华罗庚教授曾指出^[1]: "体上的矩阵是一个值得注意的对象, 因为它是一个不太失去普遍性的抽象事物, 但同时又和成果丰富的具体域上的矩阵论距离不远."

对四元数体上有关性质研究的重要性, 可由Frobenois定理^[2-3]看出, 该定理说:实数域上可除结合代数只有三个, 它们分别为实数域、复数域和四元数体.

华罗庚教授曾对复数域上四种典型域的调和分析^[4]、调和函数论^[5]做了详尽与完备的研究.文献[6]对实数域上相应的典型域亦有所涉及与探讨.而文献[7-8]分别对典型群(酉群、正交群、辛酉群)、紧致李群与紧致齐性空间上的调和分析进行了深入的研究.

华罗庚教授还指出 $USp(2n)$ 实际上是四元数体上的酉群, 并可看作四元数体上的第一类典型域

$ \Re_I(Q)=\left\{Q=(q_{ij}):\ I^{(m)}-Q\mathit{\bar Q'}>0, \ Q=Q^{(m, n)}, \ \ q_{ij} \mbox{为四元数}\right\} $

(1.1)

的特征流形.除此之外, 另有两类四元数体上的典型域可以定义如下

$ \begin{eqnarray*} \Re_{II}(Q)&=&\big\{Q=(q_{ij}):\ I-Q\bar Q'>0, \ Q=Q^{(n)}=\bar Q', \nonumber\\ && q_{ij}\mbox{ 为四元数}, \det(I + Q) = \det(I-Q)\big\}, \end{eqnarray*} $

(1.2)

$ \Re_{III}(Q) = \big\{Q=(q_{ij}):\ I-Q\bar Q'>0, \ Q=Q^{(n)}=-\bar Q', \ q_{ij} \mbox{为四元数}\big\}. $

(1.3)

文献[9]中指出四元数体上的上述三类典型域分别是Cartan的不可约大范围Riemann对称空间分类表^[10]中 $Sp(m, n)/Sp(m)\times Sp(n)$ , $SU^*(2n)/ Sp(n)$ 和 $Sp(n, {{\Bbb C}})/ Sp(n)$ 的等价表示.

在多元复变函数论的研究中, ${{\Bbb C}}^n$ 内的对称典型域的Bergmann核、Cauchy核、Poisson核的计算具有根本的重要性^[11-14], 为了计算这些核函数以及相应矩阵空间的体积, 需要计算一些相应矩阵空间上的典型积分^{[4-5, 15]}, 这是本文的主要动机.

在本文中我们给出了四元数体 $Q$ 上的双曲矩阵空间中的一些典型积分.依据这些积分, 可以得到相应的四元数体上双曲矩阵空间的体积, 这对于相关核函数计算是有帮助的.

有关典型域中的一些思想与技巧在物理中也有广泛的用武之地.例如在上世纪70年代, 在文献[16]中就提出把Einstein狭义相对论推广到具有非零常曲率的de Sitter(dS)和Anti-de Sitter(AdS)时空的思想, 并对典型时空中的运动效应和宇观红移现象进行了探讨, 这方面工作受到了华罗庚先生的关注与支持.

90年代末, 有关超新星爆发和微波背景辐射的观测和分析^[17-19], 表明我们的宇宙正在加速膨胀, 宇宙学常数为正, 其渐近行为是常曲率的de Sitter时空.因此又促使人们考虑如何对相对论进行推广的问题, 新世纪以来这方面工作较多, 如文献[20-28].

此外, 上世纪末以来在超弦理论中AdS/CFT对应(更普遍的, 规范/引力对偶)的研究^[29], 以及尔后有关dS/CFT对应的研究, 都涉及到渐近AdS, dS时空中引力及其边界上共形场论之间的关系. Witten在文献[30]中想在 $AdS_5\times S^5$ 的情况下给Maldacena猜想—AdS/CFT对应的一个"证明".这个证明实际上是用华罗庚教授的Poisson公式来证明零质量标量场的AdS/CFT.在文献[31]中首次注意到典型流形典型域中的Poisson核可以用来证明AdS/CFT对应, 并且不需要假定欧氏AdS空间.之后文献[32-33]又用此法分别讨论了有质量标量场与Dirac场.因此可以认为典型流形与典型域在数学物理中是大有可为的, 这是因为AdS是典型时空的一种, 而CFT是在共形空间上研究的, 共形空间就是华罗庚教授称之为李球的扩充空间的一个子流形, 也是典型流形.

四元数代数 $\Bbb Q$ 是以 ${\bf{i}}$ , ${\bf{j}}$ , ${\bf{k}} $ 为生成元的unital ${\Bbb R}$ 代数, 满足

$ {\bf{i}}^2={\bf{j}}^2={\bf{k}}^2=-1, \ \ {\bf{i}} {\bf{j}}={\bf{k}} = -{\bf{j}} {\bf{i}}, \ \ {\bf{j}} {\bf{k}}={\bf{i}}=-{\bf{k}} {\bf{j}}, \ \ {\bf{k}} {\bf{i}}={\bf{j}}=-{\bf{i}} {\bf{k}}. $

四元数集合 $\Bbb Q$ 可以映射到以 $1, {\bf{i}}, {\bf{j}}$ 和 ${\bf{k}}$ 为单位基矢的四维实空间 ${\Bbb R}^4$ 中. $\Bbb Q$ 中的每一个元素都可以唯一地写成这些单位基矢的线性组合, 即:对 $q\in \Bbb Q$ 有 $q=\alpha+\beta{\bf{i}} + \gamma{\bf{j}}+\delta{\bf{k}} $ , 这里 $\alpha, \beta, \gamma, \delta\in {\Bbb R}$ .类似于复数, 我们也可以定义四元数的共轭, 即:对任意 $q\in\Bbb Q$ , 有 $\bar q=\alpha-\beta{\bf{i}} - \gamma{\bf{j}}-\delta{\bf{k}} $ , 并且满足 $\overline {q_1q_2}=\bar q_2\bar q_1$ , 从而可知 $q\bar q=\bar q q$ .

