在过去的几十年里, 许多非线性发展方程被用于研究复杂的物理现象.这些方程拥有双哈密顿结构, 递归算子和无穷多广义对称.迄今为止, 人们发现了许多方法来检验方程的可积性, 例如双哈密顿结构, 无穷守恒律, Lax对等.本文中, 如果一个方程拥有Lax对, 那么我们就说它是可积的.

1996年, Olver和Rosenau利用重组哈密顿算子的方法构造了对偶系统.在文献[1]中, 它们给出了一些具体的例子, 例如KdV方程的对偶系统为CH方程, mKdV方程的对偶系统为mCH方程等. 1975年, Wahlquist和Estabrook^[2]第一次利用延拓结构方法得到了KdV的延拓结构为

$ F=2X_1+2uX_2+3u^2X_3, $

$ G=-2\left(\hat{p}+6u^2\right)X_2+3\left(z^2-8u^3-2u\hat{p}\right)X_3+8X_4+8uX_5+4u^2X_6+4zX_7, $

这里$z=u_x, \; \hat{p}=u_{xx}$, $X_i, \; i=1, \cdots, 7$是相应的延拓代数.延拓结构方法是构造非线性发展方程线性谱问题的一个有效的工具, 因此吸引了许多学者的研究.文献[3]给出了非线性薛定谔方程的延拓结构.文献[4]给出了势KdV方程的延拓结构.更多方程的延拓结构可参见文献[5-8].在求CH方程的延拓结构时, 由于在最终所得的超定方程中, 未知函数$F$和$G$包含在同一个方程中, 因此我们不能够直接解出函数$F$和$G$的具体表达式.但是, 当我们取定其中一个未知函数时, 另一个函数自然就确定下来.对于这方面的研究, 可参见文献[9-10].在文献[11]中, 作者把未知函数$G$严格限制为变量$v=u_x$的线性函数, 得到了KdV方程的对偶系统CH方程的延拓结构为

$ F=X_1+uX_2-wX_2+uwX_3-\frac{1}{2}u^2X_3-\frac{1}{2}w^2X_3, $

$ G=\left(uw-u^2\right)X_2+\left(\frac{1}{2}uw^2-u^2w+\frac{1}{2}u^3\right)X_3+vX_4+X_5+uX_6, $

其中$v=u_x, \; w=u_{xx}$.延拓结构理论更是广泛的应用于耦合KdV方程^[12-18], 由对偶系统理论可知, 研究耦合CH型方程的延拓结构也是一个有意义的课题.

本文在第二节主要研究了广义耦合KdV方程(2.1)的延拓结构并通过将延拓代数嵌入到单Lie代数${\rm sl}(4, {\Bbb C})$中得到了此方程的线性谱问题.在第三节中根据文献[11]中的方法研究了方程(2.1)的对偶系统的延拓结构及Lax对.在第四节中给出了另外一个CH型方程的延拓结构及Lax对.

在开始求延拓结构之前, 我们先介绍一个Lie代数中的基本定理, 这在后面求解Lax对中起着重要的作用.

定理2.1 设$ X$和$Y$是李代数${\mathfrak g}={\rm sl}(n+1, {\Bbb C})$中的两个元素, 如果$X, Y$满足$[X, Y]=aY, \, (a\neq0)$且$X \in {\rm ad} \, Y$.则

$ Y =e_{\pm}, \;\;\;\; X = \pm \frac{1}{2}ah, $

其中$e_{\pm}$为${\mathfrak g}$的幂零元素, $h $为${\mathfrak g}$的零元素^[19-20].

在本节中, 我们主要研究下面广义耦合KdV方程的延拓结构

$ \begin{equation}\label{e2.1}\begin{array}{ll} u_t+u_{xxx}+3uu_x+uv_x+u_xv-vv_x=0, \\ v_t+v_{xxx}+3vv_x+uv_x+u_xv-uu_x=0. \end{array}\end{equation} $

(2.1)

方程(2.1)是广义耦合KdV型方程

$ \begin{eqnarray*} && u_t=\widetilde{F}[u, v], \\ &&v_t=\widetilde{F}[v, u], \end{eqnarray*} $

中的一类, 这里$\widetilde{F}$依赖于$u, \, v$及$u, \, v$的各阶导数且权重为3或5.文献[21]指出此方程不能约化为KdV方程$u_t=u_{xxx}+uu_x$并给出了它的双哈密顿结构.

为了把方程(2.1)表达成外微分的形式, 我们先引进一些新的独立变量

$ \begin{equation}\label{e2.2} p=u_x, \quad\quad q=v_x, \quad\quad r=p_x=u_{xx}, \quad\quad s=q_x=v_{xx}. \end{equation} $

(2.2)

利用新的变量(2.2), 我们就可以把方程(2.1)表达成下述二阶外微分的形式

$ \begin{equation}\label{e2.3}\begin{array}{ll} \alpha_1&={\rm d}u\wedge {\rm d}t-p{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_2={\rm d}v\wedge {\rm d}t-q{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_3&={\rm d}p\wedge {\rm d}t-r{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_4={\rm d}q\wedge {\rm d}t-s{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_5&={\rm d}u\wedge {\rm d}x-{\rm d}r\wedge {\rm d}t+(3up+uq+vp-vq){\rm d}t\wedge {\rm d}x, \\ \alpha_6&={\rm d}v\wedge {\rm d}x-{\rm d}s\wedge {\rm d}t+(3vq+uq+vp-up){\rm d}t\wedge {\rm d}x, \end{array}\end{equation} $

(2.3)

这里${\rm d}$表示外微分, $\wedge$表示外积(反对称张量积)^[22].易证理想$I=\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6\}$是一个闭理想.

