众所周知, 对$C^1$向量场而言, 在一个常点处, 由向量场生成的流可以局部平直化, 这就是我们经常所称的流盒定理.流盒定理在$C^1$向量场的定性研究有着非常重要的作用(关于流盒的一种常见定义方式及其应用可见文献[5]).近期Calcaterra-Boldt将流盒的概念推广到Banach空间上的Lipschitz向量场^[2].本文中我们将对Lipschitz向量场的流盒进行更细致的研究, 讨论它的某些一致性.

令$E$为一Banach空间, 以$\|\cdot\|$为范数, $X$是$E$上的一个以$L$为Lipschitz常数的李氏向量场, 即

$ \begin{equation}\|X(x)-X(y)\|\leq L\|x-y\|\end{equation} $

(1.1)

对任意的$x, y\in E$成立.则由微分方程解的存在唯一性定理(又称为Picard-Lindelöf定理)^[1], 自治微分方程

$ \begin{equation}\dot{x}=X(x)\end{equation} $

(1.2)

确定了$E$上的一个流$\varphi_t$, 其中$x(t)=\varphi_t(x)$是方程(1.2)以$x(0)=x_{0}$为初始条件的解.

对$x\in E$, 若$X(x)=0$, 则称$x$为$X$的一个奇点, 否则称$x$为$X$的一个常点.如通常，记${\rm Sing}(X)$为$X$的所有奇点构成的集合.在文献[2]中, Calcaterra-Boldt证明了对$X$的任意常点$x$处, $X$生成的流$\varphi_t=\varphi^X_t$与一个常向量场$Y(x)\equiv a$ ($a\in E, a\neq 0$)生成的流$\varphi^Y_t$是局部拓扑共轭的, 即存在$x$的一个邻域$U$, 以及一个同胚$h:U\to E$使得$h\circ \varphi^X_t=\varphi^Y_t\circ h$成立.

显而易见, 上述流盒中的$U$的大小是与$x$的位置有关的, 当$x$越靠近一个奇点时, $U$只能取得越小, 这也使得人们使用流盒这一工具研究含有奇点的向量场的动力学性质有一定的局限.但是, 在廖山涛研究流形$C^1$向量场时, 发现在奇点附近的常点处, 流的动力学性质仍然具有某些一致性^[6].进一步地, 在廖山涛的典范方程组理论的基础上, 甘少波与杨大伟使用庞加莱截面映射(sectional Poincarémap)刻画了这一一致性, 指出$C^1$向量场庞加莱截面映射的定义域大小仍然有某种一致性, 进而使用这一性质研究了三维流的Palis弱猜测^[4].基于他们的思想, 本文将讨论Lipschitz向量场的流盒的某些一致性.

在$X$的任意常点$x$处, 由Hahn-Banach定理，可取出一个有界线性函数$n_x :E\to{\Bbb R}$, 满足条件

(1) $n_x(X(x))=\|X(x)\|$,

(2) $\|n_x\|\leq 1$.

从取出的这一族$\{n_x:x\in X, x\neq0\}$出发, 可在$X$的任一常点处定义向量场的法空间为

$ \begin{equation} N_x=\{v\in E: n_x(v)=0\}.\end{equation} $

(1.3)

进而, 在$X$的任一常点$x$处, 记

$ \begin{equation}U_{x}(r\|X(x)\|)=\{tX(x)+v:|t|\leq r, v\in N_{x}, \|v\|\leq r\|X(x)\|\}. \end{equation} $

(1.4)

这是一个大小为$r\|X(x)\|$的盒型区域, 我们将其中的$r$称为该盒型区域的相对(流速)的尺寸.当$r$充分小时, 我们可以定义映射

$ F_x:U_{x}(r\|X(x)\|)\rightarrow E, $

其中

$ \begin{equation} F_{x}(tX(x)+v)=\varphi_{t}(x+v). \end{equation} $

(1.5)

易见$F_x$建立了$U_{x}(r\|X(x)\|)$中常向量场$Y(v)\equiv X(x)$生成的流与$X$生成的流$\varphi_t$之间的一个共轭关系.即$F_x$将常向量场$Y(v)\equiv X(x)$的轨道映射到向量场$X$的轨道.