有了共轭的定义后, 就可以定义四元数 $q$ 的范数 $\nu (q)$ , 它定义为: $\nu (q)=q\bar q$ .显然, 范数 $\nu (q)$ 是一非负实数, 且当且仅当 $q=0$ 时有 $\nu (q)=0$ .由定义, 有

$ |q|=\sqrt {\nu (q)}=\sqrt{q\bar q}=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\delta^2}. $

值得一提的是任何一个四元数 $q $ 都可以写成 $q =c_1 +{\bf{j}}c_2$ 的形式, 这里 $c_1, c_2\in {\Bbb C}$ .若设 $M(n, F)$ 是域 $F$ 上的 $n\times n$ 矩阵的代数, 则存在如下映射 $g :{\Bbb Q} \rightarrow M(2, {\Bbb C})$ , 换言之

$ g (q)=\left (\begin{array}{cc} c_1 ~~& -\bar c_2 \\ c_2 ~~& \bar c_1 \end{array} \right ). $

显然, $g$ 是 ${\Bbb R}$ 代数的同态, 且满足如下关系: $\det (g (q))=\nu (q)$ .

设矩阵 $Q=(q_{ij})$ , $i, j=1, \cdots , n$ 是一个定义在四元数体上的矩阵, 我们可以定义与之对应的厄米特对偶矩阵为 $\bar Q^{\prime}=(p_{ij})$ , 这里 $p_{ij}=\bar q_{j, i}$ 对 $i, j$ 成立.类似于复数矩阵的情形, 当 $Q= Q^{\prime}$ 时称 $Q$ 为对称矩阵, 当 $Q=\bar Q^{\prime}$ 时则称 $Q$ 为厄米特矩阵, 以此类推.

设 $Q=(q_{ij})$ , $i=1, 2, \cdots, m$ , $j =1, 2, \cdots, n$ 是一个在四元数体上的 $m\times n$ 矩阵, 其各元素 $q_{ij}$ 的明显表达式是

$ q_{ij}=q^1_{ij}+{{\bf{i}}} q^2_{ij}+{{\bf{j}}} q^3_{ij}+{{\bf{k}}} q^4_{ij}, $

(3.1)

这里 $q^k_{ij}\in {\Bbb R}, (k=1, 2, 3, 4)$ .积分测度定义为

$ \dot{Q}=dQ=\prod\limits_{i=1}^{m}\prod\limits_{j=1}^{n}dq_{ij}. $

引理3.1  若 $f(Q)$ 表示 $Q$ 的任意函数, 则

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - Q{{\bar Q}^\prime } > 0} f(Q)\dot{Q}=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - Q{{\bar Q}^\prime } > 0} \left(\det(I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1})\right)^2\dot{Q}_{m, n-1}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - w{{\bar w}^\prime } > 0}f(Q)\dot{w}, $

(3.2)

其中 $\det$ 表示方阵的行列式, 而 $\dot{w}=\prod\limits_{i=1}^{m}dw_{i}$ 对应着最后一列的测度.

证  把 $Q$ 分解成如下形式

$ Q=(Q_{m, n-1}, q), $

其中 $q$ 是 $Q$ 的最后一列, $Q_{{m, n-1}}$ 是由余下元素组成的矩阵, 则有

$ I-Q\bar{Q}^{\prime}=I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1}-q\bar{q}^{{\prime}}. $

(3.3)

由 $I-Q\bar{Q}^{\prime}>0$ 和 $q\bar{q}^{\prime}>0$ 知 $I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1}>0$ .从而, 存在一个非奇异方阵 $\Gamma$ 使得

$ I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1}=\Gamma\bar{\Gamma}^{{\prime}}. $

(3.4)

做变换 $q=\Gamma w$ , 有

$ \dot{q}=(\det\Gamma\bar{\Gamma}^{\prime})^{2}\dot{w}=(\det(I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1}))^{2}\dot{w}. $

(3.5)

再利用关系

$ I-Q_{m, n-1}\bar{Q}^{\prime}_{m, n-1}-q\bar{q}^{\prime}=\Gamma(I-w\bar{w}^{\prime})\bar{\Gamma}^{\prime}, $

(3.6)

从而给出方程(3.2).证毕.

定理3.1  设 $Q=Q^{(m, n)}$ 是一 $m\times n$ 四元数矩阵, 令 $\lambda>-1$ 和如下积分

$ J_{m, n}(\lambda)=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - Q{{\bar Q}^\prime } > 0} \det(I-Q\bar{Q}^{\prime})^{\lambda}\dot{Q}, $

则

$ J_{m, n}(\lambda)=\pi^{2mn}\frac{\prod\limits_{i=1}^{n}\Gamma(\lambda+2j-1)\prod\limits_{k=1}^{m}\Gamma(\lambda+2k-1)}{\prod\limits_{\ell=1}^{n+m}\Gamma(\lambda+2\ell-1)}. $

(3.7)

特别地, 当 $\lambda=0$ 时得到 $\Re_{I}$ 的体积如下

$ {\rm Vol}(\Re_I)=\pi^{2mn}\frac{\prod\limits_{i=1}^{n}\Gamma(2j-1)\prod\limits_{k=1}^{m}\Gamma(2k-1)}{\prod\limits_{\ell=1}^{n+m}\Gamma(2\ell-1)}. $

(3.8)

证  反复应用引理3.1, 有

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - Q\bar Q' > 0} f(Q)\dot{Q} = \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{{{\bar w'}_1}{w_1} < 1} (1-\mathit{\bar w'}_{1}w_{1})^{2(n-1)}\dot{w}_{1}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{\mathit{\bar w'}_{2}w_{2}<1} (1-\mathit{\bar w'}_{2}w_{2})^{2(n-2)}\dot{w}_{2} \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times\cdots\times\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{{\bar w'}_{n}w_{n}<1} f(Q)\dot{w}_{n}, $

(3.9)

令 $f(Q)=(\det(I-Q\mathit{\bar Q'}))^{\lambda}$ , 则有

$ \begin{eqnarray*} J_{m, n}(\lambda)&=&\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I - Q\bar Q' > 0} (\det(I-Q\mathit{\bar Q'}))^{\lambda}\dot{Q}\\ &=&\prod\limits_{j=1}^{n}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{\mathit{\bar w'}w<1} (1-\mathit{\bar w'}_{n-j+1}w_{n-j+1})^{\lambda+2(j-1)}\dot{w}_{n-j+1}. \end{eqnarray*} $

(3.10)

利用上述方程以及如下关系

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{4m}^{2}<1} \left(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots-x_{4m}^{2}\right)^{\mu-1}{\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots {\rm d}x_{4m} =\pi^{2m}\frac{\Gamma(\mu)}{\Gamma(\mu+2m)}, \ \mbox{对} \mu>0 , $

(3.11)

可得

$ J_{m, n}(\lambda)=\prod\limits_{j=1}^{n}\frac{\pi^{2m} \Gamma(2j+\lambda-1)}{\Gamma(2j+\lambda+2m-1)} =\pi^{2mn}\frac{\prod\limits_{i=1}^{n}\Gamma(\lambda+2j-1)\prod\limits_{k=1}^{m}\Gamma(\lambda+2k-1)}{\prod\limits_{\ell=1}^{n+m}\Gamma(\lambda+2\ell-1)}. $

(3.12)

证毕.

