同轴圆筒间Couette-Taylor流问题是典型的旋转流动问题, 它提供了从层流到湍流过渡非常好的例子.国内外众多学者对其复杂的动力学行为进行了大量深入的研究, 相关文献非常丰富^[1-12](文献[1-12]只是二千多篇文献中较少的一部分).如果内圆筒旋转, 外圆筒静止, 在低雷诺数的情况下, 基本Couette流是唯一的, 即当旋转角速度$\omega$很小时, 流体绕圆筒的轴线作水平圆周运动, 这种流动称为Couette流动.当$\omega$达到某个临界值$\omega_{1c}$时, Couette流动开始失去稳定性, 并出现新的定常流动, 这种流动是轴对称的, 沿着轴线方向规则地分布着旋涡, 相邻的旋涡是反向的, 称其为Taylor涡流, 即在通过轴的子午面内, 沿Z轴方向出现周期性旋涡, 并且关于Z成镜面反射对称.Taylor旋涡是环形涡, 它仍然是定常流动, 而且是稳定的.如果$\omega$继续增大, 越过第二临界值$\omega_{2c}$时, Taylor旋涡转化成Taylor行进波, 这是一种沿旋转轴均匀运动的波, 破坏了对时间和旋转轴的不变性, 但仍是一种周期性运动, 并且在一个适当的旋转标架里, 流动看来还是定常的, 这样的周期运动称为旋转波.当$\omega$继续增大时, 第三次转变发生, 流动变成拟周期, 它的次频率作为调制旋转波, 再经过若干阶段, 进入湍流, 具体见文献[3-12].以往的研究工作大都侧重于从流动的稳定性和分叉理论开展研究, 主要是利用分歧理论来解释和分析实验中观察到的流动发展到湍流前的各种涡流及其相互演化的过程, 以及从层流过渡到湍流的方式及仿真等, 而对流动发展到湍流之后混沌吸引子的存在性及仿真等问题目前很少有文献涉及.由于圆筒间Couette-Taylor流的全局吸引子是结构非常复杂和难于计算的, 而且湍流的发生通常表现为少数模态的失稳, 所以我们采用简化模态的低模分析方法进行数值仿真.其理论基础和依据是惯性流形和近似惯性流形理论(它们被认为是一种包含全局吸引子, 且指数吸引所有轨道的低维光滑流形), 也就是无穷维动力系统复杂的动力学行为通常源于简单的起源, 并可由简单方程来分辨.这种简化模态的低模分析方法不但可以克服Couette-Taylor流问题性质不好把握的困难, 而且所得到的类Lorenz方程组将包含非常丰富而有意义的内容, 这对探讨Navier-Stokes方程的分歧、湍流等非线性现象是十分有意义的.虽然类Lorenz方程组的性态与Couette-Taylor流实际流动不尽相同, 但它可以把要模拟的自由度数减到最少, 同时又能抓住流动的某些本质特征, 这种用简单模型去反映复杂问题的某些特性的低模分析方法是一种有价值的尝试.当然实验中观察到的湍流发生前的令人神往和迷惑的波形涡可能超出了有限模态类Lorenz方程组所表达的范围, 因此不能期望获得此复杂问题的一切细节, 我们研究的重点是探讨Couette-Taylor流演化成湍流前三种典型流动的解释以及流动过渡到湍流后混沌行为的某些特征及其仿真.

文献[1]将Lorenz截断法用于Couette-Taylor流问题, 给出一些理论结果, 或许是模态过于简单而且任意, 文献[1]并没有发现混沌现象.文献[2]运用特征谱方法探讨这一问题, 截取了一个三模系统, 证明了其吸引子的存在性, 讨论了系统的全局稳定性和吸引子的Hausdorff维数上界的估计, 讨论了Couette-Taylor流三模态类Lorenz型方程组的动力学行为, 包括定态的失稳、极限环的出现、分岔与混沌的演变和全局稳定性分析等, 通过线性稳定性分析和数值模拟等方法给出了此三维模型分岔与混沌等动力学行为及其演化历程, 并借此解释了Couette-Taylor流试验中观察到的部分涡流的演化过程.基于系统的分岔图、Lyapunov指数谱、功率谱、庞加莱截面和返回映射等揭示了系统混沌行为的普适特征.本文探讨了此三模态系统的混沌行为及仿真问题, 数值模拟了系统分岔与混沌的演变历程, 讨论了系统的全局稳定性.

