本文考虑如下一维sine-Gordon方程

$ u_{tt}+\kappa u_t-u_{xx}+\sin u=f, \ (x, t)\in \Omega\times J, $

(1.1)

初始条件为

$ u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ x\in \Omega, $

(1.2)

边界条件为Dirichlet边界条件

$ u(a, t)=u(b, t)=0, \ t\in \bar{J}, $

(1.3)

或者Neumann边界条件

$ u_x(a, t)=u_x(b, t)=0, \ t\in \bar{J}, $

(1.4)

其中区域$\Omega=(a, b)$, $J=(0, T]$, $0 < T < \infty$.参数$\kappa$是耗散项, 且$\kappa\geq 0$.当$\kappa=0$时, 方程(1.1)称为是无阻尼sine-Gordon方程, 当$\kappa >0$时, 称为是阻尼sine-Gordon方程.假设函数$f(x, t)$和初始函数$u_0(x)$, $u_1(x)$是充分光滑的.

sine-Gordon方程是一类非常重要的非线性发展方程, 可以用来描述许多物理问题, 在固体物理学、电磁学、非线性光学等科学领域有着广泛的应用, 特别地, 超导体研究中的Josephson结模型^[1]就可以用阻尼sine-Gordon方程来描述.近年来许多数值方法被用来求解sine-Gordon方程, 例如:文献[2]构造了最低阶非协调有限元格式, 文献[3]够造了一类辛格式, 文献[4]研究了$H^1$-Galerkin混合有限元方法, 文献[5]研究了变分迭代方法, 文献[6]构造了四阶紧致有限差分格式, 文献[7]研究了齐次Neumann边界条件下的预测校正格式, 文献[8]研究了紧致有限差分方法和DIRKN方法.本文研究了Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下sine-Gordon方程(1.1)的混合有限体积元方法.

混合有限体积元方法将混合有限元和有限体积元方法相结合, 最早是由Russell^[9]在求解线性椭圆问题时提出.随后Chou等人在文献[10]及Chou和Kwak在文献[11]中分别在三角形网格和矩形网格剖分下, 使用最低阶Raviart-Thomas有限元空间, 并引入迁移算子把试探函数空间映射成检验函数空间, 构造了椭圆方程的混合有限体积元格式并给出了最优阶误差估计.文献[12-13]作了数值实验对方法进行了验证.该方法自提出以来得到了很大的发展, 已经被用来求解拟线性二阶椭圆方程^[14], 抛物方程^[15-16], 正则长波方程^[17], 伪双曲方程^[18]等数学物理方程.和其它数值方法如混合有限元方法或$H^1$-Galerkin混合有限元方法作比较, 虽然混合有限体积元方法难以提高收敛速度, 但是该方法依然有很多优势, 不仅可以利用有限体积元方法的简便性同时求解多个不同的物理量, 而且还可以保持某些物理量的局部守恒性. sine-Gordon方程是一类二阶非线性双曲型方程, 本文引入辅助变量$\sigma=-u_x$构造了Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下一维sine-Gordon方程的半离散格式, 时间显式和隐式全离散混合有限体积元格式, 通过引入迁移算子和广义混合有限体积元投影, 得到了时间显格式的条件稳定性和所有格式的最优阶误差估计.由于两类边界条件情况下格式和理论分析过程类似, 因此主要给出了Dirichlet边界条件下的理论分析, 而在第7节给出了Neumann边界条件下的简要叙述.

本文余下部分安排如下:第2节, 引入迁移算子$\gamma_h$, 构造了Dirichlet边界条件下半离散混合有限体积元格式; 第3节, 给出了迁移算子$\gamma_h$的一些性质, 引入了广义混合有限体积元投影并给出投影的估计; 第4节, 给出半离散格式解的存在唯一性定理和最优阶误差估计; 第5节和第6节分别给出了时间显式和隐式全离散格式及其最优阶误差估计; 第7节给出Nermann边界条件下混合有限体积元格式的分析; 第8节给出了三个数值算例来验证该方法的有效性.在本文中理论分析时所用的$C$都是与空间网格参数$h$和时间离散步长$\Delta t$无关的正常数.

引入辅助变量$\sigma=-u_x$, 将方程(1.1)和初始条件(1.2)及Dirichlet边界条件(1.3)写为一阶微分方程组系统

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ \sigma=-u_x, \ (x, t)\in\Omega\times J, \\ {\rm (b)}\ \ u_{tt}+\kappa u_t+\sigma_x+\sin u=f, \ (x, t)\in\Omega\times J, \\ {\rm (c)}\ \ u(a, t)=u(b, t)=0, \ t\in J, \\ {\rm (d)}\ \ u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ x\in\Omega. \end{array}\right. $

(2.1)

对应于一阶系统(2.1)的混合变分形式为:求$(\sigma, u)\in H^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 使得

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ (\sigma, w)-(w_x, u)=0, \ \forall w\in H^1(\Omega), \\ {\rm (b)}\ \ (u_{tt}, v)+\kappa(u_t, v)+(\sigma_x, v)+(\sin u, v)=(f, v), \ \forall v\in L^2(\Omega), \\ {\rm (c)}\ \ u(x, 0)=u_0(x), \ u_t(x, 0)=u_1(x), \ x\in\Omega. \end{array}\right. $

(2.2)

对区间$\overline{\Omega}=[a, b]$作原始网格剖分: $ a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_N=b. $相应的对偶网格剖分为

$ a=x_0<x_{\frac{1}{2}}<x_{\frac{3}{2}}<\cdots<x_{N-\frac{1}{2}}<x_N=b, $

其中$x_{i+\frac{1}{2}}=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}$ $(i=0, 1, \cdots, N-1)$.则原始网格剖分$T_h=\{A_i=[x_i, x_{i+1}] : i=0, 1, \cdots, N-1\}$.记$h_i=x_{i+1}-x_i$, $h=\max\limits_{0\leq i\leq N-1} h_i$.假设$T_h$为拟一致网格, 即存在某一正常数$\alpha$使得$h_i\geq \alpha h$ $(i=0, 1, \cdots, N-1)$.记$A_0^*=[x_0, x_{\frac{1}{2}}]$, $A_i^*=[x_{i-\frac{1}{2}}, x_{i+\frac{1}{2}}]$ $(i=1, 2, \cdots, N-1)$以及$A_N^*=[x_{N-\frac{1}{2}}, x_N]$, 取对偶网格剖分为$T_h^*=\{A_i^* : i=0, 1, \cdots, N\}$.

选取有限元空间$H_h\times L_h$作为试探函数空间, 其中

$ H_h=\{w_h\in H^1 (\Omega) : w_h\in P_1(A), \forall A\in T_h\}, $

$ L_h=\{v_h\in L^2(\Omega) : v_h|_A\ \mbox{是常数}, \ \forall A\in T_h\}. $

令$\{\phi_i : i=0, 1, \cdots, N\}$和$\{\chi_{A_i} : i=0, 1, \cdots, N-1\}$分别为有限元空间$H_h$和$L_h$的基, 其中$\phi_i$是分段线性多项式(见文献[17]), $\chi_{A_i}$是集合$A_i$的特征函数.

系统(2.1)中的(a)和(b)方程分别在对偶剖分和原始剖分上积分, 利用Dirichlet边界条件(1.3), 用$(\sigma_h, u_h)$代替$(\sigma, u)$, 其中$(\sigma_h, u_h): [0, T]\rightarrow H_h\times L_h$, 则可以得到半离散混合有限体积元格式

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ \int_{A_0^*}\sigma_h {\rm{d}}x +u_h(x_{\frac{1}{2}}, t)=0, \ \int_{A_N^*}\sigma_h{\rm{d}}x-u_h(x_{N-\frac{1}{2}}, t)=0, \ t\in J, \\ {\rm(b)}\ \ \int_{A_i^*}\sigma_h{\rm{d}}x+u_h(x_{i+\frac{1}{2}}, t)-u_h(x_{i-\frac{1}{2}}, t)=0, \ t\in J, \ 1\leq i\leq N-1, \\ {\rm (c)}\ \ \int_{A_i}(u_{htt}+\kappa u_{ht}+\sigma_{hx}+\sin u_h){\rm{d}}x=\int_{A_i}f{\rm{d}}x, \ t\in J, \ 0\leq i\leq N-1, \\ {\rm (d)}\ \ \int_{A_i}u_h(x, 0){\rm{d}}x=\int_{A_i}u_0(x){\rm{d}}x, \ 0\leq i\leq N-1, \\ \qquad\int_{A_i}u_{ht}(x, 0){\rm{d}}x=\int_{A_i}u_1(x){\rm{d}}x, \ 0\leq i\leq N-1. \end{array}\right. $

(2.3)

现在, 定义迁移算子$\gamma_h: H_h\rightarrow L^2(\Omega)$如下

$ \gamma_h w_h=\sum\limits_{i=0}^N w_h(x_i)\chi_{A_i^*}, \ \forall w_h\in H_h, $

则有$\gamma_h\phi_i=\chi_{A_i^*}$ $(i=0, 1, \cdots, N)$.定义检验函数空间$Y_h=R(\gamma_h)$为$\gamma_h$的值域.在$Y_h\times L_h$上定义$b(\cdot, \cdot)$如下

