格林函数, 亦称点源影响函数, 用以表示点源在一定边值条件和(或)初始条件下所产生的场, 结合叠加原理, 就可以通过点源的场得到任意源产生的场(见文献[1]).因此, 格林函数法成为求解近代物理定解问题的重要手段.波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程和作为描述稳定场的重要方程之一的泊松方程, 以及近代工程中的许多问题都可以用格林函数法来求解(见文献[2-5]), 例如, Foda和Abduljabbar曾用格林函数方法研究无阻尼有限长Eular-Bernoulli梁横向振动的动力学偏移问题(见文献[4]).用格林函数法求解问题, 可归结为寻找相应的格林函数.而电像法是寻找格林函数的一种简单有效的方法, 并且得到的格林函数具有明显的物理意义.然而, 用电像法求解格林函数, 对区域边界的对称性有较高要求.对于内外球域都可以给出相应的格林函数, 进一步可给出系统的第一积分公式.对于像以椭球面和双曲面为边界的问题, 要给出相应的格林函数就比较困难.作者从焦点和焦点参数(半正焦弦)出发, 统一研究了椭球面、双曲面、抛物面和球面成像问题, 给出了二次曲面的一系列成像公式(见文献[6]).本文从二次曲面的成像公式出发, 利用电像法给出椭球面边界、双曲面边界、抛物面边界和球面边界泊松方程第一边值问题的格林函数, 并给出相应的积分公式.

在平面极坐标系中, 以焦点为极点, 圆锥曲线方程可统一为以下形式

$ \begin{equation} \rho = \frac{{e \cdot p}}{{1 \pm e\cos \theta }}, \end{equation} $

(2.1)

其中, $\rho $为极径, $e$为离心率, $p$为焦点到准线的距离, $\theta $为极径与极轴的夹角, 式中的"$ \pm $"取决于极点为左焦点还是右焦点.但这个极坐标方程无法将圆包含进去, 因为对于圆而言, 离心率$e$等于0, 则(2.1)式变为$\rho = 0$, 这显然是不合理的.在对旋转二次曲面的成像研究中, 作者采用了新的极坐标形式$d = p/(1 + e\cosh )$ (见文献[6]), 最终得出了旋转二次曲面近轴条件下折射成像的公式, 其中包含球面折射成像公式.按照旋转二次曲面成像中的研究方法, 将(2.1)式修正为

$ \begin{equation} \rho = \frac{{p'}}{{1 \pm e\cos \theta }}, \end{equation} $

(2.2)

对于椭圆及双曲线而言, $p' = {b^2}/a$; 对抛物线来说, 因为其离心率为1, 所以$p'$仍为焦点到准线的距离; 对圆而言, $p' = r$ ($r$为半径), 则变为$\rho = r$, 与圆的极坐标方程一致.由此可见, 利用极坐标方程(2.2)式可将圆锥曲线统一起来.由此, 我们可以统一研究旋转二次曲面区域内泊松方程第一边值问题的格林函数和第一积分公式.

假定旋转二次曲面区域内的静电场, 满足泊松方程第一边值问题, 即

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \Delta u\left( {{\bf r}} \right) = - \frac{{\rho \left( {{{\bf r}} - {{{\bf r}}_0}} \right)}}{{{\varepsilon _0}}}, \\ u\left( {{\bf r}} \right)\left| {_\Sigma } \right. = \varphi \left( {{\bf r}} \right), \end{array} \right.r < \left| {{{{\bf r}}_0}} \right|, \end{equation} $

(3.1)

这里$\Sigma $表示旋转二次曲面区域的边界.则, 旋转二次曲面区域内的格林函数满足新的边值问题(见文献[1])

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \Delta G = \delta ({{\bf r}} - {{{\bf r}}_0}), \quad \\ G\left|{_\Sigma }\right.= 0, \quad \\ \end{array} \right.r < \left| {{{{\bf r}}_0}} \right|. \end{equation} $

(3.2)

下面将采用电像法求解此格林函数, 为了简化问题, 我们先考虑试验点电荷在旋转轴上的情况.以旋转二次曲面的焦点$F$为极点(取椭球右焦点, 双曲面左焦点; 对于球面而言, 此点即为球心), 旋转轴为极轴建立极坐标系(如图 1所示).

