x(t)$为灭绝的;

(2)  若$\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}\inf\frac{1}{t}\int_0^tx(s){\rm d}s>0$,则称种群$x(t)$为平均持续生存的.

考虑下列随机微分方程

(2.2) $ {\rm d}X(t)=\mu(X(t), t){\rm d}t+\sigma(X(t), t){\rm d}B(t).$

引理2.1^[9]  设$X(t)$是方程(2.2)的解,若$S(-\infty)>-\infty$和$S(+\infty)=+\infty$成立,则$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}X(t)=-\infty$,其中

$S(u)=\int_0^u{e^{-\int_0^v{\frac{2\mu(y)}{\sigma^2(y)}}{\rm d}y}}{\rm d}v. $

考虑下列随机微分方程

(2.3) $ {\rm d}X(t)= X(t)[r_1-a_1X(t)]{\rm d}t+\sigma X(t){\rm d}B(t), $

其中$r_1$, $a_1$, $\sigma$都是正常数, $B(t)$是标准的布朗运动.

引理2.2^[9]  $X(t)$是方程(2.3)的解,当$r_1>\frac{\sigma^2}{2}$,并且满足初始值$X(0)>0$,则

$\lim\limits_{t\rightarrow \infty} \frac{\ln X(t)}{t}=0 \; \; \; {\rm a.s.} $

和

$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_0^t {X(s)}{\rm d}s=\frac{r_1-\frac{\sigma^2}{2}}{a_1} \; \; \; {\rm a.s.. } $

设$X(t)$是$E_l$($l$维欧几里得空间)中的一个Markov自治过程,可表示为如下随机微分方程

$ {\rm d}X(t)=b(X){\rm d}t+\sum\limits_{s=1}^k g_s^i(X){\rm d}B_s(t).$

其扩散矩阵为

$A(X)=a_{ij}(X), \ \ a_{ij}(X)=\sum\limits_{s=1}^k g_s^i(X)g_s^j(X).$

作如下假设:

(A)  存在具有正则边界$\Gamma$的有界区域$U\subset E_l$,具有如下性质:

(A1)  在$U$和它的一些邻域,扩散矩阵$A(X)$的最小特征值是非零的.

(A2)  当$X\in E_l \backslash U$时,从$X$出发的轨道到达集合$U$的平均时间$\tau$是有限的,且对每个紧子集$K\subset E_l$有$\sup\limits_{X\in K}E_X\tau<\infty$.

引理2.3^{[1, 16]}  如果假设(A)成立,则Markov过程$X(t)$存在平稳分布$\mu(\cdot)$.令$f(\cdot)$是关于测度$\mu$可积的函数,则有如下结论成立

$ P_x\bigg \{\lim\limits_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_0^T{f(X(t))}{\rm d}t=\int_{E_l}f(x)\mu({\rm d}x)\bigg\}=1, \; \; \; x\in E_l.$

为了验证(A1)成立,我们只需证明$L$在$U$中是一致椭圆的,其中$LV=b(X)V_X+\frac{trA(X)V_{XX}}{2}$,即证明存在正数$M$满足

$\sum\limits_{i, j=1}^k a_{ij}(X)\xi_i\xi_j\geq M|\xi|^2, \ \ X\in U, \ \ \xi \in {\mathbb{R}}^k.$

为了验证(A2)成立,只要证明存在非负的$C^2$ -函数及邻域$U$,使得对于任意的$X\in E_l \backslash U$, $LV(X)$是负的.

下面,考虑如下方程

(2.4) $ X(t)=X(t_0)+\int_{t_0}^t {b(s, X(s))}{\rm d}s+\sum\limits_{r=1}^k \int_{t_0}^t{\sigma_r(s, X(s))}{\rm d}B_r(s), \ \ X\in {\mathbb{R}}^l.$

假设方程(2.4)的系数$b(s, X(s))$, $\sigma_i(s, X(s))(i=1, 2, \cdots, k)$满足下列条件

(2.5) $\begin{array}{ll} |b(s, X)-b(s, Y)|+\sum\limits_{r=1}^k{|\sigma_r(s, X)-\sigma_r(s, Y)|}\leq B|X-Y|, \\[4mm] |b(s, X)|+\sum\limits_{r=1}^k{|\sigma_r(s, X)|}\leq B(1+|X|), \end{array}$

其中$B$是一个常数.

引理2.4^{[4, 16]}  设方程(2.4)的系数关于$t$是$w$周期的,且在每个柱形$I\times U$中条件(2.5)成立,并且假设存在一个$C^2$ -函数$V(t, x)$关于$t$是$w$周期的,且下列条件在某个紧集外成立

(2.6) $ \begin{array}{ll} (1)\;\;\;\; \liminf\limits_{|x|\rightarrow+\infty}V(t, x)=+\infty, \\\; (2)\;\;\;\; LV(t, x)\leq -1, \end{array}$

则方程(2.4)存在一个$w$周期解,即该解是一个$w$周期的Markov过程.

定理3.1  对任意给定的初值$(x(0), y(0))\in {\mathbb{R}}^2_+$,系统(1.1)存在唯一解$(x(t), y(t))\in {\mathbb{R}}_+^2$,并且以概率$1$存在于${\mathbb{R}}^2_+$中.