文献[2]利用同轴圆筒间隙区域Stokes算子的特征函数作为基函数对周期性边界条件Navier-Stokes方程进行傅里叶展开, 将原偏微分方程组化为常微分方程组, 取傅里叶级数的前三项, 得到下列方程组

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot x = - \sigma x + cy ,\\ \dot y = -xz +arx -y,\\ \dot z = xy-bz , \end{array} \right. $

(2.1)

这里$x,y,z$是傅里叶系数, 它们是时间$t$的函数, $\sigma,a,b,c$都是正的参数, $r$为雷诺数.

文献[2]探讨了同轴圆筒间旋转流动的Couette-Taylor流的部分动力学行为及仿真问题, 讨论了Couette-Taylor流三模态类Lorenz型方程组的动力学行为, 包括定态的失稳、极限环的出现、分岔与混沌的演变和全局稳定性分析等, 通过线性稳定性分析和数值模拟等方法给出了此三维模型分岔与混沌等动力学行为及其演化历程, 并借此解释了Couette-Taylor流试验中观察到的部分涡流的演化过程.基于系统的分岔图、Lyapunov指数谱、功率谱、庞加莱截面和返回映射等揭示了系统混沌行为的普适特征.

随着雷诺数$r$的增大, 类Lorenz方程组(2.1) 的动力学行为发生了一系列变化, 如出现了Hopf分岔和混沌等非线性现象.下面就来详细数值模拟系统(2.1) 从分岔到混沌的全过程.采用四阶龙格-库塔算法, 对系统方程(2.1) 求数值解, 进而画出仿真图以揭示系统的混沌行为. 图 3.1给出了状态变量$x$随$r$变化的全程分岔图, 它展示了系统分岔和混沌演变的全过程, 系统通过阵发途径发生混沌, 最终由倒周期倍分叉回归周期状态.在混沌带中镶嵌有较宽的周期轨道, 说明此系统的这些周期运动比较稳定, 而且出现了明显的倒分叉现象. 图 3.2给出了系统随参数$r$变化的最大Lyapunov指数谱.从图中可以看出最大Lyapunov指数大于零的区域与分岔图 3.1显示的混沌区域是一致的, 这两幅较好地展示了系统从阵发到混沌再到周期解的转化历程, 下面我们作进一步细致的观察与分析.

随着系统参数$r$从0开始增加, 在$r=R_1=31.61$处系统(2.1) 系统由暂态混沌直接进入混沌状态, 这种到达混沌的方式应该属于阵发性混沌.在$R_1=31.61<r<R_2=478.34$系统(2.1) 处于混沌状态, 其中包含了五个明显的周期窗口, 当$r\geq R_2$开始系统经倒周期倍分叉最终归于周期状态.

通过进一步的局部放大, 可以观察到系统在很小参数范围内更细微的分岔结构, 把分岔图 3.1中箭头所指的区域局部放大得到分岔图 3.3和图 3.4, 从中观察到系统在混沌态、拟周期和周期状态的演化中都经历了倒周期倍分叉过程. 图 3.3(a)(b)是经倒周期倍分叉到达三周期状态, 又经阵发进入混沌; 而图 3.3(c)是经倒周期倍分叉到达四周期状态, 又经阵发到达混沌; 而图 3.4是经倒周期倍分叉到达二周期状态, 经阵发到达混沌.同时我们发现图 3.4中仍然包含更小的周期窗口, 与整体图十分相似, 而且这些分岔图中都具有这样的自相似结构.这也验证了混沌无序中蕴含着十分复杂的有序, 从混沌的相空间任意取出一部分放大看, 仍像整体那样极不规则、具有无穷精细结构和某种自相似.

