设 $E$ 是一实Banach空间, $J_q:E\rightarrow 2^{E^*}$ 是广义对偶映射, 定义为

$ J_q(x)=\{f^*\in E^*:\langle x, f^*\rangle=\|x\|^q, \|f^*\|=\|x\|^{q-1}\}, \ \ \ \forall x\in E, $

其中 $q>1$ 是常数, $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $E$ 与 $E^*$ 间的对偶对, $E^*$ 表示 $E$ 的对偶空间.

设 $C$ 是 $E$ 的一个非空、闭凸子集.称 $T$ 是非扩张的, 如果

$ \|Tx-Ty\|\leq\|x-y\|, \hspace{3mm}\forall x, y\in C. $

称 $T$ 是 $k$ -严格伪压缩的, 如果存在常数 $k\in[0, 1)$ , 使得对所有的 $x, y\in C$ 和某一个 $j_q(x-y)\in J_q(x-y)$ , 有

$ \begin{equation}\label{E:1.1}\langle Tx-Ty, j_q(x-y)\rangle\leq\|x-y\|^q-k\|(I-T)x-(I-T)y\|^q.\end{equation} $

(1.1)

最近几年, 许多作者发展了各种各样的迭代算法来寻找有限个或无限个非扩张映射或严格伪压缩映射的公共不动点(见文献[1-8]及里面的参考文献).

2006年, Marino和Xu^[4]在Hilbert空间 $H$ 中引进了广义迭代方法而且证明了对给定的 $x_0\in H$ , 由下面生成的迭代序列 $\{x_n\}$

$ \begin{eqnarray}\label{E:1.2}x_{n+1}=\alpha_n\gamma f(x_n)+(I-\alpha_nB)Tx_n, \end{eqnarray} $

(1.2)

强收敛到 $T$ 的一个不动点 $x^*$ , 其中 $T:H\rightarrow H$ 是一非扩张映射, $f:H\rightarrow H$ 是一压缩映射, $B:H\rightarrow H$ 是一强、正、有界线性算子.

近来, Ceng等人^[9]在Hilbert空间 $H$ 中将 $f$ 从压缩映射^[4]推广到Lipschitz连续映射, 将 $B$ 从强、正、有界线性算子^[4]推广到Lipschitz强单调算子, 而且建立了下面的迭代算法来寻找非扩张映射的不动点

$ \begin{eqnarray}\label{E:1.3}x_{n+1}=P_C[\alpha_n\gamma f(x_n)+(I-\alpha_n\mu B)Tx_n], \ \ \forall n\geq0. \end{eqnarray} $

(1.3)

最近, Sunthrayuth和Kuman^[8]为寻找可数族严格伪压缩映射的公共不动点, 将(1.3)式从Hilbert空间扩展到具有弱序列连续对偶映射 $J_q$ 的 $q$ -一致光滑的Banach空间.他们建立了下面的迭代算法

$ \begin{eqnarray}\label{E:1.4} x_1\in C, \ \ x_{n+1}=Q_C[\alpha_n\gamma V(x_n)+(I-\alpha_n\mu F)S_nx_n], \ \ \forall n\geq1.\end{eqnarray} $

(1.4)

注意到, Banach空间 $E$ 具有弱序列连续对偶映射是一个非常强的条件, 这限制了算法(1.4)的应用范围.因此, 该文将取消这一条件来寻找可数族严格伪压缩映射的公共不动点.

另一方面, 作为变分不等式重要推广的变分包含在力学, 物理学, 经济学, 工程科学, 优化与控制等方面有广泛的应用.基于此原因, 最近几年, 各类变分包含已被广泛研究, 读者可参见文献[10-16].

本文在严格凸、 $q$ -一致光滑的Banach空间 $E$ 中考虑下面的变分包含组:寻找 $(x^*, y^*)\in C\times C$ 使得

$ \left\{\begin{array}{rcl}0&\in&H(x^*)-H(y^*)+\rho_1(Ay^*+M_1x^*), \\ 0&\in&H(y^*)-H(x^*)+\rho_2(Bx^*+M_2y^*). \end{array}\right. $

(1.5)

如果 $H=I$ (恒等映射), 那么问题(1.5)引起下面的变分包含组:寻找 $(x^*, y^*)\in C\times C$ 使得

$ \left\{\begin{array}{rcl}0&\in&x^*-y^*+\rho_1(Ay^*+M_1x^*), \\ 0&\in&y^*-x^*+\rho_2(Bx^*+M_2y^*). \end{array}\right. $

(1.6)

当 $M_1, \ M_2$ 是两个 $m$ -增生映射时, 问题(1.6)已被Qin等人^[17]和Pei等人^[18]研究. Pei等人^[18]将文献[17]的结果从一致凸, $2$ -一致光滑的Banach空间推广到严格凸, $q$ -一致光滑的Banach空间, 而且将一个 $\lambda$ -严格伪压缩映射扩展到一无限族 $\lambda_i$ -严格伪压缩映射.具体地, 他们证明了下面的定理.

定理1.1^[18]  设 $C$ 是严格凸, $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的一非空, 闭凸子集, 其中 $E$ 具有弱序列连续对偶映射 $J_q:E\rightarrow E^*$ .设 $Q_C:E\rightarrow C$ 是一sunny非扩张收缩.假定 $A, B: C\rightarrow E $ 分别是 $\alpha$ -逆强增生与 $\beta$ -逆强增生映射.设 $M_i:D(M_i)\rightarrow 2^E$ 是 $m$ -增生映射且 $\overline{D(M_i)}=C$ , $i=1, 2$ .假定 $V:C\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续和 $\eta$ -强增生的, $f:C\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续的.设 $\{S_n:C\rightarrow C\}_{n=0}^{\infty}$ 是一无限族 $\lambda_n$ -严格伪压缩映射, 其中 $\{\lambda_n\}\subset(0, 1)$ , $\inf\{\lambda_n, n\geq0\}=\lambda>0$ , 而且, $F=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)\bigcap F(G)\neq\emptyset$ , 其中 $F(G)$ 表示问题(1.6)的解集.设 $0<\mu<(\frac{q\eta}{C_qk^q})^{\frac{1}{q-1}}, \ 0<\rho_1<(\frac{q\alpha}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}, 0<\rho_2<(\frac{q\beta}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}, \ 0\leq\gamma L<\tau, 0<\sigma\leq d$ , 其中 $\tau=\mu(\eta-\frac{C_q\mu^{q-1}k_q}{q})$ , $d=\min\{1, (\frac{q\lambda}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}\}$ .对所有的 $x\in C$ 和 $n\geq0$ , 定义 $T_n(x)=(1-\sigma)x+\sigma S_nx$ .任意给定 $x_0\in C$ 和 $\delta\in(0, 1)$ , 设 $\{x_n\}$ 由下列迭代方法产生

$ \left\{\begin{array}{l}z_n=J_{M_2, \rho_2}(x_n-\rho_2Bx_n), \\ k_n=J_{M_1, \rho_1}(z_n-\rho_1Az_n), \\ y_n=\delta T_nx_n+(1-\delta)k_n, \\ x_{n+1}=Q_C[\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y_n], n\geq0.\end{array}\right. $

(1.7)

