长期以来, 蚊媒疾病的防治一直受到人们的关注. 登革热就是一种传染性极强的蚊媒疾病, 于1779年在印度尼西亚雅加达被发现, 距今已有200多年的历史. 目前, 登革热病毒已被分离出4种类型, 分别为登革病毒Ⅰ-Ⅳ型，均属于具致病性的血清型, 且彼此之间无交叉免疫性^[1]. 登革热病毒主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播(白纹伊蚊在我国俗称“花蚊子”), 这两种蚊群的数量庞大、孳生范围广泛且具有攻击性很强的白昼嗜人习性, 导致疾病具有较高的传染性. 近年来, 随着全球气候变暖, 蚊群的生活习性发生变化^[2], 其分布范围和密度都大幅度上升, 从而增加了疾病的感染风险. 感染登革病毒的患者会出现突然发热, 肌肉、骨关节痛, 皮疹, 出血或一些其他症状, 但感染者也有可能表现为无症状或轻微症状, 这类患者更容易导致疾病的诊断延迟, 使得疾病感染的发病率和死亡率不断增加. 随着人与自然的交汇融合以及经济全球化的发展趋势, 登革热病毒呈现出典型的输入性和突发性特征^[3], 在世界各地区间断性流行, 已经由最初的散发性疾病逐渐演变为全球公共卫生问题.

众所周知, 传染病的数学模型在过去的三十年中取得了显著发展, 并继续在数学、流行病学和传染病学的研究中蓬勃发展^[4-6]. 再次以登革热为例, 文献[7-10] 研究了一些关于登革热传播机制的动力学问题, 他们通过常微分系统中的基本再生数重点分析了平衡点的稳定性. 另有文献[11-14] 利用与蚊群和人群流动性有关的偏微分系统来研究登革热的传播. 诚然, 登革热的常微分方程模型中没有蚊群和人群的扩散项, 并且在大多数的登革热偏微分方程模型中, 蚊群和人群也只采用了相对简单的自由扩散形式. 但实际上, 另一个值得关注的事实是文献[15]中的作者强调了种群扩散与种群密度之间的联系, 为了避免过度拥挤, 各类种群的扩散过程除了出现随机扩散外也可能出现交错扩散, 这将有利于种群之间的共存. 考虑到交错扩散更具有实际意义, 文献[16-20] 的作者将其引入到不同的生物学模型和传染病模型. 例如, Lou等人^[16]研究了在某些合理的参数范围内具有交错扩散的三种群模型, 并探讨了非常值稳态解的不存在性. Jia等人^[17]使用单调迭代和谱分析方法研究了反应扩散Lotka-Volterra竞争模型的稳态解. 通过特征值方程, Zhao等人^[18]分析了具有交错扩散的斑马鱼模型的Hopf分支和Turing分支的一些充分条件, 并利用实例进一步证实了交错扩散对模式选择的影响. 此外, Cai和Wang^[19]在异质环境中将交错扩散引入到SIS传染病模型, 并指出是否存在交错扩散可能会导致完全不同的分支理论.

据我们所知, 目前将交错扩散引入到登革热模型的研究相对较少. 本文我们将重点关注与空间有关的具有交错扩散形式的登革热模型, 该模型能够反映人群和蚊群在异质环境中相互作用的扩散形式, 针对该模型, 我们将进一步提出控制登革热病毒的有效方法.

受文献[7]中登革热模型建模思想的启发, 我们令$ N_h $表示人群数量, 是一个常量, $ N_v $表示蚊群数量, 蚊群数量的变化可使用微分方程

$ N_v^{'}=A-\mu_vN_v $

进行描述, 其中$ A $是常数, 表示新增的蚊子数量, $ \mu_v $是蚊子的平均死亡率. 显然, 此方程的解$ N_v $随着$ t\rightarrow \infty $趋于平衡点$ \frac{A}{\mu_v} $.

一方面, 由于蚊子一旦受到登革病毒的感染就永远无法恢复, 我们将蚊子分为易感亚群($ s_v $)和感染亚群($ i_v $). 另一方面, 文献[21]中的研究表明, 由一种登革病毒造成的感染恢复后将对该病毒类型产生永久免疫性, 但对其他三种病毒仅具有短期免疫性, 甚至没有免疫性, 恢复者很容易再次成为易感者, 并且感染不同的血清型病毒后, 感染者患严重综合症的风险会大幅度上升. 基于这一事实, 我们将人群分为易感亚群($ s_h $)和感染亚群($ i_h $). 再根据文献[7]中的一些相关介绍可知每个易感者和易感蚊子的感染率分别是

$ \begin{eqnarray} \beta_hb\frac{N_v}{N_h}\frac{N_h}{N_h+m}\frac{i_v}{N_v}=\frac{\beta_hb}{N_h+m}i_v, \; \; \; \; \beta_vb\frac{N_h}{N_h+m}\frac{i_h}{N_h}=\frac{\beta_vb}{N_h+m}i_h, \end{eqnarray} $

其中$ \beta_h $表示从蚊子到人的传播率, $ \beta_v $表示从人到蚊子的传播率, $ b $表示每只蚊子每天叮咬的平均次数, 即蚊子的叮咬率, $ m $表示作为血液来源的其他宿主(比如宠物和牲口)的数量. 最后根据SIS仓室模型, 并假设感染者恢复率为$ \gamma_h $, 人群和蚊群的自然死亡率分别为$ \mu_H $和$ \mu_v $, 初步建立以下常微分登革热模型

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { } s'_h(t)=\mu_hN_h-\frac{\beta_hb}{N_h+m}s_hi_v+\gamma_hi_h-\mu_Hs_h, \\ { } i'_h(t)=\frac{\beta_hb}{N_h+m}s_hi_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, \\ { } s'_v(t)=A-\frac{\beta_vb}{N_h+m}s_vi_h-\mu_vs_v, \\ { } i'_v(t)=\frac{\beta_vb}{N_h+m}s_vi_h-\mu_vi_v, \\ s_h(0)>0, { } i_h(0)\geq0, s_v(0)>0, i_v(0)\geq0. \end{array} \right. \end{equation} $

显然, 从模型(1.1)中关于$ s_h $和$ i_h $的两个等式和初始条件可以看出

$ (s_h+i_h)'(t)=\mu_hN_h-\mu_H(s_h+i_h), t>0, \; \; \; (s_h+i_h)(0)=s_h(0)+i_h(0)>0, $

由此知$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(s_h+i_h)'(t)=\frac{\mu_hN_h}{\mu_H} $. 类似地, 根据模型(1.1)的后两个方程和初始条件可知$ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(s_v+i_v)'(t)=\frac{A}{\mu_v} $. 因此, 模型(1.1)被简化为

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { } i'_h(t)=\frac{\beta_hb}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, \\ { } i'_v(t)=\frac{\beta_vb}{N_h+m}\bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, \\ { } 0\leq i_h(0)\leq\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \; 0\leq i_v(0)\leq\frac{A}{\mu_v}. \end{array} \right. \end{equation} $

