设$X, Y$为Banach空间, $B(X, Y)$表示从$X$到$Y$上的所有有界线性算子构成的Banach空间.对算子$T\in B(X, Y)$, 记号$\mathcal{N}(T)$和$\mathcal{R}(T)$分别表示算子$T$的零空间和值域.设算子$A, \ B \in B(X, Y)$, 设向量$b, \ c \in Y$.考虑下面具有等式约束的一般约束极值解问题(下面简称为CESP问题):

$ \begin{eqnarray}\label{sec1eq1} \inf\|Ax-b\|\quad \mbox{约束于}\quad\|Bx-c\|=\inf\limits_{z\in X}\|Bz-c\|. \end{eqnarray} $

(1.1)

从相关文献可知, 上面的问题(1.1)具有很多应用.例如问题(1.1)在数学规划和数值分析中有重要意义, 同时与常微分方程、偏微分方程以及积分方程的广义解概念有重要联系.特别地, CESP问题(1.1)包含下面的几种重要特殊不适定问题:

(ⅰ) 如果$A$是单位算子, 则问题(1.1)即为下面所谓的点投影到线性流形问题

$ \inf\|b-x\|\quad \mbox{约束于}\quad\|Bx-c\|=\inf\limits_{z\in X}\|Bz-c\|. $

(ⅱ) 如果在上面(ⅰ)的基础上还有$b=0$, 则问题(1.1)即为下面的最佳逼近解问题

$ \inf\|x\|\quad \mbox{约束于}\quad\|Bx-c\|=\inf\limits_{z\in X}\|Bz-c\|. $

(ⅲ) 若有$B=0$, 则问题(1.1)即为一般的极值解问题(以下简称为ESP问题)

$ \|A\tilde{x}-b\|=\inf\limits_{x\in X}\|Ax-b\|. $

显然, 如果算子$A$和$B$的值域是有限维时, 则问题(1.1)是有解的.而在一般的无限维空间中, CESP问题(1.1)可能没有解^[8].但是当$X, \ Y$是自反Banach空间时, 可知当${\cal R}(A)$和${\cal R}(B)$闭的时, 问题(1.1)是可解的^[13].当$X, \ Y$是有限维向量空间或无限维的Hilbert空间, 在已有文献中, 一些学者对问题(1.1)做了深入地研究^{[4-5, 9, 26]}.特别是在文献[6, 10]中, 利用问题(1.1)和最小二乘问题之间的关系, 在秩保扰动下, 作者深入研究了问题(1.1)的扰动分析问题.

分析上面文献中的相关结论可知, 矩阵或算子的Moore-Penrose正交投影广义逆的扰动界在研究上面问题上是至关重要的.所以, 同Hilbert空间中相应问题的研究方法类似, 为了得到问题(1.1)及其几类特殊问题更好的扰动估计, 我们必须首先对代数度量广义逆¹(参考文献[22, 25])的扰动分析问题有很好的结论.在近些年的研究中, 一些学者将Hilbert空间中有关Moore--Penrose正交投影广义逆的扰动结论部分推广到Banach空间中代数度量广义逆上^{[1, 11, 15, 21]}.在最近的论文^[2]中, 我们在自反严格凸Banach空间中研究了代数度量广义逆的扰动分析问题, 获得了一些有意义的结论.在本文中, 我们将利用文献[2]中有关代数度量广义逆的扰动界, 研究问题(1.1)及其几类特殊问题解的稳定性.值得指出的是, 本文的主要结论并不需要保值域的条件, 从而这里的结论推广了有限维向量空间或无限维Hilbert空间中对应的一些经典结论.

¹在以往的文献中, 这种类型的广义逆一般称为Moore-Penrsoe度量广义逆.这里我们称其为代数度量广义逆, 更详细的说明, 可参考下一节的定义2.4.

在本节中, 我们给出下文所需的一些基本概念和要用到的基本结论.下面首先给出Banach空间中一般集合上的集值度量投影的概念.借助于特殊的单值度量投影^{[20, 22-23]}, 我们可以定义所谓的代数度量广义逆.

定义2.1^{[20, 定义4.1]} 设$X$为Banach空间且$G \subset X$为$X$的子集.集值映射$P_G : X \to G$定义为

$ \begin{eqnarray*} P_G(x) = \{s \in G \mid \|x-s\| = {\rm{dist}}(x, G)\}\quad \forall x\in X \end{eqnarray*} $

称为集值度量投影, 这里的${\rm{dist}}(x, G) =\underset{z\in x}{\mathop{\text{inf}}}\, \|x-z\|$.

