本文研究马氏链$\Phi=\{\Phi_n:n=0, 1, \cdots\}$的状态空间$X$是一个局部紧完备可分距离空间, ${\mathcal B}(X)$是$X$上的Borel域, $P(x, A)$为一步转移概率核, $P^n(x, A)$为$n$步转移概率核, 先给出本文的一些概念和记号.

定义1.1  设$A\in{\mathcal B}(X)$, 称

$ \tau_A=\inf\{n\geq1, \Phi_n\in A\} $

为集$A$的首次回转时, 记$L(x, A)=P_x(\tau_A <\infty)$, 称$L(x, A)$为从$x$出发到达$A$的概率; 称

$ \eta_A=\sum\limits_{n=1}^{\infty}I_A(\Phi_n) $

为集$A$的占位时, 记

$ U(x, A)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}P(x, A), $

则$U(x, A)=E_x[\eta_A]$也是一个核, 记$Q(x, A)=P_x(\eta_A=\infty)$, 称$Q(x, A)$为从$x$出发无穷次到达$A$的概率.

定义1.2  设$a$是$Z_+$上的概率测度, 记

$ K_a(x, A)=\sum\limits_{k\in Z_+}a(k)P^k(x, A), \;\;\;\; x\in X, A\in{\mathcal B}(X), $

则$K_a$也是概率核, 称$K_a$为$P$的抽样链.

定义1.3  设$\Phi$是状态空间$(X, {\mathcal B}(X))$上的马氏链, 称$\Phi$为$\varphi$不可约的, 如果存在$(X, {\mathcal B}(X))$上的$\sigma$有限测度$\varphi$, 使得当$\varphi(A)>0$时，对任意的$x\in X$, 都有$L(x, A)>0$, $\varphi$称为不可约测度.

定义1.4  设$C\in {\mathcal B}(X)$, 如果存在抽样链$K_a$和非平凡测度$\nu_a$, 使

$ K_a(x, A)\geq I_C(x)\nu_a(A), \;\;\;\; A\in {\mathcal B}(X), $

则称$C$是$\nu_a$细集.

定义1.5  称一个非负可测函数$V$是无界下细集函数, 若对任意的$n$, 下水平集$C_V(n)=\{y:V(y)\leq n\}$是细集.

定义1.6  称集$A$为Harris常返的, 若对任意的$x\in A$, 有$Q(x, A)=P_x(\eta_A=\infty)=1$; 马氏链$\Phi$称为Harris常返的, 若每一个集$A\in{\mathcal B}^+(X)$是Harris常返的.

定义1.7  称$P$是一个Feller马氏链, 若对任意的开集$O\in{\mathcal B}(X)$, $P(x, O)$是一个下半连续函数.

定义1.8(漂移条件$(V1)$)  称马氏链$\Phi$满足漂移条件$(V1)$, 若存在非负函数$V(x)$和$C\in{\mathcal B}(X)$, 有

$ \int P(x, {\rm d}y)V(y)\leq V(x), \;\;\;\; x\in C^c. $

定义1.9  称马氏链$\Phi$满足一致可数可加条件, 若对任意的紧集$K\in{\mathcal B}(X)$和任意的$ A_n\in{\mathcal B}(X)$, 且$A_n\downarrow \emptyset(n\uparrow \infty)$, 有

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n)=0. $

定义1.10  称集$A\in {\mathcal B}(X)$是吸收集, 若对任意的$x\in A$, 有$P(x, A)=1$; 称$A$为极大Harris集, 若$A$是Harris集, 且$A=\{y:L(y, A)=1\}$.

定义1.11  称集$A\in {\mathcal B}(X)$为一致非常返集, 如果任意的$x\in A$, 都有$U(x, A)\leq M$($M$为某一常数); 称集$A$是非常返的, 若集$A$能被可数个一致非常返集覆盖.

定义1.12  如果函数$V:X\rightarrow[0, +\infty)$满足$V(x)\rightarrow\infty, x\rightarrow\infty$, 则称$V(x)$为类范函数, 由此易知对每个$r(>0)$, 下水平集$C_V(r)=\{x:V(x)\leq r\}$是个相对紧集.

马氏链稳定性的中心问题是不变测度的存在性, 即在${\mathcal B}(X)$找到一个$\sigma$有限测度$\pi$, 使得任意的$ A\in{\mathcal B}(X)$, 有

$ \pi(A)=\int_X \pi({\rm d}x)P(x, A), $

$\pi$称为$\Phi$的不变测度.漂移条件$(V1)$是讨论马氏链常返性的一个经典条件, 本文将用它和一致可数可加性来讨论马氏链不变测度的存在性.

