数学物理学报, 2018, 38(5): 1032-1040 doi:

论文

儿童手足口病的数学建模和计算机模拟

李华,1,4, 刘三红2, 方奕乐3, 张兴安1

Mathematical Modeling and Computer Simulation on Hand, Foot and Mouth Disease in Children

Li Hua,1,4, Liu Sanhong2, Fang Yile3, Zhang Xingan1

通讯作者: 刘三红

收稿日期: 2017-05-24  

基金资助: 国家自然科学基金.  11371161
国家自然科学基金.  11071275
华中师范大学中央高校基本科研业务费.  CCNU16JCZX10
湖北科技学院教学研究基金.  2016-XA-008

Received: 2017-05-24  

Fund supported: the NSRC.  11371161
the NSRC.  11071275
the Self-Determined Research Funds of CCNU from the Colleges' Basic Research and Operation of MOE.  CCNU16JCZX10
the Teaching Research Fund from Hubei University of Science and Technology.  2016-XA-008

作者简介 About authors

李华,E-mail:lihua11230908@163.com , E-mail：lihua11230908@163.com

摘要

手足口病（HFMD）是由肠道病毒引起的传染病，患者主要是少儿，由EV71和CoxA16病毒引起.该文建立了传染病SEIHRS模型，模拟了2012-2016年手足口病患病者的数据，估计了手足口病每年的基本再生数，给出了手足口病少儿疫苗的接种率，预测了2017年手足口病患病者的数目并提出了预防控制策略.该文的结果能为该疾病的预防与控制工作提供理论依据.

关键词： 手足口病 ; 基本再生数 ; 数据模拟 ; EV71疫苗 ; 免疫接种率

Abstract

Hand, foot, and mouth disease (HFMD) is a contagious disease mainly caused by the enterovirus 71 (EV71) and coxsackievirus A 16 (CoxA16). The infectious of HFMD is mainly children. In this paper, we construct an SEIHRS model, simulate the HFMD data of infectious from 2012 to 2016, estimate the basic reproductive number each year from 2012 to 2016, predict the infectious number of HFMD in year 2017, compute the domain of vaccination rate on children and put forward the preventive measures and control strategy. The results of this paper can provide a theory basis for disease control and prevention of HFMD.

Keywords： Hand, foot, and mouth disease ; Basic reproductive number ; Data simulation ; EV71 vaccination ; Immunization coverage rate

PDF (538KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

李华, 刘三红, 方奕乐, 张兴安. 儿童手足口病的数学建模和计算机模拟. 数学物理学报[J], 2018, 38(5): 1032-1040 doi:

Li Hua, Liu Sanhong, Fang Yile, Zhang Xingan. Mathematical Modeling and Computer Simulation on Hand, Foot and Mouth Disease in Children. Acta Mathematica Scientia[J], 2018, 38(5): 1032-1040 doi:

1 引言

手足口病是由肠道病毒(enterovirus)引起的一种常见儿童传染病,多发于五岁以下婴幼儿, 3岁以下的儿童发病率尤其高[1].手足口病病毒属于肠道病毒,只寄存于人体内,感染了肠道病毒后有的人出现如发热、皮疹等症状,有的人则没有任何症状.无论是否出现症状,感染肠道病毒后的人都具有传染性,病毒存在于感染者的粪便、呼吸道分泌物和疱疹液中,接触到感染者的粪便、呼吸道分泌物和疱疹液均可能引起感染.传播途径主要有：饮用或食用被病毒污染的水或食物;与感染者的近距离接触可以通过他们咳嗽、打喷嚏排出的飞沫而引起感染;儿童接触到被病毒污染的毛巾、手绢、牙具、玩具、餐具等生活用品可引起感染[2].患儿感染肠道病毒后,多以发热起病,手、足、臀等部位出现皮疹,口腔粘膜出现分散状疱疹.少数重症患者病情较重,可出现脑炎、脑膜炎、肺水肿等疾病,病情危重者可导致死亡[3].