在传染病模型中, 基本再生数是一个重要的阈值参数, 它体现了在宿主族群中一个传染源在其平均患病期内的传染力的强度. 利用下一代矩阵法^[22], 我们可以计算出系统(1.1)或(1.2)的基本再生数为

(1.3) $ \begin{equation} R_0=\sqrt{\frac{\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {(\gamma_h+\mu_H)\mu_v}}. \end{equation} $

我们现在考虑交错扩散和空间环境的异质性, 模型(1.2)进一步扩展为

(1.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { } \frac{\partial i_h}{\partial t}-\Delta\bigr((d_1(x)+\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v})i_h\bigl) \\ { } =\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, &t>0, x\in\Omega, \\ { } \frac{\partial i_v}{\partial t}-\Delta\bigr((d_2(x)+\alpha_2(x)i_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h})i_v\bigl) \\ { } =\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, &t>0, x\in\Omega, \\ i_h(t, x)=i_v(t, x)=0, &t>0, x\in\partial\Omega, \\ { } 0\leq i_h(0, x)\leq\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \; 0\leq i_v(0, x)\leq\frac{A}{\mu_v}, &x\in\overline{\Omega}. \end{array} \right. \end{equation} $

这里$ \Omega\subset{{\mathbb{R}}} ^N $ ($ N\geq 1 $)为有界区域, $ \partial\Omega $为其光滑边界, 齐次Dirichlet边界条件表明边界$ \partial\Omega $上环境恶劣, 物种无法生存. $ \beta_h(x) $, $ \beta_v(x) $和$ b(x) $是充分光滑的非负函数, 仍然分别表示传播率, 叮咬率. 此外, $ d_i(x) $和$ \alpha_i(x) $ ($ i=1, 2 $) 分别表示与空间有关的自由扩散系数和自扩散系数, 非线性扩散$ \Delta\bigr(\bigr(\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\bigl)i_h\bigl) $和$ \Delta\bigr(\bigr(\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\bigl)i_v\bigl) $是交错扩散项. 交错扩散的数学形式首次出现在一类描述种间和种内竞争系统的模型^[15]中. 文献[23]中阐述到“从生物意义上讲, 交错扩散刻画了种群在扩散或流通过程中会受到其它种群的影响这一现象”, 这意味着不同种群之间的扩散会彼此影响. 模型(1.4)中, 我们注意到

(1.5) $ \begin{eqnarray} & &-\Delta\bigr(\bigr(\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\bigl)i_h\bigl){}\\ &=&\nabla\cdot\bigr[-\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\nabla i_h-i_h\cdot\frac{\beta_1(x)\nabla\gamma_1(x)-(\gamma_1(x)+i_v)\nabla\beta_1(x)}{(\gamma_1(x)+i_v)^2} +\frac{\beta_1(x)i_h}{(\gamma_1(x)+i_v)^2}\nabla i_v\bigl], \end{eqnarray} $

以及

(1.6) $ \begin{eqnarray} & &-\Delta\bigr(\bigr(\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\bigl)i_v\bigl){}\\ &=&\nabla\cdot\bigr[-\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\nabla i_v-i_v\cdot\frac{\beta_2(x)\nabla\gamma_2(x)-(\gamma_2(x)+i_h)\nabla\beta_2(x)}{(\gamma_2(x)+i_h)^2} +\frac{\beta_2(x)i_v}{(\gamma_2(x)+i_h)^2}\nabla i_h\bigl]. \end{eqnarray} $

在(1.5)式中我们可以看出, $ -\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\nabla i_h $项体现了种群$ i_h $向同类种群密度低的地方扩散, 而$ \frac{\beta_1(x)i_ h}{(\gamma_1(x)+i_v)^2}\nabla i_v $项则表示种群$ i_h $在向另一个种群$ i_v $密度高的地方移动. 在(1.6)式中, 对于种群$ i_v $也有类似的两种扩散趋势. 因此这两式共同指明, 种群$ i_h $和$ i_v $分别向着自身密度低的方向迁移, 但该两种群之间又是彼此高度密集的.

在本文中, 我们主要分析模型(1.4)的稳定态

(1.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta\bigr((d_1(x)+\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v})i_h\bigl)=\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, &x\in\Omega, \\ { } -\Delta\bigr((d_2(x)+\alpha_2(x)i_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h})i_v\bigl)=\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, &x\in\Omega, \\ i_h(x)=i_v(x)=0, &x\in\partial\Omega \end{array} \right. \end{equation} $

的共存解, 这里的共存解指的是问题$ (1.4) $的解$ (i_h(x), i_v(x)) $满足$ i_h(x)> 0 $, $ i_v(x)>0 $, $ x\in\Omega $. 本文的其余内容组织如下, 在第二节中, 我们进行一些准备工作并讨论了(1.7)的基本再生数, 这也是探讨动力学结论的基础. 第三节分析系统(1.7)共存解的存在性，最后给出一些流行病学及动力学解释.

如何控制登革热病毒以及什么条件有利于病毒的消失是登革热模型研究的重点, 我们将给出模型(1.7)共存解的相关结论, 以得到病毒消失或传播的一些条件. 为此, 首先进行一些准备工作.

令

(2.1) $ \begin{equation} \left. \begin{array}{lll} { } u(x)=U(x, i_h, i_v):=\bigr(d_1(x)+\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\bigl)i_h, \\ { } v(x)=V(x, i_h, i_v):=\bigr(d_2(x)+\alpha_2(x)i_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\bigl)i_v, \end{array} \right. \end{equation} $

我们可以得到Jacobian行列式

$ \begin{eqnarray} J&=&\frac{\partial(u, v)}{\partial(i_h, i_v)} =\bigr(d_1(x)+2\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v}\bigl)\bigr(d_2(x)+2\alpha_2(x)i_v +\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\bigl)\\ &&-\frac{\beta_1(x)i_h}{(\gamma_1(x)+i_v)^2} \frac{\beta_2(x)i_v}{(\gamma_2(x)+i_h)^2}\\ &\geq&d_1(x)d_2(x)>0, \end{eqnarray} $

这表明只要$ (i_h, i_v)\geq(0, 0) $, 那么(2.1) 在$ (i_h, i_v) $和$ (u, v) $之间就存在一个唯一的逆变换, 记为

(2.2) $ \begin{equation} (i_h, i_v)=(p(x, u, v), q(x, u, v)), \end{equation} $

并且进一步计算有

$ \frac{\partial i_h}{\partial u}=(d_2(x)+2\alpha_2(x)i_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h})/J, {\quad}\frac{\partial i_h}{\partial v}=(\frac{\beta_1(x)i_h}{(\gamma_1(x)+i_v)^2})/J, $

$ \frac{\partial i_v}{\partial u}=(\frac{\beta_2(x)i_v}{(\gamma_2(x)+i_h)^2})/J, {\quad}\frac{\partial i_v}{\partial v}=(d_1(x)+2\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v})/J, $

这意味着当$ (i_h, i_v)\geq (0, 0) $时, $ p(x, u, v) $和$ q(x, u, v) $关于$ u $和$ v $都是单调非减的, 且满足$ p(x, 0, 0)=0 $, $ q(x, 0, 0)=0 $. 因此, 问题$ (1.7) $等价于