设试验点电荷${M_0}$(电量${q_0} = - {\varepsilon _0}$)与极点的距离为$d$区域外一点${M_1}$(电量为$q$)为像点, 在旋转二次曲面上有一点$A$, 其与极点的连线和极轴的夹角为$\varphi $, 则有

$ \begin{equation} {{\bf F}}{{{\bf M}}_0} = d \cdot{{{\bf e}}_0}, \begin{array}{*{20}{c}} {}&{{{\bf FA}} = FA \cdot {{{\bf e}}_\varphi }}, \end{array} \end{equation} $

(3.3)

其中, ${{{\bf e}}_0}$为与${{\bf F}}{{{\bf M}}_0}$同向的单位向量, ${{{\bf e}}_\varphi }$为与${{\bf FA}}$同向的单位向量, 而由圆锥曲线的极坐标方程可得

$ \begin{equation} FA = \rho = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }}. \end{equation} $

(3.4)

由对称性分析可得, 像电荷${M_1}$必在旋转轴上, 设其电量为$k{\varepsilon _0}$($k > 0$), 与极点距离为$x$, 则有${{\bf F}}{{{\bf M}}_1} = x{{{\bf e}}_0}$(假定像电荷${M_1}$与试验电荷${M_0}$处于极点同侧), 点电荷${M_0}$与像电荷${M_1}$在点$A$产生的电势分别为

$ \begin{equation} {\varphi _0}{|_\Sigma } = \frac{{ - {\varepsilon _0}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{|{{\bf FA}} - {{\bf F}}{{{\bf M}}_0}|}} = - \frac{1}{{4\pi }} \cdot \frac{1}{{|\rho \cdot {{{\bf e}}_\varphi } - d \cdot {{{\bf e}}_0}|}}, \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation} {\varphi _1}{|_\Sigma } = \frac{{k{\varepsilon _0}}}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{|{{\bf FA}} - {{\bf F}}{{{\bf M}}_{{\bf 1}}}|}} = \frac{k}{{4\pi }} \cdot \frac{1}{{|\rho \cdot {{{\bf e}}_\varphi } - x \cdot {{{\bf e}}_0}|}}. \end{equation} $

(3.6)

由格林函数的边界条件(3.2)得

$ \begin{equation} {\varphi _0}{{\rm{|}}_\Sigma } + {\varphi _1}{{\rm{|}}_\Sigma } = 0. \end{equation} $

(3.7)

将(3.5)式和(3.6)式代入(3.7)式, 整理后得到

$ \begin{equation} k|\rho \cdot {{{\bf e}}_\varphi } - d \cdot {{{\bf e}}_0}| = |\rho \cdot {{{\bf e}}_\varphi } - x \cdot {{{\bf e}}_0}|(k > 0), \end{equation} $

(3.8)

等式两边同时平方, 得到

$ \begin{equation} {k^2}{\rho ^2} + {k^2}{d^2} - 2\rho \cdot {k^2}d\cos \varphi = {\rho ^2} + {x^2} - 2\rho \cdot x\cos \varphi, \end{equation} $

(3.9)

令$x = {k^2}d$($k \ne 1$), 则有

$ \begin{equation} {k^2}{\rho ^2} + {k^2}{d^2} - 2\rho \cdot {k^2}d\cos \varphi = {\rho ^2} + {k^4}{d^2} - 2\rho \cdot {k^2}d\cos \varphi, \end{equation} $

(3.10)

整理后得到

$ \begin{equation} ({k^2} - 1){\rho ^2} = ({k^2} - 1){d^2}{k^2}, \end{equation} $

(3.11)

又因为$k \ne 1$且$k > 0$, 于是解得

$ \begin{equation} k = \frac{\rho }{d} = \frac{{p'}}{{d(1 + e\cos \varphi )}}, \end{equation} $

(3.12)

则像电荷${M_1}$的位置和电荷量分别为

$ \begin{equation} x = \frac{{{{p'}^2}}}{{d{{(1 + e\cos \varphi )}^2}}};\quad q = \frac{{p'{\varepsilon _0}}}{{d(1 + e\cos \varphi )}}. \end{equation} $

(3.13)

可见, 用电像法得到的旋转二次曲面的格林函数的像点的位置和电量与$\varphi $角相关.在近轴条件(即$\varphi \to 0$)下, (3.13)式成为

$ \begin{equation} x = \frac{{{{p'}^2}}}{{d{{(1 + e)}^2}}};\quad q = \frac{{p'{\varepsilon _0}}}{{d(1 + e)}}, \end{equation} $