1957年,在新西兰首次发现手足口病病例[4], 1958年分离出主要病原体之一柯萨奇病毒A16型(CoxA16)[5], 1959年美国提出以"手足口病"为该病命名, 1969年确认了肠道病毒71型(EV71)为另外一个可引起手足口病的病原体[6].引发手足口病的肠道病毒有20多种(型),其中以柯萨奇病毒A16型(Cox A16)和肠道病毒71型(EV71)最为常见[7-9].从二十世纪七十年代开始,国际和国内因肠道病毒71型(EV71)和柯萨奇病毒A16型(CoxA16)引起的手足口病流行持续发生[10-13]. 2008年5月,我国卫生部把手足口病正式列入《中华人民共和国传染病防治法》规定的丙类传染病范围进行管理[14].截至到2016年5月16日,我国2016年度大约有630, 000例患者[15].

有很多数学模型用来模拟手足口病传染病的传播规律.比如,考虑易感者和染病者的直接传播, Tiing和Labadin[16]应用一个简单的SIR仓室模型预测了马来西亚Sarawak地区感染人数的总和, Liu[17]建立了周期的HFMD模型研究正周期解的存在性, Maetal等[18]建立周期的HFMD模型模拟山东省的隐性感染, Yang等[19]应用HFMD模型模拟中国大陆从2009年3月至2012年2月报道的手足口病数据; 2014年,李勇[20]建立了一个SEIQR模型模拟了中国大陆2009年至2012年的手足口病数据; 2016年,李勇等[21]考虑HFMD阶段结构模型模拟中国大陆从2009年至2014年报道的手足口病数据并给出了优化控制策略.由于易感者和染病者可以非直接接触传播,考虑受污染的环境, Wang等[22]从周期传播率的角度考虑了SEIRW模型,模拟了2010-2014年中国大陆手足口病报道的数据并给出了预防策略; Wang等[23]从非周期传播率的角度考虑了SEIRW模型,分析了受污染的环境对手足口病的影响,并且模拟了2013年中国大陆手足口病报道的数据并提供了预防策略措施.

免疫接种是预防传染病的经济、有效的预防措施之一. 2014年, EV71疫苗[24-25]已经研发成功,并且对由EV71引起的婴幼儿手足口病患者提供大约一年的免疫保护[26]. 2016年经由中国医学科学院医学生物学研究所自主创新研发肠道病毒71型(EV71)灭活疫苗(人二倍体细胞)经国家食药监总局批准正式上市[27],这将对我国乃至世界手足口病的防控产生巨大的影响,但以往的研究成果并没有考虑控制手足口病时需要施行的疫苗注射范围. Zhang等[28]考虑疫苗对美国流感的影响,并且利用数学模型计算了疫苗注射的范围. EV71疫苗对于手足口病的影响类似于流感疫苗对于流感的影响,我们将在传统的SEIR模型的基础上结合文献[28]的思想,将李勇[20]的工作做进一步的推广,模拟中国大陆2012年至2016年手足口病患者的数据,并预测出2017年手足口病的患病人数,同时考虑EV71疫苗对手足口病的影响,给出儿童疫苗的接种率和接种人数的大致范围.

2 方法

2.1 数据来源

自2008年5月,我国卫生部把把手足口病正式列入《中华人民共和国传染病防治法》规定的丙类传染病范围进行管理[14]以来,中国疾控中心进行手足口病每月数据统计和实时报道.本文研究的数据来源于中国疾控中心报道与中华人民共和国国家卫生和计划生育委员会,我们收集了2012年至2016年每月手足口病(HFMD)患病人数的数据(见表 1).

表 1   2012-2016年每月HFMD病人数据(来源:CDC & NHFPC)

月份/年份20122013201420152016
一月4752656956510035776379499
二月4161433261406463300332457
三月100575887241624866137872464
四月248855172499430024173384226430
五月454651255533523743287235442075
六月374749303423474419354308452668
七月113922154213140151180813171581
九月138875182317197059180074134972
十月142617127566207550160106177639
十一月147403105061149732130829217754
十二月1225069443599201116239145558

新窗口打开| 下载CSV


2.2 数学模型

为了模拟表 1中的数据,我们先将人群分为五个部分:易感者($S$),潜伏者($E$),染病未住院治疗者($I$),染病住院治疗者($H$),康复者($R$).记人口总数为$N=S+E+I+H+R$.为了建立儿童手足口病的仓室传染病模型,我们作如下假设:

