考虑如下EFK方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}+\gamma\Delta^{2}u-\Delta u+ f(u)=0,&(X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ u(X, t) =\Delta u(X, t)= 0,&(X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, T]}, \\ u(X, 0) = u_{0}(X),& X\in {\Omega}. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

其中$ f(u)=u^{3}-u, T>0, \Omega $是具有Lipschitz连续边界$ \partial{\Omega} $的有界凸多边形区域, $X=(x, y)$, $u_{0}(X)\triangleq u_{0} $是充分光滑的已知函数. $\gamma $为一正的定值, 当$ \gamma=0 $时, 我们得到标准的Fisher-Kolmogorov方程, 它是由Fisher和Kolmogorov在描述生物种群的扩散与适应间的相互作用时于1937年提出来的.后来, 由Coullet^[1]和Sarroos^[2]根据实际需要增加了四阶导数项得到方程(1.1), 称之为Extend Fisher-Kolmogorov(EFK)方程. EFK已经被广泛应用在双稳态系统的图式形成^[2], 液晶中畴壁的传播问题^[2], 反应扩散问题的行波^[3], 退化状态的振幅方程临界点(Lipschitz points)附近的相变^[4]等方面.

至于方程(1.1)的数值方法的研究亦受到学者们的高度关注.例如, 文献[5]对方程(1.1)提出了一个Crank-Nicolson有限差分格式, 利用不动点定理证明了解的存在唯一性, 分析了解的稳定性和收敛性.文献[6]通过利用Lyapunov泛函给出了方程(1.1)的一些先验估计并进一步地证明了解的存在唯一性.同时, 对一类$ C^{1} $协调元, 利用投影算子在半离散格式下, 得到了方程(1.1)的弱解在$ H^{2}$ -模意义下具有$ O(h^{2}) $阶的最优误差估计.最后, 给出方程(1.1)的向后欧拉格式, 两步向后欧拉格式和Crank-Nicolson格式, 证明了相应的最优误差估计.文献[7]利用ACM非协调元, 分别就半离散及欧拉全离散格式在各向异性网格下进行了收敛性分析.

另一方面, 由于混合有限元方法具有对空间要求光滑度较低, 并能同时得到原始变量和中间变量的误差估计等优势, 它一直是有限元研究领域最活跃的分支之一^[8-12].近年来, 文献[13-15]对二阶椭圆问题提出了另一种混合元格式, 它具有当两个逼近空间满足一个简单的包含关系时, LBB条件容易满足且能避勉因涉及散度算子带来的麻烦等优点, 文献[16]又将这一方法与文献[17]中提出的扩展混合元方法相结合, 利用协调的线性三角形$P_1$元和$P_0\times P_0$元, 通过引入两个中间变量$ \vec{p}=\nabla u, v=-\Delta u$对方程(1.1)给出了一个混合元格式, 借助投影算子, 对半离散格式和Crank-Nicolson全离散格式导出了原始变量在$H^1$ -模意义下和流量$ \vec{p}=\nabla u $在$(L^2)^2$ -模意义下的最优误差估计.文献[18]利用协调线性三角形$P_1 $元, 通过引入一个中间变量$ v=\Delta u $建立了一个低阶混合元格式, 在半离散格式和向后Euler全离散格式下, 证明了逼近解的存在唯一性和稳定性, 并得到了原始变量$ u $在$H^{1}$ -模意义下和$ v $在在$ L^{2}$ -模意义下的最优误差估计.

对非协调元来说, 尤其是对于自由度定义在其边上和单元自身上非协调元, 由于其每个节点内部参数的影响单元仅为两个, 采用这种单元具有LBB条件容易满足、更适宜并行计算、误差估计不易丢失阶等优点.因此, 本文的主要目的是以$EQ_{1}^{rot}$元为例, 对方程(1.1)建立一个混合元格式并研究其收敛性和超收敛.我们通过引入中间变量$ v=-\Delta u$, 将方程(1.1)转化为二阶耦合系统, 然后建立了一个混合元逼近格式.对于非协调元而言, 由于此时无法直接利用嵌入定理得到有限元解$ u_{h}$的$ \|u_{h}\|_{0, p}(1\leq p < \infty)$有界性, 从而导致了半离散格式逼近解的整体存在唯一性的证明和非线性项的处理变得困难.为了克服这些困难, 首先, 我们通过构造一个适当的李雅普诺夫泛函, 建立了非协调有限元解的一些先验估计.其次, 利用这个先验估计和单元的性质, 通过对非线性项$ f(u) $采取与文献[16, 18]不同的估计方法, 在半离散格式下导出了原始变量$ u $和中间变量$ v=-\Delta u $的$ H^{1}$ -模意义下的最优误差估计并证明了半离散格式逼近解的整体存在唯一性.进一步地, 利用单元的高精度结果得到了具有$ O(h^{2}) $阶的超逼近性质.最后, 建立了一个线性化的向后Euler全离散格式, 通过对相容误差和非线性项$ f(u) $采用新的分裂技术, 证明了原始变量$ u $和中间变量$ v $的$ H^{1}$ -模意义下$ O(h+\tau) $阶的最优误差估计和$ O(h^{2}+\tau) $阶的超逼近结果, 从而改善了文献[16, 18]中的相应的分析结果.

本文接下来的安排如下:第2节, 先介绍$ EQ_{1}^{rot} $非协调元的构造及性质, 然后对方程(1.1)建立了一个新的非协调混合元格式, 证明了有限元解的一个先验估计和半离散格式解的存在唯一性.第3节, 在半离散格式下, 证明了原始变量$ u $和中间变量$ v=-\Delta u $的$ H^{1}$ -模意义下的最优误差估计和具有$ O(h^{2}) $阶的超逼近结果.第4节, 建立了一个新的线性化向后Euler全离散格式, 在误差分析过程中, 通过采用新的分裂技巧, 导出了传统估计方法所不能得到的关于$ u, v $的$ H^{1}$ -模意义下的$ O(h+\tau) $阶的最优误差估计和$ O(h^{2}+\tau) $阶的超逼近结果.第5节, 给出了一个数值算例, 计算结果验证了逼近格式的有效性和理论分析的正确性.

本文用$ W^{m, p} $表示通常的Sobolev空间, 其范数和半范分别记为$ \|\cdot\|_{m, p} $和$ |\cdot|_{m, p}$.特别地, 当$ p=2 $时, $W^{m, p} $简记为$ H^{m}(\Omega)$, 相应的范数和半范简记为$ \|\cdot\|_{m} $和$ |\cdot|_{m}$,

$ \|\varphi\|_{L^{\infty}(0, T;H^{k}(\Omega))}\triangleq\sup\limits_{0\leq t\leq T}\|\varphi\|_{H^{k}(\Omega)}, \|\varphi\|_{L^{p}(0, T;H^{k}(\Omega))}\triangleq \Big(\int_{0}^{t}\|\varphi\|_{H^{k}(\Omega)}^{p}{\rm d}s\Big)^{1/p}. $

文中出现的$ C $无论标注与否, 均表示与剖分尺寸无关的常数, 在不同的地方取值可以不同.