(2.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta u=\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta v=\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, &x\in\Omega, \\ u(x)=0, v(x)=0, &x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

问题(1.7)的无病平衡点是$ (i_h, i_v)=(0, 0) $, 在(2.3)式中即为$ (u, v)=(0, 0) $. 将问题(2.3)在$ (0, 0) $处线性化得

(2.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta u=\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}v- \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}u, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta v= \frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\frac{A}{(N_h+m)\mu_v}u-\frac{\mu_v}{d_2(x)+ \frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}v, &x\in\Omega, \\ u(x)=0, v(x)=0, &x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

为了获得问题(1.7)的基本再生数, 考虑问题(2.3)对应的辅助问题

(2.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }\frac{\partial{\bf{w}}}{\partial t}-d\Delta {\bf{w}}=\beta(x){\bf{w}}-\gamma(x){\bf{w}}, &t>0, x\in\Omega, \\ {\bf{w}}=0, &t>0, x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

其中

$ {\bf{w}}=\left( \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array}\right), \; \; \; d=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1\\ \end{array}\right), \; \; \; \gamma(x)=\left( \begin{array}{cc} { }\frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}&0\\ 0&{ }\frac{\mu_v}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\\ \end{array}\right), $

$ \beta(x)=\left( \begin{array}{cc} 0&{ }\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}\\ { }\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\frac{A}{(N_h+m)\mu_v}&0 \end{array}\right). $

令$ X_1:=C_0(\overline{\Omega}, {{\mathbb{R}}} ^2) $, $ X_1^+:=C_0(\overline{\Omega}, {{\mathbb{R}}} _+^2) $, 假设算子$ d\Delta-\gamma(x) $在$ X_1 $上形成了解半群$ T(t) $, 定义

$ {\mathfrak L}(\phi)(x):= \int_0^{\infty}\beta(x)[T(t)\phi](x){\rm d}t, $

其中$ \phi $表示在仓室中初始感染人类和蚊子个体的密度分布, $ {\mathfrak L} $是一个正的连续算子, 它将初始感染分布$ \phi $映射到在感染期内产生的全部感染个体的分布. 根据下一代感染算子^[25]的思想, 我们将$ {\mathfrak L} $的谱半径定义为问题(2.3)的阈值, 即

(2.6) $ \begin{equation} {\mathfrak R}_{0*}:=\rho({\mathfrak L})={\mathfrak R}_0\bigg(\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}, \; \; \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}, \; \; \frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}, \; \; \frac{\mu_v}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\bigg). \end{equation} $

由于问题(1.7)等价于问题(2.3), $ {\mathfrak R}_{0*} $又受到交错扩散压力$ \frac{\beta_i(x)}{\gamma_i(x)} $和自由扩散系数$ d_i(x) $$ (i=1, 2) $的影响, 所以$ {\mathfrak R}_{0 *} $即为问题(1.7)的基本再生数.

同时, 为了后续的讨论方便, 我们另外定义一个同时包含三种扩散系数的风险阈值

(2.7) $ \begin{eqnarray} {\mathfrak R}_0^*&=&{\mathfrak R}_0\bigg(\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}}, \; \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\alpha_1(x)\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}} , {}\\ &&{\qquad}\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\frac{A}{\mu_v}}}, \; \frac{\mu_v}{d_2(x)+\alpha_2(x)\frac{A}{\mu_v}+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\bigg). \end{eqnarray} $

接下来, 根据文献[25]中的定理11.3.3和11.3.4, 我们给出一些关于$ {\mathfrak R}_{0*} $和$ {\mathfrak R}_0^* $的性质, 这里不再证明.

引理2.1  以下论断是正确的.

$ \rm (i) $$ {\mathfrak R}_{0*} $是以下特征值问题唯一的主特征值

(2.8) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta \Phi=\frac{1}{{\mathfrak R}_0}\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}\Psi -\frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\Phi, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta \Psi=\frac{1}{{\mathfrak R}_0}\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\frac{A}{(N_h+m)\mu_v}\Phi- \frac{\mu_v}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\Psi, &x\in\Omega, \\ \Phi(x)=0, \Psi(x)=0, &x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ (\Phi, \Psi) $为相应的特征函数对，在$ x\in\Omega $时为正.

$ {\rm (ii)} $$ {\rm {\rm sign}}(1-{\mathfrak R}_{0*})={\rm sign}(\lambda_{1*}) $, $ \lambda_{1*} $是特征值问题

(2.9) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta \phi=\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}\psi- \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\phi+\lambda_{1}\phi, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta \psi=\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\frac{A}{(N_h+m)\mu_v}\phi- \frac{\mu_v}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\psi+\lambda_{1}\psi, &x\in\Omega, \\ \phi(x)=0, \psi(x)=0, &x\in\partial\Omega \end{array} \right. \end{equation} $

的唯一主特征值, 特征函数对$ (\phi, \psi) $满足$ \phi(x)>0 $, $ \psi(x)>0 $, $ x\in\Omega $.

$ {\rm (iii)} $$ {\rm sign}(1-{\mathfrak R}_0^*)={\rm sign}(\lambda_1^*) $, $ \lambda_1^* $是以下特征值问题的主特征值

(2.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta \phi=\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}\psi- \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\alpha_1(x)\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}\phi+\lambda_{1}\phi, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta \psi=\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\frac{A}{\mu_v}}}\frac{A}{(N_h+m)\mu_v}\phi- \frac{\mu_v}{d_2(x)+\alpha_2(x)\frac{A}{\mu_v}+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\psi+\lambda_{1}\psi, &x\in\Omega, \\ \phi(x)=0, \psi(x)=0, &x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

$ (\phi, \psi) $的属性与上述相同.

注2.1  根据引理2.1 (i)和文献[26]可知$ (2.8) $式的主特征值$ {\mathfrak R}_{0*} $关于$ \frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}} $和$ \frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}} $是单调递增的, 关于$ \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}} $和$ \frac{\mu_v}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}} $是单调递减的, 同时$ {\mathfrak R}_0^* $也具有类似的单调性, 因此$ {\mathfrak R}_{0*}<{\mathfrak R}_0^*. $

定理2.1  如果$ (1.7) $式中所有参数均为常数, 即$ \beta_h(x)=\beta_h $, $ b(x)=b $, $ \beta_v(x)=\beta_v $, $ d_i(x)=d_i $, $ \beta_i(x)=\beta_i $, $ \gamma_i(x)=\gamma_i $$ (i=1, 2) $, 则问题$ (1.7) $的基本再生数是

(2.11) $ \begin{equation} {\mathfrak R}_{0*}=\sqrt{\frac{\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {\bigr[(d_1+\frac{\beta_1}{\gamma_1})\lambda^\divideontimes+\gamma_h+\mu_H\bigl]\bigr[(d_2+ \frac{\beta_2}{\gamma_2})\lambda^\divideontimes+\mu_v\bigl]}}, \end{equation} $

这里的$ \lambda^\divideontimes $是算子$ -\Delta $在齐次Dirichlet边界条件下的主特征值.