证  首先考虑如下方程

(3.1) $\left\{ \begin{array}{llc} \left. \begin{array}{llc} \displaystyle {\rm d}u=\Big(r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-a_1e^u-\frac{b_1e^ue^v}{1+e^{2u}}\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1, \\[3mm] \displaystyle {\rm d}v=\Big(r_2-\frac{1}{2}\sigma_2^2-\frac{b_2e^v}{k_2+e^u}\Big){\rm d}t+\sigma_2{\rm d}B_2, \\[3mm] \end{array}\right. \end{array} \right.$

显然,系统$(3.1)$满足局部Lipschitz条件,则系统存在唯一的局部解$(u(t), v(t))$, ($t\in[0, \tau_{e})$)其中$\tau_{e}$是爆破时间.由$ {\rm{It\hat o}} $公式可得$(x(t), y(t))=(e^{u(t)}, e^{v(t)})$是系统$(1.1)$满足初值$(x(0), y(0))\in {\mathbb{R}}^2_+$的唯一解.为了证明这个解是全局的,只需证明$\tau_{e}=+\infty$.

令$k_{0}>0$足够大,使得$(x(t), y(t))\in[\frac{1}{k_0}, k_{0}]\times[\frac{1}{k_0}, k_{0}]$,对于任意的正数$k\geq k_{0}$,定义一个停时序列

$ \tau_{_{k}}= \inf \Big\{t\in[0, \tau_{e}):x(t)\notin(\frac{1}{k}, k)\ \mbox{或} \ y(t)\notin(\frac{1}{k}, k)\Big\}, $

定义$\inf\Phi=+\infty$ ($\Phi$代表一个空集).显然,当$k\rightarrow\infty$时, $\tau_{k}$是单调递增的,且$\tau_{k}<\tau_{e}$,因此有$\tau_{\infty}=\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\tau_{k}$,其中$\tau_{\infty}\leq\tau_{e}$ a.s.,因此,只需证明$\tau_{\infty}\rightarrow\infty$ a.s..

假设$\tau_{\infty}\nrightarrow\infty$,则存在常数$T\geq0$, $\epsilon\in(0, 1)$和一个整数$k_{1}\geq k_{0}$,有

$ P\{\tau_{k} \leq T\}\geq\epsilon, \;\;\;\; \forall k\geq k_{1}. $

定义一个$C^{2}$ -函数$V$: ${\mathbb{R}}_{+}^{2}\rightarrow{\mathbb{R}}_{+}$.

$ \begin{eqnarray*}V(x, y)&=&\bigg[x^{\frac{1}{2}}-1-\frac{\ln x}{2}+y^\frac{1}{2}-1-\frac{\ln y}{2}\bigg]+(k_2+x)y\\ &=&V_1+V_2+V_3, \end{eqnarray*} $

其中$V_1=x^{\frac{1}{2}}-1-\frac{\ln x}{2}, V_2=y^{\frac{1}{2}}-1-\frac{\ln y}{2}, V_3=(k_2+x)y.$由$ {\rm{It\hat o}} $公式可得

$\begin{eqnarray*}LV_1&=&\frac{1}{2}\big(x^\frac{1}{2}-1\big)\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}\Big)+\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}x^{-2}\Big)\sigma_1^2x^2\\ &=&-\frac{a_1}{2}x^\frac{3}{2}+\frac{a_1}{2}x+\Big(\frac{r_1}{2}-\frac{1}{8}\sigma_1^2\Big)x^\frac{1}{2}-\frac{b_1x^\frac{3}{2}y}{2(1+x^2)}+\frac{b_1xy}{2(1+x^2)}-\frac{1}{2}r_1+\frac{1}{4}\sigma_1^2.\end{eqnarray*}$

同理可得

$\begin{eqnarray*}LV_2&=&\frac{1}{2}\big(y^\frac{1}{2}-1\big)\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2+x}\Big)+\frac{1}{2}\Big(-\frac{1}{4}y^{-\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}y^{-2}\Big)\sigma_2^2y^2\\&\leq& \frac{1}{2}\Big(r_2-\frac{1}{4}\sigma_2^2\Big)y^\frac{1}{2}+\frac{b_2y}{2k_2}-\frac{r_2}{2}+\frac{1}{4}\sigma_2^2, \\LV_3&=&xy\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}\Big)+(k_2+x)y*\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2+x}\Big)\\&=&r_1xy-a_1x^2y-\frac{b_1x^2y^2}{1+x^2}+r_2(k_2+x)y-b_2y^2, \end{eqnarray*}$

即

$\begin{eqnarray*}LV&=&LV_1+LV_2+LV_3\\&\leq&-\frac{a_1}{2}x^\frac{3}{2}+\frac{a_1}{2}x+\Big(\frac{r_1}{2}-\frac{1}{8}\sigma_1^2\Big)x^\frac{1}{2}-\frac{b_1x^\frac{3}{2}y}{2(1+x^2)}+\frac{b_1xy}{2(1+x^2)}-\frac{1}{2}r_1+\frac{1}{4}\sigma_1^2\\&&+\frac{1}{2}\Big(r_2-\frac{1}{4}\sigma_2^2\Big)y^\frac{1}{2}+\frac{b_2y}{2k_2}-\frac{r_2}{2}+\frac{1}{4}\sigma_2^2+r_1xy-a_1x^2y-\frac{b_1x^2y^2}{1+x^2}\\&&+r_2(k_2+x)y-b_2y^2\\&\leq& -\frac{a_1}{2}x^\frac{3}{2}+\frac{a_1}{2}x+\Big(\frac{r_1}{2}-\frac{1}{8}\sigma_1^2\Big)x^\frac{1}{2}+\frac{b_1y}{4}-\frac{1}{2}r_1+\frac{1}{4}\sigma_1^2-b_2y^2\\&&+\frac{1}{2}\Big(r_2-\frac{1}{4}\sigma_2^2\Big)y^\frac{1}{2}+\frac{b_2y}{2k_2}-\frac{r_2}{2}+\frac{1}{4}\sigma_2^2+r_1xy-a_1x^2y+r_2(k_2+x)y\\&\leq& N.\end{eqnarray*}$