定理3.2  设 $Q=Q^{(m, n)}$ 是一个 $m\times n$ 四元数矩阵, 令 $\alpha>2m+2n-2$ 和如下积分

$ K_{m, n}(\alpha)=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} \frac{\dot{Q}}{\det(I+Q\bar{Q}^{\prime})^{\alpha}}, $

则

$ K_{m, n}(\alpha)=\pi^{2mn}\prod\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\alpha-2j-2m)}{\Gamma(\alpha-2j)}. $

(3.13)

证  与定理3.1的证明一样, 并注意到

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} \left(1+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{4m}^{2}\right)^{-\alpha}{\rm d}x_{1}{\rm d}x_{2}\cdots {\rm d}x_{4m}=\pi^{2m}\frac{\Gamma(\alpha-2m)}{\Gamma(\alpha)}, \ \mbox{对} \alpha>2m, $

(3.14)

能很快证明此定理.证毕.

首先考虑四元数体上厄米特矩阵空间中的类反正切函数的积分.

定理3.3  设 $Q$ 是一四元数体上的 $n\times n$ 厄米特方阵, 且 $\alpha>2n-\frac32$ , 则

$ \begin{eqnarray*} H_{n}(\alpha)&=&\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} \frac{\dot{Q}}{(\det(I+Q^{2}))^{\alpha}}\\ &=& 2^{n(n-1)}\pi^{n\left(n-\frac12\right)}\prod\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\alpha-2j-\frac12)}{\Gamma(\alpha-2j)}\prod\limits_{k=0}^{n-2}\frac{\Gamma(2\alpha-2n-2k+1)}{\Gamma(2\alpha-4k-1)}. \end{eqnarray*} $

(3.15)

在证明该定理之前, 让我们先介绍两个重要的引理.

引理3.2  设 $u$ 和 $w$ 是四元数体上的 $n$ 维向量, 则有

(ⅰ)

$ (I+\mathit{\bar u'}u)^{-1}\mathit{\bar u'}=\frac{\mathit{\bar u'}}{1+u\mathit{\bar u'}}, \ \ \ u(I+\mathit{\bar u'}u)^{-1}=\frac{u}{1+u\mathit{\bar u'}}. $

(3.16)

(ⅱ)

$ w(I+\mathit{\bar u'}u)^{-1}\mathit{\bar w'}=w\mathit{\bar w'}-\frac{|w\mathit{\bar u'}|^2}{1+u\mathit{\bar u'}}. $

(3.17)

证  (ⅰ)由于 $u\mathit{\bar u'}$ 是实数, 因此有

$ (u\mathit{\bar u'}) \mathit{\bar u'}u=\mathit{\bar u'}(u\mathit{\bar u'}) u, $

(3.18)

由此可得

$ \left(1-\frac{1}{1+u\mathit{\bar u'}}\right)\mathit{\bar u'}u=\mathit{\bar u'}u\frac{\mathit{\bar u'} u}{1+u\mathit{\bar u'}}. $

(3.19)

直接计算可得

$ (I+\mathit{\bar u'}u)^{-1}\mathit{\bar u'}=\frac{\mathit{\bar u'}}{1+u\mathit{\bar u'}}. $

(3.20)

类似地, 可得

$ u(I+\mathit{\bar u'}u)^{-1}=\frac{u}{1+u\mathit{\bar u'}}. $

(3.21)

(ⅱ)由恒等式

$ w(I+u\mathit{\bar u'})=w+(w\mathit{\bar u'})u, $

(3.22)

可得

$ \begin{eqnarray*} w\mathit{\bar w'}&=&w(I+u\mathit{\bar u'})(I+u\mathit{\bar u'})^{-1}\mathit{\bar w'}\\ \nonumber&=&(w+(w\mathit{\bar u'})u)(I+u\mathit{\bar u'})^{-1}\mathit{\bar w'}\\ \nonumber&=& w(I+u\mathit{\bar u'})^{-1}\mathit{\bar w'}+(w\mathit{\bar u'})u(I+u\mathit{\bar u'})^{-1}\mathit{\bar w'}\\ &=& w(I+u\mathit{\bar u'})^{-1}\mathit{\bar w'}+\frac{|w\mathit{\bar u'}|^2}{1+u\mathit{\bar u'}}. \end{eqnarray*} $

(3.23)

上式最后一步使用到了公式(3.21).证毕.

引理3.3  设 $a, b, c, \alpha$ 是实数, 并且 $a>0$ , $ac-b^2>0, \alpha>\frac12$ , 则

$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm d}x}{(ax^2+2bx+c)^{\alpha}}=a^{\alpha-1}(ac-b^2)^{\frac12-\alpha}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha-\frac12)}{\Gamma(\alpha)}. $

(3.24)

证  据文献[4], 令

$ y=\frac{a}{\sqrt{ac-b^2}}\left(x+\frac{b}{a}\right), $

则

$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm d}x}{(ax^2+2bx+c)^{\alpha}}=a^{\alpha-1}(ac-b^2)^{\frac12-\alpha}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha-\frac12)}{\Gamma(\alpha)}. $

(3.25)

从而得证.

定理3.3的证明  把 $Q$ 分解成如下形式

$ Q=\left(\begin{array}{cc}Q_{1} ~~& \mathit{\bar v'} \\v~~&h\end{array}\right), $

(3.26)

其中 $h=h_{nn}$ 并为实的, $Q_{1}$ 是 $(n-1)\times (n-1)$ 四元数厄米特矩阵, 而 $v$ 是 $(n-1) $ 四元数向量.经此分解, 有

$ I+Q^{2}=\left(\begin{array}{cc}I+Q_{1}^{2}+\mathit{\bar v'}v ~~& Q_{1}\mathit{\bar v'}+\mathit{\bar v'} h \\ vQ_{1}+hv~~ &1+h^{2}+v\mathit{\bar v'}\end{array}\right), $

(3.27)

考虑如下关系式^[4]

$ \left(\begin{array}{cc} I~~&0 \\-PA^{-1}~~&1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} A~~&\mathit{\bar P'} \\ P~~ &l \end{array}\right) {\left(\overline{\begin{array}{cc} I ~~& 0 \\-PA^{-1} ~~& 1 \end{array} }\right)}^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} A~~&0 \\ 0~~& l-PA^{-1}\mathit{\bar P'} \end{array}\right) , $