证  若$ (\lambda^\divideontimes, \eta^\divideontimes(x)) $是特征值问题$ -\Delta\eta=\lambda\; \eta, x\in\Omega, $且$ \eta(x)=0, x\in\partial\Omega $的主特征对, 假设

$ C_1=\frac{\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {\bigr[(d_1+\frac{\beta_1}{\gamma_1})\lambda^\divideontimes+\gamma_h+\mu_H\bigl]\bigr[(d_2+ \frac{\beta_2}{\gamma_2})\lambda^\divideontimes+\mu_v\bigl]}, $

$ C_2= \frac{d_1+\frac{\beta_1}{\gamma_1}}{d_2+\frac{\beta_2}{\gamma_2}} \sqrt{\frac{[\lambda^\divideontimes(d_2+\frac{\beta_2}{\gamma_2})+\mu_v]\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}} {[\lambda^\divideontimes(d_1+\frac{\beta_1}{\gamma_1})+\gamma_h+\mu_H]\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}}}, $

并且选择$ (\Phi_*(x), \Psi_*(x))=(C_2\eta^\divideontimes(x), \eta^\divideontimes(x)), $令$ {\mathfrak R}_{0*}=\sqrt{C_1} $, 可以验证$ (\Phi_*(x), \Psi_*(x)) $是问题(2.8)在$ x\in\Omega $时的唯一正解. 根据问题(2.8)的主特征值的唯一性得出(2.11)式. 证毕.

另外对于任何连续的正函数$ f $, 我们记号$ { } f^m=\min\limits_{x\in\overline{\Omega}}f(x), $$ { } f^M=\max\limits_{x\in\overline{\Omega}}f(x), $结合定理2.1以及(2.8)式中$ {\mathfrak R}_0 $关于所有系数的单调性, 有以下估计.

推论2.1  如果定理$ 2.1 $的条件成立, 那么$ {\mathfrak R}_{0*}<R_0 $, 这里的$ R_0 $是问题$ (1.1) $的基本再生数, 由$ (1.3) $式给出.

推论2.2  $ {\mathfrak R}_{0*} $满足不等式

$ \begin{eqnarray} &&{\sqrt{\frac{\frac{\beta_h^mb^m}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_v^mb^m}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {\bigr[(d_1^M+\frac{\beta_1^M}{\gamma_1^m})\lambda^\divideontimes+\gamma_h+\mu_H\bigl]\bigr[(d_2^M+ \frac{\beta_2^M}{\gamma_2^m})\lambda^\divideontimes+\mu_v\bigl]}}}\\ &\leq&{\mathfrak R}_{0*} \leq {\sqrt{\frac{\frac{\beta_h^Mb^M}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_v^Mb^M}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {\bigr[(d_1^m+\frac{\beta_1^m}{\gamma_1^M})\lambda^\divideontimes+\gamma_h+\mu_H\bigl]\bigr[(d_2^m+ \frac{\beta_2^m}{\gamma_2^M})\lambda^\divideontimes+\mu_v\bigl]}}}. \end{eqnarray} $

类似于定理2.1的证明, 可以获得一些关于$ {\mathfrak R}_0^* $的相关性质.

推论2.3  假定定理$ 2.1 $的条件成立且$ \alpha_i(x)=\alpha_i $$ (i=1, 2) $, 则

$ {\mathfrak R}_0^*=\sqrt{\frac{\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} K}, $

其中

$ K= \bigr(d_1+\frac{\beta_1}{\gamma_1+\frac{A}{\mu_v}}\bigl)\bigr(d_2+\frac{\beta_2}{\gamma_2+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}} \bigl)\bigr[\lambda^\divideontimes+\frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1+\alpha_1\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\frac{\beta_1}{\gamma_1}} \bigl]\bigr[\lambda^\divideontimes+\frac{\mu_v}{d_2+\alpha_2\frac{A}{\mu_v}+\frac{\beta_2}{\gamma_2}} \bigl], $

同时$ {\mathfrak R}_0^* $和$ R_0 $具有如下关系

$ {\mathfrak R}_0^*\left\{ \begin{array}{cc} <R_0, & {\rm{如果}}\; K>(\gamma_h+\mu_H)\mu_v, \\ =R_0, & {\rm{如果}}\; K=(\gamma_h+\mu_H)\mu_v, \\ >R_0, & {\rm{如果}}\; K<(\gamma_h+\mu_H)\mu_v. \end{array}\right. $

在本节中, 我们首先给出问题(1.7)关于共存解存在性的一些动力学结论, 然后依次给出证明.

定理3.1  当$ {\mathfrak R}_{0*}>1 $时, 如果$ \max\limits_{x\in\overline{\Omega}}\beta_1(x) $和$ \max\limits_{x\in\overline{\Omega}}\beta_2(x) $充分小, 并且存在两个正常数$ c_1 $和$ c_2 $使得

(3.1) $ \begin{equation} \frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\Lambda_1\leq p(x, c_1, c_2)<\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \; \; x\in\Omega, \end{equation} $

(3.2) $ \begin{equation} \frac{A}{\mu_v}-\Lambda_2\leq q(x, c_1, c_2)<\frac{A}{\mu_v}, \; \; x\in\Omega, \end{equation} $

则问题$ (1.7) $至少有一个共存解, 其中$ p $和$ q $由$ (2.2) $式定义, 且

(3.3) $ \begin{equation} \Lambda_1=\frac{(\gamma_h+\mu_H)\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}{\frac{\beta_h^Mb^M}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v} +(\gamma_h+\mu_H)}, \; \; \Lambda_2=\frac{\mu_v\cdot\frac{A}{\mu_v}}{\frac{\beta_v^Mb^M}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\mu_v}. \end{equation} $

为了更好地理解条件(3.1)和(3.2), 我们首先给出一种特殊情况.

注3.1  对于定理$ 3.1 $的条件, 如果考虑$ \beta_1(x)\equiv\beta_2(x)\equiv0 $的情形, 那么根据$ (2.1) $和$ (2.2) $式有

$ p(x, u, v)=\frac{-d_1(x)+\sqrt{d_1^2(x)+4\alpha_1(x)u}}{2\alpha_1(x)}, \; \; q(x, u, v)=\frac{-d_2(x)+ \sqrt{d_2^2(x)+4\alpha_2(x)v}}{2\alpha_2(x)}, $

这意味着

$ p(x, c_1, c_2)=\frac{-d_1(x)+\sqrt{d_1^2(x)+4\alpha_1(x)c_1}}{2\alpha_1(x)}, \; \; q(x, c_1, c_2)=\frac{-d_2(x)+ \sqrt{d_2^2(x)+4\alpha_2(x)c_2}}{2\alpha_2(x)}. $

因此, 不等式$ (3.1) $和$ (3.2) $分别等价于

$ \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\Lambda_1\bigl)\max\limits_{x\in\Omega}(d_1(x)+\alpha_1(x))\leq c_1<\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\min\limits_{x\in\Omega}(d_1(x)+\alpha_1(x)), $