$ b(\gamma_h w_h, v_h)=w_h(x_0)v_h(x_{\frac{1}{2}})-w_h(x_N)v_h(x_{N-\frac{1}{2}}) \\+\sum\limits_{i=1}^{N-1}w_h(x_i)[v_h(x_{i+\frac{1}{2}})-v_h(x_{i-\frac{1}{2}})]. $

经过简单计算可知$b(\gamma_h w_h, v_h)=-(w_{hx}, v_h)$, $\forall w_h\in H_h, \forall v_h\in L_h$.从而半离散格式(2.3)可以写为:求$(\sigma_h, u_h): [0, T]\rightarrow H_h\times L_h$, 使得

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ (\sigma_h, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, u_h)=0, \ \forall w_h\in H_h, \\ {\rm (b)}\ \ (u_{htt}, v_h)+\kappa(u_{ht}, v_h)+(\sigma_{hx}, v_h)+(\sin u_h, v_h)=(f, v_h), \forall v_h\in L_h, \\ {\rm (c)}\ \ (u_h(\cdot, 0), v_h)=(u_0, v_h), \ (u_{ht}(\cdot, 0), v_h)=(u_1, v_h), \ \forall v_h\in L_h. \end{array}\right. $

(2.4)

为了进行理论分析，首先给出迁移算子$\gamma_h$的性质.

引理3.1^[17]  迁移算子$\gamma_h$是有界的, 且满足

$ \|\gamma_h w_h\|\leq \sqrt{3}\|w_h\|, \ \forall w_h\in H_h, $

(3.1)

$ \|(I-\gamma_h)w_h\|\leq \frac{\sqrt{12}}{12}h|w_h|_1, \ \forall w_h\in H_h, $

(3.2)

$ |(p_h, (I-\gamma_h)w_h)|\leq \frac{\sqrt{12}}{12}h|p_h|_1\|w_h\|, \ \forall p_h, w_h\in H_h. $

(3.3)

引理3.2^[17]  迁移算子$\gamma_h$满足对称性, 即有

$ (p_h, \gamma_hw_h)=(\gamma_hp_h, w_h), \ \forall w_h, p_h\in H_h. $

(3.4)

引理3.3^[17]  迁移算子$\gamma_h$满足下述正定性

$ (\gamma_hw_h, w_h)\geq \frac{3}{4}\|w_h\|^2, \ \forall w_h\in H_h. $

(3.5)

令$\pi_h: H^1(\Omega)\rightarrow H_h$是椭圆投影, 满足

$ ((w-\pi_hw)_x, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, \ \mbox{其中}\ w\in H^1(\Omega), $

(3.6)

令$R_h: L^2(\Omega)\rightarrow L_h$是$L^2$正交投影

$ (\varphi-R_h\varphi, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, \ \mbox{其中}\ \varphi\in L^2(\Omega). $

(3.7)

由文献[19-20]可知下列估计式成立

$ \|w-\pi_hw\|\leq Ch\|w\|_1, \ \forall w\in H^1(\Omega), $

(3.8)

$ \|(w-\pi_hw)_x\|\leq Ch\|w\|_2, \ \forall w\in H^2(\Omega), $

(3.9)

$ \|\varphi-R_h\varphi\|\leq Ch\|\varphi\|_1, \ \forall \varphi\in H^1(\Omega). $

(3.10)

现在, 引入广义混合有限体积元投影:定义$(\tilde{\sigma}_h, \tilde{u}_h): [0, T]\rightarrow H_h\times L_h$, 满足

$ (\tilde{\sigma}_h-\sigma, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \tilde{u}_h-u)=(\sigma, (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(3.11a)

$ ((\tilde{\sigma}_h-\sigma)_x, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h. $

(3.11b)

定理3.1  广义混合有限体积元投影(3.11)有唯一解$(\tilde{\sigma}_h, \tilde{u}_h)\in H_h\times L_h$.

证  只需证明齐次系统有唯一解即可.在(3.11)式令$\sigma=0$, $u=0$, 则有

$ (\tilde{\sigma}_h, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \tilde{u}_h)=0, \ \forall w_h\in H_h, $

(3.12a)

$ (\tilde{\sigma}_{hx}, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h. $

(3.12b)

在(3.12)式中取$w_h=\tilde{\sigma}_h$, $v_h=\tilde{u}_h$, 由引理3.3可知

$ \frac{3}{4}\|\tilde{\sigma}_h\|^2\leq (\tilde{\sigma}_h, \gamma_h\tilde{\sigma}_h)=0, $

从而$\tilde{\sigma}_h=0$.注意到$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x}(H_h)=L_h$, 在(3.12a)式中选取$w_h\in H_h$满足$w_{hx}=\tilde{u}_h$, 可得$\tilde{u}_h=0$.

定理3.1证毕.

下面给出广义混合有限体积元投影(3.11)的估计.

定理3.2  设$(\tilde{\sigma}_h, \tilde{u}_h)$满足(3.11)式, 则存在不依赖$h$和$t$的正常数$C$, 满足

$ \|\sigma-\tilde{\sigma}_h\|\leq Ch\|\sigma\|_1, \ \mbox{其中 } \; \sigma\in H^1(\Omega), $

(3.13)

$ \|u-\tilde{u}_h\|\leq Ch(\|\sigma\|_1+\|u\|_1), \ \mbox{其中 }\; \sigma, u\in H^1(\Omega). $

(3.14)

证  由(3.6)式和(3.11b)式, 可得$\tilde{\sigma}_h=\pi_h\sigma$, 从而估计式(3.13)成立.

注意到$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x}(H_h)=L_h$, 有$(w_{hx}, R_hp-p)=0$, $\forall v_h\in H_h$, 则由(3.11a)式, 可得

$ (\tilde{\sigma}_h-\sigma, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \tilde{u}_h-R_hu)=(\sigma, (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h. $

(3.15)

下面引入辅助问题, 给定$\psi\in L^2(\Omega)$, 令$\phi$是下述椭圆问题的解

$ \left\{ \begin{array}{ll} -\frac{{\rm{d}}^2\phi}{{\rm{d}}x^2}=\psi, x\in\Omega, \\[2mm] \phi=0, \;\;\;x\in \partial\Omega. \end{array}\right. $

(3.16)

由椭圆方程的正则性理论可得$\phi\in H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$和$ \|\phi\|_2\leq C\|\psi\|. $

在(3.6)式中取$v_h=(\pi_h w)_x$, 则有

$ \|(\pi_h w)_x\|=|\pi_h w|_1\leq |w|_1\leq \|w\|_1, \forall w\in H^1(\Omega). $

(3.17)

利用投影(3.6)和(3.7), 可得

$ (\tilde{u}_h-R_hu, \psi)=(\tilde{u}_h-R_hu, -\phi_{xx}) =(\tilde{u}_h-R_hu, -(\pi_h\phi_x)_x)\\ =(\sigma, (I-\gamma_h)(\pi_h\phi_x)) +(\tilde{\sigma}_h-\sigma, (I-\gamma_h\pi_h)(\phi_x)) -(\tilde{\sigma}_h-\sigma, \phi_x)\\ =(\sigma, (I-\gamma_h)(\pi_h\phi_x)) +(\tilde{\sigma}_h-\sigma, (I-\gamma_h\pi_h)(\phi_x)) +((\tilde{\sigma}_h-\sigma)_x, \phi-R_h\phi). $

(3.18)

利用(3.8)式和引理3.1, 得到

$ |(\sigma, (I-\gamma_h)(\pi_h\phi_x))| \\=|(\sigma-\pi_h\sigma, (I-\gamma_h)(\pi_h\phi_x))+(\pi_h\sigma, (I-\gamma_h)(\pi_h\phi_x))|\\ \leq Ch^2\|\sigma\|_1\|\pi_h\phi_x\|_1+Ch\|\pi_h\sigma\|_1\|\pi_h\phi_x\| \\ \leq Ch\|\sigma\|_1\|\phi\|_2\leq Ch\|\sigma\|_1\|\psi\|. $

(3.19)

且有

$ |(\tilde{\sigma}_h-\sigma, (I-\gamma_h\pi_h)(\phi_x))| \leq Ch^2\|\sigma\|_1\|\psi\|, $

(3.20)

$ |((\tilde{\sigma}_h-\sigma)_x, \phi-R_h\phi)| \leq Ch\|\sigma\|_1\|\psi\|. $

(3.21)

将(3.19)-(3.21)式代入(3.18)式, 可得

$ \|\tilde{u}_h-R_hu\|\leq Ch\|\sigma\|_1. $

(3.22)

应用三角不等式完成估计式(3.14)的证明.

在系统(3.11)中关于时间$t$求导数, 类似于定理3.2的证明, 可得下述估计.