按惯例, 对一Lipschitz映射$F$来说, 我们记${\rm{Lip}}(F)$为其Lipschitz常数的下确界.在本文中, 将证明如下定理.

定理1.1 对于任意的$\varepsilon>0$, 存在$r=r(L, \varepsilon)>0, $使得对于任意以$L$为Lipschitz常数的李氏向量场$X$, 以及$X$的常点$x$, 有

$ \begin{equation} {\rm Lip}(F_{x}|_{U_x(r\|X(x)\|)}-id)<\varepsilon. \end{equation} $

(1.6)

进一步, 由Lipschitz逆映射定理, 可得如下结论.

定理1.2 设$X$是一以$L$为Lipschitz常数的李氏向量场.则存在$r_0=r_0(L)>0$, 使得在$X$的任意常点$x$处, $F_x: U_{x}(r_0\|X(x)\|)\rightarrow E$是一个李氏嵌入, 且满足${\rm{Lip}}(F_x)<2$及${\rm{Lip}}(F_x^{-1})<2$.

此时我们将$F_x$的像$F_x(U_x(r_0\| X(x)\|))$称为向量场$X$在常点$x$处以$r_0$为相对尺寸的流盒.上述定理告诉我们, 虽然$X$的所有常点构成的集合$E\setminus{\rm Sing}(X)$不是一个紧集, 但我们仍然可以使得流盒的相对尺寸具有一致的大小, 且相应的共轭映射$F_x$是具有一致的Lipschitz常数的李氏同胚.

根据微分方程解对初值的连续依赖性知, 当$x$与$y$的距离小, 且时间$t$充分小时, $\varphi_t(y)$与$x$的距离就会小.但在本文中, 我们需要进行一些非常细致的一致性的讨论, 其中第一个地方体现在在这里(见引理2.2).首先我们有如下的简单引理.

引理2.1 对任意$x\in E\setminus {\rm Sing}(X), $若$\|y-x\|\leq\frac{1}{2L}\|X(x)\|$, 则$\frac{1}{2}\|X(x)\|\leq\|X(y)\|\leq\frac{3}{2}\|X(x)\|$.

证 由于$\|X(y)-X(x)\|\leq L\|y-x\|$.若$\|y-x\|\leq\frac{1}{2L}\|X(x)\|$, 则有

$ \mid\|X(y)\|-\|X(x)\|\mid\leq\|X(y)-X(x)\|\leq\frac{1}{2}\|X(x)\|, $

所以$\frac{1}{2}\|X(x)\|\leq\|X(y)\|\leq\frac{3}{2}\|X(x)\|$.引理2.1得证.

进一步的, 我们可如下刻画解对初值的连续依赖性.

引理2.2 对任意取定$0<\varepsilon<1$, 若$\|y-x\|\leq \frac{\varepsilon}{4L}\|X(x)\|$, $|t|\leq\frac{\varepsilon}{6L}$, 则$\|\varphi_t(y)-x\|\leq\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$.

证 反证, 假设结论不成立.即存在$\|y-x\|\leq\frac{\varepsilon}{4L}\|X(x)\|$和$|t_0|\leq \frac{\varepsilon}{6L}$使得$\|\varphi_{t_0}(y)-x\|>\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$.不失一般性, 我们设$t_0>0$.那么我们可以找到$0<t_1<t_0$使得对任意$0<t<t_1, $ $\|\varphi_t(y)-x\|<\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$并且当$t=t_1$时, 有$\|\varphi_t(y)-x\|=\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$.由引理2.1我们可知对于任意的$0\leq t\leq t_1$有$\|X(\varphi_t(y))\|\leq \frac{3}{2}\|X(x)\|.$因此可得