$ \begin{equation}\label{e2.4}\begin{array}{ll} {\rm d}\alpha_1&={\rm d}x\wedge \alpha_3, \qquad {\rm d}\alpha_2={\rm d}x\wedge \alpha_4, \\ {\rm d}\alpha_3&=-{\rm d}x\wedge \alpha_5, \qquad {\rm d}\alpha_4=-{\rm d}x\wedge \alpha_6, \\ {\rm d}\alpha_5&=(3p+q){\rm d}x\wedge \alpha_1+(p-q){\rm d}x\wedge \alpha_2+(3u+v){\rm d}x\wedge \alpha_3+(u+v){\rm d}x\wedge \alpha_4, \\ {\rm d}\alpha_6&=-(p-q){\rm d}x\wedge \alpha_1+(p+3q){\rm d}x\wedge \alpha_2-(u-v){\rm d}x\wedge \alpha_3+(u+3v){\rm d}x\wedge \alpha_4. \end{array}\end{equation} $

(2.4)

设

$ \begin{equation}\label{e2.5} \omega_k={\rm d}y^k-F^k(u, v, p, q, r, s;y^k){\rm d}x-G^k(u, v, p, q, r, s;y^k){\rm d}t, \end{equation} $

(2.5)

其中$y^k \, (k=1, 2, \cdots, n)$被称为伪势.假定$F^k$和$G^k$具有下面的形式

$ \begin{equation}\label{e2.6} F^k=F^k_jy^j, \qquad G^k=G^k_jy^j, \end{equation} $

(2.6)

在后面的讨论中, 我们把$F^k_j$和$G^k_j$分别简记为$F$和$G$.

为了得到方程(2.1)的延拓结构, $I\cup{\omega_k}$也必须是一个闭理想, 即

$ \begin{equation}\label{e2.7} {\rm d}\omega_k=\sum\limits_{i=1}^6 f^k_i\alpha_i+\sum\limits_j\left(A^k_j{\rm d}x+B^k_j{\rm d}t\right)\wedge \omega_j, \end{equation} $

(2.7)

这里$f^k_i, \, A^k_j, \, B^k_j$均为待定函数.

结合方程(2.5)与方程(2.7), 我们可得到如下一系列非线性偏微分方程

$ \begin{equation}\label{e2.8}\begin{array}{ll} F_p=F_q=F_r=F_s=0, \quad\quad F_u+G_r=0, \quad\quad F_v+G_s=0, \\ pG_u+qG_v+rG_p+sG_q+(3up+uq+vp-vq)F_u+(3vq+uq+vp-up)F_v-[F, G]=0, \end{array}\end{equation} $

(2.8)

其中$[F, G]=FG-GF$.

经过对(2.8)式中方程的分析与计算, 我们可解得

$ \begin{equation}\label{e2.9}\begin{array}{ll} F&=X_1+uX_2+vX_3, \\ G&=-rX_2-sX_3-pX_4-qX_5+X_6+u^2X_7+v^2X_8+uX_9+vX_{10}+uvX_{11}, \end{array}\end{equation} $

(2.9)

并满足可积条件

$ \begin{equation}\label{e2.10}\begin{array}{ll} &[X_1, X_6]=[X_2, X_3]=[X_2, X_7]=[X_3, X_8]=0, \\ &[X_1, X_2]=X_4, \quad \quad [X_1, X_3]=X_5, \quad\quad [X_4, X_1]=X_9, \quad\quad [X_5, X_1]=X_{10}, \\ &[X_2, X_5]=[X_3, X_4], \quad\quad [X_1, X_7]+[X_2, X_9]=0, \quad\quad [X_1, X_8]+[X_3, X_{10}]=0, \\ &[X_1, X_9]+[X_2, X_6]=0, \quad [X_1, X_{10}]+[X_3, X_6]=0, \quad [X_2, X_8]+[X_3, X_{11}]=0, \\ &[X_2, X_{11}]+[X_3, X_7]=0, \quad \quad [X_1, X_{11}]+[X_2, X_{10}]+[X_3, X_9]=0, \\ &2X_7+3X_2-X_3+[X_2, X_4]=0, \quad \quad 2X_8-X_2+3X_3+[X_3, X_5]=0, \\ &X_2+X_3+[X_3, X_4]+X_{11}=0, \quad \quad X_2+X_3+[X_2, X_5]+X_{11}=0, \end{array}\end{equation} $

(2.10)

这里所有的矩阵$X_i \, (i=1, 2, \cdots, 11)$都为待定矩阵.它们决定了一个不完全的李代数$L$, 我们把这个李代数称为延拓代数.