假定 $\{\alpha_n\}\subset(0, 1)$ , $\{\gamma_n\}\subset(0, 1)$ 满足

(ⅰ) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\alpha_n=\infty, \ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0, \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\alpha_{n+1}-\alpha_n|<\infty;$

(ⅱ) $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_n<1, \ \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\gamma_{n+1}-\gamma_n|<\infty.$

另外, 假定 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足AKTT -条件.对所有的 $x\in C$ , 定义 $S:C\rightarrow C$ 为 $Sx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_nx$ , 并假定 $F(S)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)$ .那么 $\{x_n\}$ 强收敛到 $x^*\in F$ , 且 $x^*$ 是下面变分不等式的唯一解

$ \langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(p-x^*)\rangle\leq 0, \ \ \ \forall p\in F. $

(1.8)

如果我们增加限制 $x^*=y^*$ 和 $B=0$ , $M_2=0$ , $M_1=M$ , $C=E$ , 那么问题(1.5)转变成下面的变分包含问题:寻找 $x^*\in E$ 使得

$ 0\in A(x^*)+M(x^*), $

(1.9)

当 $M$ 是 $H$ -增生映射时, 它已经被Fang和Huang^[10]和Liu^[3]所研究.

尤其是, Liu^[3]在 $2$ -一致光滑的Banach空间, 利用粘滞逼近方法研究了变分包含(1.9)和有限个严格伪压缩映射的不动点问题, 该文将映射 $A$ 从Lipschitz连续且关于 $H$ 强增生性推广到关于 $H$ 逆强增生性.

受文章[3, 9-10, 17-19]的启发, 本文在 $q$ -一致光滑的Banach空间 $E$ 中建立了一个新的广义迭代算法来寻找变分包含(1.5)的解集与可数个严格伪压缩映射公共不动点集的公共元素.本文的新颖性主要在于去掉了 $E$ 具有弱序列连续对偶映射这一较强条件, 将 $m$ -增生映射推广为 $H$ -增生映射, 将Lipschitz连续且关于 $H$ 强增生映射推广为关于 $H$ 逆强增生映射.所得结果提高与拓展了文献[3, 8, 18-19]的相关结果.

遍及该文, $E$ 总是表示一实Banach空间, $E^*$ 表示它的对偶空间, $\langle\cdot, \cdot\rangle$ 表示 $E$ 与 $E^*$ 间的对偶对.

设 $\rho_E:[0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$ 是 $E$ 的光滑模, 定义为

$ \rho_E(t)=\sup\{\frac{1}{2}(\|x+y\|+\|x-y\|)-1:\|x\|\leq1, \|y\|\leq t\}. $

称 $E$ 是一致光滑的, 如果 $\lim\limits_{t\rightarrow0}\frac{\rho_E(t)}{t}=0.$ 称 $E$ 是 $q$ -一致光滑的, 如果存在一常数 $c>0$ , 使得 $\rho_E(t)\leq ct^q, \ \ q>1.$ 所有的Hilbert空间, $L^p$ (或 $l^p$ )空间( $p\geq2$ )和Sobolev空间 $W_m^p$ ( $p\geq2$ )是 $2$ -一致光滑的, 而 $L^p$ (或 $l^p$ )和 $W_m^p$ ( $1<p\leq2$ )是 $p$ -一致光滑的.众所周知, 如果 $E$ 是 $q$ -一致光滑的, 那么 $q\leq 2$ 且 $E$ 是一致光滑的.

注2.1  在文献[3]中能够找到 $J_q$ 的一些性质.

注2.2  遍及该文, 我们总假定 $J_q$ 是单值的.

设 $C$ 是 $E$ 的非空子集, $T$ 是 $C$ 上的一个映射. $F(T)$ 表示 $T$ 的不动点集.称映射 $T:C\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续的, 如果存在一个常数 $L>0$ 使得对任意的 $x, y\in C$ , $\|Tx-Ty\|\leq L\|x-y\|$ .特别的, 如果 $0<L<1$ , 则称 $T$ 是压缩的, 如果 $L=1, $ 则称 $T$ 是非扩张的.

定义2.1^{[3, 10, 21-22]}  设 $T, H:C\rightarrow E$ 是两个单值算子.称 $T$ 是

(ⅰ) 增生的, 如果

$ \langle Tx-Ty, J_q(x-y)\rangle\geq0, \forall x, y\in C. $

(ⅱ) 严格增生的, 如果

$ \left\langle {Tx - Ty,{J_q}(x - y)} \right\rangle \ge 0,\forall x,y \in C, $

且当且仅当 $x=y$ 时等号成立.

(ⅲ) 强增生的, 如果存在 $r>0$ , 使得

$ \langle Tx-Ty, J_q(x-y)\rangle\geq r\|x-y\|^q, \forall x, y\in C. $

(ⅳ) 关于 $H$ 强增生的, 如果存在常数 $\gamma>0$ , 使得

$ \langle Tx-Ty, J_q(Hx-Hy)\rangle\geq \gamma\|x-y\|^q, \forall x, y\in C. $

关于这类映射的例子, 我们可参见文献[10].

(v) $\alpha$ -逆强增生的, 如果存在常数 $\alpha>0$ 使得

$ \langle Tx-Ty, J_q(x-y)\rangle\geq \alpha\|Tx-Ty\|^q, \forall x, y\in C. $

(ⅵ) 关于 $H$ 是 $\alpha$ -逆强增生的, 如果存在常数 $\alpha>0$ 使得

$ \langle Tx-Ty, J_q(Hx-Hy)\rangle\geq \alpha\|Tx-Ty\|^q, \forall x, y\in C. $

注2.3  关于逆强增生映射与关于 $H$ 是逆强增生映射的例子, 可参见文献[3].

注2.4  根据文献[3], 我们知道关于 $H$ 逆强增生性是关于 $H$ 强增生且Lipschitz连续性的推广.

定义2.2^[10-11]  设 $H:C\rightarrow E$ 是一单值算子, $M:D(M)\rightarrow 2^E$ 是一多值映射且 $\overline{D(M)}=C$ .称 $M$ 是

(ⅰ) 增生的, 如果 $\langle u-v, J_q(x-y)\rangle\geq0, \ \forall x, y\in D(M), \ u\in M(x), v\in M(y);$

(ⅱ) $m$ -增生的, 如果 $M$ 是增生的且对所有的 $\lambda>0, $ $(I+\lambda M)(D(M))=E$ .

(ⅲ) $H$ -增生的, 如果 $M$ 是增生的且对所有的 $\lambda>0, $ $(H+\lambda M)(D(M))=E$ .

注2.5  关于 $m$ -增生算子与 $H$ -增生算子的关系, 可参见文献[11].

引理2.1^[20]  设 $E$ 是一致光滑的Banach空间.那么, $E$ 是 $q$ -一致光滑的当且仅当存在常数 $c_q>0$ , 使得对所有 $x, y\in E, $ 有

$ \|x+y\|^q\leq\|x\|^q+q\langle y, J_q(x)\rangle+c_q\|y\|^q. $

引理2.2^[10]  设 $H:C\rightarrow E$ 是一具常数 $r>0$ 的强增生算子, $M:D(M)\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生算子以致于 $\overline{D(M)}=C$ .那么预解算子 $R_{M, \lambda}^{H}:E\rightarrow D(M)$ 是Lipschitz连续的, Lipschitz常数为 $\frac{1}{r}$ , 即

$ \|R_{M, \lambda}^{H}(u)-R_{M, \lambda}^{H}(v)\|\leq\frac{1}{r}\|u-v\|, \forall u, v\in E, $

其中 $R_{M, \lambda}^{H}(u)=(H+\lambda M)^{-1}(u)$ 是单值的, $\lambda>0$ 是常数.