$ \begin{eqnarray*} \|\varphi_{t_1}(y)-y\|&=& \Big\|\int_{0}^{t_1}X(\varphi_t(y)){\rm d}t\Big\| \leq\int_{0}^{t_1}\|X(\varphi_t(y))\|{\rm d}t \leq\int_{0}^{t_1}\frac{3}{2}\|X(x)\|{\rm d}t\\ &=&\frac{3}{2}\|X(x)\|t_1<\frac{3}{2}\|X(x)\|\frac{\varepsilon}{6L}=\frac{\varepsilon}{4L}\|X(x)\|. \end{eqnarray*} $

所以$\|\varphi_{t_1}(y)-x\|\leq\|\varphi_{t_1}(y)-y\|+\|y-x\|<\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$, 这与$\|\varphi_{t_1}(y)-x\|=\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|$矛盾.引理2.2得证.

接下来我们还要讨论映射$\varphi_t-$id的Lipschitz性质, 为此我们先准备如下的Gronwall不等式^[3].

引理2.3 (积分形式的Gronwall不等式) 令$x, \Psi$和$\chi$为定义在$[a, b]$上的实值连续函数, 当$t\in[a, b]$时, $\chi(t)\geq0.$若在$[a, b]$上有如下不对等式成立

$ \begin{equation} x(t)\leq\Psi(t)+\int_{a}^{t}\chi(s)x(s){\rm d}s, \end{equation} $

(2.1)

则

$ \begin{equation} x(t)\leq\Psi(t)+\int_{a}^{t}\chi(s)\Psi(s)\exp\Big[\int_{s}^{t}\chi(u){\rm d}u\Big]{\rm d}s \end{equation} $

(2.2)

在$t\in[a, b]$时成立.

我们将证明$\varphi_t-{\rm id}:E\to E$是一个以${\rm e}^{L|t|}-1$为Lipschitz常数的李氏映射.任取$y_1, y_2\in E$, 记

$ u(y_1, y_2;t)=\|\varphi_t(y_1)-\varphi_t(y_2)-y_1+y_2\|. $

引理2.4 任取$t\in{\Bbb R}$, $u(y_1, y_2;t)\leq({\rm e}^{L|t|}-1)\|y_1-y_2\|.$

证 不妨设$t>0$.取定$y_1, y_2\in E$.为简便计, 记$u(t)=u(y_1, y_2;t)$.则

$ \begin{eqnarray*} u(t)&=&\|\varphi_t(y_1)-\varphi_t(y_2)-y_1+y_2\|= \Big\|\int_{0}^{t}X(\varphi_{s}(y_1))-X(\varphi_{s}(y_2)){\rm d}s\Big\| \\ &\leq&\int_{0}^{t}\|X(\varphi_{s}(y_1))-X(\varphi_{s}(y_2))\|{\rm d}s\leq\int_{0}^{t}L\|\varphi_{s}(y_1)-\varphi_{s}(y_2)\|{\rm d}s \\ &\leq&\int_{0}^{t}L(u(s)+\|y_1-y_2\|){\rm d}s=L\|y_1-y_2\|t+\int_{0}^{t}Lu(s){\rm d}s. \end{eqnarray*} $

记$c=\|y_1-y_2\|$, 则由引理2.3, 可得

$ \begin{eqnarray*} u(t)&\leq& Lc\cdot t+\int_{0}^{t}L^{2}c\cdot s\cdot {\rm e}^{L(t-s)}{\rm d}s=Lc\cdot t+L^{2}c\cdot {\rm e}^{Lt}\int_{0}^{t}s\cdot {\rm e}^{-Ls}{\rm d}s \\ &=&({\rm e}^{Lt}-1)\cdot c=({\rm e}^{Lt}-1)\|y_1-y_2\|. \end{eqnarray*} $

引理2.4得证.

下面我们证明定理1.1.