(1)假定易感者与染病者接触后变成潜伏者,而潜伏者以不同的比例又变为染病未住院治疗者和染病住院治疗者,这两类染病者都以一定的比例进入康复者,而康复者经过一段时间后又以一定的比例变为易感者;

(2)假设易感者与染病者的有效接触率是常数$\beta$.由于人口数量较大,我们采用了标准发生率,则疾病的发生率为$\beta S(I+H)/N$;

(3)假设所有人的出生率和自然死亡率均为$\mu$;

(4)假设我们考虑的环境是封闭的,即没有人口的迁入和迁出.

根据我们的假设,我们绘制出如下的手足口病模型流程图(见图 1).

图 1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 1   儿童手足口病模型的流程图


再根据流程图 1,我们可以建立未免疫接种情况下HFMD传播的微分方程模型(见表 2)和免疫接种情况下HFMD传播的常微分方程模型(见表 3).其中,参数$\beta , \gamma_{1}, \gamma_{2}, \alpha, \rho, \gamma_{3}, \delta, q, r$分别表示易感者与染病者的有效接触率系数,染病者未住院治疗而康复的康复率,染病者住院治疗后的治愈率,从潜伏者转化为感染者的比率,染病者住院治疗的比率,康复者丧失免疫的比率,因病死亡率, EV71灭活疫苗的注射比率,疫苗的失效率.

表 2   儿童HFMD传播常微分方程模型(未注射疫苗)

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{{\rm d}S}{{\rm d}t}=\mu(N-S)-\beta S(I+H)/N+\gamma_{3}R, \\[5pt] \frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}=\beta S(I+H)/N-\alpha E-\mu E, \\[5pt] \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}=\alpha(1-\rho)E-(\gamma_{1}+\mu+\delta)I, \\[5pt] \frac{{\rm d}H}{{\rm d}t}=\alpha\rho E-(\gamma_{2}+\mu+\delta)H, \\[5pt] \frac{{\rm d}R}{{\rm d}t}=\gamma_{1}I+\gamma_{2}H-(\mu+\gamma_{3})R. \end{array} \right. $

新窗口打开| 下载CSV


表 3   儿童HFMD传播常微分方程模型(注射疫苗)

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{{\rm d}S}{{\rm d}t}=\mu(N-S)-\beta ((1-q)S+rqS)(I+H)/N+\gamma_{3}R, \\[5pt] \frac{{\rm d}E}{{\rm d}t}=\beta ((1-q)S+rqS)(I+H)/N-\alpha E-\mu E, \\[5pt] \frac{{\rm d}I}{{\rm d}t}=\alpha(1-\rho)E-(\gamma_{1}+\mu+\delta)I, \\[5pt] \frac{{\rm d}H}{{\rm d}t}=\alpha\rho E-(\gamma_{2}+\mu+\delta)H, \\[5pt] \frac{{\rm d}R}{{\rm d}t}=\gamma_{1}I+\gamma_{2}H-(\mu+\gamma_{3})R. \end{array} \right. $

新窗口打开| 下载CSV


3 结论

3.1 参数估计

为了更好地估计参数,我们设定时间单位为天.查阅中国国家统计局数据可知, 2012-2016年中国人口的平均寿命约为75岁,故而我们在表 4中固定每天的出生率和自然死亡率均为$\mu=3.6530\times10^{-5}$;另外,查阅可知2012-2016年中国大陆手足口病的死亡人数为1644,报道的总人数为1121.5484万人,其比值约为0.000147,故我们固定$\delta=0.00015$.

我们采用MATALB优化工具箱中的fminsearch函数工具来计算下面式子的最小平方和(MSS)

$MSS=\sum\limits_{i=1}^{12}[\log_2(1+n_{i})-\log_2(1+\sum\limits_{j=1}^{t} n_{ij})]^{2}, $

其中, $n_{i}$表示每$i$月的住院病人真实数据, $n_{ij}$表示第$i$月第$j$天住院病人模拟数据.我们假定一年共计365天,则$t$的取值可以为28, 30, 31.并且,只有当fminsearch函数值收敛的时候,我们才承认MATLAB中给出的参数及变量的估计值.

