本文研究以下时间分数阶扩散–波动方程的柯西问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{1+\alpha}_{t}u-\Delta u=|\nabla^\gamma u|^p, \quad &t\ge0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=0, \quad& x\in{{\Bbb R}} ^n \end{array} \right. \end{equation} $

与

(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{1+\alpha}_{t}u-\Delta u=|\nabla^\gamma u|^p, \quad& t\ge0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=u_{1}, \quad& x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \alpha\in(0, 1) $, $ \gamma\in(0, 1), p>1 $. $ \partial^{1+\alpha}_{t}u $为$ 1+\alpha $阶Caputo型分数阶导数, 定义如下

(1.3) $ \begin{equation} \partial^{j+\alpha}_{t}u=J^{1-\alpha}(\partial^{j+1}_{t}u)(t, x), \quad j\in{\Bbb N}, \end{equation} $

这里

$ J^{\beta}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\beta)}\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\beta-1}f(\tau){\rm d}\tau, \quad t>0. $

为Riemann-Liouville型积分, $ R(\beta)>0 $, $ \Gamma(\beta) $为Gamma函数. 定义$ \nabla^\gamma u={\cal F}^{-1}(|\xi|^{\gamma}\hat{u}) $, $ {\cal F}^{-1} $为傅里叶逆变换, 记

$ \hat{u}(\xi)\triangleq{\cal F}(u)(\xi)=\int_{R^{n}}{\rm e}^{-{\rm i}\xi x}u{\rm d}x. $

此类方程是通过将经典扩散方程或波动方程中的一阶或二阶时间导数替换成阶数介于$ 1 $到$ 2 $之间的分数阶导数得到的, 其融合了扩散和波动的特性, 可用于刻画具有幂律变特性粘弹介质中机械波的传播问题.

当$ \alpha=0, \gamma=0 $时, Fujita^[1]研究了以下半线性热传导方程的柯西问题

(1.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_{t}u-\Delta u=|u|^p, \quad &t\ge0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad & x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

并给出了其临界指数$ \tilde{p}=1+\frac{2}{n} $, 在$ p>\tilde{p} $时证明了小初值意义下整体解的存在性, $ 1<p<\tilde{p} $时证明了有限时刻解的爆破. 文献[2–3]中研究了临界$ (p=\tilde{p}) $时解的爆破情况.

当$ \alpha=0, \gamma=1 $时, 对于粘性Hamilton-Jacobi方程

(1.5) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_{t}u-\Delta u=|\nabla u|^p, \quad& t>0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad& x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

Ben-Artzi等^[4]研究了解的整体存在性, 文献[5–6]先后在$ 1\le p\le\frac{n+2}{n+1}, \frac{n+2}{n+1}<p<2, p\ge2 $等情况下讨论方程的解在$ L^{1} $范数和$ L^{q}(1\le q\le\infty) $范数下的长时间行为, 研究非线性项对于方程的影响程度.

当$ \alpha=1, \gamma=0 $时, Kato^[7]研究了以下半线性波动方程的双初值问题

(1.6) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{2}_{t}u-\Delta u=|u|^p, \quad &t\ge0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=u_{1}, \quad &x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

并在$ 1<p<\bar{p}:=1+\frac{2}{n-1}, n\ge2 (p>1, n=1) $时证明了解在有限时刻爆破. 根据Strauss猜想^[8], 问题(1.6)的临界指数$ p_{0}(n) $为二次方程$ (n-1)p^{2}-(n+1)p-2=0 $的正根, 且在$ n\ge2, p>p_{0}(n) $时, 问题(1.6)始终在小初值情况下存在整体解, 在$ p\le p_{0}(n) $时问题(1.6)的解在有限时刻爆破. 之后许多年里众多学者致力于在不同的空间维数下选取合适的初值空间证明此猜想. 文献[9–12]在超临界时针对不同空间维数证明了整体解的存在性, 文献[13–14]在临界情况、文献[15–17]在次临界情况针对不同空间维数证明了解的有限时刻爆破.

可以看到当$ \alpha\rightarrow0 $时, 问题(1.1)变成了经典热传导方程的柯西问题, $ u_1 $的存在会使得方程显得"不自然", 而当$ \alpha\rightarrow1 $时, 问题(1.2) 则变成了经典波动方程的柯西问题, 此时$ u_1 $的存在可以被讨论. 故当$ \alpha\in(0, 1) $时本文研究(1.1)与(1.2)两类问题.

对于时间分数阶方程, 近些年来也有不少的研究. Kilbas等^[18]研究了以下齐次方程的柯西问题

(1.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{\alpha}_{t}u=\lambda^{2}\Delta u, \quad &t>0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=u_{1}, \quad &x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \lambda>0 $, 分别得到了当$ 0<\alpha<1, u_{1}=0 $时与$ 1<\alpha<2 $时该方程的显式解表达式, 并且得到了当$ |x|\rightarrow \infty $时这两个解的渐近行为, 即在空间维数$ n=2 $时于无穷远处消失.

Zhang等^[19]研究了时间分数阶扩散方程的柯西问题

(1.8) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{\alpha}_{t}u-\Delta u=|u|^{p-1}u, \quad &t>0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad &x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \partial^{\alpha}_{t}u $为$ \alpha $阶Caputo型分数阶导数, $ \alpha\in(0, 1) $. Zhang给出了$ p>1+\frac{2}{n} $情况下整体解的存在性证明, 并在$ 1<p<1+\frac{2}{n} $时证明了解在有限时刻爆破. 此时的临界指数与Fujita临界指数是相同的.