(3.14)

此式即为旋转二次曲面区域内近轴情况下像电荷的位置和电量的统一形式.下面我们通过(3.14)式具体讨论近轴情况下二次曲面区域(如图 2)像电荷的位置及电量

对于椭球面近轴域, $p' = {b^2}/a;e = c/a = \sqrt {{a^2} - {b^2}} /a$, 由(3.14)式得

$ \begin{equation} x = \frac{{{b^4}}}{{{a^2}d{{(1 + \frac{c}{a})}^2}}} = \frac{{{{(a - c)}^2}}}{d}, \end{equation} $

(3.15)

因为$d < a - c$, 则

$ \begin{equation} x = (a - c) \cdot \frac{{(a - c)}}{d} > a - c, \end{equation} $

(3.16)

可见像电荷${M_1}$确在椭球域外.且像电荷的电量为

$ \begin{equation} q = \frac{{{b^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{d \cdot (a + c)}}. \end{equation} $

(3.17)

对于双曲面近轴域, $p' = {b^2}/a;e = c/a = \sqrt {{a^2} + {b^2}} /a$, 由(3.14)式得像电荷位置及电量

$ \begin{equation} x = \frac{{{b^4}}}{{{a^2}d{{(1 + \frac{c}{a})}^2}}} = \frac{{{{(c - a)}^2}}}{d};\quad q = \frac{{(c - a){\varepsilon _0}}}{d}; \end{equation} $

(3.18)

对于抛物面近轴域, $p' = o'F = p;e = 1$, 可得像电荷位置及电量

$ \begin{equation} x = \frac{{{p^2}}}{{4d}};\quad q = \frac{{p{\varepsilon _0}}}{{2d}}; \end{equation} $

(3.19)

对于球域, 由于其高度对称性, (3.13)式将不受近轴条件限制, 其中, $p' = R;e = 0$ ($R$为半径), 得到像电荷位置及电量

$ \begin{equation} x = \frac{{{R^2}}}{d};\quad q = \frac{{R{\varepsilon _0}}}{d}, \end{equation} $

(3.20)

与文献[2]中的结果相一致.由格林函数的定义即可得到旋转二次曲面区域内近轴情况下点$M({{\bf r}})$处的电势, 亦即近轴条件下二次曲面区域内泊松方程的格林函数, 有如下统一形式

$ \begin{equation} G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0}) = \frac{{p'}}{{4\pi d(1 + e)}}\frac{1}{{|{{\bf r}} - \frac{{{{p'}^2}}}{{d{{(1 + e)}^2}}}{{{\bf e}}_0}|}} - \frac{1}{{4\pi }}\frac{1}{{|{{\bf r}} - d{{{\bf e}}_0}|}}, \end{equation} $

(3.21)

其中, ${{{\bf e}}_0}$为沿极轴方向的单位向量. (3.21)式还可以化为

$ \begin{equation} G = \frac{{p'}}{{4\pi d(1 + e)}}\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + \frac{{{{p'}^4}}}{{{d^2}{{(1 + e)}^4}}} - 2r\frac{{{{p'}^2}}}{{d{{(1 + e)}^2}}}\cos \theta } }} - \frac{1}{{4\pi \sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }}, \end{equation} $

(3.22)

其中, $r$为点$M$到极点$F$的距离, $\theta $为$FM$与极轴的夹角.下面我们通过(3.22)式给出几种二次曲面区域内近轴条件下的格林函数:对于椭球面近轴域, 有

$ \begin{equation} G = \frac{{a - c}}{{4\pi d}}\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + \frac{{{{(a - c)}^4}}}{{{d^2}}} - 2r\frac{{{{(a - c)}^2}}}{d}\cos \theta } }} - \frac{1}{{4\pi \sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }}; \end{equation} $

(3.23)

对于双曲面近轴域, 有

$ \begin{equation} G = \frac{{c - a}}{{4\pi d}}\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + \frac{{{{(c - a)}^4}}}{{{d^2}}} - 2r\frac{{{{(c - a)}^2}}}{d}\cos \theta } }} - \frac{1}{{4\pi \sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }}; \end{equation} $

(3.24)

对于抛物面近轴域, 有

$ \begin{equation} G = \frac{p}{{8\pi d}}\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + \frac{{{p^4}}}{{16 \cdot {d^2}}} - r\frac{{{p^2}}}{{2 \cdot d}}\cos \theta } }} - \frac{1}{{4\pi \sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }}, \end{equation} $

