本文我们主要研究电流体动力学中的Navier-Stokes/Poisson-Nernst-Planck系统.此系统中流体的运动由含源项的不可压Navier-Stokes方程刻画, 而带电离子的运动由Poisson-Nernst-Planck方程给出, 其Cauchy问题形式如下

$ \begin{array}{l}\label{eq1.1} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t} u+(u\cdot\nabla) u-\Delta u+\nabla \Pi=\Delta \Psi\nabla\Psi, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ \nabla\cdot u=0, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ \partial_{t} v+(u\cdot \nabla) v=\nabla\cdot(\nabla v-v\nabla \Psi), ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ \partial_{t} w+(u\cdot \nabla) w=\nabla\cdot(\nabla w+w\nabla \Psi), ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ \Delta \Psi=v-w, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ (u, v, w)|_{t=0}=(u_0, v_0, w_0), ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \end{array}\right. \end{array} $

(1.1)

其中$u=(u_{1}, u_{2}, u_{3})$和$\Pi$分别表示流体的速度场和压力场, $\Psi$表示电子静电势, $v$和$w$分别表示流体中带正电荷和负电荷离子的密度函数.动量方程$(1.1)_{1}$的右端项为Coulomb力(我们假设带电离子速度与光速相比较非常小, 因此来自于磁场中的Lorentz力的贡献可以忽略不计), 具体表示为$\Delta\Psi\nabla\Psi=\nabla\cdot\sigma$, 其中$\sigma$为静电应力张量, 且对$i, j=1, 2, 3$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq1.2} [\sigma]_{ij}=\big(\nabla\Psi\otimes\nabla\Psi-\frac{1}{2}|\nabla\Psi|^{2}I\big)_{ij} =\partial_{x_{i}}\Psi\partial_{x_{j}}\Psi-\frac{1}{2}|\nabla\Psi|^{2}\delta_{ij}, \end{array} $

(1.2)

这里$\otimes$表示张量积, $I$是$3\times3$恒等矩阵, $\delta_{ij}$表示Kronecker符号.简单起见, 我们已经假设流体密度、粘性系数、电荷迁移率和介电常数均为1.

系统(1.1)由Rubinstein^[1]于二十世纪末提出, 主要用来刻等温不可压粘性流体中带电离子的漂移、扩散和对流现象.读者可参考文献[2-5]等来了解系统(1.1)的物理背景及其应用研究. 2002年, 基于Kato半群理论框架, Jerome在文献[6]中利用Kato半群理论证明了系统(1.1)初值问题存在唯一的局部光滑解. 2009年, Schmuck在文献[5]中利用能量方法和Schauder不动点定理, 针对于系统(1.1)的Neumann初边值问题, 证明了三维整体弱解的存在性以及若干唯一性和正则性结果.随后Jerome和Sacco在文献[7]中利用Rothe半离散化方法对系统(1.1)的混合边界问题建立了任意维空间上整体弱解的存在性. Ryham在文献[8]中研究了赋予No-flux边界条件的系统(1.1)初边值问题二维弱解的整体存在性、唯一性和正则性以及三维情形下小稳态解附近整体弱解的存在性. Zhao等人在文献[9-11]中分别建立了系统(1.1)在临界Lebesgue空间和负数阶临界Besov空间中的局部适定性和小初值问题的整体适定性, 并建立了自相似解的渐近稳定性. Zhang和Yin在文献[12]中建立了二维情形下系统(1.1)的整体适定性.

注意到, 系统(1.1)中的前两个方程是刻画不可压缩流体运动的动量和质量守恒方程.若考虑流体不带电, 即$v=w=\Psi=0$, 则系统(1.1)即为著名的不可压Navier-Stokes方程

$ \begin{array}{l}\label{eq1.3} \left\{\begin{array}{ll} \partial_{t} u+(u\cdot\nabla)u-\Delta u+\nabla \Pi=0, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ \nabla\cdot u=0, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}, \ t>0, \\ u|_{t=0}=u_0, ~~x\in\mathbb{R} ^{3}.\\ \end{array}\right. \end{array} $

(1.3)

在文献[13]中, Leray证明了对任意的初值$u_{0}\in L^{2}(\mathbb{R} ^{3})$, Navier-Stokes方程(1.3)都存在相应的整体弱解$u\in L^{\infty}(0, \infty; L^{2}(\mathbb{R} ^{3}))\cap L^{2}(0, \infty; \dot{H}^{1}(\mathbb{R} ^{3}))$.但即使对具有紧支集的光滑初值$u_{0}$, 弱解的正则性问题至今仍是开问题. Serrin在其著名的工作^[14]中引入了$L^{q}(0, T;L^{p}(\mathbb{R} ^{3}))$类, 并证明了若$u$是弱解且满足条件

$ \begin{array}{l}\label{eq1.4} \int_{0}^{T}\|u(\cdot, t)\|_{L^{p}}^{q}{\rm d}t <\infty, \ \ \ \frac{2}{q}+\frac{3}{p}=1\ \ \ \mbox{且} \ \ \ 3<p\leq \infty, \end{array} $

(1.4)

则$u$在$(0, T]$上是正则的.其极限情形$p=3$一直到2003年才由Escauriaza等人在文献[15]中解决.随后, Beirão da Veiga在文献[16]中证明了如果速度场的梯度$\nabla u$满足

$ \begin{array}{l}\label{eq1.5} \int_{0}^{T}\|\nabla u(\cdot, t)\|_{L^{p}}^{q}{\rm d}t <\infty, \ \ \ \ \frac{2}{q}+\frac{3}{p}= 2\ \ \mbox{且}\ \ \frac{3}{2} <p\leq \infty, \end{array} $

(1.5)

则$u$在$(0, T]$上仍然是正则的.更多的有关对条件(1.4)和(1.5)改进的正则性准则读者可参见文献[7-22]及其参考文献.

