贯穿全文, 置${\Bbb N}=\{1, 2, \cdots \}$, ${\Bbb N}_0=\{0, 1, \cdots \}$.设$(X, \varrho)$为非平凡紧致度量空间, 映射$T: X\longrightarrow X$连续, 则称$(X, T)$为一动力系统. Specification -性质源于Bowen^[1]于1971年关于公理A-微分同胚的研究.近来, 该性质被学者们推广为众多的类specification性质(关于这方面的最新进展可参见文献[2]).本文致力于如下的弱specification性质.其最初的研究始于Marcus^[3]的工作.文献[2]举例说明了弱specification性质与几乎specification性质是相互独立的概念.由于specification性质强于几乎specification性质, 因此, 弱specification性质是严格弱于specification性质的.

设$x\in X$, $a, b\in {\Bbb N}_0$, 定义点$x$在区间$[a, b]$上的轨道为

$ T^{[a, b]}(x):=\left\{T^{a}(x), T^{a+1}(x), \cdots, T^{b}(x)\right\}. $

$M: {\Bbb N}\longrightarrow {\Bbb N}$为一函数.称序列$\xi=\left\{T^{[a_{i}, b_{i}]}(x_{i})\right\}_{i=1}^{n}$为一条$M$-spaced specification, 如果对任意$i\in [2, n]$, $a_{i}-b_{i-1}\geq M(b_{i}-a_{i}+1)$.

称序列$\xi=\left\{T^{[a_{i}, b_{i}]}(x_{i})\right\}_{i=1}^{n}$被点$z\in X$-$\varepsilon$-跟踪, 如果对任意$i\in [1, n]$及任意$k\in [a_{i}, b_{i}]$,

$ \varrho(T^{k}(z), T^{k}(x_{i}))<\varepsilon. $

定义1  称动力系统$(X, T)$具有

(1) 弱specification性质, 如果对任意$\varepsilon>0$, 存在递增函数$M_{\varepsilon}: {\Bbb N}\longrightarrow {\Bbb N}$满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}M_{\varepsilon}(n)/ n=0$, 使得每条$M_{\varepsilon}$-spaced specification都能被$X$中某点$z$-$\varepsilon$-跟踪;

(2) Specification性质, 如果对任意$\varepsilon>0$, 存在常值函数$M_{\varepsilon}: {\Bbb N}\longrightarrow {\Bbb N}$, 使得每条$M_{\varepsilon}$-spaced specification都能被$X$中某点$z$-$\varepsilon$-跟踪.如果再附加条件$T^{b_{n}-a_{0}+M_{\varepsilon}}(z)=z$, 则称$(X, T)$具有周期specification性质或者强specification性质.

如果$(X, T)$不真包含任何非空闭不变子集, 则称$(X, T)$为极小的.如果子系统$(Y, T|_{Y})$为极小的, 则称子集$Y$为$X$的极小集, 并称$Y$中的点为极小点.动力系统$(X, T)$全体极小点构成的集合记为${\rm M}(T)$.关于更一般的$P$-极小系统, 请参见文献[4-5].如果对任意$\varepsilon>0$, 存在$N\in {\Bbb N}$, 使得对任意$k\in {\Bbb N}_0$, 存在$n\in [k, k+N]$, 使得$\varrho(x, T^{n}(x))<\varepsilon$, 则称点$x\in X$为动力系统$(X, T)$的几乎周期点. Gottschalk^[6-7]得到了极小点和几乎周期点等价.对极小点, Auslander和Ellis得到了如下著名的结论:

引理1  设$(X, T)$为动力系统.则对任意$x\in X$, 存在$y\in \overline{\{T^{n}(x): n\in {\Bbb N}_0\}} \cap {\rm M}(T)$, 使得

$\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \varrho(T^{n}(x), T^{n}(y))=0.\end{eqnarray*} $

称点$x\in X$为非游荡点, 如果对$x$的任意邻域$U$, 存在$n\in {\Bbb N}$, 使得$U\cap T^{-n}(U)\neq \emptyset$.记全体非游荡点构成的集合为$\Omega(T)$.需要指出的是$T(\Omega(T))=\Omega(T)$一般不成立.由非游荡点的定义, 不难验证:

(1) $\Omega(T)$为闭不变子集;

(2) $x\in \Omega(T)$当且仅当存在序列$\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\subset X$及严格递增的数列$\{n_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subset {\Bbb N}$, 使得

$\ \ \ \ \ \ \begin{eqnarray*}\underset{\mathit{k}\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\mathit{x}}_{\mathit{k}}}=\mathit{x}\rm{并且}\underset{\mathit{k}\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\mathit{T}}^{{{\mathit{n}}_{\mathit{k}}}}}({{\mathit{x}}_{\mathit{k}}})=\mathit{x};\end{eqnarray*} $

(3) $\Omega(T)\subset \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$.