(3.25)

其中, $p = o'F$; 对于球域, 结合球域的高度对称性分析, 可知(3.21)式不再受近轴条件的限制, 适用于球域内任一位置

$ \begin{equation} G(r, {r_0}) = \frac{R}{{4\pi d}}\frac{1}{{|{{\bf r}} - \frac{{{R^2}}}{d}{{{\bf e}}_0}|}} - \frac{1}{{4\pi }}\frac{1}{{|{{\bf r}} - d \cdot {{{\bf e}}_0}|}}, \end{equation} $

(3.26)

与文献[1]中由几何关系得到的格林函数形式一致. (3.26)式可进一步化为

$ \begin{equation} G = \frac{R}{{4\pi d}}\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + \frac{{{R^4}}}{{{d^2}}} - 2r\frac{{{R^2}}}{d}\cos \theta } }} - \frac{1}{{4\pi \sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }}. \end{equation} $

(3.27)

此外, 利用电像法还可以给出边界为平面(如图 3)的泊松问题的格林函数解, 取试验点电荷${M_0}$与平面间的垂线方向为极轴正方向, 垂线与平面的交点为极点建立极坐标系.

经分析可得, 像电荷${M_1}$必在极轴上, 与试验点电荷关于平面对称, 且电量为$ + {\varepsilon _0}$, 于是得到此问题的格林函数为

$ \begin{equation} G = \frac{1}{{4\pi }}(\frac{1}{{\sqrt {{r^2} + {d^2} - 2rd\cos \theta } }} - \frac{1}{{\sqrt {{r^2} + {d^2} + 2rd\cos \theta } }}), \end{equation} $

(3.28)

其中, $r$为点$M$到极点$F$的距离, $\theta $为$FM$与极轴的夹角.

设区域$T$中的泊松方程$\Delta u = f({{\bf r}}), ({{\bf r}} \in T)$满足第一边值条件$u{|_\Sigma} = \varphi (M)$($\varphi (M)$是区域边界$\Sigma $上的给定函数), 其对应的格林函数为$G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})$.则有第一边值问题解的积分表示式(见文献[2])

$ \begin{equation} u({{\bf r}}) =\iiint_T G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})f({{{\bf r}}_0}) {\rm d}{V_0} +\iint_\Sigma \varphi({{{\bf r}}_0})\frac{{\partial G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})}}{{\partial {n_0}}} {\rm d}{S_0}. \end{equation} $

(4.1)

对于静电场问题, 区域中的泊松方程及第一边值条件为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \Delta u\left( {{\bf r}} \right) = - \frac{{\rho \left( {{{\bf r}} - {{{\bf r}}_0}} \right)}}{{{\varepsilon _0}}}, \\ u\left( {{\bf r}} \right)\left| {_\Sigma } \right. = \varphi \left( {{\bf r}} \right), \end{array} \right.r < \left| {{{{\bf r}}_0}} \right|, \end{equation} $

(4.2)

式中, $\rho ({{\bf r}} - {{{\bf r}}_0})$为电荷体密度函数.下面具体讨论不同区域情况下第一积分公式((4.1)式)中的$\frac{{\partial G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})}}{{\partial {n_0}}}$即格林函数在不同区域边界的外法向导数.当区域$T$为二次曲面区域时, 为了得到更简洁的结果, 我们以二次曲面的焦点为原点建立如图 4所示的坐标系.其中, $A$为区域边界上的一点, $\rho $为$A$点到原点的距离, $\varphi $为$OA$与$y$轴的夹角, $\beta $为$OA$和$y$轴所在平面(即$OO'A$面)与${\rm{XOY}}$面的夹角.

于是有A点的坐标变换关系式

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} x = \rho \cdot \sin \varphi \cdot \cos \beta = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }}\sin \varphi \cdot \cos \beta , \\ y = \rho \cdot \cos \varphi = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }} \cdot \cos \varphi , \\ z = \rho \cdot \sin \varphi \cdot \sin \beta = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }}\sin \varphi \cdot \sin \beta, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.3)

则有

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial G}}{{\partial x}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} + \frac{{\partial G}}{{\partial \beta }}\frac{{\partial \beta }}{{\partial x}}, \\ \frac{{\partial G}}{{\partial y}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} + \frac{{\partial G}}{{\partial \beta }}\frac{{\partial \beta }}{{\partial y}}, \\ \frac{{\partial G}}{{\partial z}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} + \frac{{\partial G}}{{\partial \beta }}\frac{{\partial \beta }}{{\partial z}}, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.4)