另一方面, 基于Navier-Stokes方程(1.3)在$\mathbb{R} ^{3}$上有如下的压力-速度关系

$ \begin{array}{l}\label{eq1.6} \Pi=\sum\limits_{i, j=1}^{3}{\cal R}_{i}{\cal R}_{j}(u_{i}u_{j}), \end{array} $

(1.6)

其中${\cal R}_{i}$ ($i=1, 2, 3$)是$\mathbb{R} ^{3}$上的Riesz算子.因此对压力以及压力梯度提类似于(1.4)和(1.5)式的增长条件, 也能保证Navier-Stokes方程(1.3)弱解的正则性.具体来说, Chae和Lee在文献[23]中证明了如果压力$\Pi$满足

$ \begin{array}{l}\label{eq1.7} \int_{0}^{T}\|\Pi(\cdot, t)\|_{L^{p}}^{q}{\rm d}t <\infty, \ \ \ \ \frac{2}{q}+\frac{3}{p} <2\ \ \mbox{且} \ \ \frac{3}{2} <p\leq \infty, \end{array} $

(1.7)

则弱解$u$是正则的. Zhou^[24]和Struwe^[25]证明了若压力梯度$\nabla\Pi$满足

$ \begin{array}{l}\label{eq1.8} \int_{0}^{T}\|\nabla\Pi(\cdot, t)\|_{L^{p}}^{q}{\rm d}t <\infty, \ \ \ \ \frac{2}{q}+\frac{3}{p}=3\ \ \mbox{且} \ \ 1 <p\leq \infty, \end{array} $

(1.8)

则弱解$u$仍然是正则的.条件(1.7)和(1.8)已被很多研究者推广, 见参考文献[26-30].最近, Fan等人在文献[17]中证明了如果压力$\Pi$满足下述条件之一

$ \begin{array}{l}\label{eq1.9} \int_{0}^{T}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.9)

或

$ \begin{array}{l}\label{eq1.10} \int_{0}^{T}\frac{\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.10)

则解$u$能被光滑延拓至时间$T$. Guo和Gala在文献[31]中改进了正则性准则(1.9)并证明了如下结果:若压力$\Pi$满足

$ \begin{array}{l}\label{eq1.11} \int_{0}^{T}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.11)

则解$u$仍可以光滑延拓至时间$T$.基于Navier-Stokes方程满足的伸缩不变性性质, 上述三个正则性准则可以看成是与压力及压力梯度相关的正则性准则的最优结果.

注意到, 系统(1.1)各类初边值问题弱解的整体存在性已分别由Jerome-Sacco^[7], Ryham^[8], Schmuck^[5]等人证明.类似于子系统Navier-Stokes方程, 三维情形下系统(1.1)整体弱解的正则性和唯一性或局部光滑解的爆破机制仍然是十分困难的开问题.因此在研究系统(1.1)整体适定性的同时, 研究弱解的正则性准则和局部光滑解的爆破机制在理论和应用上都有着重要意义, 这也是当前电流体动力学研究的焦点问题之一.对于三维整体弱解的正则性和唯一性问题, Fan等人在文献[32-34]中建立了系统(1.1)三维整体弱解若干与速度场相关的正则性准则和唯一性准则. Zhao和Bai在文献[35]中建立了系统(1.1)局部光滑解的Prodi-Serrin型爆破准则和Beale-Kato-Majda型爆破准则.本文的主要目的是将正则性准则(1.9)-(1.11)推广到系统(1.1), 我们得到主要结果如下:

定理1.1  设$(u, v, w)$是系统(1.1)满足初值条件$u_{0}\in H^{3}(\mathbb{R} ^{3})$, $\nabla\cdot u_{0}=0$, $(v_{0}, w_{0})\in L^{1}(\mathbb{R} ^{3})\cap H^{2}(\mathbb{R} ^{3})$, $v_{0}, w_{0}\geq0$的局部光滑解.若压力$\Pi$满足下列条件之一

$ \begin{array}{l}\label{eq1.12} \int_{0}^{T}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.12)

或

$ \begin{array}{l}\label{eq1.13} \int_{0}^{T}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.13)

则解$(u, v, w)$在$(0, T]$上是光滑的.

注1.1  由定理1.1可知, 若$T_{*} <\infty$是局部解$(u, v, w)$的最大存在时间, 则

$ \begin{array}{l} \int_{0}^{T_{*}}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}{\rm d}t=\infty \end{array} $

且

$ \begin{array}{l} \int_{0}^{T_{*}}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})}{\rm d}t=\infty. \end{array} $

注1.2  利用类似于定理1.1的证明方法, 结合Sobolev嵌入$L^{3}(\mathbb{R} ^{3})\rightarrow \dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}(\mathbb{R} ^{3}) $, 我们可以将条件(1.13)替换为如下条件

$ \begin{array}{l} \int_{0}^{T}\frac{\|\Pi(\cdot, t)\|_{L^{3}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi(\cdot, t)\|_{L^{3}})}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

同样可以保证解$(u, v, w)$在$(0, T]$上的光滑性.

对于压力梯度$\nabla\Pi$, 我们建立了如下的对数型正则性准则.

定理1.2  设$(u, v, w)$是系统(1.1)满足初值条件$u_{0}\in H^{3}(\mathbb{R} ^{3})$, $\nabla\cdot u_{0}=0$, $(v_{0}, w_{0})\in L^{1}(\mathbb{R} ^{3})\cap H^{2}(\mathbb{R} ^{3})$, $v_{0}, w_{0}\geq0$的局部光滑解.若压力的梯度$\nabla\Pi$满足

$ \begin{array}{l}\label{eq1.14} \int_{0}^{T}\frac{\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}{\rm d}t <\infty, \end{array} $

(1.14)

则解$(u, v, w)$在$(0, T]$上是光滑的.

注1.3  由定理1.2可知, 若$T_{*} <\infty$是局部解$(u, v, w)$的最大存在时间, 则

$ \begin{array}{l} \int_{0}^{T_{*}}\frac{\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}{\rm d}t=\infty. \end{array} $

注1.4  我们指出, 为了证明定理1.1和定理1.2, 最主要的困难在于探究压力$\Pi$和解$(u, v, w)$之间的关系, 见引理2.5.并且我们指出, 定理1.1和定理1.2的证明中我们仅仅考虑初值$u_{0}\in H^{3}(\mathbb{R} ^{3})$, $(v_{0}, w_{0}) \in H^{2}(\mathbb{R} ^{3})$.实际上, 同样的结果对于更一般的初值$u_{0}\in H^{s}(\mathbb{R} ^{3})$, $(v_{0}, w_{0}) \in H^{s-1}(\mathbb{R} ^{3})$($s>\frac{5}{2}$)都是成立的.

本文结构如下.第二节, 我们先介绍Littlewood-Paley分解理论和齐次Besov空间的定义, 然后给出几个证明定理1.1和定理1.2的关键引理.第三节我们致力于推导局部光滑解的有效先验估计, 然后在第四节给出定理1.1和定理1.2的证明.贯穿全文, 我们用$C$和$C_{i}$ ($i=0, 1, \cdots$)表示常数, 具体的依赖关系将会在文中具体指出.