通过Jacobi恒等式, 我们可以进一步的得到$X_i \, (i=1, 2, \cdots, 11)$之间的关系

$ \begin{equation}\label{e2.11}\begin{array}{ll} &2[X_1, [X_3, X_4]]=[X_1, X_{11}], \quad\quad [X_3, X_7]=0, \\ &[X_2, X_8]=0, \quad\quad [X_2, X_{11}]=[X_3, X_{11}]=0. \end{array}\end{equation} $

(2.11)

因此, 由(2.10)与(2.11)式我们可解得

$ \begin{equation}\label{e2.12} X_{11}=-\frac{2}{3}(X_2+X_3), \quad X_7=-X_2+\frac{1}{3}X_3, \quad X_8=\frac{1}{3}X_2-X_3.\\ \end{equation} $

(2.12)

为了得到与之相关的谱问题, 我们需引入谱参数$\lambda$.方程(2.1)有下面的尺度对称

$ x \rightarrow \lambda^{-1}x, \quad\quad t \rightarrow \lambda^{-3}t, \quad\quad u \rightarrow \lambda^{2}u, \quad\quad v \rightarrow \lambda^{2}v, $

为了使$\omega_k$在这个变换下也是不变的, 那么由(2.9)式可知$X_i \, (i=1, 2, \cdots, 11)$也必须满足

$ X_1 \rightarrow \lambda X_1, \quad\quad X_2 \rightarrow \lambda^{-1}X_2, \quad\quad X_3 \rightarrow \lambda^{-1} X_3, \quad\quad X_4 \rightarrow X_4, $

$ X_5 \rightarrow X_5, \quad\quad X_6 \rightarrow \lambda^{3}X_6, \quad\quad X_7 \rightarrow \lambda^{-1}X_7, \quad\quad X_8 \rightarrow \lambda^{-1}X_8, $

$ X_9\rightarrow \lambda X_9, \quad\quad X_{10} \rightarrow \lambda X_{10}, \quad\quad X_{11} \rightarrow \lambda^{-1} X_{11}. $

利用Dodd和Fordy^[23]的方法, 并结合定理2.1, 通过Maple软件的计算, 我们可得到$X_i \, (i=1, 2, \cdots, 11)$的矩阵表示为

$ X_1=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~ -\frac{1}{3}~&0&0\\ \lambda &0&0&0\\ 0&\frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}\\ 0&0&\lambda &0 \end{array}\right), \quad\quad X_2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ 1&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ 0&0&1&~0 \end{array}\right), \quad\quad X_3=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ 1&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ 1&0&1&~0 \end{array}\right), $

$ X_4=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{3}&~0~&0&~0\\ 0&\frac{1}{3}&0&~0\\ \frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}&~0\\ 0&-\frac{1}{6}&0&~\frac{1}{3} \end{array}\right), \;X_5=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{3}&~0~&0&~0\\ 0&\frac{1}{3}&0&~0\\ -\frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}&~0\\ 0&\frac{1}{6}&0&~\frac{1}{3} \end{array}\right), \; X_6=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{4}{9}\lambda&0&0\\ \frac{4}{3}\lambda^2&0&0&0\\ 0&\frac{4}{9}\lambda&0&-\frac{4}{9}\lambda\\ -\frac{2}{3}\lambda^2&0&\frac{4}{3}\lambda^2&0 \end{array}\right), $

$ X_7=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ -\frac{2}{3}&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ \frac{1}{3}&0&-\frac{2}{3}&~0 \end{array}\right), \quad X_8=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ -\frac{2}{3}&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ -1&0&-\frac{2}{3}&~0 \end{array}\right), \quad X_9=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\frac{2}{9}&0&~0\\ \frac{2}{3}\lambda&0&0&~0\\ 0&-\frac{2}{9}&0&~\frac{2}{9}\\ -\frac{1}{3}\lambda&0&\frac{2}{3}\lambda&~0 \end{array}\right), $

$ X_{10}=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~\frac{2}{9}~&0&~0\\ \frac{2}{3}\lambda&0&0&~0\\ 0&0&0&~\frac{2}{9}\\ \frac{1}{3}\lambda&0&\frac{2}{3}\lambda&~0 \end{array}\right), \quad X_{11}=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ -\frac{4}{3}&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ -\frac{2}{3}&0&-\frac{4}{3}&~0 \end{array}\right). $

所以, Lax对的矩阵表示形式为

$ y_x=Fy, \quad y_t=Gy, \quad y=(y^1, y^2, y^3, y^4)^{\rm T}. $

因此, 我们可得到线性谱问题

$ \begin{equation}\label{e2.13}\begin{array}{ll} \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right)_x =&\left(\begin{array}{ccccc} 0&~ -\frac{1}{3}~&0&~0\\ u+v+\lambda &0&0&~0\\ 0&\frac{1}{6}&0&~-\frac{1}{3} \\ v&0&u+v+\lambda&~0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right), \\\\ \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right)_t =&\left(\begin{array}{ccccc} \frac{1}{3}p+\frac{1}{3}q&~ \frac{2}{9}u+\frac{2}{9}v-\frac{4}{9}\lambda~&0&~0\\ A&-\frac{1}{3}p-\frac{1}{3}q&0&~0 \\ -\frac{1}{6}p+\frac{1}{6}q&-\frac{2}{9}u+\frac{4}{9}\lambda& \frac{1}{3}p+\frac{1}{3}q&~ \frac{2}{9}u+\frac{2}{9}v-\frac{4}{9}\lambda\\ B&\frac{1}{6}p-\frac{1}{6}q&A&~-\frac{1}{3}p-\frac{1}{3}q \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right), \end{array}\end{equation} $

这里$\lambda$为谱参数,

$ A=-r-s-\frac{2}{3}(u+v)^2+\frac{2}{3}(u+v)\lambda+\frac{4}{3}\lambda^2, $

$ B=-s+\frac{1}{3}u^2-v^2-\frac{2}{3}uv-\frac{1}{3}(u-v)\lambda-\frac{2}{3}\lambda^2. $

方程(2.13)的相容性条件为

$F_t-G_x+[F, G]=0, $

即耦合KdV方程(2.1).