为了方便, 不妨设$ \Omega $是$ \mathbb{R}^{2} $中一个边界$ \partial{\Omega} $分别平行于$ x $轴与$ y $轴的矩形区域, $\Gamma_{h} $是$ \Omega $的矩形正则剖分族. $\forall K\in\Gamma_{h}$, 设其中心为$ (x_K, y_K)$, 四个顶点坐标分别为$ a_{1}=(x_{K}-h_{x, K}, y_{K}-h_{y, K})$, $a_{2}=(x_{K}+h_{x, K}, y_{K}-h_{y, K})$, $a_{3}=(x_{K}+h_{x, K}, y_{K}+h_{y, K})$, $a_{4}=(x_{K}-h_{x, K}, y_{K}+h_{y, K}) $.边$ l_1=\overline{a_1a_2}$, $l_3=\overline{a_3a_4} $及$ l_2=\overline{a_2a_3}$, $l_4=\overline{a_4a_1} $的边长分别为$ 2h_{x, K}$, $2h_{y, K}$, 记$ h_K=\max\limits_{K\in \Gamma_{h}}\{h_{x, K}, h_{y, K}\}, h=\max\limits_{K\in\Gamma_{h}}\{h_K\}$.定义有限元空间如下^[19-20]

$ M_{h}=\Big\{\varphi_h; \varphi_h|_K\in {\rm span}\{1, x, y, x^{2}, y^{2}\}, \int_{F}[\varphi_{h}]{\rm d}s=0, F\subset\partial K, \forall K\in\Gamma_{h}\Big\}, $

其中, $[\varphi_{h}] $表示跨过单元边界$ F $的跳跃值, 当$ F\subset\partial\Omega $时, $\int_{F}\varphi_{h}{\rm d}s=0$.容易验证$\|\cdot\|_{1, h} =\big(\sum\limits_{K\in\Gamma_{h}}|\cdot|_{1, K}^{2}\big)^{1/2} $是$ M_{h} $上的模.

对于$ u\in H^1(\Omega)$, 设$ I_h:H^1(\Omega)\rightarrow M_{h} $为$ M_{h} $上诱导的插值算子, 满足: $I_h|_K=I_K$及

$ \int_{l_i}(u-I_{K}u){\rm d}s=0, \ i=1, 2, 3, 4, ~~~ \frac{1}{|K|}\int_{K}(u-I_{K}u){\rm d}x{\rm d}y=0. $

文献[19-20]证明了如下引理, 它们在后面的误差分析中其重要作用.

引理2.1  若$ u\in H_{0}^{1}(\Omega)\cap H^2(\Omega)$, 对$ \varphi_{h}\in M_{h}$, 则有

$ \begin{equation} (\nabla (u-I_{h}u), \nabla\varphi_{h})_{h}=0 , \end{equation} $

(2.1)

$ \begin{equation} \sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\varphi_{h}{\rm d}s\leq Ch|u|_2\|\varphi_{h}\|_{1, h}, \end{equation} $

(2.2)

进一步地, 若$ u\in H^{3}(\Omega)$, 可得

$ \begin{eqnarray} \sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\varphi_{h}{\rm d}s\leq Ch^2|u|_3\|\varphi_{h}\|_{1, h}, \end{eqnarray} $

(2.3)

其中$ (\star, \star)_{h}=\sum\limits_{K\in\Gamma_h}(\star, \star)_{K}$, $(\star, \star)_{K} $表示$K$上的$ L^{2} $内积.

引入中间变量$ v=-\Delta u$, 则问题$ (1.1) $等价于下面问题

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}-\gamma\Delta v+v+f(u)=0,&(X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ v+\Delta u=0,&(X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ u(X, t) = v(X, t)=0,&(X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, T]}, \\ u(X, 0) = u_{0}, &X\in {\Omega}.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

(2.4)

问题(2.4)的变分问题为:求$\{u, v\}:[0, T]\rightarrow H^1_0(\Omega)\times H^1_0(\Omega)$, 使得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (u_{t}, \varphi)+\gamma(\nabla v, \nabla\varphi)+(v, \varphi)+(f(u), \varphi)=0,&\forall \varphi\in H^1_0(\Omega), \\ (v, \chi)-(\nabla u, \nabla\chi)=0,&\forall\chi\in H_{0}^{1}(\Omega). \end{array} \right. \end{equation} $

(2.5)

相应的混合有限元逼近为:求$ \{u_{h}, v_{h}\}:[0, T]\rightarrow M_h\times M_h$, 使得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (u_{ht}, \varphi_{h})+\gamma(\nabla v_{h}, \nabla\varphi_{h})_{h}+(v_{h}, \varphi_{h})+(f(u_{h}), \varphi_{h})=0,&\forall \varphi_{h}\in M_{h}, \\ (v_{h}, \chi_{h})-(\nabla u_{h}, \nabla\chi_{h})_{h}=0,&\forall\chi_{h}\in M_{h}, \\ u_{h}(0)=I_hu_{0}, ~~~ v_{h}(0)=I_h(-\Delta u_{0}).\\ \end{array} \right. \end{equation} $

(2.6)

定理2.1  设$\{u_{h}, v_{h}\}$为问题(2.6)的解, 则存在常数$ C>0 $使得, $p=2k, k\in \textrm{N}^{+}$时有

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|v_{h}\|_{0}+\|u_{h}\|_{0, p}+\|u_{h}\|_{1, h}\leq C(\gamma^{\frac{1}{2}}, \|v_{h}(0)\|_{0}, \|u_{h}(0)\|_{1, h}), \end{equation} $

(2.7)

这里$C(\gamma^{\frac{1}{2}}, \|v_{h}(0)\|_{0}, \|u_{h}(0)\|_{1, h})$表示依赖$\gamma, \|v_{h}(0)\|_{0}, \|u_{h}(0)\|_{1, h}$的常数.

证  定义李雅普诺夫泛函$ L(\phi) $如下

$ \begin{equation} L(\phi)=\frac{1}{2}(\nabla \phi, \nabla \phi)_{h}+(F(\phi), 1), \end{equation} $

(2.8)

这里$ F(\phi)=\frac{1}{4}(1-\phi^{2})^{2}\geq 0 $是$ f(\phi) $的一个原函数.类似于文献[18]中定理2.1的分析可得

$ \frac{\gamma}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|v_{h}\|_{0}^{2}+\frac{\rm d}{{\rm d}t}L(u_{h})=-\|u_{ht}\|_{0}^{2}\leq 0. $

对上式从$ 0 $到$ t $积分并注意到$ \|u_{h}\|_{0, 2k}\leq C\|u_{h}\|_{1, h}, (k=1, 2, \cdot\cdot\cdot)$ (见文献[21])得

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|v_{h}\|_{0}+\|u_{h}\|_{0, p}+\|u_{h}\|_{1, h} \leq C(\gamma^{\frac{1}{2}}, \|v_{h}(0)\|_{0}, \|u_{h}(0)\|_{1, h}). \end{equation} $

(2.9)

定理得证.

注2.1  由于$ f(\cdot) $是局部Lipschitz连续的, 由常微分方程解的理论知问题(2.6)存在局部唯一解, 即存在$ 0 < t^{*}\leq T$, 使得$ u_{h}(t), v_{h}(t)\in[0, t^{*})\subseteq[0, T]$, 由于无法直接得到$ \|u_{h}\|_{0, \infty} $的有界性, 故离散问题解的整体存在唯一性和非线性项的处理需要寻找新的方法, 我们将在定理3.1中通过采用新的途径解决了这些问题.

下面, 将在半离散格式下先给出混合元解的最优误差估计, 同时将证明逼近格式(2.6)在$[0, T]$上存在唯一解, 然后给出超逼近结果.