对一个紧致度量空间$(X, \varrho)$, 有一个自然的$\sigma$ -代数与之对应, 即Borel-$\sigma$-代数${\mathcal{B(X)}}$.记$M(X)$为${\mathcal{B(X)}}$上全体概率测度的集合.记$M(X, T)\subset M(X)$为全体$T$不变的Borel-概率测度, 而$E(X, T)\subset M(X, T)$为全体遍历测度.

设$\mu\in M(X)$.定义$\mu$的支撑为

$ \rm{supp}(\mathit{\mu })=\left\{ \left. \mathit{x}\in \mathit{X}:\rm{ 对}\mathit{x}\rm{的任意邻域}\ \mathit{U}, \ \mu (\mathit{U})>0 \right\} \right.; $

子集$E\subset X$称为动力系统$(X, T)$的支撑, 如果(1) $\overline{E}=E$, (2) $T(E)\subset E$; (3) 对任意$\mu\in M(X, T)$, $\mu(E)=1$.并且$E$无真子集也满足这些条件.同时将$(X, T)$的支撑记为${\rm{supp}}(X, T)$ (参见文献[8]) (文献[9]称其为测度中心).本文沿用文献[9]的称谓, 称其为测度中心.注意到${\rm{supp}}(X, T)$为闭的强不变子集, 不难验证: ${\rm{supp}}(X, T)=\overline{\bigcup\{{\rm{supp}}(\mu): \mu\in M(X, T)\}}$并且${\rm{supp}}(X, T)\subset \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$.本文主要结果表明具有弱specification性质的系统满足

$\begin{eqnarray*} {\rm{supp}}(X, T)= \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X).\end{eqnarray*} $

类比于我们在文献[10]关于specification-性质的结论, 对弱specification性质, 首先有:

定理1  如果动力系统$(X, T)$具有弱specification性质, 则以下结论成立:

(1) ${\rm supp}(X, T)=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)=\Omega(T)=\overline{{\rm M}(T)}$;

(2) $({\rm supp}(X, T), T|_{{\rm supp}(X, T)})$具有弱specification性质.

证  任意给定$\varepsilon>0$, 同时取$M_{\varepsilon/3}: {\Bbb N}\longrightarrow {\Bbb N}$为弱specification性质定义中对应于$\varepsilon/3$的单调递增函数.任取$M_{\varepsilon/3}$-spaced-specification $\xi=\left\{T^{[a_{i}, b_{i}]}(x_{i})\right\}_{i=1}^{n}$满足$\{x_{i}: 1\leq i\leq n\} \subset \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$.令$p=b_{n}+1+\sum\limits_{i=1}^{n} M_{\varepsilon/ 3}(b_{i}-a_{i}+1)$, 并且$a_{i+jn}=a_{i}+jp$, $b_{i+jn}=b_{i}+jp$ ($j\in {\Bbb N}_{0}$, $i\in [1, n]$).对任意$i\in [1, n]$, 因为$x_{i}\in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$, 所以

$ \rm{对任意}\mathit{j}\in \mathbb{N}, \rm{ 存在}{{\mathit{x}}_{\mathit{i}\rm{+}\mathit{jn}}}\in \mathit{X}, \rm{使得}{{\mathit{T}}^{\mathit{jp}}}({{\mathit{x}}_{\mathit{i}\rm{+}\mathit{jn}}})={{\mathit{x}}_{\mathit{i}}}\rm{.} $

(1)

注意到对任意$j\in {\Bbb N}$, $\xi^{(j)}:=\left\{T^{[a_{i}, b_{i}]}(x_{i})\right\}_{i=1}^{jn}$为一条$M_{\varepsilon/3}$-spaced-specification, 所以存在$z_{j}\in X$, 使得$\xi^{(j)}$被点$z_{j}$-$\varepsilon/3$-跟踪.任取序列$\{z_{j}\}_{j=1}^{\infty}$的一个极限点$z$, 注意到$T$一致连续, 不难验证:对任意$i\in [1, n]$及$j\in {\Bbb N}_0$, 对任意$k\in [a_{i+jn}, b_{i+jn}]$, 恒有