在本节中, 我们主要研究下列广义耦合CH型方程的延拓结构

$ \begin{equation}\label{e3.1}\begin{array}{ll} m_t=2\left(m+\frac{1}{3}n\right)u_x+m_xu+\frac{1}{3}n_xu+\frac{2}{3}(m-n)v_x+\frac{1}{3}(m_x-n_x)v, \\ n_t=2\left(n+\frac{1}{3}m\right)v_x+n_xv+\frac{1}{3}m_xv+\frac{2}{3}(n-m)u_x+\frac{1}{3}(n_x-m_x)u, \\ m=u-u_{xx}, \quad n=v-v_{xx}. \end{array}\end{equation} $

(3.1)

根据文献[24], 我们可知方程(3.1)为方程(2.1)的对偶系统.为了把方程(3.1)表达成外微分的形式, 我们定义一系列新的独立变量

$ \begin{equation}\label{e3.2} p=u_x, \quad\quad q=v_x, \quad\quad r=u_{xx}, \quad\quad s=v_{xx}. \end{equation} $

(3.2)

则方程(3.1)可被表达成下述二阶外微分的形式

$ \begin{equation}\label{e3.3}\begin{array}{ll} \alpha_1=&{\rm d}u\wedge {\rm d}t-p{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_2={\rm d}v\wedge {\rm d}t-q{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_3=&{\rm d}p\wedge {\rm d}t-r{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_4={\rm d}q\wedge {\rm d}t-s{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_5=& {\rm d}u\wedge {\rm d}x-{\rm d}r\wedge {\rm d}x+\left[\left(3u+v-2r-\frac{2}{3}s\right)p+\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)q\right]{\rm d}x\wedge {\rm d}t\\ &-\frac{1}{3}(3u+v){\rm d}r\wedge {\rm d}t-\frac{1}{3}(u-v){\rm d}s\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_6=& {\rm d}v\wedge {\rm d}x-{\rm d}s\wedge {\rm d}x+\left[-\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)p+\left(u+3v-\frac{2}{3}r-2s\right)q\right]{\rm d}x\wedge {\rm d}t\\ &+\frac{1}{3}(u-v){\rm d}r\wedge {\rm d}t-\frac{1}{3}(u+3v){\rm d}s\wedge {\rm d}t. \end{array}\end{equation} $

(3.3)

易证理想$I=\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6\}$是一个闭理想.

$ \begin{equation}\label{e3.4}\begin{array}{ll} {\rm d}\alpha_1=&{\rm d}x\wedge \alpha_3, \qquad {\rm d}\alpha_2={\rm d}x\wedge \alpha_4, \\ {\rm d}\alpha_3=&{\rm d}x\wedge \alpha_1+{\rm d}t\wedge \alpha_5, \qquad {\rm d}\alpha_4={\rm d}x\wedge \alpha_2+{\rm d}t\wedge \alpha_6, \\ {\rm d}\alpha_5=& -\frac{2}{3}(3p+q){\rm d}x\wedge \alpha_1-\frac{2}{3}(p-q){\rm d}x\wedge \alpha_2-\left(3u+v-2r-\frac{2}{3}s\right){\rm d}x\wedge \alpha_3\\ & -\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right){\rm d}x\wedge \alpha_4+\frac{1}{3}(3p+q){\rm d}t\wedge \alpha_5+\frac{1}{3}(p-q){\rm d}t\wedge \alpha_6\\ & +{\rm d}r\wedge \alpha_1+\frac{1}{3}{\rm d}r\wedge \alpha_2+\frac{1}{3}{\rm d}s\wedge \alpha_1-\frac{1}{3}{\rm d}s\wedge \alpha_2, \\ {\rm d}\alpha_6=& \frac{2}{3}(p-q){\rm d}x\wedge \alpha_1-\frac{2}{3}(p+3q){\rm d}x\wedge \alpha_2+\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right){\rm d}x\wedge \alpha_3\\ & -\left(u+3v-\frac{2}{3}r-2s\right){\rm d}x\wedge \alpha_4-\frac{1}{3}(p-q){\rm d}t\wedge \alpha_5+\frac{1}{3}(p+3q){\rm d}t\wedge \alpha_6\\ & -\frac{1}{3}{\rm d}r\wedge \alpha_1+\frac{1}{3}{\rm d}r\wedge \alpha_2+\frac{1}{3}{\rm d}s\wedge \alpha_1+{\rm d}s\wedge \alpha_2. \end{array}\end{equation} $

(3.4)

设一阶外微分

$ \begin{equation}\label{e3.5} \omega_k={\rm d}y^k-F^k(u, v, p, q, r, s;y^k){\rm d}x-G^k(u, v, p, q, r, s;y^k){\rm d}t, \end{equation} $

(3.5)

其中$y^k \, (k=1, 2, \cdots, n)$是伪势.假定$F^k$和$G^k$具有下面的形式

$ \begin{equation}\label{e3.6} F^k=F^k_jy^j, \qquad G^k=G^k_jy^j, \end{equation} $

(3.6)

在后面的讨论中, 我们把$F^k_j$和$G^k_j$分别简记为$F$和$G$.

