我们称偶对$(X, T)$为一个拓扑动力系统, 其中$X$是一个带有度量$\rho$的紧致度量空间, 并且$T$是从$X$到自身的一个连续映射.我们用${\Bbb Z_+}({\Bbb N}, {\Bbb Z})$表示所有非负整数集(正整数集, 整数集)组成的集合.

在研究系统复杂性时, 人们引进了初值敏感^[3]的概念.我们称一个动力系统$(X, T)$具有初值敏感(或$(X, T)$是敏感的)是指, 存在$\varepsilon>0$, 使得对任意$x\in X$和$x$的每个邻域$U$, 存在$y\in U$和$i\in {\Bbb N}$, 有$\rho(T^i(x), T^i(y))>\varepsilon$.与初值敏感对立的概念是等度连续.一个动力系统$(X, T)$是等度连续的是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得对任意$x, y\in X$且$\rho(x, y)<\delta$, 对任意$i\in {\Bbb Z}_+$, 有$\rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon$, 即映射簇$\{T^i: i \in {\Bbb Z}_+\}$是一致等度连续的.等度连续系统有较简单的动力学行为.下面的结果是非常著名的:一个动力系统是等度连续的, 当且仅当在$X$中存在一个合适的度量$\rho$, $T$作用在$(X, \rho)$上是等距的, 即对任意$x, y\in X$, 有$\rho(Tx, Ty)=\rho(x, y)$.

在研究具有离散谱的动力系统中, Fomin^[2]引进了平均- $L$ -稳定的概念.一个动力系统$(X, T)$是平均- $L$ -稳定是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta >0$, 对任意$x, y\in X$且$\rho(x, y)<\delta$, 对任意的$n\in {\Bbb Z}_+\setminus J$, 有$\rho(T^nx, T^ny)<\varepsilon$, 而$J$的上密度小于$\varepsilon$.

文献[1]介绍了平均等度连续及平均敏感的概念.

称一个动力系统$(X, T)$是平均等度连续的是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得对任意$x, y\in X$且$\rho(x, y)<\delta$, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} \rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon . $

文献[1]指出:一个动力系统是平均等度连续的等价于它是平均- $L$ -稳定的.

我们称一个点$x\in X$为$(X, T)$的一个平均等度连续点是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得对任意$y\in B(x, \delta)=\{z\in X: \rho(z, x)<\delta\}$, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon. $

$(X, T)$是平均等度连续的当且仅当$X$中每一个点都是$(X, T)$的平均等度连续点^[1].

一个动力系统$(X, T)$被称为平均敏感的是指, 存在$\varepsilon>0$, 对任意$x\in X$, 对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\rho(T^i(x), T^i(y))>\varepsilon. $

我们称一个点$x\in X$为$(X, T)$的一个平均敏感点是指, 存在$\varepsilon>0$, 对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\rho(T^i(x), T^i(y))>\varepsilon. $

一个动力系统$(X, T)$是平均敏感的, 则$X$中每一个点都是平均敏感点; 反之不一定成立(见文献[1, 例5.2]).

近年来, 人们利用族来细化等度连续及敏感的概念^[4-5].我们将延续这一思想给出$\underline{q}$ -等度连续及${\bar{q}}$ -敏感的概念.

定义1.1  设$q\in [0, 1)$.

(1) 一个点$x\in X$被称为$(X, T)$的一个$\underline{q}$-等度连续点是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得对任意$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \underline{d}(\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon\})>q. $

(2) 一个动力系统$(X, T)$被称为$\underline{q}$-等度连续的是指,对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 使得对任意$x, y\in X$且$\rho(x, y)<\delta$, 有

$ \underline{d}(\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon\})>q. $

定义1.2  设$q\in (0, 1]$.