当$ \alpha\in(0, 1), \gamma=0 $时, D'Abbicco等^[20]研究了以下时间分数阶扩散-波动方程的柯西问题

(1.9) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{1+\alpha}_{t}u-\Delta u=|u|^p, \quad &t\ge0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=u_{1}, \quad &x\in{{\Bbb R}} ^n, \end{array} \right. \end{equation} $

得到了在小初值情况下, $ u_{1}=0 $及$ u_{1}\ne0 $时该问题的两个临界指数, 分别为

(1.10) $ \begin{equation} \tilde{p}=1+\frac{2}{n-2+2(1+\alpha)^{-1}}\quad\mbox{及}\quad \bar{p}=1+\frac{2}{n-2(1+\alpha)^{-1}}. \end{equation} $

并在$ p>\tilde{p} , n\ge1 $及$ p\ge\bar{p}, n\ge2 $的情况下证明了整体解的存在唯一性. 当$ \alpha\rightarrow0 $时, $ \tilde{p}\rightarrow1+\frac{2}{n} $为Fujita临界指数, 当$ \alpha\rightarrow1 $时, $ \bar{p}\rightarrow1+\frac{2}{n-1} $, 这与文献[7]中Kato所得到的指数相对应.

可以看到若$ \gamma\in(0, 1) $, $ |\nabla^\gamma u|^p $则介于$ |u|^{p} $与$ |\nabla u|^{p} $之间. 本文在文献[20]工作的基础上, 为研究此非线性项指数对于整体解存在性的影响, 对于问题(1.1)与问题(1.2), 通过整体迭代法, 利用压缩映射原理在空间维数$ n=1 $及$ n\ge2 $且非线性项指数满足一定条件的情况下得到了整体解的存在唯一性证明及衰减估计. 文章安排如下: 符号说明及本文主要结论将在第二节给出, 第三节给出一些用于证明主要结论的引理, 之后分别考虑问题(1.1)与问题(1.2), 在指数满足不同条件的情况下对整体解的存在唯一性进行证明.

在给出主要结论之前, 先介绍一些符号说明.

记$ H^{s, p}, s\in{\Bbb R}, p\in[1, \infty] $为广义Sobolev空间

(2.1) $ \begin{equation} H^{s, p}=\{u\in L^{p}:\|{\cal F}^{-1}[(1+|\xi|^{2})^{\frac{s}{2}}\hat{u}]\|_{L^{p}}<\infty\}. \end{equation} $

当$ s\in{\Bbb N} $时, $ H^{s, p} $即为整数阶Sobolev空间.

定义齐次Sobolev空间

(2.2) $ \begin{equation} \dot{H}^{s, p}=\{u\in S^{\prime}:\|{\cal F}^{-1}(|\xi|^{s}\hat{u})\|_{L^{p}}<\infty\}, \end{equation} $

其装备的范数为

$ \|u\|_{\dot{H}^{s, p}}=\|\nabla^{s}u\|_{L^{p}}=\|{\cal F}^{-1}(|\xi|^{s}\hat{u})\|_{L^{p}}. $

此外, 本文中$ f\lesssim g $表示为存在一正常数$ C $, 满足$ f\le Cg $.

下面给出本文两个主要结论.

定理2.1  (i)当$ n\ge 2 $时, 若$ 0<\alpha<\min\big(\frac{\gamma n-n+2}{n-\gamma n}, 1\big), \tilde{p}:=1+\frac{2-\gamma}{n+\gamma-2\alpha(1+\alpha)^{-1}}<p<1+\frac{1}{n-1} $, $ \exists \varepsilon>0 $, 对$ \forall u_{0}\in H^{1, 1}\cap H^{1, p} $, 有

(2.3) $ \begin{equation} \|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}=\|u_{0}\|_{H^{1, 1}}+\|u_{0}\|_{H^{1, p}}\le\varepsilon, \end{equation} $

则问题(1.1)存在唯一整体解$ u\in C([0, \infty), H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $, 且有估计

(2.4) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}, \qquad\forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p], \end{equation} $

(2.5) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}, \forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. \end{equation} $

考虑以上初值$ u_{0} $变为$ \varepsilon u_{0} $的情况, $ \varepsilon $充分小, 且存在合适的正常数$ C_{0} $使得$ C_{0}\varepsilon=E $ ($ E $为解存在空间所定义的范数上界). 若$ 1<p<\tilde{p} $, 则问题(1.1)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $,

(2.6) $ \begin{equation} T\le a\varepsilon^{\frac{1-p}{1-\tilde{\eta}}}-1, \end{equation} $

其中$ a $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数且

(2.7) $ \begin{equation} \tilde{\eta}=\frac{n(1+\alpha)}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-\alpha p<1. \end{equation} $

若$ p=\tilde{p} $, 则问题(1.1)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $,

(2.8) $ \begin{equation} T\le {\rm e}^{b\varepsilon^{1-p}}-1, \end{equation} $

其中$ b $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数.