设集合$G\subset X$, 如果对任意的$x\in X$有$P_G(x)\neq \emptyset$, 则称$G$为迫近集; 如果对任意的$x\in X$, $P_G(x)$至多是单点集合, 则称$G$是半Chebyshev集; 如果$G$既是迫近集又是半Chebyshev集, 则称$G$是Chebyshev集.我们用$\pi_G$表示集值映射$P_G$的选择, 也即, 任意的单值映射$\pi_G : {\cal D}(\pi_G) \to G$满足对任意的$x \in {\cal D}(\pi_G)$有$\pi_G(x) \in P_G(x)$, 这里的${\cal D}(\pi_G) = \{x \in X : P_G(x) \neq \emptyset\}$.当$G$为Chebyshev集, 则${\cal D}(\pi_G) = X$以及$P_G(x) = \{\pi_G(x)\}$.在这种情况下, 映射$\pi_G$称为从$X$到$G$上的度量投影.

注2.1^{[22, 定理1.2.7]} 设$X$为Banach空间且$G \subset X$为$X$的闭凸子集.如果$X$是自反的, 则$G$是迫近集; 如果$X$是严格凸的, 则$G$半Chebyshev集.从而自反严格凸Banach空间中的任意闭凸子集都是Chebyshev集.

下面的引理给出了Banach空间中度量投影的一些重要性质.

引理2.1^{[20, 定理4.1]} 设$X$为Banach空间, $L\subset X$为$X$的Chebyshev子空间.则度量投影$\pi_L$在$L$上是拟可加的.进一步地, 对任意的$x \in {\cal D}(\pi_L)$有$\|x-\pi_L(x)\| \leq \|x\|$, 也即有$\|I-\pi_L\| \leq 1$, $\|\pi_L\|\leq 2$.

下面的拟可加性概念在度量广义逆及其它非线性广义逆的研究中起到重要的作用.

定义2.2^{[14, 25]} 设$M$为$X$中的一个集合, $A \colon X \rightarrow Y$为一个映射.称$A$在集合$M$上是拟可加的, 如果$T$满足

$ \begin{eqnarray*} A(x+z)=A(x) +A(z), \;\;\;\;\;\forall x\in X, \;\forall\; z\in M. \end{eqnarray*} $

如果$A$在$\mathcal{R}(A)$上拟可加, 我们称$A$为拟线性算子.一般情况下, 拟线性算子不是线性的.

我们称一个元素$x_0 \in X$为算子方程$Ax =b$的极值解, 如果$x = x_0$使得$\|Ax-b\|$最小, 具有最小范数的极值解称为最近逼近解或最小范数极值解(简写为b.a.s.).在一般情况下, 这个逼近解是非线性依赖于向量$b$, 并且, 如所周知, 如果$\mathcal{N}(A)$和$\mathcal{R}(A)$分别在$X$中$Y$中不是拓扑可补的, 则$A$的线性广义逆也不可能存在.受到Hilbert空间中有关结论的启发, 为了解决Banach空间中病态算子方程的最佳逼近解问题, 很多学者对线性广义逆进行了推广, 特别地, 为了表示唯一的最佳逼近解, 在1974年, 学者Nashed和Votruba在文献[17]中对Banach空间中的线性算子引入了如下所谓的集值的非线性的度量广义逆.

定义2.3^[17] 设$A: X\to Y$是线性算子, 设$b \in Y$使得算子方程$Ax = b$在$X$中有最佳逼近解.我们定义如下所谓的度量广义逆映射

$ A^\partial(b) = \{x \in X : x\; \mbox{为}\; Ax = b\;\mbox{的最佳逼近解}\}, $

这里的$D(A^\partial) = \{b \in Y : Ax = b\;\mbox{在}\;X\;\mbox{中有最佳逼近解}\}.$称满足条件$A^\sigma(b) \in A^\partial(b)$的单值非线性映射$A^\sigma : D(A^\partial) \to X$为度量广义逆$A^\partial$的一个选择.