为了得到方程(3.1)的延拓结构, $I\cup{\omega_k}$也必须是一个闭理想, 即

$ \begin{equation}\label{e3.7} {\rm d}\omega_k=\sum\limits_{i=1}^6 f^k_i\alpha_i+\sum\limits_j(A^k_j{\rm d}x+B^k_j{\rm d}t)\wedge \omega_j, \end{equation} $

(3.7)

这里$f^k_i, \, A^k_j, \, B^k_j$均为待定函数.

则方程(3.1)可化为如下一系列超定方程

$ \begin{equation}\label{e3.8}\begin{array}{ll} F_p=F_q=0, \quad\quad F_u+F_r=0, \quad\quad F_v+F_s=0, \\ G_r=-\frac{1}{3}(3u+v)F_u+\frac{1}{3}(u-v)F_v, \quad\quad G_s=-\frac{1}{3}(u-v)F_u-\frac{1}{3}(u+3v)F_v, \\ pG_u+qG_v+rG_p+sG_q-\left[ \left(3u+v-2r-\frac{2}{3}s\right)p+\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)q \right] F_u\\ +\left[ \left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)p-\left(u+3v-\frac{2}{3}r-2s\right)q \right] F_v+[F, G]=0, \end{array}\end{equation} $

(3.8)

这里$[F, G]=FG-GF$.

通过分析(3.8)式, 如果我们设

$ \begin{equation}\label{e3.1.1} F=X_1+uX_2+vX_3-rX_2-sX_3, \end{equation} $

(3.9)

那么

$ \begin{equation}\label{e3.1.2} G_r=-\frac{1}{3}(3u+v)X_2+\frac{1}{3}(u-v)X_3, \quad G_s=-\frac{1}{3}(u-v)X_2-\frac{1}{3}(u+3v)X_3. \end{equation} $

(3.10)

根据文献[11]中的方法, 我们可设

$ \begin{equation}\label{e3.1.3} G_p=X_4, \quad G_q=X_5, \end{equation} $

(3.11)

把方程(3.9)和(3.11)代入(3.8)中的第六式, 将所得方程分别关于$p, \, q$微分一次, 我们可解得

$ \begin{eqnarray*} G_u&=&\left(3u+v-2r-\frac{2}{3}s\right)X_2-\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)X_3+[X_1, X_4]\\ &&+u[X_2, X_4]+v[X_3, X_4] -r[X_2, X_4]-s[X_3, X_4], \\ G_v&=&\left(u-v-\frac{2}{3}r+\frac{2}{3}s\right)X_2+\left(u+3v-\frac{2}{3}r-2s\right)X_3+[X_1, X_5]\\ &&+u[X_2, X_5]+v[X_3, X_5] -r[X_2, X_5]-s[X_3, X_5]. \end{eqnarray*} $

由相容性条件

$ \begin{eqnarray*} &G_{uv}=G_{vu}, \quad G_{up}=G_{pu}, \quad G_{uq}=G_{qu}, \quad G_{ur}=G_{ru}, \quad\quad G_{us}=G_{su}, \\ & G_{vp}=G_{pv}, \quad G_{vq}=G_{qv}, \quad G_{vr}=G_{rv}, \quad G_{vs}=G_{sv}, \quad G_{pq}=G_{qp}, \\ &G_{pr}=G_{rp}, \quad G_{ps}=G_{sp}, \quad G_{qr}=G_{rq}, \quad G_{qs}=G_{sq}, \quad G_{rs}=G_{sr}, \end{eqnarray*} $

我们有

$ [X_2, X_4]=-X_2+\frac{1}{3}X_3, \quad\quad \; [X_3, X_5]=\frac{1}{3}X_2-X_3, $

$ [X_3, X_4]=[X_2, X_5]=-\frac{1}{3}X_2-\frac{1}{3}X_3. $

经过一系列计算, 我们最终得到

$ \begin{eqnarray*} G&=&\left(u^2-\frac{1}{3}v^2+\frac{2}{3}uv-ur-\frac{1}{3}us -\frac{1}{3}vr+\frac{1}{3}vs\right)X_2\\ &&-\left(\frac{1}{3}u^2-v^2-\frac{2}{3}uv-\frac{1}{3}ur+\frac{1}{3}us +\frac{1}{3}vr+vs\right)X_3+pX_4+qX_5+X_6+uX_7+vX_8, \end{eqnarray*} $

其中$[X_1, X_4]=X_7, \quad [X_1, X_5]=X_8$.