考虑到当前的医疗水平及社会经济发展水平,我们假定凡是被医院确诊的染病者均住院接受治疗,所以假定在$CDC$收集到的数据均为染病且住院治疗者$H$.为了使得估计值具有生物学含义,我们假定参数的范围如下：易感者$S$的初始值为总人群数量的$10\%$,即$S(0)=1.3643\times10^8$;潜伏者$E$的初始值$E(0)$为$1\leq E(0)<1.3643\times10^8$;染病未住院治疗者$I$的初始值$I(0)$为$1\leq I(0)<1.3643\times10^8$,染病且住院治疗者$H$的初始值$H(0)$为$1\leq E(0)<1.3643\times10^8$,康复者$R$的初始值$R(0)$为上一年12月日均患病人数.

由文献[29],我们计算出表 2中微分方程组的基本再生数为

$R_0=(\beta /(\alpha+\mu))\cdot(\alpha \rho/(\gamma_{2}+\mu+\delta)+\alpha(1-\rho)/(\gamma_{1}+\mu+\delta)) , $

再根据表 4估计出来的最优参数,我们可以计算出每年的基本再生数$R_{0}$.具体的参数估计及基本再生数的计算值见表 4.

表 4   2012-2016年HFMD参数估计及基本再生数

参数及其范围来源20122013201420152016
β∈[0, 50]MSS1.0781.05021.07910.98190.7256
γ1∈[0, 1]MSS1.00000.99990.99970.94540.6643
γ2∈[0, 1]MSS1.00001.00000.99980.94770.9944
α∈[0, 1]MSS1.00001.00000.95901.00000.9959
ρ∈[0, 1]MSS0.05910.12270.08790.16080.0384
γ3∈[0, 1]MSS0.01060.00420.00870.00250.0109
E(0)MSS40004000300032793800
I(0)MSS33002177299432993799
H(0)MSS40004000300033003796
R0Calculated1.07781.04481.07921.03801.0919

新窗口打开| 下载CSV


从表 4中,我们可以观察出中国2012-2016年HFMD的基本再生数的范围为1.0380-1.0919,这个结果与手足口病近年来在我国持续流行,但未曾有特大爆发的事实相符.同时,我们还可以观察出每年的未住院患者的康复率$\gamma_{1}$小于住院患者的康复率$\gamma_{2}$,这与客观事实是相符的,本文的结果修正了文献[20-21]中未住院患者的康复率$\gamma_{1}$大于住院患者的康复率$\gamma_{2}$的数值模拟结果.

3.2 拟合优度的总体卡方检验(Chi-square test)

为了检验我们的模型(见表 2)的模拟数据与真实数据的拟合程度有多接近,我们做如下的假设检验.

$H_{0}$:参数估计值等于真实值

$H_{1}$:参数估计值不等于真实值

表 5给出了我国2012-2016年手足口病的卡方值和自由度.我们发现2012-2016年手足口病的卡方计算值都远远小于临界值5.991,故而我们接受假设$H_{0}$.

表 5   2012-2016年总体卡方检验值表

年份20122013201420152016
卡方值(χ2)0.11630.10330.16780.13930.3158
自由度22222
临界值5.9915.9915.9915.9915.991
临界值是在自由度为2的χ2分布的0.05的上侧分位点

新窗口打开| 下载CSV


图 2给出了2012-2016年患病且治疗的人数$H(t)$的模拟数据与真实数据的对比图.从图 2中我们可以清楚地看到模拟的数据曲线比较好地拟合了原始数据曲线,这也说明了我们的参数估计值是合理的.

图 2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 2   2012-2016年HFMD原始数据与模拟数据对比


3.3 2017年手足口病患者预测

我们采用表 4中2015年和2016年相应参数的平均值去预测2017年手足口病患病人数数据,即$\beta=0.85375 , \gamma_{1}=0.80485, \gamma_{2}=0.97105, \alpha=0.99795, \rho=0.0996, \gamma_{3}=0.0067, E(0)=3539.5, I(0)=3549, H(0)=3548. $我们利用MATALB软件估算出2017年患病人数为1673.86千人,其预测数据折线图(见图 3).