定理3.1  设问题(2.4)的解满足$ u, u_{t}\in H^4(\Omega), u_{tt}\in H^1(\Omega)$, 则存在充分小的$ h_{0}$, 使得$ h\in(0, h_{0}] $时, 问题(2.6)的解$ \{u_{h}, v_{h}\} $在$ [0, T] $上存在且唯一, 且满足如下最优误差估计

$ \begin{equation} \|u-u_{h}\|_{1, h}\leq Ch\left[\|u\|_{3}^{2}+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_3){\rm d}s\right]^{1/2}, \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|v-v_{h}\|_{1, h}\leq Ch\left[\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_1+ \int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_4+\|u_{tt}\|_{1}^{2}){\rm d}s\right]^{1/2}. \end{equation} $

(3.2)

证  记$ u-u_h=(u-I_hu)+(I_hu-u_h)\triangleq\eta+\xi, v-v_h=(v-I_hv)+(I_hv-v_h)\triangleq\delta+\lambda.$根据注2.1可知, 存在解的最大存在区间$[0, t^{*})\subset[0, T]$使得$ t\in[0, t^{*}), u_{h}(t)$存在唯一.这里, 要么$t^{*}=T$, 要么$t^{*} < T$且$\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}}|u_{h}(t)|=+\infty$, 下面我们将证明对于足够小的$h$, $ t^{*}=T$.由问题(2.4)和(2.6)可得下面的误差方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (\xi_{t}, \varphi_{h})+\gamma(\nabla\lambda, \nabla\varphi_{h})_{h}+(\lambda, \varphi_{h})=-(\eta_{t}, \varphi_{h})-\gamma(\nabla\delta, \nabla\varphi_{h})_{h}\\ -(\delta, \varphi_{h}) -(f(u)-f(u_{h}), \varphi_{h})+\gamma\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}\varphi_{h}{\rm d}s, \\[4mm] (\lambda, \chi_{h})-(\nabla\xi, \nabla\chi_{h})_{h}=-(\delta, \chi_{h})+(\nabla\eta, \nabla\chi_{h})_{h} -\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\chi_{h}{\rm d}s. \end{array} \right. \end{equation} $

(3.3)

一方面, 在$ (3.3) $式中分别取$ \varphi_{h}=\lambda, \chi_{h}=\xi_{t}$, 两式相减可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\xi\|_{0}^{2}+\gamma\|\nabla\lambda\|_{0}^{2}+\|\lambda\|_{0}^{2} \\ &=&-(\eta_{t}, \lambda)-\gamma(\nabla\delta, \nabla\lambda)_{h}-(\delta, \lambda)-(f(u)-f(u_{h}), \lambda) \\ &&+\gamma\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}\lambda {\rm d}s +(\delta, \xi_{t})-(\nabla\eta, \nabla\xi_{t})_{h} +\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\xi_{t}{\rm d}s \\ &\triangleq&\sum\limits_{i=1}^{8}A_{i}, t\in(0, t^{*}). \end{eqnarray} $

(3.4)

根据Cauchy-Schwarz不等式, 插值理论及(2.1)式得

$ A_{1}+A_{3}\leq C(\|\eta_{t}\|_{0}+\|\delta\|_{0})\|\lambda\|_{0} \leq Ch^{2}(\|u_{t}\|_{1}^{2}+\|v\|_{1}^{2})+\frac{1}{2}\|\lambda\|_{0}^{2}, $

$ A_{2}=A_{7}=0, A_{6}=-(\delta_{t}, \xi)+\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\delta, \xi) \leq Ch^{2}\|v_{t}\|_{1}^{2}+C\|\xi\|_{0}^{2}+\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\delta, \xi). $

根据(2.7)式及Sobolev嵌入定理, 可得

$ \begin{eqnarray*} A_{4}&\leq& C\|u-u_{h}\|_{0, 4}(\|u\|_{0, 8}^{2}+\|u\|_{0, 8}\|u_{h}\|_{0, 8}+\|u_{h}\|_{0, 8}^{2})\|\lambda\|_{0} +C\|u-u_{h}\|_{0}\|\lambda\|_{0}\\ &\leq& C\|u-u_{h}\|_{0, 4}\|\lambda\|_{0}+C\|u-u_{h}\|_{0}\|\lambda\|_{0}\\ &\leq& Ch^{2}\|u\|_{2}^{2}+C\|\xi\|_{1, h}^{2}+\frac{1}{2}\|\lambda\|_{0}^{2}. \end{eqnarray*} $

利用(2.2)式可得

$ A_{5}+A_{8}\leq Ch^{2}(\|u_{t}\|_{2}^{2}+\|v\|_{2}^{2})+C\|\xi\|_{1, h}^{2}+\gamma\|\lambda\|_{1, h}^{2}+\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\xi {\rm d}s. $

将上述关于$ A_i\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 8) $的估计代入(3.4)式, 然后两端都乘以$ 2$, 再从$ 0 $到$ t $积分, 并注意到$ \xi(0)=0 $以及$\|\xi\|_{0}\leq C\|\xi\|_{1, h}$ (见文献[21]), 则有

$ \begin{eqnarray} \|\xi\|^2_{1, h}&\leq& Ch^2\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_3){\rm d}s +C\int_{0}^{t}(\|\xi\|_{0}^{2}+\|\xi\|_{1, h}^{2}){\rm d}s+(\delta, \xi)+\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\xi{\rm d}s\\ &\leq& Ch^2\left[\|u\|^2_3+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_3){\rm d}s\right] +C\int_{0}^{t}\|\xi\|_{1, h}^{2}{\rm d}s+\frac{1}{2}\|\xi\|^2_{1, h}. \end{eqnarray} $

(3.5)

对上式利用Gronwall不等式得

$ \|\xi\|_{1, h}^{2}\leq Ch^2\left[\|u\|_{3}^{2}+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_4){\rm d}s\right], \ \forall t\in(0, t^{*}), $

从而存在足够小的$ h_{0} $使得当$ h\in (0, h_{0}]$时, 有$ \|\xi\|_{0}\leq Ch^{2} < 1, t\in(0, t^{*})$.下面我们证明$ t^{*}=T$.为此, 假设$ t^{*} < T$使得$\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}}|u_{h}(t)|=+\infty$, 但另一方面, 利用三角不等式及逆估计可得

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow t^{*}}|u_{h}(t)|_{0, \infty} &\leq&\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}}(\|\xi\|_{0, \infty}+\|I_{h}u-u\|_{0, \infty}+\|u\|_{0, \infty}) \\ &\leq&\lim\limits_{t\rightarrow t^{*}}(Ch^{-1}h^{2}+Ch^{2}\|u\|_{2, \infty}+\|u\|_{0, \infty})\leq {\rm const.} \end{eqnarray*} $

从而必须有$ t^{*}=T$, 这表明问题(2.6)的解在$[0, T]$上存在唯一.从而, 对任何$ h\in(0, h_{0}] $有

$ \begin{eqnarray} \|\xi\|_{1, h}\leq Ch\left[\|u\|_{3}^{2}+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_3){\rm d}s\right]^{1/2}, ~~~ t\in[0, T]. \end{eqnarray} $

(3.6)

另一方面, 在方程(3.3)第1式中取$ \varphi_h=\lambda_{t}$, 同时对方程(3.3)第2式先对$ t $求导数, 然后取$ \chi_{h}=\xi_{t}$, 最后两式相减可得

$ \begin{eqnarray} &&\|\nabla\xi_{t}\|_{0}^{2}+\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\gamma\|\nabla\lambda\|_{0}^{2}+\|\lambda\|_{0}^{2}) \\ &=&-(\eta_{t}, \lambda_{t})-\gamma(\nabla\delta, \nabla\lambda_{t})_{h}-(\delta, \lambda_{t})-(f(u)-f(u_{h}), \lambda_{t}) \\ && +\gamma\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}\lambda_{t}{\rm d}s +(\delta_{t}, \xi_{t})-(\nabla\eta_{t}, \nabla\xi_{t})_{h} +\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u_{t}}{\partial \vec{n}}\xi_{t}{\rm d}s \\ &\triangleq&\sum\limits_{i=1}^{8}B_{i}. \end{eqnarray} $

(3.7)

分别类似于$A_{6}$, $A_{2}$和$A_{7}$及$A_{5}$的估计, 则有

$ B_{1}+B_{3} \leq Ch^{2}(\|u_{tt}\|_{1}^{2}+\|v_{t}\|_{1}^{2})+C\|\lambda\|_{0}^{2} -\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{(\eta_{t}, \lambda)+(\delta, \lambda)\}, $