定理3.3  设$(\tilde{\sigma}_h, \tilde{u}_h)$满足(3.11)式, 则存在不依赖$h$和$t$的正常数$C$, 对$i=1, 2$, 满足

$ \bigg\|\frac{\partial^i\sigma}{\partial t^i} -\frac{\partial^i\tilde{\sigma}_h}{\partial t^i}\bigg\| \leq Ch\bigg\|\frac{\partial^i\sigma}{\partial t^i}\bigg\|_1, $

(3.23)

$ \bigg\|\frac{\partial^iu}{\partial t^i}-\frac{\partial^i\tilde{u}} {\partial t^i}\bigg\|\leq Ch \bigg(\bigg\|\frac{\partial^i\sigma}{\partial t^i}\bigg\|_1+ \bigg\|\frac{\partial^iu}{\partial t^i}\bigg\|_1\bigg). $

(3.24)

定理4.1  半离散混合有限体积元格式(2.4)存在唯一解.

证 由于$\{\phi_j\}_{j=0}^N$和$\{\chi_{A_j}\}_{j=0}^{N-1}$分别是$H_h$和$L_h$的基函数, 因此$\sigma_h\in H_h$, $u_h\in L_h$可以表示为

$ \sigma_h(x, t)=\sum\limits_{j=0}^N \sigma_j(t)\phi_j(x), \ u_h(x, t)=\sum\limits_{j=0}^{N-1} u_j(t)\chi_{A_j}. $

(4.1)

将其代入(2.4)式中, 并取$w_h=\phi_i$ $(i=0, 1, \cdots, N)$, $v_h=\chi_{A_i}$ $(i=0, 1, \cdots, N-1)$, 则半离散格式(2.4)可以表示为矩阵形式:求$\{Z(t), U(t)\}$, 使得

$ \left\{ \begin{array}{l} AZ(t)-BU(t)=0, \\ CU^{''}(t)+\kappa CU^{'}(t)+B^TZ(t)+D(U(t))=F(t), \\ CU(0)=U_0, \ CU^{'}(0)=U_1, \end{array} \right. $

(4.2)

其中

$ \begin{array}{ll} Z(t)=(\sigma_0(t), \sigma_1(t), \cdots, \sigma_N(t))^T, &U(t)=(u_0(t), u_1(t), \cdots, u_{N-1}(t))^T, \\ A=((\gamma_h\phi_i, \phi_j))_{i=0, \cdots, N;j=0, \cdots, N}, &B=((\phi_{ix}, \chi_{A_j}))_{i=0, \cdots, N;j=0, \cdots, N-1}, \\ C=((\chi_{A_i}, \chi_{A_j}))_{i=0, \cdots, N-1;j=0, \cdots, N-1}, &D(U(t))=(h_i\sin(u_i(t)))_{i=0, \cdots, N-1}^T, \\[2mm] F(t)=\Big(\int_{A_i}f{\rm{d}}x\Big)_{i=0, \cdots, N-1}^T, & U_0= \Big(\int_{A_i}u_0{\rm{d}}x\Big)_{i=0, \cdots, N-1}^T, \\[3mm] U_1=\Big(\int_{A_i}u_1{\rm{d}}x\Big)_{i=0, \cdots, N-1}^T.& \end{array} $

注意到矩阵$A$和$C$是对称正定矩阵, 则系统(4.2)可以改写为

$ \left\{ \begin{array}{l} Z(t) - {A^{ - 1}}BU(t) = 0,\\ U(t) + \kappa U(t) + {C^{ - 1}}{B^T}{A^{ - 1}}BU(t) + {C^{ - 1}}D(U(t)) = {C^{ - 1}}F(t),\\ U(0) = {C^{ - 1}}{U_0},\;U(0) = {C^{ - 1}}{U_1}. \end{array} \right. $

(4.3)

从而根据微分方程理论可知系统(4.3)存在唯一解, 这表明半离散格式(2.4)存在唯一解.

系统(2.4)和(2.4)作差, 可得误差方程

$ (u(0)-u_h(0), v_h)=0, \ (u_t(0)-u_{ht}(0), v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, $

(4.4a)

$ (\sigma(0)-\sigma_h(0), \gamma_h w_h)-(w_{hx}, u(0)-u_h(0)) \\=-(\sigma(0), (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(4.4b)

$ (\sigma-\sigma_h, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, u-u_h) =-(\sigma, (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(4.4c)

$ (u_{tt}-u_{htt}, v_h)+\kappa(u_t-u_{ht}, v_h)+(\sigma_x-\sigma_{hx}, v_h) \\=-(\sin u-\sin u_h, v_h), \ \forall v_h\in L_h. $

(4.4d)

令$ u-u_h=(u-\tilde{u}_h)+(\tilde{u}_h-u_h)=\rho+\xi,$ $\sigma-\sigma_h=(\sigma-\tilde{\sigma}_h)+(\tilde{\sigma}_h-\sigma_h)=\eta+\zeta, $ 其中$(\tilde{\sigma}_h, \tilde{u}_h)$是$(\sigma, u)$的广义混合有限体积元投影.则误差方程可以写为

$ (\rho(0)+\xi(0), v_h)=0, \ (\rho_t(0)+\xi_t(0), v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, $

(4.5a)

$ (\eta(0)+\zeta(0), \gamma_h w_h)=-(\sigma(0), (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(4.5b)

$ (\zeta, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, \xi)=0, \ \forall w_h\in H_h, $

(4.5c)

$ (\xi_{tt}, v_h)+\kappa(\xi_t, v_h)+(\zeta_x, v_h) \\=-(\sin u-\sin u_h, v_h) -(\rho_{tt}, v_h)-\kappa(\rho_t, v_h), \ \forall v_h\in L_h. $

(4.6c)

定理4.2  设$u_h(0)$和$u_{ht}(0)$满足系统(2.4)中(c)方程, 则存在不依赖$h$和$t$的正常数$C$, 使得

$ \|(\sigma-\sigma_h)(t)\|\leq Ch(\|\sigma(t)\|_1+\|*\|), $

$ \|(u-u_h)(t)\|\leq Ch(\|u(t)\|_1+\|\sigma(t)\|_1+\|*\|), $

$ \|(u-u_h)_t(t)\|\leq Ch(\|u_t(t)\|_1+\|\sigma_t(t)\|_1+\|*\|), $

其中$ \|*\|=\|u(0)\|_1+\|\sigma(0)\|_1+\|u_t(0)\|_1+\|\sigma_t(0)\|_1 +\sum\limits_{i=0}^2[(\int_0^t\|\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\|_1^2{\rm{d}}s)^{\frac{1}{2}} \\+(\int_0^t\|\frac{\partial^i \sigma}{\partial t^i}\|_1^2){\rm{d}}s)^{\frac{1}{2}}]. $

证  方程(4.5c)关于$t$求导数, 可得

$ (\zeta_t, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, \xi_t)=0, \ \forall w_h\in H_h. $

(4.6)

在(4.6)式中取$w_h=\zeta$, (4.5d)式中取$v_h=\xi_t$, 注意到$(\zeta_t, \gamma_h\zeta)=\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\zeta, \gamma_h\zeta)$, 可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}[\|\xi_t\|^2+(\zeta, \gamma_h\zeta)]+\kappa\|\xi_t\|^2 \\=-(\sin u-\sin u_h, \xi_t)-(\rho_{tt}, \xi_t)-\kappa(\rho_t, \xi_t). $

(4.7)

注意到$\sin u-\sin u_h=2\cos\frac{u+u_h}{2}\sin\frac{u-u_h}{2}$, 应用Cauchy-Schwarz不等式, 可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}[\|\xi_t\|^2+(\zeta, \gamma_h\zeta)]+\kappa\|\xi_t\|^2 \leq C(\|\rho\|^2+\|\rho_t\|^2+\|\rho_{tt}\|^2)\\+C(\|\xi\|^2+\|\xi_t\|^2). $

(4.8)

上式关于时间从$0$到$t$积分, 可得

$ \|\xi_t\|^2+(\zeta, \gamma_h\zeta)+2\kappa\int_0^t\|\xi_t\|^2{\rm{d}}s \\ \leq C(\|\xi_t(0)\|^2+\|\zeta(0)\|^2) \\+C\int_0^t(\|\rho\|^2+\|\rho_t\|^2+\|\rho_{tt}\|^2){\rm{d}}s \\+C\int_0^t(\|\xi\|^2+\|\xi_t\|^2){\rm{d}}s. $

(4.9)

由于$\xi(t)=\xi(0)+\int_0^t\xi_t{\rm{d}}s$, 则有

$ \|\xi\|^2\leq C\bigg(\|\xi(0)\|^2+\int_0^t\|\xi_t\|^2{\rm{d}}s\bigg). $

注意到

$ \int_0^t\int_0^\tau|\psi|^2 {\rm{d}}s{\rm{d}}\tau\leq C\int_0^t|\psi|^2{\rm{d}}s, $

其中$\psi$是$[0, T]$上的可积函数, 可得

$ \|\xi_t\|^2+\frac{3}{4}\|\zeta\|^2+2\kappa\int_0^t\|\xi_t\|^2{\rm{d}}s \\ \leq C(\|\xi_t(0)\|^2+\|\zeta(0)\|^2+\|\xi(0)\|^2) \\+C\int_0^t(\|\rho\|^2+\|\rho_t\|^2+\|\rho_{tt}\|^2){\rm{d}}s \\+C\int_0^t\|\xi_t\|^2{\rm{d}}s. $