图 3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 3   2017年手足口病患者预测


3.4 疫苗接种比例及疫苗接种范围

根据基本再生数的含义,我们知道当基本再生数$R_{0}>1$时,疾病持续流行而形成地方病;当$R_{0}<1$时疾病逐渐消亡.因此,我们先计算表 3当中的微分方程组的基本再生数$R_{0}^1$.由文献[29],我们可以计算出

令$R_{0}^1<1$,则

$ \begin{eqnarray} q&>&[1/(1-r)]*[1-(\alpha+\mu)/(\beta(\alpha \rho/(\gamma_{2}+\mu+\delta)+\alpha(1-\rho)/(\gamma_{1}+\mu+\delta)))]\\&=&[1/(1-r)]*(1-1/R_{0}) .\end{eqnarray} $

研究表明,我国新研制的肠道病毒71型(EV71)灭活疫苗在于EV71相关的手足口病患者长达11个月的免疫保护中,其免疫保护率可达[30],从而疫苗的失效率$r=0.026$.根据表 4,模型2的基本再生数$R_{0}$的估计值范围为$[1.038, 1.0919]$.再由公式(3.3),我们可以得到疫苗注射率范围为$[0.0376, 0.0864]$.因此,为了使疾病得到控制,我们建议注射率为$[3.76\%, 8.64\%]$.若取注射总人口数为易感人群$S(0)=1.3643\times10^8$,则疫苗注射人数的范围是$[0.5128\times10^7, 1.1790\times10^7]$.

4 讨论及建议

我们建立了一个微分方程模型模拟中国疾控中心公共卫生数据库与华人民共和国国家卫生和计划生育委员会提供的2012年至2016年每月手足口病(HFMD)患者的数据.我们根据表 4中的最优参数值和一些固定值估计了每年手足口病的基本再生数,同时预测了2017年手足口病的流行状况及EV71疫苗的接种率和疫苗接种人数的范围.为了控制手足口病传染病,我们需要保证基本再生数小于1.由基本再生数的数学表达式可知基本再生数与有效接触率$\beta$及疫苗接种的比例$q$密切相关,另外还与其它的参数如$\gamma_{2}, \rho$有关.因此,我们给出如下的控制措施和建议:

(1)  降低人群中疾病的有效接触率系数$\beta$.在手足口病流行高峰期间尽量避免带婴幼儿去人多密集之地;对于已经患病的婴幼儿要及时进行隔离治疗,减少外出;

(2)  提高手足口病EV71疫苗接种的比例$q$.及时对易感者进行疫苗注射,降低易感者转化为染病者的数量;

(3)  增加接受治疗后的治愈率$\gamma_{1}, \gamma_{2}$.患病期间多食蔬菜、瓜果、补充维生素;适当休息、清淡饮食;中西医结合治疗;对患儿的床单、玩具等日常用品时进行消毒处理;帮助患病婴幼儿建立自信心,积极乐观的情绪;

(4)  增加住院接受治疗的比率$\rho$.积极宣传手足口病的危害性,提高婴幼儿父母对手足口病的了解程度,增加其医疗卫生认知水平;增强基础医疗水平,使手足口病的诊断率提高.

在手足口病(HFMD)流行高峰期要结合上面的建议综合控制基本再生数的的值,使得我们能够更加有效地控制手足口病的传播.

参考文献

Huang Y , Deng T , Yu S C , et al.

Effect of meteorological variables on the incidence of hand, foot, and mouth disease in children:a time-series analysis in Guangzhou, China

BMC Infectious Diseases, 2013, 13: 134

DOI:10.1186/1471-2334-13-134      [本文引用: 1]

中国疾病控制中心.手足口病疾病概述.http://www.chinacdc.cn/jkzt/crb/bl/szkb/zstd/201212/t2012121072846.html

[本文引用: 1]

Chinese center for disease control and prevention. The overview for Hand-Foot-Mouth Disease. http://www.chinacdc.cn/jkzt/crb/bl/szkb/zstd/201212/t2012121072846.html

[本文引用: 1]

李超贤, 赵伟.

中西医结合治疗手足口病100例

上海中医药杂志, 2009, 43 (9): 35- 36

URL     [本文引用: 1]

Li C X , Zhao W .