(ii) 当$ n=1 $时, 若$ p>\tilde{p} $, $ \exists \varepsilon>0 $, 对$ \forall u_{0}\in H^{1, 1}\cap H^{1, p} $且满足(2.3)式, 则问题(1.1)存在唯一整体解$ u\in C([0, \infty), H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $, 并有估计

(2.9) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}, \quad\forall t\ge0, {\quad} \forall q\in[1, p], \end{equation} $

(2.10) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}, {\quad} \forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. \end{equation} $

考虑以上初值$ u_{0} $变为$ \varepsilon u_{0} $的情况, $ \varepsilon $充分小, 且存在合适的正常数$ \tilde{C_{0}} $使得$ \tilde{C_{0}}\varepsilon=\tilde{E} $ ($ \tilde{E} $为解存在空间所定义的范数上界). 若$ 1<p<\tilde{p} $, 则问题(1.1)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $,

(2.11) $ \begin{equation} T\le\tilde{a}\varepsilon^{\frac{1-p}{1-\tilde{\eta}_{0}}}-1, \end{equation} $

其中$ \tilde{a} $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数且

(2.12) $ \begin{equation} \tilde{\eta}_{0}=\frac{1+\alpha}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-\alpha p<1. \end{equation} $

若$ p=\tilde{p} $, 则问题(1.1)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], H^{1, 1}\cap H^{1, p}) $,

(2.13) $ \begin{equation} T\le {\rm e}^{\tilde{b}\varepsilon^{1-p}}-1, \end{equation} $

其中$ \tilde{b} $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数.

注2.1  令$ \alpha\rightarrow0^{+}, \gamma\rightarrow0^{+} $, 有$ \tilde{p}\rightarrow 1+\frac{2}{n} $, 与问题(1.4)中的Fujita临界指数一致, 此时只有在$ n=1, 2 $时才与符合定理条件. 定理中$ \alpha $的约束范围是为了保证区间$ \big(\frac{2-\gamma}{n+\gamma-2\alpha(1+\alpha)^{-1}}, \frac{1}{n-1}\big) $不会出现空集的情况.

定理2.2  (i)当$ n\ge 2 $时, 若$ \bar{p}:=1+\frac{2-\gamma}{n+\gamma-2(1+\alpha)^{-1}}\le p<1+\frac{2-\gamma}{n-2+\gamma} $, $ \exists \varepsilon>0 $, 对$ \forall u_{0}, u_{1}\in H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p} $, 有

(2.14) $ \begin{equation} \|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}=\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}}+\|u_{0}\|_{H^{\gamma, p}}\le\varepsilon, \end{equation} $

(2.15) $ \begin{equation} \|u_{1}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}=\|u_{1}\|_{H^{\gamma, 1}}+\|u_{1}\|_{H^{\gamma, p}}\le\varepsilon, \end{equation} $

则问题(1.2)存在唯一整体解$ u\in C([0, \infty), \dot{H}^{\gamma, 1}\cap\dot{H}^{\gamma, p}) $, 且有估计

(2.16) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{\dot{H}^{\gamma, q}} &\lesssim&(1+t)^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}{}\\ & &\cdot(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{p}}), \quad\forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. \end{eqnarray} $

若$ 1<p<\bar{p} $, 考虑以上初值$ (u_{0}, u_{1}) $变为$ (\varepsilon u_{0}, \varepsilon u_{1}) $的情况, $ \varepsilon $充分小, 且存在合适的正常数$ C_{1} $使得$ C_{1}\varepsilon=M $ ($ M $为解存在空间所定义的范数上界), 则问题(1.2)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], \dot{H}^{\gamma, 1}\cap\dot{H}^{\gamma, p}) $,

(2.17) $ \begin{equation} T\le c\varepsilon^{\frac{1-p}{\alpha-\bar{\eta}}}-1, \end{equation} $

其中$ c $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数且

(2.18) $ \begin{equation} \bar{\eta}=\frac{n(1+\alpha)}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-p<\alpha. \end{equation} $

(ii) 当$ n=1 $时, 若$ \frac{1-\alpha}{1+\alpha}<\gamma<1, p\ge\bar{p} $, $ \exists \varepsilon>0 $, 对$ \forall u_{0}, u_{1}\in H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p} $且满足(2.14)及(2.15)式, 则问题(1.2)存在唯一整体解$ u\in C([0, \infty), \dot{H}^{\gamma, 1}\cap\dot{H}^{\gamma, p}) $, 且有估计

(2.19) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{\dot{H}^{\gamma, q}}&\lesssim&(1+t)^{1-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}{}\\ & &\cdot(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{p}}), \quad\forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. \end{eqnarray} $

若$ 1<p<\bar{p} $, 考虑以上初值$ (u_{0}, u_{1}) $变为$ (\varepsilon u_{0}, \varepsilon u_{1}) $的情况, $ \varepsilon $充分小, 如果存在合适的正常数$ \tilde{C_{1}} $使得$ \tilde{C_{1}}\varepsilon=\tilde{M} $ ($ \tilde{M} $为解存在空间所定义的范数上界), 则问题(1.2)存在唯一局部解$ u\in C([0, T], \dot{H}^{\gamma, 1}\cap\dot{H}^{\gamma, p}) $,

(2.20) $ \begin{equation} T\le \tilde{c}\varepsilon^{\frac{1-p}{\alpha-\bar{\eta}_{0}}}-1, \end{equation} $

其中$ \tilde{c} $是一个和$ \varepsilon $无关的正常数且

(2.21) $ \begin{equation} \bar{\eta}_{0}=\frac{1+\alpha}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-p<\alpha. \end{equation} $