(3.28)

从而得到

$ \begin{eqnarray*} \det (I+Q^2)&=&\left[1+h^2+v\mathit{\bar v'}-(vQ_1+hv)(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)^{-1}(Q_1\mathit{\bar v'}+\mathit{\bar v'}h)\right]\\ &&\det(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)\\ &=& (ah^2+2bh+c)\det(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v), \end{eqnarray*} $

(3.29)

这里

$ a = 1-v(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)^{-1}\mathit{\bar v'}, $

(3.30)

$ 2b = -vQ_1 (I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)^{-1} \mathit{\bar v'}-v(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)^{-1}Q_1\mathit{\bar v'}, $

(3.31)

$ \label{c1}c=1+v\mathit{\bar v'}-vQ_1(I+Q_1^2+\mathit{\bar v'}v)^{-1}Q_1\mathit{\bar v'}. $

(3.32)

由于 $Q_1$ 是厄米特矩阵, 必存在一幺正矩阵 $U$ 使得

$ Q_1=U[\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n]\ \mathit{\bar U'}. $

(3.33)

因此可引入另一个厄米特矩阵

$ T=U[\sqrt{1+\lambda_1^2}, \sqrt{1+\lambda_2^2}, \cdots, \sqrt{1+\lambda_n^2}]\ \mathit{\bar U'}, $

(3.34)

满足

$ TQ_1=Q_1T, \ \ \ I+Q_1^2=T^2. $

(3.35)

做变换 $v=uT$ , 则(3.36)-(3.38)式中的 $a, b, c$ 可改写为

$ a = \frac1{1+u\mathit{\bar u'}}, $

(3.36)

$ 2b = -\frac{2uQ_1\mathit{\bar u'}}{1+u\mathit{\bar u'}}, $

(3.37)

$ c=1+u\mathit{\bar u'}+\frac{|uQ_1\mathit{\bar u'}|}{1+u\mathit{\bar u'}}, $

(3.38)

上述公式用到了引理3.2.易证 $b$ 是实数且满足如下关系

$ ac-b^2=1. $

(3.39)

又由引理3.3和公式(3.39), 可得如下递归关系

$ \begin{eqnarray*} H_n(\alpha)&=&\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} \frac{\dot{Q}}{(\det(I+Q^2))^{\alpha}}\\ \nonumber&=&2^{2(n-1)}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{u, Q_1} (\det(I+Q_1^2))^{2-\alpha}(1+u\mathit{\bar u'})^{-\alpha}\dot{Q}_1\dot{u}\int_{-\infty}^{\infty}(ah^2+2bh+c)^{-\alpha}{\rm d}h\\ &=&4^{n-1}\frac{\pi^{2n-\frac32}\Gamma(2\alpha-2n+1)\Gamma(\alpha-\frac12)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2\alpha-1)}H_{n-1}(\alpha-2). \end{eqnarray*} $

(3.40)

考虑

$ H_1(\alpha-2n+2)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{{\rm d}x}{(1+x^2)^{\alpha-2n+2}}=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\alpha-2n+\frac32)}{\Gamma(\alpha-2n+2)}, \ \ \ \Big(\alpha>2n-\frac32\Big), $

(3.41)

可得

$ H_n(\alpha)=2^{n(n-1)}\pi^{n\left(n-\frac12\right)}\prod\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\alpha-2j-\frac12)}{\Gamma(\alpha-2j)}\prod\limits_{k=0}^{n-2}\frac{\Gamma(2\alpha-2n-4k+1)}{\Gamma(2\alpha-4k-1)}. $

(3.42)

定理3.3得证.

定理3.4  设 $Q$ 是一 $n\times n$ 厄米特四元数方阵, 且 $\lambda>-1$ , 则

$ \begin{eqnarray*} I_{n}(\lambda)&=&\ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I-Q^2>0} (\det(I-Q^2))^{\lambda}\dot{Q}\\ &=& \pi^{n\left(n-\frac12\right)}\prod\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(\lambda+2j+1)}{\Gamma(\lambda+2j+\frac32)}\prod\limits_{k=0}^{n-2}\frac{\Gamma(2\lambda+4k+2)}{\Gamma(2\lambda+2n+4k)}. \end{eqnarray*} $

(3.43)

特别地, 当取 $\lambda=0$ 时, 该积分给出四元数体上的厄米特双曲矩阵空间的体积

$ Vol(\Re_{II})= \pi^{n\left(n-\frac12\right)}\prod\limits_{j=0}^{n-1}\frac{\Gamma(2j+1)}{\Gamma(2j+\frac32)}\prod\limits_{k=0}^{n-2}\frac{\Gamma(4k+2)}{\Gamma(2n+4k)}. $

(3.44)

证  仿照定理3.3的思路, 并注意到如下等式

$ \int\limits_{ax^2+2bx+c>0}(ax^2+2bx+c)^{\lambda}{\rm d}x=(-a)^{-\lambda-1}\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+\frac32)}, \ \ \ \ (\lambda>-1), $

(3.45)

以及从公式(3.11)得到的积分

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{1-u\mathit{\bar u'}>0}(1-u\mathit{\bar u'})^{2\lambda+1}\dot{u}=\frac{\pi^{2(n-1)}\Gamma(2\lambda+2)}{\Gamma(2\lambda+2n)}, $

(3.46)

可得如下递归关系

$ I_{n}(\lambda)=\frac{\pi^{2n-\frac32}\Gamma(\lambda+1)\Gamma(2\lambda+2)}{\Gamma(\lambda+\frac32)\Gamma(2\lambda+2n)}I_{n-1}(\lambda+2). $

反复应用此关系即可得证.证毕.

引理3.4  设 $a, c \in {\Bbb R}$ , $b\in \Bbb Q$ , 且 $a<0$ , $|b|^2-ac>0$ , $\lambda>-1$ , 则

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}>0}\left(c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}\right)^{\lambda}\dot{q}=\frac1{a^2}\left(\frac{|b|^2-ac}{|a|}\right)^{\lambda+2}\frac{\pi^2}{(\lambda+1)(\lambda+2)}. $

(3.47)

证  令

$ w=\left(q+\frac{b}{a}\right)\sqrt{\frac{a^2}{|b|^2-ac}}, $

可得

$ \dot{w}=\left(\frac{a^2}{|b|^2-ac}\right)^2\dot{q} $

和

$ c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}=\frac{|b|^2-ac}{|a|}(1-w\bar{w}). $

由此可得

$ \begin{eqnarray*} \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}>0} \left(c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}\right)^{\lambda}\dot{q} &=&\frac1{a^2}\left(\frac{|b|^2-ac}{|a|}\right)^{\lambda+2} \iint\limits_{1-w\bar{w}>0}{{}}(1-w\bar{w})^{\lambda}\dot{w}\nonumber\\ &=&\frac1{a^2}\left(\frac{|b|^2-ac}{|a|}\right)^{\lambda+2}\frac{\pi^2}{(\lambda+1)(\lambda+2)}. \end{eqnarray*} $

(3.48)

证毕.