由上面的定义可知, 一般情况下, $A^\partial$是集值的非线性映射, 所以直接处理度量广义逆映射$T^\partial$是非常困难的.从度量广义逆的理论建立至今, 在一些附件条件下, 很多学者研究了度量广义逆的连续性、连续齐性选择、单值选择等相关问题及其应用, 具体可参考文献[12, 16, 19].与本文考虑问题密切相关的, 在文献[18, 25]中, 借助于Banach空间中的度量投影算子以及Chebyshev子空间等概念, 作者对Banach空间算子定义了一类特殊的度量广义逆, 也即所谓的代数度量广义逆².

²这里需要特别指出, 在以往的文献中, 这种类型的广义逆一直被称为"Moore-Penrose度量广义逆", 如我们在第一节中介绍的, 这类广义逆最早是由国内学者王玉文及其合作者引入的.但是, 在我们最新录用的论文^[3]中, 我们首次将这类广义逆称为"代数度量广义逆".因为在论文的投稿过程中, 作为算子广义逆及其应用领域的权威学者, 也是度量广义逆的两位引入者之一, 也即审稿人Nashed教授特别指出: "the term 'Moore-Penrose' may be an inappropriate credit, since Moore never considered any metric properties and Penrose never considered any thing beyond matrices".所以在本文中我们也改用"代数度量广义逆"这一术语.

定义2.4^{[18, 25]} 设$X, Y$为Banach空间.设算子$A\in B(X, Y)$.设${\cal N}(A)$和${\cal R}(A)$分别为空间$X$和$Y$中的Chebyshev子空间.如果存在有界齐性算子$A^M: Y \to X$满足

$ \begin{eqnarray*} (1)\, AA^MA = T; \quad (2)\, A^MAA^M= T^M; \quad (3)\, A^MA= I_X-\pi_{{\cal N}(A)}; \quad (4)\, AA^M= \pi_{{\cal R}(A)}. \end{eqnarray*} $

则称$A^M$为算子$A$的代数度量广义逆, 这里的$\pi_{{\cal N}(A)}$和$\pi_{{\cal R}(A)}$分别为$X$到${\cal N}(A)$及$Y$到${\cal R}(A)$上的度量投影.

如果$A^M$存在, 则$A^M$一定是唯一的^{[22, 25]}.关于代数度量广义逆的更多知识和相关论题请参考文献[22].这里我们紧需要用到下面关于代数度量广义逆的一个存在性刻画结论.

命题2.1^{[25, 推论2.1]} 设$X, \, Y$为自反严格凸Banach空间.则对任意具有闭值域的算子$A \in B(X, Y)$, 代数度量广义逆$A^M$都唯一存在.

在本节中, 我们将考虑一般的约束极值解问题CESP (1.1)的扰动分析及其应用.如果没有特别指出, 本节中的$X, Y$都是自反严格凸Banach空间.首先我们刻画CESP (1.1)解的存在性问题.

引理3.1 设值域${\cal R}(B)$是闭的, 则问题(1.1)的可行解存在, 且可表示为

$ \begin{eqnarray*} x=B^Mc+\pi_{\mathcal{N}(B)}t, \;\;\;\;\ t\in X. \end{eqnarray*} $

证 由于$X, \ Y$是自反严格凸Banach空间且${\cal R}(B)$是闭的, 则由文献[26, 性质2.3.7]可知问题(1.1)是可解的.进一步地由定义2.4可知问题(1.1)的可行解$x$可以表示为$x=B^Mc+\pi_{\mathcal{N}(B)}t$, 其中$t\in X$为任意的向量.

引理3.2 设$A, \ B\in B(X, Y)$且${\cal R}(B)$闭的.令$C=A\pi_{\mathcal{N}(B)}$.则$C^M$存在.

证 由性质2.1可知, 我们只需证明$\mathcal{R}(C)$是闭的即可.设$\{x_{n}\} \subset X$, 当$n \rightarrow \infty$, 设$Cx_{n} \rightarrow y_{0}\in Y$.由于$\pi_{\mathcal{N}(B)}^{2}=\pi_{\mathcal{N}(B)}$, 可得$Cx_{n}=A\pi_{\mathcal{N}(B)}x_{n}=A\pi_{\mathcal{N}(B)} (\pi_{\mathcal{N}(B)}x_{n})\rightarrow Ct_{0}$, 其中$t_{0} \in X$.从而有$y_{0} = Ct_{0}\in \mathcal{R}(C)$.也即$\mathcal{R}(C)$闭的.

我们将CESP问题(1.1)转化为下面的ESP问题(3.1).