(4.10)

应用Gronwall引理, 得到

$ \|\xi_t\|^2+\frac{3}{4}\|\zeta\|^2 \leq C(\|\xi_t(0)\|^2+\|\zeta(0)\|^2+\|\xi(0)\|^2) \\+C\int_0^t(\|\rho\|^2+\|\rho_t\|^2+\|\rho_{tt}\|^2){\rm{d}}s. $

(4.11)

从而

$ \|\xi\|^2 \leq C(\|\xi_t(0)\|^2+\|\zeta(0)\|^2+\|\xi(0)\|^2) \\+C\int_0^t(\|\rho\|^2+\|\rho_t\|^2+\|\rho_{tt}\|^2){\rm{d}}s. $

(4.12)

由于$u_h(0)$和$u_{ht}(0)$满足(4.5a)式, 由定理3.2可知

$ \|\xi(0)\|\leq C\|\rho(0)\|\leq Ch(\|u(0)\|_1+\|\sigma(0)\|_1), \ $

(4.13)

$ \|\xi_t(0)\|\leq C\|\rho_t(0)\|\leq Ch(\|u_t(0)\|_1+\|\sigma_t(0)\|_1). $

(4.14)

此外, 在(4.5b)式中取$w_h=\zeta(0)$, 可得

$ (\zeta(0), \gamma_h \zeta(0))=-(\eta(0), \gamma_h \zeta(0))-(\sigma(0), (I-\gamma_h)\zeta(0))\\ =-(\eta(0), \gamma_h \zeta(0))-(\sigma(0)-\pi_h\sigma(0), (I-\gamma_h)\zeta(0)) -(\pi_h\sigma(0), (I-\gamma_h)\zeta(0)), $

应用引理3.1, 引理3.3和定理3.2, 可得

$ \|\zeta(0)\|\leq Ch\|\sigma(0)\|_1. $

(4.15)

将(4.13), (4. 14)和(4. 15)代入到(4.11)和(4.12)式中, 应用定理3.2, 得到

$ \|\xi_t\|^2+\|\zeta\|^2 \leq Ch^2\bigg(\|u(0)\|_1^2+\|\sigma(0)\|_1^2 +\|u_t(0)\|^2_1 +\|\sigma_t(0)\|^2_1 \\ +\int_0^t\sum\limits_{i=0}^2\bigg( \bigg\|\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\bigg\|_1^2 +\bigg\|\frac{\partial^i \sigma}{\partial t^i}\bigg\|_1^2\bigg){\rm{d}}s \bigg ), $

(4.16)

$ \|\xi\|^2\leq Ch^2\bigg(\|u(0)\|_1+\|\sigma(0)\|_1+\|u_t(0)\|^2_1 +\|\sigma_t(0)\|^2_1 \\ +\int_0^t\sum\limits_{i=0}^2 \bigg( \bigg \|\frac{\partial^i u}{\partial t^i}\bigg\|_1^2 +\bigg\|\frac{\partial^i \sigma}{\partial t^i}\bigg\|_1^2\bigg){\rm{d}}s\bigg). $

(4.17)

最后应用三角不等式完成定理的证明.

令$0=t_0 < t_1 < \cdots < t_M=T$是时间区域$[0, T]$的剖分, $t_n=n\Delta t$, 其中时间步长$\Delta t=T/M$, $M$是某一正整数.为了构造全离散格式, 对于$[0, T]$上函数$\phi$, 记$\phi^n=\phi(t_n)$, 以及

$ \phi^{n+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(\phi^{n+1}+\phi^n), \ \partial_t\phi^{n+\frac{1}{2}}=\frac{\phi^{n+1}-\phi^n}{\Delta t}, $

$ \overline{\partial}_t\phi^n=\frac{\phi^{n+1}-\phi^{n-1}}{2\Delta t}, \ \partial_t^2\phi^n=\frac{\partial_t\phi^{n+\frac{1}{2}} -\partial_t\phi^{n-\frac{1}{2}}}{\Delta t}. $

令$Z^n$和$U^n$分别是$\sigma$和$u$在$t=t_n$处的全离散解, 现在给出时间显式全离散混合有限体积元格式:求$\{Z^n, U^n\}\in H_h\times L_h$ $(n=0, 1, \cdots, M)$, %对$\forall w_h\in H_h, \forall v_h\in L_h$, 满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ (U^0, v_h)=(u_0, v_h), \ \forall v_h\in L_h, \\ {\rm (b)}\ \ (Z^0, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, U^0)=0, \ \forall w_h\in H_h, \\[2mm] {\rm (c)}\;\;\;\;\;\; \ (\frac{2}{\Delta t}\partial_tU^{\frac{1}{2}}, v_h) +\kappa(\partial_tU^{\frac{1}{2}}, v_h)+(Z_x^0, v_h)+(\sin U^0, v_h)\\[2mm] \;\;\;\;=(f^0, v_h)+(\frac{2}{\Delta t}u_t(0), v_h), \ \forall v_h\in L_h, \\ {\rm (d)}\ \ (Z^{n+1}, \gamma_h w_h)-(w_{hx}, U^{n+1})=0, \ \forall w_h\in H_h, \ n\geq 0, \\ {\rm (e)}\ \ \;\;\;\;\;\;(\partial_t^2 U^n, v_h)+\kappa(\overline{\partial}_tU^n, v_h) +(Z_x^n, v_h)+(\sin U^n, v_h)\\ \;\;\;\;=(f^n, v_h), \ \forall v_h\in L_h, \ n\geq 1. \end{array} \right. $

(5.1)

类似于文献[21], 存在无$h$无关的正常数$c_0$, 成立下述逆不等式

$ \|\psi_x\|\leq c_0h^{-1}\|\psi\|, \ \forall\psi\in H_h. $

下面给出时间显格式(5.1)是条件稳定的, 证明过程类似于定理5.2, 因此将不再重复.

定理5.1  设$h$和$\Delta t$满足$c_0h^{-1}\Delta t < 1$, 则时间显格式(5.1)是稳定的, 即

$ \|U^{m}\| \ \mbox{和}\ \|\partial_tU^{m+\frac{1}{2}}\| +\|Z^{m+\frac{1}{2}}\| $

是有界的.

为进行误差估计, 令$ u(t_n)-U^n=(u(t_n)-\tilde{u}_h(t_n)) +(\tilde{u}_h(t_n)-U^n)=\rho^n+\xi^n, $ $\sigma(t_n)-Z^n=(\sigma(t_n)-\tilde{\sigma}_h(t_n)) +(\tilde{\sigma}_h(t_n)-Z^n)=\eta^n+\zeta^n, $ 其中$\tilde{\sigma}_h$和$\tilde{u}_h$是$\sigma$和$u$的广义混合有限体积元投影.利用广义混合有限体积元投影, 可以得到$\zeta^n$和$\xi^n$的误差方程

$ (\rho^0+\xi^0, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, $

(5.2)

$ (\sigma^0-Z^0, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, u^0-U^0)=-(\sigma^0, (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(5.3)

$ (\frac{2}{\Delta t}\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, v_h) +\kappa(\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, v_h) +(\zeta_x^0, v_h)\\ =-(\frac{2}{\Delta t}\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, v_h)-\kappa(\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, v_h) -(\tau^0, v_h)-\kappa(\beta^0, v_h)\\ -(\sin u^0-\sin U^0, v_h), \ \forall v_h\in L_h, $

(5.4)

$ (\zeta^{n+1}, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \xi^{n+1})=0, \ \forall w_h\in H_h, $

(5.5)

$ (\partial_t^2\xi^n, v_h)+\kappa(\overline{\partial}_t\xi^n, v_h)+(\zeta_x^n, v_h) \\ =-(\partial_t^2\rho^n, v_h)-\kappa(\overline{\partial}_t\rho^n, v_h) -(\sin u^n-\sin U^n, v_h)\\ -(\tau^n, v_h)-\kappa(\beta^n, v_h), \ \forall v_h\in L_h, $

(5.6)

其中$ \tau^0=u_{tt}^0 -\frac{2}{\Delta t}(\partial_tu^{\frac{1}{2}}-u_t(0)), $ $ \beta^0=u_t^{0}-\partial_tu^{\frac{1}{2}}, \tau^n=u_{tt}^{n}-\partial_t^2u(t_n), $ $ \beta^n=u_t^{n}-\overline{\partial}_tu^n. $

定理5.2  设$U^0$和$Z^0$满足(5.1)式中(a)和(b)方程, $h$和$\Delta t$满足$c_0h^{-1}\Delta t < 1$, 则存在与$h$和$\Delta t$无关的正常数$C$, 使得

$ \max\limits_{0\leq J\leq M}\|u(t_J)-U^J\| \leq Ch(\|(u, \sigma)\|_*) +C\Delta t^2\|u\|_\star, \\[2mm] \max\limits_{0\leq m\leq M-1}\{\|u_t(t_{m+\frac{1}{2}})-\partial_tU^{m+\frac{1}{2}}\|+ \|\sigma(t_{m+\frac{1}{2}})-Z^{m+\frac{1}{2}}\|\}\\ \leq Ch(\|(u, \sigma)\|_*+\|(u, \sigma)\|_\diamond)+C\Delta t^2\|u\|_\star, $

