近年来, 中立型延迟微分方程的振动性备受关注.中立型延迟微分方程的振动理论十分复杂, 一些对中立型微分方程成立的结果对非中立型微分方程可能并不成立.因此中立型延迟微分方程的振动性被广泛研究^[1-6].此外, 它在实际应用中也起着十分重要的作用, 例如出现在包含无损传输线路的网络中(如在用于互连开关电路的无损传输线的高速计算机中), 还出现在附着在弹性棒上的振动质量以及人口动态的研究中^[7-12].接下来, 我们将介绍一些与本文相关的研究成果.

在文献[13]中, Arino和Györi研究了下面的一阶标量中立型延迟微分方程

$ [x(t)+px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}x(t-\sigma_{i})=0, $

得到了方程的所有解振动当且仅当特征方程

$ f(\lambda)\equiv \lambda+p\lambda {\rm e}^{-\lambda \tau}+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}{\rm e}^{-\lambda\sigma_{i}}=0 $

无实根, 其中$p\in{\mathbb{R}}$, $\tau, \sigma_{i}\geq0$, $q_{i}\in{\mathbb{R}}$, $i=1, 2, \cdots , m$.

在文献[14]中, Guo, Shen和Shi研究了带有常系数的一阶中立型延迟微分方程

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+ qx(t-\sigma)=0 $

的振动性, 其中$q, \tau, \sigma>0$.在$0<p<1$和$p>1$时, 得到了所有解振动的充要条件.

在文献[15]中, Al-Amri I R考虑了以下方程

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}x(t-\sigma_{i})=0. $

(1.1)

假设对所有$i=1, 2, \cdots , l$都有$q_{k_{i}}\geq0$以及对所有$j=1, 2, \cdots , r$都有$q_{n_{j}}<0$, 且满足$l+r=m$.令$c_{n_{j}}=-q_{n_{j}}$, $j=1, 2, \cdots , r$, 那么方程(1.1)可化简为

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{l}q_{i}x(t-\tau_{i})-\sum\limits_{j=1}^{r}c_{j}x(t-\sigma_{j})=0. $

若有以下三个条件成立

(ⅰ) $lq_{i}>\sum\limits_{j=1}^{r}c_{j}$, $i=1, 2, \cdots , l$;

(ⅱ) $\sum\limits_{i=1}^{l}(1-p-\sum\limits_{j=1}^{r}c_{j}(\tau_{i}-\sigma_{j}))\geq0$;

(ⅲ) $(e+\frac{p\tau}{1-p})\sum\limits_{i=1}^{l}(lq_{i}-\sum\limits_{j=1}^{r}c_{j})\tau_{i} >\sum\limits_{i=1}^{l}((1-p)-\sum\limits_{j=1}^{r}c_{j}(\tau_{i}-\sigma_{j}))$.

则方程(1.1)的所有解都振动, 其中对所有$i=1, 2, \cdots , l$和$j=1, 2, \cdots , r$且$l+r=m$, 有$0<p<1$, $\tau$, $\sigma_{i}, q_{i}\geq0$, $\tau_{i}, c_{j}>0$.

本文主要对文献[14]延伸和拓展.我们将会考虑下面非线性中立型延迟微分方程

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}({\rm e}^{\alpha_{i}x(t-\sigma_{i})}-1)=0, $

(1.2)

其中对于$i=1, 2, \cdots , m$, 有$p, \tau, q_{i}, \sigma_{i}, \alpha_{i}\in(0, +\infty)$ $i=1, 2, \cdots , m$.我们能够得到$0<p<1$时解析解振动的充分条件以及$p\geq1$时解振动的充分必要条件.为了和文献[15]中的结论相比较, 我们会在论文第三部分给出算例.

定义 2.1^[16]  设$x(t)$是定义在无穷区间$[a, \infty)$上的连续函数, 若$x(t)-K$有任意大的零点, 我们就说函数$x(t)$是关于$K$振动的.当$K=0$时, 称函数$x(t)$振动.

定义 2.2^[16]  若微分方程的所有解是振动的, 则称此微分方程是振动的.

令$f_{i}(u)=\alpha_{i}^{-1}({\rm e}^{\alpha_{i}u}-1)$, 这里$i=1, 2, \cdots , m$.则方程(1.2)等价于

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}f_{i}(x(t-\sigma_{i}))=0. $

(2.1)

方程(2.1)对应的线性化方程为

$ [x(t)-px(t-\tau)]'+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}x(t-\sigma_{i})=0. $

(2.2)

接下来我们考虑如下条件

(H1) $uf_{i}(u)>0$, $u\neq 0$, $\lim\limits_{u\rightarrow0}$ $\frac{f_{i}(u)}{u}=1$, $i=1, 2, \cdots , k$.