$ B_{2}=B_{7}=0, B_{6}+B_{8}\leq Ch^{2}(\|u_{t}\|_{2}^{2}+\|v_{t}\|_{1}^{2})+\frac{1}{2}\|\xi_{t}\|_{1, h}^{2}, $

$ B_{5}\leq Ch^{2}\|v_{t}\|_{2}^{2}+C\gamma\|\lambda\|_{1, h}^{2}+\gamma\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}\lambda {\rm d}s. $

类似于$ A_{4} $的估计可得

$ \begin{eqnarray*} B_{4}&=&-\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(f(u)-f(u_{h}), \lambda)] +(f'(u)u_{t}-f'(u_{h})u_{ht}, \lambda)\\ &\leq& Ch^{2}(\|u\|_{2}^{2}+\|u_{t}\|_{2}^{2}) +\frac{1}{2}\|\xi_{t}\|_{1, h}^{2} +C(\|\xi\|_{1, h}^{2}+\|\lambda\|_{0}^{2}) -\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(f(u)-f(u_{h}), \lambda)]. \end{eqnarray*} $

将上述关于$ B_i\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 8) $的估计代入(3.7)式, 两端都乘以$ 2$, 然后从$ 0 $到$ t $积分, 并注意到$ \lambda(0)=0$, 以及$ \forall \varphi\in L^{2}, \int_{0}^{t}\int_{0}^{s}\varphi^{2} (\tau){\rm d}\tau{\rm d}s\leq C\int_{0}^{t}\varphi^{2}(\tau){\rm d}s $ (见文献[22])和(3.6)式可得

$ \begin{eqnarray*} \gamma\|\lambda\|^2_{1, h}+\|\lambda\|^2_{0} &\leq& Ch^2\Big[\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_1+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_4+\|u_{tt}\|^2_1){\rm d}s\Big] \\ &&+C\int_{0}^{t}(\gamma\|\lambda\|_{1, h}^{2}+\|\lambda\|^2_{0}){\rm d}s +\frac{1}{2}\|\lambda\|_{0}^{2}+\frac{\gamma}{2}\|\lambda\|_{1, h}^{2}. \end{eqnarray*} $

利用Gronwall不等式得

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|\lambda\|_{1, h}\leq Ch\Big[\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_1+ \int_{0}^{t}(\|u\|^2_4+\|u_{t}\|^2_4+\|u_{tt}\|^2_1){\rm d}s\Big]^{\frac{1}{2}}. \end{equation} $

(3.8)

利用三角不等式, (3.6)式和(3.8)式, 分别可以得到(3.1)式和(3.2)式.定理3.1得证.

注3.1  文献[18]利用协调的线性三角形元对中间变量$ v $仅得到了$ L^{2}$ -模意义下的最优误差估计, 而如果采用本文的分析方法则可以进一步导出$ v $在$ H^{1}$ -模意义下的最优误差估计.另一方面, 由于文献[18]中的分析技巧对非协调元是失效的, 因此定理3.1的结果确实丰富并改善了文献[18]的结果.

下面我们将证明, 若进一步提高解的光滑度, 则可以得到文献[18]中没有涉及的超逼近结果.

定理3.2  设$ \{u, v\} $和$ \{u_{h}, v_{h}\} $分别是方程(2.4)和(2.6)的解, 若$ u, u_{t}\in H^5(\Omega), u_{tt}\in H^2(\Omega)$, 则有如下超逼近结果

$ \begin{equation} \|I_{h}u-u_{h}\|_{1, h}\leq Ch^2\Big[\|u\|_{4}^{2}+\int_{0}^{t}(\|u\|_{5}^{2}+\|u_{t}\|_{4}^{2}){\rm d}s\Big]^{1/2}, \end{equation} $

(3.9)

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|I_{h}v-v_{h}\|_{1, h}\leq Ch^2 \Big[\|u\|^2_5+\|u_{t}\|^2_2+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_5+\|u_{t}\|^2_5+\|u_{tt}\|^2_2){\rm d}s\Big]^{1/2}. \end{equation} $

(3.10)

证  一方面, 为了得到原始变量$ u $的超逼近结果, 我们对(3.4)式右端各项重新进行估计.容易验证

$ A_{1}+A_{3}+A_{6}\leq Ch^{4}(\|u_{t}\|_{2}^{2}+\|v\|_{2}^{2}+\|v_{t}\|_{2}^{2})+\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\delta, \xi)+C\|\xi\|_{0}^{2}+\frac{1}{2}\|\lambda\|_{0}^{2}, $

$ A_{4} \leq Ch^{4}\|u\|_{3}^{2}+C\|\xi\|_{1, h}^{2}+\frac{1}{2}\|\lambda\|_{0}^{2}. $

分别利用(2.1)和(2.3)式得

$ A_{2}=A_{7}=0, $

$ A_{5}+A_{8}\leq Ch^{4}(\|u_{t}\|_{3}^{2}+\|v\|_{3}^{2})+C\|\xi\|_{1, h}^{2}+\frac{\rm d}{{\rm d}t} \sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial\vec{n}}\xi {\rm d}s+\frac{\gamma}{2}\|\lambda\|_{1, h}^{2}. $

将上述关于$ A_i\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 8) $的估计代入(3.4)式, 类似(3.5)-(3.6)式的分析过程, 则有

$ \begin{equation} \|\xi\|_{1, h}\leq Ch^2\Big[\|u\|_{4}^{2}+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_5+\|u_{t}\|^2_4){\rm d}s\Big]^{1/2}. \end{equation} $

(3.11)

另一方面, 为了得到中间变量$ v $的超逼近结果, 我们对(3.7)式右端各项重新进行估计如下

$ B_{1}+B_{3}+B_{6} \leq Ch^{4}(\|u_{tt}\|_{2}^{2}+\|v_{t}\|_{2}^{2})+C\|\lambda\|_{0}^{2}+\frac{1}{3}\|\xi_{t}\|_{1, h}^{2} -\frac{\rm d}{{\rm d}t}\{(\eta_{t}, \lambda)+(\delta, \lambda)\}, $

$ B_{2}=B_{7}=0, $

$ \begin{eqnarray*} B_{4}&=&-\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(f(u)-f(u_{h}), \lambda)]+(f'(u)u_{t}-f'(u_{h})u_{ht}, \lambda) \\ &\leq &Ch^{4}(\|u\|_{3}^{2}+\|u_{t}\|_{3}^{2}) +\frac{1}{3}\|\xi_{t}\|_{1, h}^{2} +C(\|\xi\|_{1, h}^{2}+\|\lambda\|_{0}^{2})-\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(f(u)-f(u_{h}), \lambda)], \end{eqnarray*} $

$ B_{5}+B_{8}\leq Ch^{4}(\|u_{t}\|_{3}^{2}+\|v_{t}\|_{3}^{2})+ \gamma\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v}{\partial \vec{n}}\lambda{\rm d}s +C\gamma\|\lambda\|_{1, h}^{2}+\frac{1}{3}\|\xi_{t}\|_{1, h}^{2}. $

将上述关于$ B_i\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 8) $的估计代入(3.7)式并注意到$ \lambda(0)=0$, 类似于(3.8)式的分析得

$ \begin{equation} \gamma^{\frac{1}{2}}\|\lambda\|_{1, h}\leq Ch^2\Big[\|u\|^2_5+\|u_{t}\|^2_2+\int_{0}^{t}(\|u\|^2_5+\|u_{t}\|^2_5+\|u_{tt}\|^2_2){\rm d}s\Big]^{1/2}. \end{equation} $

(3.12)

综合(3.11)和(3.12)式, 定理3.2得证.

在这一节, 我们将对问题(1.1)建立一个线性化向后Euler全离散格式, 并进行误差分析.