(1) 一个动力系统$(X, T)$被称为${\bar{q}}$ -敏感的是指, 存在$\varepsilon>0$, 对任意$x\in X$, 对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^i(x), T^i(y))\geq\varepsilon\})\geq q. $

(2) 一个点$x\in X$被称为$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点是指, 存在$\varepsilon>0$, 对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^i(x), T^i(y))\geq\varepsilon\})\geq q. $

本文研究$\underline{q}$ -等度连续与${\bar{q}}$ -敏感.我们得到的主要结论为:一个点$x\in X$是动力系统$(X, T)$的平均等度连续点当且仅当对任意$q\in [0, 1)$, 使得它是$(X, T)$的一个$\underline{q}$-等度连续点(见定理3.1);一个点$x\in X$是动力系统$(X, T)$的平均敏感点当且仅当存在$q\in [0, 1)$, 使得它是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$敏感点(见定理4.1).那就是说, 一个点$x\in X$是动力系统$(X, T)$的平均敏感点当且仅当存在$q\in (0, 1]$, 使得它是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点.

在这一部分中, 我们将给出本文涉及到的相关概念和引理, 具体可参见文献[6].

令$F\subset {\Bbb Z_+}$.我们定义$F$的上密度集$\overline{D}(F)$为

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\mid F\cap[0, n-1]\mid}{n}, $

这里的$\mid\cdot\mid$表示集合中元素的个数.类似, 我们定义$F$的下密度集$\underline{D}(F)$为

$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\mid F\cap[0, n-1]\mid}{n}. $

若$\overline{D}(F)=\underline{D}(F)$, 则称$F$有密度$D(F)$, 且$D(F)=\overline{D}(F)=\underline{D}(F)$.

设${\cal P}$为${\Bbb Z}_+$的全体子集构成的集合.如果${\cal P}$的子集${\cal F}$具有向上遗传性, 即若$F_1\subset F_2$且$F_1\in {\cal F}$, 则$F_2\in {\cal F}$, 那么就称${\cal F}$为一个Furstenberg族或直接简称为一个族.族${\cal F}$称为真族, 如果它是${\cal P}$的真子集, 即它既非空集又不为${\cal P}$.由遗传向上性, ${\cal F}$为真族当且仅当$\emptyset \notin {\cal P}$且${\Bbb Z}_+ \in {\cal F}$.令${\cal F}_{\inf}=\{F: F\subset {\Bbb Z}_+ \mbox{是一个无限集}\}$, 则它是一个真族.

${\Bbb Z}_+$的一个子集族${\cal F}$称为一个滤子是指, 它满足

(1) $\emptyset \notin {\cal F}$;

(2) 如果$F_1 \in {\cal F}$且$F_1\subset F_2$, 那么就有$F_2\in {\cal F}$;

(3) 对任意$F_1, F_2\in {\cal F}$, 有$F_1\cap F_2 \in {\cal F}$.

令$(X, T)$是一个动力系统.点$x\in X$的轨道orb$(x, T)$定义为$\{x, Tx, T^2x, \cdots\}$. $x$的$\omega$ -极限集定义为轨道序列的极限点集, 即

$ \omega(x, T)=\bigcap\limits_{N\geq 0}\overline{\{T^n x:n\geq N\}}. $

我们称一个点$x\in X$是动力系统$(X, T)$的一个回复点是指, $x\in \omega(x, T)$.称一个系统$(X, T)$是拓扑传递的是指, 存在$x\in X$, 使得$\omega(x, T)=X$.并我们把这样的点$x$称为$(X, T)$的一个传递点.我们把$(X, T)$的所有传递点组成的集记为Trans$(X, T)$.通过Baire定理, 我们可以知道:若$(X, T)$是传递的, 那么Trans$(X, T)$是$X$的一个稠密的$G_\delta$子集.若乘积系统$(X\times X, T\times T)$是传递的, 那么我们称$(X, T)$是弱混合的.我们称一个系统$(X, T)$是极小的是指, $X$中每一点都是传递点(即Trans$(X, T)=X$).我们称一个点$x\in X$是动力系统$(X, T)$的一个极小点是指, 它包含在一个极小集$Y$中, 或子系统$(\overline{\mbox{orb}(x, T)}, T)$是极小的.一个传递系统$(X, T)$被称为几乎平均等度连续的是指, 它至少存在一个平均等度连续点.设$(X, T)$是一个拓扑动力系统.称$(X, T)$是一致刚性的是指, 存在递增的正整数序列$\{n_i\}$, 使得$T^{n_i}$一致收敛于恒同映射$\mbox{id}_{X}$.