事实上,由于

$ \begin{eqnarray*}&&-\frac{a_1}{2}x^\frac{3}{2}+\frac{a_1}{2}x+\Big(\frac{r_1}{2}-\frac{1}{8}\sigma_1^2\Big)x^\frac{1}{2}+\frac{b_1y}{4}-\frac{1}{2}r_1+\frac{1}{4}\sigma_1^2\\&&-b_2y^2+\frac{1}{2}\Big(r_2-\frac{1}{4}\sigma_2^2\Big)y^\frac{1}{2}+\frac{b_2y}{2k_2}-\frac{r_2}{2}+\frac{1}{4}\sigma_2^2+r_1xy-a_1x^2y+r_2(k_2+x)y\end{eqnarray*}$

关于$x$和$ y$的最高次项的系数都小于零,所以可以找到一个常数$N$,使得

$\begin{eqnarray*}&&-\frac{a_1}{2}x^\frac{3}{2}+\frac{a_1}{2}x+\Big(\frac{r_1}{2}-\frac{1}{8}\sigma_1^2\Big)x^\frac{1}{2}+\frac{b_1y}{4}-\frac{1}{2}r_1+\frac{1}{4}\sigma_1^2\\&&-b_2y^2+\frac{1}{2}\Big(r_2-\frac{1}{4}\sigma_2^2\Big)y^\frac{1}{2}+\frac{b_2y}{2k_2}-\frac{r_2}{2}+\frac{1}{4}\sigma_2^2+r_1xy-a_1x^2y+r_2(k_2+x)y<N.\end{eqnarray*}$

下面的证明与文献[17]的相似,所以省略.

定理3.2  设$x(t)$, $y(t)$是系统(1.1)满足初始条件$x(0)>0$, $y(0)>0$的任意解,若系统(1.1)满足$r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-\ell_1 (r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})>0$, $r_2>\frac{\sigma_2^2}{2}$和$b_1^2k_2^2+4\ell_1 b_2(b_1-\ell_1 b_2)<0$,其中$\ell_1>0$,则系统(1.1)是平均持续生存的.

证  由文献[7]可以得到,种群$y$是平均持续生存的且有$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t \frac{y(s)}{k_2+x(s)}{\rm d}s=\frac{r_2-\frac{1}{2}\sigma_2^2}{b_2}$成立.下面证明$\frac{b_1xy}{1+x^2}<\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}$.事实上

$\begin{eqnarray*}\frac{b_1xy}{1+x^2}-\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}&=&\frac{b_1xy(k_2+x)-\ell_1 b_2y(1+x^2)}{(1+x^2)(k_2+x)}\\&=&\frac{b_1k_2xy+b_1x^2y-\ell_1 b_2y-\ell_1 b_2x^2y}{(1+x^2)(k_2+x)}\\&=&\frac{[(b_1-\ell_1 b_2)x^2+b_1k_2x-\ell_1 b_2]y}{(1+x^2)(k_2+x)}.\end{eqnarray*}$

因为$b_1^2k_2^2+4\ell_1 b_2(b_1-\ell_1 b_2)<0$,可得$b_1-\ell_1 b_2<0 $和$[(b_1-\ell_1 b_2)x^2+b_1k_2x-\ell_1 b_2]<0$,即$\frac{b_1xy}{1+x^2}<\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}$恒成立.

现在证明种群$x$也是平均持续生存的.由$ {\rm{It\hat o}} $公式可得

$\begin{eqnarray*}d\ln x&=&\frac{1}{x}{\rm d}t-\frac{1}{2x^2}({\rm d}x)^2\\& =&\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2{\rm d}t\\ &=&\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}-\frac{1}{2}\sigma_1^2\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1\\ &\geq&\Big (r_1-a_1x-\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}-\frac{1}{2}\sigma_1^2\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1, \end{eqnarray*}$

对上述不等式两边同时从0到$t$积分可得

$ \ln x(t)-\ln x(0)\geq\Big(r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2\Big)t-\int_0^t{a_1x}{\rm d}s-\int_0^t{\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}}{\rm d}s+\sigma_1B_1, $

两边同时除以$t$并取极限有

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\ln x(t)}{t}\geq r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t{a_1x}{\rm d}s-\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t{\frac{\ell_1 b_2y}{k_2+x}}{\rm d}s.$

根据引理2.2和随机微分方程的比较定理,可得

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\inf\frac{1}{t}\int_0^t{x}{\rm d}s\geq\frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-\ell_1(r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})}{a_1} \;\;\;\;\mbox{a.s..}$

所以,当$r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-\ell_1 (r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})>0$时,种群$x$是平均持续生存的.另一方面

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\inf\frac{1}{t}\int_0^t{y}{\rm d}s\geq\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\inf\frac{1}{t}\int_0^t \frac{k_2y(s)}{k_2+x(s)}{\rm d}s=\frac{k_2(r_2-\frac{1}{2}\sigma_2^2)}{b_2} \;\;\;\;\mbox{a.s..} $

所以,当$r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2-\ell_1 (r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})>0$且$r_2>\frac{\sigma_2^2}{2}$时,系统(1.1)是平均持续生存的.

定理3.3  设$x(t)$, $y(t)$是系统(1.1)满足初始条件$x(0)>0$, $y(0)>0$的任意解,

(i)  若$r_1<\frac{\sigma_1^2}{2}$, $r_2>\frac{\sigma_2^2}{2}$,则种群$x$是灭绝的,种群$y$是平均持续生存的.

(ii)  若$r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$, $r_1>\frac{\sigma_1^2}{2}$,则种群$y$是灭绝的,种群$x$是平均持续生存的.