为了把本文的结果和已知的结果作比较, 先给出下面的定理A和定理B.

定理A  假设$\Phi$是$\varphi$不可约的.若存在细集$C$和无界下细函数$V$, 使得$(V1)$条件成立, 则$L(x, C)=1$和$\Phi$是常返的, 进一步$\Phi$存在唯一的不变测度(相差一个常数倍).

定理B   假设$\Phi$是一个Feller马氏链, 存在紧集$C$使$(V1)$条件成立, 则马氏链存在不变测度, 且在$X$的紧子集上是有界的.

定理A参看文献[2]中定理8.4.3和10.4.4, 定理B参看文献[2]中定理12.3.3.

本文的核心结果推论1.1与定理A比较, 本文条件没有不可约性, 也不能由一致可数可加性推出不可约性, 推论1.1与定理B比较, 本文条件没有Feller性, 也不能由一致可数可加性推出Feller性, 因此, 当马氏链既不具有不可约性, 也不具有Feller性时, 推论1.1是判别马氏链不变测度存在性的一种新方法, 将在第四节举例说明推论1.1的应用.

下面介绍本文的主要结果.

定理1.1   若马氏链$\{\Phi_n\}$满足一致可数可加条件, 则马氏链的状态空间$X$存在Harris分解, 即

$ X=\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}H_\gamma+E, $

其中每个$H_\gamma$是最大Harris集, $E$是非常返集, 且$\Gamma$至多可数, 即$\Gamma$或者是空集, 或者是有限集, 或者是可数集.

定理1.2  若马氏链$\{\Phi_n\}$满足一致可数可加条件, 且存在非负的类范函数$V(x)$和紧集$C$, 使得$(V1)$条件成立, 则在定理1.1分解中的$\Gamma$是非空的.

推论1.1  在定理1.2的条件下, 马氏链存在不变测度.

引理2.1  若马氏链$\{\Phi_n\}$没有不可数个吸收集, 则马氏链的状态空间有Harris分解

$ X=\sum\limits_{\gamma\in\Gamma}H_\gamma+E, $

其中每个$H_\gamma$是极大Harris集, $E$是非常返集.

证  参见文献[1]中的证明.

引理2.2  如果$A(\in X)$是一致非常返集, 即存在$M$, 使得$(\forall x\in A)U(x, A)\leq M$, 那么$(\forall x\in X)U(x, A)\leq 1+M.$

证  参见文献[2, p184]的证明.

引理2.3   (i) 如果$A, B\in{\mathcal B}(X), A\subset B$, 且$B$是一致非常返集, 则$A$也是一致非常返集;

(ii) 有限个一致非常返集的并也是一致非常返集.

证   (i) 由于$B$是一致非常返集, 则存在$M>0$, 使得任意的$x\in B$, 有$U(x, B)\leq M, $而$A\subset B$, 结合上式, 有$(\forall x\in A)U(x, A)\leq U(x, B)\leq M, $因此$A$也是一致非常返集.

(ii) 假设$A, B$都是一致非常返集, 由一致非常返集定义及引理2.2, 存在$M_1, M_2$, 使得对$\forall x\in X$, 有$U(x, A)\leq 1+M_1, U(x, B)\leq 1+M_2$, 故对任意的$ x\in A\cup B$, 有$U(x, A\cup B)\leq U(x, A)+U(x, B)\leq 2+M_1+M_2$, 因此$A\cup B$是一致非常返集, 归纳地可证有限个一致非常返集的并也是一致非常返集, 结论成立.

引理2.4  如果对任意的$x\in A$, 有$L(x, A)= 1$, 则$U(x, A)=\infty.$

证  参见文献[2, p185]的证明.

定理1.1的证明  由引理2.1可知, 只需证明马氏链没有不可数个吸收集即可.

由于在$X$中存在紧集序列$\{K_n\}$, 使得$K_n\uparrow X$, 如果能够证明$X$中的任意紧集只能与马氏链的有限个吸收集相交, 则定理获证.

用反证法.设$K$是紧集, $\{A_j\}$是一可数吸收集序列, 且$K\cap A_j\neq \emptyset(j=1, 2, \cdots)$, 令$R_n=\bigcup\limits_{j=n}^{\infty} A_j$, 则易得$R_n \downarrow\emptyset, n\uparrow \infty$和$P(x, R_n)=1, \forall x\in R_n$, 且$K\cap R_n\neq \emptyset, n=1, 2, \cdots$, 故取$x_0 \in K\cap R_n$, 有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, R_n)\geq \lim\limits_{n\rightarrow\infty}P(x_0, R_n)=1. $

这与马氏链的一致可数可加性矛盾.