定理3.5  设 $Q=Q^{(n\times n)}=Q^{\prime}$ 是一四元数体上的对称方阵, 定义积分

$ J_{n}(\lambda)=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I-Q\bar{Q}>0} (\det (I-Q\bar{Q}))^{\lambda}\dot{Q} $

则对 $\lambda>-1$ 有

$ J_n(\lambda)=\frac{\pi^{n(n+1)}}{(\lambda+1)\cdots (\lambda+2n)}\frac{\Gamma(2\lambda+5)\cdots\Gamma(2\lambda+4n-3)}{\Gamma(2\lambda+2n+3)\cdots\Gamma(2\lambda+4n-1)}. $

(3.49)

特别地, 当取 $\lambda=0$ 时, 上式给出四元数体上对称方阵双曲空间的体积

$ Vol(S)=\frac{\pi^{n(n+1)}}{(2n)!}\frac{4!8!\cdots (4n-4)!}{(2n+2)!(2n+4)!\cdots (4n-2)!}. $

(3.50)

证  令

$ Q=\left(\begin{array}{cc}Q_{1} ~~&v' \\v ~~& q\end{array}\right), $

(3.51)

其中 $Q_1$ 是体上一个 $(n-1)\times (n-1)$ 的对称方阵, $v$ 是一 $(n-1)$ 维向量, $q$ 是一四元数.经此分解后可得

$ I-Q\bar{Q}=\left(\begin{array}{cc}I-Q_{1}\bar{Q}_1-v' \bar{v} ~~& -(Q_1\mathit{\bar v'}+v' \bar{q}) \\-(v\bar{Q_1}+q\bar{v} ~~ &1-v\mathit{\bar v'}-q\bar{q}\end{array}\right). $

(3.52)

而由公式(3.28)有

$ \det(I-Q\bar{Q})=(c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q})\det(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v}) $

(3.53)

和 $c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}>0, \det(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v})>0$ 其中

$ a=-1-\bar{v}(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v})^{-1}v', $

(3.54)

$ b=-v\bar{Q}_1(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v})^{-1}v', $

(3.55)

$ c=1-v\mathit{\bar v'}-v\bar{Q}_1(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v})^{-1}Q_1\mathit{\bar v'}. $

(3.56)

又因为 $I-Q_1\bar{Q}_1$ 是正定的, 故必有一非奇异方阵 $\Gamma$ 使得 $I-Q_1\bar{Q}_1=\Gamma{\bar \Gamma '}$ .经过变换 $v=u\Gamma'$ 后可得如下结果

$ a=-\frac1{1-\bar{u}u'} (<0), $

(3.57)

$ b=-\frac{u\Gamma'\bar{Q}_1\left({\bar \Gamma '}\right)^{-1}u'}{1-\bar{u}u'}, $

(3.58)

$ c=1-u\Gamma' \bar{\Gamma}\mathit{\bar u'}-u\Gamma' \bar{Q}_1\left({\bar \Gamma '}\right)^{-1}\Gamma^{-1}\bar{Q}_1\bar{\Gamma}\mathit{\bar u'}-\frac{|u\Gamma'\bar{Q}_1\left({\bar \Gamma '}\right)^{-1}u'|^2}{1-\bar{u}u'}, $

(3.59)

易证 $|b|^2-ac=1$ .

在推导公式(3.57)-(3.59)的过程中, 需要用到如下关系

$ (I-u' \bar{u})^{-1}u'=\frac{u'}{1-\bar{u}u'}, $

(3.60)

$ w(I-u' \bar{u})^{-1}\mathit{\bar w'}=w\mathit{\bar w'}+\frac{|wu'|^2}{1-\bar{u}u'}. $

(3.61)

这些关系可以用证明引理3.2的方法轻易证明.运用这些关系以及引理3.4, 可得

$ \begin{eqnarray*} J_n(\lambda)&=&\ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v}>0} (\det(I-Q_1\bar{Q}_1-v' \bar{v}))^{\lambda}\dot{Q}_1\dot{v}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}>0} (c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q})^{\lambda}\dot{q}\\ &=& \frac{\pi^2}{(\lambda+1)(\lambda+2)}\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I-Q_1\bar{Q}_1>0} (\det(I-Q_1\bar{Q}_1))^{\lambda+2}\dot{Q}_1\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{\bar{u}u'<1} (1-\bar{u}u')^{2\lambda+4}\dot{u}\\ &=& \frac{\pi^{2n}}{(\lambda+1)(\lambda+2)}\frac{\Gamma(2\lambda+5)}{\Gamma(2\lambda+2n+3)}J_{n-1}(\lambda+2). \end{eqnarray*} $

(3.62)

重复上述计算并注意到当 $n=1$ 时, 有

$ J_1(\lambda)=\frac{\pi^2}{(\lambda+1)(\lambda+2)}, $

从而定理可以得到证明.证毕.

引理3.5  设 $Q=Q^{\prime}=Q_0+{\bf{i}} Q_1+{\bf{j}} Q_2+{\bf{k}} Q_3$ 是四元数体上的一个 $n\times n$ ( $n>1$ )对称方阵, 其中 $Q_3=-(Q_1+Q_2)$ , 则对于 $\lambda>-1$ 有

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} (\det (I-Q\bar{Q}))^{\lambda}\dot{Q}= \left(\frac{\pi^3}{3}\right)^{\frac{n(n+1)}{4}}\frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+\frac{3n}2+1)}\prod\limits_{j=1}^{n-1}\frac{\Gamma(2\lambda+3j+1)}{\Gamma(2\lambda+\frac{3(n+j)}{2}+1)}. $

(3.63)

证  按照证明定理3.5的方法, 并注意到此时引理3.4应取如下形式

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}>0} \left(c+b\bar{q}+q\bar{b}+qa\bar{q}\right)^{\lambda}\dot{q}=\left(\frac{\pi}{|a|}\right)^{\frac32}\left(\frac{|b|^2-ac}{|a|}\right)^{\lambda+\frac32}\frac{\Gamma(\lambda+1)}{\sqrt{3}\Gamma(\lambda+\frac52)}, $

(3.64)

这里 $a, c \in {\Bbb R}$ , $b\in \Bbb Q$ , 且 $a<0$ , $|b|^2-ac>0$ , $\lambda>-1$ .由此可得证.