命题3.1 令$C=A\pi_{\mathcal{N}(B)}$, $d=b-AB^Mc$.则CESP问题(1.1)等价于下面的ESP问题

$ \inf\limits_{y\in X}\|Cy-d\|. $

(3.1)

也即$y$是问题(3.1)的解当且仅当$x=B^Mc+\pi_{\mathcal{N}(B)}y$是问题(1.1)解.

证 我们只需证明$Cy-d=Ax-b$.实际上由$x=B^Mc+\pi_{\mathcal{N}(B)}y$可得

$ \begin{eqnarray*} Ax=A(B^Mc+\pi_{\mathcal{N}(B)}y)=AB^Mc+A(I_{X}-B^MB)y=b-d-Cy. \end{eqnarray*} $

由上面$C$和$d$的定义可知

$ \begin{eqnarray}\label{seceq3.2} Cy-d=Ax-b. \end{eqnarray} $

(3.2)

这即证明了命题3.1.

现在设CESP问题(1.1)有下面的扰动.

$ \begin{eqnarray}\label{seceq3.3} \inf\|\bar{A}\bar{x}-\bar{b}\|\quad\mbox{约束于}\quad\|\bar{B}\bar{x}-\bar{c}\|=\inf\limits_{\bar{z}\in X}\|\bar{B}\bar{z}-\bar{c}\|, \end{eqnarray} $

(3.3)

这里的$\bar{A}=A+\delta A$, $\bar{b}=b+\delta b$, $\bar{B}=B+\delta B$, $\bar{c}=c+\delta c$.问题(3.1)对应有下面扰动

$ \begin{eqnarray}\label{seceq3.4} \inf\limits_{\bar{y}\in X}\|\bar{C}\bar{y}-\bar{d}\|, \end{eqnarray} $

(3.4)

这里的$\bar{C}=\bar{A}\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}$, $\bar{d}=\bar{b}-\bar{A}\bar{B}^M\bar{c}$.

引理3.3 设$C, \, \delta C\in B(X, Z)$且值域${\cal R}(C)$是闭的.设$C^M$在$\mathcal{R}(\delta C)$和${\cal R}(C)$上拟可加.如果$\|C^M\|\|\delta C\|<1$, 则对问题(3.3))的任意解$\bar{y}$, 都存在问题(1.1)的解$y$使得

$ \begin{eqnarray}\label{mainlem1eq1} \|\bar{y}-y\|\leq\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}[\|Cy-d\|+2(\|d\|+\|\delta d\|+\|\delta C\|\|y\|)]. \end{eqnarray} $

证 设$y=C^Md+ \pi_{{\cal N}(C)}\bar{y}$.则可知$y$是问题(1.1)的一个解.设$\tilde{r} = \bar{C}\bar{y}-\bar{d}$.则可得

$ \begin{eqnarray}\label{seceq3.5} \|\tilde{r}\|=\|\bar{C}\bar{y}-\bar{d}\|\leq \|\bar{C}d-\bar{d}\|\leq\|Cy-d\|+\|\delta d-\delta Cy\|. \end{eqnarray} $

(3.6)

另一方面, 注意到$C^M$在$\mathcal{R}(\delta C)$和${\cal R}(C)$上拟可加, 则有

$ \begin{eqnarray*} \bar{y}-y&=&C^MC\bar{y}-C^Md=C^M(\bar{C}-\delta C)\bar{y}-C^Md\\&=&C^M\bar{C}\bar{y}-C^M\delta C\bar{y}-C^Md\\&=&C^M(\bar{C}\bar{y}-\bar{d})-C^M\delta C(\bar{y}-y)-C^M\delta Cy+C^M\bar{d}-C^dMd\\&= & C^M\tilde{r}-C^M\delta C(\bar{y}-\bar{x})-C^M\delta Cy+C^M\bar{d}-C^Md, \end{eqnarray*} $

由此可得

$ \begin{eqnarray}\label{seceq3.6} (I_X+C^M\delta C)(\bar{y}-y)=C^M\tilde{r}-C^M\delta Cy+C^M\bar{d}-C^Md. \end{eqnarray} $

(3.7)

所以由(3.6)和(3.7)式可得

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{y}-y\|&\leq &\|(I_X+C^M\delta C)^{-1}\|\|C^M\tilde{r}-C^M\delta Cx+C^M\bar{d}-C^Md\|\\&\leq & \frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\left(\|Cy-d\|+\|\delta Cy-\delta d\|+\|\delta C\|\|y\|+2\|d\|+\|\delta d\|\right)\\&\leq & \frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}[\|Cy-d\|+2(\|d\|+\|\delta d\|+\|\delta C\|\|y\|)]. \end{eqnarray*} $

这就证明了(3.5)式.