$ \begin{equation}\label{e-2} \varrho(T^{k}(z), T^{k}(x_{i+jn}))<2\varepsilon/3. \end{equation} $

(2)

事实上, 不妨假设子序列$\{z_{l_s}\}_{s=1}^{\infty}$满足$\displaystyle \lim_{s\rightarrow\infty}z_{l_s}=z$.任意取定$j\in {\Bbb N}_0$, 则存在$l_s>(j+1)n$, 使得对任意$i\in [1, n]$及任意$k\in [a_{i+jn}, b_{i+jn}]$,

$ \varrho(T^{k}(z), T^{k}(z_{l_s}))<\varepsilon/ 3. $

注意到$\xi^{(l_s)}$被点$z_{l_s}$-$\varepsilon/3$-跟踪, 因此

$ \varrho(T^{k}(z), T^{k}(x_{i+jn}))\leq \varrho(T^{k}(z), T^{k}(z_{l_{s}}))+ \varrho(T^{k}(z_{l_s}), T^{k}(x_{i+jn}))<2\varepsilon/3. $

由引理1, 存在极小点$a\in {\rm M}(T)$, 使得

$\begin{eqnarray*} \displaystyle \liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \varrho(T^{n}(z), T^{n}(a))=0.\end{eqnarray*} $

因此, 存在$j_0\in {\Bbb N}_0$, 使得对任意$s\in [j_0p, (j_0+1)p]$, $\varrho(T^{s}(z), T^{s}(a)) < \varepsilon/ 3$.由此结合(1) 式和(2) 式, 对任意$i\in [1, n]$及任意$k\in [a_{i}, b_{i}]$, 注意到$T^{j_{0}p}(x_{i+j_0n})=x_i$, 则有

$\begin{eqnarray*} \varrho(T^{k}(T^{j_0p}(a)), T^{k}(x_{i}))&\leq& \varrho(T^{k}(T^{j_0p}(a)), T^{k+j_0p}(z))+ \varrho(T^{k+j_0p}(z), T^{k+j_0p}(x_{i+j_0n}))\\ &<&\varepsilon/3+ 2\varepsilon/ 3=\varepsilon. \end{eqnarray*} $

显然$T^{j_0p}(a)\in {\rm M}(T)\subset \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$.这表明$\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$中的任意$M_{\varepsilon/3}$-spaced-specification能被${\rm M}(T)$的某点-$\varepsilon$-跟踪.因此

$ \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)=\overline{{\rm M}(T)}. $

由于${\rm M}(T)\subset {\rm supp}(X, T)\subset \Omega(T)\subset \bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$, 所以

$ {\rm supp}(X, T)=\Omega(T)=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)=\overline{{\rm M}(T)}. $

由此自然便有$({\rm supp}(X, T), T|_{{\rm supp}(X, T)})$具有弱specification性质.

如果对任意非空开子集$U, V\subset X$, 存在$N\in {\Bbb N}_0$, 使得对任意$n\geq N$, 恒有$U\cap T^{-n}(V)\neq \emptyset$, 则称动力系统$(X, T)$是(拓扑)混合的.结合定理1和文献[2, 定理17]自然可得如下推论:

推论1  如果动力系统$(X, T)$具有弱specification性质, 则$({\rm{supp}}(X, T), T|_{{\rm{supp}}(X, T)})$是拓扑混合的.

注1  (1) 文献[2, 定理17]证明了具有弱specification性质的满射系统是拓扑混合的.由于存在拓扑传递而非弱混合并且Proximal(1) 的唯一遍历系统(见文献[11, 例子8.6]), 并且这样的系统不具有弱specification性质(因为它是非拓扑混合的满射), 并且其在测度中心的限制系统具有弱specification性质(因为它的测度中心为单点集), 因此测度中心的弱specification性质不能保证整个系统具有该性质.

(1) 如果对任意$x, y\in X$, 恒有$\displaystyle \liminf_{n\rightarrow\infty} \varrho(T^{n}(x), T^{n}(y))=0$, 则称动力系统$(X, T)$是Proximal的.

(2) 显然specification性质也具有类似于定理1的结果.因此, 具有specification性质或者弱specification性质的系统的测度中心刚好为最大的闭强不变子集$\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}T^{n}(X)$.