任意给定正整数$ N$, 设$ t_n=n\tau, n=0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot, N $是$ [0, T] $上步长为$ \tau=T/N $的剖分, $U^n $表示$ t=t_n $时$ u(t_n) $在$ M_{h} $中的逼近.对任意给定$[0, T]$上的连续函数$ \psi$, 记$\psi^{n}=\psi(t_n) $以及$ \bar{\partial}_{t}\psi^{n}=\frac{1}{\tau}(\psi^{n}-\psi^{n-1}).$

取$t=t_n$, 问题(2.5)的等价于

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (\bar{\partial}_tu^n, \varphi)+\gamma(\nabla v^{n}, \nabla\varphi)+(v^{n}, \varphi)+(f(u^{n}), \varphi)=(R^n_{1}, \varphi),&\forall \varphi\in H^1_0(\Omega), \\ (v^n, \chi)-(\nabla u^n, \nabla\chi)=0,&\forall \chi\in H^1_0(\Omega), \\ u(X, 0) = u_{0}& X\in {\Omega}, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.1)

其中, $R^n_{1}=\bar{\partial}_tu^n-u_t^n=\frac{1}{\tau}\int^{t_n}_{t_{n-1}}(t_{n-1}-s)u_{tt}(s){\rm d}s.$

定义问题(4.1)的全离散逼近格式:求$ \{U^{n}, V^{n}\}\in M_{h}\times M_{h}$, 使得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (\bar{\partial}_{t}U^{n}, \varphi_{h})+\gamma(\nabla V^{n}, \nabla\varphi_{h})_{h} +(V^{n}, \varphi_{h}) +(f(U^{n-1}), \varphi_{h})=0, &\forall\varphi_{h}\in M_{h}, \\ (V^n, \chi_{h})-(\nabla U^n, \nabla\chi_{h})_{h}=0, &\forall\chi_{h}\in M_{h}, \\ U^{0} = I_{h}u_{0}. \end{array} \right. \end{equation} $

(4.2)

定理4.1  问题$ (4.2) $存在唯一的稳定解, 即

$ \begin{equation} \|\nabla U^n\|_{0}^{2}+\gamma\|V^n\|_{0}^{2}\leq\|\nabla U^0\|_{0}^{2}+\gamma\|V^0\|_{0}^{2} +C\tau\sum\limits_{i=1}^{n}\|f(U^{i-1})\|_{0}^{2}, 1\leq n\leq N. \end{equation} $

(4.3)

证  对于给定的初值$ U^{0}$, 通过系统(4.2)第2式可求出$ V^{0}$.进而通过对线性系统(4.2)层层迭代, 可得$ \{U^{n}, V^{n}\}(1\leq n\leq N)$, 由此可知问题(4.2)的解存在且唯一.下面进行稳定性分析.为此, 在系统(4.2)中分别取$ \varphi_{h}=\bar{\partial}_{t}U^{n}, \chi_{h}=\bar{\partial}_{t}U^{n}$, 然后两式相减可得

$ \begin{equation} \|\bar{\partial}_{t}U^{n}\|_{0}^{2}+\gamma(\nabla V^{n}, \nabla\bar{\partial}_{t}U^{n})_{h}+(\nabla U^n, \nabla \bar{\partial}_{t}U^{n})_{h}=-(f(U^{n-1}), \bar{\partial}_{t}U^{n}). \end{equation} $

(4.4)

另一方面, 根据系统(4.2)第2式可得

$ \begin{equation} (\bar{\partial}_{t}V^n, \chi_{h})=(\nabla \bar{\partial}_{t}U^n, \nabla\chi_{h})_{h}. \end{equation} $

(4.5)

取$ \chi_{h}=V^{n}$, 并将其代入(4.4)式, 则有

$ \begin{eqnarray} &&\|\bar{\partial}_{t}U^{n}\|_{0}^{2}+\frac{\gamma}{2\tau}(\|V^{n}\|_{0}^{2}-\|V^{n-1}\|_{0}^{2})+\frac{1}{2\tau}(\|\nabla U^{n}\|_{0}^{2}-\|\nabla U^{n-1}\|_{0}^{2})\\ &\leq&-(f(U^{n-1}), \bar{\partial}_{t}U^{n}) \leq C\|f(U^{n-1})\|_{0}^{2}+\|\bar{\partial}_{t}U^{n}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray} $

(4.6)

对上式两端求和可得

$ \begin{equation} \|\nabla U^n\|_{0}^{2}+\gamma\|V^n\|_{0}^{2}\leq\|\nabla U^0\|_{0}^{2}+\gamma\|V^0\|_{0}^{2} +C\tau\sum\limits_{i=1}^{n}\|f(U^{i-1})\|_{0}^{2}. \end{equation} $

(4.7)

定理得证.

下面, 将给出全离散格式下混合元解的最优误差估计, 然后给出超逼近结果.为此, 记

$ u^{n}-U^{n}=(u^{n}-I_{h}u^{n})+(I_{h}u^{n}-U^{n})\triangleq\eta^{n}+\xi^{n}, $

$ v^{n}-V^{n}=(v^{n}-I_hv^{n})+(I_hv^{n}-V^{n})\triangleq \delta^{n}+\lambda^{n}. $

定理4.2  设$ \{u^{n}, v^{n}\} $和$ \{U^{n}, V^{n}\} $分别是问题$ (4.1) $和$ (4.2) $的解, 当$ u, u_{t}\in{L^{\infty}}(0, T;$ $H^{4}(\Omega))\cap L^{2}(0, T;H^{4}(\Omega))$, $u_{tt}, u_{ttt}\in {L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}$, $\tau=O(h^{2}) $时, 有如下最优误差估计

$ \begin{equation} \|u^{J}-U^{J}\|_{1, h}+\gamma^{\frac{1}{2}}\|v^{J}-V^{J}\|_{1, h}=O (h+\tau), 1\leq J\leq N. \end{equation} $

(4.8)

证  由$ (4.1) $和$ (4.2)$式, 可得误差方程

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (\bar{\partial}_{t}\xi^{n}, \varphi_{h})+\gamma(\nabla\lambda^{n}, \nabla \varphi_{h})_{h}+(\lambda^{n}, \varphi_{h})= -(\bar{\partial}_{t}\eta^{n}, \varphi_{h})-\gamma(\nabla\delta^{n}, \nabla\varphi_{h})_{h} \\ -(\delta^{n}, \varphi_{h}) -(f(u^{n})-f(U^{n-1}), \varphi_{h})+\gamma\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v^{n}}{\partial \vec{n}}\varphi_{h}{\rm d}s +(R_{1}^{n}, \varphi_{h}), \\[4mm] (\lambda^{n}, \chi_{h})-(\nabla\xi^{n}, \nabla\chi_{h})_{h} =-(\delta^{n}, \chi_{h})+(\nabla\eta^{n}, \nabla\chi_{h})_{h}-\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u^{n}}{\partial \vec{n}}\chi_{h}{\rm d}s.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

(4.9)

一方面, 在(4.9)式中分别取$ \varphi_{h}=\lambda^{n}$, $\chi_{h}=\bar{\partial}_{t}\xi^{n}$, 然后两式相减可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2\tau}(\|\nabla\xi^{n}\|_{0}^{2}-\|\nabla\xi^{n-1}\|_{0}^{2}+\|\nabla\xi^{n}-\nabla\xi^{n-1}\|_{0}^{2}) +\gamma\|\nabla\lambda^{n}\|_{0}^{2}+\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}\\ &=&-(\bar{\partial}_{t}\eta^{n}, \lambda^{n}) -\gamma(\nabla\delta^{n}, \nabla\lambda^{n})_{h}-(\delta^{n}, \lambda^{n}) -(f(u^{n})-f(U^{n-1}), \lambda^{n})\\ &&+\gamma\sum\limits_{K}\int_{\partial K} \frac{\partial v^{n}}{\partial \vec{n}}\lambda^{n}{\rm d}s+ (R_{1}^{n}, \lambda^{n}) +(\delta^{n}, \bar{\partial}_{t}\xi^{n})-(\nabla\eta^{n}, \nabla\bar{\partial}_{t}\xi^{n})_{h}+\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u^{n}}{\partial \vec{n}}\bar{\partial}_{t}\xi^{n}{\rm d}s \\ &\triangleq& \sum\limits_{i=1}^{9}D_{i}. \end{eqnarray} $