注2.2  令$ \alpha\rightarrow1^{-}, \gamma\rightarrow0^{+} $, 有$ \bar{p}\rightarrow 1+\frac{2}{n-1} $, 与问题(1.6)中Kato^[7]所得到的指数相对应.值得注意的是, 此时得到的指数并不是问题(1.6)所对应的Strauss指数, 该现象出现的原因是因为在Caputo型分数阶扩散-波动方程中震荡的影响被忽略而导致的(详见文献[20]).若只令$ \gamma\rightarrow0^{+} $, 有

$ \bar{p}\rightarrow1+\frac{2}{n-2(1+\alpha)^{-1}} , $

当$ p\ge\bar{p} $时整体解存在, 这与文献[20]中D'Abbicco所得到的结论一致. 此外问题(1.1)与问题(1.2)中得到的指数$ \tilde{p} $与$ \bar{p} $满足如下关系

$ 1+\frac{2-\gamma}{n+\gamma}<\tilde{p}<1+\frac{2-\gamma}{n+\gamma-1}<\bar{p}<1+\frac{2-\gamma}{n+\gamma-2}. $

在证明定理之前, 先给出一些有用的引理.

引理3.1^[20]  令$ a<1, b\in{\Bbb R} $, 有以下不等式成立

(3.1) $ \begin{equation} \int_{0}^{t}(t-\tau)^{-a}(1+\tau)^{-b}{\rm d}\tau\lesssim\left\{ \begin{array}{ll} (1+t)^{-a}, \qquad\quad\qquad& a<1<b, \\ (1+t)^{-a}\log(1+t), \quad &a<1=b, \\ (1+t)^{-a+1-b}, \qquad\quad & a, b<1. \end{array} \right. \end{equation} $

引理3.2^[20]  对于

(3.2) $ \begin{equation} G_{1+\alpha, \beta}(t, x):={\cal F}^{-1}\left(E_{1+\alpha, \beta}(-t^{1+\alpha}|\xi|^{2})\right), \end{equation} $

其中

(3.3) $ \begin{equation} E_{1+\alpha, \beta}(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{\Gamma(k+\alpha k+\beta)} \end{equation} $

为Mittag-Leffler函数. 如下估计成立

(3.4) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, \beta}\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}, \end{equation} $

其中

(3.5) $ \begin{equation} \frac{n}{2}(1-\frac{1}{q})+\frac{\gamma}{2}<\left\{ \begin{array}{ll} 1, \quad\beta=1, 2, \\ 2, \quad\beta=1+\alpha. \end{array} \right. \end{equation} $

引理3.3^[21]  令$ a\in(0, \sigma), m\in(1, \infty) $, 有以下插值公式成立

(3.6) $ \begin{equation} \|\nabla^{a}u\|_{L^{q}}\lesssim\|\nabla^{\sigma}u\|_{L^{m}}^{\theta_{a, \sigma}(q, m)}\|u\|_{L^{m}}^{1-\theta_{a, \sigma}(q, m)}, \end{equation} $

其中$ \frac{a}{\sigma}\le\theta_{a, \sigma}(q, m)=\frac{n}{\sigma}(\frac{1}{m}-\frac{1}{q}+\frac{a}{n})<1. $

对于(1.9)的齐次问题

(3.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial^{1+\alpha}_{t}u-\Delta u=0, \quad &t>0, \quad x\in{{\Bbb R}} ^n, \\ u(0, x)=u_{0}, \quad u_{t}(0, x)=u_{1}, \quad &x\in{{\Bbb R}} ^n. \end{array} \right. \end{equation} $

文献[20]中得到了$ u $和$ \nabla u $的$ L^r $-$ L^q $估计

(3.8) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{L^{r}}+t^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})}\|u_{1}\|_{L^{r}}, \quad t>0, \end{equation} $

其中

$ \frac{n}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})<1, \quad1\le r\le q, $

以及

(3.9) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim (1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}}t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{H^{1, r}}+t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})+\frac{1-\alpha}{2}}\|u_{1}\|_{L^{r}}, \quad t>0, \end{equation} $

其中

$ \frac{n}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})<\frac{1}{2}, \quad1\le r\le q. $

考虑$ u_{1}=0 $的情况, 对(3.8)式, 在$ 0\le t\le 1 $时, 令$ r=q $, 在$ t>1 $时, 令$ r=1 $. 即

(3.10) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \|u\|_{L^{q}}\lesssim\|u_{0}\|_{L^{q}}, \qquad\qquad\quad &0\le t\le 1, \\ \|u\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{L^{1}}, \quad &t>1. \end{array} \right. \end{equation} $

借助文献[20]中的处理方法可以得到

(3.11) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{q}}\lesssim (1+t)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{L^{1}\cap L^{q}}, \quad t\ge0. \end{equation} $

对(3.9)式, 在$ 0\le t\le 1 $时, 令$ r=q $, 在$ t>1 $时, 令$ r=1 $. 即

(3.12) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1, q}}, \qquad\quad\qquad & 0\le t\le 1, \\ \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}}t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}}, \quad & t>1. \end{array} \right. \end{equation} $

可以得到

(3.13) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}} \|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, q}}, \quad t\ge0. \end{equation} $

(3.11)及(3.13)式同时成立需满足

(3.14) $ \begin{equation} \frac{n}{2}(1-\frac{1}{q})<\frac{1}{2}. \end{equation} $