我们首先介绍Fourier变换.用${\cal S}(\mathbb{R} ^{3})$表示Schwartz速降函数空间, ${\cal S}'(\mathbb{R} ^{3})$表示其拓扑对偶空间, 即Schwartz缓增分布空间.对于任意的$f\in{\cal S}(\mathbb{R} ^{3})$, 其Fourier变换${\cal F}(f)$定义为:

$ {\cal F}(f)(\xi):=\int_{\mathbb{R} ^{3}}{\rm e}^{-2\pi {\rm i} x\cdot\xi}f(x){\rm d}x. $

对于更一般的情形$f\in{\cal S}'(\mathbb{R} ^{3})$, 其Fourier变换可由标准的对偶方法来定义, 即

$ \langle {\cal F}(f), g\rangle :=\langle f, {\cal F}(g)\rangle, \ \ \ \ \forall \ g\in {\cal S}(\mathbb{R} ^{3}). $

下面我们介绍$\mathbb{R} ^{3}$上的Littlewood-Paley理论.令${\cal C}:=\{\xi\in\mathbb{R} ^{3}, \ \frac{3}{4}\leq |\xi|\leq\frac{8}{3}\}$, 则存在光滑径向函数$\varphi$满足: $\mbox{supp}\varphi\in{\cal C}$, $0\leq \varphi\leq 1$且$ \sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \ \forall\xi\in\mathbb{R} ^{3}\backslash\{0\}. $基于上述$\varphi$的构造, 令$h(x)={\cal F}^{-1}\varphi(\xi)$, 其中${\cal F}^{-1}$表示Fourier逆变换.则对任意的$f\in{\cal S}'(\mathbb{R} ^{3})$, 我们定义二进制分解算子$\Delta_{j}$和$S_{j}$如下:

$ \begin{array}{l}\label{eq2.1} \Delta_{j}f: =2^{3j}\int_{\mathbb{R} ^{3}}h(2^{j}y)f(x-y){\rm d}y, \ \ \ \ \ S_{j}f:=\sum\limits_{k\leq j-1}\Delta_{k}f. \end{array} $

(2.1)

形式上来看, $\Delta_{j}$表示投影到环$\{|\xi|\sim 2^{j}\}$的投影算子, $S_{j}$表示投影到球$\{|\xi|\lesssim 2^{j}\}$的投影算子.

注意到, 若定义${\cal S}'_{h}(\mathbb{R} ^{3}):={\cal S}'(\mathbb{R} ^{3})/{\cal P}(\mathbb{R} ^{3})$, 其中${\cal P}(\mathbb{R} ^{3})$表示$\mathbb{R} ^{3}$上的多项式全体构成的集合.则对任意的$f\in {\cal S}'_{h}(\mathbb{R} ^{3})$, 有Littlewood-Paley齐次分解: $ f=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\Delta_{j}f. $

下面我们给出齐次Besov空间的定义.

定义2.1  对于$s\in \mathbb{R} $, $1\leq p, r\leq\infty$, 齐次Besov空间可定义为

$ \dot{B}^{s}_{p, r}(\mathbb{R} ^{3}):=\Big\{f\in {\cal S}'_{h}(\mathbb{R} ^{3}):\ \ \|f\|_{\dot{B}^{s}_{p, r}} <\infty\Big\}, $

其中

$ \|f\|_{\dot{B}^{s}_{p, r}}:= \left\{\begin{array}{ll} \bigg(\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{jsr}\|\Delta_{j}f\|_{L^{p}}^{r}\bigg)^{\frac{1}{r}}, \ \ &\ \ 1\leq r <\infty, \\[3mm] \sup\limits_{j\in{\Bbb Z}}2^{js}\|\Delta_{j}f\|_{L^{p}}, \ \ &\ \ r=\infty. \end{array}\right. $

易验证经典的齐次Sobolev空间$\dot{H}^{s}(\mathbb{R} ^{3})\cong\dot{B}^{s}_{2, 2}(\mathbb{R} ^{3})$, 其等价范数为$\|f\|_{\dot{H}^{s}}:=\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}f\|_{L^{2}}$.

本节我们给出证明定理1.1和1.2的一些主要引理.我们用$BMO$表示有界平均振荡函数空间, 用$H^{s}_{p}(\mathbb{R} ^{3}):=\{f\in L^{p}(\mathbb{R} ^{3}):\ (-\Delta)^{\frac{s}{2}}f\in L^{p}(\mathbb{R} ^{3})\}$ ($s>0$, $1 <p <\infty$)表示Sobolev空间.特别地, 若$p=2$, 我们用$H^{s}(\mathbb{R} ^{3})$表示$H^{s}_{2}(\mathbb{R} ^{3})$.

引理2.1^[19]  设$1 <p <\infty$, 则对任意的$f, g \in BMO\cap L^{p}(\mathbb{R} ^{3})$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq2.2} \|fg\|_{L^{p}} \leq C\big(\|f\|_{L^{p}}\|g\|_{BMO}+\|f\|_{BMO}\|g\|_{L^{p}}\big), \end{array} $

(2.2)

这里$C$是仅仅依赖于$p$的常数.

引理2.2^[18]  设$s>\frac{5}{2}$, 则对于所有的$f\in H^{s-1}(\mathbb{R} ^{3})$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq2.3} \|f\|_{BMO}\leq C\big(1+\|f\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}\ln^{\frac{1}{2}}({\rm e}+\|f\|_{H^{s-1}})\big). \end{array} $

(2.3)

引理2.3^[36]  对于任意的$s>1$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq2.4} \|\nabla^{s}(fg)-f\nabla^{s}g\|_{L^{p}}\leq C\big(\|\nabla f\|_{L^{p_{1}}}\|\nabla^{s-1}g\|_{L^{q_{1}}}+\|\nabla^{s}f\|_{L^{p_{2}}}\|g\|_{L^{q_{2}}}\big), \end{array} $

(2.4)

这里$1 <p, q_{1}$, $p_{2} <\infty$且满足$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{q_{1}}=\frac{1}{p_{2}}+\frac{1}{q_{2}}$.

引理2.4^[37]  设$1 <p <q <\infty$, 并且$s=\beta(\frac{q}{p}-1)>0$.则对所有的$f\in \dot{H}^{s}_{p}(\mathbb{R} ^{3})\cap\dot{B}^{-\beta}_{\infty, \infty}(\mathbb{R} ^{3})$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq2.5} \|f\|_{L^{q}}\leq C\|f\|_{\dot{B}^{-\beta}_{\infty, \infty}}^{1-\frac{p}{q}}\|(-\Delta)^{\frac{s}{2}}f\|_{L^{p}}^{\frac{p}{q}}, \end{array} $

(2.5)

这里$C$是仅仅依赖于$\beta$, $p$和$q$的常数.

实际上, 我们主要利用(2.5)式的特殊情形:取$s=\beta=1$, $p=2$和$q=4$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq2.6} \|f\|_{L^{4}}\leq C\|f\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{\frac{1}{2}}\|(-\Delta)^{\frac{1}{2}}f\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}. \end{array} $

(2.6)

不等式(2.6)的证明读者可参考文献[31].