设 $C$ 是 $E$ 的非空子集, $Q:E\rightarrow C$ 是一映射.称 $Q$ 是sunny的, 如果对 $x\in E$ , $t\geq0$ 和 $Qx+t(x-Qx)\in E$ , 有 $Q(Qx+t(x-Qx))=Qx.$ 称 $Q$ 是一个收缩, 如果 $Q^2=Q.$ 在光滑的Banach空间, 有下面的性质.

引理2.3^{[7-8, 17-18]}  设 $E$ 是光滑的Banach空间, $C$ 是 $E$ 的非空子集.设 $Q:E\rightarrow C$ 是一个收缩, 设 $J, J_q$ 分别是正规对偶映射和广义对偶映射.那么下面的说法是等价的:

(a) $Q$ 是sunny和非扩张的;

(b) $\|Qx-Qy\|^2\leq\langle x-y, J(Qx-Qy)\rangle, \forall x, y\in E$ ;

(c) $\langle x-Qx, J(y-Qx)\rangle\leq0, \forall x\in E, y\in C$ ;

(d) $\langle x-Qx, J_q(y-Qx)\rangle\leq0, \forall x\in E, y\in C.$

引理2.4^[23]  设 $\{a_n\}$ 是一非负实序列满足

$ a_{n+1}\leq(1-\gamma_n)a_n+\delta_n, \hspace{4mm}n\geq0, $

其中 $\{\gamma_n\}\subset(0, 1)$ , $\{\delta_n\}\subset(-\infty, +\infty)$ 满足

(1) $\sum\limits_{n=1}^\infty\gamma_n=\infty;$ (2) $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\delta_n}{\gamma_n}\leq0 \hspace{4mm}\hbox{或}~\sum\limits_{n=1}^\infty|\delta_n|<\infty.$

那么 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0.$

引理2.5^[24]  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空, 闭凸子集, $T:C\rightarrow C$ 是 $\lambda$ -严格伪压缩.对 $\alpha\in(0, 1)$ , 定义 $T_{\alpha}x=(1-\alpha)x+\alpha Tx.$ 那么, 当 $\alpha\in(0, \mu)$ , ( $\mu=\min\{1, \{\frac{q\lambda}{C_q}\}^{\frac{1}{q-1}}\}$ )时, $T_\alpha:C\rightarrow C$ 是非扩张的而且 $F(T_\alpha)=F(T).$

引理2.6^[25]  设 $C$ 是严格凸Banach空间 $E$ 的非空闭凸子集.设 $S_1$ 和 $S_2$ 是两个从 $C$ 到自身的非扩张映射且有公共不动点.定义映射 $S:C\rightarrow C$ 为

$ Sx=\delta S_1x+(1-\delta)S_2x, \hspace{3mm}\forall x\in C, $

其中 $\delta\in(0, 1)$ 是一个常数.那么 $S$ 是非扩张的且 $F(S)=F(S_1)\bigcap F(S_2)$ .

定义2.3^[8]  设 $\{T_n\}$ 是一族从 $C$ 到自身的映射且 $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(T_n)\neq\emptyset$ .称 $\{T_n\}$ 满足AKTT -条件, 如果对 $C$ 的每一个有界子集 $B$ , 有

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\sup\limits_{\omega\in B}\|T_{n+1}\omega-T_n\omega\|<\infty. $

引理2.7^[8]  假定 $\{T_n\}$ 满足AKTT -条件使得

(ⅰ) 对每一个 $x\in C$ , $\{T_nx\}$ 强收敛到 $C$ 中的一点.

(ⅱ) 而且, 如果定义映射 $T:C\rightarrow C$ 为:对每一个 $\in C$ , $Tx=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_nx$ .

那么对 $C$ 的每一个有界子集 $B$ , $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{\omega\in B}\|T\omega-T_n\omega\|=0$ .

引理2.8^[26]  设 $q>1$ .那么下面的不等式成立:对任意正实数 $a, b$ , 有

$ ab\leq\frac{1}{q}a^q+\frac{q-1}{q}b^{\frac{q}{q-1}}. $

引理2.9^[8]  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集.设 $V:C\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续、 $\eta$ -强增生算子.设 $0<\mu<(\frac{q\eta}{C_qk^q})^{\frac{1}{q-1}}$ 和 $\tau=\mu(\eta-\frac{C_q\mu^{q-1}k^q}{q})$ .那么对每一个 $t\in (0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ , 映射 $S:C\rightarrow E$ (定义为 $S:=(I-t\mu V)$ )是一个压缩映射, 压缩常数为 $1-t\tau$ .

引理2.10^[8]  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集. $Q_C:E\rightarrow C$ 是一个sunny非扩张收缩, $V:C\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续和 $\eta$ -强增生算子, $f:C\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续映射, $T:C\rightarrow C$ 是非扩张映射且 $F(T)\neq\emptyset$ .设 $0<\mu<(\frac{q\eta}{C_qk^q})^{\frac{1}{q-1}}$ , $0\leq\gamma L<\tau$ , 其中 $\tau=\mu(\eta-\frac{C_q\mu^{q-1}k^q}{q})$ .设 $\{x_t\}$ 定义为

$ \begin{eqnarray}\label{E:2.1}x_t=Q_C[t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t].\end{eqnarray} $

(2.1)

那么 $\{x_t\}$ 有下面的性质

(ⅰ) 对每一个 $t\in (0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ , $\{x_t\}$ 有界;

(ⅱ) $\lim\limits_{t\rightarrow 0}\|x_t-Tx_t\|=0$ ;

(ⅲ) $\{x_t\}$ 从 $(0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ 到 $C$ 是连续的.

为了证明主要结果, 下面的引理很重要.

引理3.1  设 $E$ 是严格凸、 $q$ -一致光滑的Banach空间. $C$ 是 $E$ 的非空、闭凸子集.设 $H:C\rightarrow E$ 是强增生、Lipschitz连续算子且具有相同的强增生系数和Lipschitz常数 $\gamma>0.$ 设 $M:D(M)\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生映射且 $\overline{D(M)}=C$ , 设 $A:C\rightarrow E$ 是关于 $H$ 的 $\alpha$ -逆强增生算子.那么, 当 $\rho\in (0, (\frac{\alpha q}{C_q})^{\frac{1}{q-1}})$ 时, $R_{M, \rho}^H(H-\rho A):C\rightarrow C$ 是非扩张的, 其中 $R_{M, \rho}^H(H-\rho A)(x)=(H+\rho M)^{-1}(H-\rho A)(x)$ .

