带脉冲扰动的时滞分布参数系统已广泛地出现在生态动力学、通讯工程、机器人和化学反应过程等现代科技的许多领域中, 由于脉冲与时滞的同时出现, 使得系统呈现出新的特征, 给研究带来了诸多困难.因此, 对脉冲时滞分布参数系统定性性质的研究既有理论意义又有实用价值.同稳定性问题一样, 振动性问题也是脉冲分布参数系统定性理论的基本问题之一, 近年来对其研究已陆续取得了一些很好的结果^[1-10].本文则考虑如下的一类具脉冲扰动和高阶Laplace算子的非线性时滞双曲型分布参数系统(1.1)在第三类边值条件(1.2)下解的振动性问题.

$ \left\{\begin{array}{ll} &u_{tt}=a(t){\triangle}^{2n-1}u+b(t){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x)-p(t, x)u(t-\sigma, x)\\ & \;\; \;\; \;\;\;\;-q(t, x)f(u(t-\delta, x)), (t, x)\in G\equiv {\Bbb R}_+\times\Omega, t\neq t_k, \\ &u(t_{k}^{+}, x)-u(t_{k}^{-}, x)=I(t_k, x, u(t_{k}, x)), k=1, 2, \cdots, \\ &u_t(t_{k}^{+}, x)-u_t(t_{k}^{-}, x)=J(t_k, x, u_t(t_{k}, x)), k=1, 2, \cdots, \end{array}\right. $

(1.1)

$ \frac{\partial{\triangle}^{r}u}{\partial N}+\mu(x){\triangle}^{r}u=0, (t, x)\in {\Bbb R}_+\times\partial{\Omega}, t\neq t_k, r=0, 1, 2, \cdots, 2n-2, $

(1.2)

其中$u=u(t, x), \Omega\subset {\Bbb R}^n$是有界区域, $\partial\Omega$逐片光滑, $\triangle$是${\Bbb R}^n$中的$n$维Laplace算子, ${\Bbb R}_+=[0, \infty), $ $ N$是$\partial\Omega$的单位外法向量, $\mu(x)\in C(\partial\Omega, $ $(0, \infty))$; $n\geq 1$是整数, ${\triangle}^{r}u=\triangle({\triangle}^{r-1}u), $ $r\geq 1$, 当$r=0$时, 记${\triangle}^{r}u=u$.

在本文中, 我们总假设下列条件成立

$(H_1)$  $0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_k < \cdots$是固定点列且$ \mathop{\lim }\limits_{k\rightarrow\infty}t_k=\infty$; $\rho, \sigma, \delta$是正常数;

$(H_2)$  $a(t), b(t)\in PC({\Bbb R}_+, {\Bbb R}_+), p(t, x), q(t, x)\in PC({\Bbb R}_+\times\overline{\Omega}, {\Bbb R}_+)$, 这里$PC$表示具有如下性质的分片连续函数类:仅在$t=t_k, k=1, 2, \cdots$为第一类间断点, 但在$t=t_k$左连续; $ P(t) = \mathop {\min }\limits_{x \in \bar \Omega } \{ p(t,x)\} ;Q(t) = \mathop {\min }\limits_{x \in \bar \Omega } \{ q(t,x)\} $;

$(H_3)$  $f(u)\in PC(\Bbb R, \Bbb R)$, 且当$u\neq 0$时, $uf(u)>0$;

$(H_4)$  $I(t, x, \xi), J(t, x, \xi):{\Bbb R}_+\times\overline{\Omega} \times \Bbb R\rightarrow \Bbb R$, 对任意函数$u\in PC({\Bbb R}_+\times\overline{\Omega}, {\Bbb R}_+)$有

$ I(t_k, x, u)=-I(t_k, x, -u), J(t_k, x, u_t)=-J(t_k, x, -u_t), k=1, 2, \cdots $

及

$ I(t_k, x, u)\leq\alpha_ku, J(t_k, x, u_t)\leq\beta_k u_t, k=1, 2, \cdots, $

其中$\alpha_k, \beta_k>0$为常数.

