考虑一类带阻尼项的奇性Duffing方程

$ \begin{equation}{\label{eq1.1}} x''(t)+Cx'(t)+g(x(t))=e(t), \end{equation} $

(1.1)

其中$C$是常数, $g\in C((0, +\infty), {\Bbb R})$是连续函数并且在原点$x=0$有奇性, $e(t)\in C({\Bbb R}, {\Bbb R})$是一个$T$ -周期函数并且$\int^T_0e(t){\rm d}t=0$.

众所周知, 奇性Duffing方程应用于众多领域, 例如物理、机械和工程技术领域, Brillouin电子束聚焦系统的研究^[1-2].近些年来, 关于奇性Duffing方程周期解的研究已有很多的结论, 见文献[3-8].然而, 这些结论主要是集中在不带阻尼的Duffing方程的研究, 带阻尼的奇性Duffing方程的研究相对却很少.而这主要的困难在于传统研究Duffing方程的主要方法是Poincaré-Birkhoff扭转定理, 而该扭转定理要求是保面积的(即保守系统), 而带阻尼的Duffing方程是耗散系统, 原有的方法已不再适用, 因此需要找到一个新的方法来克服这个问题.

在这篇文章中, 利用Manasevich-Mawhin连续定理, 证明了方程(1.1)正周期解的存在性.这篇文章的结论是新的并且改进了先前的结论.

对于$T$ -周期的边值问题

$ \begin{equation}{\label{eq2.1}} x''(t)=\tilde{f}(t, x, x'), \end{equation} $

(2.1)

其中$\tilde{f}:[0, T]\times{\Bbb R}\times{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}$被认为是Carathéodory函数.

引理2.1 (Manasevich-Mawhin^[9])  令$\Omega$是在$C^1_T:=\{x\in C^1({\Bbb R}, {\Bbb R}): x \mbox{是}T -周期的\} $上的有界开集.满足下列条件:

(ⅰ)  对每一个$\lambda\in(0, 1)$, 方程组

$ x''=\lambda \tilde{f}(t, x, x'), x(0)=x(T), x'(0)=x'(T) $

在$\partial\Omega$上没有解.

(ⅱ)  方程

$ F(a):=\frac{1}{T}\int^T_0\tilde{f}(t, x, x'){\rm d}t=0 $

在$\partial\Omega\cap{\Bbb R}$上没有解.

(ⅲ)  $F$的Brouwer度

$ \deg\{F, \partial\Omega\cap{\Bbb R}, 0\}\neq0. $

则周期边值方程(2.1)在$\bar{\Omega}$上至少有一个周期解.

接下来, 给出我们的主要结论:

定理2.1  假设下列条件成立:

$(H_1)$  存在正常数$D_1, D_2$使得$g(x) <0$对所有的$x\in(0, D_1)$, 并且$g(x)>0$对所有的$x\in(D_2, +\infty)$;

$(H_2)$  (强奇性条件在$x=0$)

$ \int^1_0g(x){\rm d}x=-\infty. $

则(1.1)至少有一个$T$ -周期解.

证  考虑(1.1)的同伦方程

$ \begin{equation}{\label{eq2.3}} x''(t)+\lambda Cx'(t)+\lambda g(x(t))=\lambda e(t), \end{equation} $

(2.2)

首先, 我们断言方程(2.2)的所有可能的解都是有界的.令$x(t)\in C^1_T$是方程(2.2)的任意一个$T$周期解.

对方程(2.2)左右两边进行$[0, T]$积分, 我们得到

$ \begin{equation}{\label{eq2.4}} \int^T_0g(x(t)){\rm d}t=0. \end{equation} $

(2.3)

利用积分中值定理, 我们知道存在一个常数$\xi\in(0, T)$使得

$ g(x(\xi))=0. $

由条件$(H_1)$, 我们知道存在两个常数$D_1, D_2$使得

$ \begin{equation}{\label{eq2.5}} D_1\leq x(\xi)\leq D_2. \end{equation} $

(2.4)

则, 我们有

$ |x(t)|=\left|x(\xi)+\int^t_\xi x'(s){\rm d}s\right|\leq D_2+\int^t_\xi|x'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T], $

并且

$ |x(t)|=|x(t-T)|=\left|x(\xi)-\int_{t-T}^\xi x'(s){\rm d}s\right|\leq D_2 +\int_{t-T}^\xi |x'(s)|{\rm d}s, t\in[\xi, \xi+T]. $