证  对任意的 $x, y\in C, $ 根据引理2.1, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\|(H-\rho A)(x)-(H-\rho A)(y)\|^q\\ &\leq&\|Hx-Hy\|^q-q\rho\langle Ax-Ay, J_q(Hx-Hy)\rangle+C_q\rho^q\|Ax-Ay\|^q\\ &\leq&\|Hx-Hy\|^q-\alpha q\rho\|Ax-Ay\|^q+C_q\rho^q\|Ax-Ay\|^q\\ &\leq&\|Hx-Hy\|^q+\rho(C_q\rho^{q-1}-\alpha q)\|Ax-Ay\|^q\\ &\leq&\|Hx-Hy\|^q\leq\gamma^q\|x-y\|^q, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \|(H-\rho A)(x)-(H-\rho A)(y)\|\leq\gamma\|x-y\|. $

从引理, 我们有

$ \|R_{M, \rho}^H(H-\rho A)(x)-R_{M, \rho}^H(H-\rho A)(y)\|\leq\frac{1}{\gamma}\|(H-\rho A)(x)-(H-\rho A)(y)\|\|x-y\|, $

这表明 $R_{M, \rho}^H(H-\rho A):C\rightarrow C$ 是非扩张的.

引理3.2  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集.设 $M_i:D(M_i)\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生映射且 $\overline{D(M_i)}=C$ , $i=1, 2$ .任意给定 $\rho_1, \rho_2$ 两个正数.设 $A, B:C\rightarrow E$ 是两个关于 $H$ 的逆强增生映射, 逆强增生常数分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ .定义 $G:C\rightarrow C$ 为

$ G(x)=R_{M_1, \rho_1}^H(H-\rho_1A)R_{M_2, \rho_2}^H(H-\rho_2B)(x), \forall x\in C. $

如果 $0<\rho_1\leq(\frac{q\alpha}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}$ , $0<\rho_2\leq(\frac{q\beta}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}$ , 那么 $G:C\rightarrow C$ 是非扩张的.

证  根据引理3.1, 很容易得到这个结论.

引理3.3  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集.设 $M_i:D(M_i)\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生映射且 $\overline{D(M_i)}=C$ , $i=1, 2$ .任意给定 $\rho_1, \rho_2$ 两个正数.那么, $(x^*, y^*)\in C\times C$ 是问题(1.5)的一个解当且仅当 $x^*=G(x^*)$ , 其中 $G$ 为引理3.2中所定义的映射.

证   注意到

$ \left\{\begin{array}{rcl}0&\in&H(x^*)-H(y^*)+\rho_1(Ay^*+M_1x^*), \\ 0&\in&H(y^*)-H(x^*)+\rho_2(Bx^*+M_2y^*)\end{array}\right. $

等价于

$ \left\{\begin{array}{rcl}x^*&=&R_{M_1, \rho_1}^H(H-\rho_1A)y^*, \\ y^*&=&R_{M_2, \rho_2}^H(H-\rho_2B)x^*.\end{array}\right. $

这表明 $x^*=G(x^*).$

引理3.4  设 $C$ 是 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集.令 $Q_C:E\rightarrow C$ 是sunny非扩张收缩, $V:C\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续、 $\eta$ -强增生算子, $f:C\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续算子, $T:C\rightarrow C$ 是非扩张映射以致于 $F(T)\neq\emptyset$ .假定 $0<\mu<(\frac{q\eta}{C_qk^q})^{\frac{1}{q-1}}$ , $0\leq\gamma L<\tau$ , 其中 $\tau=\mu(\eta-\frac{C_q\mu^{q-1}k^q}{q})$ .对每一个 $t\in (0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ , 设 $\{x_t\}$ 由(2.1)式定义.那么, 当 $t\rightarrow0$ 时, $\{x_t\}$ 强收敛到 $x^*\in F(T)$ , 且 $x^*$ 是下面变分不等式的唯一解

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.1}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(p-x^*)\rangle\leq0, \ \ \ \forall p\in F(T).\end{eqnarray} $

(3.1)

证  首先, 表明 $x_t$ 的存在性.定义映射 $S_t:C\rightarrow C$ 为

$ S_tx:=Q_C[t\gamma f(x)+(I-t\mu V)Tx], \ \ \forall x\in C. $

容易看到 $S_t$ 是压缩的.的确, 根据引理2.9, 对所有的 $x, y\in C$ , 有

$ \begin{eqnarray*}\|S_tx-S_ty\|&=&\|Q_C[t\gamma f(x)+(I-t\mu V)Tx]-Q_C[t\gamma f(y)+(I-t\mu V)Ty]\|\\ &\leq&t\gamma\|f(x)-f(y)\|+\|(I-t\mu V)(Tx-Ty)\|\\ &\leq&t\gamma L\|x-y\|+(1-t\tau)\|x-y\|\\ &=&(1-(\tau-\gamma L)t)\|x-y\|.\end{eqnarray*} $

因此, $S_t$ 有唯一不动点, 表示为 $x_t$ , 它是下面方程的唯一解

$ x_t=Q_C[t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t]. $

其次, 表明变分不等式(3.1)的解的唯一性.假定 $\tilde{x}\in F(T)$ 和 $x^*\in F(T)$ 都是(3.1)式的解.则有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.2}\langle \gamma f(\tilde{x})-\mu V\tilde{x}, J_q(x^*-\tilde{x})\rangle\leq0 \end{eqnarray} $

(3.2)

和

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.3}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(\tilde{x}-x^*)\rangle\leq0. \end{eqnarray} $

(3.3)

将(3.2)式与(3.3)式相加, 得

$ \langle(\gamma f-\mu V)\tilde{x}-(\gamma f-\mu V)x^*, J_q(x^*-\tilde{x})\rangle\leq0. $

注意到

$ \begin{eqnarray*} &&\langle (\gamma f-\mu V)\tilde{x}-(\gamma f-\mu V)x^*, J_q(x^*-\tilde{x})\rangle\\ &=&\gamma\langle f(\tilde{x})-f(x^*), J_q(x^*-\tilde{x})\rangle+\mu\langle Vx^*-V\tilde{x}, J_q(x^*-\tilde{x})\rangle\\ &\geq&\mu\eta\|\tilde{x}-x^*\|^q-\gamma\|f(\tilde{x})-f(x^*)\|\|\tilde{x}-x^*\|^{q-1}\\ &\geq&\mu\eta\|\tilde{x}-x^*\|^q-\gamma L\|\tilde{x}-x^*\|^q\\ &=&(\mu\eta-\gamma L)\|x^*-\tilde{x}\|^q\geq0. \end{eqnarray*} $

因此, 得到 $\tilde{x}=x^*$ .唯一性被证明.我们用 $x^*$ 表示(3.1)式的唯一解.