(iii)  若$r_1<\frac{\sigma_1^2}{2}$, $r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$,则种群$x$和种群$y$均灭绝.

证  (i)由系统(3.1)可得

$ {\rm d}u\leq \Big(r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1.$

由条件(i)和引理2.1有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty} u(t)=-\infty \;\;\;\;\mbox{a.s., }$

即

(3.2) $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0 \;\;\;\;\mbox{a.s..}$

即对于任意的$\varepsilon>0$,存在$t_0$和$\Omega_\varepsilon$,当$t>t_0$和$\omega\in\Omega_\varepsilon$,都有$P(\Omega_\varepsilon)\geq 1-\varepsilon$和$\frac{x}{k_2+x}\leq \varepsilon$成立.又因为

$\begin{eqnarray*}{\rm d}y&=&y\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2+x(t)}\Big){\rm d}t+\sigma_2y{\rm d}B_2\\ &=&y\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2}+\frac{b_2xy}{(k_2+x)k_2}\Big){\rm d}t+\sigma_2y{\rm d}B_2. \end{eqnarray*}$

可得

$ y\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2}\Big){\rm d}t+\sigma_2y{\rm d}B_2\leq {\rm d}y\leq y\Big(r_2-\frac{b_2y(1-\varepsilon)}{k_2}\Big){\rm d}t+\sigma_2y{\rm d}B_2.$

又由于$r_2>\frac{\sigma_2^2}{2}$,根据引理2.2和随机微分方程的比较定理,则有

$ \liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t y(s){\rm d}s\geq \frac{k_2(r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})}{b_2} \;\;\;\;\mbox{a.s., } $

$ \limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t y(s){\rm d}s\leq\frac{k_2(r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})}{(1-\varepsilon)b_2} \;\;\;\;\mbox{a.s., } $

由于$\varepsilon$的任意性,则有

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t y(s){\rm d}s=\frac{k_2(r_2-\frac{\sigma_2^2}{2})}{b_2} \;\;\;\;\mbox{a.s..}$

所以,当$r_1<\frac{\sigma_1^2}{2}$, $r_2>\frac{\sigma_2^2}{2}$时, $ x$是灭绝的,并且$y$是平均持续生存的.

(ii)  从系统(3.1)可得

$ {\rm d}v=\Big(r_2-\frac{1}{2}\sigma_2^2-\frac{b_2e^v}{k_2+e^u}\Big){\rm d}t+\sigma_2{\rm d}B_2 \leq\Big(r_2-\frac{\sigma_2^2}{2}\Big){\rm d}t+\sigma_2{\rm d}B_2, $

与方程(3.2)的证明类似,当$r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$时,可得

$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}y(t)=0 \;\;\;\;\mbox{a.s..}$

类似的,对于任意的$\varepsilon>0$,存在$T_0$和$\Omega_\varepsilon$,当$t>t_0$和$\omega\in\Omega_\varepsilon$,都有$P(\Omega_\varepsilon)\geq 1-\varepsilon$和$\frac{b_1xy}{1+x^2}\leq\varepsilon$.所以有

$x(r_1-a_1x-\varepsilon){\rm d}t+\sigma_1x{\rm d}B_1\leq {\rm d}x\leq x(r_1-a_1x){\rm d}t+\sigma_1x{\rm d}B_1.$

当$r_1>\frac{\sigma_1^2}{2}$,根据引理2.2和随机微分方程比较定理可得

$\frac{r_1-\varepsilon-\frac{\sigma_1^2}{2}}{a_1}\leq\liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t{x(s)}{\rm d}s\leq\frac{r_1-\frac{\sigma_1^2}{2}}{a_1}\;\;\;\;{\rm a.s., }$

由于$\varepsilon$的任意性可得

$\liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t{x(s)}{\rm d}s=\frac{r_1-\frac{\sigma_1^2}{2}}{a_1} \;\;\;\;\mbox{a.s..}$

所以,当$r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$, $r_1>\frac{\sigma_1^2}{2}$时,种群$y$是灭绝的, $x$是平均持续生存的.

(iii)  当$r_1<\frac{\sigma_1^2}{2}$, $r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$成立时,从前面两种情况讨论容易得到

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}x(t)=0 \;\;\;\; \mbox{a.s., } \lim\limits_{t\rightarrow\infty}y(t)=0 \;\;\;\;\mbox{a.s..} $

即,当$r_1<\frac{\sigma_1^2}{2}$, $r_2<\frac{\sigma_2^2}{2}$时,种群$x$和种群$y$均灭绝.

定理3.4  设系统(1.1)满足$0<\sigma_1^2<r_1$, $0<\sigma_2^2<r_2$,则对于任意的正初始值$x(0), y(0)$,系统(1.1)存在唯一的平稳分布$\mu(\cdot)$,而且是遍历的.

证  定义$C^2$ -函数$V(x, y):{\mathbb{R}}^2_+\rightarrow {\mathbb{R}}_+$:

$V(x, y)=\frac{1}{x}+\ln x+\ell_2\Big(\frac{1}{y}+\ln y\Big), $

其中$\ell_2>0$并且满足$b_1^2+4\ell_2 b_2(b_1k_2-\ell_2 b_2)<0$.由$ {\rm{It\hat o}} $公式可得