定理1.1的证明 取定$\varepsilon>0$, 不妨设$\varepsilon<1$.下设$r$待定.对于$y_1, y_2\in U_{x}(r\|X(x)\|), $可唯一确定$v_1, v_2\in N_x$, $t_1, t_2\in {\Bbb R}$使得$y_1=v_1+t_{1}X(x), y_2=v_2+t_{2}X(x).$则

$ \begin{eqnarray*} &&\|F_{x}(y_1)-y_1-F_{x}(y_2)+y_2\| \\ &=&\|\varphi_{t_1}(x+v_1)-v_1-t_{1}X(x)-\varphi_{t_2}(x+v_2)+v_2+t_{2}X(x)\| \\ &=&\|\varphi_{t_1}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_1)+\varphi_{t_2}(x+v_1)-v_1+v_2-\varphi_{t_2}(x+v_2)+(t_2-t_1)X(x)\| \\ &=&\Big\|\int_{t_2}^{t_1}\frac{\partial\varphi_{t}(x+v_1)}{\partial t}{\rm d}t+\varphi_{t_2}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_2)-v_1+v_2+(t_2-t_1)X(x)\Big\| \\ &\leq&\|-(t_2-t_1)(X(\varphi_{\eta}(x+v_1))-X(x))+\varphi_{t_2}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_2)-v_1+v_2\| \\ &\leq&|t_2-t_1|\|X(\varphi_{\eta}(x+v_1))-X(x)\|+\|\varphi_{t_2}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_2)-v_1+v_2\|, \end{eqnarray*} $

其中第四个不等式中我们使用了广义积分中值定理, 其中$\eta$位于$t_1, t_2$之间.

下面我们分别估计上式的两个部分.首先讨论第一个部分$|t_2-t_1|\|X(\varphi_{\eta}(x+v_1))-X(x)\|$.因为$t_1, t_2\in[-r, r]$, 因此$\eta\in[-r, r]$, 若我们选取的$r\leq \frac{\varepsilon}{6L}$, 则$|\eta|\leq r\leq \frac{\varepsilon}{6L}$, $\|v_1\|\leq r\|X(x)\|\leq \frac{\varepsilon}{6L}\|X(x)\|<\frac{\varepsilon}{4L}\|X(x)\|$, 则由引理2.2, 有

$ \|\varphi_\eta(x+v_1)-x\|<\frac{\varepsilon}{2L}\|X(x)\|. $

进一步可得

$ \begin{equation} |t_2-t_1|\|X(\varphi_{\eta}(x+v_1))-X(x)\|\leq L|t_2-t_1|\|\varphi_{\eta}(x+v_1)-x\|<\frac{\varepsilon}{2}|t_2-t_1|\|X(x)\|. \end{equation} $

(2.3)

下面估计第二个式子$\|\varphi_{t_2}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_2)-v_1+v_2\|$.如果选取$r\leq\frac{\varepsilon}{6L}$, 则因为$|t_2|\leq r$, 由引理2.4可得

$ \begin{eqnarray} &&\|\varphi_{t_2}(x+v_1)-\varphi_{t_2}(x+v_2)-v_1+v_2\|\\ &\leq&({\rm e}^{L|t_2|}-1)\|v_1-v_2\| \leq ({\rm e}^{Lr}-1)\|v_1-v_2\|\leq ({\rm e}^{\varepsilon/6}-1)\|v_1-v_2\|<\frac{\varepsilon}{4}\|v_1-v_2\|. \end{eqnarray} $

(2.4)

由$v_1, v_2, t_1, t_2$的选取可知

$ t_1=\frac{n_x(y_1)}{\|X(x)\|}, \;\;\;\;t_2=\frac{n_x(y_2)}{\|X(x)\|}. $

因此

$ |t_2-t_1|=\frac{|n_x(y_1)-n_x(y_2)|}{\|X(x)\|}\leq\frac{\|y_1-y_2\|}{\|X(x)\|}. $