将$F, \, G$代入(3.8)式中的第六个方程, 我们就得到了所有$X_i, \; i=1, \cdots, 8$需满足的条件

$ [X_2, X_3]=0, \quad\quad [X_1, X_6]=0, \quad\quad [X_2, X_6]=-X_4, $

$ [X_3, X_6]=-X_5, \quad\quad [X_1, X_7]=X_4, \quad\quad [X_1, X_8]=X_5, $

$ [X_2, X_4]=-X_2+\frac{1}{3}X_3, \quad\quad [X_2, X_5]=[X_3, X_4]=-\frac{1}{3}X_2-\frac{1}{3}X_3, $

$ [X_3, X_5]=\frac{1}{3}X_2-X_3, \quad\quad [X_2, X_8]=[X_3, X_7]=-\frac{1}{3}[X_1, X_2]-\frac{1}{3}[X_1, X_3], $

$ [X_1, X_2]-\frac{1}{3}[X_1, X_3]+[X_2, X_7]=0, \quad\quad \frac{1}{3}[X_1, X_2]-[X_1, X_3]-[X_3, X_8]=0, $

这里所有的$X_i (i=1, 2, \cdots, 8)$均为待定矩阵.

如果我们设

$ \begin{eqnarray*} F&=&X_1+uX_2+vX_3-rX_2-sX_3+urX_4+vsX_5\\ &&-\frac{1}{2}u^2X_4 -\frac{1}{2}v^2X_5-\frac{1}{2}r^2X_4-\frac{1}{2}s^2X_5, \end{eqnarray*} $

同时

$ G_p=X_6, \quad\quad G_q=X_7, $

那么经过计算我们可得$X_4=X_5=0$, 此时便回到了前面所讨论的情形.

对于方程(3.1)我们引入下面的尺度对称

$ \begin{eqnarray}\label{e3.1.4} x \rightarrow x, \quad\quad t \rightarrow \lambda^{-1}t, \quad\quad u \rightarrow \lambda u, \quad\quad v \rightarrow \lambda v, \end{eqnarray} $

(3.12)

$X_i$满足

$ \begin{eqnarray}\label{e3.1.5}\begin{array}{ll} &X_1 \rightarrow X_1, \quad\quad X_2 \rightarrow \lambda^{-1}X_2, \quad\quad X_3 \rightarrow \lambda^{-1}X_3, \quad\quad X_4 \rightarrow X_4, \\ &X_5 \rightarrow X_5, \quad\quad X_6 \rightarrow \lambda X_6, \quad\quad X_7 \rightarrow X_7, \quad\quad X_8 \rightarrow X_8. \end{array}\end{eqnarray} $

(3.13)

同样利用Dodd和Fordy^[23]的方法, 并结合Maple软件进行计算, 我们可得到

$ X_1=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{1}{3\lambda}&0&0\\ -\frac{3}{4}\lambda &0&0&0\\ 0&\frac{1}{6\lambda}&0&-\frac{1}{3\lambda}\\ -\frac{3}{8}\lambda&0&-\frac{3}{4}\lambda &0 \end{array}\right), \quad X_2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ 1&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ 0&0&1&~0 \end{array}\right), \quad X_3=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~0~&0&~0\\ 1&0&0&~0\\ 0&0&0&~0\\ 1&0&1&~0 \end{array}\right), $

$ X_4=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{3}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&0&0\\ \frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}&0\\ 0&-\frac{1}{6}&0&\frac{1}{3} \end{array}\right), \;X_5=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{3}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{3}&0&0\\ -\frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}&0\\ 0&\frac{1}{6}&0&\frac{1}{3} \end{array}\right), \; X_6=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{1}{3}&0&0\\ -\frac{3}{4}\lambda^2&0&0&0\\ 0&\frac{1}{6}&0&-\frac{1}{3}\\ -\frac{3}{8}\lambda^2&0&-\frac{3}{4}\lambda^2&0 \end{array}\right), $

$ X_7=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{2}{9\lambda}&0&0\\ \frac{1}{2}\lambda&0&0&0\\ 0&\frac{2}{9\lambda}&0&-\frac{2}{9\lambda}\\ 0&0&\frac{1}{2}\lambda&0 \end{array}\right), \quad X_8=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{2}{9\lambda}&0&0\\ \frac{1}{2}\lambda&0&0&0\\ 0&0&0&-\frac{2}{9\lambda}\\ \frac{1}{2}\lambda&0& \frac{1}{2}\lambda&0 \end{array}\right). $

因此, 方程(3.1)的谱问题为

$ \begin{equation}\label{e3.9}\begin{array}{ll} \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right)_x =&\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{1}{3\lambda}&0&0\\ u+v-r-s-\frac{3}{4}\lambda &0&0&0\\ 0&\frac{1}{6\lambda}&0&-\frac{1}{3\lambda} \\ v-s-\frac{3}{8}\lambda&0& u+v-r-s-\frac{3}{4}\lambda&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right), \\\\ \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right)_t =&\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{3}p-\frac{1}{3}q& -\frac{1}{9\lambda}(2u+2v+3\lambda)&0&0\\ A&\frac{1}{3}p+\frac{1}{3}q&0&0\\ \frac{1}{6}p-\frac{1}{6}q&\frac{1}{6}+\frac{2u}{9\lambda}& -\frac{1}{3}p-\frac{1}{3}q&-\frac{1}{9\lambda}(2u+2v+3\lambda)\\ B&-\frac{1}{6}p+\frac{1}{6}q&A&\frac{1}{3}p+\frac{1}{3}q \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \\ y^3 \\ y^4 \end{array}\right), \\ \end{array}\end{equation} $

(3.14)

这里$\lambda$为谱参数,

$ A=\frac{2}{3}(u+v)^2-\frac{2}{3}(u+v)(r+s)+\frac{1}{2}(u+v)\lambda-\frac{3}{4}\lambda^2, $

$ B=-\frac{1}{3}u^2+v^2+\frac{2}{3}uv+\frac{1}{3}ur-\frac{1}{3}us-\frac{1}{3}vr-vs+\frac{1}{2}v\lambda-\frac{3}{8}\lambda^2. $

方程(3.14)的相容性条件为

$ F_t-G_x+[F, G]=0, $

即广义耦合CH型方程(3.1).