$ \bigr(\frac{A}{\mu_v}-\Lambda_2\bigl)\max\limits_{x\in\Omega}(d_2(x)+\alpha_2(x))\leq c_2<\frac{A}{\mu_v}\min\limits_{x\in\Omega}(d_2(x)+\alpha_2(x)), $

这表明只要

$ \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\Lambda_1\bigl)\max\limits_{x\in\Omega}(d_1(x)+\alpha_1(x))< \frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\min\limits_{x\in\Omega}(d_1(x)+\alpha_1(x)), $

$ \bigr(\frac{A}{\mu_v}-\Lambda_2\bigl)\max\limits_{x\in\Omega}(d_2(x)+\alpha_2(x))<\frac{A}{\mu_v}\min\limits_{x\in\Omega} (d_2(x)+\alpha_2(x)) $

成立, 则$ c_1 $和$ c_2 $存在. 鉴于函数$ d_i(x) $, $ \alpha_i(x) $, $ \beta_i(x) $以及$ \gamma_i(x) $$ (i=1, 2) $的连续性，我们可判定当$ \beta_1(x) $和$ \beta_2(x) $充分小时$ c_1 $与$ c_2 $也是存在的，这说明条件$ (3.1) $和$ (3.2) $是合理的.

定理3.2  如果定理$ 3.1 $的假设成立, 那么问题$ (1.7) $有一个最小共存解$ (\underline{i}_h, \underline{i}_v) $和一个最大共存解$ (\overline{i}_h, \overline{i}_v) $. 即问题$ (1.7) $的任意共存解$ (i_h, i_v) $满足

$ (\underline{i}_h(x), \underline{i}_v(x))\leq(i_h(x), i_v(x))\leq(\overline{i}_h(x), \overline{i}_v(x)), \; \; x\in\overline{\Omega}. $

此外, 如果$ (\underline{i}_h, \underline{i}_v)=(\overline{i}_h, \overline{i}_v):=(i_h^*, i_v^*) $, 则$ (i_h^*, i_v^*) $是问题$ (1.7) $的唯一共存解.

定理3.3  当$ {\mathfrak R}_0^*\leq1 $时, 问题$ (1.7) $没有共存解, 即问题$ (1.7) $只有零解$ (i_h, i_v)=(0, 0) $.

通过定理3.1–3.3可以看出, 当$ {\mathfrak R}_0^*\leq1 $时, 蚊子和人类携带的登革热病毒不能共存, 这意味着该病毒将逐渐消失. 而当$ {\mathfrak R}_{0*}>1 $时, 这两个种群所携带的病毒可以在某些条件下共存, 这表明该病毒将继续传播. 接下来, 我们将利用传染风险阈值的性质和上下解方法来证明上述定理.

基于(2.1)和(2.2)式, 系统(1.7)和(2.3)等价于辅助问题

(3.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta u+k_1u=F_1(x, i_h, i_v), &x\in\Omega, \\ -\Delta v+k_2v=F_2(x, i_h, i_v), &x\in\Omega, \\ i_h=p(x, u, v), \; \; i_v=q(x, u, v), \\ u(x)=0, v(x)=0, &x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{equation} $

这里$ k_j>0 $$ (j=1, 2) $待定, 且

$ F_1(x, i_h, i_v)=k_1u+\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, $

$ F_2(x, i_h, i_v)=k_2v+\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, $

接下来我们给出上下解的定义.

定义3.1  令$ (\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v) $, $ (\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $是定义在$ {\cal C}^2(\Omega)\cap{\cal C}(\overline{\Omega}) $的四元非负函数组, 且满足$ (\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $$ \geq(\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v) $, 并且定义集

(3.5) $ \begin{equation} {\cal S}=\{(i_h, i_v)\in{\cal C}^{\alpha}(\overline{\Omega}): (\hat{i}_h, \hat{i}_v)\leq(i_h, i_v)\leq(\tilde{i}_h, \tilde{i}_v), \; \alpha\in(0, 1) \}. \end{equation} $

如果当$ (i_h, i_v)\in {\cal S} $时, $ F_1(\cdot, i_h, i_v) $和$ F_2(\cdot, i_h, i_v) $关于$ i_h $和$ i_v $是拟单调非减的, 且

(3.6) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta\tilde{u}+k_1\tilde{u}\geq F_1(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm (a)}\\ -\Delta\tilde{v}+k_2\tilde{v}\geq F_2(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm(b)}\\ -\Delta\hat{u}+k_1\hat{u}\leq F_1(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm(c)}\\ -\Delta\hat{v}+k_2\hat{v}\leq F_2(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm(d)} \\ \hat{i}_h\leq p(x, \hat{u}, \hat{v}), \; \; \hat{i}_v\leq q(x, \hat{u}, \hat{v}), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm(e)}\\ \tilde{i}_h\geq p(x, \tilde{u}, \tilde{v}), \; \; \tilde{i}_v\geq q(x, \tilde{u}, \tilde{v}), & x\in\Omega, & \; \; \; \; \; {\rm(f)} \\ (\hat{u}, \hat{v})\leq (0, 0)\leq(\tilde{u}, \tilde{v}), & x\in\partial\Omega & \; \; \; \; \; {\rm(g)} \end{array} \right. \end{equation} $

成立, 那么函数对$ (\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $, $ (\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v) $分别称为问题$ (3.4) $的有序上下解.

为了满足(3.6)式中的(e)和(f), 令

$ \tilde{i}_h=p(x, \tilde{u}, \tilde{v}), \; \hat{i}_h=p(x, \hat{u}, \hat{v}), \; \tilde{i}_v=q(x, \tilde{u}, \tilde{v}), \; \hat{i}_v=q(x, \hat{u}, \hat{v}), $

它等价于

$ \tilde{u}=U(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), \; \hat{u}=U(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), \; \tilde{v}=V(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), \hat{v}=V(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), $

(3.6)式被转化为

(3.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta[U(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)]+k_1U(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)\geq F_1(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), &x\in\Omega, &\; \; \; {\rm(a)}\\ -\Delta[V(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)]+k_2V(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)\geq F_2(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v), &x\in\Omega, &\; \; \; {\rm(b)}\\ -\Delta[U(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v)]+k_1U(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v)\leq F_1(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), &x\in\Omega, &\; \; \; {\rm(c)}\\ -\Delta[V(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v)]+k_2V(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v)\leq F_2(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v), &x\in\Omega, &\; \; \; {\rm(d)} \\ (\hat{i}_h, \hat{i}_v)\leq(0, 0)\leq(\tilde{i}_h, \tilde{i}_v), &x\in\partial\Omega.&\; \; \; {\rm(e)} \end{array} \right. \end{equation} $

由此进一步可给出以下定义.

定义3.2  如果$ (\tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $, $ (\hat{i}_h, \hat{i}_v) $和$ F_j(\cdot, i_h, i_v) $$ (j=1, 2) $满足定义$ 3.1 $的条件以及关系$ (3.7) $, 则称$ (\tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $和$ (\hat{i}_h, \hat{i}_v) $是问题$ (1.7) $的一对有序上下解.

上述定理的证明如下所示.