(4.10)

根据Cauchy-Schwarz不等式得

$ \begin{eqnarray*} D_{1}+D_3+D_{6}&\leq& C(\|\bar{\partial}_{t}\eta^{n}\|_{0}+\|\delta^{n}\|_{0}+\|R_{1}^{n}\|_{0})\|\lambda^{n}\|_{0}\\ &\leq&\frac{Ch^{2}}{\tau}\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|u_{t}\|_{1}^{2}{\rm d}s +Ch^{2}\|v\|_{L^{\infty}(0, T;H^{1}(\Omega))}^{2}\\ &&+C\tau^{2}\|u_{tt}\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2} +\frac{2}{3}\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray*} $

分别利用(2.1)及(2.2)式, 可得

$ D_{2}=D_{8}=0, D_{5}\leq Ch^{2}\|v^{n}\|_{2}^{2} +\gamma\|\lambda^{n}\|_{1, h}^{2}. $

为了估计$ D_{4}$, 需要下面的后验假设, 类似于文献[23]中定理5的证明易知这一假设是合理性的.

假设1  设存在$ 0<\hat{h}_{0}<1$, 对任意的$ 0<h\leq \hat{h}_{0}$, 成立

$ \|u^{n}-U^{n}\|_{0, \infty}\leq1, 0<n\leq N. $

利用假设1和Sobolev嵌入定理, 则$ D_{4} $可估计为

$ \begin{eqnarray*} |D_{4}| &\leq& C\|u^{n}-U^{n-1}\|_{0}\|(u^{n})^{2}+u^{n}U^{n-1}+(U^{n-1})^{2}\|_{0, \infty}\|\lambda\|_{0} +\|u^{n}-U^{n-1}\|_{0}\|\lambda\|_{0}\\ &\leq&C(\|\eta^{n-1}\|_{0}^{2}+\|\xi^{n-1}\|_{0}^{2}+\tau^{2}\|\bar{\partial}_{t}u^{n}\|_{0}^{2}) +\frac{1}{3}\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}\\ &\leq& Ch^{2}\|u^{n-1}\|_{1}^{2}+C\|\xi^{n-1}\|_{0}^{2}+\tau^{2}\|\bar{\partial}_{t}u^{n}\|_{0}^{2} +\frac{1}{3}\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray*} $

利用$ (\delta^{n}, \bar{\partial}_{t}\xi^{n})=\bar{\partial}_{t}(\delta^{n}, \xi^{n})-(\bar{\partial}_{t}\delta^{n}, \xi^{n-1})$, 则有

$ D_{7} \leq \bar{\partial}_{t}(\delta^{n}, \xi^{n}) +\frac{Ch^{2}}{\tau}\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|v_{t}\|_{1}^{2}{\rm d}s +C\|\xi^{n-1}\|_{0}^{2}, $

$ D_{9}\leq \bar{\partial}_{t} \bigg(\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\nabla u^{n}\cdot\vec{n}\xi^{n}{\rm d}s\bigg) +\frac{Ch^{2}}{\tau}\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|u_{t}\|_{2}^{2}{\rm d}s+C\|\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}. $

将上述对$ D_{i}\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 9) $的估计代入到$ (4.10) $式中去, 两端都乘以$ 2\tau$, 然后从$ 1 $到$ J(J\leq N) $求和, 再利用离散的Gronwall不等式可得

$ \begin{eqnarray} \|\xi^{J}\|_{1, h}\leq C(h+\tau), 1\leq J\leq N. \end{eqnarray} $

(4.11)

另一方面, 根据方程(4.9)第2式可得

$ \begin{equation} (\bar{\partial}_{t}\lambda^{n}, \chi_{h})-(\nabla\bar{\partial}_{t}\xi^{n}, \nabla\chi_{h})_{h} =-(\bar{\partial}_{t}\delta^{n}, \chi_{h})+(\nabla\bar{\partial}_{t}\eta^{n}, \nabla\chi_{h})_{h} -\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial(\bar{\partial}_{t}u^{n})}{\partial \vec{n}}\chi_{h}{\rm d}s. \end{equation} $

(4.12)

在方程(4.9)第1式中取$ \varphi_{h}=\bar{\partial}_{t}\lambda^{n}$, 同时在(4.12)式中取$\chi_{h}=\bar{\partial}_{t}\xi^{n}$, 然后两式相减, 再两端都乘以$ 2\tau $后对$ n $从$ 1 $到$ J $求和得

$ \begin{eqnarray} &&2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\nabla\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{0}^{2} +\gamma\|\nabla\lambda^{J}\|_{0}^{2}+\|\lambda^{J}\|_{0}^{2} \\ &\leq&-2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\bar{\partial}_{t}\eta^{n}, \bar{\partial}_{t}\lambda^{n}) -\gamma2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\nabla\delta^{n}, \nabla\bar{\partial}_{t}\lambda^{n})_{h} -2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\delta^{n}, \bar{\partial}_{t}\lambda^{n}) \\ &&-2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(f(u^{n})-f(U^{n-1}), \bar{\partial}_{t}\lambda^{n}) +2\tau\gamma\sum\limits_{n=1}^{J}\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial v^{n}}{\partial \vec{n}}\bar{\partial}_{t}\lambda^{n}{\rm d}s \\ &&+2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(R_{1}^{n}, \bar{\partial}_{t}\lambda^{n}) +2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\bar{\partial}_{t}\delta^{n}, \bar{\partial}_{t}\xi^{n}) -2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\nabla\bar{\partial}_{t}\eta^{n}, \nabla\bar{\partial}_{t}\xi^{n})_{h}\\ &&+2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial(\bar{\partial}_{t}u^{n})}{\partial \vec{n}}\bar{\partial}_{t}\xi^{n}{\rm d}s \\ & \triangleq&\sum\limits_{i=1}^{9}E_{i}. \end{eqnarray} $

(4.13)

容易验证

$ E_{1}+E_{3}\leq Ch^{2}+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}+\frac{1}{6}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}, $

$ E_{2}=E_{8}=0, E_{7}+E_{9} \leq Ch^{2}+\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{1, h}^{2}. $

利用Taylor展开定理, 可得

$ \|R_{1}^{n}\|_{0}^{2}\leq\tau\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|u_{tt}\|_{0}^{2}{\rm d}s\leq\tau^{2}\|u_{tt}\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}, $

$ \|\bar{\partial}_{t}R_{1}^{n}\|_{0}^{2} =\bigg\|\frac{u^{n}-2u^{n-1}+u^{n-2}}{\tau^{2}}-\frac{u_{t}^{n}-u_{t}^{n-1}}{\tau} \bigg\|_{0}^{2}\leq C\tau^{2}\|u_{ttt}\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2}. $

从而有

$ E_{6}=2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\{\bar{\partial}_{t}(R_{1}^{n}, \lambda^{n}) -(\bar{\partial}_{t}R_{1}^{n}, \lambda^{n-1})\} \leq C\tau^{2}+\frac{1}{6}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}. $

利用(2.2)式, 类似于$ D_{9} $的估计可得

$ E_{5}\leq Ch^{2}(\|v\|_{L^{\infty}(0, T;H^{2}(\Omega))}^{2}+\|v_{t}\|_{L^{2}(0, T;H^{2}(\Omega))}^{2}) +C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\gamma\|\lambda^{n-1}\|_{1, h}^{2}+\frac{\gamma}{2}\|\lambda^{J}\|_{1, h}^{2}. $