(H2) 存在$\delta>0$, 使得

$ f_{i}(u)\leq u, u\in[0, \delta), i=1, 2, \cdots , k, $

或者

$ f_{i}(u)\geq u, u\in(-\delta, 0], i=1, 2, \cdots , k $

成立.

由文献[16]知:如果$f_{i}$满足(H1)与(H2), 那么方程(2.1)的振动性就等价于方程(2.2)的振动性.由于$f_{i}$满足(H1)显然成立, 但$f_{i}$不满足(H2), 所以我们考虑如下条件(H3).

(H3)存在$r>0, \delta>0, K>0$, 使得在$(-\delta, \delta)$内, $f_{i}(u)$是非减的, $i=1, 2, \cdots , k, $且有

$ f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}, u\in[0, \delta), i=1, 2, \cdots , k, $

或者

$ f_{i}(u)\geq u-K|u|^{1+r}, u\in(-\delta, 0], i=1, 2, \cdots , k. $

引理 2.1  方程(2.1)中的$f_{i}$ $(i=1, 2, \cdots , k)$满足(H1)与(H3).

证  当$u>0$时, 有

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}>0 \;\;\;\mbox{且}\;\;\; \lim\limits_{u\rightarrow 0}\frac{f_{i}(u)}{u}=\lim\limits_{u\rightarrow 0}\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}u}=1. $

当$u<0$时, 有

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}<0 \;\;\;\mbox{且}\;\;\; \lim\limits_{u\rightarrow0}\frac{f_{i}(u)}{u}=1. $

因此(H1)满足.

由于

$ f_{i}'(u)= \Big(\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}\Big)'={\rm e}^{\alpha_{i}u}>0, $

所以对于任给的$u>0$, 都存在$\delta>0$, 当$u\in(-\delta, \delta)$, $f_{i}(u)$是非减的.接下来, 我们证明存在$r=1$, $K=\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}$, 当$u\in[0, \delta)$, 有$f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}$, $u\in[0, \delta).$

令

$ G(u)=(1+(1+r)Ku^{r})-{\rm e}^{\alpha_{i}u}, $

则有

$ G'(u)=r(1+r)Ku^{r-1}-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}u} =2\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}u}. $

当$u\in[0, \delta)$时, 不难得到$G'(u)>0$和$G(0)=0$, 所以

$ (1+(1+r)Ku^{r})-{\rm e}^{\alpha_{i}u}>0. $

令

$ F(u)=1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{1+r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}, $

那么

$ F'(u)=\alpha_{i}+(1+r)K\alpha_{i}u^{r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}\alpha_{i}=\alpha_{i}(1+(1+r)Ku^{r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u})>0. $

(2.3)

另外由$F(0)=0$, 我们可以得到

$ 1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{1+r}-{\rm e}^{\alpha_{i}u}>0, $

故有

$ {\rm e}^{\alpha_{i}u}-1<1+\alpha_{i}u+K\alpha_{i}u^{1+r}-1, $

可化简为$\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}<u+Ku^{1+r}, $即

$ f_{i}(u)\leq u+K|u|^{1+r}, u\in[0, \delta). $

由于${\rm e}^{x}\geq{1+x}$, $x\in {\mathbb{R}}$, 我们有

$ f_{i}(u)=\frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}\geq u\geq u-\alpha_{i}{\rm e}^{\alpha_{i}\delta}|u|^{2}, u\in(-\delta, 0], $

即

$ \frac{{\rm e}^{\alpha_{i}u}-1}{\alpha_{i}}\geq {u-K|u|^{1+r}}, $

我们能得到

$ f_{i}(u)\geq u-K|u|^{1+r}, u\in(-\delta, 0], i=1, 2, \cdots , k. $

因此(H3)成立.

注 2.1  由文献[17]知, 若(H1)和(H3)成立, 则方程(1.2)振动等价于方程(2.2)振动.

方程(2.2)的特征方程为

$ f(\lambda)=\lambda-p\lambda {\rm e}^{-\lambda\tau}+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i} \alpha_{i}{\rm e}^{-\lambda\sigma_{i}}=0. $

(2.4)

由文献[13]知, 方程(2.2)振动等价于其特征方程(2.4)无实根.因此, 我们仅需要讨论方程(2.4)实根的存在性.