在结束本节之前, 我们给出下面与压力$\Pi$及其梯度$\nabla\Pi$相关的一些估计, 这些估计在第三节主要结果的证明中起到十分重要的作用.

引理2.5  设$(u, v, w)$是系统(1.1)的光滑解, $\Pi$和$\Psi$分别由$(1.1)_1$和$(1.1)_5$式所确定, 则对任意的$1 <q <\infty$, 有

$ \begin{equation}\label{eq2.7} \|\Pi\|_{L^{q}}\leq C(\|u\|_{L^{2q}}^{2}+\|\nabla \Psi\|_{L^{2q}}^{2}), \end{equation} $

(2.7)

$ \begin{equation}\label{eq2.8} \|\nabla \Pi\|_{L^{q}}\leq C(\||u||\nabla u|\|_{L^{q}}+\||\nabla\Psi||\Delta\Psi|\|_{L^{q}}), \end{equation} $

(2.8)

这里$C$是仅仅依赖于$q$的常数.

证  注意到由(1.2)式可知

$ \begin{equation}\label{eq2.9} \Delta\Psi\nabla\Psi=\nabla\cdot(\nabla\Psi\otimes\nabla\Psi)-\frac{1}{2}\nabla(|\nabla\Psi|^{2}). \end{equation} $

(2.9)

因此对$(1.1)_1$式左右两端作用$\nabla\cdot$, 并利用条件$\nabla\cdot u=0$和力平衡关系(2.9), 可得

$ \begin{equation}\label{eq2.10} -\Delta \Pi=\nabla\cdot((u\cdot\nabla) u-\Delta\Psi\nabla\Psi)=\sum\limits_{i, j=1}^{3}\partial_{x_{i}}\partial_{x_{j}}(u_{i}u_{j}-\partial_{x_{i}}\Psi\partial_{x_{j}}\Psi)+\frac{1}{2}\Delta(|\nabla\Psi|^{2}), \end{equation} $

(2.10)

由此可直接推出

$ \Pi=\sum\limits_{i, j=1}^{3}{\cal R}_{i}{\cal R}_{j}(u_{i}u_{j}-\partial_{x_{i}}\Psi\partial_{x_{j}}\Psi)-\frac{1}{2}|\nabla\Psi|^{2}. $

因为${\cal R}_{i}$ ($i=1, 2, 3$)是Riesz算子, 则由Calderon-Zygmund不等式可知

$ \|\Pi\|_{L^{q}}\leq C(\|u\|_{L^{2q}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{L^{2q}}^{2}), $

$ \|\nabla\Pi\|_{L^{q}}\leq C(\||u||\nabla u|\|_{L^{q}}+\||\nabla\Psi||\Delta\Psi|\|_{L^{q}}). $

证毕.

定理1.1和定理1.2的证明主要基于系统(1.1)局部光滑解的下述三个先验估计.

引理3.1  设初值$u_{0}\in H^{3}(\mathbb{R} ^{3})$, $\nabla\cdot u_{0}=0$, $v_{0}, w_{0}\in L^{1}(\mathbb{R} ^{3})\cap H^{2}(\mathbb{R} ^{3})$, $v_{0}, w_{0}\geq 0$, 且设$(u, v, w)$是系统(1.1)所对应的$[0, T)$上满足条件(1.12)的局部光滑解.则

$ \begin{array}{l}\label{eq3.1} \sup\limits_{0\leq t <T}(\|u(\cdot, t)\|_{H^{3}}+\|(v(\cdot, t), w(\cdot, t))\|_{H^{2}})\leq C_{0}, \end{array} $

(3.1)

其中$C_{0}$是仅仅依赖于$\|u_{0}\|_{H^{3}}$, $\|(v_{0}, w_{0})\|_{L^{1}\cap H^{2}}$和$T$的常数.

证  首先易知带电离子密度函数$v$和$w$的质量是守恒的, 即对每个$t\in[0, T)$, 有

$ \int_{\mathbb{R} ^{3}}v(x, t){\rm d}x=\int_{\mathbb{R} ^{3}}v_{0}(x){\rm d}x, \ \ \ \ \ \int_{\mathbb{R} ^{3}}w(x, t){\rm d}x=\int_{\mathbb{R} ^{3}}w_{0}(x){\rm d}x. $

并且, 由最大模原理可推得:若初值$v_0$和$w_0$是非负的, 则其对应的解$v$和$w$也是非负的, 详细证明可见文献[5].下面我们分四步来完成引理3.1的证明.

第一步:能量不等式.对方程$(1.1)_{3}$和$(1.1)_{4}$分别乘以$v$和$w$, 并在$\mathbb{R} ^{3}$上积分且相加, 由Poisson方程$(1.1)_{5}$及$\nabla\cdot u=0$可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.2} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\big(\|v\|_{L^{2}}^{2}+\|w\|_{L^{2}}^{2}\big)+\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla w\|_{L^{2}}^{2}+\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v+w)(v-w)^{2} {\rm d}x=0. \end{array} $

(3.2)

因为$v$和$w$是非负的, 则由(3.2)式可知对于所有的$0\leq t <T$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.3} \|v(t)\|_{L^{2}}^{2}+\|w(t)\|_{L^{2}}^{2}+2\int_{0}^{t}\big(\|\nabla v(\tau)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla w(\tau)\|_{L^{2}}^{2}\big){\rm d}\tau\leq \|v_{0}\|_{L^{2}}^{2}+\|w_{0}\|_{L^{2}}^{2}. \end{array} $

(3.3)

另一方面, 经由$(1.1)_{1}\times u$, $(1.1)_{3}\times \Psi$, $(1.1)_{4}\times \Psi$, 将所得结果分别在$\mathbb{R} ^{3}$上积分, 我们有

$ \begin{equation}\label{eq3.4} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}=\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v-w)u\cdot\nabla\Psi {\rm d}x, \end{equation} $

(3.4)

$ \begin{equation} \label{eq3.5} \int_{\mathbb{R} ^{3}}\big(\partial_{t}v\Psi+\nabla\cdot(v\nabla\Psi)\Psi-\Delta v\Psi+(u\cdot\nabla) v\Psi\big){\rm d}x=0, \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation} \label{eq3.6} \int_{\mathbb{R} ^{3}}\big(\partial_{t}w\Psi-\nabla\cdot(w\nabla\Psi)\Psi-\Delta w\Psi+(u\cdot\nabla) w\Psi\big){\rm d}x=0. \end{equation} $

(3.6)

用$(3.5)$式减去$(3.6)$式, 并利用Poisson方程$(1.1)_{5}$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.7} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v+w)|\nabla\Psi|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^{3}}|\Delta\Psi|^{2}{\rm d}x +\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v-w)u\cdot\nabla\Psi {\rm d}x =0. \end{array} $

(3.7)

再将$(3.4)$式和$(3.7)$式相加可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.8} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2})+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{2} +\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v+w)|\nabla\Psi|^{2}{\rm d}x=0. \end{array} $

(3.8)

由$v$和$w$的非负性可得:对任意的$0\leq t <T$, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.9} \|u(t)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Psi(t)\|_{L^{2}}^{2}+2\int_{0}^{t}\big(\|\nabla u(\tau)\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\Psi(\tau)\|_{L^{2}}^{2}\big){\rm d}\tau\leq C, \end{array} $

(3.9)

其中$C$是仅依赖于$\|u_{0}\|_{L^{2}}$和$\|(v_{0}, w_{0})\|_{L^{1}\cap L^{2}}$的常数.