定理3.1的证明  令$ \tilde{i}_h=p(x, c_1, c_2), $$ \tilde{i}_v=q(x, c_1, c_2), $则

(3.8) $ \begin{equation} \frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\Lambda_1\leq\tilde{i}_h<\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \; \; \; \frac{A}{\mu_v}-\Lambda_2\leq\tilde{i}_v<\frac{A}{\mu_v}. \end{equation} $

因此, 我们选择$ (\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)=(c_1, c_2, p(x, c_1, c_2), q(x, c_1, c_2)) $, 并且利用(3.8) 和(3.3)式可知

$ \begin{eqnarray} -\Delta\tilde{u}+k_1\tilde{u}-F_1(x, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v) &=&-\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\tilde{i}_h\bigl)\tilde{i}_v+(\gamma_h+\mu_H)\tilde{i}_h\\ &>&-\frac{\beta_h^Mb^M}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}\Lambda_1+(\gamma_h+\mu_H) \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\Lambda_1\bigl)\\ &=&0, \end{eqnarray} $

这意味着问题(3.6)中的不等式(a)成立. 类似地, $ (\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)=(c_1, c_2, p(x, c_1, c_2), q(x, c_1, c_2)) $也可以保证问题(3.6)中的(b)成立.

另一方面, 令$ (\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v)=(\varepsilon\phi, \varepsilon\psi, p(x, \varepsilon\phi, \varepsilon\psi), q(x, \varepsilon\phi, \varepsilon\psi)) $, 其中$ (\phi, \psi) $是(2.9)式的特征函数对, $ \varepsilon>0 $充分小, 将$ (\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v) $代入问题(3.6)(c), 应用(2.1)和(2.9)式计算得

(3.9) $ \begin{eqnarray} & &-\Delta\hat{u}+k_1\hat{u}-F_1(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v){}\\ &=&-\varepsilon\Delta\phi-\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\hat{i}_h\bigl)\hat{i}_v +(\gamma_h+\mu_H)\hat{i}_h{}\\ &=&\varepsilon\bigg\{\lambda_{1*}\phi+\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\psi\cdot \bigr(\frac{1}{(d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)})}- \frac{1}{(d_2(x)+\alpha_2(x)\hat{i}_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\hat{i}_h})}\bigl){}\\ & &-(\gamma_h+\mu_H)\phi\cdot\bigr(\frac{1}{(d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)})}- \frac{1}{(d_1(x)+\alpha_1(x)\hat{i}_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\hat{i}_v})}\bigl){}\\ & &+\varepsilon\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \cdot\frac{\phi}{d_1(x)+\alpha_1(x)\hat{i}_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\hat{i}_v})} \cdot\frac{\psi}{d_2(x)+\alpha_2(x)\hat{i}_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\hat{i}_h}}\bigg\}. \end{eqnarray} $

根据引理2.1知当$ {\mathfrak R}_{0*}>1 $时, $ \lambda_{1*}<0 $. 由(2.1)式知

$ \begin{eqnarray} 0<\hat{i}_h<\frac{\hat{u}}{d_1(x)}=\frac{\varepsilon\phi}{d_1(x)}, \; \; \; \; 0<\hat{i}_v<\frac{\hat{v}}{d_2(x)}=\frac{\varepsilon\psi}{d_2(x)}, \end{eqnarray} $

只要$ \varepsilon $充分小, (3.9)式就满足$ -\Delta\hat{u}+k_1\hat{u}-F_1(x, \hat{i}_h, \hat{i}_v)\leq 0, $故(3.6)(c)式成立. 利用类似的过程, 可以保证(3.6)(d)式也成立.

回顾$ F_1(x, i_h, i_v) $和$ F_2(x, i_h, i_v) $的定义以及它们关于$ i_h $和$ i_v $的单调性, 我们计算

$ \frac{\partial F_1}{\partial i_h}=k_1\bigr(d_1(x)+2\alpha_1(x)i_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v} \bigl)-\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}i_v-\gamma_h-\mu_H, $

$ \frac{\partial F_1}{\partial i_v}=-k_1\cdot\frac{\beta_1(x)i_h}{(\gamma_1(x)+i_v)^2}+\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H} -i_h\bigl), $

$ \frac{\partial F_2}{\partial i_h}=-k_2\cdot\frac{\beta_2(x)i_v}{(\gamma_2(x)+i_h)^2}+\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl), $

$ \frac{\partial F_2}{\partial i_v}=k_2\bigr(d_2(x)+2\alpha_2(x)i_v+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h}\bigl) -\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m}i_h. $

同时在$ \overline{\Omega} $中, 不等式(3.8)表明存在一个充分小的常数$ \delta_2>0 $使得

$ (0, 0)\leq(i_h(x), i_v(x))\leq(\tilde{i}_h(x), \tilde{i}_v(x))\leq\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\delta_2, \frac{A}{\mu_v}-\delta_2\bigl)<\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \frac{A}{\mu_v}\bigl), $

所以如果取

$ \begin{eqnarray} k_1=\frac{\frac{\beta_h^Mb^M}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}+\gamma_h+\mu_H}{d_1^m+\frac{\beta_1^m}{\gamma_1^M+\frac{A}{\mu_v}}}, \; \; \; \; \; k_2=\frac{\frac{\beta_v^Mb^M}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\mu_v}{d_2^m+\frac{\beta_2^m}{\gamma_2^M+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}}, \end{eqnarray} $

则$ \frac{\partial F_1}{\partial i_h}\geq 0 $和$ \frac{\partial F_2}{\partial i_v}\geq 0 $. 另外, 只要$ \beta_1^M\leq\beta_1^* $, $ \beta_2^M\leq\beta_2^* $就有$ \frac{\partial F_1}{\partial i_v}\geq 0 $, $ \frac{\partial F_2}{\partial i_h}\geq 0 $, 其中

$ \beta_1^*=\delta_2\frac{\beta_h^mb^m}{N_h+m}\cdot\frac{(\gamma_1^m)^2}{k_1\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}, \; \; \; \; \; \beta_2^*=\delta_2\frac{\beta_v^mb^m}{N_h+m}\cdot\frac{(\gamma_2^m)^2}{k_2\frac{A}{\mu_v}}. $

因此, $ F_1(\cdot, i_h, i_v) $和$ F_2(\cdot, i_h, i_v) $关于$ i_h $和$ i_v $是拟单调非减的.

最后, 如果$ \varepsilon $选择得更小, 则$ (\tilde{i}_h, \tilde{i}_v)\geq(\hat{i}_h, \hat{i}_v) $. 根据定义3.2知$ (\tilde{i}_h, \tilde{i}_v) $和$ (\hat{i}_h, \hat{i}_v) $是问题(1.7)的一对有序上下解, 由参考文献[27, 定理2.1]可知问题(1.7)的共存解存在.