定理1.2的证明  用反证法.假设定理1.1中的$\Gamma$是空集, 则$\sum\limits_{\gamma\in\Gamma} H_\gamma$也是空集, 因此有$E=X$.

在证明假设不成立之前, 先证明如下重要的事实, $X$中的任意紧集都是一致非常返集.

由于$X$是非常返集, 则存在可数一致非常返集序列$\{E_j\}$, 使得$X=\bigcup\limits_{j=1}^{\infty}E_j$, 并且还不妨假设$E_j$是两两不交的.令$W_n=\sum\limits_{j=n}^{\infty}E_j$, 则$W_n \downarrow \emptyset, n\uparrow \infty$.由马氏链满足一致可数可加条件, 则对任意的紧集$K\subset X, 0 <\varepsilon<1$, 存在正数$M_0$, 有

$ \sup\limits_{y\in K} P(y, W_{M_0})\leq \varepsilon, $

从而

$ P(y, W_{M_0}^c)\geq1-\varepsilon, y\in K. $

对任意的$x\in X$, 有

$ P^n(x, W_{M_0}^c)\geq\int_K P^{n-1}(x, {\rm d}y)P(y, W_{M_0}^c)\geq(1-\varepsilon)P^{n-1}(x, K), $

(3.1)

由引理2.2和引理2.3知, 存在正数$N$, 有

$ U(x, W_{M_0}^c)\leq 1+N, \forall x\in X, $

(3.2)

结合(3.1)和(3.2)式, 对任意的$x\in K$, 有

$ U(x, K)= \sum\limits_{n=1}^{\infty}P^n (x, K)\leq\frac{1}{1-\varepsilon}\sum\limits_{n=2}^{\infty}P^n (x, W_{M_0}^c)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leq\frac{1}{1-\varepsilon}\sum\limits_{n=1}^{\infty}P^n (x, W_{M_0}^c)=\frac{1}{1-\varepsilon}U(x, W_{M_0}^c)\leq\frac{N+1}{1-\varepsilon}, $

由此可知$K$也是一致非常返集.

由上述事实且题设$C$是紧集知$C$是一致非常返集, 故存在$M_1$, 有

$ U(x, C)\leq M_1, x\in C. $

(3.3)

则存在某一$x^{*}$, 有

$ L(x^{*}, C) <1, x^{*}\in C^c. $

(3.4)

否则对任意的$ x\in C^c$时, 有$L(x, C)=1$, 而$L(x, C)=P(x, C)+\int_{C^c}P(x, {\rm d}y)L(y, C)$, 故有$(\forall x\in C)L(x, C)=1$, 由引理2.4可知$(\forall x\in C)U(x, C)=\infty$, 这与(3.3)式矛盾, 故有(3.4)式成立.

由于$V$的有限性, 结合(3.4)式, 可取足够大的$M$, 使得

$ M>\frac{V(x^{*})}{1-L(x^{*}, C)}. $

(3.5)

定义一个新的马氏链$\hat{\Phi}$, 其转移概率核为

$ \hat{P}(x, A)= P(x, A), x\in C^c;\\ \hat{P}(x, x)= 1, x\in C. $

由$(V1)$条件及新转移概率核定义, 有

$ \int \hat{P}(x, {\rm d}y)V(y)\leq V(x), x\in X. $

(3.6)

而当$A\subset C^c, x\in C^c$时, 有

$ \hat{P^n}(x, A)= \int \hat{P}(x, {\rm d}y) \hat{P}^{n-1}(y, A)=\int P(x, {\rm d}y) \hat{P}^{n-1}(y, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_C P(x, {\rm d}y) \hat{P}^{n-1}(y, A)+\int_{C^c} P(x, {\rm d}y) \hat{P}^{n-1}(y, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{C^c} P(x, {\rm d}y) \hat{P}^{n-1}(y, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{C^c} P(x, {\rm d}y)\cdots \int_{C^c} P(z, {\rm d}s)\hat{P}(s, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \int_{C^c} P(x, {\rm d}y)\cdots \int_{C^c} P(z, {\rm d}s)P(s, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \leq \int_{X} P(x, {\rm d}y)\cdots \int_{X} P(z, {\rm d}s)P(s, A)=P^n(x, A). $