又由二次曲面的旋转对称性知: $G$与$\beta $无关, 即$\frac{{\partial G}}{{\partial \beta }} = 0$, 于是(4.4)式成为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial G}}{{\partial x}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}, \\ \frac{{\partial G}}{{\partial y}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}, \\ \frac{{\partial G}}{{\partial z}} = \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}. \end{array} \right. \end{equation} $

(4.5)

由(4.3)式可推得

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\rm d}x = \cos \beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot ( - \sin \beta ) \cdot {\rm d}\beta , \\ {\rm d}y = \left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi , \\ {\rm d}z = \sin \beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot \cos \beta \cdot {\rm d}\beta, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.6)

其中

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} O' = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }}\sin \varphi, \\ O'' = \frac{{p'}}{{1 + e\cos \varphi }}\cos \varphi. \end{array} \right. \end{equation} $

(4.7)

在(4.6)式中的第一个等式左右同乘以$\cos \beta $, 第三个等式左右同乘以$\sin \beta $, 即

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \cos \beta \cdot {\rm d}x = {\cos ^2}\beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot ( - \sin \beta \cos \beta ) \cdot {\rm d}\beta , \\ \sin \beta \cdot {\rm d}z = {\sin ^2}\beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot \sin \beta \cos \beta \cdot {\rm d}\beta, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.8)

两式相加, 整理得到

$ \begin{equation} {\rm d}\varphi = \cos \beta \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}}{\rm d}x + \sin \beta \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}}{\rm d}z. \end{equation} $

(4.9)

在(4.6)式中的第一个等式左右同乘以$ - \sin \beta $, 第三个等式左右同乘以$\cos \beta $, 即

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} - \sin \beta \cdot {\rm d}x = - \sin \beta \cos \beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot {\sin ^2}\beta \cdot {\rm d}\beta, \\ \cos \beta \cdot {\rm d}z = \sin \beta \cos \beta \cdot \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) \cdot {\rm d}\varphi + O' \cdot {\cos ^2}\beta \cdot {\rm d}\beta, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.10)

两式相加, 整理得到

$ \begin{equation} {\rm d}\beta = - \sin \beta \cdot \frac{1}{{O'}}{\rm d}x + \cos \beta \cdot \frac{1}{{O'}}{\rm d}z. \end{equation} $

(4.11)

由(4.9)式、(4.11)式及(4.6)式中的第二个等式可以得到

$ \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = \cos \beta \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}}; \\ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = \sin \beta \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}}; \\ \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}}, \end{array}\right. \end{equation} $

(4.12)

又因为

$ \begin{equation} \frac{{\partial G}}{{\partial {n_0}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial z}}} \right)}^2}}, \end{equation} $

(4.13)

将(4.5)和(4.12)式代入上式, 得

$ \begin{eqnarray} \frac{{\partial G}}{{\partial {n_0}}} &= &\sqrt {{{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)}^2}} \\ &= &\sqrt {{{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}{{\cos }^2}\beta \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2}}} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}{{\sin }^2}\beta \frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2}}} + {{\left( {\frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2}}}} \\ &= &\sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2}} \cdot \frac{1}{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}} \cdot \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}. \end{eqnarray} $

(4.14)

因为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }} = \frac{{p'e{{\sin }^2}\varphi }}{{{{(1 + e\cos \varphi )}^2}}} + \frac{{p'\cos \varphi }}{{1 + e\cos \varphi }}, \\ \frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }} = \frac{{p'e\sin \varphi \cos \varphi }}{{{{(1 + e\cos \varphi )}^2}}} - \frac{{p'\sin \varphi }}{{1 + e\cos \varphi }}, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.15)

令$\rho = p'/(1 + e\cos \varphi )$, 则(4.15)式成为

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }} = \frac{{{\rho ^2}e{{\sin }^2}\varphi }}{{p'}} + \rho \cos \varphi , \\ \frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }} = \frac{{{\rho ^2}e\sin \varphi \cos \varphi }}{{p'}} - \rho \sin \varphi, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.16)