下面, 我们来估计$ E_{4} $这一项, 为了得到中间变量$ v $的能量模意义下的最优误差估计, 仅采用文献[7, 16, 18]中的估计技巧是行不通的, 为此我们采用文献[24-25]的分裂技术, 则有

$ \begin{eqnarray*} E_{4} &=&2\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\bigg\{(f(u^{n})-f(u^{n-1}), \bar{\partial}_{t}\lambda^{n}) \\ &&+\frac{(f(u^{n-1})-f(U^{n-1}), \lambda^{n}) -(f(u^{n-2})-f(U^{n-2}), \lambda^{n-1})}{\tau}\\ &&-\bigg(\frac{f(u^{n-1})-f(U^{n-1})-(f(u^{n-2})-f(U^{n-2}))}{\tau}, \lambda^{n-1}\bigg)\bigg\}\\ &\triangleq &E_{41}+E_{42}-E_{43}. \end{eqnarray*} $

利用Taylor展开定理, 容易验证

$ E_{41}\leq C\tau^{2}+\frac{1}{12}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}, $

$ E_{42}=2(f(u^{J-1})-f(U^{J-1}), \lambda^{J}) \leq C(h^{2}+\tau^{2})+\frac{1}{12}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}. $

下面来估计$ E_{43}$, 利用Tayler展开, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\left(\frac{f(u^{n-1})-f(U^{n-1})-(f(u^{n-2})-f(U^{n-2}))}{\tau}, \lambda^{n-1}\right)\\ &=&\left(\frac{1}{\tau}[f'(\beta_{1}^{n-1})(u^{n-1}-u^{n-2})-f'(\beta_{2}^{n-1})(U^{n-1}-U^{n-2})], \lambda^{n-1}\right)\\ &=&\left(f'(\beta_{1}^{n-1})\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-f'(\beta_{2}^{n-1})\bar{\partial}_{t}U^{n-1}, \lambda^{n-1}\right)\\ &=&((f'(\beta_{1}^{n-1})-f'(\beta_{2}^{n-1}))\bar{\partial}_{t}u^{n-1} +f'(\beta_{2}^{n-1})(\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1}), \lambda^{n-1})\\ &=&((f'(\beta_{1}^{n-1})-f'(\beta_{2}^{n-1}))\bar{\partial}_{t}u^{n-1}, \lambda^{n-1}) +(f'(\beta_{2}^{n-1})(\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1}), \lambda^{n-1})\\ &\triangleq &H_{1}+H_{2}, \end{eqnarray*} $

其中, $\beta_{1}^{n-1}=u^{n-2}+\beta_{1}(u^{n-1}-u^{n-2}), \beta_{2}^{n-1}=U^{n-2}+\beta_{2}(U^{n-1}-U^{n-2}), 0<\beta_{1}, \beta_{2}<1.$

对于$ H_{1}$, 利用假设1, Sobolev嵌入定理以及(4.11)式, 则有

$ \begin{eqnarray*} H_{1}&=&((f'(\beta_{1}^{n-1})-f'(\beta_{2}^{n-1}))\bar{\partial}_{t}u^{n-1}, \lambda^{n-1}) \\ & =&\left(3(\beta_{1}^{n-1}+\beta_{2}^{n-1})(\beta_{1}^{n-1}-\beta_{2}^{n-1})\bar{\partial}_{t}u^{n-1}, \lambda^{n-1}\right) \\ &=&\big(3\bar{\partial}_{t}u^{n-1}(\beta_{1}^{n-1}+\beta_{2}^{n-1})[(u^{n-2}-U^{n-2}) +\tau(\beta_{1}-\beta_{2})\bar{\partial}_{t}u^{n-1} \\ && +\beta_{2}\tau(\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1})], \lambda^{n-1}\big)\\ &\leq& C\|\bar{\partial}_{t}u^{n-1}(\beta_{1}^{n-1}+\beta_{2}^{n-1})\|_{0, \infty}(\|u^{n-2}-U^{n-2}\|_{0} \\ && +C\tau\|\bar{\partial}_{t}u^{n-1}\|_{0}+\tau\|\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1}\|_{0})\|\lambda^{n-1}\|_{0}\\ &\leq& C(h^{2}+\tau^{2})+\frac{1}{4}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}+C\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray*} $

对于$ H_{2} $, 利用假设1可得

$ \begin{eqnarray*} H_{2}&\leq& C\|f'(\beta_{2}^{n-1})\|_{0, \infty} \|\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1}\|_{0}\|\lambda^{n-1}\|_{0}\\ &\leq& Ch^{2}+\frac{1}{4}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}+C\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}. \end{eqnarray*} $

综合$ H_{1}, H_{2} $的估计可得

$ E_{43}\leq C(h^{2}+\tau^{2})+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2} +\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}. $

从而$ E_{4} $可估计为

$ E_{4}\leq C(h^{2}+\tau^{2})+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2} +\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{1, h}^{2}+\frac{1}{6}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}. $

将上述关于$ E_{i}\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 9) $的估计代入到(4.13)式可得

$ \begin{eqnarray*} \gamma\|\lambda^{J}\|_{1, h}^{2}+\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}\leq C(h^{2}+\tau^{2})+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\gamma\|\lambda^{n}\|_{1, h}^{2}+\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}). \end{eqnarray*} $

利用离散的Gronwall不等式得

$ \begin{eqnarray} \gamma^{\frac{1}{2}}\|\lambda^{J}\|_{1, h}\leq C(h+\tau ). \end{eqnarray} $

(4.14)

结合三角不等式, (4.11)式和(4.14)式, 可以得到(4.8)式.定理4.2得证.

下面我们将证明, 若进一步提高解的光滑度, 则可以得到文献[18]中没有涉及的超逼近结果.

定理4.3  设$ \{u^{n}, v^{n}\} $和$ \{U^{n}, V^{n}\} $分别是问题$ (4.1) $和$ (4.2) $的解, 当$ u, u_{t}\in L^{\infty}(0, T;$ $H^5(\Omega))\cap L^{2}(0, T;H^5(\Omega))$, $u_{tt}, u_{ttt}\in L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))$, $\tau=O(h^{2}) $时, 有如下超逼近结果

$ \begin{eqnarray} \|I_{h}u^{J}-U^{J}\|_{1, h}+\|I_{h}v^{J}-V^{J}\|_{1, h}=O (h^{2}+\tau), 1\leq J\leq N. \end{eqnarray} $

(4.15)

证  一方面, 为了得到全离散格式下原始变量$ u $的超逼近结果, 我们对(4.10)式右端各项重新进行估计.

$ \begin{eqnarray*} D_{1}+D_{3}+D_{6} &\leq &Ch^{4}\|u_{t}\|_{L^{\infty}(0, T;H^{2}(\Omega))}^{2}+Ch^{4}\|v\|_{L^{\infty}(0, T;H^{2}(\Omega))}^{2}\\ &&+C\tau^{2}\|v_{tt}\|_{L^{\infty}(0, T;L^{2}(\Omega))}^{2} +\frac{1}{2}\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}, \end{eqnarray*} $

$ D_{2}=D_{8}=0, |D_{4}|\leq Ch^{4}\|u^{n-1}\|_{2}^{2}+C\|\xi^{n-1}\|_{0}^{2}+\tau^{2}\|\bar{\partial}_{t}u^{n}\|_{0}^{2} +\frac{1}{2}\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}, $

$ D_{7}\leq\bar{\partial}_{t}(\delta^{n}, \xi^{n}) +\frac{Ch^{4}}{\tau}\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|v_{t}\|_{2}^{2}{\rm d}s +C\|\xi^{n-1}\|_{0}^{2}. $