(3) 由定理1和文献[10, 定理6.7], 所有Proximal的唯一遍历满射系统都具有几乎specification性质而不具有弱specification性质.

称空间$X$中的序列$\{x_{i}\}_{i=0}^{\infty}$为$T$的渐近平均伪轨, 如果

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} (1/ n)\sum\limits_{i=0}^{n-1}\limits\varrho(T(x_{i}), x_{i+1})=0.\end{eqnarray*} $

如果对$T$的任意渐近平均伪轨$\{x_{i}\}_{i=0}^{\infty}$, 存在$z\in X$, 使得

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} (1/ n)\sum\limits_{i=0}^{n-1}\limits\varrho(T^{i}(z), x_{i})=0, \end{eqnarray*} $

则称动力系统$(X, T)$具有渐近平均跟踪性质.

近来, Kwietniak, Ƚącka和Oprocha得到了对满射系统, 弱specification性质蕴含渐近平均跟踪性质^{[12, 定理18]}.同时在文献[12, 注记19]说明他们不知道满射条件能否去掉.关于动力系统跟踪性质和混沌性质的最新研究请参见文献[2, 10, 13-16].作为定理1的应用, 下面证明以上蕴含关系中"满射"条件是不必要的.由于拓扑传递而非弱混合并且Proximal的唯一遍历系统具有渐近平均跟踪性质而不具有弱specification性质, 因此弱specification性质严格强于渐近平均跟踪性质.

推论2  如果动力系统$(X, T)$具有弱specification性质, 则$(X, T)$具有渐近平均跟踪性质.

证  由定理1知$({\rm{supp}}(X, T), T|_{{\rm{supp}}(X, T)})$具有弱specification性质.注意到限制系统$({\rm{supp}}(X, T), T|_{{\rm{supp}}(X, T)})$为满射, 由此结合文献[6, 定理18]可得$({\rm{supp}}(X, T), T|_{{\rm{supp}}(X, T)})$具有渐近平均跟踪性质.由此结合文献[7, 定理5.2]可得$(X, T)$具有渐近平均跟踪性质.

Wang等^[17]于2013年得到了具有specification性质的满射系统是分布混沌的, 从而肯定地回答了文献[18]中的一个问题.作为推广和本文的结尾, 我们将证明具有弱specification性质的满射系统是分布混沌的.

如果$\displaystyle \liminf_{n\rightarrow \infty}\varrho(T^{n}(x), T^{n}(y))>0$, 则称点对$(x, y)\in X^{2}$是distal的.

引理2  如果动力系统$(X, T)$满足$\overline{{\rm M}(T)}=X$, 则$(X, T)$存在distal点对.

证  由文献[19, 命题3.6]知$\overline{{\rm M}(T\times T)}=X^{2}$.任取$(x, y)\in {\rm M}(T\times T) \setminus \Delta$ (其中$\Delta=\{(x, x)\in X^{2}: x\in X\}$), 不难验证: $(x, y)$是distal的.

定义2  如果存在不可数子集$\Gamma\subset X$及$\delta>0$, 使得对任意$(x, y)\in \Gamma\times \Gamma\setminus \Delta$, 恒有

(1) 对任意$\varepsilon>0$,

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left|\{0\leq i < n: \varrho(T^{i}(x), T^{i}(y)) < \varepsilon\}\right|=1;\end{eqnarray*} $

(2)

$\begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left|\{0\leq i < n: \varrho(T^{i}(x), T^{i}(y)) < \delta\}\right|=0.\end{eqnarray*} $

则称动力系统$(X, T)$是一致分布混沌的.

定理2  如果动力系统$(X, T)$为具有弱specification性质的满射, 则$(X, T)$是一致分布混沌的.

证  由定理1和引理2, $(X, T)$存在distal点对.由此结合推论2和文献[20, 定理3.2]自然得证$(X, T)$是一致分布混沌的.

注2  (1) 整个定理1、推论1和定理2的证明过程并不需要函数$M_{\varepsilon}$的单调性和$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} M_{\varepsilon}(n)/ n=0$.因此, 如果将弱specification性质定义中的$M_{\varepsilon}$的限制条件去掉, 这样定义的specification -性质仍然具有类似于定理1、推论1、注1(1) 和定理2的结果.

(2) 文献[17]为证明具有specification性质的满射系统的分布混沌性, 应用了极其繁琐的证明.然而利用定理1, 这个结论是很容易得到的(定理2).