而$v_1=y_1-n_x(y_1), v_2=y_2-n_x(y_2)$, 所以

$ \|v_1-v_2\|=\|(y_1-n_x(y_1))-(y_2-n_x(y_2))\|\leq 2\|y_1-y_2\|. $

综合以上讨论可知, 当我们选取$r\leq \frac{\varepsilon}{6L}$时, 有

$ \begin{equation} \|F_{x}(y_1)-y_1-F_{x}(y_2)+y_2\|\leq \frac{\varepsilon}{2}|t_2-t_1|\|X(x)\|+\frac{\varepsilon}{4}\|v_1-v_2\|<\varepsilon\|y_1-y_2\|. \end{equation} $

(2.5)

特别地, 取$r=r(L, \varepsilon)=\frac{\varepsilon}{6L}$, 则当$F_x$限制在$U_x(r\|X(x)\|)$上时, 有${\rm{Lip}} (F_x-{\rm id})<\varepsilon$.定理1.1得证.

下面我们证明定理1.2.由定理1.1, 取$\varepsilon=1/2$.则存在$r_0=r_0(L)=\frac{1}{12L}$, 使得

$ {\rm{Lip}}(F_x|_{U_x(r_0\|X(x)\|)}-{\rm id})<\frac{1}{2}. $

那么可将$F_{x}$记为$F_x={\rm id}+\phi, $

$ \begin{equation} \phi:U_{x}(r_{0}\|X(x)\|)\rightarrow E \end{equation} $

(2.6)

是Lipschitz映射, 并且${\rm{Lip}}(\phi)<1/2.$定理1.2实际上是Lipschitz逆映射定理的一个简单应用, 但一般的Lipschitz逆映射定理是陈述在整个Banach空间中的^[7], 这里考虑的只是一个局部的事情, 因此我们给出定理1.2证明.

定理1.2的证明 我们首先证明$F_x: U_x(r_0\|X(x)\|)\to F_x(U_x(r_0\|X(x)\|))$是一个一一对应, 即证明对任意的$z\in F_x(U_x(r_0\|X(x)\|)), $有且仅有一个$y\in U_{x}(r_0\|X(x)\|)$, 使得$F_{x}(y)=z$成立.我们只需证明$F_x: U_x(r_0\|X(x)\|)\to F_x(U_x(r_0\|X(x)\|))$是单射, 即只需证明对任意$z\in F_x(U_x(r_0\|X(x)\|)), $ $F_{x}(y)=y+\phi(y)=z$至多有一个解, 亦或是$y=z-\phi(y)$至多只有一个解.

固定$z\in F_x(U_x(r_0\|X(x)\|))$, 定义

$ \begin{equation} T=T_{z}:U_{x}(r_{0}\|X(x)\|)\rightarrow E \end{equation} $

(2.7)

为

$ \begin{equation} T(y)=z-\phi(y). \end{equation} $

(2.8)

只需要证明映射$T$至多有一个不动点.因此只要验证$T$是一个从$U_x(r_0\|X(x)\|)$到$U_x(r_0\|X(x)\|)$的压缩映射即可.而$T$显然是一个压缩映射, 因为

$ \begin{equation} \|T(y)-T(y')\|\leq {\rm{Lip}}(\phi)\|y-y'\|<\frac{1}{2}\|y-y'\|. \end{equation} $

(2.9)

由于${\rm{Lip}} (\phi)<1/2$, 显然有${\rm{Lip}}(F_x)={\rm{Lip}}({\rm id}+\phi)<1+1/2<2$.接下来我们来验证$F_x^{-1}$以$2$为Lipschitz常数.对任意的$y_1, y_2\in U_{x}(r_{0}\|X(x)\|), $有

$ \|F_x(y_1)-F_x(y_2)\|\geq\|y_1-y_2\|-\|\phi(y_1)-\phi(y_2)\| \geq(1-{\rm{Lip}}(\phi))\|y_1-y_2\|>\frac{1}{2}\|y_1-y_2\|. $

由上述不等式易见${\rm{Lip}}(F_x^{-1})<2.$定理1.2得证.