定理3.6  设 $H$ 是四元数体上一个 $n\times n$ 反厄米特矩阵, 且 $\lambda>-1$ , 则

$ \begin{eqnarray*} K_{n}(\lambda)&=& \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I-H\mathit{\bar H'}>0} (\det(I-H \mathit{\bar H'} ))^{\lambda}\dot{H}=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I+H^2>0} (\det(I+H^2))^{\lambda}\dot{H}\\ &=& \left(\frac{\pi^3}{3}\right)^{\frac{n(n+1)}{4}}\frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+\frac{3n}2+1)}\prod\limits_{j=1}^{n-1}\frac{\Gamma(2\lambda+3j+1)}{\Gamma(2\lambda+\frac{3(n+j)}{2}+1)}. \end{eqnarray*} $

(3.65)

特别地, 当取 $\lambda=0$ 时, 上述积分给出四元数体上 $\Re_{III}$ 的体积

$ {\rm Vol}(\Re_{III})= \left(\frac{\pi^3}{3}\right)^{\frac{n(n+1)}{4}}\frac{1}{\Gamma(\frac{3n}2+1)}\prod\limits_{j=1}^{n-1}\frac{\Gamma(3j+1)}{\Gamma(\frac{3(n+j)}{2}+1)}. $

(3.66)

证  以如下方式定义一 $n\times n$ 方阵 $Q=Q_0+{\bf{i}} Q_1+{\bf{j}} Q_2+{\bf{k}} Q_3$ (其中 $Q_0, Q_1, Q_2, Q_3$ 是实矩阵), 即

$ H=\frac{Q}{\sqrt{3}}({\bf{i}}+{\bf{j}}+{\bf{k}}) . $

(3.67)

由于 $H$ 是一反厄米特方阵, 易证

$ Q({\bf{i}}+{\bf{j}}+{\bf{k}}) =({\bf{i}}+{\bf{j}}+{\bf{k}})\mathit{\bar Q'}, $

(3.68)

这意味着

$ Q'=Q, \ \mbox{及}\ \ Q_3=-(Q_1+Q_2). $

(3.69)

因此

$ K_{n}(\lambda)=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{I+H^2>0} (\det(I+H^2))^{\lambda}\dot{H}=\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} (\det(I-Q\bar{Q}))^{\lambda}\dot{Q}. $

又从引理3.5有

$ \begin{eqnarray*} K_n(\lambda)&=&\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{Q} (\det (I-Q\bar{Q}))^{\lambda}\dot{Q} \\ &=& \left(\frac{\pi^3}{3}\right)^{\frac{n(n+1)}{4}}\frac{\Gamma(\lambda+1)}{\Gamma(\lambda+\frac{3n}2+1)}\prod\limits_{j=1}^{n-1}\frac{\Gamma(2\lambda+3j+1)}{\Gamma(2\lambda+\frac{3(n+j)}{2}+1)}. \end{eqnarray*} $

(3.70)

证毕.

设 $q$ 是 $n$ 维四元数向量 $(q_1, q_2, \cdots, q_n)$ .第四类典型域 $\Re_{IV}$ 满足如下关系的 $q$ 的集合

$ |qq'|^2+1-2\bar{q}q'>0\ \ \ \mbox{和} \ \ |qq'|<1, $

或等价地

$ 1-\bar{q}q'>\sqrt{(\bar{q}q')^2-|qq'|^2}. $

(3.71)

引理3.6  设 $a, b\in {\Bbb R}$ 且 $0<a<1, b>-1$ , 则

$ \iint\limits_{\begin{smallmatrix} x\ge 0,y\ge 0 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{a}^{2}} \end{smallmatrix}}{{}} (a^2-x^2-y^2)^bx^{2b+1}y^{2b+1}{\rm d}x{\rm d}y=\frac{a^{6b+4}\sqrt{\pi}}{2^n} \frac{\Gamma(b+1)^2\Gamma(2b+2)}{\Gamma(b+\frac{3}{2})\Gamma(3b+3)}. $

(3.72)

证  定义 $\hat{x}=\frac{x}{a}, \hat{y}=\frac{y}{a}$ ,

$ \begin{eqnarray*} \iint\limits_{\begin{smallmatrix} x\ge 0,y\ge 0 \\ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{a}^{2}} \end{smallmatrix}}{{}} (a^2-x^2-y^2)^bx^{2b+1}y^{2b+1}{\rm d}x{\rm d}y&=& a^{6b+4} \iint\limits_{\begin{smallmatrix} \hat{x}\ge 0,\hat{y}\ge 0 \\ {{{\hat{x}}}^{2}}+{{{\hat{y}}}^{2}}\le 1 \end{smallmatrix}}{{}}(1-\hat{x}^2-\hat{y}^2)^b\hat{x}^{2b+1}\hat{y}^{2b+1} {\rm d}\hat{x}{\rm d}\hat{y}\\ \nonumber&=& \frac{a^{6b+4}}{4} \int_{0}^1{\rm d}X\int_{0}^{1-X} \Big((1-X-Y)XY\Big)^b{\rm d}Y\\ &=& \frac{a^{6b+4}\sqrt{\pi}}{2^n}\frac{\Gamma(b+1)^2\Gamma(2b+2)}{\Gamma(b+\frac{3}{2})\Gamma(3b+3)}, \end{eqnarray*} $

(3.73)

其中 $X=\hat{x}^2, Y=\hat{y}^2$ .证毕.