在这部分我们将研究$\underline{q}$ -等度连续性.下面的定义来自文献[5].

定义3.1  设$(X, T)$是一个拓扑动力系统, ${\cal F}\subset {\Bbb Z}_+$是一个Furstenberg族, $x\in X$.

(1) 称$x$是$(X, T)$的一个${\cal F}$ -等度连续点是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 当$y\in B(x, \delta)$时, 有$\{n\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^n(x), T^n(y))<\varepsilon\}\in {\cal F}$.

(2) 称$(X, T)$是${\cal F}$ -等度连续的是指, 对任意$\varepsilon>0$, 存在$\delta>0$, 当$x, y\in X$且$\rho(x, y)<\delta$时, 有$\{n\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^n(x), T^n(y))<\varepsilon\}\in {\cal F}$.

注3.1  (1)令${\cal F}_{\underline{q}}=\{A\subset {\Bbb Z}_+:\underline{d}(A)>q\}$, 则${\cal F}_{\underline{q}}$是一个族.因而一个$\underline{q}$ -等度连续点, 即为一个${\cal F}_{\underline{q}}$ -等度连续点. $(X, T)$为$\underline{q}$ -等度连续的, 即$(X, T)$为${\cal F}_{\underline{q}}$ -等度连续的.

(2) 若$(X, T)$是${\cal F}$ -等度连续的, 则$(X, T)$的每一个点都是${\cal F}$ -等度连续点; 若${\cal F}$是一个滤子, 则反之也成立(见文献[5, 推论4.2]).

定理3.1  假设$(X, T)$是一个动力系统, $x\in X$.则$x$是$(X, T)$的一个平均等度连续点当且仅当对任意$q\in [0, 1), x$是$(X, T)$的一个$\underline{q}$-等度连续点.

证  “$\Rightarrow$”取定$q\in [0, 1)$.对任意$ \varepsilon>0$, 令$\gamma=(1-q)\varepsilon$.由平均等度连续点的定义, 存在$\delta >0$, 对任意$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))<\gamma. $

令$E=\{j\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))<\varepsilon \}$, 则有

$ \begin{eqnarray*} \gamma &>& \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\rho(T^{i}(x), T^{i}(y)) \\ &\geq& \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \varepsilon(n-\mid{E\cap\{0, 1, \cdots, n-1\}}\mid) \\ &\geq &\varepsilon-\varepsilon \underline{d}(E). \end{eqnarray*} $

由于$\gamma =(1-q)\varepsilon$, 所以$\underline{d}(E)>q$.

“$\Leftarrow$”不失一般性, 设diam $X=1$.任意取定$\varepsilon \in [0, 1)$, 取$q>1-\frac{\varepsilon}{3}$.由于$x$是一个$\underline{q}$-等度连续点, 故存在$\delta>0$, 当$\rho(x, y)<\delta$时, 有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^i(x), T^i(y))<\frac{\varepsilon}{3}\})>q$.令$F=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\geq\frac{\varepsilon}{3}\}$, 则$\overline{d}(F)\leq {1-q} \leq {\frac {\varepsilon}{3}}$.令$F_n=F\cap\{0, 1, \cdots, n-1\}$.所以

$ \begin{eqnarray*} & &\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} \rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\\ &=&\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \bigg(\sum\limits_{i\in F_n}\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))+\sum\limits_{i\in F_n^c}\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\bigg)\\ &\leq&\limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\mid F_n\mid}{n}+\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{i\in F_n^c}\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\\ &\leq&\frac {\varepsilon}{3}+\frac {\varepsilon}{3} \\ &<&\varepsilon. \end{eqnarray*} $

证毕.

命题3.1  设$(X, T)$及$(Y, S)$是两个拓扑动力系统.如果$x\in X$是$(X, T)$的一个平均等度连续点, 且$y\in Y$是$(Y, S)$的一个平均等度连续点, 则$(x, y)\in X\times Y$是$T\times S$的一个平均等度连续点.