由文献[20]可知(1.9)线性问题的解为

(3.15) $ \begin{equation} u=u^{lin}+Nu, \end{equation} $

其中

$ u^{lin}=G_{1+\alpha, 1}(t, x)*u_{0}+tG_{1+\alpha, 2}(t, x)*u_{1}, $

$ Nu=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}G_{1+\alpha, 1+\alpha}(t-\tau, x)*f(\tau, x){\rm d}\tau. $

下面建立$ \|Nu\|_{L^{q}} $及$ \|\nabla Nu\|_{L^{q}} $的估计, 由卷积的Young不等式可得

(3.16) $ \begin{equation} \|Nu\|_{L^{q}}\le\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}\|G_{1+\alpha, 1+\alpha}(t-\tau, x)\|_{L^{r_{0}}}\|f(\tau, x)\|_{L^{r_{1}}}{\rm d}\tau, \end{equation} $

其中$ \frac{1}{q}=\frac{1}{r_{0}}+\frac{1}{r_{1}}-1 $, $ 1\le r_{1}\le q. $令$ r_{1}=1 $, 结合齐次问题中所得估计的条件(3.14)及引理3.2, 有

(3.17) $ \begin{equation} \|Nu\|_{L^{q}}\lesssim\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}(t-\tau)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|f(\tau, x)\|_{L^{1}}{\rm d}\tau. \end{equation} $

又因为$ -\alpha+\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})<1 $, 若$ \|f(\tau, x)\|_{L^{1}}\le K(1+\tau)^{-\tilde{\eta}} $, 则由引理3.1, 可以得到

(3.18) $ \begin{equation} \|Nu\|_{L^{q}}\lesssim\left\{ \begin{array}{ll} K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}, \qquad\qquad\quad&\tilde{\eta}>1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\log(1+t), \quad &\tilde{\eta}=1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})+1-\tilde{\eta}}, &\tilde{\eta}<1. \end{array} \right. \end{equation} $

用类似方法可得

(3.19) $ \begin{equation} \|\nabla Nu\|_{L^{q}}\lesssim\left\{ \begin{array}{ll} K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}, &\tilde{\eta}>1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}\log(1+t), \quad &\tilde{\eta}=1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}+1-\tilde{\eta}}, &\tilde{\eta}<1. \end{array} \right. \end{equation} $

下面利用压缩映射原理证明定理2.1.

(i) $ n\ge2 $时, 要满足(3.14)式, 则需使$ q<1+\frac{1}{n-1}. $

对任意$ q\in[1, p], p<1+\frac{1}{n-1} $. 定义

$ X=\{u\mid u\in C([0, \infty), H^{1, 1}\cap H^{1, p}), \|u\|_{X}<\infty\}, $

且装备范数

(3.20) $ \begin{eqnarray} \|u\|_{X}&=&\sup\limits_{t\ge0}(1+t)^{-\alpha}\Big\{\|u\|_{L^{1}}+(1+t)^{\frac{n(1+\alpha)}{2} (1-\frac{1}{p})}\|u\|_{L^{p}}{}\\ &&+(1+t)^{\frac{1+\alpha}{2}}\|\nabla u\|_{L^{1}}+(1+t)^{\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})+\frac{1+\alpha}{2}}\|\nabla u\|_{L^{p}}\Big\}. \end{eqnarray} $

定义映射$ \Phi:u\rightarrow \Phi u: =u^{lin}+Nu $.令$ f(\tau, x)=|\nabla^{\gamma}u(\tau, x)|^{p} $, 下面证明

$ {\rm (a)}\; \forall u\in X $, 有$ \|\Phi u\|_{X}\lesssim\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}+\|u\|_{X}^{p} $,

$ {\rm (b)}\; \forall u, v\in X $, 有$ \|Nu-Nv\|_{X}\lesssim\|u-v\|_{X}(\|u\|_{X}^{p-1}+\|v\|_{X}^{p-1}). $

任取$ u\in X $, 由(3.11)及(3.13)式有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \|u^{lin}\|_{L^{1}}\lesssim\|u_{0}\|_{L^{1}}, \\ \|u^{lin}\|_{L^{p}}\lesssim(1+t)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})}\|u_{0}\|_{L^{1}\cap L^{p}}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla u^{lin}\|_{L^{1}}\lesssim(1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1, 1}}, \\ \|\nabla u^{lin}\|_{L^{p}}\lesssim(1+t)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1.1}\cap H^{1, p}}. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可以得到

$ \begin{eqnarray*} \begin{array}{ll}\|u^{lin}\|_{X}&\lesssim(1+t)^{-\alpha}(\|u_{0}\|_{L^{1}}+\|u_{0}\|_{L^{1}\cap L^{p}}+\|u_{0}\|_{H^{1, 1}}+\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}})\\&\lesssim\|u_{0}\|_{H^{1, 1}\cap H^{1, p}}. \end{array} \end{eqnarray*} $

通过插值可以得到以下估计

$ \|u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u\|_{X}, \quad\forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p], $

$ \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}\|u\|_{X}, \forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. $

由引理3.3, 因为$ \theta_{\gamma, 1}(p, p)=\gamma<1 $, 有

(3.21) $ \begin{eqnarray} \||\nabla^{\gamma}u|^{p}\|_{L^{1}}&\le&\|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{p}}^{p}\lesssim \|\nabla u\|_{L^{p}}^{p\theta_{\gamma, 1}(p, p)}\| u\|_{L^{p}}^{p[1-\theta_{\gamma, 1}(p, p)]}{}\\ &\lesssim&(1+t)^{[\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{1+\alpha}{2}]\gamma p}\|u\|_{X}^{\gamma p}(1+t) ^{[\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})](1-\gamma)p}\|u\|_{X}^{(1-\gamma)p}{}\\ &=&(1+t)^{[\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}]p}\|u\|_{X}^{p}. \end{eqnarray} $