结合上面两个不等式, 我们得到

$ \begin{eqnarray}{\label{eq2.6}} \|x\|&:=&\max\limits_{t\in[0, T]}|x(t)|=\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}|x(t)| \\ &\leq&\max\limits_{t\in[\xi, \xi+T]}\left\{D_2+\frac{1}{2}\left(\int^t_\xi|x'(s)|{\rm d}s+\int^\xi_{t-T}|x'(s)|{\rm d}s\right)\right\} \\ &\leq &D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|x'(s)|{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(2.5)

因为$x'(t)$是$T$ -周期的, (2.2)式左右两边同乘以$x'(t)$并进行$0$到$T$的积分, 我们有

$ \begin{eqnarray}{\label{eq2.7}} 0&=&\int^T_0x''(t)x'(t){\rm d}t \\ &=&-\lambda\int^T_0C|x'(t)|^2{\rm d}t-\lambda\int^T_0g(x(t))x'(t){\rm d}t+\lambda\int^T_0e(t)x'(t){\rm d}t. \end{eqnarray} $

(2.6)

代$\int^T_0g(x(t))x'(t){\rm d}t=0$到(2.6)式, 我们有

$ |C|\int^T_0|x'(t)|^2{\rm d}t=\left|\int^T_0C|x'(t)|^2{\rm d}t\right|=\left|\int^T_0e(t)x'(t){\rm d}t\right|\leq\int^T_0|e(t)||x'(t)|{\rm d}t. $

由Hölder's不等式, 我们有

$ \begin{equation}{\label{eq2.8}} |C|\int^T_0|x'(t)|^2{\rm d}t\leq \|e\|\int^T_0|x'(t)|{\rm d}t \leq\|e\|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|x'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}, \end{equation} $

(2.7)

其中$\|e\|:=\max\limits_{t\in{\Bbb R}}|e(t)|.$因此它是很容易看到存在一个常数$M_1'>0$ (不依赖于$\lambda$)使得

$ \int^{T}_{0}|x'(t)|^{2}{\rm d}t\leq M_1'. $

通过Hölder's不等式和(2.5)式, 我们有

$ x(t)\leq D_2+\frac{1}{2}\int^T_0|x'(s)|{\rm d}s\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}\left(\int^{T}_{0}|x'(t)|^{2}{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}}\leq D_2+\frac{1}{2}T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}:=M_1. $

另一方面, 由(2.3)式, 我们有

$ \begin{eqnarray}{\label{eq2.8a}} \int^T_0|g(x(t))|{\rm d}t&=&\int_{g(x(t))\geq0}g(x(t)){\rm d}t-\int_{g(x(t))\leq0}g(x(t)){\rm d}t \\ & =&2\int_{g(x(t))\geq0}g(x(t)){\rm d}t \\ & \leq&2\int^T_0g^+(x(t)){\rm d}t, \end{eqnarray} $

(2.8)

这里$g^+(x):=\max\{g(x), 0\}$.因为$g^+(x(t))\geq 0$, 由$(H_1)$, 可知$x(t)\geq D_2$, 从而有

$ \begin{equation}{\label{eq2.8b}} \int^T_0|g(x(t))|{\rm d}t\leq 2\int^T_0g^+(x(t)){\rm d}t \leq 2T\|g^+_{M_1}\|, \end{equation} $

(2.9)

这里$\|g^+_{M_1}\|:=\max\limits_{D_2\leq x\leq M_1}g^+(x).$

因为$x(0)=x(T)$, 则存在一点$t_1\in(0, T)$使得$x'(t_1)=0$, 由(2.5)和(2.9)式, 可得

$ \begin{eqnarray}{\label{eq2.9}} \|x'\|&\leq&\frac{1}{2}\int^T_0|x''(t)|{\rm d}t \\ &\leq&\lambda\left(\int^T_0|C||x'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(x(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right) \\ &\leq&\lambda\left(|C|T^{\frac{1}{2}}\left(\int^T_0|x'(t)|^2{\rm d}t\right)^{\frac{1}{2}} +\int^T_0|g(x(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right) \\ &\leq&\lambda\left(|C|T^{\frac{1}{2}}(M_1')^{\frac{1}{2}}+2T\|g^+_{M_1}\|+T\|e\|_2\right):=\lambda M_2. \end{eqnarray} $

(2.10)