证  设$\rho_1$为$X$的度量, $\rho_2$为$Y$的度量, $\rho_1\times \rho_2$为$X\times Y$的度量, 其定义为

$ \rho_1\times \rho_2((a_1, b_1), (a_2, b_2))=\max\{\rho_1(a_1, a_2), \rho_2(b_1, b_2)\}, $

而$(a_1, b_1), (a_2, b_2)\in X\times Y$.

取$p\in [0, 1), q >\frac {1+p}{2}$.由于$x, y$分别是$(X, T)$与$(Y, S)$的平均等度连续点, 因而它们也分别是$(X, T)$与$(Y, S)$的$\underline{q}$-等度连续点.即对任意$ \varepsilon>0$, 存在$\delta >0$, 对任意$ z_1\in B(x, \delta)$, 有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_1 (T^{i}(z_1), x)<\varepsilon\})>q$; 对任意$ z_2\in B(y, \delta)$, 有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_2(S^{i}(z_2), y)<\varepsilon\})>q$.令$E=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_1(T^{i}(z_1), x)<\varepsilon\}, F=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_2(S^{i}(z_2), y)<\varepsilon\}$, 则$\underline{d}(E\cap F)\geq\underline{d}(E)+\underline{d}(F)-1>\frac{1+p}{2}\times2-1=p$.所以$(x, y)$是$T\times S$的一个$\underline{p}$-等度连续点.由$p$的任意性, 根据定理3.1, 故$(x, y)$是$T\times S$的一个平均等度连续点.

例3.1  设$\Sigma_2=\{0, 1\}^{{\Bbb Z}_+}$. $\sigma$为$\Sigma_2$上转移自映射, 即对任意$x_0x_1x_2\cdots \in \Sigma_2$, 有$\sigma(x_0x_1x_2\cdots)=x_1x_2\cdots$, 则$(\Sigma_2, \sigma)$为一个动力系统.对任意$x, y\in \Sigma_2$, 定义$\Sigma_2$上度量$\rho$为

$ \begin{eqnarray*} \rho(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&x=y;\\[2mm] \frac{1}{2^k}, &k=\min\{i: x_i\neq y_i\}. \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

取$\overline{0}=000\cdots=0^{(\infty)}$, 则$\overline{0}$是$(\Sigma_2, \sigma)$的一个不动点.

(1) 对任意$q\in [0, 1)$, $\overline{0}$不是$\sigma$的一个$\underline{q}$-等度连续点;

(2) $\overline{0}$也不是$\sigma$的一个${\cal F}_{inf}$-等度连续点.

证  取$\varepsilon=\frac{1}{4}$.对任意正整数$n$, 取$\overline{y_n}=0^{(n)}1^{(\infty)}$, 则$\rho(\overline{0}, \overline{y_n})=\frac{1}{2^{n+1}}<\frac{1}{2^n}$.但

$ \{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(\sigma^i(\overline{0}), \sigma^i(\overline{y_n}))>\frac{1}{4}\}={\Bbb Z}_+\setminus\{0, 1, \cdots, n+1\}, $

则(1), (2)成立.

例3.2  存在一个非平凡一致刚性的动力系统$(X, T)$有下列性质.

(1) 对任意$x\in X$, $x$不是$(X, T)$的一个平均等度连续点.从而对任意$x\in X$, 存在$q\in [0, 1)$, 使得$x$不是$(X, T)$的$\underline{q}$-等度连续点;

(2) 对任意$x\in X$, $x$是$(X, T)$的一个${\cal F}_{\inf}$-等度连续点.

证  (1)设$(X, T)$为文献[1, 注记4.4 (3)]所述的非平凡一致刚性的弱混合的极小动力系统.由于$(X, T)$不是几乎平均等度连续的, 于是对任意$x\in X$, $x$不是$(X, T)$的平均等度连续点.由定理3.1, 存在$q\in [0, 1)$, 使得$x$不是$(X, T)$的$\underline{q}$-等度连续点, 故(1)成立.