注3.1^{[2, 推论3.9]} 设$X, Y$为自反严格凸Banach空间.设$A, \delta A \in B(X, Y)$且${\cal R}(A)$闭的.令$\bar{A}=A+\delta A$.如果有下面的条件成立, 在论文^[2]中我们证明了$\bar{A}^M$是存在的.

$ \begin{eqnarray*} \|A^M\|\|\delta A\|<1, \quad\hat{\delta}({\cal N}(A), {\cal N}(\bar{A}))<\frac{1}{2}(1-\|A^M\|\|\delta A\|), \end{eqnarray*} $

其中上面的$\hat{\delta}({\cal N}(A), {\cal N}(\bar{A}))$为${\cal N}(A)$和$ {\cal N}(\bar{A})$的gap函数^[26].由此可知, 下面定理中我们假设$\bar{B}^M$存在是有意义.

定理3.1 设$B, \ \bar{B}=B+\delta B \in B(X, Y)$且值域${\cal R}(B)$闭的, 设$C, \ \bar{C}=C+\delta C \in B(X, Y)$且值域${\cal R}(C)$闭的.设$\bar{y}$和$y$分别问题(3.4)和问题(3.1)的解.如果$\bar{B}^M$存在, 则有

(1) $\bar{x}=\bar{B}^M\bar{c}+\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}$和$x=B^Mc+\pi_{{\cal N}(B)}y$分别为问题(3.3)和问题(1.1)的解, 且有

$ \begin{eqnarray}\label{thm1Beq1} \|\bar{x}-x\|\leq \|\bar{B}^M\bar{c}-B^Mc\|+\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}-\pi_{{\cal N}(\bar{B})}y\| +\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}-\pi_{{\cal N}(B)}\|\|y\|. \end{eqnarray} $

(3.8)

进一步地, 如果$\bar{B}^M \in B(Z, X)$, $\|C^M\|\|\delta C\|<1$, 且$C^M$在$\mathcal{R}(\delta C)$和${\cal R}(C)$上拟可加, 则

(2) 对问题(3.3)的解$\bar{x}$, 都存在问题(1.1)的解$x$使得

$ \begin{eqnarray} \|\bar{x}-x\|&\leq & \|\bar{B}^M\|\|\delta c\|+\|\bar{B}^M-B^M\|\|c\|\\ &&+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\left[\|Cy-d\|+2(\|d\|+\|\delta d\|+\|\delta C\|\|y\|)\right]\\ && +\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}-\pi_{{\cal N}(B)}\|\|y\|. \label{thm1Beq2} \end{eqnarray} $

(3.9)

证 (1)设$\bar{y}$和$y$分别是问题(3.4)和问题(3.1)的解, 则显然$\bar{x}=\bar{B}^M\bar{c}+\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}$和$x=B^Mc+\pi_{{\cal N}(B)}y$分别是问题(3.3)和问题(1.1)的解, 从而有

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{x}-x\|&=&\|\bar{B}^M\bar{c}+\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}-B^Mc+\pi_{{\cal N}(B)}y\|\\& \leq & \|\bar{B}^M\bar{c}-B^Mc\|+\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}-\pi_{{\cal N}(\bar{B})}y\|+\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}-\pi_{{\cal N}(B)}\|\|y\|. \end{eqnarray*} $

(2) 由于$\bar{B}^M \in B(Z, X)$且$\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\|\leq 2$, 则有

$ \begin{eqnarray} \begin{array}{rl} &\|\bar{B}^M\bar{c}-B^Mc\| \leq \|\bar{B}^M\|\|\delta c\|+\|\bar{B}^M-B^M\|\|c\|, \\ &\|\pi_{{\cal N}(\bar{B})}\bar{y}-\pi_{{\cal N}(\bar{B})}y\| \leq 2\|\bar{y}-y\|. \end{array}\label{thm2Beq21} \end{eqnarray} $

(3.10)

由此结合(3.8), (3.10)和(3.5)式可以得到(3.9)式.

在文献[2]中, 借助于拟可加性概念和所谓的广义逆Neumman引理^[7], 我们获得了下面的结论.