文献[16]给出了下列复耦合KdV方程的延拓结构和Lax对表示

$ \begin{equation}\label{e4.1}\begin{array}{ll} u_t&=u_{xxx}+6uu_x+6vv_x, \\ v_t&=v_{xxx}+6u_xv+6uv_x, \end{array}\end{equation} $

(4.1)

即

$ \begin{equation}\label{e4.2}\begin{array}{ll} u_t&=u_{xxx}-3uu_x+3vv_x, \\ v_t&=v_{xxx}-3u_xv-3uv_x. \end{array}\end{equation} $

(4.2)

根据文献[25]我们可以知道方程(4.2)是完全可积的, 拥有双哈密顿结构, 递归算子和无穷多广义对称.方程(4.2)的哈密顿结构为

$ H_1=\int \Big(-\frac{1}{2}u_x^2-\frac{1}{2}v_x^2+u^3+v^3+2uv^2\Big) {\rm d}x, \quad\quad H_2=\int \frac{1}{2}(u^2+v^2) {\rm d}x, $

$ {\cal D}_2= \left(\begin{array}{ccccc} \partial &~~ 0\\ 0&~~\partial \end{array}\right), \quad\quad {\cal D}_1= \left(\begin{array}{ccccc} \partial^3+2\partial u+2u\partial ~~& 2\partial v+2v\partial\\ 2\partial v+2v\partial ~~& \partial^3+2\partial u+2u\partial \end{array}\right). $

利用三哈密顿求对偶系统的方法^[1], 我们可得到(4.2)式的对偶系统为

$ \begin{equation}\label{e4.3}\begin{array}{ll} m_t=2mu_x+m_xu-2nv_x-n_xv, \\ n_t=2mv_x+m_xv+2nu_x+n_xu, \\ m=u-u_{xx}, \quad n=v-v_{xx}. \end{array}\end{equation} $

(4.3)

在本节中, 我们主要研究方程(4.3)的延拓结构.

利用独立变量(3.2)式, 方程(4.3)可被化为下列外微分2 -形式

$ \begin{equation}\label{e4.4}\begin{array}{ll} \alpha_1=&{\rm d}u\wedge {\rm d}t-p{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_2={\rm d}v\wedge {\rm d}t-q{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_3=&{\rm d}p\wedge {\rm d}t-r{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \quad \alpha_4={\rm d}q\wedge {\rm d}t-s{\rm d}x\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_5=&{\rm d}u\wedge {\rm d}x-{\rm d}r\wedge {\rm d}x+(3up-2pr-3vq+2qs){\rm d}x\wedge {\rm d}t-u{\rm d}r\wedge {\rm d}t+v{\rm d}s\wedge {\rm d}t, \\ \alpha_6=&{\rm d}v\wedge {\rm d}x-{\rm d}s\wedge {\rm d}x+(3vp+3uq-2qr-2ps){\rm d}x\wedge {\rm d}t-v{\rm d}r\wedge {\rm d}t-u{\rm d}s\wedge {\rm d}t. \end{array}\end{equation} $

(4.4)

易证理想$I=\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5, \alpha_6\}$为闭理想.

$ \begin{equation}\label{e4.5}\begin{array}{ll} {\rm d}\alpha_1=&{\rm d}x\wedge \alpha_3, \qquad {\rm d}\alpha_2={\rm d}x\wedge \alpha_4, \\ {\rm d}\alpha_3=&{\rm d}x\wedge \alpha_1+{\rm d}t\wedge \alpha_5, \quad {\rm d}\alpha_4={\rm d}x\wedge \alpha_2+{\rm d}t\wedge \alpha_6, \\ {\rm d}\alpha_5=&-2p{\rm d}x\wedge \alpha_1+2q{\rm d}x\wedge \alpha_2-(3u-2r){\rm d}x\wedge \alpha_3+(3v-2s){\rm d}x\wedge \alpha_4\\ &+p{\rm d}t\wedge \alpha_5 -q{\rm d}t\wedge \alpha_6+{\rm d}r\wedge \alpha_1-{\rm d}s\wedge \alpha_2, \\ {\rm d}\alpha_6=&-2q{\rm d}x\wedge \alpha_1-2p{\rm d}x\wedge \alpha_2-(3v-2s){\rm d}x\wedge \alpha_3-(3u-2r){\rm d}x\wedge \alpha_4\\ &+q{\rm d}t\wedge \alpha_5 +p{\rm d}t\wedge \alpha_6+{\rm d}r\wedge \alpha_2+{\rm d}s\wedge \alpha_1. \end{array}\end{equation} $

(4.5)