定理3.7  若 $\alpha>-1, \beta>-(n+\alpha)$ , 则

$ \begin{array}{l} {L_n}(\alpha , \beta ) = \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{{\Re _{IV}}} {\left( {1 - \bar qq' - \sqrt {{{(\bar qq')}^2} - |qq'{|^2}} } \right)^\alpha }{\left( {1 - \bar qq' + \sqrt {{{(\bar qq')}^2} - |qq'{|^2}} } \right)^\beta }\dot q\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} = \frac{{{\pi ^2}}}{{(\alpha + \beta + 1)(\alpha + \beta + 2)}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\rm 对} n = 1;\\ {\rm{ = }}\frac{{{2^{5 - 4n}}{\pi ^{2n + 1}}\Gamma (n)\Gamma (\alpha + 1)\Gamma (1 + n + \alpha + \beta )}}{{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{3}{2}(n - 1))\Gamma (\alpha + n + 1)\Gamma (2n + \alpha + \beta + 1)\Gamma (\frac{5}{2} - n)}}\\ \times {\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( \begin{array}{c} 2n - 3\\ 2i - 1 \end{array} \right)} _3}{F_2}(1 - i, n, 1 + n + \alpha + \beta ;\alpha + n + 1, \frac{5}{2} - n; - 1), \;\; {\rm 对}n \ge 2. \end{array} \right. \end{array} $

特别地, 当取 $\alpha=\beta=0$ 时, 上述公式给出 $\Re_{IV}$ 的体积

$ Vol({\Re _{IV}}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\pi ^2}}}{2}, }&&{\rm 对} {n = 1;}\\ {\frac{{{2^{5 - 4n}}{\pi ^{2n + 1}}\Gamma (n)}}{{\Gamma (\frac{n}{2})\Gamma (\frac{3}{2}(n - 1))\Gamma (2n + 1)\Gamma (\frac{5}{2} - n)}}}&&{}\\ { \times {{\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( \begin{array}{c} 2n - 3\\ 2i - 1 \end{array} \right)} }_3}{F_2}(1 - i, n, 1 + n;n + 1, \frac{5}{2} - n; - 1), }&&{\rm 对} {n \ge 2.} \end{array}} \right. $

证  (ⅰ) $n=1$ 时, 令 $q=x+{\bf{i}} y+{\bf{j}} z+{\bf{k}} w$ , ( $x, y, z, w\in{\Bbb R}$ ), 则有

$ \bar{q}q'=|qq'|=x^2+y^2+z^2+w^2, $

从而得到

$ \begin{eqnarray*} L_1(\alpha, \beta)&=&\ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{x^2+y^2+z^2+w^2<1} (1-(x^2+y^2+z^2+w^2))^{\alpha+\beta} {\rm d}x{\rm d}y{\rm d}z{\rm d}w \\ &=&\frac{\pi^2}{(\alpha+\beta+1)(\alpha+\beta+2)}. \end{eqnarray*} $

(3.74)

此情况得证.

(ⅱ) $n\geqslant 2$ 时, 令 $q=x+{\bf{i}} y+{\bf{j}} z+{\bf{k}} w$ , 但此时 $x, y, z, w$ 是 $n$ 维实向量.从而有

$ 1-qq' = 1-(xx'+yy'+zz'+ww'), $

(3.75)

$ (\bar{q}q')^2-|qq'|^2= 4\Big(xx'(yy'+zz'+ww')-\left((xy')^2+(xz')^2+(xw')^2\right)\Big) $

(3.76)

对于任意给定的 $x$ , 必存在行列式为1的正交矩阵 $R$ 使得

$ xR=(\sqrt{xx'}, 0, 0, \cdots, 0). $

此时亦有

$ yR=(\xi, \tilde{y}), \ \ \ zR=(\zeta, \tilde{z}), \ \ \ wR=(\epsilon, \tilde{w}), \ \ \ $

这里 $\xi, \zeta, \epsilon$ 是实数, 而 $ \tilde{y}, \tilde{z}, \tilde{w}$ 是 $(n-1)$ 维实向量.引入变换

$ (x, \tilde{y}, \tilde{z}, \tilde{w})=\sqrt{1-\xi^2-\zeta^2-\epsilon^2} (u, v, r, s), $

可得

$ \label{Ln} L_n(\alpha, \beta)=2^{4n-3} \frac{\pi^{\frac32}\Gamma(2n+\alpha+\beta-\frac12)}{\Gamma(2n+\alpha+\beta+1)} P, $

(3.77)

其中

$ \begin{eqnarray*} P&=&\mathop{\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{1-uu'-vv'-rr'-ss'>2\sqrt{uu'(vv'+rr'+ss')}} }_{u_i, v_i, r_i, s_i\geqslant0} \\ && \times \Big(1-uu'-vv'-rr'-ss'-2\sqrt{uu'(vv'+rr'+ss')} \Big)^{\alpha} \\ &&\times \Big(1-uu'-vv'-rr'-ss'+2\sqrt{uu'(vv'+rr'+ss')}\Big)^{\beta}\dot{u}\dot{v}\dot{r}\dot{s}. \end{eqnarray*} $

(3.78)

定义 $\rho^2=uu', \sigma^2=vv', \kappa^2=rr', \eta^2=ss'$ , 则有

$ \begin{eqnarray*} \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{u_i\geqslant0} \dot{u}&=&\ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{u_i\geqslant0} {\rm d}u_1{\rm d}u_2\cdots {\rm d}u_n\\ &=&\int\rho {\rm d}\rho \mathop{ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{u_2^2+\cdots+u_n^2\leqslant \rho^2} }_{u_i\geqslant0} \frac{{\rm d}u_2\cdots {\rm d}u_n}{\sqrt{\rho^2-u_2^2-\cdots-u_n^2}}\\ &=&\frac{\pi^{\frac n2}}{2^{n-1}\Gamma(\frac n2)}\int\rho^{n-1}{\rm d}\rho. \end{eqnarray*} $

(3.79)

相似地, 对 $v, r, s$ 这些 $(n-1)$ 维向量亦有

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{v_i\geqslant0} \dot{v}= \frac{\pi^{\frac {n-1}2}}{2^{n-2}\Gamma(\frac {n-1}2)}\int\sigma^{n-2}{\rm d}\sigma, $

(3.80)

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{r_i\geqslant0} \dot{r}= \frac{\pi^{\frac {n-1}2}}{2^{n-2}\Gamma(\frac {n-1}2)}\int\kappa^{n-2}{\rm d}\kappa, $

(3.81)

$ \mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{s_i\geqslant0} \dot{s}= \frac{\pi^{\frac {n-1}2}}{2^{n-2}\Gamma(\frac {n-1}2)}\int\eta^{n-2}{\rm d}\eta. $

(3.82)

从而 $P$ 变为

$ \begin{eqnarray*} P&=&\frac{\pi^{2n-\frac32}}{2^{4n-7}\Gamma(\frac n2)\Gamma(\frac{n-1}{2})^3} \mathop{ \mathop{\mathop {\int { \cdots \int {} } }\limits_{\rho+\mu<1} }_{\rho, \mu, \kappa, \eta\geqslant0}}_{\kappa^2+\eta^2\leqslant\mu^2} \Big(1-(\rho+\mu)^2\Big)^{\alpha}\Big(1-(\rho-\mu)^2\Big)^{\beta} \\ &&\times\rho^{n-1}\mu(\mu^2-\kappa^2-\eta^2)^{\frac{n-3}{2}}\kappa^{n-2}\eta^{n-2}{\rm d}\rho {\rm d}\mu {\rm d}\kappa {\rm d}\eta, \end{eqnarray*} $