下面证明当 $t\rightarrow 0$ 时, $x_t\rightarrow x^*$ .赋 $y_t=t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t$ , 其中 $t\in (0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ .那么, $x_t=Q_Cy_t.$ 假定 $\{t_n\}\subset(0, 1)$ 是一序列, 且当 $n\rightarrow\infty$ 时, $t_n\rightarrow 0$ .赋 $x_n:=x_{t_n}$ 和 $y_n:=y_{t_n}$ , 那么, $x_n=Q_Cy_n$ .根据引理2.10, $\{x_n\}$ 有界.定义 $\mu:C\rightarrow R$ 为

$ \mu(x)=LIM\|x_n-x\|^2, \forall x\in C, $

其中 $LIM$ 代表 $l^{\infty}$ 上的Banach极限.设 $K=\{x\in C:\mu(x)=\min\limits_{y\in C}LIM\|x_n-y\|^2\}.$ 容易看到 $K$ 是 $E$ 的非空、有界、闭凸子集.根据引理2.10, 有 $\|x_n-Tx_n\|\rightarrow0, $ 当 $n\rightarrow\infty.$ 因此

$ \mu(Tx)=LIM\|x_n-Tx\|^2\leq LIM\|Tx_n-Tx\|^2\leq LIM\|x_n-x\|^2=\mu(x), $

这表明 $T(K)\subset K$ .既然在一致光滑的Banach空间, 非扩张映射有不动点性质, 那么 $T$ 有不动点, 设为 $\hat{x}\in K.$ 设 $t\in (0, 1)$ , $x\in E$ .既然 $\hat{x}$ 是 $\mu$ 在 $C$ 上的最小值, 则

$ LIM\|x_n-\hat{x}\|^2\leq LIM\|x_n-Q_C(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x}))\|^2\leq LIM\|x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x}))\|^2. $

观察到

$ \begin{eqnarray*} &&\|x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x}))\|^2\\ &=&\langle x_n-\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle -t\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle\\ &\leq&\|x_n-\hat{x}\|\|x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x}))\|-t\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle\\ &\leq&\frac{\|x_n-\hat{x}\|^2+\|x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x})\|^2}{2}-t\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \|x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x})\|^2\leq\|x_n-\hat{x}\|^2-2t\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle. $

取Banach极限, 有

$ \begin{eqnarray*} &&LIM\|x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x})\|^2\\ &\leq& LIM\|x_n-\hat{x}\|^2-2tLIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \begin{eqnarray*} &&2tLIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle\\ &\leq &LIM\|x_n-\hat{x}\|^2-LIM\|x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x})\|^2\leq0. \end{eqnarray*} $

因此, 得到

$ LIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-(\hat{x}+t(x-\mu V\hat{x})))\rangle\leq0. $

既然 $E$ 是 $q$ -一致光滑的, 那么 $E$ 也是一致光滑, 因此, 正规对偶映射 $J$ 在 $E$ 的有界集上是依范数一致连续的.设 $t\rightarrow 0, $ 有

$ \langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x}))\rangle-\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\rightarrow0. $

因此, 对所有的 $\epsilon>0$ , 存在 $\delta>0$ 以致于 $\forall t\in(0, \delta)$ 和 $\forall n\geq1, $ 有

$ \langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle<\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x}))\rangle+\epsilon. $

因此

$ LIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\leq LIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x}-t(x-\mu V\hat{x}))\rangle+\epsilon\leq\epsilon. $

既然 $\epsilon$ 是任意的, 那么

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.4}LIM\langle x-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\leq0, \forall x\in E.\end{eqnarray} $

(3.4)

另一方面, 根据 $Q_C$ 的性质和 $y_n$ 的构造, 有

$ \begin{eqnarray*} \|x_n-\hat{x}\|^2&=&\langle x_n-\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &=&\langle x_n-y_n, J(x_n-\hat{x})\rangle+\langle y_n-\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &\leq&\langle y_n-\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &=&\langle t_n\gamma f(x_n)+(I-t_n\mu V)Tx_n-\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &=&\langle (I-t_n\mu V)Tx_n-(I-t_n\mu V)T\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &&+\langle (I-t_n\mu V)T\hat{x}+t_n\gamma f(x_n)-\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle\\ &\leq&(1-t_n\tau)\|x_n-\hat{x}\|^2+t_n\langle \gamma f(x_n)-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \|x_n-\hat{x}\|^2\leq\frac{1}{\tau}[\gamma L\|x_n-\hat{x}\|^2+\langle \gamma f(\hat{x})-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle]. $

因此

$ \|x_n-\hat{x}\|^2\leq\frac{\langle \gamma f(\hat{x})-\mu V\hat{x}, J(x_n-\hat{x})\rangle}{\tau-\gamma L}. $

既然 $\tau>\gamma L$ , 由(3.4)式, 有 $LIM\|x_n-\hat{x}\|^2=0$ , 因此, 存在子列, 仍表示为 $\{x_n\}$ 使得 $x_n\rightarrow \hat{x}$ .

最后, 证明 $\hat{x}$ 解决了变分不等式(3.1).既然 $x_t=Q_Cy_t=Q_Cy_t-y_t+t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t$ , 则

$ (\mu V-\gamma f)x_t=\frac{1}{t}(Q_Cy_t-y_t)-\frac{1}{t}(I-T)x_t+\mu(Vx_t-VTx_t). $

注意到, 对 $\forall z\in F(T)$ , 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.5}\langle (I-T)x_t-(I-T)z, J_q(x_t-z)\rangle&=&\|x_t-z\|^q-\langle Tx_t-Tz, J_q(x_t-z)\rangle\nonumber\\ &\geq&\|x_t-z\|^q-\|x_t-z\|^q=0. \end{eqnarray} $

(3.5)

从(3.5)式和引理2.3, 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.6} &&\langle(\mu V-\gamma f)x_t, J_q(x_t-z)\rangle\nonumber\\ &=&\frac{1}{t}\langle Q_Cy_t-y_t, J_q(x_t-z)\rangle-\frac{1}{t}\langle (I-T)x_t, J_q(x_t-z)\rangle+\mu\langle Vx_t-VTx_t, J_q(x_t-z) \rangle\nonumber\\ &\leq&\|x_t-Tx_t\|M, \end{eqnarray} $

(3.6)

其中 $M=\sup\limits_{t\in ({0, \min\{1, \frac{1}{\tau}\})}}\{\mu k\|x_t-z\|^{q-1}\}<\infty.$ 在(3.6)式中用 $t_n$ 代替 $t$ , 令 $n\rightarrow\infty$ , 得到

$ \langle(\mu V-\gamma f)\hat{x}, J_q(\hat{x}-z)\rangle\leq0, \ \forall z\in F(T). $

这表明 $\hat{x}\in F(T)$ 是(3.1)式的解.根据(3.1)式的解的唯一性 $\hat{x}=x^*$ .因而, 当 $t\rightarrow0$ 时, $x_t\rightarrow x^*$ .

注3.1  引理3.4取消了文献[8]中定理3.4所设的"弱序列连续对偶映射"这一条件.