$\begin{eqnarray*} {\rm d}V&=&\Big(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}\Big){\rm d}x+\ell_2\Big(-\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y}\Big){\rm d}y+\frac{1}{2}(2x^{-3}-x^{-2})({\rm d}x)^2+\frac{\ell_2}{2}(2y^{-3}-y^{-2})({\rm d}y)^2\\ &=&\Big(-\frac{1}{x}+1\Big)\bigg[\Big(r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}\Big){\rm d}t+\sigma_1{\rm d}B_1\bigg]\\&&+\ell_2\Big(-\frac{1}{y}+1\Big)\bigg[\Big(r_2-\frac{b_2y}{k_2+x}\Big){\rm d}t+\sigma_2{\rm d}B_2\bigg]+\frac{(2x^{-1}-1)\sigma_1^2+\ell_2(2y^{-1}-1)\sigma_2^2}{2}{\rm d}t\\& =&LV{\rm d}t+\Big(-\frac{1}{x}+1\Big)\sigma_1{\rm d}B_1+\ell_2\Big(-\frac{1}{y}+1\Big)\sigma_2{\rm d}B_2, \end{eqnarray*}$

其中

$\begin{eqnarray*} LV&=&-\frac{r_1}{x}+a_1+\frac{b_1y}{1+x^2}+r_1-a_1x-\frac{b_1xy}{1+x^2}+\ell_2\Big(-\frac{r_2}{y}+\frac{b_2}{k_2+x}+r_2-\frac{b_2y}{k_2+x}\Big)\\ &&+\frac{\sigma_1^2}{x}+\ell_2\frac{\sigma_2^2}{y}-\frac{\sigma_1^2+\ell_2\sigma_2^2}{2}\\ &\leq& -a_1x-\frac{r_1}{x}+a_1+\frac{b_1y}{1+x^2}+r_1-\frac{\ell_2 r_2}{y}+\frac{\ell_2 b_2}{k_2+x}+\ell_2 r_2-\frac{\ell_2 b_2y}{k_2+x}\\&&+\frac{\sigma_1^2}{x}+\ell_2\frac{\sigma_2^2}{y}-\frac{\sigma_1^2+\ell_2\sigma_2^2}{2}\\ &\leq& -a_1x-\frac{r_1-\sigma_1^2}{x}+\Big(\frac{b_1}{1+x^2}-\frac{\ell_2 b_2}{k_2+x}\Big)y-\frac{\ell_2(r_2-\sigma_2^2)}{y}+a_1+r_1\\&&+\frac{\ell_2 b_2}{k_2}+\ell_2 r_2-\frac{\sigma_1^2+\ell_2 \sigma_2^2}{2}\\& \leq& -a_1x-\frac{r_1-\sigma_1^2}{x}+\frac{-\ell_2 b_2x^2+b_1x+b_1k_2-\ell_2 b_2}{(1+x^2)(k_2+x)}y-\frac{\ell_2 (r_2-\sigma_2^2)}{y}+\lambda_0, \end{eqnarray*}$

其中$\lambda_0=\max\{a_1+r_1+\frac{\ell_2 b_2}{k_2}+\ell_2 r_2-\frac{\sigma_1^2+\ell_2 \sigma_2^2}{2}, 0\}$.由$\ell_2$的定义可知

$ \Delta=b_1^2+4\ell_2 b_2(b_1k_2-\ell_2 b_2)<0, $

所以$\ell_2 b_2x^2-b_1x-b_1k_2+\ell_2 b_2$有最小值且大于零不妨设其为$m_1$.

$LV\leq -a_1x-\frac{r_1-\sigma_1^2}{x}-\frac{m_1y}{(1+x^2)(k_2+x)}-\frac{\ell_2 (r_2-\sigma_2^2)}{y}+\lambda_0.$

选择足够小的$\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$使得

(3.3) $0<\varepsilon_1<\min\Big\{\frac{r_1-\sigma_1^2}{\lambda_0+1}, \frac{a_1}{\lambda_0+1}\Big\}, $

(3.4) $0<\varepsilon_2<\frac{\ell_2(r_2-\sigma_2^2)}{\lambda_0+1}, \ \ \ \frac{m_1}{(1+\frac{1}{\varepsilon_1^2})(k_2+\frac{1}{\varepsilon_1})\varepsilon_2}>\lambda_0+1.$

下面,考虑有界集

$D_{\varepsilon_{1, 2}}=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| \varepsilon_1<x<\frac{1}{\varepsilon_1}\ \ \ \varepsilon_2<y<\frac{1}{\varepsilon_2}\Big\}, $

假设

$D_{\varepsilon_{1, 2}}^1=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| 0<y\leq \varepsilon_2 \Big\}, D_{\varepsilon_{1, 2}}^2=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| 0<x\leq \varepsilon_1 \Big\}, $

$D_{\varepsilon_{1, 2}}^3=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| x\geq \frac{1}{\varepsilon_1} \Big\}, D_{\varepsilon_{1, 2}}^4=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| \varepsilon_1 \leq x \leq \frac{1}{\varepsilon_1}, y \geq \frac{1}{\varepsilon_2} \Big\}.$

显然, $D_{\varepsilon_{1, 2}}^C=D_{\varepsilon_{1, 2}}^1 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^2 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^3 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^4.$

下面证明，对于任意的$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^C$,都有$LV<-1$成立.

当$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^1$,根据不等式(3.4),可得

$LV\leq-\frac{\ell_2(r_2-\sigma_2^2)}{\varepsilon_2}+\lambda_0<-1.$

当$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^2$,根据不等式(3.3),可得

$LV\leq-\frac{r_1-\sigma_1^2}{\varepsilon_1}+\lambda_0<-1.$

当$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^3$,根据不等式(3.3),可得

$LV\leq-\frac{a_1}{\varepsilon_1}+\lambda_0<-1.$

当$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^4$,根据不等式(3.4),可得

$LV\leq -\frac{m_1}{(1+\frac{1}{\varepsilon_1^2})(k_2+\frac{1}{\varepsilon_1})\varepsilon_2}+\lambda_0<-1.$

从上述的讨论可知:对任意的$(x, y)\in D_{\varepsilon_{1, 2}}^C$,有$LV<-1, $取$D_{\varepsilon_{1, 2}}$的一个邻域$U, $并且$\bar{U}\subseteq {\mathbb{R}}_+^2.$显然对任意的$(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2/U$有$LV<-1$.因此条件(A2)得到满足.