Treatment of 100 cases of Hand-Foot-Mouth Disease by integrative Chinese and Western Medicine

Shanghai Journal of Traditional Chinese Medicine, 2009, 43 (9): 35- 36

URL     [本文引用: 1]

Seddon J H , Duff M F .

Hand-foot-and-mouth disease:coxsackievirus types A5, A10, and A16 infections

N Z Med J, 1971, 74: 368- 373

[本文引用: 1]

Robinson C R , Doane F W , Rhodes A J .

Report of an outbreak of febrile illness with pharyngeal lesions and exanthem:Toronto, summer 1957-isolation of group a coxsackie virus

The Canadian Medical Association Journal, 1958, 79 (8): 615- 621

URL     [本文引用: 1]

Schmidt N J , Lennette E H , Ho H H .

An apparently new enterovirus isolated from patients with disease of the central nervous system

The Journal of Infectious Diseases, 1974, 129 (3): 304- 309

DOI:10.1093/infdis/129.3.304      [本文引用: 1]

Repass L G , Palmer W C , Stancampiano F F .

Hand, foot, and mouth disease:identifying and managing an acute viral syndrome

Clevel Clin J Med, 2014, 81: 537- 543

DOI:10.3949/ccjm.81a.13132      [本文引用: 1]

公共卫生数据中心.手足口病.http://www.phsciencedata.cn/Share/kysjml.jsp?id=b9c93769-3e0f-413a-93c1-027d2009d8bc&show=0

Public health data center. Hand, foot, and mouth disease.http://www.phsciencedata.cn/Share/kysjml.jsp?id=b9c93769-3e0f-413a-93c1-027d2009d8bc&show=0

洪志恒, 常昭瑞, 涂文校, 等.

2016年3月全国突发公共卫生事件及需关注的传染病风险评估

疾病监测, 2016, 31 (03): 181- 184

URL     [本文引用: 1]

Hong Z H , Chang Z R , Tu R Q , et al.

Risk assessment of public health emergencies and communicable diseases concerned in the mainland of China, March 2016

Disease Surrveillance, 2016, 31 (3): 181- 184

URL     [本文引用: 1]

Wang J R , Tuan Y C , Tsai H P .

Change of major genotype of enterovirus71 in outbreaks of hand-footand-mouth disease in tai wan between 1998 and 2000

J Clin Micro Biol, 2002, 40: 10- 15

DOI:10.1128/JCM.40.1.10-15.2002      [本文引用: 1]

Fujimoto T , Chikahira M , Yoshida S , et al.

Outbreak of central nervous system disease associated with hand, foot, and mouth disease in Japan during the summer of 2000:detection and molecular epidemiology of enterovirus 71

Microbiol Immunol, 2002, 46: 621- 627

DOI:10.1111/mim.2002.46.issue-9     

Chua K B , Kasri A R .

Hand foot and mouth disease due to enterovirus 71 in malaysia

Virol Sin, 2011, 26: 221- 228

DOI:10.1007/s12250-011-3195-8     

Zhang Y , Tan X , Wang H , et al.

An outbreak of hand, foot, and mouth disease associated with subgenotype C4 of human enterovirus 71 in Shandong

China J Clin Virol, 2009, 44: 262- 267

DOI:10.1016/j.jcv.2009.02.002      [本文引用: 1]

国家卫生计生委疾病预防控制局.卫生部关于将手足口病纳入法定传染病管理的通知.http://www.moh.gov.cn/jkj/s3577/200805/1a8bb3668b7d4540afb0531dfcef978d.shtml

[本文引用: 2]

Bureau of disease control and prevention of national health council of the People's Republic of China. The notice of the Ministry of health on hand foot and mouth disease into legal communicable diseases management. http://www.moh.gov.cn/jkj/s3577/200805/1a8bb3668b7d4540afb0531dfcef978d.shtml

[本文引用: 2]

Wang L , Zhu B , Li Z , et al.

Epidemiologic characteristics of hand, foot, and mouth disease in China from 2006 to 2015

J Infect, 2016, 73: 512- 515

DOI:10.1016/j.jinf.2016.08.007      [本文引用: 1]

Tiing F C S , Labadin J .