(3.83)

这里 $\mu^2=\sigma^2+\kappa^2+\eta^2$ .由引理3.6可得

$ \begin{eqnarray*} P&=&\frac{\pi^{2n-1}\Gamma(n-1)}{2^{5n-7}\Gamma(\frac n2)^2\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac32(n-1))} \\ &&\times \mathop{\mathop{\iint}_{\rho+\mu<1}}_{\rho\geqslant0, \mu\geqslant0}\Big(1-(\rho+\mu)^2\Big)^{\alpha}\Big(1-(\rho-\mu)^2\Big)^{\beta}\rho^{n-1}\mu^{3n-4}{\rm d}\rho {\rm d}\mu \\ \nonumber&=&\frac{\pi^{2n-1}\Gamma(n-1)}{2^{5n-7}\Gamma(\frac n2)^2\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac32(n-1))}\\ &&\times\mathop{\mathop{\iint}_{\rho+\mu<1}}_{0\leqslant\rho\leqslant\mu}\Big(1-(\rho+\mu)^2\Big)^{\alpha}\Big(1-(\rho-\mu)^2\Big)^{\beta}\rho^{n-1}\mu^{n-1}\left(\mu^{2n-3}+\rho^{2n-3}\right){\rm d}\rho {\rm d}\mu. \end{eqnarray*} $

(3.84)

定义 $\tau=\mu-\rho, \nu=\mu+\rho$ , 则变为

$ \begin{eqnarray*} P&=&\frac{\pi^{2n-1}\Gamma(n-1)}{2^{9n-11}\Gamma(\frac n2)^2\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac32(n-1))}\\ \nonumber&&\times\int_0^1(1-\tau^2)^{\beta}{\rm d}\tau\int_{\tau}^1(1-\nu^2)^{\alpha}(\nu^2-\tau^2)^{n-1}\left[(\nu+\tau)^{2n-3}+(\nu-\tau)^{2n-3}\right]{\rm d}\nu\\ \nonumber &=& \frac{\pi^{2n-1}\Gamma(n-1)}{2^{9n-11}\Gamma(\frac n2)^2\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac32(n-1))}\\ \nonumber&&\times\sum\limits_{i=1}^{n-1}{2n-3 \choose 2i-1}\int_0^1(1-\tau^2)^{\beta}(\tau^2)^{n-i-1}{\rm d}\tau\int_{\tau}^1(1-\nu^2)^{\alpha}(\nu^2-\tau^2)^{n-1}2\nu(\nu^2)^{i-1}{\rm d}\nu\\ \nonumber &=& \frac{\pi^{2n-1}\Gamma(n)\Gamma(n-1)\Gamma(\alpha+1)}{2^{9n-11}\Gamma(\frac n2)^2\Gamma(\frac{n-1}{2})\Gamma(\frac32(n-1))\Gamma(\alpha+n+1)}\\ \label{P}&&\times\sum\limits_{i=1}^{n-1}{2n-3\choose 2i-1}\int_0^1 (\tau^2)^{n-2}(1-\tau^2)^{\alpha+\beta+n}{}_2F_1(1-i, n;\alpha+n+1;\frac{\tau^2-1}{\tau^2}){\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

(3.85)

对超几何函数进行展开可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^1 (\tau^2)^{n-2}(1-\tau^2)^{\alpha+\beta+n}{}_2F_1(1-i, n;\alpha+n+1;\frac{\tau^2-1}{\tau^2}){\rm d}\tau\\ &=& \frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1-i)}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(k+1-i)\Gamma(k+n)}{\Gamma(k+\alpha+n+1)k!}\int_0^1(\tau^2)^{n-2-k}(1-\tau^2)^{k+n+\alpha+\beta}{\rm d}\tau\\ &=&\frac{\Gamma(\alpha+n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1-i)}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(k+1-i)\Gamma(k+n)}{\Gamma(k+\alpha+n+1)k!}\times\frac{\Gamma(k+1+n+\alpha+\beta)\Gamma(n-k-\frac32)}{2\Gamma(2n+\alpha+\beta-\frac12)}\\ &= &\frac{\pi\Gamma(\alpha+n+1)}{2\Gamma(n)\Gamma(1-i)\Gamma(2n+\alpha+\beta-\frac12)}\\ &&\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(k+1-i)\Gamma(k+n)\Gamma(k+1+n+\alpha+\beta)}{\Gamma(k+\alpha+n+1)\Gamma(k+\frac52-n)k!}\\ &=& \frac{\pi\Gamma(1+n+\alpha+\beta)}{2\Gamma(n+\alpha+\beta-\frac12)\Gamma(\frac52-n)}\times{}_3F_2(1-i, n, 1+n+\alpha+\beta; \alpha+n+1, \frac52-n;-1). \end{eqnarray*} $

(3.86)

把此积分代入公式(3.85)后得到

$ \begin{eqnarray*} P&=&\frac{\pi^{2n-\frac12}\Gamma(n)\Gamma(\alpha+1)\Gamma(1+n+\alpha+\beta)}{2^{8(n-1)}\Gamma(\frac n2)\Gamma(\frac32(n-1))\Gamma(\alpha+n+1)\Gamma(n+\alpha+\beta-\frac12)\Gamma(\frac52-n)} \\ &&\times\sum\limits_{i=1}^{n-1}{2n-3\choose 2i-1}{}_3F_2(1-i, n, 1+n+\alpha+\beta; \alpha+n+1, \frac52-n;-1). \end{eqnarray*} $

(3.87)

再把此代入公式(3.77), 最后得到

$ \begin{eqnarray*} L_n(\alpha, \beta)&=&2^{5-4n}\frac{\pi^{2n+1}\Gamma(n)\Gamma(\alpha+1)\Gamma(1+n+\alpha+\beta)}{\Gamma(\frac n2)\Gamma(\frac32(n-1))\Gamma(\alpha+n+1)\Gamma(2n+\alpha+\beta+1)\Gamma(\frac52-n)}\\ &&\times\sum\limits_{i=1}^{n-1}{2n-3\choose 2i-1}{}_3F_2(1-i, n, 1+n+\alpha+\beta; \alpha+n+1, \frac52-n;-1). \end{eqnarray*} $

(3.88)

证毕.