此外,可以找到一个常数$M=\min\limits_{(x, y)\in\bar{U}}\{\sigma_1^2x^2, \sigma_2^2y^2\}>0$,使得对于任意的$(x, y)\in \bar{U}$, $\xi=(\xi_1, \xi_2)\in {\mathbb{R}}_+^2$,有

$\sum\limits_{i, j=1}^2{a_{ij}(x, y)\xi_i\xi_j}=\sigma_1^2x^2\xi_1^2+\sigma_2^2y^2\xi_2^2\geq M\|\xi\|^2, $

因此条件(A1)也满足.所以系统(1.1)存在平稳分布,且具有遍历性.

定理3.5  若$\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_{\omega}>0$, $\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_{\omega}>0$,则系统(1.2)存在正的$\omega$周期解.

证  构造$V(t, x, y)$函数

$V(t, x, y)=\Big(\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}+\ln x\Big)+\ell_3\Big(\frac{e^{\omega_2(t)}}{y}+e^{|\omega_1^u|}\ln y\Big), $

其中$\ell_3>0$且满足

$(b_1^u)^2+4\ell_3 b_2^l(b_1^uk_2^u-\ell_3 b_2^2)<0, $

$\omega_1'(t)=r_1(t)-\sigma_1(t)^2-\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_\omega, $

$\omega_2'(t)=r_2(t)-\sigma_2(t)^2-\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_\omega.$

由$\omega_i$的定义可得

$\begin{eqnarray*}\omega_i(t+\omega)-\omega_i(t)&=&\int_t^{t+\omega}{\omega_i'(s)}{\rm d}s\\ &=&\int_t^{t+\omega}{r_i(s)-\sigma_i^2(s)}{\rm d}s-\int_t^{t+\omega}{\langle r_i(s)-\sigma_i^2(s)\rangle_\omega}{\rm d}s\\ &=&\int_t^{t+\omega}{r_i(s)-\sigma_i^2(s)}{\rm d}s-\int_t^{t+w}{\int_0^\omega{\frac{r_i(u)-\sigma_i^2(u)}{\omega}}{\rm d}u}{\rm d}s\\ &=&\int_t^{t+\omega}{r_i(s)-\sigma_i^2(s)}{\rm d}s-\int_0^{\omega}{r_i(s)-\sigma_i^2(s)}{\rm d}s\\ &=&0. \end{eqnarray*}$

所以, $\omega_1(t)$, $\omega_2(t)$都是$\omega$周期函数.假设

$U_k=\Big(\frac{1}{k}, k\Big)\times\Big(\frac{1}{k}, k\Big), $

显然,当$k\rightarrow\infty$时

$ \inf\limits_{(t, x, y)\in[0, +\infty)\times {\mathbb{R}}^2_+\setminus U_k}V(t, x, y)\rightarrow \infty, $

这就验证了方程(2.6)的条件(1).下面只需验证方程(2.6)条件(2).假设

$ V_1=\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}+\ln x, \;\;\;\; V_2=\frac{e^{\omega_2(t)}}{y}+e^{|\omega_1^u|}\ln y, $

对$V_1$应用$ {\rm{It\hat o}} $公式可得

$\begin{eqnarray*} {\rm d}V_1&=&\frac{e^{\omega_1(t)}\omega_1'(t)}{x}{\rm d}t+\Big(-\frac{e^{\omega_1(t)}}{x^2}+\frac{1}{x}\Big){\rm d}x+\frac{1}{2}(2x^{-3}e^{\omega_1(t)}-x^{-2})\sigma_1^2(t)x^2{\rm d}t\\ &=&\frac{e^{\omega_1(t)}\omega_1'(t)}{x}{\rm d}t+\Big(-\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}+1\Big)\Big[(r_1(t)-a_1(t)x-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}){\rm d}t+\sigma_1(t){\rm d}B_1\Big]\\ &&+\Big(\frac{e^{\omega_1(t)}\sigma_1^2(t)}{x}-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\Big){\rm d}t\\ &=&LV_1{\rm d}t+\Big(-\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}+1\Big)\sigma_1(t){\rm d}B_1, \end{eqnarray*}$

其中

$ \begin{eqnarray*}LV_1&=&\frac{e^{\omega_1(t)}\omega_1'(t)}{x}+\Big(-\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}+1\Big)\Big(r_1(t)-a_1(t)x-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}\Big)+\frac{e^{\omega_1(t)}\sigma_1^2}{x}-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\\ &=&\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}(\omega_1'(t)+\sigma_1^2(t)-r_1(t))+a_1(t)e^{\omega_1}+e^{\omega_1}\frac{b_1(t)y}{1+x^2}+r_1(t)-a_1(t)x\\&&-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\\ &=&-\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_{\omega}+a_1(t)e^{\omega_1}+e^{\omega_1}\frac{b_1(t)y}{1+x^2}+r_1(t)-a_1(t)x\\&&-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t).\end{eqnarray*} $