第二步: $u$的$L^{4}$估计.对$(1.1)_{1}$式乘以$|u|^{2}u$, 再在$\mathbb{R} ^{3}$上积分, 由分部积分公式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.10} \frac{1}{4}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^{4}}^{4}+\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+\frac{1}{2}\|\nabla |u|^{2}\|_{L^{2}}^{2} \leq -\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla\Pi\cdot u|u|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^{3}}\Delta\Psi\nabla\Psi\cdot u|u|^{2}{\rm d}x \\ :=I_{1}+I_{2}. \end{array} $

(3.10)

在(2.7)式中取$q=2$, 并应用(3.3)和(3.9)式, 有

$ \begin{array}{l} \|\Pi\|_{L^{2}} \leq C\big(\|u\|_{L^{4}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{L^{4}}^{2}\big)\leq C\big(\|u\|_{L^{4}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\big) \\ \leq C\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{2}+\|(v, w)\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\big)\leq C\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{2}\big). \end{array} $

这里我们使用了如下的插值不等式

$ \|f\|_{L^{4}}\leq \|f\|_{L^{2}}^{\frac{1}{4}}\| \nabla f\|_{L^{2}}^{\frac{3}{4}}. $

对于$I_{1}$, 在引理2.1中取$p=4$, 并利用分部积分公式可得

$ \begin{array} I_{1}= \int_{\mathbb{R} ^{3}}\Pi\nabla\cdot(u|u|^{2}){\rm d}x \\ \leq C \int_{\mathbb{R} ^{3}}|\Pi||u|^{2}|\nabla u|{\rm d}x \\ \leq C\|\Pi\|_{L^{4}}\|u\|_{L^{4}}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}} \\ \leq \frac{1}{2}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{L^{4}}^{2}\|u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{2}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{L^{2}}\|\Pi\|_{BMO}\|u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{2}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{BMO}\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\big). \end{array} $

(3.11)

对于$I_{2}$, 由Poisson方程$(1.1)_{5}$以及如下的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式(取$p=2$)

$ \|\nabla(-\Delta)^{-1}f\|_{L^{\frac{3p}{3-p}}}\leq C\|f\|_{L^{p}}, \ \ \ \forall \ 1 <p <3, $

我们可知

$ \begin{array}{l}\label{eq3.12} I_{2} -\int_{\mathbb{R} ^{3}}(v-w)\nabla\Psi\cdot u|u|^{2}{\rm d}x \\ \leq \|(v, w)\|_{L^{3}}\|\nabla\Psi\|_{L^{6}}\|u|u|^{2}\|_{L^{2}} \\ \leq C\|(v, w)\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\||u|^{2}\|_{L^{3}}^{\frac{3}{2}} \\ \leq C\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\||u|^{2}\|_{L^{2}}^{\frac{3}{4}}\|\nabla |u|^{2}\|_{L^{2}}^{\frac{3}{4}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\nabla |u|^{2}\|_{L^{2}}^{2}+C\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{4}{5}}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{12}{5}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\nabla |u|^{2}\|_{L^{2}}^{2}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\big). \end{array} $

(3.12)

这里我们使用了如下的插值不等式

$ \|f\|_{L^{3}}\leq \|f\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\| \nabla f\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}. $

由Sobolev嵌入$H^{2}(\mathbb{R} ^{3})\hookrightarrow L^{\infty}(\mathbb{R} ^{3})\hookrightarrow BMO\hookrightarrow\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}(\mathbb{R} ^{3})$可知

$ \|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}\leq \|\Pi\|_{BMO}\leq \|\Pi\|_{L^{\infty}}\leq C\|\Pi\|_{H^{2}}. $

并且, 由(2.10), (3.3)和(3.9)式, 我们有

$ \begin{array}{l} \|\Pi\|_{H^{2}} \leq C(\||u|^{2}\|_{H^{2}}+\||\nabla\Psi|^{2}\|_{H^{2}}\big) \\ \leq C\big(\|u\|_{L^{\infty}}\|u\|_{H^{2}}+\|\nabla\Psi\|_{L^{\infty}}\|\nabla\Psi\|_{H^{2}}\big) \\ \leq C\big(\|u\|_{H^{2}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{H^{2}}^{2}\big) \\ \leq C\big(\|u\|_{H^{2}}^{2}+\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{2}\big) \\ \leq C\big(1+\|u\|_{H^{2}}^{2}+\|(v, w)\|_{H^{1}}^{2}\big) \\ \leq C\big(1+\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\big). \end{array} $

因此, 将(3.11)和(3.12)式代入(3.10)式, 并利用上述结果和引理2.2, 我们有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.13} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^{4}}^{4} \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\Pi\|_{BMO}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{H^{2}})}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}} \Big) \\ \times\Big(1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{H^{2}})\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}} \Big) \\ \times\ln\Big({\rm e}+\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big). \end{array} $

(3.13)

基于结果(3.3)和条件(1.12), 易知对任意小的常数$\sigma>0$, 总存在$T_{0} <T$使得

$ \int_{T_{0}}^{T}\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big){\rm d}t <\sigma, $

并且

$ \int_{T_{0}}^{T}\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}{\rm d}t <\sigma. $

令

$ Y(t):=\sup\limits_{T_{0}\leq \tau\leq t}\big(\|\nabla\Delta u(\cdot, \tau)\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v(\cdot, \tau), \Delta w(\cdot, \tau))\|_{L^{2}}^{2}\big). $

则对任意的$T_{0}\leq t <T$, 在区间$[T_{0}, t]$上对(3.13)式应用Gronwall不等式, 可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.14} \|u(t)\|_{L^{4}}^{4} \leq C_{1}\exp\Big(\int_{T_{0}}^{t}C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}\big){\rm d}\tau\ln ({\rm e}+Y(t)) \Big) \\ \leq C_{1}\exp\big(2C\sigma\ln({\rm e}+Y(t))\big) \\ \leq C_{1}({\rm e}+Y(t))^{2C\sigma}, \end{array} $

(3.14)

其中$C_{1}=1+\|u(\cdot, T_{0})\|_{L^{4}}^{4}$.