其中$\|u\|_\star=\|u_{ttt}\|_{L^\infty(0, T; L^2)}+\|u_{tt}\|_{L^\infty(0, T; L^2)}+\|u_{ttt}\|_{L^2(0, T; L^2)} +\|u_{tttt}\|_{L^2(0, T; L^2)}$, $\|(u, \sigma)\|_\diamond=\|u_t\|_{L^\infty(0, T; H^1)}+\|\sigma_t\|_{L^\infty(0, T; H^1)} +\|u_{tt}\|_{L^2(0, T; H^1)}+\|\sigma_{tt}\|_{L^2(0, T; H^1)}, $ $\|(u, \sigma)\|_*=\|u(0)\|_{H^1}+\|\sigma(0)\|_{H^1}+\|u\|_{L^\infty(0, T; H^1)} +\|\sigma\|_{L^\infty(0, T; H^1)}+\|u_t\|_{L^2(0, T; H^1)}\\+\|\sigma_t\|_{L^2(0, T; H^1)}.$

证  用$\frac{\Delta t}{2}$乘以(5.4)式, 可得

$ (\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, v_h)+\kappa(\xi^{\frac{1}{2}}-\xi^0, v_h) +\frac{\Delta t}{2}(\zeta_x^0, v_h) \\ =-(\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, v_h) -\kappa(\rho^{\frac{1}{2}}-\rho^0, v_h) -\frac{\Delta t}{2}(\tau^0, v_h) \\-\frac{\Delta t}{2}\kappa(\beta^0, v_h)-\frac{\Delta t}{2}(\sin u^0-\sin U^0, v_h). $

(5.7)

定义$\hat{\zeta}^0=\frac{\Delta t}{2}\zeta^0, \ \hat{\zeta}^n=\frac{\Delta t}{2}\zeta^0+\Delta t\sum\limits_{j=1}^{n}\zeta^{j}.$ (5.6)式乘以$\Delta t$并且让$n$从1到$m$求, 可得

$ (\partial_t \xi^{m+\frac{1}{2}}-\partial_t \xi^{\frac{1}{2}}, v_h)+\kappa(\xi^{m+\frac{1}{2}}-\xi^{\frac{1}{2}}, v_h) +(\hat{\zeta}_x^m-\hat{\zeta}_x^0, v_h)\\ =-(\partial_t \rho^{m+\frac{1}{2}}-\partial_t \rho^{\frac{1}{2}}, v_h)-\kappa(\rho^{m+\frac{1}{2}}-\rho^{\frac{1}{2}}, v_h)\\ -\Delta t\sum\limits_{n=1}^m[(\tau^n, v_h)+\kappa(\beta^n, v_h)+(\sin u^n-\sin U^n, v_h)]. $

(5.8)

利用(5.7), (5.8)和(5.2)式, 可得

$ (\partial_t \xi^{m+\frac{1}{2}}, v_h)+\kappa(\xi^{m+\frac{1}{2}}, v_h) +(\hat{\zeta}_x^m, v_h) \\ =-(\partial_t \rho^{m+\frac{1}{2}}, v_h) -\kappa(\rho^{m+\frac{1}{2}}, v_h)\\-\frac{\Delta t}{2}[(\tau^0, v_h) +\kappa(\beta^0, v_h)+(\sin u^0-\sin U^0, v_h)]\\ -\Delta t\sum\limits_{n=1}^m[(\tau^n, v_h)+\kappa(\beta^n, v_h)+(\sin u^n-\sin U^n, v_h)]. $

(5.9)

记$\sum\limits_{n=1}^0=0$, 在(5.9)式中令$m=0$, 注意到$\hat{\zeta}^0=\frac{\Delta t}{2}\zeta^0$, 比较(5.7)式, 可知(5.9)式在$m=0$时也是成立的.在(5.9)式中选取$v_h=\xi^{m+\frac{1}{2}}$, 可得

$ (\partial_t \xi^{m+\frac{1}{2}}, \xi^{m+\frac{1}{2}})+\kappa(\xi^{m+\frac{1}{2}}, \xi^{m+\frac{1}{2}}) +\frac{1}{2}(\hat{\zeta}_x^m, \xi^{m+1}) +\frac{1}{2}(\hat{\zeta}_x^m, \xi^{m})\\ =-(\partial_t \rho^{m+\frac{1}{2}}, \xi^{m+\frac{1}{2}}) -\kappa(\rho^{m+\frac{1}{2}}, \xi^{m+\frac{1}{2}})\\ -\frac{\Delta t}{2}[(\tau^0, \xi^{m+\frac{1}{2}}) +\kappa(\beta^0, \xi^{m+\frac{1}{2}})+(\sin u^0-\sin U^0, \xi^{m+\frac{1}{2}})] \\ -\Delta t\sum\limits_{n=1}^m[(\tau^n, \xi^{m+\frac{1}{2}}) +\kappa(\beta^n, \xi^{m+\frac{1}{2}})+(\sin u^n-\sin U^n, \xi^{m+\frac{1}{2}})]. $

(5.10)

注意到$\zeta^{m+1}=\partial_t\hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}$, 在(5.5)式中取$w_h=\hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}$, 则有

$ (\partial_t\hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h \hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}) -\frac{1}{2}(\hat{\zeta}^{m+1}_x, \xi^{m+1})-\frac{1}{2}(\hat{\zeta}^m_x, \xi^{m+1})=0. $

(5.11)

利用(5.10)和(5.11)式, 应用Cauchy-Schwarz不等式, 可得

$ \frac{1}{2\Delta t}[\|\xi^{m+1}\|^2-\|\xi^m\|^2] +\frac{1}{2\Delta t}[(\hat{\zeta}^{m+1}, \gamma_h\hat{\zeta}^{m+1})-(\hat{\zeta}^{m}, \gamma_h\hat{\zeta}^{m})] \\ +\kappa\|\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2 -\frac{1}{2}[(\hat{\zeta}^{m+1}_x, \xi^{m+1})-(\hat{\zeta}^{m}_x, \xi^{m})] \\ \leq C(\|\partial_t\rho^{m+\frac{1}{2}}\|^2+\|\rho^{m+\frac{1}{2}}\|^2+\|\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2) +C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2) \\ +C\Delta t[\sum\limits_{n=1}^m(\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2) +\sum\limits_{n=0}^m(\|\rho^n\|^2+\|\xi^n\|^2)]. $

(5.12)

(5.12)式乘以$2\Delta t$, 并让$m$从0到$J$求和, 可得

$ [\|\xi^{J+1}\|^2-\|\xi^0\|^2] +[(\hat{\zeta}^{J+1}, \gamma_h\hat{\zeta}^{J+1})-(\hat{\zeta}^{0}, \gamma_h\hat{\zeta}^{0})]\\ +2\kappa\Delta t\sum\limits_{m=0}^J\|\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2 -\Delta t[(\hat{\zeta}^{J+1}_x, \xi^{J+1})-(\hat{\zeta}^{0}_x, \xi^{0})] \\ \leq C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2) +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^J\|\partial_t\rho^{m+\frac{1}{2}}\|^2\\ +C\Delta t\sum\limits_{m=1}^J(\|\tau^m\|^2+\|\beta^m\|^2) +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^{J+1}\|\rho^m\|^2 +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^{J+1}\|\xi^m\|^2. $

(5.13)

应用Cauchy-Schwarz不等式和逆不等式, 取$h$和$\Delta t$满足$c_0h^{-1}\Delta t < 1$, 则有

$ |(\hat{\zeta}^{0}, \gamma_h\hat{\zeta}^{0})| =\frac{\Delta t^2}{4}|(\zeta^{0}, \gamma_h\zeta^{0})| \leq \frac{\Delta t^2}{4}c_0h^{-1}\|\zeta^0\|\|\xi^0\| \leq \frac{1}{8}\|\xi^0\|^2+\frac{\Delta t^2}{8}\|\zeta^0\|^2, $

$ |\Delta t(\hat{\zeta}^{J+1}_x, \xi^{J+1})| \leq c_0h^{-1}\Delta t\|\xi^{J+1}\|\|\hat{\zeta}^{J+1}\| \leq\frac{1}{2}\|\xi^{J+1}\|^2+\frac{1}{2}\|\hat{\zeta}^{J+1}\|^2, $

$ |\Delta t(\hat{\zeta}^{0}_x, \xi^{0})| \leq c_0h^{-1}\Delta t\|\xi^{0}\|\|\hat{\zeta}^{0}\| \leq\frac{1}{2}\|\xi^{0}\|^2+\frac{1}{2}\|\hat{\zeta}^{0}\|^2 \leq \frac{1}{2}\|\xi^{0}\|^2+\frac{\Delta t^2}{8}\|\zeta^{0}\|^2. $