同理可得

$\begin{eqnarray*}{\rm d}V_2&=&\frac{e^{\omega_2(t)}\omega_2'(t)}{y}{\rm d}t+\Big(-\frac{e^{\omega_2(t)}}{y^2}+\frac{e^{|\omega_1^u|}}{y}\Big)\Big[y\Big(r_2(t)-\frac{b_2(t)y}{k_2(t)+x}\Big)+\sigma_2(t)y{\rm d}B_2\Big]\\ &&+\frac{1}{2}(2y^{-3}e^{\omega_2(t)}-e^{|\omega_1^u|}y^{-2})\sigma_2^2y^2{\rm d}t\\& =&LV_2{\rm d}t+\Big(-\frac{e^{\omega_2(t)}}{y^2}+\frac{e^{|\omega_1^u|}}{y}\Big)\sigma_2(t)y{\rm d}B_2, \end{eqnarray*}$

其中

$\begin{eqnarray*}LV_2&=&\frac{e^{\omega_2(t)}\omega_2'(t)}{y}+\Big(-\frac{e^{\omega_2(t)}}{y}+e^{|\omega_1^u|}\Big)\Big(r_2(t)-\frac{b_2(t)y}{k_2(t)+x}\Big)+\frac{e^{\omega_2}\sigma_2^2(t)}{y}-\frac{1}{2}e^{|\omega_1^u|}\sigma_2^2(t)\\ &=&\frac{e^{\omega_2(t)}}{y}(\omega_2'(t)+\sigma_2^2(t)-r_2(t))+\frac{b_2(t)e^{\omega_2}}{k_2(t)+x}+r_2(t)e^{|\omega_1^u|}-\frac{b_2(t)e^{|\omega_1^u|}y}{k_2(t)+x}-\frac{1}{2}e^{|\omega_1^u|}\sigma_2^2\\ &=&-\frac{e^{\omega_2(t)}}{y}\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_{\omega}+\frac{b_2(t)e^{\omega_2}}{k_2(t)+x}+r_2(t)e^{|\omega_1^u|}-\frac{b_2(t)e^{|\omega_1^u|}y}{k_2(t)+x}-\frac{1}{2}e^{|\omega_1^u|}\sigma_2^2. \end{eqnarray*}$

所以有

$\begin{eqnarray*}LV&=&LV_1+\ell_3 LV_2\\&=& -\frac{e^{\omega_1(t)}}{x}\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_{\omega}-\frac{\ell_3 e^{\omega_2(t)}}{y}\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_{\omega}-a_1(t)x+e^{\omega_1}\frac{b_1(t)y}{1+x^2}\\&&-\ell_3\frac{b_2(t)e^{|\omega_1^u|}y}{k_2(t)+x}+a_1(t)e^{\omega_1}+r_1(t)-\frac{b_1(t)xy}{1+x^2}-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)+\ell_3\frac{b_2(t)e^{\omega_2}}{k_2(t)+x}\\&&+\ell_3 r_2(t)e^{|\omega_1^u|}-\frac{1}{2}\ell_3 e^{|\omega_1^u|}\sigma_2^2(t)\\&\leq& -\frac{e^{\omega_1^l}}{x}\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_{\omega}-\frac{\ell_3e^{\omega_2^l}}{y}\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_{\omega}-a_1^lx+e^{|\omega_1^u|}\frac{b_1^uy}{1+x^2}\\&&-\ell_3\frac{b_2^le^{|\omega_1^u|}y}{k_2^u+x}+a_1^ue^{|\omega_1^u|}+r_1^u-\frac{1}{2}|\sigma_1^l|^2+\ell_3\frac{b_2^ue^{|\omega_2^u|}}{k_2^l}+\ell_3 r_2^ue^{|\omega_1^u|}-\frac{1}{2}\ell_3 e^{|\omega_1^u|}|\sigma_2^l|^2.\end{eqnarray*}$

因为

$\begin{eqnarray*}e^{|\omega_1^u|}\frac{b_1^uy}{1+x^2}-\ell_3\frac{b_2^le^{|\omega_1^u|}y}{k_2^u+x}&=&e^{|\omega_1^u|}y\Big(\frac{b_1^u}{1+x^2}-\frac{\ell_3 b_2^l}{k_2^u+x}\Big)\\&=&(e^{|\omega_1^u|}y)\frac{b_1^u(k_2^u+x)-\ell_3 b_2^l(1+x^2)}{(1+x^2)(k_2^u+x)}\\&=&e^{|\omega_1^u|}y\frac{b_1^uk_2^u+b_1^ux-\ell_3 b_2^l-\ell_3 b_2^lx^2}{(1+x^2)(k_2^u+x)}, \end{eqnarray*}$

又因为

$\Delta=(b_1^u)^2+4\ell_3 b_2^l(b_1^uk_2^u-\ell_3 b_2^2)<0.$

所以$-b_1^uk_2^u-b_1^ux+\ell_3 b_2^l+\ell_3 b_2^lx^2$有最小值且大于零不妨设其为$m_2$.

$ LV\leq-\frac{e^{\omega_1^l}}{x}\langle r_1(t)-\sigma_1^2(t)\rangle_{\omega}-\ell_3\frac{e^{\omega_2^l}}{y}\langle r_2(t)-\sigma_2^2(t)\rangle_{\omega}-a_1^lx -\frac{m_2e^{|\omega_1^u|}y}{(1+x^2)(k_2^u+x)}+\lambda^*, $

其中

$\lambda^*=\max\Big\{a_1^ue^{|\omega_1^u|}+r_1^u-\frac{1}{2}|\sigma_1^l|^2+\ell_3\frac{b_2^ue^{|\omega_2^u|}}{k_2^l}+\ell_3 r_2^ue^{|\omega_1^u|}-\frac{1}{2}\ell_3 e^{|\omega_1^u|}|\sigma_2^l|^2, 0\Big\}.$

选择足够小的$\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$使得

(3.5) $0<\varepsilon_1<\min\Big\{\frac{e^{w_1^l\langle r_1-\sigma_1^2 \rangle_\omega}}{\lambda^*+1}, \frac{a_1^l}{\lambda^*+1}\Big\}, $