在本小节, 我们会证明两个定理.在一定的条件下, 得到方程(1.2)振动的充要条件和充分条件.

定理 2.1  若$p\in(0, 1)$, 令

$ g(\mu)=p{\rm e}^{\mu\tau}-1+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}})}{\mu}, $

$ h(\mu)=\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}}(\tau\mu-\sigma_{i}\mu+1))-\tau\mu^{2}, $

那么方程(1.2)的所有解振动当且仅当$h(\theta_{0})>0$, 其中$\theta_{0}$是$g'(\mu)$在$(0, \frac{1}{N})$上的唯一零点, $N=\min\limits_{1\leq i \leq m}\sigma_{i}$.

证  当$\lambda\geq0$时, 有

$ f(\lambda)=\lambda(1-p{\rm e}^{-\lambda\tau})+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{-\lambda\sigma_{i}}\geq \sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{-\lambda\sigma_{i}}>0. $

令

$ g(\mu)=\frac{f(-\mu)}{\mu}=p{\rm e}^{\mu\tau}-1+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i} {\rm e}^{\mu\sigma_{i}})}{\mu}, $

那么

$ g'(\mu)=p\tau {\rm e}^{\mu\tau}+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}} (\sigma_{i}\mu-1))}{\mu^{2}}. $

定义

$ G(\mu)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}({\rm e}^{\mu\sigma_{i}}(\sigma_{i}\mu-1))}{\mu^{2}}, $

那么

$ G'(\mu)=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}({\rm e}^{\mu\sigma_{i}}(\sigma_{i}^{2}\mu^{2}-2\sigma_{i}\mu+2))}{\mu^{3}}. $

我们不难得到$G'(\mu)>0$, $\mu>0$, 因此$g'(\mu)$是增函数.另外, 由$\lim\limits_{\mu\rightarrow0^{+}}g'(\mu)\rightarrow-\infty$和

$ g'\Big(\frac{1}{N}\Big)=p\tau {\rm e}^{\frac{\tau}{N}}+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i} \alpha_{i}{\rm e}^{\frac{\sigma_{i}}{N}} \Big(\frac{\sigma_{i}}{N}-1\Big)N^{2}>0 $

可得:当$\mu\in(0, \frac{1}{N})$时, $g'(\mu)=0$存在唯一的零解$\theta_{0}$.由于当$\mu\in(0, \theta_{0})$, $g(\mu)$是递减的, 当$\mu\in(\theta_{0}, +\infty)$, $g(\mu)$是递减. $g(\theta_{0})$是$g(\mu)$在$(0, +\infty)$上的最小值.

令$g(\mu)=\frac{h(\mu)}{\tau \mu^{2}}$.由于$g'(\theta_{0})=0$, 有

$ p\tau \theta_{0}^{2}{\rm e}^{\theta_{0}\tau}=-\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{0}\sigma_{i}} (\sigma_{i}\theta_{0}-1), $

(2.5)

那么

$ \begin{eqnarray} h(\theta_{0})&=&-\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{0}\sigma_{i}} (\sigma_{i}\theta_{0}-1))-\theta_{0}^{2}\tau +\theta_{0}\tau \sum\limits_{i=1}^{m} q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{0}\sigma_{i}}\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{0}\sigma_{i}}(\theta_{0}\tau -(\sigma_{i}\theta_{0}-1))) -\theta_{0}^{2}\tau. \end{eqnarray} $

(2.6)

因此, $g(\mu)=0$在$(0, +\infty)$无实根当且仅当$h(\theta_{0})>0$.

定理 2.2  若$p\in(0, 1)$, $5\tau<4N$, (C$_{1})$或(C$_{2})$成立, 则方程(1.2)的每一个解均振动.

(C1) $\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\frac{\sigma_{i}}{N}}(N\tau+N(N-\sigma_{i}))>\tau$,

(C2) $\overline{\theta}>\theta_{0}$, 其中$\theta_{0}$是$g'(\mu)$在$(0, \frac{1}{N})$上唯一的零点.$\overline{\theta}$是$y(\mu)$和$h(\mu)$在$(0, \frac{1}{N})$上的唯一零解.