利用上述不等式和引理3.3, 则(5.13)式变形为

$ \frac{1}{2}\|\xi^{J+1}\|^2 +\frac{1}{4}\|\hat{\zeta}^{J+1}\|^2\\ \leq C(\|\xi^0\|^2+\Delta t^2\|\zeta^0\|^2) +C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2)\\ +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^J\|\partial_t\rho^{m+\frac{1}{2}}\|^2 +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^{J+1}\|\rho^m\|^2 \\ +C\Delta t\sum\limits_{m=1}^J(\|\tau^m\|^2+\|\beta^m\|^2) +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^{J}\|\xi^m\|^2 +C\Delta t\|\xi^{J+1}\|^2. $

(5.14)

在(5.14)式中选$\Delta t$满足$C\Delta t < \frac{1}{4}$, 应用Gronwall引理可得

$ \|\xi^{J+1}\|^2 \leq C(\|\xi^0\|^2+\Delta t^2\|\zeta^0\|^2)\\+C\Delta t^2 (\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2)+C\Delta t\sum\limits_{m=0}^J\|\partial_t\rho^{m+\frac{1}{2}}\|^2 \\ +C\Delta t\sum\limits_{m=1}^J(\|\tau^m\|^2+\|\beta^m\|^2) +C\Delta t\sum\limits_{m=0}^{J+1}\|\rho^m\|^2. $

(5.15)

此外, 利用(5.5)式, 则有 $(\overline{\partial}_t\zeta^n, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \overline{\partial}_t\xi^n)=0, $ 且取$w_h=\zeta^n$, 在(5.6)式中取$v_h=\overline{\partial}_t\xi^n$, 注意到

$ (\overline{\partial}_t\zeta^n, \gamma_h\zeta^n) =\frac{1}{2\Delta t}[(\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{n+\frac{1}{2}}) -(\zeta^{n-\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{n-\frac{1}{2}})]\\ -\frac{\Delta t}{8}[(\partial_t\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{n+\frac{1}{2}}) -(\partial_t\zeta^{n-\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{n-\frac{1}{2}})], $

应用Cauchy-Schwarz不等式, 可得

$ \frac{1}{2\Delta t}[\|\partial_t\xi^{n+\frac{1}{2}}\|^2-\|\partial_t\xi^{n-\frac{1}{2}}\|^2] +\frac{1}{2\Delta t}[(\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{n+\frac{1}{2}})\\-(\zeta^{n-\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{n-\frac{1}{2}})] \\ -\frac{\Delta t}{8}[(\partial_t\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{n+\frac{1}{2}}) -(\partial_t\zeta^{n-\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{n-\frac{1}{2}})] +\kappa\|\overline{\partial}_t\xi^n\|^2\\ \leq C(\|\partial_t^2\rho^n\|^2+\|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2\\+ \|\rho^n\|^2+\|\xi^n\|^2+\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2+\|\overline{\partial}_t\xi^n\|^2). $

(5.16)

(5.16)式乘以$2\Delta t$, 对$n$从1到$m$求和, 可得

$ \|\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2-\|\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}\|^2 +(\zeta^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{m+\frac{1}{2}})\\-(\zeta^{\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{\frac{1}{2}}) +2\kappa\Delta t\sum\limits_{n=1}^m\|\overline{\partial}_t\xi^n\|^2\\ -\frac{\Delta t^2}{4}[(\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}) -(\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}})] \\ \leq C\Delta t\sum\limits_{n=0}^m\|\partial_t\xi^{n+\frac{1}{2}}\|^2 +C\Delta t\sum\limits_{n=1}^m(\|\partial_t^2\rho^n\|^2\\+\|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2 +\|\rho^n\|^2+\|\xi^n\|^2+\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2). \\ $

(5.17)

注意到$(\zeta^{\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{\frac{1}{2}})-\frac{\Delta t^2}{4}(\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}})=(\zeta^1, \gamma_h\zeta^0)$, 则有

$ \|\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2 +(\zeta^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h\zeta^{m+\frac{1}{2}}) +2\kappa\Delta t\sum\limits_{n=1}^m\|\overline{\partial}_t\xi^n\|^2\\ \leq \|\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}\|^2+(\zeta^1, \gamma_h\zeta^0) +\frac{\Delta t^2}{4}(\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}) +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^m\|\partial_t\xi^{n+\frac{1}{2}}\|^2\\ +C\Delta t\sum\limits_{n=1}^m(\|\partial_t^2\rho^n\|^2+\|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2 +\|\rho^n\|^2+\|\xi^n\|^2+\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2). $

(5.18)

为估计$\|\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}\|^2+(\zeta^{1}, \gamma_h\zeta^{0})$, (5.4)式乘以$\frac{\Delta t}{2}$, 并取$v_h=\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}$, 可得

$ (\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}}) +\frac{1}{2}\kappa\Delta t\|\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}\|^2 +\frac{\Delta t}{2}(\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}}, \gamma_h \zeta^0) \\ =-(\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}}) -\frac{\kappa\Delta t}{2}(\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}}) \\-\frac{\Delta t}{2}[(\tau^0, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}})+\kappa(\beta^0, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}}) +(\sin u^0-\sin U^0, \partial_t\xi^{\frac{1}{2}})]. $

注意到$\frac{\Delta t}{2}\partial_t\zeta^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(\zeta^1-\zeta^0)$, 应用Cauchy-Schwarz不等式, 可得

$ \|\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}\|^2 +(\zeta^{1}, \gamma_h\zeta^0) \leq C(\|\zeta^0\|^2+\|\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}\|^2) \\+C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2+\|\rho^0\|^2+\|\xi^0\|^2). $

(5.19)

利用(5.5)式和逆不等式, 可得 $\frac{\Delta t^2}{4}(\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_h\partial_t\zeta^{m+\frac{1}{2}}) \leq \frac{1}{3}\|\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2$, 并将(5.15)和(5.19)代入(5.18)式中, 利用引理3.3, 可得

$ \frac{2}{3}\|\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2 +\frac{3}{4}\|\zeta^{m+\frac{1}{2}}\|^2 \\ \leq C(\|\xi^0\|^2+\|\zeta^0\|^2+\|\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}\|^2) \\+C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2) +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^{m-1}\|\partial_t\rho^{n+\frac{1}{2}}\|^2 \\ +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^m\|\rho^n\|^2 +C\Delta t\sum\limits_{n=1}^m(\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2+\|\partial_t^2\rho^n\|^2+\|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2) \\ +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^m\|\partial_t\xi^{n+\frac{1}{2}}\|^2. $

(5.20)

选取$\Delta t$满足$C\Delta t < \frac{5}{12}$, 应用离散Gronwall引理, 可得

$ \|\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}\|^2 +\|\zeta^{m+\frac{1}{2}}\|^2 % \\ \leq C(\|\xi^0\|^2+\|\zeta^0\|^2\\+\|\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}\|^2) +C\Delta t^2(\|\tau^0\|^2+\|\beta^0\|^2) \\ +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^{m-1}\|\partial_t\rho^{n+\frac{1}{2}}\|^2 +C\Delta t\sum\limits_{n=0}^m\|\rho^n\|^2\\ +C\Delta t\sum\limits_{n=1}^m(\|\tau^n\|^2+\|\beta^n\|^2+\|\partial_t^2\rho^n\|^2+\|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2). $

(5.21)

为了估计(5.15)和(5.21)式的右端项, 利用Taylor展开的积分余项公式, 可得

$ \|\partial_t\rho^{n+\frac{1}{2}}\|^2\leq \frac{C}{\Delta t} \int_{t_n}^{t_{n+1}}\|\rho_t\|^2{\rm d}s, \ n\geq 0, $

(5.22)

$ \|\tau^0\|^2\leq C\Delta t^2\|u_{ttt}\|_{L^\infty(L^2(\Omega))}^2, \ \|\beta^0\|^2\leq C\Delta t^2\|u_{tt}\|_{L^\infty(L^2(\Omega))}^2, $

(5.23)

且对于$n\geq 1$, 有

$ \|\tau^n\|^2\leq C\Delta t^3\int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}} \|u_{tttt}\|^2{\rm{d}}s, \ \|\beta^n\|^2\leq C\Delta t^3\int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}} \|u_{ttt}\|^2{\rm{d}}s. $

(5.24)

$ \|\partial_t^2\rho^n\|^2\leq \frac{C}{\Delta t} \int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}} \|\rho_{tt}\|^2{\rm{d}}s, \ \|\overline{\partial}_t\rho^n\|^2\leq \frac{C}{\Delta t} \int_{t_{n-1}}^{t_{n+1}} \|\rho_{t}\|^2{\rm{d}}s. $

(5.25)

此外, 在(5.2)式中选取$q_h=\xi^0$, 可得

$ \|\xi^0\|\leq \|\rho^0\|\leq Ch(\|u(0)\|_1+\|\sigma(0)\|_1). $

(5.26)

利用(5.2)式, 将(5.3)式变形为$ (\zeta^0, \gamma_hw_h) =-(\eta^0, \gamma_hw_h)-(\sigma(0), (I-\gamma_h)w_h), $且选取$w_h=\zeta^0$, 利用引理3.1和3.3, 可得 $\|\zeta^0\|\leq Ch\|\sigma(0)\|_1.$ 最后, 将(5.22)-(5.26)式代入(5.15)和(5.21)式中, 应用三角不等式完成定理的证明.