定理3.2的证明  基于定理3.1的证明, 我们继续考虑迭代过程

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} -\Delta\underline{u}^{(m)}+k_1\underline{u}^{(m)}=F_1(x, \underline{i}_h^{(m-1)}, \underline{i}_v^{(m-1)}), & x\in\Omega, \\ -\Delta\underline{v}^{(m)}+k_2\underline{v}^{(m)}=F_2(x, \underline{i}_h^{(m-1)}, \underline{i}_v^{(m-1)}), & x\in\Omega, \\ -\Delta\overline{u}^{(m)}+k_1\overline{u}^{(m)}=F_1(x, \overline{i}_h^{(m-1)}, \overline{i}_v^{(m-1)}), & x\in\Omega, \\ -\Delta\overline{v}^{(m)}+k_2\overline{v}^{(m)}=F_2(x, \overline{i}_h^{(m-1)}, \overline{i}_v^{(m-1)}), & x\in\Omega, \\ \underline{i}_h^{(m)}=p(x, \underline{u}^{(m)}, \underline{v}^{(m)}), \; \; \; \underline{i}_v^{(m)}=q(x, \underline{u}^{(m)}, \underline{v}^{(m)}), &x\in\Omega, \\ \overline{i}_h^{(m)}=p(x, \overline{u}^{(m)}, \overline{v}^{(m)}), \; \; \; \overline{i}_v^{(m)}=q(x, \overline{u}^{(m)}, \overline{v}^{(m)}), &x\in\Omega, \\ \overline{u}^{(m)}(x)=\underline{u}^{(m)}(x)=0, \; \; \; \overline{v}^{(m)}(x)=\underline{v}^{(m)}(x)=0, &x\in\partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

这里$ m=1, 2, \cdots $, 初始值选取为

$ (\overline{u}^{(0)}, \overline{v}^{(0)}, \overline{i}_h^{(0)}, \overline{i}_v^{(0)})=(\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{i}_h, \tilde{i}_v)=(c_1, c_2, p(x, c_1, c_2), q(x, c_1, c_2)), $

$ (\underline{u}^{(0)}, \underline{v}^{(0)}, \underline{i}_h^{(0)}, \underline{i}_v^{(0)})=(\hat{u}, \hat{v}, \hat{i}_h, \hat{i}_v)=(\varepsilon\phi, \varepsilon\psi, p(x, \varepsilon\phi, \varepsilon\psi), q(x, \varepsilon\phi, \varepsilon\psi)). $

因此, 我们可以获得问题(3.4)的上下解序列对$ \{(\overline{u}^{(m)}, \overline{v}^{(m)}, \overline{i}_h^{(m)}, \overline{i}_v^{(m)})\} $和$ \{(\underline{u}^{(m)}, \underline{v}^{(m)}, $$ \underline{i}_h^{(m)}, $$ \underline{i}_v^{(m)})\} $, 它们是适定的, 单调的, 且逐点极限

$ \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(\overline{u}^{(m)}, \overline{v}^{(m)}, \overline{i}_h^{(m)}, \overline{i}_v^{(m)}) =(\overline{u}, \overline{v}, \overline{i}_h, \overline{i}_v), \; \lim\limits_{m\rightarrow \infty}(\underline{u}^{(m)}, \underline{v}^{(m)}, \underline{i}_h^{(m)}, \underline{i}_v^{(m)})=(\underline{u}, \underline{v}, \underline{i}_h, \underline{i}_v) $

存在并满足$ (\underline{u}, \underline{v}, \underline{i}_h, \underline{i}_v)\leq(\overline{u}, \overline{v}, \overline{i}_h, \overline{i}_v). $同时, $ (\underline{u}, \underline{v}, \underline{i}_h, \underline{i}_v) $和$ (\overline{u}, \overline{v}, \overline{i}_h, \overline{i}_v) $满足(3.4)式, 也即$ (\overline{i}_h, \overline{i}_v) $和$ (\underline{i}_h, \underline{i}_v) $满足(1.7)式. 因此, $ (\overline{i}_h, \overline{i}_v) $和$ (\underline{i}_h, \underline{i}_v) $都是问题(1.7)的真实解, 根据文献[27]并且分别为最大解和最小解.

接下来证明$ (i_h^*, i_v^*) $是问题(1.7)的唯一解. 事实上, $ (\overline{i}_h, \overline{i}_v) $和$ (\underline{i}_h, \underline{i}_v) $满足

$ -\Delta\bigr((d_1(x)+\alpha_1(x)\overline{i}_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\overline{i}_v})\overline{i}_h\bigl)=\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\overline{i}_h\bigl)\overline{i}_v-\gamma_h\overline{i}_h-\mu_H\overline{i}_h, \; \; x\in\Omega, $

$ -\Delta\bigr((d_1(x)+\alpha_1(x)\underline{i}_h+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\underline{i}_v})\underline{i}_h\bigl)=\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-\underline{i}_h\bigl)\underline{i}_v-\gamma_h\underline{i}_h-\mu_H\underline{i}_h, \; \; x\in\Omega $

和$ \overline{i}_h(x)=\overline{i}_v(x)=\underline{i}_h(x)=\underline{i}_v(x)=0, \; \; x\in\partial\Omega $. 如果$ \overline{i}_h=\underline{i}_h:=i_h^* $, 将上述两个方程相减得

$ -\Delta\bigr[\frac{\beta_1(x)i_h^*(\overline{i}_v-\underline{i}_v)}{(\gamma_1(x)+\overline{i}_v)(\gamma_1(x)+\underline{i}_v)} \bigl]=-\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h^*\bigl)(\overline{i}_v-\underline{i}_v) $

由于$ -\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_H}{\mu_H}-i_h^*\bigl)(\overline{i}_v-\underline{i}_v)\leq0 $, 根据椭圆问题的极值原理可推导出在$ \partial\Omega $上$ \overline{i}_v-\underline{i}_v $的最大值存在. 又根据$ \overline{i}_v-\underline{i}_v=0 $, $ x\in\partial\Omega $这一事实可以进一步推导出$ \overline{i}_v=\underline{i}_v $, $ x\in\overline{\Omega} $, 即$ (\overline{i}_h, \overline{i}_v)=(\underline{i}_h, \underline{i}_v):=(i_h^*, i_v^*) $是唯一的. 关于$ \overline{i}_v=\underline{i}_v=i_v^* $的情形的证明过程类似, 故省略.

定理3.3的证明  如果结论不成立, 则至少存在一个共存解$ (i_h^+, i_v^+) $满足

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} { }-\Delta\bigr((d_1(x)+\alpha_1(x)i_h^++\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v^+})i_h^+\bigl)\\ { } =\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h^+\bigl)i_v^+-\gamma_hi_h^+-\mu_Hi_h^+, &x\in\Omega, \\ { }-\Delta\bigr((d_2(x)+\alpha_2(x)i_v^++\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h^+})i_v^+\bigl)\\ { } =\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v^+\bigl)i_h^+-\mu_vi_v^+, &x\in\Omega, \\ i_h^+(x)=0, i_v^+(x)=0, &x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

应用(2.1)式, 将上面的第一个等式改写为

(3.10) $ \begin{eqnarray} -\Delta u^+&=&\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h^+\bigl)\cdot\frac{v^+} {d_2(x)+\alpha_2(x)i_v^++\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+i_h^+}}{}\\ & &-(\gamma_h+\mu_H)\cdot\frac{u^+}{d_1(x)+\alpha_1(x)i_h^++\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+i_v^+}}. \end{eqnarray} $