引理3.5  设 $C$ , $E$ , 和 $f, T, V$ 如引理3.4中所假定.设当 $t\rightarrow0$ 时, 由(2.1)式定义的 $\{x_t\}$ 强收敛到 $x^*\in F(T)$ .假定 $\{x_n\}\subset C$ 有界且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_n-Tx_n\|=0.$ 那么

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.7}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle\leq0.\end{eqnarray} $

(3.7)

证  赋 $y_t=t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t.$ 既然 $x_t\rightarrow x^*, $ 由 $f, T, V$ 的连续性, 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.8} \lim\limits_{t\rightarrow0}\|y_t-x^*\|&=&\lim\limits_{t\rightarrow0}\|t\gamma f(x_t)-t\mu VTx_t+Tx_t-Tx^*\| \nonumber\\ &\leq&\lim\limits_{t\rightarrow0} t\|\gamma f(x_t)-\mu VTx_t\|+\lim\limits_{t\rightarrow0}\|x_t-x^*\|=0. \end{eqnarray} $

(3.8)

既然 $y_t=t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t, $ 那么 $\mu V(y_t)=t\mu\gamma Vf(x_t)+\mu VT(x_t)-t\mu^2V^2T(x_t)$ .通过移项, 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.9}\mu VT(x_t)-\mu V(y_t)=t\mu^2V^2T(x_t)-t\mu\gamma Vf(x_t).\end{eqnarray} $

(3.9)

这样

$ \begin{eqnarray*} \|x_t-x_n\|^q&=&\langle Q_Cy_t-y_t, J_q(x_t-x_n)\rangle+\langle y_t-x_n, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &\leq&\langle y_t-x_n, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &=&\langle t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Tx_t-x_n, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &=&t\langle\gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_t-x_n)\rangle+\langle Tx_t-x_n, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &&-t\langle \mu VTx_t-\mu Vy_t, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &=&t\langle\gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_t-x_n)\rangle+\langle Tx_t-Tx_n, J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &&+\langle Tx_n-x_n, J_q(x_t-x_n)\rangle -t^2\langle \mu^2V^2Tx_t-\gamma\mu Vf(x_t), J_q(x_t-x_n)\rangle\\ &\leq &t\langle\gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_t-x_n)\rangle+\|x_t-x_n\|^q\\ &&+\|Tx_n-x_n\|\|x_t-x_n\|^{q-1} +t^2\|\mu^2V^2Tx_t-\gamma\mu Vf(x_t)\|\|x_t-x_n\|^{q-1}, \end{eqnarray*} $

这里第五个等式是由于等式(3.9).这意味着

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.10}\langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle&\leq& \frac{\|Tx_n-x_n\|\|x_t-x_n\|^{q-1}}{t}\nonumber\\ & &+t\|\mu^2V^2Tx_t-\gamma\mu Vf(x_t)\|\|x_t-x_n\|^{q-1}.\end{eqnarray} $

(3.10)

既然 $\{x_t\}, \{x_n\}$ 和 $\{Tx_n\}$ 有界且 $x_n-Tx_n\rightarrow0, $ 在(3.10)式中取 $n\rightarrow\infty$ 时的上极限, 得到

$ \begin{equation}\label{E:3.11}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle\leq t\|\mu^2V^2Tx_t-\gamma\mu Vf(x_t)\|\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_t-x_n\|^{q-1}.\end{equation} $

(3.11)

在(3.11)式中取 $t\rightarrow0$ 时的上极限, 得到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.12}\limsup\limits_{t\rightarrow0} \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle\leq0.\end{eqnarray} $

(3.12)

既然 $E$ 是一致光滑的, $J_q$ 是单值的且在 $E$ 的有界集上依范数一致连续, 因此, 根据 $t\rightarrow0$ 时, $x_t\rightarrow x^*$ 和(3.8)式, 有

$ \begin{eqnarray*} &&|\langle\gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*) \rangle-\langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle|\\ &=&|\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)-J_q(x_n-x_t)\rangle+\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*\\ &&-\gamma f(x_t)+\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle|\\ &\leq&|\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)-J_q(x_n-x_t)\rangle|+(\gamma\|f(x^*)-f(x_t)\|\\ &&+\mu\|Vy_t-Vx^*\|)\|x_n-x_t\|^{q-1}\\ &\rightarrow& 0, \ \ \hbox{当} \ t\rightarrow0. \end{eqnarray*} $

因此, $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$ , 以致于 $\forall t\in (0, \delta)$ 和 $\forall n\geq0, $ 有

$ \langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle\leq\langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle+\epsilon. $

根据(3.12)式, 得到

$ \begin{eqnarray*} \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle&=& \limsup\limits_{t\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle\\ &\leq&\limsup\limits_{t\rightarrow0}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x_t)-\mu Vy_t, J_q(x_n-x_t)\rangle+\epsilon\\ &\leq&\epsilon.\end{eqnarray*} $

既然 $\epsilon$ 是任意的, 有

$ \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle\leq0. $

引理3.5证毕.

注3.2  引理3.4和引理3.5从以下几个方面提高了文献[19]中的引理2.13和引理2.14

(1) 引理3.4和引理3.5将文献[19]中引理2.13和引理2.14所假设的自身到自身的非扩张映射 $S$ 推广到非自身 $L$ -Lipschitz连续映射 $f$ ;

(2) 引理3.4和引理3.5将文献[19]中引理2.13和引理2.14所假设的自身强正有界线性算子 $A$ 推广到非自身Lipschitz连续强增生算子 $V$ ;

(3) 引理3.4和引理3.5取消了文献[19]中引理2.13和引理2.14所假设的" $C\pm C\subset C$ "这一条件.

定理3.1  设 $C$ 是严格凸、 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空, 闭凸子集.设 $Q_C:E\rightarrow C$ 是一sunny非扩张收缩, $H:C\rightarrow E$ 是强增生, Lipschitz连续算子具有相同的强增生常数和Lipschitz常数 $r>0$ .假定 $A, B:C\rightarrow E$ 是两个关于 $H$ 的逆强增生算子, 逆强增生常数分别为 $\alpha$ 和 $\beta$ .设 $M_i:D(M_i)\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生的且 $\overline{D(M_i)}=C$ , $i=1, 2$ .假定 $V:C\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续和 $\eta$ -强增生的, $f:C\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续的.设 $\{S_n:C\rightarrow C\}$ 一无限族 $\lambda_n$ -严格伪压缩映射, $\{\lambda_n\}\subset(0, 1)$ 且 $\inf\{\lambda_n:n\geq1\}=\lambda>0$ , 以致于 $F=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)\bigcap F(G)\neq\emptyset$ , 其中 $F(G)$ 表示变分包含问题(1.5)的解集.设 $0<\mu<(\frac{q\eta}{C_qk^q})^{\frac{1}{q-1}}, 0<\rho_1<(\frac{q\alpha}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}, $ $ 0<\rho_2<(\frac{q\beta}{C_q})^{\frac{1}{q-1}}, $ $ 0\leq\gamma L<\tau, $ $ 0<\sigma_n\leq d, $ 其中 $\tau=\mu(\eta-\frac{C_q\mu^{q-1}k^q}{q})$ 与 $d=\min\{1, \{\frac{q\lambda}{C_q}\}^{\frac{1}{q-1}}\}$ .对任意的 $x\in C$ , 定义映射 $T_n(x):=(1-\sigma_n)(x)+\sigma_nS_n(x)$ .任意给定 $x_1\in C$ , 由下式生成迭代序列 $\{x_n\}$

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.13} z_n&=&R_{M_2, \rho_2}^H(H-\rho_{2}B)x_n, \nonumber\\ k_n&=&R_{M_1, \rho_1}^H(H-\rho_{1}A)z_n, \nonumber\\ y_n&=&\delta_nT_nx_n+(1-\delta_n)k_n, \nonumber\\ x_{n+1}&=&Q_C[\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y_n].\end{eqnarray} $

(3.13)