系统(2.4)的时间隐式全离散混合有限体积元格式为:求$\{Z^n, U^n\}\in H_h\times L_h$ $(n=0, 1, \cdots, M)$, 满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ (U^0, v_h)=(u_0, v_h), \ \forall v_h\in L_h, \\ {\rm (b)}\ \ (Z^0, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, U^0)=0, \ \forall w_h\in H_h, \\[2mm] {\rm (c)}\ \ (\frac{2}{\Delta t}\partial_tU^{\frac{1}{2}}, v_h) +\kappa(\partial_tU^{\frac{1}{2}}, v_h) +(Z_x^{\frac{1}{2}}, v_h)\\[3mm] \;\;\;\;=-((\sin U)^\frac{1}{2}, v_h) +(f^\frac{1}{2}, v_h)+(\frac{2}{\Delta t}u_t(0), v_h) , \ \forall v_h\in L_h, \\[2mm] {\rm (d)}\ \ (Z^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, U^{n+\frac{1}{2}})=0, \ \forall w_h\in H_h, \ n\geq 0, \\ {\rm (e)}\ \ (\partial_t^2 U^n, v_h)+\kappa(\overline{\partial}_t U^n, v_h) +(Z_x^{n;\frac{1}{4}}, v_h)\\ \;\;\;\; =-((\sin U)^{n;\frac{1}{4}}, v_h)+(f^{n;\frac{1}{4}}, v_h), \ \forall v_h\in L_h, \ n\geq 1, \end{array} \right. $

(6.1)

其中$\phi^{n; \frac{1}{4}}=\frac{1}{4}(\phi^{n+1}+2\phi^n+\phi^{n-1}) =\frac{1}{2}(\phi^{n+\frac{1}{2}}+\phi^{n-\frac{1}{2}}).$

下面给出时间隐式全离散格式的误差估计.

定理6.1  设$U^0$和$Z^0$满足(6.1)式中的(a)和(b)方程, 则存在不依赖$h$和$\Delta t$的正常数$C$, 使得

$ \max\limits_{0\leq J\leq M}\|u(t_J)-U^J\| \leq Ch(\|(u, \sigma)\|_*) +C\Delta t^2\|u\|_t, \\[2mm] \max\limits_{0\leq m\leq M-1}\{\|u_t(t_{m+\frac{1}{2}})-\partial_tU^{m+\frac{1}{2}}\|+ \|\sigma(t_{m+\frac{1}{2}})-Z^{m+\frac{1}{2}}\|\}\\ \leq Ch(\|(u, \sigma)\|_*+\|(u, \sigma)\|_\diamond)+C\Delta t^2\|u\|_t, $

其中$\|u\|_t=\|u_{ttt}\|_{L^\infty(0, T; L^2)}+\|u_{ttt}\|_{L^2(0, T; L^2)} +\|u_{tttt}\|_{L^2(0, T; L^2)}$, 且$\|(u, \sigma)\|_*$和$\|(u, \sigma)\|_\diamond$同定理5.2中定义一致.

证 由于证明过程类似于定理5.2的证明, 因此只给出关键步骤. $\rho, \xi, \eta, \zeta$同第5节中定义相同, 利用广义混合有限体积元投影, 可得

$ (\rho^0+\xi^0, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, $

(6.2)

$ (\sigma(0)-Z^0, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, u(0)-U^0) =-(\sigma(0), (I-\gamma_h)w_h), \ \forall w_h\in H_h, $

(6.3)

$ (\frac{2}{\Delta t}\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, v_h) +\kappa(\partial_t\xi^{\frac{1}{2}}, v_h) +(\zeta_x^{\frac{1}{2}}, v_h)\\ =-(\tau_1^0, v_h)-(\frac{2}{\Delta t}\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, v_h) -\kappa(\beta_1^0, v_h)-\kappa(\partial_t\rho^{\frac{1}{2}}, v_h) \\ -((\sin u)^\frac{1}{2}-(\sin U)^\frac{1}{2}, v_h), \ \forall v_h\in L_h, $

(6.4)

$ (\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \xi^{n+\frac{1}{2}})=0, \ \forall w_h\in H_h, $

(6.5)

$ (\partial_t^2\xi^n, v_h) +\kappa(\overline{\partial}_t\xi^n, v_h) +(\zeta_x^{n;\frac{1}{4}}, v_h)\\ =-(\tau_1^n, v_h) -(\partial_t^2\rho^n, v_h) -\kappa(\beta_1^n, v_h) -\kappa(\overline{\partial}_t\rho^n, v_h) \\ -((\sin u)^{n;\frac{1}{4}}-(\sin U)^{n;\frac{1}{4}}, q_h), \ \forall v_h\in L_h, $

(6.6)

其中$ \tau_1^0=u_{tt}^{\frac{1}{2}} +\frac{2}{\Delta t}(u_t(0)-\partial_tu^{\frac{1}{2}}), \ \beta_1^0=u_t^{\frac{1}{2}}-\partial_tu^{\frac{1}{2}}, $ $ \tau_1^n=u_{tt}^{n; \frac{1}{4}}-\partial_t^2u(t_n), \ \beta_1^n=u_t^{n; \frac{1}{4}}-\overline{\partial}_tu^n.$

现在定义$\hat{\zeta}^0=0$和$\hat{\zeta}^n=\Delta t\sum\limits_{j=0}^{n-1}\zeta^{j+\frac{1}{2}}$, 则

$ \partial_t\hat{\zeta}^{n+\frac{1}{2}}=\zeta^{n+\frac{1}{2}}, \zeta^{n;\frac{1}{4}}=(\zeta^{n+\frac{1}{2}}+\zeta^{n-\frac{1}{2}})/2, \;\;\;\Delta t\sum\limits_{j=1}^J\zeta^{j;\frac{1}{4}} \\=\hat{\zeta}^{J+\frac{1}{2}}-\frac{\Delta t}{2}\zeta^{\frac{1}{2}}. $

令(6.6)式乘以$\Delta t$, 并对$n$从$1$到$m$求和, 利用(6.4)式, 可得

$ (\partial_t\xi^{m+\frac{1}{2}}, v_h) +\kappa(\xi^{m+\frac{1}{2}}, v_h) +(\hat{\zeta}_x^{m+\frac{1}{2}}, v_h) \\ =-(\partial_t\rho^{m+\frac{1}{2}}, v_h) -\kappa(\rho^{m+\frac{1}{2}}, v_h) -\frac{\Delta t}{2}[(\tau_1^0, v_h) \\+\kappa(\beta_1^0, v_h) +((\sin u)^\frac{1}{2}-(\sin U)^\frac{1}{2}, v_h)] \\ -\Delta t\sum\limits_{n=1}^m[(\tau_1^n, v_h)+\kappa(\beta_1^n, v_h) +((\sin u)^{n;\frac{1}{4}}-(\sin U)^{n;\frac{1}{4}}, v_h)]. $

(6.7)

将(6.5)式变形为

$ (\partial_t\hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}, \gamma_hw_h)-(w_{hx}, \xi^{m+\frac{1}{2}})=0. $

(6.8)

在(6.7)式和(6.8)式中分别取$v_h=\xi^{m+\frac{1}{2}}$和$w_h=\hat{\zeta}^{m+\frac{1}{2}}$, 类似于定理5.2的证明过程, 可得$\|u^J-U^J\|$的估计.同样, 在(6.6)式和(6.5)式中取$v_h=\overline{\partial}_t\xi^n$和$w_h=\zeta^{n+\frac{1}{2}}$, 可得到$\|u_t(t_{m+\frac{1}{2}})-\partial_tU^{m+\frac{1}{2}}\|+ \|\sigma(t_{m+\frac{1}{2}})-Z^{m+\frac{1}{2}}\|$的估计式.

现在讨论sine-Gordon方程(1.1)在Neumann边界条件(1.4)下的混合有限体积元格式.

同样引入辅助变量$\sigma=-u_x$, 将(1.1)式写为一阶微分方程系统(2.1).选择混合有限元空间$H_{0h}\times L_h$作为试探函数空间, 其中

$ H_{0h}=\{w_h\in H_0^1 (\Omega) : w_h\in P_1(A), \forall A\in T_h\}, $

$ L_h=\{v_h\in L^2(\Omega) : v_h|_A\ \mbox{是常数}, \ \forall A\in T_h\}, $

则$\{\phi_i : i=1, 2, \cdots, N-1\}$构成空间$H_{0h}$的一组基.