定义2.1  函数$u(t, x):{\Bbb R}_+\times\overline{\Omega}\rightarrow \Bbb R $称为边值问题(1.1), (1.2)的解, 若$u(t, x)$满足

(Ⅰ)对固定的$t, t\neq t_k, k=1, 2, \cdots, u(t, x)$关于$x$二次可微; 对$t\neq t_k, k=1, 2, \cdots, $ $ x\in\Omega, u(t, x)$关于$t$一次可微, 且满足方程$(1.1)$;

(Ⅱ)对固定的$x, u(t, x)$是以$t=t_k, k=1, 2, \cdots$为第一类间断点的分段连续函数, 在脉冲时刻满足如下关系式

$ u(t_k, x)=u(t^{-}_k, x), u(t^+_k, x)=u(t_k, x)+I(t_k, x, u(t_{k}, x)), k=1, 2, \cdots, $

$ u_t(t_k, x)=u_t(t^{-}_k, x), u_t(t^+_k, x)=u_t(t_k, x)+J(t_k, x, u_t(t_{k}, x)), k=1, 2, \cdots; $

(Ⅲ)对$t\neq t_k, k=1, 2, \cdots, x\in\partial{\Omega}, u(t, x)$满足边值条件$(1.2)$.

定义2.2  边值问题(1.1), (1.2)的$u(t, x)$称为在$G$内振动的, 若对于任意大的$T>0$, 存在$(t_0, x_0)\in [T, \infty)\times\Omega$, 使得等式$u(t_0, x_0)=0$成立.否则称$u(x, t)$在$G$内是非振动的.

引理2.1^[11]  设$\lambda_0$是如下Robin特征值问题

$ \left\{\begin{array}{ll} \triangle \phi(x)+\lambda\phi(x)=0,&x\in \Omega, \\[2mm] \frac{\partial\phi(x)}{\partial N}+\mu(x)\phi(x)=0, ~~&x\in \partial\Omega \end{array}\right. $

(2.1)

的最小特征值, 其中, $\lambda$是常数, $\phi(x)$是与$\lambda_0$对应的特征函数, 且$\mu(x)\in C(\partial\Omega, (0, \infty))$, 则$\lambda_0>0, \phi(x)>0, x\in \Omega.$

引理2.2^[12]  设$y(t)\in C^2([t_0, \infty), \Bbb R)$且$y(t)>0, y'(t)>0, y''(t) < 0, t\geq t_0$, 则对任意的$\theta\in(0, 1)$, 存在$t_1\geq t_0$, 使当$t\geq t_1$时, 有$y(t)\geq \theta ty'(t).$

定理3.1  设如下条件成立

$(H_5)$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq \gamma, k=1, 2, \cdots$, 且$\gamma\leq \rho$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{b}(s){\rm d}s>1, $

(3.1)

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动, 其中$\overline{b}(t)=\lambda_0^{2n-1}\theta(t-\rho)b(t)$, $\lambda_0$由问题$(2.1)$确定.

证   (用反证法)  假设$u(t, x)$是边值问题(1.1), (1.2)在$G$内的一个非振动解, 不失一般性, 设存在$T>0$, 使当$(t, x)\in [T, \infty)\times\Omega$时, 有$u(t, x)>0$.令$T_1=T+\max\{\rho, \sigma, \delta\}$, 则对任意$(t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega$有$u(t, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0$.

当$t\geq T_1, t\neq t_k, k=1, 2, \cdots$时, 结合$(H_2)$, $(H_3)$, 由方程$(1.1)$可得

$ u_{tt}\leq a(t){\triangle}^{2n-1}u+b(t){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x)-P(t)u(t-\sigma, x). $

(3.2)

$(3.2)$式两边乘以问题$(2.1)$的最小特征值$\lambda_0$对应的特征函数$\phi(x)$, 并关于$x$在$\Omega$上积分, 有

$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x\leq a(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x+b(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x){\rm d}x \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; -P(t)\int_{\Omega}u(t-\sigma, x)\phi(x){\rm d}x. $

(3.3)

由Green公式和边值条件$(1.2)$有

$ \int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x =\int_{\partial\Omega} \bigg[\frac{\partial{\triangle}^{2n-2}u}{\partial N}\phi(x)-{\triangle}^{2n-2}u\frac{\partial\phi(x)}{\partial N}\bigg] {\rm d}S+\int_{\Omega}{\triangle}^{2n-2}u\triangle\phi(x){\rm d}x \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\int_{\Omega}{\triangle}^{2n-2}u\triangle\phi(x){\rm d}x =-\lambda_0\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-2}u{\rm d}x=\cdots \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =-\lambda^{2n-1}_0\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x, $

(3.4)

$ \int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u(t-\rho, x){\rm d}x=-\lambda^{2n-1}_0\int_{\Omega}u(t-\rho, x)\phi(x){\rm d}x, $

(3.5)

其中d$S$是$\partial\Omega$上的面积元素.