引理3.4^{[2, 定理3.3]} 设$X, \ Y$是自反严格凸Banach空间, 设$A, \ \delta A \in B(X, Y)$且值域${\cal R}(A)$是闭的.令$\bar{A}=A+\delta A$.如果存在常数$\lambda_1, \lambda_2\in (-1, 1)$使得$\|\delta A x\|\leq\lambda_1\|Ax\|+\lambda_2\|\bar{A}x\|$, 则

(1) $A^M$存在且${\cal N}(\bar{A})={\cal N}(A)$.进一步地, 如果$A^M$在${\cal R}(A)$上拟可加, 则

(2) $\bar{A}^M$存在且

$ \begin{eqnarray}\label{sec2-aeq12} & &\frac{1-\lambda_2}{1+\lambda_1}\frac{1}{\|A\|} \leq\|\bar{A}^M\|\leq \frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|A^M\|, \nonumber\\ &&\|\bar{A}^M-A^M\|\leq \|A^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar A)}-\pi_{\mathcal{R}(A)}\|+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|A^M\|^2\|\delta A\|. \end{eqnarray} $

(3.11)

需要指出的是, 这里的(3.11)式并没有在文献[2, 定理3.3]给出.但是在我们的条件下可以得到这个结论.实际上, 由于${\cal N}(\bar{A})={\cal N}(A)$, 可得到$\bar{A}^M\bar{A}=A^MA$, 进一步地有

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{A}^M-A^M\|&= & \|\bar{A}^M\bar{A}\bar{A}^M-A^MAA^M\|\\&=& \|A^MA\bar{A}^M-A^MAA^M\| \\&=&\|A^M\bar{A}\bar{A}^M-A^MAA^M-A^M \delta A\bar{A}^M\|\\&\leq&\|A^M\bar{A}\bar{A}^M-A^MAA^M\|+\|A^M \delta A\bar{A}^M\|\\&\leq &\|A^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar A)}-\pi_{\mathcal{R}(A)}\|+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|A^M\|^2\|\delta A\|. \end{eqnarray*} $

现在利用上面的定理3.1, 引理3.4和引理3.2, 可以得到本文第二个主要结论.

定理3.2 设$A, \delta A \in B(X, Y)$, 设$B, \ \delta B \in B(X, Y)$且${\cal R}(B)$闭的.设$B^M$在$\mathcal{R}(B)$上拟可加.令$C=A\pi_{\mathcal{N}(B)}$.设存在常数$\lambda_1, \lambda_2\in (-1, 1)$使得$\|\delta B x\|\leq\lambda_1\|Bx\|+\lambda_2\|\bar{B}x\|$.如果$\bar{B}^M \in B(Y, X)$, $\|C^M\|\|\delta C\|<1$且$C^M$在$\mathcal{R}(\delta C)$和${\cal R}(C)$上拟可加, 则对问题(3.3)的解$\bar{x}$, 都存在问题(1.1)解$x$满足

$ \begin{eqnarray} \|\bar{x}-x\|&\leq & \frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|\delta c\|+\|B^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar B)}-\pi_{\mathcal{R}(B)}\|\|c\|\\ &&+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|^2\|\delta B\|\|c\|+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\|Ax-b\|\\ &&+\frac{2\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}(\|b\|+\|A\|\|B^M\|\|c\|+\|\delta d\|+\|\delta A\|\|y\|). \label{thm1Beq123} \end{eqnarray} $

(3.12)

证 由$\bar{C}=\bar{A}\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}$和$C=A\pi_{\mathcal{N}(B)}$, 同时注意到$\pi_{{\cal N}(\bar{B})}=\pi_{{\cal N}(B)}$, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|\delta C\|&=&\|\bar{C}-C\|=\|\bar{A}\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}-A\pi_{\mathcal{N}(B)}\|\\& \leq&\|\bar{A}\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}-A\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}\|+\|A\pi_{\mathcal{N}(\bar{B})}-A\pi_{\mathcal{N}(B)}\|\\&\leq & 2\|\delta A\|. \end{eqnarray*} $

现在利用(3.9)式, 注意到$Cy-d=Ax-b$和$\pi_{{\cal N}(\bar{B})}=\pi_{{\cal N}(B)}$, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{x}-x\|&\leq& \|\bar{B}^M\|\|\delta c\|+\|\bar{B}^M-B^M\|\|c\|\\ &&+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\left[\|Ax-b\|+2(\|d\|+\|\delta d\|+\|\delta C\|\|y\|)\right]\\& \leq& \frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|\delta c\|+\|B^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar B)}-\pi_{\mathcal{R}(B)}\|\|c\|\\ &&+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|^2\|\delta B\|\|c\|+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\|Ax-b\|\\ &&+\frac{2\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}(\|b\|+\|A\|\|B^M\|\|c\|+\|\delta d\|+\|\delta A\|\|y\|). \end{eqnarray*} $

由此可得(3.12)式.