方程(2.2)左右两边同乘以$x'(t)$并且对其进行$[\xi, t]$积分, 这里$\xi\in[0, T]$, 则有

$ \begin{eqnarray}{\label{eq2.10}} \lambda\int^{x(t)}_{x(\xi)}g(x){\rm d}x&=&\lambda\int^t_{\xi}g(x(s))x'(s){\rm d}s \\ & =&-\int^t_{\xi}x''(s)x'(s){\rm d}s-\lambda\int^t_{\xi}Cx'(s)x'(s){\rm d}s +\lambda\int^t_{\xi}e(s)x'(s){\rm d}s. \end{eqnarray} $

(2.11)

通过方程$(2.10)$, 可得

$ \begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}x''(s)x'(s){\rm d}s\right|&\leq&\int^t_{\xi}|x''(s)||x'(s)|{\rm d}s\\ & \leq&\|x'\|\int^T_0|x''|{\rm d}t\\ & \leq&\|x'\| \left(\int^T_0|C||x'(t)|{\rm d}t+\int^T_0|g(x(t))|{\rm d}t+\int^T_0|e(t)|{\rm d}t\right)\\ & \leq&2\lambda^2 M_2^2. \end{eqnarray*} $

此外, 由(2.10)式, 有

$ \begin{eqnarray*} \left|\int^t_{\xi}Cx'(s)x'(s){\rm d}s\right|\leq |C|M_2^2 , \left|\int^t_{\xi}e(s)x'(s)|{\rm d}t\right|\leq M_2\|e\|. \end{eqnarray*} $

由(2.11)式, 有

$ \begin{equation}{\label{eq2.18}} \left|\int^{u(t)}_{u(\xi)}g_0(u){\rm d}u\right|\leq M_2^2(1+|C|)+M_2\|e\|:=M_3'. \end{equation} $

(2.12)

由条件$(H_2)$, 可知存在一个常数$M_3>0$使得

$ \begin{equation}{\label{eq2.19}} x(t)\geq M_3, \forall t\in[\xi, T]. \end{equation} $

(2.13)

同理, 可以考虑$t\in[0, \xi]$.

设$E_1 <\min\{D_1, M_3\}$, $E_2>\max\{D_2, M_1\}$, $E_3>M_2$, 有

$ \Omega=\{x\in C^1_T({\Bbb R}, {\Bbb R}) | E_1 \leq x(t)\leq E_2, \|x'\|\leq E_3\}, $

可知对于$\lambda\in(0, 1)$, 方程(2.2)在$\partial\Omega$上没有解并且当$x(t)\in\partial\Omega\cap {\Bbb R}, x(t)=E_2$或$x(t)=E_1$.由(2.5)式有$E_2>D_2$; 因此, 由条件$(H_1)$, 可得

$ \frac{1}{T}\int^T_0g(E_2){\rm d}t>0, \mbox{并且} \frac{1}{T}\int^T_0g(E_1){\rm d}t <0, $

因为$\int^T_0e(t){\rm d}t=0.$因此条件(ⅱ)也是满足的.设

$ H(x, \mu)=\mu x+(1-\mu)\frac{1}{T}\int^T_0g(x){\rm d}t, $

其中$x\in\partial\Omega\cap {\Bbb R}, \mu\in[0, 1], $由$(H_1)$, 则有

$ xH(x, \mu)=\mu x^2+(1-\mu)x\frac{1}{T}\int^T_0g(x){\rm d}t\neq0. $

因此$H(x, \mu)$是一个同伦变换并且

$ \begin{eqnarray*} \deg\{F, \Omega\cap {\Bbb R}, 0\}&=&\deg\{\frac{1}{T}\int^T_0g(x){\rm d}t, \Omega\cap{\Bbb R}, 0\}\\ &=&\deg\{x, \Omega\cap {\Bbb R}, 0\}\neq0. \end{eqnarray*} $

从而条件(ⅲ)成立.由引理2.1, 方程(1.1)至少有一个正的$T$周期解.

通过下面的例子来阐明我们的定理.

例2.1  考虑下面带阻尼的奇性Duffing方程

$ \begin{equation}{\label{eq2.13}} x''(t)+Cx'(t)+x^2+x^3-\frac{1}{x^\mu}=\sin t, \end{equation} $

(2.14)

其中$C, \mu$是任意一个常数并且$\mu\geq1$.

对比方程(2.14)和(1.1), 可知$g(x)=x^2+x^3-\frac{1}{x^\mu}$, $ e(t)=\sin t, T=2\pi.$显然条件$(H_2)$是成立的, 取$D_1=1$和$D_2=2$使得条件$(H_1)$成立.因此, 通过定理2.1, 可得方程(2.14)至少有一个正$2\pi$ -周期解.