则有

$ \begin{equation} \left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right) = {\rho ^2}\left( {\frac{{\rho e{{\sin }^2}\varphi }}{{p'}} + \cos \varphi } \right)\left( {\frac{{\rho e\sin \varphi \cos \varphi }}{{p'}} - \sin \varphi } \right); \end{equation} $

(4.17)

$ \begin{eqnarray} \sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm d}O'}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm d}O''}}{{{\rm d}\varphi }}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{\rho ^4}{e^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{{p'}^2}}} + {{\rho }^2}} = \rho \sqrt {\frac{{{\rho ^2}{e^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{{p'}^2}}} + 1}. \end{eqnarray} $

(4.18)

将(4.17)和(4.18)式代入(4.14)式, 得到

$ \begin{equation} \frac{{\partial G}}{{\partial {n_0}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{\rho ^2}{e^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{{p'}^2}}} + 1} }}{{\rho \left( {\frac{{\rho e{{\sin }^2}\varphi }}{{p'}} + \cos \varphi } \right)\left( {\frac{{\rho e\sin \varphi \cos \varphi }}{{p'}} - \sin \varphi } \right)}} \cdot \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}, \end{equation} $

(4.19)

于是得到二次曲面区域内静电场泊松方程的第一边值问题积分表示式

$ \begin{eqnarray} u({{\bf r}}) &=& \iiint_T G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})\delta ({{\bf r}} - {{{\bf r}}_0}){\rm d}{V_0} \\ &&+ \iint_\Sigma \varphi({{{\bf r}}_0})\frac{{\sqrt {\frac{{{\rho ^2}{e^2}{{\sin }^2}\varphi }}{{{{p'}^2}}} + 1} }}{{\rho \left( {\frac{{\rho e{{\sin }^2}\varphi }}{{p'}} + \cos \varphi } \right)\left( {\frac{{\rho e\sin \varphi \cos \varphi }}{{p'}} - \sin \varphi } \right)}} \cdot \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}{\rm d}{S_0}. \end{eqnarray} $

(4.20)

又因为$\rho = p'/(1 + e\cos \varphi )$, 则(4.20)式可进一步化为

$ \begin{eqnarray} u({{\bf r}}) &=& \iiint_T G({{\bf r}}, {{{\bf r}}_0})\delta ({{\bf r}} - {{{\bf r}}_0}){\rm d}{V_0} \\ &&+ \iint_\Sigma \varphi({{{\bf r}}_0})\left[ { - \frac{{{{(1 + e\cos \varphi )}^2} \cdot \sqrt {{e^2} + 2e\cos \varphi + 1} }}{{p'\sin \varphi (e + \cos \varphi )}}} \right] \cdot \frac{{\partial G}}{{\partial \varphi }}{\rm d}{S_0}. \end{eqnarray} $

(4.21)

(4.21)式即为二次曲面区域内静电场泊松方程第一边值问题积分表示式的统一形式, 只需代入对应于不同区域的参数$p'$和$e$以及格林函数就可得到相应的积分公式:对于椭球域, $p' = {b^2}/a;e = c/a = \sqrt {{a^2} - {b^2}} /a$; 对于双曲面域, $p' = {b^2}/a;e = c/a = \sqrt {{a^2} + {b^2}} /a$; 对于抛物面域, $p' = o'F = p;e = 1$; 对于球域, $p' = R;e = 0$ ($R$为半径).

(1) 从旋转二次曲面的成像公式出发, 用电像法求解泊松方程第一边值问题的格林函数和积分表示式.本文采用研究旋转二次曲面的成像公式所用的方法, 给出了椭球区域、双曲面区域、抛物面区域以及球域内格林函数的统一形式.研究表明, 用电像法求解旋转二次曲面区域内的格林函数, 试验点电荷须放置在旋转轴上, 且结果是在近轴条件下得到的, 这是由于某些旋转二次曲面自身的不对称性造成的.若将试验点电荷置于除旋转轴外的区域, 则无法用电像法得到区域内点的电势; 其次, 如果研究的区域不是近轴区域, 像电荷的位置及电量将与$\varphi $有关, 即不同位置点的电势对应着不同的像电荷, 这是不合理的.

(2) 采用极坐标系下旋转二次曲面的成像问题的结论, 用电像法求得的旋转二次曲面区域内的格林函数形式简洁, 整齐统一, 且具有一般性, 球域、半空间区域中的结果也可由其得到, 且形式一致.

(3) 用同样的方法我们可以给出旋转二次曲面区域外泊松方程第一边值问题的格林函数和积分表示式.