(2) 由于$(X, T)$是一致刚性的, 则存在递增的正整数序列$\{n_i\}$, 使得$T^{n_i}$一致收敛于恒同映射${\rm id}_{X}$.对任意$\varepsilon>0$, 存在一个正整数$N$, 对任意$i\geq N$, 有$ \sup\limits_{x\in X}\rho(T^{n_i}(x), x)<\frac{\varepsilon}{3}$.取定$x\in X$, 取$\delta=\frac{\varepsilon}{3}$, 当$y\in B(x, \delta)$时, 对任意$i\geq N$, 有

$ \begin{eqnarray*} \rho(T^{n_i}(x), T^{n_i}(y)) &\leq &\rho(T^{n_i}(x), x)+\rho(x, y)+\rho(y, T^{n_i}(y))\\ &\leq& \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}<\varepsilon. \end{eqnarray*} $

即$\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^i(x), T^i(y))<\varepsilon\}\in {\cal F}_{\inf}$, 所以$x$是$(X, T)$的一个${\cal F}_{\inf}$-等度连续点.

命题3.2  设$\pi $是动力系统$(X, T)$到动力系统$(Y, S)$的一个开因子映射, $ q\in [0, 1)$.若$x_0\in X$是$(X, T)$的一个$\underline{q}$-等度连续点, 那么$\pi({x_0})\in Y$也是$(Y, S)$的一个$\underline{q}$-等度连续点.

证  设$X$的度量为$\rho_1$, $Y$的度量为$\rho_2$.假设$\pi({x_0})\in Y$不是$(Y, S)$的$\underline{q}$-等度连续点.则存在$\varepsilon_0>0$, 对任意的$k\in {\Bbb N}$, 存在$y_k\in Y$且$\rho_{2}(y_k, \pi({x_0}))<\frac{1}{k}$, 但

$ \begin{equation}\label{(1)} \underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_2(S^{i}(\pi (x_0)), S^{i}(y_k))<\varepsilon_0\})\le q. \end{equation} $

(3.1)

不失一般性, 通过$Y$的紧致性, 不妨设$\underset{k\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,{{y}_{k}}=\pi ({{x}_{0}})$.选择序列$\{x_k\}\subset X$, 使得$\pi(x_k)=y_k$.通过$X$的紧致性及$\pi$是一个开映射, 存在$\{x_k\}$的子序列$\{x_k'\}$满足$\underset{k\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\,{{x}_{{{k}'}}}={{x}_{0}}$.对于取定的$\varepsilon_0$, 因为$\pi $是连续的, 所以存在$ \theta \in (0, \varepsilon_0]$, 使得当$u, v\in X$, 并且$\rho_1(u, v)<\theta$, 有$\rho_2(\pi(u), \pi(v))<\varepsilon_0$.因为$x_0\in X$是$(X, T)$的一个$\underline{q}$ -等度连续点, 所以存在$\delta'>0$, 使得对任意$z\in B(x_0, \delta')$, 有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_1(T^{i}(x_0), T^{i}(z))<\theta\})>q$.取$x_j\in B(x_0, \delta')$, 则有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho_1(T^{i}(x_0), T^{i}(x_j))<\theta\})>q$.令$E=\{k\in {\Bbb Z_+}:\rho_1(T^{k}(x_0), T^{k}(x_j))\ge \theta\}$.因为$\underline{d}(E^c)>q$, 所以$\overline{d}(E)<1-q$.令

$\begin{eqnarray*} F &=&\{k\in {\Bbb Z_+}:\rho_2(S^{k}(y_j), S^{k}(\pi(x_0)))\ge \varepsilon_0\}\\ &=&\{k\in {\Bbb Z_+}:\rho_2(\pi T^{k}(x_j), \pi T^{k}(\pi(x_0)))\ge \varepsilon_0\}. \end{eqnarray*} $

通过$\theta$的选择, 有$F\subset E$, 于是$\overline{d}(F)\leq \overline{d}(E)<1-q$.则$\underline{d}(F^c)>q$, 矛盾于(3.1)式.所以$\pi({x_0})$是$(Y, S)$的一个$\underline{q}$ -等度连续点.

由命题3.2, 有下面的推论成立.