(3.6) $0<\varepsilon_2<\frac{\ell_3 e^{w_2^l}\langle r_2-\sigma_2^2 \rangle_\omega}{\lambda^*+1}, \ \ \ \frac{m_2e^{|w_1^u|}}{(1+\frac{1}{\varepsilon_1^2})(k_2^u+\frac{1}{\varepsilon_1})\varepsilon_2}>\lambda^*+1.$

考虑有界集

$D_{\varepsilon_{1, 2}}=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| \varepsilon_1<x<\frac{1}{\varepsilon_1}\ \ \ \varepsilon_2<y<\frac{1}{\varepsilon_2}\Big\}, $

假设

$D_{\varepsilon_{1, 2}}^1=\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| 0<y\leq \varepsilon_2 \}, $

$D_{\varepsilon_{1, 2}}^2=\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| 0<x\leq \varepsilon_1 \}, $

$D_{\varepsilon_{1, 2}}^3=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| x\geq \frac{1}{\varepsilon_1} \Big\}, $

$ D_{\varepsilon_{1, 2}}^4=\Big\{(x, y)\in {\mathbb{R}}_+^2| \varepsilon_1 \leq x \leq \frac{1}{\varepsilon_1}, y \geq \frac{1}{\varepsilon_2} \Big\}.$

显然, $D_{\varepsilon_{1, 2}}^C=D_{\varepsilon_{1, 2}}^1 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^2 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^3 \cup D_{\varepsilon_{1, 2}}^4.$

下面的证明与定理3.4的证明类似,所以省略.

文章研究了白噪声扰动下的随机捕食-食饵系统.利用随机分析的方法,证明了系统(1.1)对于任意的正初始值,存在唯一的全局正解;平均意义下的持久性;使用Has'minskii的平稳分布理论及周期性理论得到了系统(1.1)满足一定条件,存在平稳分布并且是遍历的,这些条件反映了大幅度环境噪声可能会使系统变得不稳定;进而证明了对于任意的正初始值,系统(1.2)存在正周期解.

为了验证理论结果,采用Milstein高阶方法^[18]对随机系统(1.1)和(1.2)进行数值模拟.

对于系统(1.1),取$r_1=1$; $r_2=0.3$; $a_1=0.5$; $b_1=0.5$; $b_2=0.5$; $k_2=2$; $x(0)=1$; $y(0)=0.2$; $\ell_1=3$; $\sigma_1=0.01$; $\sigma_2=0.01$可得$\frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{r_2-\frac{\sigma_2^2}{2}}\approx3.3344>\ell_1$, $b_1k_2^2+4\ell_1b_2(b_1-\ell_1 b_2)=-4$,显然满足定理3.2和3.4所需的条件.从图 1可知系统(1.1)的解围绕其确定性方程的解在小邻域内波动且存在平稳分布.

对于系统(1.1),取$r_1=1$; $r_2=0.3$; $a_1=0.5$; $b_1=0.5$; $b_2=0.5$; $k_2=2$; $x(0)=1$; $y(0)=0.2$; $\ell_1=3$; $\sigma_1=0.1$; $\sigma_2=0.1$可得$\frac{r_1-\frac{1}{2}\sigma_1^2}{r_2-\frac{\sigma_2^2}{2}}\approx4.4222>\ell_1$, $b_1k_2^2+4\ell_1b_2(b_1-\ell_1 b_2)=-4$,显然满足定理3.2和3.4所需的条件.从图 2可知系统(1.1)的解围绕其确定性方程的解在小邻域内波动且存在平稳分布.相比图 1系统(1.1)的解的波动区域变大.

对于系统(1.1),取$r_1=1$; $r_2=0.3$; $a_1=0.5$; $b_1=0.5$; $b_2=0.5$; $k_2=2$; $x(0)=1$; $y(0)=0.2$; $\sigma_1=1.5$; $\sigma_2=0.1$,显然满足定理3.3 (i)条件.从图 3可知食饵$x$灭绝,捕食者$y$平均持续生存.

对于系统(1.1),取$r_1=1$; $r_2=0.3$; $a_1=0.5$; $b_1=0.5$; $b_2=0.5$; $k_2=2$; $x(0)=1$; $y(0)=0.2$; $\sigma_1=0.1$; $\sigma_2=0.85$,显然满足定理3.3 (ii)条件.从图 4可知捕食者$y$灭绝,食饵$x$平均持续生存.

对于系统(1.1),取$r_1=1$; $r_2=0.3$; $a_1=0.5$; $b_1=0.5$; $b_2=0.5$; $k_2=2$; $x(0)=1$; $y(0)=0.2$; $\sigma_1=1.5$; $\sigma_2=0.85$,显然满足定理3.3 (iii)条件.从图 5可知食饵$x$与捕食者$y$均灭绝.

由图 4和图 5对比可知,在$y$灭绝的情况下,小的白噪声可促进$x$的生长;过大的白噪声可使$x$灭绝.

对于系统(1.2),取$r_1=1+0.5\sin t$; $r_2=0.3+0.05\sin t$; $a_1=0.05+0.002\sin t$; $b_1=1+0.5\sin t$; $b_2=1+0.5\sin t$; $k_2=5+0.5\sin t$; $x(0)=10$; $y(0)=5$; $\sigma_1=0.01+0.002\sin t$; $\sigma_2=0.01+0.0006\sin t$.显然满足定理3.5的条件.从图 7可以看出,经过一段时间后,确定系统的解会进入周期轨道;当噪声强度较小时,随机系统(1.2)的解会在周期轨道的小邻域内震动.