令$ K=C\|u\|_{X}^{p} $ ($ C $为一正常数), $ \tilde{\eta}=\frac{n(1+\alpha)}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-\alpha p $, 当且仅当$ p>\tilde{p} $时, $ \tilde{\eta}>1. $由式(3.18)及(3.19)式有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \|Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha}, \\ \|Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

以及

$ \begin{eqnarray*} \qquad \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{1+\alpha}{2}}, \\ \|\nabla Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{1+\alpha}{2}}. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可以得到

$ \|Nu\|_{X}\lesssim\|u\|_{X}^{p}. $

故$ \Phi $是由$ X $到自身的映射.对于$ (b) $压缩性的证明运用以下不等式

$ \forall a, b>0, a^{p}-b^{p}\le|a-b|(a^{p-1}+b^{p-1}), \quad p>1, $

以及Hölder不等式, 结合引理3.3可以得到对$ \forall u, v\in X $, 有

(3.22) $ \begin{eqnarray} \||\nabla^{\gamma}u|^{p}-|\nabla^{\gamma}v|^{p}\|_{L^{1}}&\le& \||\nabla^{\gamma}u-\nabla^{\gamma}v|(|\nabla^{\gamma}u|^{p-1}+|\nabla^{\gamma}v|^{p-1})\|_{L^{1}}{}\\ &\le&\|\nabla^{\gamma}u-\nabla^{\gamma}v\|_{L^{p}}\||\nabla^{\gamma}u|^{p-1}+|\nabla^{\gamma}v|^{p-1}\|_{L^{\frac{p}{p-1}}}{}\\ &\le&\|\nabla^{\gamma}(u-v)\|_{L^{p}}(\|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{p}}^{p-1}+\|\nabla^{\gamma}v\|_{L^{p}}^{p-1}){}\\ &\lesssim&(1+t)^{[\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}]p}\|u-v\|_{X}(\|u\|_{X}^{p-1}+\|v\|_{X}^{p-1}).{\qquad} \end{eqnarray} $

令$ K=C\|u-v\|_{X}(\|u\|_{X}^{p-1}+\|v\|_{X}^{p-1}) $, 又因为

$ Nu-Nv=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}G_{1+\alpha, 1+\alpha}(t-\tau, x)*(|\nabla^{\gamma}u(\tau, x)|^{p}-|\nabla^{\gamma}v(\tau, x)|^{p}){\rm d}\tau, $

由类似(3.18)及(3.19)式的估计可以得到

(3.23) $ \begin{equation} \|Nu-Nv\|_{X}\lesssim\|u-v\|_{X}(\|u\|_{X}^{p-1}+\|v\|_{X}^{p-1}). \end{equation} $

若$ 1<p<\tilde{p} $, 考虑初值$ u_{0} $变为$ \varepsilon u_{0} $的情况, $ \varepsilon $充分小, 重复以上$ (a) $证明步骤, 可以得到

$ \|u^{lin}\|_{X}\lesssim\varepsilon. $

又因为在此情况下$ \tilde{\eta}<1. $由(3.18) 及(3.19) 式有

$ \left\{ \begin{array}{ll} \|Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha+1-\tilde{\eta}}, \\ \|Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})+1-\tilde{\eta}}, \end{array} \right. $

以及

$ \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{1+\alpha}{2}+1-\tilde{\eta}}, \\ \|\nabla Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{1+\alpha}{2}+1-\tilde{\eta}}. \end{array} \right. $

可以得到

$ \|Nu\|_{X}\lesssim(1+t)^{1-\tilde{\eta}}\|u\|_{X}^{p}. $

即

(3.24) $ \begin{equation} \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C(\varepsilon+(1+t)^{1-\tilde{\eta}}\|u\|_{X}^{p}). \end{equation} $

根据假设$ \|u\|_{X}\le E=C_{0}\varepsilon $, 通过(2.6)式且令$ a=C_{0}^{\frac{p}{\tilde{\eta}-1}} $, 可以推出

(3.25) $ \begin{equation} \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C(\varepsilon+(1+t)^{1-\tilde{\eta}}\|u\|_{X}^{p}) \le C(\varepsilon+(1+t)^{1-\tilde{\eta}}(C_{0}\varepsilon)^{p})\le2C\varepsilon. \end{equation} $

若$ p=\tilde{p} $, 同样由(3.18)及(3.19)式可得

$ \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C(\varepsilon+\log(1+t)\|u\|_{X}^{p}), $

通过(2.8)式且令$ b=C_{0}^{-p} $, 可以推出

(3.26) $ \begin{equation} \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C(\varepsilon+\log(1+t)\|u\|_{X}^{p}) \le C(\varepsilon+\log(1+t)(C_{0}\varepsilon)^{p})\le2C\varepsilon. \end{equation} $

(ii) $ n=1 $时, 对$ \forall q\ge1, $

(3.27) $ \begin{equation} \frac{1}{2}(1-\frac{1}{q})<\frac{1}{2} \end{equation} $

恒成立. 此时有齐次问题估计

(3.28) $ \begin{equation} \|u\|_{L^{q}}\lesssim (1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{L^{1}\cap L^{q}}, \quad t\ge0, \end{equation} $

(3.29) $ \begin{equation} \|\nabla u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{1+\alpha}{2}}\|u_{0}\|_{H^{1, 1} \cap H^{1, q}}, \quad t\ge0. \end{equation} $

取$ 1\le q\le p<\infty $, 在$ p>\tilde{p} $时整体解的存在性证明与$ n\ge2 $时类似, 在$ 1<p\le\tilde{p} $时局部解的存在区间估计也同理可得.