令$U(t)=\int_{\Omega}u(t, x)\phi(x){\rm d}x, t\geq T_1$, 则$U(t)>0, t\geq T_1$.于是由(3.3)--(3.5)式有

$ U''(t)+\lambda^{2n-1}_0a(t)U(t)+\lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)+P(t)U(t-\sigma)\leq 0. $

(3.6)

由$(3.6)$式易知$U''(t) < 0, t\geq T_1$, 于是可证得$U'(t)>0, t\geq T_1$.事实上, 倘若不然, 则存在$T_2\geq T_1$, 使得$U'(T_2)\leq 0$.当$t\geq T_2$时, 有$U'(t)\leq U'(T_2)$, 对$t$从$T_2$到$t$积分, 有

$ U(t)\leq U(T_2)+U'(T_2)(t-T_2). $

当$t\rightarrow\infty$时, 有$ \lim_{t\rightarrow\infty}U(t)=-\infty$, 而这与$U(t)>0$矛盾.

由$(3.6)$式有

$ U''(t)+\lambda^{2n-1}_0b(t)U(t-\rho)\leq 0. $

(3.7)

因此, 对定理所给条件中的$\theta$, 由引理2.2知, 存在$T_2\geq T_1$, 使得

$ U(t)\geq \theta tU'(t), t\geq T_2. $

(3.8)

令$W(t)=U'(t)$, 则$W(t)>0, t\geq T_2$且由(3.7)和(3.8)式可得

$ W'(t)+\overline{b}(t)W(t-\rho)\leq 0, t\geq T_2. $

(3.9)

当$t\geq T_1, t= t_k, k=1, 2, \cdots$时, 结合方程$(1.1)$的脉冲条件、定义2.1中的条件(Ⅱ)及$(H_4)$有

$ \int_{\Omega}[u_t(t^+_k, x)-u_t(t_k, x)]{\rm d}x= \int_{\Omega}J(t_k, x, u_t(t_k, x)){\rm d}x=\beta_k\int_{\Omega}u_t(t_k, x){\rm d}x, $

即

$ U'(t^+_k)\leq(1+\beta_k)U'(t_k), $

亦即

$ W(t^+_k)\leq(1+\beta_k)W(t_k). $

(3.10)

因此函数$W(t)$是脉冲微分不等式(3.9)和(3.10)的一个最终正解.当然也有$W(t-\rho)>0, t\geq T_2$.于是由$(3.9)$式有

$ W'(t)\leq -\overline{b}(t)W(t-\rho)\leq 0, t\geq T_2, t\neq t_k. $

则当$t\geq T_2, t\neq t_k$时, $W(t)$非增.对$(3.9)$式从$t_k$到$t_k+\gamma$积分, 并注意到$W(t)$的非增性, 可得

$ 0\geq W(t_k+\gamma)-W(t^+_k)+\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s \\ \;\; \geq W(t_k+\gamma)-W(t^+_k)+W(t_k+\gamma-\rho)\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{b}(s){\rm d}s \\ \;\; \geq W(t_k+\gamma)-W(t^+_k)+W(t_k)\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{b}(s){\rm d}s . $

(3.11)

结合(3.10)式, 由$(3.11)$式得

$ W(t_k+\gamma)+W(t^+_k)\bigg[\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{b}(s){\rm d}s-1\bigg]\leq 0 . $

这与条件(3.1)矛盾.

若$u(t, x) < 0, (t, x)\in[T, \infty)\times\Omega$, 则易得$-u(t, x)$是边值问题(1.1), (1.2)在区域$[T, \infty)\times\Omega$上的一个正解.因此类似前面的讨论同样可得到矛盾.证毕.

类似定理3.1的证明可得如下结论.

定理3.2   设如下条件成立

$(H_6)$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq \gamma, k=1, 2, \cdots$, 且$\gamma>\rho$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\rho}_{t_k}\overline{b}(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动.

定理3.3   设$(H_6)$及如下条件成立

$(H_7)$存在常数$\beta>0$, 使得$0 < \beta_k < \beta, k=1, 2, \cdots$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\int^{t}_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s>\frac{1+\beta}{e}, $

(3.12)

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动.