第三步: $\nabla u$的$L^{2}$估计.对$(1.1)_{1}$式乘以$-\Delta u$, 然后在$\mathbb{R} ^{3}$上积分可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.15} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2} +\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}-\int_{\mathbb{R} ^{3}}(u\cdot\nabla) u\cdot \Delta u {\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^{3}}\Delta\Psi\nabla \Psi\cdot\Delta u {\rm d}x \\ := J_{1}+J_{2}. \end{array} $

(3.15)

对于$J_{1}$, 由Young不等式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.16} J_{1} \leq \|u\|_{L^{4}}\|\nabla u\|_{L^{4}}\|\Delta u\|_{L^{2}} \\ \leq \frac{1}{8}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C \|u\|_{L^{4}}^{2}\|\nabla u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{8}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C \|u\|_{L^{4}}^{2}\|u\|_{L^{2}}^{\frac{1}{4}}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{\frac{7}{4}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C \|u\|_{L^{4}}^{16}. \end{array} $

(3.16)

这里我们使用了如下的插值不等式

$ \begin{array}{l} \|\nabla f\|_{L^{4}}\leq \|f\|_{L^{2}}^{\frac{1}{8}}\| \Delta f\|_{L^{2}}^{\frac{7}{8}}. \end{array} $

对于$J_{2}$, 由$(1.1)_{5}$, (3.3)和(3.9)式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.17} J_{2} \leq C \|\nabla \Psi\|_{L^{4}}\|\Delta \Psi\|_{L^{4}}\|\Delta u\|_{L^{2}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C\|(v, w)\|_{L^{4}}^{2}\|\nabla \Psi\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C\|(v, w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C\|(v, w)\|_{L^{2}}^{2}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C\|(v, w)\|_{L^{2}}^{2}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+C\|(v, w)\|_{L^{2}}^{2}\|\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C(\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+1). \end{array} $

(3.17)

将(3.16)和(3.17)式代入(3.15)式, 我们有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.18} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}\leq C(\|u\|_{L^{4}}^{16}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+1). \end{array} $

(3.18)

再对(3.18)式在区间$[T_{0}, t]$上积分, 并利用(3.3)和(3.14)式, 有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.19} \|\nabla u(t)\|_{L^{2}}^{2}+\int_{T_{0}}^{t}\|\Delta u(\tau)\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}\tau \leq C\int_{T_{0}}^{t}\big(\|u\|_{L^{4}}^{16}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+1\big){\rm d}\tau+\|\nabla u(T_{0})\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq C+C(1+C_{1}^{4}({\rm e}+Y(t))^{8C\sigma})(t-T_{0})+\|\nabla u(T_{0})\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq C(1+C_{1}^{4}({\rm e}+Y(t))^{8C\sigma}), \end{array} $

(3.19)

其中$C$是仅依赖于$\|u_{0}\|_{H^{1}}$, $\|(v_{0}, w_{0})\|_{L^{1}\cap L^{2}}$和$T$的常数.

第四步:高阶导数估计.对$(1.1)_{1}$式作用$\nabla\Delta$, 然后乘以$\nabla\Delta u$, 并在$\mathbb{R} ^{3}$上积分, 注意到由不可压缩性条件$\nabla\cdot u=0$可知与压力$\Pi$相关的积分为零, 因此

$ \begin{array}{l}\label{eq3.20} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}--\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla\Delta((u\cdot\nabla) u)\cdot\nabla\Delta u {\rm d}x+\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla\Delta(\Delta\Psi\nabla\Psi)\cdot\nabla\Delta u {\rm d}x \\ :=K_{1}+K_{2}. \end{array} $

(3.20)

对于$K_{1}$, 由于$\nabla\cdot u=0$, 从而由引理2.3可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.21} K_{1}--\int_{\mathbb{R} ^{3}}\big[\nabla\Delta((u\cdot\nabla) u)-(u\cdot\nabla)\nabla\Delta u\big]\cdot\nabla\Delta u {\rm d}x \\ \leq C\|\nabla\Delta((u\cdot\nabla) u)-(u\cdot\nabla)\nabla\Delta u\|_{L^{\frac{4}{3}}}\|\nabla\Delta u\|_{L^{4}} \\ \leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{\frac{7}{6}}\|\Delta^{2} u\|_{L^{2}}^{\frac{11}{6}} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2} u\|_{L^{2}}^{2} +C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{14}. \end{array} $

(3.21)

这里我们使用了如下的插值不等式

$ \begin{array}{l} \|\nabla\Delta u\|_{L^{4}}\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{\frac{1}{12}}\|\Delta^{2} u\|_{L^{2}}^{\frac{11}{12}}. \end{array} $

对于$K_{2}$, 利用$(1.1)_{5}$, (3.3)和(3.9)式, 并由Leibniz法则可知

$ \begin{array}{l}\label{eq3.22} K_{2}--\int_{\mathbb{R} ^{3}}\Delta((v-w)\nabla\Psi)\cdot\Delta^{2}u {\rm d}x \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Delta((v-w)\nabla\Psi)\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|(\Delta v-\Delta w)\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2}+2\|(\nabla v-\nabla w)\nabla^{2}\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\|(v-w)\nabla\Delta\Psi\|_{L^{2}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{3}}^{2}\|\nabla\Psi\|_{L^{6}}^{2}+\|(v, w)\|_{L^{3}}^{2}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{6}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}\|(\nabla\Delta v, \nabla\Delta w)\|_{L^{2}}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{4}\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2}+\frac{1}{6}\|(\nabla\Delta v, \nabla\Delta w)\|_{L^{2}}^{2}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}. \end{array} $

(3.22)

将(3.21)和(3.22)式相加可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.23} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta^{2}u\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq \frac{1}{3}\|(\nabla\Delta v, \nabla\Delta w)\|_{L^{2}}^{2} +C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{14}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}. \end{array} $

(3.23)

另一方面, 对$(1.1)_{3}$式作用$\Delta$, 然后乘以$\Delta v$, 并在$\mathbb{R} ^{3}$上积分, 利用分部积分公式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.24} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}--\int_{\mathbb{R} ^{3}}\Delta((u\cdot\nabla) v)\Delta v {\rm d}x-\int_{\mathbb{R} ^{3}}\Delta\nabla\cdot(v\nabla\Psi)\Delta v {\rm d}x \\ :=L_{1}+L_{2}. \end{array} $