考虑$ u_{1}\not=0 $的情况, 要使(3.8)及(3.9)式在

(3.30) $ \begin{equation} \frac{n}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})<\frac{1}{2} \end{equation} $

下同时成立, 则会出现

(3.31) $ \begin{equation} 1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})>\frac{1-\alpha}{2}>0 \end{equation} $

的情况, 此时(3.8)式的衰减估计不成立.故以下不用插值方法处理$ |\nabla^{\gamma}u|^{p} $的范数, 直接研究线性问题中$ \nabla^{\gamma}u $的$ L^{r} $-$ L^{q} $估计.

通过(3.15)式可以得到

(3.32) $ \begin{equation} \nabla^{\gamma}u=\nabla^{\gamma}u^{lin}+\nabla^{\gamma}Nu, \end{equation} $

其中

$ \nabla^{\gamma}u^{lin}=\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 1}(t, x)*u_{0}+t\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 2}(t, x)*u_{1}, $

$ \nabla^{\gamma}Nu=\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 1+\alpha}(t-\tau, x)*f(\tau, x){\rm d}\tau. $

由卷积的Young不等式以及引理3.2, 对于$ \nabla^{\gamma}u^{lin} $的第一项, 由

$ \nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 1}(t, x)*u_{0}=G_{1+\alpha, 1}(t, x)*\nabla^{\gamma}u_{0}, $

则有估计

(3.33) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 1}(t, x)*u_{0}\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})}\|\nabla^{\gamma}u_{0}\|_{L^{r}}, \end{equation} $

进一步有

(3.34) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})}\|u_{0}\|_{H^{\gamma, r}}+t^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(\frac{1}{r}-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|u_{1}\|_{L^{r}}. \end{equation} $

其中$ 1\le r\le q, t>0. $

对(3.34)式, 在$ 0\le t\le 1 $时, 令$ r=q $, 在$ t>1 $时, 令$ r=1 $. 即

(3.35) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{q}}\lesssim \|u_{0}\|_{H^{\gamma, q}}+t^{1-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|u_{1}\|_{L^{q}}, &0\le t\le 1, \\ \|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{q}}\lesssim t^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})}(\|u_{0} \|_{H^{\gamma, 1}}+t^{1-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|u_{1}\|_{L^{1}}), \quad& t>1. \end{array} \right. \end{equation} $

可以得到

(3.36) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q}) -\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, q}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{q}}), \quad t\ge0, \end{equation} $

其中

(3.37) $ \begin{equation} \frac{n}{2}(1-\frac{1}{q})+\frac{\gamma}{2}<1. \end{equation} $

这里提高$ u_{0} $的正则项是为了保证(3.35)式中$ t $在$ 0 $时刻有意义.

同样, 对于$ \nabla^{\gamma}Nu $, 由卷积的Young不等式可得

(3.38) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{q}}\le\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}\|\nabla^{\gamma}G_{1+\alpha, 1+\alpha}(t-\tau, x)\|_{L^{r_{0}}}\|f(\tau, x)\|_{L^{r_{1}}}{\rm d}\tau, \end{equation} $

其中$ \frac{1}{q}=\frac{1}{r_{0}}+\frac{1}{r_{1}}-1 $, $ 1\le r_{1}\le q $, 取$ r_{1}=1 $, 结合(3.37)式及引理3.2, 有

(3.39) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{q}}\lesssim\int_{0}^{t}(t-\tau)^{\alpha}(t-\tau)^{-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|f(\tau, x)\|_{L^{1}}{\rm d}\tau. \end{equation} $

又因为

(3.40) $ \begin{equation} -\alpha+\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})+\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}<1 , \end{equation} $

由引理3.1, 若$ \|f(\tau, x)\|_{L^{1}}\le K(1+\tau)^{-\bar{\eta}} $, 可以得到

(3.41) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{q}}\lesssim\left\{ \begin{array}{ll} K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}, \qquad\qquad\quad&\bar{\eta}>1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\log(1+t), \quad&\bar{\eta}=1, \\ K(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}+1-\bar{\eta}}, & \bar{\eta}<1. \end{array} \right. \end{equation} $

下面利用压缩映射原理证明定理2.2.