类似于Dirichlet条件下的混合有限体积元格式的构造方式, 可以建立sine-Gordon方程在Neumann边界条件下的半离散混合有限体积元格式:求$(\sigma_h, u_h): [0, T]\rightarrow H_{0h}\times L_h$, 满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ \int_{A_i^*}\sigma_h{\rm{d}}x+u_h(x_{i+\frac{1}{2}}, t)-u_h(x_{i-\frac{1}{2}}, t)=0, \ t\in J, \ 1\leq i\leq N-1, \\ {\rm (b)}\ \ \int_{A_i}(u_{htt}+\kappa u_{ht}+\sigma_{hx}+\sin u_h){\rm{d}}x=\int_{A_i}f{\rm{d}}x, \ t\in J, \ 0\leq i\leq N-1, \\ {\rm (c)}\ \ \int_{A_i}u_h(x, 0){\rm{d}}x=\int_{A_i}u_0(x){\rm{d}}x, \ 0\leq i\leq N-1, \\ \qquad \int_{A_i}u_{ht}(x, 0){\rm{d}}x=\int_{A_i}u_1(x){\rm{d}}x, \ 0\leq i\leq N-1. \end{array}\right. $

(7.1)

现在, 定义迁移算子$\gamma_h^*: H_{0h}\rightarrow L^2(\Omega)$为

$ \gamma_h^* w_h=\sum\limits_{i=1}^{N-1} w_h(x_i)\chi_{A_i^*}, \ \forall w_h\in H_{0h}. $

检验函数空间$ Y_h^*$为迁移算子$\gamma_h^*$的值域.在$Y_h^*\times L_h$上定义$b^*(\cdot, \cdot)$如下

$ b^*(\gamma_h^* w_h, v_h)= \sum\limits_{i=1}^{N-1}w_h(x_i)[v_h(x_{i+\frac{1}{2}})-v_h(x_{i-\frac{1}{2}})], \ \forall w_h\in H_{0h}, \forall v_h\in L_h. $

经过简单计算可得

$ b^*(\gamma_h^* w_h, v_h)=-(w_{hx}, v_h), ~~ \forall w_h\in H_{0h}, \ \forall v_h\in L_h. $

从而半离散混合有限体积元格式(7.1)可以写为:求$(\sigma_h, u_h): [0, T]\rightarrow H_{0h}\times L_h$, 满足

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm (a)}\ \ (\sigma_h, \gamma_h^* w_h)-(w_{hx}, u_h)=0, \ \forall w_h\in H_{0h}, \\ {\rm (b)}\ \ (u_{htt}, v_h)+\kappa(u_{ht}, v_h)+(\sigma_{hx}, v_h)+(\sin u_h, v_h)=(f, v_h), \ \forall v_h\in L_h, \\ {\rm (c)}\ \ (u_h(\cdot, 0), v_h)=(u_0, v_h), \ (u_{ht}(\cdot, 0), v_h)=(u_1, v_h), \ \forall v_h\in L_h. \end{array}\right. $

(7.2)

同样可以构造Neumann边界条件下的时间显式和隐式全离散混合有限体积元格式, 在离散格式(5.1)和(6.1)中, 用$H_{0h}$空间代替$H_h$空间, 可得Neumann边界条件下的时间显式和隐式全离散混合有限体积元格式.

为进行误差估计, 令$\pi_h^*: H^1_0(\Omega)\rightarrow H_{0h}$是以下正交投影

$ ((w-\pi_h^*w)_x, v_h)=0, \ \forall v_h\in L_h, \ \mbox{对}\ w\in H_0^1(\Omega), $

(7.3)

则$\pi_h^*$同样满足投影性质(3.8)和(3.9).类似于文献[17]中的证明过程, 可以证明迁移算子$\gamma_h^*$满足引理3.1-3.3.

然而, 需要指出的是, 如果在广义混合有限体积元投影(3.11)中, 将$H_{0h}$空间代替$H_h$空间得到新的方程组并不存在唯一解, 这是因为有限元空间$H_{0h}$和$L_h$满足$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x}(H_{0h})\subset L_h$和$\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}x}(H_{0h})\neq L_h$.尽管如此, 依然可以利用投影$\pi_h^*$和$L^2$投影$R_h$以及迁移算子$\gamma_h^*$的性质得到半离散和全离散格式的误差估计, 由于证明过程类似, 这里将不再叙述.

本节给出3个数值算例来验证数值求解sine-Gordon方程的混合有限体积元格式的有效性.在例1中同时考虑时间显格式和隐格式, 在例2和例3中只采用时间显格式进行数值模拟.记$h=\frac{b-a}{N}$, $\Delta t=\frac{T}{M}$, $x_i=a+ih$, $t_j=j\Delta t$ $(i=0, 1, \cdots, N, j=0, 1, \cdots, M)$.定义误差的离散$L^\infty(L^2(\Omega))$范数为

$ \|\sigma-Z\|_{\tilde{L}^{\infty}(\tilde{L}^2(\Omega))}=\max\limits_{0\leq n\leq M} \bigg(h\sum\limits_{i=0}^{N}(\sigma(x_i, t_n)-Z^n(x_i))^2\bigg)^{\frac{1}{2}}, $

$ \|u-U\|_{\tilde{L}^{\infty}(\tilde{L}^2(\Omega))}=\max\limits_{0\leq n\leq M} \bigg(h\sum\limits_{i=0}^{N-1}(u(x_{i+\frac{1}{2}}, t_n)-U^n(x_{i+\frac{1}{2}}) )^2\bigg)^{\frac{1}{2}}. $

例1  考虑文献[6]中的模型, 取$\kappa=1$, $\Omega=(0, 2)$, $f(x, t)=(3+2t)(1-\cos(\pi x))-\pi^2(1+t+t^2)\cos(\pi x)+\sin((1+t+t^2)(1-\cos(\pi x)))$, 即

$ \left\{ \begin{array}{l} u_{tt}+u_t-u_{xx}+\sin u=f(x, t), \ (x, t)\in (0, 2)\times (0, 2], \\ u(x, 0)=1-\cos(\pi x), \ u_t(x, 0)=1-\cos(\pi x), \ x\in (0, 2), \\ u(0, t)=u(2, t)=0, \ t\in [0, 2]. \end{array}\right. $

(8.1)

则精确解$u(x, t)=(1+t+t^2)(1-\cos(\pi x))$, 辅助变量$\sigma(x, t)=-u_x(x, t)=-\pi(1+t+t^2)\sin(\pi x)$.

表 1-4给出了时间显格式和隐格式在不同网格剖分下的误差估计和收敛精度, 可以看出在空间上的收敛精度是高于理论分析的结果的.我们也做了很多时间显格式的数值实验, 结果表明, 当网格比$\frac{\Delta t}{h}\geq 1$时, 时间显格式是发散的. 图 1和图 2为变量$u$和$\sigma$的精确解和时间显格式的数值解$(h=0.05, \Delta t=0.025)$的图像.

在不同的网格比情况下做了大量时间隐格式的数值实验, 实验结果表明时间隐格式的无条件稳定. 表 3给出网格比$\frac{\Delta t}{h}=1$时时间隐格式的误差估计和收敛精度. 图 3给出变量$u$和$\sigma$在网格$h=\Delta t=0.05$剖分下的时间隐格式的图像.这些结果表明所构造的混合有限体积元格式是有效的.

例2  考虑文献[8]中的无阻尼sine-Gordon方程, 区域为$-20\leq x\leq 20$和$0\leq t\leq 20$, 边界条件为Dirichlet边界条件, 且$f=0$, $u(x, 0)=0, \ u_t(x, 0)=4\mbox{sech}(x)$.

精确解为

$ u(x, t)=4\tan^{-1}(\mbox{sech}(x)t), \ \sigma(x, t)=-u_x(x, t)=4 t\times\frac{\mbox{tanh}(x)\mbox{sech}(x)}{1+t^2\mbox{sech}^2(x)}. $

能量$E(t)$定义为

$ E(t)=\frac{1}{2}\int_R [u_t^2+u_x^2+2(1-\cos (u))]{\rm{d}}x. $

表 5和表 6给出了给出了时间显格式在不同网格剖分下的误差估计和收敛精度, 可以看出在空间上的收敛精度是高于理论分析的结果的.在本例中, 初始能量$E(0)=16$, 表 7给出了在不同网格剖分下和不同时间节点下的能量误差, 表明格式是能量守恒的. 图 4给出变量$u$和$\sigma$在网格$h=0.05, \Delta t=0.025$剖分下的数值解图像.

例3  考虑在区域$-10\leq x\leq 10$和$0\leq t\leq 40$及Neumann边界条件下无阻尼sine-Gordon方程的呼吸子解, 精确解为$u(x, t)=4\tan^{-1}(c^{-1}\sin(ct/\sqrt{1+c^2}){\rm sech}(x/\sqrt{1+c^2})), $可以计算出辅助变量$\sigma(x, t)=-u_x(x, t)$的精确解.

取$c=0.5$, 表 8和表 9给出了时间显格式下的估计和收敛精度, 可以看出在空间上的收敛精度是高于理论分析的结果的, 同时也表明Neumann边界条件下的混合有限体积元格式也是有效的. 图 5给出变量$u$和$\sigma$在网格$h=0.05, \Delta t=0.025$剖分下的数值解图像.

本文研究了一维阻尼和无阻尼sine-Gordon方程在Dirichlet边界条件和Neumann边界条件下的混合有限体积元方法.根据不同的边界条件的特点, 构造了不同形式的迁移算子, 利用迁移算子构造了半离散格式, 时间显式和隐式全离散混合有限体积元格式, 得到了时间显格式的稳定性条件和三种格式的最优误差估计.最后给出三个数值算例及相应的误差估计结果和收敛精度, 验证了理论分析的结果和数值格式的有效性.