证   (用反证法)   假设$u(t, x)$是边值问题(1.1), (1.2)在$G$内的一个非振动解, 不失一般性, 设存在$T>0$, 使当$(t, x)\in [T, \infty)\times\Omega$时, 有$u(t, x)>0$.令$T_1=T+\max\{\rho, \sigma, \delta\}$, 则对任意$(t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega$有$u(t, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0$.类似于定理3.1的证明可知, $W(t), t\geq T_2\geq T_1$是脉冲微分不等式$(3.9), (3.10)$的一个最终正解, 且当$t\geq T_1, t\neq t_k$时, $W(t)$非增.

令$H(t)=\frac{W(t-\rho)}{W(t)}, t\geq T_2$.考虑区间$[t-\rho, t]$且$t_k\in(t-\rho, t)$, 有

$ W(t-\rho)\geq W(t_k)=\frac{1}{1+\beta_k}W(t^+_k)\geq \frac{1}{1+\beta_k}W(t). $

于是有

$ H(t)\geq\frac{1}{1+\beta_k}\geq \frac{1}{1+\beta}. $

下证函数$H(t)$有上界.

令$t_k$是$[t-2\rho, t-\rho]$上的脉冲点.在$[t-\frac{\rho}{2}, t]$上对(3.9)式积分, 有

$ W(t)-W(t-\frac{\rho}{2})+\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s\leq 0. $

于是有

$ W(t-\frac{\rho}{2})\geq \int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s\\ \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\; \; \geq \int^{(t_k+\rho)^-}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s+\int^{t}_{(t_k+\rho)^+}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \geq \frac{W(t-\rho)}{1+\beta}\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s){\rm d}s. $

(3.13)

在$[t-\rho, t-\frac{\rho}{2}]$上对(3.9)式积分, 有

$ W(t-\frac{\rho}{2})-W(t-\rho)+\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s\leq 0. $

则有

$ W(t-\rho)\geq \int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}\overline{b}(s)W(s-\rho){\rm d}s \geq W(t-\frac{3\rho}{2})\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s. $

(3.14)

于是, 由(3.13)和(3.14)式有

$ W(t-\frac{\rho}{2})\geq \frac{W(t-\frac{3\rho}{2})}{1+\beta} \bigg(\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s\bigg) \bigg(\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s){\rm d}s\bigg). $

从而有

$ \frac{W(t-\frac{3\rho}{2})}{W(t-\frac{\rho}{2})}\leq \frac{1+\beta} {(\int^{t-\frac{\rho}{2}}_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s) (\int^{t}_{t-\frac{\rho}{2}}\overline{b}(s){\rm d}s)}\leq \overline{M}. $

因此, $H(t)$有上界.

对充分大的$t$, 由(3.9)式可得

$ \int^t_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(s)}{\rm d}s+\int^t_{t-\rho}\overline{b}(s)\frac{W(s-\rho)}{W(s)}{\rm d}s\leq 0. $

(3.15)

又因为

$ \int^t_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(s)}{\rm d}s= \int^{t^-_k}_{t-\rho}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s+ \int^t_{t^+_k}\frac{W'(s)}{W(t)}{\rm d}s \\ \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\; = \ln\bigg[\frac{W(t_k)}{W(t-\rho)}\cdot\frac{W(t)}{W(t^+_k)}\bigg] \\ \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\; \; \geq \ln\bigg[\frac{W(t)}{W(t-\rho)}\cdot\frac{1}{1+\beta_k}\bigg]. $

(3.16)

所以, 由(3.15)和(3.16)式可得

$ \ln\bigg[\frac{W(t-\rho)}{W(t)}(1+\beta_k)\bigg]\geq\int^t_{t-\rho}\overline{b}(s)\frac{W(s-\rho)}{W(s)}{\rm d}s. $

(3.17)

令${H_0} = \mathop {\lim \inf }\limits_{t \to \infty } H(t)$, 则$H_0$有限且是正的, 且由$(3.17)$式有

$ \ln[(1+\beta)H(t)]\geq H_0\int^t_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s. $

因此

$ \liminf\limits_{t\rightarrow \infty}\int^t_{t-\rho}\overline{b}(s){\rm d}s\leq\frac{\ln[(1+\beta)H_0]}{H_0}\leq\frac{1+\beta}{e}. $

这与条件(3.12)矛盾.

若$u(t, x) < 0, (t, x)\in[T, \infty)\times\Omega$, 则易得$-u(t, x)$是边值问题(1.1), (1.2)在区域$[T, \infty)\times\Omega$上的一个正解.因此类似前面的讨论同样可得到矛盾.证毕.

由微分不等式$(3.6)$有

$ U''(t)+P(t)U(t-\sigma)\leq 0, t\geq T_1, t\neq t_k. $

类似地, 可以得到如下结果.