推论3.1  设$\pi $是动力系统$(X, T)$到动力系统$(Y, S)$的一个开因子映射, $q\in [0, 1)$.若$(X, T)$中每一点都是$\underline{q}$-等度连续点, 那么$(Y, S)$中每一点都是$\underline{q}$-等度连续点.

在这部分我们将研究${\bar{q}}$ -敏感性.

引理4.1  设$(X, T)$是一个拓扑动力系统, $x\in X$, $q\in [0, 1)$.若$x$不是$(X, T)$的$\underline{q}$-等度连续点, 则$x$就是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$-敏感点.

证  如果$x$不是$(X, T)$的$\underline{q}$-等度连续点, 则存在$\varepsilon >0$, 对任意$ \delta>0$, 存在$ y\in B(x, \delta)$, 有$\underline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))<\varepsilon\})\leq q$.令$E=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho (T^{i}(x), T^{i}(y))<\varepsilon\}$, 则$E^c=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho (T^{i}(x), T^{i}(y))\geq \varepsilon\}$.于是$\overline {d}(E^c)=1-\underline{d}(E)\geq 1-q $, 则$x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$ -敏感点.

引理4.2  设$(X, T)$是一个拓扑动力系统, $x\in X$, $q\in [0, 1)$.若$x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$-敏感点, 则$x$不是$(X, T)$的一个$\underline{q}$-等度连续点.

证  如果$x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$-敏感点, 则存在$\varepsilon>0$, 对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有

$ \overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^i(x), T^i(y))\geq\varepsilon\})\geq 1-q. $

令$E=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^i(x), T^i(y))\geq\varepsilon\}$, 则$\overline{d}(E)\geq 1-q$, 故$\underline{d}(E^c)=1-\overline{d}(E)\leq q$.

定理4.1  假设$(X, T)$是一个动力系统, $x\in X$.则$x$是$(X, T)$的一个平均敏感点, 当且仅当存在$q\in [0, 1)$, 使得$x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$敏感点.

证  “$\Rightarrow$”若$x$是$(X, T)$的一个平均敏感点, 则$x$不是$(X, T)$的平均等度连续点.根据定理3.1, 存在$q\in [0, 1)$, 使得$x$不是$(X, T)$的$\underline{q}$-等度连续点.由引理4.1知, $x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$-敏感点.

“$\Leftarrow$”若$x$是$(X, T)$的一个$\overline{1-q}$-敏感点.则由引理4.2知, $x$不是$(X, T)$的一个$\underline{q}$ -等度连续点.从而$x$不是$(X, T)$的一个平均等度连续点, 因此它是$(X, T)$的一个平均敏感点.

注4.1  (1) $x\in X$是动力系统$(X, T)$的一个平均敏感点当且仅当存在$q\in (0, 1]$, 使得$x$是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点;

(2) 一个动力系统$(X, T)$是${\bar{q}}$ -敏感的, 则$X$中每一个点都是${\bar{q}}$ -敏感点.

命题4.1  假设$(X, T)$是一个动力系统, $q\in (0, 1]$, 考虑下列两个条件

(1) 存在$\varepsilon>0$, 使得对任意非空开集$U\subset X$, 存在$x, y\in U$, 有

$ \overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\geq\varepsilon\})\geq q; $

(2) $(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.

则(1)蕴含(2).

证  设(1)成立, 任意取定$ x\in X$, 对任意$\delta>0$, 存在$ y, z\in B(x, \delta)$, 满足$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(y), T^{i}(z))\geq\varepsilon\})\geq q$.令$F=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(y), T^{i}(z))\geq\varepsilon\}$.对任意$ i\in F$, 根据三角不等式, 要么$\rho(T^{i}(y), T^{i}(x))\geq\frac{\varepsilon}{2}$, 要么$\rho(T^{i}(z), T^{i}(x))\geq\frac{\varepsilon}{2}$.所以要么有$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(y), T^{i}(x))\geq\frac{ \varepsilon}{2}\})\geq \frac {q}{2}$, 要么有$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(z), T^{i}(x))\geq\frac{ \varepsilon}{2}\})\geq \frac {q}{2}$, 于是$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.