证  令

$ y(\mu)=\frac{h(\mu)}{\mu^{2}}=\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}} \Big(\frac{\tau-\sigma_{i}}{\mu} +\frac{1}{\mu^{2}}\Big)-\tau, $

其中$h(\mu)$是定理2.1中定义的.假设$y'(\mu)=\frac{z(\mu)}{\mu^{3}}, $那么

$ z'(\mu)=\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}}(\sigma_{i}^{2}\mu^{2}(\tau-\sigma_{i})+\mu\sigma_{i}\tau-\tau). $

我们不难得到$z(\mu)$在$\mu>0$上是减函数.另外$z(0)=-2\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}<0, $那么对$\mu\in(0, \frac{1}{N})$, $z(\mu)<0$.因此我们得到$y'(\mu)<0$, 对$\mu\in(0, \frac{1}{N})$.除此之外, 还可得$\lim\limits_{\mu\rightarrow0^{+}}y(\mu)\rightarrow+\infty$.考虑

$ y\Big(\frac{1}{N}\Big)=\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\frac{\sigma_{i}}{N}}(N(\tau-\sigma_{i})+N^{2})-\tau, $

$\bullet$ 若$y(\frac{1}{N})>0$, 则$y(\theta_{0})>0$, 其中$\theta_{0}$是定理2.1中定义的.因此, 定理2.1的条件是成立的.

$\bullet$ 若$y(\frac{1}{N})\leq0$, 则$y(\mu)$有唯一的零点$\overline{\theta}$.若$\theta_{0}<\overline{\theta}$, 则$y(\theta_{0})>0$且定理2.1的条件是成立的.

定理2.2证毕.

下面引理的结果是显然的.它可以帮助我们做一些简单的证明.

引理 2.2  若$p\geq1$, 那么方程(1.2)的每一个解振动的充要条件是方程

$ g(\mu)=p{\rm e}^{\mu\tau}-1+\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu\sigma_{i}}}{\mu} $

(2.7)

在$\frac{-\ln p}{\tau}<\mu<0$上无实根.

我们将会考虑两种情况, 即$\tau<N$和$\tau>M$.这里的$N$是定理2.1中定义的, $M$定义为$\sigma_{i}$的最大值, $i=1, 2, \cdots , m$.

定理 2.3  若$p\geq1$, $\tau<N$, 那么方程(1.2)的每一个解振动等价于$h(\theta_{1})<0$, 其中$\theta_{1}$是$\varphi(\mu)$在$(-\infty, 0)$上的唯一零解, $\omega_{0}$是$\varphi'(\mu)$在$(-\infty, 0)$的唯一零解.

证  若

$ g'(\mu)=\frac{\varphi(\mu){\rm e}^{\mu\tau}}{\mu^{2}}, $

(2.8)

因此

$ \varphi(\mu)=\mu^{2}\tau p+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu(\sigma_{i}-\tau)}(\sigma_{i}\mu-1), $

那么

$ \varphi'(\mu)=2\mu\tau p+\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu(\sigma_{i}-\tau)} ((\sigma_{i}-\tau)(\sigma_{i}\mu-1)+\sigma_{i}). $

(2.9)

因此对$\mu<0$, $\varphi'(\mu)$是增函数.

另外, 由

$ \varphi'(0)>0 \;\;\;\mbox{和}\;\;\; \lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}\varphi'(\mu)\rightarrow-\infty, $

可得$\varphi'(\mu)$在$(-\infty, 0)$上有唯一的零解$\omega_{0}$.再由

$ \varphi(0)<0 \;\;\;\mbox{和}\;\;\; \lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}\varphi(\mu)\rightarrow+\infty, $

可得$\varphi(\mu)$在$\mu<0$上有唯一的零解$\theta_{1}$.因此$g(\theta_{1})$是$g(\mu)$在$\mu\in(-\infty, 0)$上的最大值, 那么$g(\theta_{1})<0$, 即由$h(\theta_{1})<0$能够推断出$f(\mu)$在$\mu<0$上无实根.再利用引理2.2可知结论显然成立.

定理 2.4  若$p\geq1$, $\tau>M$.那么方程(1.2)的所有解振动等价于下面条件(C3), (C4), (C5)中的任一个成立.