同第三节中的步骤, 方程(4.3)等价于下述一系列非线性偏微分方程

$ \begin{equation}\label{e4.6}\begin{array}{ll} &F_p=F_q=0, \quad F_u+F_r=0, \qquad F_v+F_s=0, \\ & G_r=-uF_u-vF_v, G_s=vF_u-uF_v, \\ &pG_u+qG_v+rG_p+sG_q-(3up-2pr-3vq+2qs)F_u\\ &-(3vp+3uq-2qr-2ps)F_v-[F, G]=0. \end{array}\end{equation} $

(4.6)

经过计算与分析, 我们可得

$ F=X_1+uX_2+vX_3-rX_2-sX_3, $

$ G=(u^2-v^2-ur+vs)X_2+(2uv-us-vr)X_3+pX_4+qX_5+X_6+uX_7+vX_8, $

并且$X_i, \; i=1, \cdots, 8$满足

$ [X_2, X_3]=0, \quad [X_1, X_6]=0, \quad [X_2, X_6]=-X_4, \quad [X_3, X_6]=-X_5, $

$ [X_1, X_4]=X_7, \quad [X_1, X_7]=X_4, \quad [X_1, X_5]=X_8, \quad [X_1, X_8]=X_5, $

$ [X_2, X_4]=-X_2, \quad [X_3, X_5]=X_2, \quad [X_2, X_5]=[X_3, X_4]=-X_3, $

$ [X_2, X_8]=[X_3, X_7]=-[X_1, X_3], \quad [X_1, X_2]+[X_2, X_7]=0, \quad [X_1, X_2]-[X_3, X_8]=0, $

其中$X_i \, (i=1, 2, \cdots, 8)$均为待定矩阵.

我们可以看到

$ [X_4, X_2]=X_2, \quad\quad [X_6, X_2]=X_4, $

由定理2.1可得

$ X_2=e_-, \quad\quad X_4=-\frac{1}{2}h. $

首先考虑将延拓代数$\{X_i, \, i=1, 2, \cdots, 8 \}$嵌入到Lie代数${\rm sl}(2, {\Bbb C})$中.

结合同样的尺度对称(3.12)及(3.13), 我们可以求得

$ X_1=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}\\ -\frac{\sqrt{2}\lambda i}{2} &0 \end{array}\right), \qquad X_2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~~0\\ 1&~~0 \end{array}\right), \qquad X_3=\left(\begin{array}{ccccc} 0&~~0\\ i&~~0 \end{array}\right), $

$ X_4=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{2}&~~0\\ 0&~~\frac{1}{2} \end{array}\right), \;\;\;X_5=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{2}i&0\\ 0&\frac{1}{2}i \end{array}\right), \qquad X_6=\left(\begin{array}{ccccc} 0&-\frac{1}{2}\\ \lambda^{2}&0 \end{array}\right), $

$ X_7=\left(\begin{array}{ccccc} 0& \frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}\\ \frac{\sqrt{2}\lambda i}{2} &0 \end{array}\right), \qquad X_8=\left(\begin{array}{ccccc} 0& -\frac{\sqrt{2}}{4\lambda}\\ -\frac{\sqrt{2}\lambda}{2} &0 \end{array}\right). $

因此

$ F=\left(\begin{array}{ccccc} 0& ~~\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}\\ u-r+(v-s)i-\frac{\sqrt{2}\lambda i}{2}&~~0 \end{array}\right), $

$ G=\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{p}{2}-\frac{q}{2}i&~~ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}(u+vi) \\ A+Bi& ~~ \frac{p}{2}+\frac{q}{2}i \end{array}\right), $

这里$\lambda$为谱参数,

$ A=u^2-v^2-ur+vs+\lambda^2, \quad B=2uv-us-vr+\frac{\sqrt{2}}{2}\lambda(u+vi), \quad i^2=-1. $

Lax对的矩阵表示形式为

$ y_x=Fy, \quad\quad y_t=Gy, \quad \; y=(y^1, y^2)^{\rm T}. $

因此, 我们可得到方程(4.3)的线性谱问题为

$ \begin{equation}\label{e4.7}\begin{array}{ll} \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right)_x =&\left(\begin{array}{ccccc} 0& ~~\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}\\ u-r+(v-s)i-\frac{\sqrt{2}\lambda i}{2} &~~ 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right), \\[8mm] \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right)_t =&\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{p}{2}-\frac{q}{2}i &~~ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}(u+vi) \\ A+Bi &~~ \frac{p}{2}+\frac{q}{2}i \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right). \end{array}\end{equation} $

(4.7)

令$w=u+vi$, 则上述谱问题等价于

$ \begin{equation}\label{e4.8}\begin{array}{ll} \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right)_x =&\left(\begin{array}{ccccc} 0&~~~~\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}\\ w-w_{xx}-\frac{\sqrt{2}\lambda i}{2} &~~~~ 0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right), \\[8mm] \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right)_t =&\left(\begin{array}{ccccc} -\frac{1}{2}w_x & ~~ -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}i}{4\lambda}w \\ w(w-w_{xx})+\frac{\sqrt{2}}{2}w\lambda i+\lambda^2& ~~ \frac{1}{2}w_x \end{array}\right) \left(\begin{array}{ccccc}y^1 \\ y^2 \end{array}\right). \end{array}\end{equation} $

(4.8)

方程(4.7)或(4.8)的相容性条件为

$ F_t-G_x+[F, G]=0, $

即广义耦合复CH型方程(4.3).