(3.24)

应用(3.3)和(3.9)式, 可对$L_{1}$和$L_{2}$进行如下估计

$ \begin{array}{l} L_{1}-\int_{\mathbb{R} ^3}\nabla((u\cdot\nabla) v)\cdot\nabla\Delta v{\rm d}x \\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|(\nabla u\cdot\nabla)v\|_{L^{2}}^{2}+\|(u\cdot\nabla)\nabla v\|_{L^{2}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|\nabla u\|_{L^{\infty}}^{2}\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}+\|u\|_{L^{4}}^{2}\|\Delta v\|_{L^{4}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}(1+\|\nabla \Delta u\|_{L^{2}}^{2})+\|u\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\| v\|_{L^{2}}^{\frac{1}{6}}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{\frac{11}{6}}\big) \\ \leq \frac{1}{6}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla v\|_{L^{2}}^{2}\big(1+\|\nabla \Delta u\|_{L^{2}}^{2}\big)+C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{18}, \\[2mm] L_{2}-\int_{\mathbb{R} ^3}\Delta(v\nabla \Psi)\cdot\nabla\Delta v{\rm d}x \\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|\Delta v\nabla\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla v\nabla^{2}\Psi\|_{L^{2}}^{2}+\|v\nabla \Delta\Psi\|_{L^{2}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(\|\Delta v\|_{L^{3}}^{2}\|\nabla \Psi\|_{L^{6}}^{2}+\|\nabla v\|_{L^{6}}^{2}\|\nabla^{2} \Psi\|_{L^{3}}^{2}+\|v\|_{L^{3}}^{2}\|\nabla(v-w)\|_{L^{6}}^{2}\big) \\ \leq \frac{1}{6}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\big(1+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\big). \end{array} $

将上述两个不等式代入(3.24)式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.25} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta v\|_{L^{2}}^{2}+\frac{4}{3}\|\nabla\Delta v\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{18} +C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\big(1+\|\nabla \Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\big). \end{array} $

(3.25)

注意到关于$w$的估计可类似推得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.26} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta w\|_{L^{2}}^{2}+\frac{4}{3}\|\nabla\Delta w\|_{L^{2}}^{2} \\ \leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{18} +C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)\big(1+\|\nabla \Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\big). \end{array} $

(3.26)

基于上述估计, 现在我们来完成引理3.1的证明.由(3.14), (3.19), (3.23), (3.25)和(3.26)式可知

$ \begin{array}{l}\label{eq3.27} \frac{{\rm d}({\rm e}+Y(t))}{{\rm d}t} \leq C\big(\|\nabla u\|_{L^{2}}^{14}+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{18}\big)+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)({\rm e}+Y(t)) \\ \leq C(1+C_{1}^{36}({\rm e}+Y(t))^{72C\sigma})+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)({\rm e}+Y(t)). \end{array} $

(3.27)

选取$\sigma$充分小使得$72C\sigma\leq 1$, 则有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.28} \frac{\rm d}{{\rm d}t}({\rm e}+Y(t))\leq C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big)({\rm e}+Y(t)). \end{array} $

(3.28)

对任意的$T_{0}\leq t <T$, 对(3.28)式应用Gronwall不等式, 有

$ Y(t)\leq ({\rm e}+Y(T_{0}))\exp\Big(C\int_{T_{0}}^{t}\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}\big){\rm d}\tau \Big), $

其中$Y(T_{0})=e+\|\nabla\Delta u(\cdot, T_{0})\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v(\cdot, T_{0}), \Delta w(\cdot, T_{0}))\|_{L^{2}}^{2}$.结合此高阶能量不等式和前面的$L^{2}$能量不等式(3.3)和(3.9), 我们推得

$ \sup\limits_{0\leq t <T}\big(\|u(\cdot, t)\|_{H^{3}}+\|(v(\cdot, t), w(\cdot, t))\|_{H^{2}}\big)\leq C_0. $

这里$C_{0}$是仅依赖于$\|u_0\|_{H^{3}}$, $\|(v_0, w_0)\|_{L^{1}\cap H^{2}}$和$T$的常数.证毕.

基于条件(1.13), 我们有如下局部光滑解的先验估计.

引理3.2  在引理3.1的假设条件下, 如果我们用条件(1.13)替代条件(1.12), 仍然可得估计(3.1).

证  由于引理3.2的证明类似于引理3.1, 所以只需指出证明中的关键区别即可.注意到对于$1 <p <\infty$, Riesz算子在$L^{p}(\mathbb{R} ^{3})$上有界, 因此由引理2.5可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.29} \|\nabla\Pi\|_{L^{2}} \leq C\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\||\nabla\Psi||\Delta\Psi|\|_{L^{2}}\big) \\ \leq C\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\|\nabla\Psi\|_{L^{6}}\|(v, w)\|_{L^{3}}\big) \\ \leq C\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\|(v, w)\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\big) \\ \leq C\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\big). \end{array} $

(3.29)

结合(2.6)和(3.29)式可推出$I_{1}$的界

$ \begin{array}{l}\label{eq3.30} I_{1} \leq \frac{1}{4}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{L^{4}}^{2}\|u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{4}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}\|\nabla\Pi\|_{L^{2}}\|u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{4}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\big)\|u\|_{L^{4}}^{2} \\ \leq \frac{1}{2}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}\big)\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\big). \end{array} $

(3.30)

再由嵌入$H^{2}(\mathbb{R} ^{3})\hookrightarrow L^{3}(\mathbb{R} ^{3})\hookrightarrow\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}(\mathbb{R} ^{3})$可知$ \|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}\leq C\|\Pi\|_{L^{3}}\leq C\|\Pi\|_{H^{2}}. $因此, 由(3.30)和(3.12)式可推得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.31} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^{4}}^{4} \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})} \Big) \\ \times \Big(1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})} \Big) \\ \times\ln\Big({\rm e}+\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big). \end{array} $

(3.31)

同样, 在条件(1.13)下, 对任意给定的常数$\sigma>0$, 总存在$T_{0} <T$使得

$ \int_{T_{0}}^{T}\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})}{\rm d}t <\sigma. $

再对任意的$T_{0}\leq t < T$, 在区间$[T_{0}, t]$上对(3.31)式应用Gronwall不等式, 我们有

$ \begin{array}{l}\label{eq3.32} \|u(t)\|_{L^{4}}^{4} \leq C_{1}\exp\Big(C\int_{T_{0}}^{t}\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\Pi\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}\big){\rm d}\tau\ln({\rm e}+Y(t)) \Big) \\ \leq C_{1}\exp\big(2C\sigma\ln({\rm e}+Y(t))\big) \\ \leq C_{1}({\rm e}+Y(t))^{2C\sigma}. \end{array} $

(3.32)

基于结果(3.32), 可利用与引理3.1类似的方法和步骤得到估计(3.1), 略.证毕.