定理3.4  设如下条件成立

$(H_8)$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq \gamma, k=1, 2, \cdots$, 且$\gamma\leq \sigma$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{P}(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动, 其中$\overline{P}(t)=\theta(t-\sigma)P(t)$.

定理3.5  设如下条件成立

$(H_9)$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq \gamma, k=1, 2, \cdots$, 且$\gamma>\sigma$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\sigma}_{t_k}\overline{P}(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动.

定理3.6  设$(H_9)$及$(H_7)$成立.若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int^t_{t-\sigma}\overline{P}(s){\rm d}s>\frac{1+\beta}{e}, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在$G$内振动.

定理3.7  设如下条件成立

$(H_{10})$  存在常数$M>0$, 使当$u\neq 0$时, 有$\frac{f(u)}{u}\geq M $;

$(H_{11})$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq \gamma, k=1, 2, \cdots, $且$\gamma\leq\delta$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\gamma}_{t_k}\overline{Q}(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动, 其中$\overline{Q}(t)=M\theta(t-\delta)Q(t)$.

证   (用反证法)  假设$u(t, x)$是边值问题(1.1), (1.2)在$G$内的一个非振动解, 不失一般性, 设存在$T>0$, 使当$(t, x)\in [T, \infty)\times\Omega$时, 有$u(t, x)>0$.令$T_1=T+\max\{\rho, \sigma, \delta\}$, 则对任意$(t, x)\in [T_1, \infty)\times\Omega$有$u(t, x)>0, u(t-\rho, x)>0, u(t-\sigma, x)>0, u(t-\delta, x)>0$.

当$t\geq T_1, t\neq t_k, k=1, 2, \cdots$时, 结合$(H_2)$, 由方程$(1.1)$可得

$ u_{tt}\leq a(t){\triangle}^{2n-1}u-Q(t)f(u(t-\delta, x)). $

(3.18)

注意到条件$(H_{10})$, 由(3.18)式可得

$ u_{tt}\leq a(t){\triangle}^{2n-1}u-MQ(t)u(t-\delta, x). $

(3.19)

$(3.19)$式两边乘以问题$(2.1)$的最小特征值$\lambda_0$对应的特征函数$\phi(x)$, 并关于$x$在$\Omega$上积分, 有

$ \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}\int_{\Omega}u\phi(x){\rm d}x\leq a(t)\int_{\Omega}\phi(x){\triangle}^{2n-1}u{\rm d}x- MQ(t)\int_{\Omega}u(t-\delta, x)\phi(x){\rm d}x. $

(3.20)

令$U(t)=\int_{\Omega}u(t, x)\phi(x){\rm d}x, t\geq T_1$, 则$U(t)>0, t\geq T_1$.于是结合(3.4)式, 由(3.20)式可得

$ U''(t)+\lambda^{2n-1}_0a(t)U(t)+MQ(t)U(t-\delta)\leq 0. $

从而有

$ U''(t)+MQ(t)U(t-\delta)\leq 0. $

余下部分完全类似定理3.1后半部分的证明, 详证在此略去.证毕.

类似地, 还可以得到如下结果.

定理3.8   设$(H_{10})$及如下条件成立

$(H_{12})$  存在常数$\gamma>0$, 使得$t_{k+1}-t_k\geq\gamma, k=1, 2, \cdots, $且$\gamma>\delta$.

若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{1+\beta_k}\int^{t_k+\delta}_{t_k}\overline{Q}(s){\rm d}s>1, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动.

定理3.9   设$(H_{10}), (H_{12})$及$(H_7)$成立.若对任意的$\theta\in (0, 1)$, 使得

$ \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\int^t_{t-\delta}\overline{Q}(s){\rm d}s>\frac{1+\beta}{e}, $

则边值问题(1.1), (1.2)的所有解$u(t, x)$在区域$G$内振动.

注3.1   本文结果表明, 边值问题(1.1), (1.2)的解在区域$G$内振动与脉冲量$t_k$和时滞量$\rho$或$\sigma$或$\delta$有关.

注3.2   利用本文的思想, 我们还可以考虑其它边值条件.譬如, 考虑如下的第一类边值条件

$ \triangle^ru=0, (t, x)\in {\Bbb R}_+\times\partial\Omega, t\neq t_k, r=0, 1, 2, \cdots, 2n-2. $

(3.21)

我们不难得到边值问题(1.1), (3.21)的若干振动判据.限于篇幅, 在此省略之.