即

$ \hat{P}^n(x, A)\leq P^n (x, A), x\in C^c, A\subset C^c. $

(3.7)

由于$V$是类范函数, 故$C_V(M)$是相对紧集, 由此定理开始的证明知$\overline{C_V(M)}$是一致非常返集, 由引理2.3可知$C_V (M)$是一致非常返集, 结合引理2.2, 存在$M_2>0$, 使得

$ U(x, C_V(M))=\sum\limits_{n=1}^{\infty} P^n(x, C_V (M))\leq M_2, x\in X. $

因此可知

$ P^n (x, C_V (M))\rightarrow 0, n\rightarrow\infty, x\in X. $

(3.8)

由(3.7)式和(3.8)式, 对任意的$x\in C^c$时, 有

$ \hat{P}^n(x, C_V (M)\cap C^c)\leq P^n (x, C_V (M)\cap C^c)\rightarrow0, n\rightarrow \infty. $

(3.9)

由新马氏链转移概率核的定义, 有

$ \hat{P}^n(x, C)=P_x(\tau_C\leq n)\uparrow L(x, C), n\uparrow\infty, x\in C^c. $

(3.10)

由(3.9)式和(3.10)式, 对$\forall x\in C^c$, 有

$ 1-\hat{P}^n(x, C_V (M)\cup C)\rightarrow [1-L(x, C)], n\rightarrow\infty. $

(3.11)

通过迭代(3.6)式, 对固定的$x\in C^c$, 有

$ V(x) \geq \int \hat{P}^n (x, {\rm d}y)V(y)\geq \int_{C^c\cap [C_V (M)]^c}\hat{P}^n (x, {\rm d}y)V(y)\\ \;\;\;\;\;\;\;\; \geq M[1-\hat{P}^n (x, C_V (M))\cup C], $

在上式中令$x=x^{*}$, 当$n\rightarrow\infty$时, 结合(3.11)式, 有

$ M\leq\frac{V(x^{*})}{1-L(x^{*}, C)}, $

这与(3.5)式矛盾, 因而假设不成立, 故$\Gamma$非空.

推论1.1的证明  由定理1.2可知$\Gamma\neq \emptyset$, 取定$i\in\Gamma$, 则$H_i$是极大Harris常返集, 从而马氏链限制在$H_i$上是不可约常返马氏链, 故马氏链$\{\Phi_n\}$限制在$H_i$上的马氏链$\{\Phi_n|_{H_i}\}$存在不变测度$\pi_i$, 令

$ \pi(A)=\pi_i (A\cap H_i), A\in {\mathcal B}(X). $

往证$\pi$是马氏链的不变测度.

由$\pi$的定义, 有$\pi(H_i ^c)=\pi_i (H_i ^c\cap H_i)=0$, 结合$\pi_i$是马氏链$\{X_n|_{H_i}\}$上的不变测度及$H_i$是吸收集, 对$\forall A\in{\mathcal B}(X)$, 有

$ \int \pi({\rm d}x)P(x, A)= \int_{H_i}\pi({\rm d}x)P(x, A)+\int_{H_i^c}\pi({\rm d}x)P(x, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \int_{H_i}\pi({\rm d}x)P(x, A)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \int\pi_{i}({\rm d}x)P(x, A\cap H_i)+\int\pi_{i}({\rm d}x)P(x, A\cap H_i^c)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \int\pi_{i}({\rm d}x)P(x, A\cap H_i)\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \pi_i (A\cap H_i)=\pi(A). $

由此可知$\pi$是马氏链的不变测度.

下面给出一个马氏链满足定理1.2的条件, 但马氏链即不具有不可约性, 也不具有Feller性的例子.

例4.1  设马氏链$\{\varphi_n, n\geq 0\}$的状态空间为$(R, {\mathcal B}(R))$, 满足

$ \varphi_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll} 0,&\varphi_n=0,\\ (\varphi_n+\varepsilon_{n+1})\vee 2,&\varphi_n>0,\\ (\varphi_n+\varepsilon_{n+1})\wedge (-2),&\varphi_n <0, \end{array} \right. $

其中$\{\varepsilon_n, n\geq 1\}$是独立同分布的随机变量序列, 且对任意的$n$, $\varepsilon_n\sim U[-1, 1]$, $\varphi_0=x\in R$, 则马氏链满足定理1.2的条件, 但马氏链不是不可约的, 且不具有Feller性.

证  先证马氏链满足定理1.2的条件.