假定 $\{\alpha_n\}, \{\gamma_n\}, \{\delta_n\}$ 和 $\{\sigma_n\}$ 是 $(0, 1)$ 中的四个序列且满足如下条件

(ⅰ) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_n=\infty, \ \ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0, \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\alpha_{n+1}-\alpha_n|<\infty;$

(ⅱ) $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_n\leq b<1, \ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\gamma_{n+1}-\gamma_n|<\infty;$

(ⅲ) $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\delta_{n+1}-\delta_n|<\infty, \ \ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\delta_n=\delta;$

(ⅳ) $\sum\limits_{n=0}^{\infty}|\sigma_{n+1}-\sigma_n|<\infty.$

另外, 假定 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足AKTT -条件.定义 $S:C\rightarrow C$ 为 $Sx:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_nx$ .假定 $F(S)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)$ .那么, $\{x_n\}$ 强收敛到 $x^*\in F, $ 它是下面变分不等式的唯一解

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.14}\langle\gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(p-x^*)\rangle\leq0, \hspace{4mm}\forall p\in F, \end{eqnarray} $

(3.14)

其中 $F=F(S)\bigcap F(G)$ .

证  该证明分五个步骤.

第一步.表明 $\{x_n\}$ 有界.

根据条件(ⅰ)和(ⅱ), 不失一般性, 假定 $\{\gamma_n\}\subset(0, b]$ 和 $\{\alpha_n\}\subset(0, (1-b)\min\{1, \frac{1}{\tau}\})$ .根据引理2.9, 有

$ \begin{equation}\label{E:3.15}\|((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)x-((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y\|\leq((1-\gamma_n)-\alpha_n\tau)\|x-y\|, \forall x, y\in C.\end{equation} $

(3.15)

由 $G$ 的定义, $k_n=Gx_n$ .既然 $x^*\in F, $ 有 $x^*=Gx^*.$ 根据引理3.2, 我们得到 $\|k_n-x^*\|=\|Gx_n-Gx^*\|\leq\|x_n-x^*\|.$ 根据引理2.5, 对每一个 $n\geq1$ , $T_n:C\rightarrow C$ 是非扩张的, 因此

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.16}\|y_n-x^*\|\leq\delta_n\|T_nx_n-x^*\|+(1-\delta_n)\|x_n-x^*\|\leq\|x_n-x^*\|.\end{eqnarray} $

(3.16)

从(3.15)和(3.16)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\|x_{n+1}-x^*\| \leq\|\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y_n-x^*\|\\ &=&\|\alpha_n\gamma f(x_n)-\alpha_n\gamma f(x^*)+\alpha_n\gamma f(x^*)+[(1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V]y_n\\ &&-[(1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V]x^*-\alpha_n\mu Vx^*+\gamma_n(x_n-x^*)\|\\ &\leq&\alpha_n\gamma L\|x_n-x^*\|+\gamma_n\|x_n-x^*\|+((1-\gamma_n)-\alpha_n\tau)\|y_n-x^*\| +\alpha_n\|\gamma f(x^*)-\mu Vx^*\|\\ &\leq&\alpha_n\gamma L\|x_n-x^*\|+\gamma_n\|x_n-x^*\|+((1-\gamma_n)-\alpha_n\tau)\|x_n-x^*\| +\alpha_n\|\gamma f(x^*)-\mu Vx^*\|\\ &\leq&[1-\alpha_n(\tau-\gamma L)]\|x_n-x^*\|+\alpha_n(\tau-\gamma L)\frac{\|\gamma f(x^*)-\mu Vx^*\|}{\tau-\gamma L}.\end{eqnarray*} $

由归纳法, 我们有 $\|x_n-x^*\|\leq\max\big\{\|x_0-x^*\|, \frac{\|\gamma f(x^*)-\mu Vx^*\|}{\tau-\gamma L}\big\}, $ 因此, $\{x_n\}$ 有界, $\{y_n\}, \{k_n\}$ 和 $\{z_n\}$ 也是有界的.

第二步.表明当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\|x_{n+1}-x_n\|\rightarrow0.$

根据引理3.1, 观察到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.17} \|k_{n+1}-k_n\|&=&\|R_{M_1, \rho_1}^H(H-\rho_{1}A)z_{n+1}-R_{M_1, \rho_1}^H(H-\rho_{1}A)z_{n}\|\nonumber\\ &\leq&\|z_{n+1}-z_n\|=\|R_{M_2, \rho_2}^H(H-\rho_{2}B)x_{n+1}-R_{M_2, \rho_2}^H(H-\rho_{2}B)x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&\|x_{n+1}-x_n\|.\end{eqnarray} $

(3.17)

从(3.13)和(3.17)式, 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.18} &&\|y_{n+1}-y_n\|\\ &\leq&\delta_{n+1}\|T_{n+1}x_{n+1}-T_nx_n\| +(1-\delta_{n+1})\|k_{n+1}-k_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|\nonumber\\ &=&\delta_{n+1}\|T_{n+1}x_{n+1}-T_{n+1}x_n+T_{n+1}x_n-T_nx_n\| \\ &&+(1-\delta_{n+1})\|k_{n+1}-k_n\| +|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|\nonumber\\ &\leq&\delta_{n+1}\|x_{n+1}-x_{n}\| +\delta_{n+1}[\|(1-\sigma_{n+1})x_n+\sigma_{n+1}S_{n+1}x_n-(1-\sigma_n)x_n-\sigma_nS_nx_n\|]\nonumber\\ &&+(1-\delta_{n+1})\|k_{n+1}-k_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|\nonumber\\ &\leq&\delta_{n+1}\|x_{n+1}-x_{n}\|\nonumber\\ &&+\delta_{n+1}[\|(\sigma_n-\sigma_{n+1})x_n+\sigma_{n+1}S_{n+1}x_n-\sigma_nS_{n+1}x_n+\sigma_nS_{n+1}x_n-\sigma_nS_nx_n\|]\nonumber\\ &&+(1-\delta_{n+1})\|k_{n+1}-k_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|\nonumber\\ &\leq&\delta_{n+1}\|x_{n+1}-x_{n}\|+(1-\delta_{n+1})\|k_{n+1}-k_n\|+|\sigma_n-\sigma_{n+1}|\|x_n-S_{n+1}x_n\|\nonumber\\ &&+\sigma_n\|S_{n+1}x_n-S_{n}x_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|\nonumber\\ &\leq&\|x_{n+1}-x_{n}\|+|\sigma_n-\sigma_{n+1}|\|x_n-S_{n+1}x_n\|\nonumber\\ &&+\sigma_n\|S_{n+1}x_n-S_{n}x_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|. \end{eqnarray} $

(3.18)