利用(2.3)式, 可得

$ D_{5}\leq Ch^{4}\|v^{n}\|_{3}^{2}+\gamma\|\lambda^{n}\|_{1, h}^{2}, $

$ D_{9}\leq\bar{\partial}_{t} \bigg(\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\nabla u^{n}\cdot\vec{n}\xi^{n}{\rm d}s\bigg) +\frac{Ch^{4}}{\tau}\int_{t_{n-1}}^{t_{n}}\|u_{t}\|_{3}^{2}{\rm d}s+C\|\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}. $

将上述对$ D_{i}\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 9) $的估计代入到$ (4.10) $式中去, 类似于(4.11)式的分析过程, 可得

$ \begin{equation} \|\xi^{J}\|_{1, h}\leq C(h^{2}+\tau). \end{equation} $

(4.16)

另一方面, 为了得到全离散格式下中间变量$ v $的超逼近结果, 我们对(4.13)式右端各项重新进行估计.容易验证下列估计式

$ E_{1}+E_{3}+E_{6}\leq Ch^{4}+C\tau^{2}+\frac{3}{5}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2} +C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}, $

$ E_{5}\leq Ch^{4}(\|v\|_{L^{\infty}(0, T;H^{3}(\Omega))}^{2}+\|v_{t}\|_{L^{2}(0, T;H^{3}(\Omega))}^{2}) +C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\gamma\|\lambda^{n-1}\|_{1, h}^{2}+\frac{4\gamma}{5}\|\lambda^{J}\|_{1, h}^{2}, $

$ E_{2}=E_{8}=0, E_{7}\leq C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\delta^{n}\|_{0}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{0} \leq Ch^{4}+\frac{\tau}{2}\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{1, h}^{2}. $

利用(2.3)式, 可得

$ E_{9}\leq Ch^{4} +\frac{\tau}{2}\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{1, h}^{2}. $

下面, 我们来重新估计$ E_{4}$, 利用(4.16)式可得

$ E_{41}\leq C\tau^{2}+\frac{1}{10}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}, $

$ E_{42} =2(f(u^{J-1})-f(U^{J-1}), \lambda^{J}) \leq C(h^{4}+\tau^{2})+\frac{1}{10}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}. $

对于$ H_{1}$, 利用假设1, Sobolev嵌入定理以及(4.16)式, 则有

$ H_{1}\leq C(h^{4}+\tau^{2})+\frac{1}{4}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}+C\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}, $

$ H_{2}\leq C\|f'(\beta_{2}^{n-1})\|_{0, \infty} \|\bar{\partial}_{t}u^{n-1}-\bar{\partial}_{t}U^{n-1}\|_{0}\|\lambda^{n-1}\|_{0} \leq Ch^{4}+\frac{1}{4}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n-1}\|_{1, h}^{2}+C\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2}. $

从而$ E_{4} $可估计为

$ E_{4}\leq C(h^{4}+\tau^{2})+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\lambda^{n-1}\|_{0}^{2} +\tau\sum\limits_{n=1}^{J}\|\bar{\partial}_{t}\xi^{n}\|_{1, h}^{2}+\frac{1}{5}\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}. $

将上述关于$ E_{i}\ (i=1, 2, \cdot\cdot\cdot, 9) $的估计代入到(4.13)式可得

$ \gamma\|\lambda^{J}\|_{1, h}^{2}+\|\lambda^{J}\|_{0}^{2}\leq C(h^{4}+\tau^{2})+C\tau\sum\limits_{n=1}^{J}(\gamma\|\lambda^{n}\|_{1, h}^{2}+\|\lambda^{n}\|_{0}^{2}). $

利用离散的Gronwall不等式得

$ \|\lambda^{n}\|_{0}+\gamma^{\frac{1}{2}}\|\lambda^{J}\|_{1, h}\leq C(h^{2}+\tau ). $

定理得证.

注4.1  (Ⅰ)  若将$M_{h}$换成文献[26]中的$Q_{1}^{rot}$元(正方形剖分的情形下), 文献[27]中的$P_{1}$非协调矩形元, 文献[28]中的带约束的旋转$Q_{1}^{rot}$元等.文献[29]中的双线性元$Q_{11}$和线性三角形$ P_{1}$元, 利用其高精度分析结果以及本文的分析技巧, 同样可以得到本文的超逼近结果.

(Ⅱ)  对于非协调Crouzex-Raviart型线性三角形元^[30], 由于目前仅有估计

$ \bigg |\sum\limits_{K}\int_{\partial K}\frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\varphi_{h}{\rm d}s \bigg|\leq Ch\|u\|_{2}\|\varphi_{h}\|_{1, h} , \varphi_{h}\in M_{h}, $

因此, 若用于本文问题的求解, 则只能得到$ O(h) $阶的最优误差估计, 但无法得到本文的超逼近结果.另一方面, 对于矩形网格下的类Wilson元^[31]和三角形网格下的类Carey元^[32], 由于它们都具有相容误差比插值误差高一阶的性质, 此时将$I_{h}u$, $I_{h}v$分别用其线性部分$ \overline{I_{h}u}$, $\overline{I_{h}v}$来代替, 结合文献[29]的高精度分析结果, 采取本文给出的分析技巧仍可得到相应的超逼近结果.但对著名的Wilson元^[33]和Carey元^[34], 却不能得到本文的结果.

注4.2  值得一提的是, 对半离散和全离散格式, 我们得到了中间变量$ v=-\Delta u $的$ H^{1}$ -模的最优误差估计和超逼近结果, 这是文献[18]中所不能得到的.全离散格式下, 之所以能得到相关变量的超逼近结果, 一个很重要的原因是我们在相容误差项$ D_{9} $和非线性项$ E_{4} $的估计中采用了新的分裂技巧, 如果按照传统的处理方法, 仍然只能是得到$ O(h) $阶的估计结果.

考虑如下EFK方程^[35]

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_{t}+\gamma\Delta^{2}u-\Delta u+f(u)=g(X, t),&(X, t)\in{{\Omega} \times (0, 1]}, \\ u(X, t) =\Delta u(X, t)= 0,&(X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, 1]}, \\ u(X, 0) = x^{3}(1-x)^{3}y^{3}(1-y)^{3},& X\in {\Omega}, \end{array} \right. \end{equation} $

(5.1)

其中$\Omega=[0, 1]^{2}, \gamma=0.1, f(u)=u^{3}-u$. $g(X, t)$由方程(5.1)和精确解$ u=e^tx^{3}(1-x)^{3}y^{3}(1-y)^{3}$而确定.令$v=-\Delta u$, 则有

$ \begin{eqnarray*} v&=&e^{t}y^{3}(1-y)^{3}(6x(1-x)^{3}-18x^{2}(1-x)^{2}+6x^{3}(1-x))\\ && +e^{t}x^{3}(1-x)^{3}(6y(1-y)^{3}-18y^{2}(1-y)^{2}+6y^{3}(1-y)). \end{eqnarray*} $

我们将$[0, 1]^{2}$剖分成$N=n\times n$个小矩形.分别令$N=5\times5, 10\times10, 20\times20, 40\times40$, 在时间$t$分别为$ t=0.1, 0.5, 1 $时刻进行数值模拟.为了方便, 用$E_{1}, E_{2}, E_{3}$分别代表$\|u^{n}-U^{n}\|_{0}, $ $\|u^{n}-U^{n}\|_{1, h}, $ $\|U^{n}-I_{h}u^{n}\|_{1, h}$, 用$F_{1}, F_{2}, F_{3}$分别代表$ \|v^{n}-V^{n}\|_{0}, \|v^{n}-V^{n}\|_{1, h}, \|V^{n}-I_{h}v^{n}\|_{1, h}$.数值计算结果见表 5.1-5.3.

从表 5.1-5.3可以看到, 变量$ u $和$ v $的能量模和$ L^2$ -模都是最优的, 收敛阶分别为$ O(h) $和$ O(h^2)$, 能量模具有超逼近现象.数值算例的结果表明了逼近格式的有效性和理论分析的正确性.