(C3) $2p\tau \leq \sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}(\tau^{2}-\sigma_{i}^{2});$

(C4) $\sum\limits_{i=1}^{m}(q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{6}\sigma_{i}} (\tau\theta_{6}-\sigma_{i}\theta_{6}+1))-\tau\theta_{6}^{2}<0;$

(C5) $\theta_{3}^{2}\tau p\leq \sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\theta_{3}(\sigma_{i}-\tau)}(1-\sigma_{i} \theta_{3}).$

其中$\theta_{3}$是$\varphi'(\mu)$在$\mu\in(-\infty, \theta_{2})$上的一个零点, $\theta_{2}$是$\varphi''(\mu)$在$\mu\in(-\infty, 0)$上的唯一零点, $\theta_{6}$是$\varphi(\mu)$在$\mu\in (\theta_{3}, \theta_{4})$上的零点, $\theta_{4}$是$\varphi'(\mu)$在$\mu\in(\theta_{2}, 0)$上的零点.

证  通过引理2.2, 方程(1.2)的所有解振动等价于$g(\mu)<0$, $\mu<0$.通过方程(2.7), 我们有

$ \varphi''(\mu)=2p\tau +\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}{\rm e}^{\mu(\sigma_{i}-\tau)}(\sigma_{i}-\tau) ((\sigma_{i}-\tau)(\sigma_{i}\mu-1)+2\sigma_{i}), $

那么

$ \varphi'''(\mu)=\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}(\sigma_{i}-\tau)^{2}{\rm e}^{\mu(\sigma_{i}-\tau)} ((\sigma_{i}-\tau)(\sigma_{i}\mu-1)+3\sigma_{i}). $

对$\mu<0$, $\varphi'''(\mu)>0$, 因此$\varphi''(\mu)$是增函数.我们有

$ \varphi''(\mu) < \varphi''(0)= 2p\tau +\sum\limits_{i=1}^{m}q_{i}\alpha_{i}(\sigma_{i}^{2}-\tau^{2}). $

因此分两种情况讨论

(ⅰ) 若$\varphi''(0)\leq0$, 即条件(C3).我们得到

$ \varphi''(\mu) < \varphi''(0)\leq0, $

从而$\varphi'(\mu)$是减函数, 因此

$ \varphi'(\mu)>\varphi'(0)>0, $

所以

$ \varphi(\mu) < \varphi(0) < 0. $

对$\mu<0$, $\varphi(\mu)<0$, 故$g'(\mu)<0$, 且有

$ g(\mu)<\lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}g(\mu)\rightarrow-1, $

我们能直接得到结论.

(ⅱ) 若$\varphi''(0)>0$, 有

$ \lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}\varphi''(\mu)\rightarrow-\infty $

和$\varphi''(\mu)$是增函数, 因此$\theta_{2}$在$(-\infty, 0)$存在唯一零点.我们有

$ \varphi''(\theta_{2})=0, $

我们不难得到$\varphi'(\theta_{2})$为$\mu<0$上的最小值.

同样地, 下面我们也会分两种情况进行讨论.

(1) 若$\varphi'(\theta_{2})\geq0$, 那么$\varphi(\mu)$在$\mu\in(-\infty, 0)$上是增函数, 有

$ \varphi(\mu)\leq\varphi(0)<0, $

也就是说$g(\mu)$是减函数, 因此

$ g(\mu)<\lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}g(\mu)\rightarrow-1, $

同样地证明了结论.

(2) 若$\varphi'(\theta_{2})<0$, 当

$ \varphi'(0)>0 \;\;\;\mbox{和}\;\;\; \lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}\varphi'(\mu)\rightarrow+\infty $

时, 存在$\theta_{3}\in(-\infty, \theta_{2})$, $\theta_{4}\in(\theta_{2}, 0)$, 使得

$ \varphi'(\theta_{3})=\varphi'(\theta_{4})=0. $

因此, $\varphi(\theta_{3})$为$\mu\in(-\infty, \theta_{4})$上的的最大值.

同样地, 我们需要再次分两种情况讨论以下的条件.

$\bullet$若$\varphi(\theta_{3})>0$, 由于$\varphi (0)<0, $因此$\varphi(\theta_{4})<0$, 存在$\theta_{5}\in(-\infty, \theta_{3})$和$\theta_{6}\in(\theta_{3}, \theta_{4})$, 使得

$ \varphi(\theta_{5})=\varphi(\theta_{6})=0. $

那么, 通过方程(2.9)可得

$ g'(\mu)<0, \mu\in(-\infty, \theta_{5})\cup(\theta_{6}, 0), $

$ g'(\mu)>0, \mu\in(\theta_{5}, \theta_{6}). $

故而$g(\theta_{6})$为$(\theta_{5}, 0)$上的最大值. $g(\mu)$在$\mu<0$无实根的充要条件是$g(\theta_{6})<0$.由于$g(\theta_{6})<0$等价于$h(\theta_{6})<0$, 即条件(C4).因此有$g(\mu)$在$\mu<0$无实根等价于条件(C4).