A Simple Deterministic Model for the Spread of Hand, Foot and Mouth Disease (hfmd) in Sarawak//Second Asia International Conference on Modeling and Simulation

Kuala Lumpur, Malaysia:IEEE, 2008, 947- 952

URL     [本文引用: 1]

Liu J L .

Threshold dynamics for a HFMD epidemic model with periodic transmission rate

Nonlinear Dynamics, 2011, 64: 89- 95

DOI:10.1007/s11071-010-9848-6      [本文引用: 1]

MaY J , Liu M X , Hou Q , et al.

Modeling seasonal HFMD with the recessive infection in shandong

China Math Biosci Eng, 2013, 10: 1159- 1171

DOI:10.3934/mbe      [本文引用: 1]

Yang J Y , Chen Y M , Zhang F Q .

Stability analysis and optimal control of a hand-foot-mouth disease (hfmd) model

J Appl Math Comput, 2013, 41: 99- 117

DOI:10.1007/s12190-012-0597-1      [本文引用: 1]

Li Y , Zhang J H , Zhang X A .

Modeling and preventive measures of hand, foot and mouth disease(hfmd) in china

International Journal of Environmental Research and Public Health, 2014, 11 (3): 3108- 3117

DOI:10.3390/ijerph110303108      [本文引用: 3]

Li Y , Wang L W , Pang L Y , et al.

The data fitting and optimal control of a hand, foot and mouth disease (HFMD) model with stage structure

Applied Mathematics and Computation, 2016, 276: 61- 74

DOI:10.1016/j.amc.2015.11.090      [本文引用: 2]

Wang J Y , Xiao Y N , Peng Z H .

Modeling seasonal HFMD infections with the effects of contaminated environments in mainland China

Applied Mathematics and Computation, 2016, 274: 615- 627

DOI:10.1016/j.amc.2015.11.035      [本文引用: 1]

Wang J Y , Xiao Y N , Cheke R A .

Modeling the effects of contaminated environments on HFMD infections in mainland China

Biosystems, 2016, 140: 1- 7

DOI:10.1016/j.biosystems.2015.12.001      [本文引用: 1]

Chou A H , Liu C C , Chang P C , et al.

Pilot scale production of highly efficacious and stable enterovirus 71 vaccine candidates

PloS One, 2012, 7: e34834

DOI:10.1371/journal.pone.0034834      [本文引用: 1]

Liang Z , Mao Q , Gao F , et al.

Progress on the research and development of human enterovirus 71(ev71) vaccines

Front Med, 2013, 7: 111- 121

DOI:10.1007/s11684-012-0237-z      [本文引用: 1]

Zhu F C , Xu W B , Xia J L , et al.

Efficacy, safety, and immunogenicity of an enterovirus 71 vaccine in China

N Engl J Med, 2014, 370 (9): 818- 828

DOI:10.1056/NEJMoa1304923      [本文引用: 1]

中华人民共和国国家卫生委科技教育司.重大新药创制科技重大专项取得重大成果——世界首个预防手足口病疫苗获批生产上市.http://www.nhfpc.gov.cn/qjjys/s3594r/201512/fa403581683d4b619bcee477aa15423e.shtml

[本文引用: 1]

Department of science and technology education of national health council of the People's Republic of China. Creative technology of major new drugs made significant achievements and hand foot and mouth disease prevention vaccine in the world was firstly approved to be manufactured and marketed.http://www.nhfpc.gov.cn/qjjys/s3594r/201512/fa403581683d4b619bcee477aa15423e.shtml

[本文引用: 1]

Zhang X A , Zhao Y D , Neumann A U .

Partial immunity and vaccination for influenza

J Comput Biol, 2010, 17 (12): 1689- 1696

DOI:10.1089/cmb.2009.0003      [本文引用: 2]

Van den Driessche P , Watmough J .

Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission

Mathematical Biosciences, 2002, 180 (1): 29- 48

URL     [本文引用: 2]

Li R C , Liu L D , Mo Z J , et al.

An inactivated enterovirus 71 vaccine in healthy children

N Engl J Med, 2014, 370 (9): 829- 837

DOI:10.1056/NEJMoa1303224      [本文引用: 1]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发