系统(2.1) 在相同周期下的吸引子具有不同的形态, 图 3.5给出了不同雷诺数下类Lorenz系统(2.1) 的几种吸引子

一般而言, 非线性系统所遵循复杂的规律是无法通过简单的推导和初等的计算得到的.系统在经过一段时间后, 将会出现哪种``永久的状态"这样的实际问题所对应的数学问题就是研究动力系统的长期行为.耗散动力系统的混沌行为是由于存在着一个复杂的吸引子而引起的, 而这个吸引子就是系统的所有轨道当时间趋于无穷时收敛到的集合, 它的复杂结构就是导致我们观察到的混沌现象的原因.因此, 研究吸引子的存在性和数值模拟就成为一个重要的问题.下面我们就来证明系统(2.1) 的吸引子存在性, 为讨论方便我们作如下变换: $x\mapsto x,y\mapsto y,z\mapsto z+ar+c$, 则系统(2.1) 化为

$ \left\{\begin{array}{ll} \stackrel{.}{x}=-\sigma x+cy ,& (1)\\ \stackrel{.}{y}=-xz-cx-y,&(2)\\ \stackrel{.}{z}=xy-bz-b(ar+c). & (3) \end{array}\right. $

(4.1)

取$H={\Bbb R}^3,u(t)=(x,y,z)$, 对类Lorenz方程组(4.1) 作如下运算$(1)\times x+(2)\times y+(3)\times z$得

$\dot{x}x+\sigma x^2+\dot{y}y+y^2+\dot{z}z+bz^2=-b(ar+c)z. $

因此有

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(x^2+y^2+z^2)+(\sigma x^2+y^2+bz^2)=-b(ar+c)z.$

令$\mid u(t)\mid^2=x^2+y^2+z^2$, 利用Young不等式^[16]得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(x^2+y^2+z^2)+(\sigma x^2+y^2+bz^2)=\\-b(ar+c)z \leq \frac{b^2}{4(b-1)}(ar+c)^2+(b-1)z^2,$

所以

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\mid u\mid^2+(\sigma x^2+y^2+bz^2)\leq \frac{b^2}{4(b-1)}(ar+c)^2. $

令$l=\min(1,\sigma)$, 则有

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\mid u\mid^2+2l\mid u(t)\mid^2\leq \frac{b^2}{2(b-1)}(ar+c)^2.$

所以由Gronwall不等式^[16]得

$\mid u\mid^2\leq \mid u(0)\mid^2{\rm e}^{-2lt}+\frac{b^2}{4l(b-1)}(ar+c)^2(1-{\rm e}^{-2lt}),$

因此有

$\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\mid u(t)\mid^2\leq \frac{b^2}{4l(b-1)}(ar+c)^2,$

故有

$\lim\limits_{t\rightarrow \infty}\sup\mid u(t)\mid\leq \frac{b}{2\sqrt{(b-1)}}(ar+c)=\rho_0.$

记$\sum=B(0,\rho)$, 其中$\rho\geq \rho_0$充分大, 则$\sum $是泛函不变集和吸引集^[16], 因此系统(4.1)(即(2.1))存在全局吸引子^[16].

当非线性系统具有全局稳定性时, 其轨线所收敛的单连通闭区域称为系统的捕捉区.只要能证明捕捉区的存在, 不论其中的定常解是否稳定, 系统均具有全局稳定性.而研究系统的全局稳定性主要借助于李雅普诺夫第二方法^[17-18].其基本思想是构造一个函数, 然后利用它的性质和这个函数沿系统(4.1) 的轨线方向的全导数的性质以确定(4.1) 式平衡点的稳定性, 从而确定系统的捕捉区.对类Lorenz系统(4.1) 取李雅普诺夫函数为