$\bullet$ 若$\varphi(\theta_{3})\leq0$, 即条件(C5).那么我们得到

$ g'(\mu)<0, \mu<0, $

因此

$ g(\mu)<\lim\limits_{\mu\rightarrow-\infty}g(\mu)\rightarrow-1, $

我们得到了结论.证毕.

实际上, 很容易看到文献[15]中研究的方程类似于本文的方程(2.2), 文献[15]主要讨论了$p\in(0, 1)$的情况.因此, 本节给出两个例子来说明有些方程可能不能满足文献[15]中的条件, 但是满足本文的条件.

例 3.1  考虑方程

$ \begin{equation}\label{e3.1} \Big[x(t)-\frac{1}{2e}x\Big(t-\frac{1}{6}\Big)\Big]'+\frac{1}{\rm e}x \Big(t-\frac{1}{2}\Big)+\frac{1}{\rm e}x\Big(t-\frac{1}{4}\Big)=0, \end{equation} $

(3.1)

即有方程(2.2)中的$\alpha_{1}=\alpha_{2}=1, $ $N=\frac{1}{4}, $ $p=\frac{1}{2e}$, $\tau=\frac{1}{6}$, $q_{1}=q_{2}=\frac{1}{\rm e}$, $\sigma_{1}=\frac{1}{2}$, $\sigma_{2}=\frac{1}{4}$.

我们有

$ \Big(e+\frac{p\tau}{1-p}\Big)(q_{1}\sigma_{1}+q_{2}\sigma_{2})<(1-p). $

这和文献[15]的最后一个条件相矛盾.因此, 我们不能判断方程(3.1)是否振动.

对于方程(3.1)有

$ g'(\mu)=\frac{e^\frac{\mu}{6}}{12e}+\frac{\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{2}}}{\rm e} \big(\frac{\mu}{2}-1\big)+\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{4}}}{\rm e} \big(\frac{\mu}{4}-1\big)}{\mu^{2}}, $

$ y(\mu)=\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{2}}}{\rm e} \Big(\frac{-1}{3\mu}+\frac{1}{\mu^{2}}\Big)+\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{4}}}{\rm e} \Big(\frac{-1}{12\mu}+\frac{1}{\mu^{2}}\Big)-\frac{1}{6}, $

$ h(\mu)=\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{2}}}{\rm e} \Big(1-\frac{\mu}{3}\Big)+\frac{{\rm e}^{\frac{\mu}{4}}}{\rm e} \Big(1-\frac{\mu}{12}\Big)-\frac{\mu^{2}}{6}. $

由于$y(\frac{1}{N})<0$, 通过$g'(\theta_{0})=0$和$h(\overline{\theta})=0$我们等够计算出

$ 2.1<\theta_{0}<2.2<\overline{\theta}<2.3, $

因此条件(C2)成立.那么通过定理2.2可得方程(3.1)的所有解都振动.

例 3.2  考虑方程

$ \Big[x(t)-\frac{1}{4e}x\Big(t-\frac{1}{6}\Big)\Big]'+\frac{1}{2e}x \Big(t-\frac{1}{2}\Big)+\frac{1}{\rm e}x\Big(t-\frac{1}{4}\Big)+\frac{1}{3e}x(t-1)=0. $

(3.2)

我们能够计算出下面的条件和文献[15]的最后一个条件相矛盾

$ \Big(e+\frac{p\tau}{1-p}\Big) (q_{1}\sigma_{1}+q_{2}\sigma_{2}+q_{3}\sigma_{3})<(1-p). $

但是我们有$y(\frac{1}{N})<0$和

$ 1.5<\theta_{0}<1.6<\overline{\theta}<1.7, $

因此条件(C2)成立, 所以方程(3.2)的所有解都振动.

结论 3.1  本文主要考虑一类非线性中立型延迟微分方程的振动性.以上例子说明条件是可调的, 不是最佳的.但是非线性函数$f_{i}(u)$需要满足(H1)和(H3).将来, 我们会考虑更一般的情况, 也就是函数$f_{i}(u)$不满足(H1)或(H3).我们希望放松$f_{i}(u)$的要求, 得到非线性中立型延迟微分方程振动的条件.