注3.2 注意到$\bar{d}=\bar{b}-\bar{A}\bar{B}^M\bar{c}$和$d=b-AB^Mc$, 则由引理3.4, 我们也可以给出$\|\delta d\|$的一个估计.实际上

$ \begin{eqnarray*} \|\delta d\|&=&\|\bar{d}-d\|=\|\bar{b}-\bar{A}\bar{B}^M\bar{c}-b-AB^Mc\|\\& \leq & \|\bar{b}-b\|+\|\bar{A}\bar{B}^M\bar{c}-A\bar{B}^M\bar{c}\|+\|A\bar{B}^M\bar{c}-AB^Mc\|\\& \leq &\|\delta b\|+\|\delta A\|\|\bar{B}^M\|\|\bar{c}\|+\|A\|\|\bar{B}^M\|\|\delta c\|+\|A\|\|\bar{B}^M-B^M\|\|c\|\\ & \leq &\|\delta b\|+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|\delta A\|(\|c\|+\|\delta c\|)+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|A\|\|\delta c\|\\ &&+\|A\|\|B^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar B)}-\pi_{\mathcal{R}(B)}\|\|c\|+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|A\|\|B^M\|^2\|\delta B\|\|c\|. \end{eqnarray*} $

作为定理3.2的直接推论, 我们可获得下面几个重要结论.

推论3.1 在定理3.2的假设下, 如果进一步的有$A =I$, 也即问题(1.1)转化为点投影到线性流形问题, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{x}-x\|&\leq & \frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|\delta c\|+\|B^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar B)}-\pi_{\mathcal{R}(B)}\|\|c\|\\ &&+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|^2\|\delta B\|\|c\|+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\|x-b\|\\ &&+\frac{2\|C^M\|} {1-\|C^M\delta C\|}(\|b\|+\|B^M\|\|c\|+\|\delta d\|+\|\delta A\|\|y\|). \end{eqnarray*} $

推论3.2 在定理3.2的假设下, 如果进一步的有$b= 0$, $A =I$, 也即问题(1.1)转化为最佳逼近解问题, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|\bar{x}-x\|&\leq & \frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|\|\delta c\|+\|B^M\|\|\pi_{\mathcal{R}(\bar B)}-\pi_{\mathcal{R}(B)}\|\|c\|\\ &&+\frac{1+\lambda_2}{1-\lambda_1}\|B^M\|^2\|\delta B\|\|c\|+\frac{\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}\|x\|\\ &&+\frac{2\|C^M\|}{1-\|C^M\delta C\|}(\|B^M\|\|c\|+\|\delta d\|+\|\delta A\|\|y\|). \end{eqnarray*} $

推论3.3 在定理3.2的假设下, 如果进一步的有$B= 0$, 也即问题(1.1)转化为一般的极值问题, 则有

$ \begin{eqnarray}\label{cor3Beq1} \|\bar{x}-x\|\leq \frac{\|A^M\|}{1-\|A^M\delta A\|}[\|Ax-b\|+2(\|b\|+\|\delta b\|+\|\delta A\|\|y\|)]. \end{eqnarray} $

(3.13)

证 注意此时有$C=A$, $d=b$, $\bar{d}=\bar{b}$且$y=x$.从而由(3.12)式可得(3.13)式.

借助于问题(1.1)和问题(3.1)的一个等价转化, 同时利用文献[2]中有关代数度量广义逆的扰动估计, 我们在自反严格凸Banach空间中, 获得了约束极值解问题及其扰动问题的误差估计.从而, 本文的结论推广了有限维矩阵以及无限维Hilbert空间算子方面的结论.这里值得指出的是, 在建立本文的主要结论时, 我们没有要求扰动算子保值域, 从而使得获得的结论更具有一般性, 也会使得本文的结论在研究某些具体的不适定算子方程解的稳定性方面会更加实用.受文献[24]中相关结论的启发, 我们期望在后续的研究中可以考虑本文主要结论的相关应用.