$V(x,y,z)=x^2+y^2+z^2>0. $

令$V(x,y,z)=k$, 显然当$k$是一正常数时, 上式表示H上的一球面, 记为E.求$V$的导数

$ \begin{array}[b]{rl} \frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}&=2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z}\\[2mm] &=-2(\sigma x^2+y^2+b(z^2+(ar+c)z)\\[2mm] & =-2[\sigma x^2+y^2+b(z+\frac{ar+c}{2})^2-\frac{(ar+c)^2}{4}]. \end{array} $

(4.2)

显然$\sigma x^2+y^2+b(z+\frac{ar+c}{2})^2=\frac{(ar+c)^2}{4}$表示H中一椭球面, 记此椭球面为C, 由(4.2) 式得:在C域以外$\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}<0$; 在C上$\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}=0$; 在C域内$\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}>0$.于是, 若把$k$取得充分大, E即可包围C.这样, 从(4.2) 式可知, 在C外面, $\frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}<0$, $V \frac{{\rm d}V}{{\rm d}t}<0$.由李雅普诺夫定理^[15]的分析得知, E外系统(4.1) (即(2.1))的解轨线都将进入E内.可见, E就是类Lorenz系统(4.1) (即(2.1))的捕捉区.虽然这时类Lorenz系统(2.1) 平衡点$O$和$P^{\pm}$都不稳定, 但系统仍具有全局稳定性:系统最终要收缩到捕捉区内, 而区内又无收点, 因此系统只能在区内不停的振荡.于是轨线最终要在捕捉区内形成一个不变集合, 这就是所谓的奇怪吸引子.当系统作混沌运动时, 其相空间轨线往往受到折叠作用, 这就使吸引子具有十分复杂而独特的性质和结构.人们称混沌运动这种具有独特性质和结构的吸引子为奇怪吸引子, 它是整体稳定性和局部不稳定性一对矛盾的统一体.

下面给出系统(2.1) 的相图随着雷诺数$r$增加的演变过程, 首先系统的定态$O$由稳定变得不稳定, 定态$P^{\pm}$随之出现, 而且由稳定变得不稳定(图 4.1是其中的一个定态(如$P^{+}$)附近解轨线图), 暂态混沌发生(图 4.2, 4.3); 进而过渡到混沌(图 4.4); 在混沌区由倒周期倍分叉出现了五个周期窗口区($187<r<395.5$, 见吸引子图 4.5, 4.6, 前面的局部分叉图 3.3给出了其中的3个周期窗口); 在这些周期窗口区内周期状态又由阵发性直接过渡到混沌(图 4.7); 混沌又经倒周期倍分叉最终过渡到拟周期状态(不变环面) (图 4.8, 4.9)

本文研究了同轴圆筒间旋转流动的Couette-Taylor流三模态类Lorenz型方程组的部分动力学行为及仿真问题, 仿真结果表明此系统随参数增加, 由不稳定的周期轨道经暂态混沌直接进入混沌状态, 这种到达混沌的方式应该属于阵发性混沌.混沌区中包含了五个明显的周期窗口, 经局部放大后仿真研究知, 都是经倒周期倍分叉进入周期状态, 进而由阵发性再到达混沌, 系统最终也是经倒周期倍分叉归于环面状态.Couette-Taylor流的湍流行为是由于雷诺数$r$的增大系统稳定的不动点和周期轨道持续丧失稳定性而逐渐产生的, 本文的数值结果从一个侧面反映了Couette-Taylor流湍流行为的某些特征, 此三模系统通向混沌的道路与著名的Lorenz方程基本相同, 但在高雷诺数下系统的状态与Lorenz方程截然不同, Lorenz方程在高雷诺数下是稳定的周期状态, 而此三模系统最终状态是稳定的环面.简化模型通常是处理无穷维问题的常用方法, 为获得无穷系统Couette-Taylor流的动力学行为, 对其进行低维分析是非常有意义的.而且经典的湍流理论认为湍流是一种具有有限个自由度的运动, 这在Navier-Stokes方程全局吸引子分数维的有限性已获得强有力的支持, 本文结果也说明了采用低模分析方法来讨论旋转流动这样的无穷维问题是切实可行的.