命题4.2  假设$(X, T)$是一个传递的动力系统, $q\in (0, 1]$.若$(X, T)$有一个${\bar{q}}$ -敏感点, 并且它也为传递点, 那么$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.

证  假设$x\in X$是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点, 并且也是$(X, T)$的一个传递点.由$x$是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点, 则存在$ \varepsilon>0$, 使得对任意$\delta>0$, 存在$y\in B(x, \delta)$, 有$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\geq\varepsilon\})\geq q$.取$X$中一个非空开集$U$, 因为$x$是一个传递点, 所以存在$\delta_0>0, k\in {\Bbb Z_+}$, 使得$T^{k}(B(x, \delta_0))\subset U$.令$u=T^{k}(x), v=T^{k}(y)$, 那么$u, v\in U$, 且

$ \begin{eqnarray*} \overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(u), T^{i}(v))\geq\varepsilon\}) &=&\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(T^{k}(x)), T^{i}(T^{k}(y)))\geq\varepsilon\})\\ &=&\overline{d}(\{j\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{j}(x), T^{j}(y))>\varepsilon\}-k)\geq q. \end{eqnarray*} $

根据命题4.1, 可得$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.

命题4.3  假设$(X, T)$是一个传递的动力系统.对任意$q\in (0, 1]$, 要么$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的, 要么$(X, T)$中有一个传递点是$\underline{1-q}$ -等度连续点.

证  设$x\in X$是$(X, T)$的一个传递点.若$x\in X$是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点, 根据命题4.2, 则$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.若$x$不是${\bar{q}}$ -敏感点, 由引理4.1知, $x$是一个$\underline{1-q}$ -等度连续点.

推论4.1  假设$(X, T)$是一个极小的动力系统.对任意$ q\in (0, 1]$, 要么$(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的, 要么$(X, T)$中每一点都是$\underline{1-q}$ -等度连续点.

证  由于$(X, T)$是极小的, 则$X$中每一个点都是传递点.如果存在$x\in X$, 使得$x$是$(X, T)$的一个${\bar{q}}$ -敏感点, 则由命题4.2, $(X, T)$是$\overline{\frac{q}{2}}$ -敏感的.否则, 若对每一个$x\in X$, $x$都不是${\bar{q}}$ -敏感点, 由引理4.1, 则它是一个$\underline{1-q}$ -等度连续点.

命题4.4  假设$(X, T)$是一个动力系统, $q\in (0, 1]$, 考虑下列条件

(1) 存在$\eta>0$, 使得

$ D_{2\eta}=\{(x, y)\in {X\times X}:\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\ge 2\eta\})\geq q\} $

在$X\times X$中稠密;

(2) 存在$\eta>0$, 使得对任意$x\in X$, 有

$ D_{\eta}(x)=\{y\in X:\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\ge \eta\})\geq {\frac{q}{2}}\} $

在$X$中稠密.

则(1)蕴含(2).

证  设存在$\eta>0 $, 使得$D_{2\eta}$在$X\times X$中稠密.对任意非空开集$U \subset X$, 有$(U\times U)\cap D_{2\eta}\neq \emptyset$, 所以存在$(y, z)\in U\times U$, 且$(y, z)\in D_{2 \eta}$.即$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z}_+:\rho(T^{i}(z), T^{i}(y))\ge 2\eta\})\geq q $.设$F=\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho (T^{i}(z), T^{i}(y))\geq 2\eta\} $, 则对任意$i\in F$, 对任意$x\in X$, 有

$ 2\eta \le \rho(T^{i}(z), T^{i}(y))\leq {\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))+ \rho(T^{i}(x), T^{i}(z))}. $

所以对任意$i\in F$, 要么有$\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\geq\eta$成立, 要么有$\rho(T^{i}(x), T^{i}(z))\geq\eta$成立.于是要么有$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(y))\geq \eta\})\geq {\frac{q}{2}}$, 要么有$\overline{d}(\{i\in {\Bbb Z_+}:\rho(T^{i}(x), T^{i}(z))\geq \eta\})\geq {\frac{q}{2}}$.故要么有$y\in D_{\eta}(x)$, 要么$z\in D_{\eta}(x)$.