基于条件(1.14), 我们有如下局部光滑解的先验估计.

引理3.3  在引理3.1的假设条件下, 如果我们用条件(1.14)替代条件(1.12), 仍然可得估计(3.1).

证  基于条件(1.14), 利用(2.2)和(3.29)式, 我们对$I_{1}$做如下估计

$ \begin{array}{l}\label{eq3.33} I_{1} --\int_{\mathbb{R} ^{3}}\nabla\Pi\cdot |u|^{2}u{\rm d}x\leq \|\nabla \Pi\|_{L^{4}}\|u\|_{L^{4}}^{3}\leq C\|\nabla \Pi\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla \Pi\|_{BMO}^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{4}}^{3} \\ \leq C\|\nabla \Pi\|_{BMO}^{\frac{1}{2}}\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\big)^{\frac{1}{2}}\|u\|_{L^{4}}^{3} \\ \leq C\|\nabla \Pi\|_{BMO}^{\frac{1}{2}}\big(\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{\frac{1}{4}}\big)\|u\|_{L^{4}}^{3} \\ \leq \frac{1}{2}\||u||\nabla u|\|_{L^{2}}^{2}+C\big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla \Pi\|_{BMO}^{\frac{2}{3}}\big)\big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\big). \end{array} $

(3.33)

合并(3.33)和(3.12)式, 并利用(2.3)式可得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.34} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^{4}}^{4} \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla \Pi\|_{BMO}^{\frac{2}{3}}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}\ln^{\frac{1}{3}}({\rm e}+\|\nabla\Pi\|_{H^{2}})\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\nabla\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}} \Big) \\ \times\Big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla\Pi\|_{H^{2}})\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big) \\ \leq C\Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\nabla\Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}} \Big) \\ \times\ln\Big({\rm e}+\|\nabla\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+\|(\Delta v, \Delta w)\|_{L^{2}}^{2}\Big)\Big(1+\|u\|_{L^{4}}^{4}\Big). \end{array} $

(3.34)

同样, 在条件(1.14)的假设下, 对任意给定的常数$\sigma>0$, 总存在$T_{0} <T$使得

$ \begin{array}{l} \int_{T_{0}}^{T}\frac{\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}{\rm d}t <\sigma. \end{array} $

从而由Gronwall可推得

$ \begin{array}{l}\label{eq3.35} \|u(t)\|_{L^{4}}^{4} \leq C_{1}\exp\bigg(C\int_{T_{0}}^{t} \Big(1+\|(\nabla v, \nabla w)\|_{L^{2}}^{2}+\frac{\|\nabla \Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \Pi\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}\Big){\rm d}\tau \\ \times \ln({\rm e}+Y(t)) \bigg) \\ \leq C_{1}\exp\big(2C\sigma\ln({\rm e}+Y(t))\big) \\ \leq C_{1}({\rm e}+Y(t))^{2C\sigma}. \end{array} $

(3.35)

基于结果(3.35), 可利用与引理3.1类似的方法和步骤得到估计(3.1), 略.证毕.

本节我们给出定理1.1和定理1.2的证明.由于初值$u_{0}\in H^{3}(\mathbb{R} ^{3})$, $\nabla\cdot u_{0}=0$, $v_{0}, w_{0}\in L^{1}(\mathbb{R} ^{3})\cap H^{2}(\mathbb{R} ^{3})$, 则由文献[6]中的局部存在性定理可知存在时间$T^{*}$, 以及在区间$[0, T^{*})$上对应于初值$(u_{0}, v_{0}, w_{0})$的唯一解$(\widetilde{u}, \widetilde{v}, \widetilde{w})$满足

$ \left\{\begin{array}{ll} \widetilde{u}\in C([0, T^{*}), H^{3}(\mathbb{R} ^{3}))\cap L^{\infty}(0, T^{*}; H^{3}(\mathbb{R} ^{3}))\cap L^{2}(0, T^{*}; H^{4}(\mathbb{R} ^{3})), \\ \widetilde{v}, \widetilde{w}\in C([0, T^{*}), H^{2}(\mathbb{R} ^{3}))\cap L^{\infty}(0, T^{*}; H^{2}(\mathbb{R} ^{3}))\cap L^{2}(0, T^{*}; H^{3}(\mathbb{R} ^{3})). \end{array}\right. $

而由文献[5]可知:若弱解$(u, v, w)$存在, 则在$[0, T^{*})$上一定和局部光滑解是重合的, 即

$ \widetilde{u}\equiv u, \ \ \widetilde{v}\equiv v, \ \ \widetilde{w} \equiv w, \ \ \ \ \ t\in[0, T^{*}). $

因此我们只需要证明$T\le T^{*}$.反设$T^{*} <T$, 不失一般性, 我们假设$T^{*}$是解$(\widetilde{u}, \widetilde{v}, \widetilde{w})$的最大存在时间.由唯一性可知, 在$[0, T^{*})$上有$\widetilde{u}\equiv u$, $\widetilde{v}\equiv v$和$\widetilde{w} \equiv w$, 因此对应于条件(1.12)-(1.14), 有下述三个条件成立

$ \int_{0}^{T^{*}}\frac{\|\widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}}{\sqrt{1+\ln({\rm e}+\|\widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})}}{\rm d}t <\infty, $

$ \int_{0}^{T^{*}}\frac{\|\widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}}^{2}}{1+\ln({\rm e}+\|\widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{-1}_{\infty, \infty}})}{\rm d}t <\infty, $

$ \int_{0}^{T^{*}}\frac{\|\nabla \widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}}^{\frac{2}{3}}}{\big(1+\ln({\rm e}+\|\nabla \widetilde{\Pi}(\cdot, t)\|_{\dot{B}^{0}_{\infty, \infty}})\big)^{\frac{2}{3}}}{\rm d}t <\infty, $

这里$\widetilde{\Pi}$是由$\widetilde{u}$, $\widetilde{\Psi}$通过方程$(1.1)_{1}$而确定, 而$\widetilde{\Psi}$是由$\widetilde{v}$和$\widetilde{w}$通过方程$(1.1)_{5}$来确定.因此, 根据引理3.1, 引理3.2和引理3.3, 我们能够将局部光滑解$(\widetilde{u}, \widetilde{v}, \widetilde{w})$延拓至时间$T^{*}$, 这和$T^{*}$的极大性是相矛盾的.因此, $T\le T^{*}$, 我们完成了定理1.1和定理1.2的证明.