设$\{A_n, n\geq 1\}$是${\mathcal B}(R)$上的任一集序列, 且满足当$n\uparrow \infty$时, $A_n\downarrow\emptyset$, 则存在$N>0$, 当$n>N$时, 有$A_n\cap\{0\}=\emptyset$(若不然, 对任意的$n\geq 1$, 有$A_n\cap\{0\}\neq\emptyset$, 故$0\in\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}$, 这与$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}=\emptyset$矛盾), 因此, 对任意的紧集$K(\subset R)$, 有

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap\{0\})=0. $

(4.1)

同理可得

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap\{2\})=0, $

(4.2)

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap\{-2\})=0. $

(4.3)

由马氏链$\{\varphi_n, n\geq 0\}$的定义可知, 当$x\leq 1$时, 有

$ P(x, A_n\cap(2, +\infty))=P(x+\varepsilon_1\in A_n\cap(2, +\infty))=0, $

(4.4)

当$x>1$时, 有

$ P(x, A_n\cap(2, +\infty))= P(x+\varepsilon_1\in A_n\cap(2, +\infty))\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =\frac{1}{2} \mu((2-x, 1]\cap A_n)\leq \frac{1}{2} \mu(A_n), $

其中$\mu$为$R$上的Lebesgue测度, 结合(4.4)式, 有

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap(2, +\infty))\leq \frac{1}{2}\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\mu(A_n)=0, $

(4.5)

同理可得

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap(-\infty, -2))=0, $

(4.6)

由马氏链$\{\varphi_n, n\geq 0\}$的定义, 有

$ P(x, A_n)= P(x, A_n\cap\{0\})+P(x, A_n\cap\{2\})+P(x, A_n\cap\{-2\})\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ P(x, A_n\cap(2, +\infty))+P(x, A_n\cap(-\infty, 2)), $

结合(4.1), (4.2), (4.3), (4.5)和(4.6)式, 有

$ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n)\leq\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K} P(x, A_n\cap\{0\})+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap\{2\})\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap\{-2\})+\lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K} P(x, A_n\cap(2, +\infty))\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ \lim\limits_{n \rightarrow\infty}\sup\limits_{x\in K}P(x, A_n\cap(-\infty, 2))= 0, $

即马氏链$\{\varphi_n, n\geq 0\}$满足定理1.2中的一致可数可加条件.

取紧集$C=[-3, 3]$, 并令

$ V(t)=\left\{ \begin{array}{ll} -t, \;\;\;\;&t<-2, \\ 0, &-2\leq t\leq 2, \\ t, &t>2, \end{array} \right. $

则$V(t)$是一类范函数, 当$x>3$时, 有$\varphi_1=x+\varepsilon_1>2$, 故

$ PV(x)=E_x V(\varphi_1)=E(x+\varepsilon_1)=x\leq V(x). $

(4.7)

类似地, 当$x <-3$时, 有$\varphi_1=x+\varepsilon_1<-2$, 故

$ PV(x)=E_x V(\varphi_1)=-E(x+\varepsilon_1)=-x\leq V(x). $

(4.8)

由(4.7)式和(4.8)式, 对任意的$x\in C^c$时, 有$PV(x)\leq V(x), $此即定理1.2中的漂移条件$(V1)$成立, 故马氏链满足定理1.2的条件.

由马氏链$\{\varphi_n, n\geq 0\}$的定义可知, $(-\infty, 0), \{0\}, (0, +\infty)$是马氏链的三个不交的吸收集, 因此, 马氏链不是不可约的.最后证明马氏链不具有Feller性.令

$ g(t)=\left\{ \begin{array}{ll} -3, \;\;\;\;&t <-3, \\ x, &-3\leq t\leq 3, \\ 3, &t>3, \end{array} \right. $

则$g(t)$是连续有界函数, 记$f(x):=Pg(x)=E_x g(\varphi_1)$, 当$x=0$时, 有$f(x)=E_x g(\varphi_1)=g(0)=0$, 当$0<x<2$时, 有$f(x)=E_x g(\varphi_1)=g(2)=2$, 当$-2<x<0$时, 有$f(x)=E_x g(\varphi_1)=g(-2)=-2$, 由此易知$f(x)$在$0$处不连续, 故$f(x)$不是一个连续函数, 从而马氏链不具有Feller性.

综上所述, 例4.1中的马氏链既不能用定理A判断不变测度的存在性, 也不能用定理B判断不变测度的存在性, 但可以用推论1.1判断不变测度的存在性.