如前所述, 易知$ (0, 0)<(i_h^+(x), i_v^+(x))\leq\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \frac{A}{\mu_v}\bigl), \; x\in\Omega $, 这表明(3.10)式满足

(3.11) $ \begin{equation} -\Delta u^+<\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}}\frac{\mu_hN_h}{(N_h+m)\mu_H}v^+ -\frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\alpha_1(x)\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}}u^+. \end{equation} $

类似有

(3.12) $ \begin{equation} -\Delta v^+<\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\frac{A}{\mu_v}}}\cdot \frac{A}{(N_h+m)\mu_v}u^+-\frac{\mu_v}{d_2(x)+\alpha_2(x)\frac{A}{\mu_v}+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}v^+. \end{equation} $

此外

(3.13) $ \begin{equation} u^+(x)=0, \; v^+(x)=0, \; \; \; x\in\partial\Omega. \end{equation} $

将(3.11)–(3.13)式与(2.10)式进行比较, 我们可以得出以下不等式

$ \begin{eqnarray} &&\lambda_1^*\bigg(\frac{\beta_h(x)b(x)}{d_2(x)+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)+\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}}}, \; \frac{\gamma_h+\mu_H}{d_1(x)+\alpha_1(x)\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)}} , \\ &&\frac{\beta_v(x)b(x)}{d_1(x)+\frac{\beta_1(x)}{\gamma_1(x)+\frac{A}{\mu_v}}}, \; \frac{\mu_v}{d_2(x)+\alpha_2(x)\frac{A}{\mu_v}+\frac{\beta_2(x)}{\gamma_2(x)}}\bigg)<0, \end{eqnarray} $

由引理2.1$ {\rm (iii)} $知$ {\mathfrak R}_0^*>1 $, 这与假设矛盾, 故问题(1.7)不存在共存解.

文献[28]中指出, 我们生活在一个空间环境中, 在生态群落构建的过程中, 生态中彼此相互影响的空间要素已被证实起到了十分重要的作用. 该文献还进一步指出, 尝试理解空间的变化规律无论从经验上讲还是从理论上讲都具有很大的挑战性. 可见, 空间因素在研究生物系统时也是不能忽略的. 实际上, 近年来与空间相关的生物种群模型和流行病学模型的研究受到越来越多的关注, 比如文献[24, 29-31] 均探讨了环境的变化对生物种群生存和传染病传播的影响. 在这些反应扩散模型中, 作者们大多采用随机扩散$ d\Delta u $的形式来描述某个种群$ u $的运动. 而在本文中, 我们以自扩散和交错扩散同时发生为前提, 发现当$ {\mathfrak R}_0^*<1 $时, 模型(1.7)仅有零解, 这意味着人群和蚊群携带的病毒不能共存, 在这种情况下可以认为空间环境是低风险的. 当在某些条件下$ {\mathfrak R}_{0*}>1 $时, 模型(1.7)有共存解, 这表明人和蚊子携带的病毒可以共存, 空间环境被视为高风险的. 遗憾的是, 当$ {\mathfrak R}_{0*}<1<{\mathfrak R}_0^* $时, 关于共存解是否存在尚不明确, 此时环境可以理解为中风险的.

同时, 我们所讨论的模型及动力学结果也更一步补充或推广了已有的结论. 例如, 在模型(1.4)和(1.7) 中, 如果仅考虑随机扩散而不考虑自扩散和交错扩散, 也即$ d_1(x)=d_1 $, $ d_2(x)=d_2 $是常数且$ \alpha_1(x)\equiv\beta_1(x)\equiv0 $, $ \alpha_2(x)\equiv\beta_2(x)\equiv0 $, 则模型(1.4)和(1.7)分别退化为

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { } \frac{\partial i_h}{\partial t}-d_1\Delta i_h =\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, &(t, x)\in(0, +\infty)\times\Omega, \\ { } \frac{\partial i_v}{\partial t}-d_2\Delta i_v =\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m}\bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, &(t, x)\in(0, +\infty)\times\Omega, \\ i_h(t, x)=i_v(t, x)=0, &(t, x)\in(0, +\infty)\times\partial\Omega, \\ { } 0\leq i_h(0, x)\leq\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}, \; 0\leq i_v(0, x)\leq\frac{A}{\mu_v}, &x\in\overline{\Omega} \end{array} \right. \end{equation} $

和

(4.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} { } -d_1\Delta i_h=\frac{\beta_h(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}-i_h\bigl)i_v-\gamma_hi_h-\mu_Hi_h, &x\in\Omega, \\ { } -d_2\Delta i_v=\frac{\beta_v(x)b(x)}{N_h+m} \bigr(\frac{A}{\mu_v}-i_v\bigl)i_h-\mu_vi_v, &x\in\Omega, \\ i_h(x)=i_v(x)=0, &x\in\partial\Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

我们已在文献[32]中对这两种模型的动力学进行了深入分析, 结果表明: 当基本再生数$ \widehat{R}_0>1 $时, 登革热病毒将会传播, 而$ \widehat{R}_0<1 $时, 该病毒将会消失.并且，如果模型(4.1)和(4.2)中的空间环境还是同质的, 那么根据文献[32] 中的定理2.3可以得到它们的基本再生数为

$ \widehat{R}_0=\sqrt{\frac{\frac{\beta_hb}{N_h+m}\frac{\mu_hN_h}{\mu_H}\cdot\frac{\beta_vb}{N_h+m}\frac{A}{\mu_v}} {(d_1\lambda^\divideontimes+\gamma_h+\mu_H)(d_2\lambda^\divideontimes+\mu_v)}}, $

其中$ \lambda^\divideontimes $与本文(1.11)式中的定义相同. 与(2.11)式相比, $ {\mathfrak R}_{0*}<\widehat{R}_0 $, 但遗憾的是, 受自扩散系数$ \alpha_i $和交错扩散系数$ \frac{\beta_i}{\gamma_i} $的影响, 我们无法确定$ {\mathfrak R}_0^* $和$ \widehat{R}_0 $之间的大小.

另外, 如果各种扩散系数$ d_i(x) $, $ \alpha_i(x) $, $ \beta_i(x) $, $ \gamma_i(x) $均为常数, 则模型(1.4)和(1.7)就分别转化为文献[20]中的模型(1.4)和(SP). 在文献[20]中, 有关共存解存在性的结论表明, 在一定条件下, 基本再生数与1的大小关系就直接决定了共存解存在与否, 环境也只有高风险与低风险之分. 并且在利用上下解方法进行理论证明的过程中，文献[20]采用了传统的种群总量数值为上解. 再回顾本文的模型和结论, 可见这里所讨论的扩散更具一般性和现实性, 结论也更丰富. 同时, 由于传统的种群总量数值已不能成为模型(1.7)的上解, 因此本文通过逆变换取常值克服了这一困难.

因此, 与常微分模型(1.1), (1.2)以及仅具有随机扩散的模型(4.1), (4.2)相比, 亦或是文献[20]中的模型(SP), 具有交错扩散的登革热模型(1.4), (1.7)都具有更复杂的传播动力学, 而前面所述的中风险问题也将是我们今后研究的重点.