(i) $ n\ge2 $时, 要满足(3.37)式, 则需使$ q<1+\frac{2-\gamma}{n-2+\gamma} $. 对任意$ q\in[1, p], p<1+\frac{2-\gamma}{n-2+\gamma} $. 定义

$ \begin{eqnarray*} \begin{array}{ll} X=\{u\mid u\in C([0, \infty), \dot{H}^{\gamma, 1}\cap \dot{H}^{\gamma, p}), \|u\|_{X}<\infty\}, \end{array} \end{eqnarray*} $

且装备范数

(3.42) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \|u\|_{X}=\sup\limits_{t\ge0}(1+t)^{-1}\{(1+t)^{\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{1}}+(1+t)^{\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})+\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}\|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{p}}\}. \end{array} \end{equation} $

定义映射$ \Psi: u\rightarrow \Psi u:=u^{lin}+Nu $. 令$ f(\tau, x)=|\nabla^{\gamma}u(\tau, x)|^{p} $, 以下证明

(a) $ \forall u\in X $, 有$ \|\Psi u\|_{X}\lesssim\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{p}} $,

(b) $ \forall u, v\in X $, 有$ \|Nu-Nv\|_{X}\lesssim\|u-v\|_{X}(\|u\|_{X}^{p-1}+\|v\|_{X}^{p-1}). $任取$ u\in X $, 由(3.36)式有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} &\|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{1}}\lesssim(1+t)^{1-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}}+\|u_{1}\|_{L^{1}}), \\ &\|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{p}}\lesssim(1+t)^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{p}}). \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可以得到

(3.43) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \|u^{lin}\|_{X}\lesssim\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, p}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{p}}. \end{array} \end{equation} $

通过插值可以得到以下估计

$ \|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{q}}\lesssim(1+t)^{1-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha) \gamma}{2}}\|u\|_{X}, \quad\forall t\ge0, \quad\forall q\in[1, p]. $

又因为

(3.44) $ \begin{equation} \begin{array}{ll} \||\nabla^{\gamma}u|^{p}\|_{L^{1}}=\|\nabla^{\gamma}u\|_{L^{p}}^{p}\lesssim (1+t)^{-[-1+\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})+\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}]p}\|u\|_{X}^{p}. \end{array} \end{equation} $

令$ K=C\|u\|_{X}^{p}, \bar{\eta}=\frac{n(1+\alpha)}{2}(p-1)+\frac{(1+\alpha)\gamma p}{2}-p $, 当$ p>\hat{p}:=1+\frac{4(1+\alpha)^{-1}-\gamma}{n+\gamma-2(1+\alpha)^{-1}} $时, $ \bar{\eta}>1 $. 由(3.41)式有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}, \\ \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可以得到

(3.45) $ \begin{equation} \|Nu\|_{X}\lesssim\|u\|_{X}^{p}. \end{equation} $

现考虑$ p<\hat{p} $的情况, 同样由(3.41)式有

$ \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{ll} \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{1}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}+1-\bar{\eta}}, \\ \|\nabla^{\gamma}Nu\|_{L^{p}}\lesssim\|u\|_{X}^{p}(1+t)^{\alpha-\frac{n(1+\alpha)}{2}(1-\frac{1}{p})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}+1-\bar{\eta}}, \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

可以得到

$ \|Nu\|_{X}\lesssim(1+t)^{\alpha-\bar{\eta}}\|u\|_{X}^{p}. $

进一步, 当且仅当$ \bar{p}\le p<\hat{p} $时, 有$ \bar{\eta}\ge\alpha, $此时成立

(3.46) $ \begin{equation} \|Nu\|_{X}\lesssim\|u\|_{X}^{p}. \end{equation} $

综上, 在$ p\ge\bar{p} $的条件下, $ \Psi $是由$ X $到自身的映射.对于$ (b) $压缩性的证明与(3.22)式类似.

若$ 1<p<\bar{p} $, 考虑初值$ (u_{0}, u_{1}) $变为$ (\varepsilon u_{0}, \varepsilon u_{1}) $的情况, $ \varepsilon $充分小, 重复以上证明步骤, 可以得到

$ \|u^{lin}\|_{X}\lesssim\varepsilon. $

此时$ \bar{\eta}<\alpha, $且有

(3.47) $ \begin{equation} \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C^{'}(\varepsilon+(1+t)^{\alpha-\bar{\eta}}\|u\|_{X}^{p}). \end{equation} $

根据假设$ \|u\|_{X}\le M=C_{1}\varepsilon $, 通过(2.17)式且令$ c=C_{1}^{\frac{p}{\bar{\eta}-\alpha}} $可以推出

(3.48) $ \begin{equation} \|u^{lin}+Nu\|_{X}\le C^{'}(\varepsilon+(1+t)^{\alpha-\bar{\eta}}\|u\|_{X}^{p})\le C^{'}(\varepsilon+(1+t)^{\alpha-\bar{\eta}}(C_{1}\varepsilon)^{p})\le2C^{'}\varepsilon. \end{equation} $

(ii) $ n=1 $时, 可以看到对$ \forall q\ge1, $条件

(3.49) $ \begin{equation} \frac{1}{2}(1-\frac{1}{q})+\frac{\gamma}{2}<1, \quad\gamma\in(0, 1) \end{equation} $

恒成立. 此时有估计

(3.50) $ \begin{equation} \|\nabla^{\gamma}u^{lin}\|_{L^{q}}\lesssim (1+t)^{1-\frac{1+\alpha}{2}(1-\frac{1}{q})-\frac{(1+\alpha)\gamma}{2}}(\|u_{0}\|_{H^{\gamma, 1}\cap H^{\gamma, q}}+\|u_{1}\|_{L^{1}\cap L^{q}}), \quad t\ge0. \end{equation} $

同时还需要注意的是只有在$ \gamma>\frac{1-\alpha}{1+\alpha} $的限制下, 此估计才会出现衰减的情况. 取$ 1\le q\le p<\infty $, 在此条件下$ p\ge\bar{p} $时整体解的存在性证明与$ n\ge2 $时类似, $ 1<p<\bar{p} $时局部解的存在区间估计也同理可得.