同时, 我们观察到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.19} &&\|x_{n+2}-x_{n+1}\|\\ &=&\|[\alpha_{n+1}\gamma f(x_{n+1})+\gamma_{n+1}x_{n+1}+((1-\gamma_{n+1})I-\alpha_{n+1}\mu V)y_{n+1}]\nonumber\\ &&-[\alpha_{n}\gamma f(x_{n})+\gamma_{n}x_{n}+((1-\gamma_{n})I-\alpha_{n}\mu V)y_{n}]\|\nonumber\\ &=&\|\alpha_{n+1}\gamma f(x_{n+1})-\alpha_{n+1}\gamma f(x_{n})+\alpha_{n+1}\gamma f(x_{n})-\gamma_{n+1}x_{n}+\gamma_{n+1}x_{n}+\gamma_{n+1}x_{n+1}\nonumber\\ &&+((1-\gamma_{n+1})I-\alpha_{n+1}\mu V)y_{n+1}-((1-\gamma_{n+1})I-\alpha_{n+1}\mu V)y_{n}\nonumber\\ &&+((1-\gamma_{n+1})I-\alpha_{n+1}\mu V)y_{n}-((1-\gamma_{n})I-\alpha_{n}\mu V)y_{n}-\alpha_{n}\gamma f(x_{n})-\gamma_{n}x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&\alpha_{n+1}\gamma L\|x_{n+1}-x_{n}\|+\gamma_{n+1}\|x_{n+1}-x_{n}\|+|\alpha_{n+1}-\alpha_n|\gamma\|f(x_n)\|\nonumber\\ &&+|\gamma_{n+1}-\gamma_n|\|x_n-y_n\|+|\alpha_{n+1}-\alpha_n|\mu\|Vy_n\|+((1-\gamma_{n+1})-\alpha_{n+1}\tau)\|y_{n+1}-y_n\|. \end{eqnarray} $

(3.19)

联合(3.18)与(3.19)式, 我们得到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.20} &&\|x_{n+2}-x_{n+1}\|\\ &\leq& \|x_{n+1}-x_{n}\|+\alpha_{n+1}\gamma L\|x_{n+1}-x_{n}\|+|\alpha_{n+1}-\alpha_n|\gamma\|f(x_n)\|\nonumber\\ &&-\alpha_{n+1}\tau\|x_{n+1}-x_{n}\|+|\gamma_{n+1}-\gamma_n|\|x_n-y_n\|+|\alpha_{n+1}-\alpha_n|\mu\|Vy_n\|\nonumber\\ &&+((1-\gamma_{n+1})-\alpha_{n+1}\tau)[|\sigma_n-\sigma_{n+1}|\|x_n-S_{n+1}x_n\|\nonumber\\ &&+\sigma_n\|S_{n+1}x_n-S_{n}x_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|]\nonumber\\ &\leq&(1-\alpha_{n+1}(\tau-\gamma L))\|x_{n+1}-x_n\|+|\alpha_{n+1}-\alpha_n|[\gamma \|f(x_n)\|+\mu\|Vy_n\|]\nonumber\\ &&+|\gamma_{n+1}-\gamma_n|\|x_n-y_n\| +((1-\gamma_{n+1})-\alpha_{n+1}\tau)[|\sigma_n-\sigma_{n+1}|\|x_n-S_{n+1}x_n\|\nonumber\\ &&+\sigma_n\|S_{n+1}x_n-S_nx_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|\|T_nx_n-k_n\|]\nonumber\\ &\leq&(1-\alpha_{n+1}(\tau-\gamma L))\|x_{n+1}-x_n\|+(|\alpha_{n+1}-\alpha_n|+|\gamma_{n+1}-\gamma_n|)M_1 \nonumber\\ &&+|\sigma_n-\sigma_{n+1}|M_2+\sigma_n\|S_{n+1}x_n-S_nx_n\|+|\delta_{n+1}-\delta_{n}|M_3, \end{eqnarray} $

(3.20)

其中 $ M_1=\sup\limits_{n\geq1}\{\mu\|Vy_n\|+\gamma\|f(x_n)\|, \|x_n-y_n\|\}$ , $ M_2=\sup\limits_{n\geq1}\{\|x_n-S_{n+1}x_n\|\}$ , $ M_3=\sup\limits_{n\geq1}\{\|T_nx_n-k_n\|\}$ .由于 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足AKTT -条件, 我们得出

$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\|S_{n+1}x_n-S_nx_n\|\leq\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sup\limits_{\omega\in\{x_n\}}\|S_{n+1}\omega-S_n\omega\|<\infty. $

由条件(ⅰ) -(ⅳ)和引理2.4, 我们推断

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.21}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n+1}-x_n\|=0.\end{eqnarray} $

(3.21)

第三步.表明存在一连续路径 $\{x_t\}$ , 以致于当 $t\rightarrow0$ 时, $x_t\rightarrow x^*\in F$ .

对 $C$ 的任意有界子集 $B$ , 观察到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.22} &&\sup\limits_{\omega\in B}\|T_{n+1}\omega-T_n\omega\|\\ &=&\sup\limits_{\omega\in B}\|(1-\sigma_{n+1})\omega+\sigma_{n+1}S_{n+1}\omega-(1-\sigma_n)\omega -\sigma_nS_n\omega-\sigma_{n+1}S_n\omega+\sigma_{n+1}S_n\omega\|\nonumber\\ &\leq&|\sigma_n-\sigma_{n+1}|\sup\limits_{\omega\in B}\|\omega\|+\sigma_{n+1}\sup\limits_{\omega\in B}\|S_{n+1}\omega-S_n\omega\| +|\sigma_{n+1}-\sigma_n|\sup\limits_{\omega\in B}\|S_n\omega\|\nonumber\\ &\leq&|\sigma_{n+1}-\sigma_n|M_6+\sup\limits_{\omega\in B}\|S_{n+1}\omega-S_n\omega\|, \end{eqnarray} $

(3.22)

其中 $M_6=\sup\limits_{\omega\in B}\{\|\omega\|+\|S_n\omega\|\}.$ 既然 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\sigma_{n+1}-\sigma_n|<\infty$ 和 $\{S_n\}$ 满足AKTT -条件, 我们有 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sup\limits_{\omega\in B}\|T_{n+1}\omega-T_n\omega\|<\infty, $ 这意味着 $\{T_n\}$ 满足AKTT-条件.对所有的 $x\in C$ , 定义映射 $T:C\rightarrow C$ 为 $Tx:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_nx$ .既然 $\{\sigma_n\}$ 有界, 则存在一子序列 $\{\sigma_{n_i}\}\subset\{\sigma_n\}$ 以致于当 $i\rightarrow\infty$ 时, $\sigma_{n_i}\rightarrow\sigma$ .因此

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.23}Tx=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}T_{n_i}x=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}[(1-\sigma_{n_i})x+\sigma_{n_i}S_{n_i}x]= (1-\sigma)x+\sigma Sx, \ \ \forall x\in C.\end{eqnarray} $

(3.23)

注意到

$ \begin{array}{rcl}\langle Sx-Sy, J_q(x-y)\rangle&=&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\langle S_nx-S_ny, J_q(x-y)\rangle\\ &\leq&\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\|x-y\|^q-\lambda\|(I-S_n)x-(I-S_n)y\|^q)\\ &=&\|x-y\|^q-\lambda\|(I-S)x-(I-S)y\|^q, \end{array} $

这表明 $S:C\rightarrow C$ 是一个 $\lambda$ -严格伪压缩.既然 $0<\sigma_n\leq d$ , $d=\min\{1, \{\frac{q\lambda}{C_q}\}^{\frac{1}{q-1}}\}$ , 根据(3.23)式和引理2.5, 我们有 $T:C\rightarrow C$ 是非扩张的且 $F(T)=F(S)$ .因此, 我们有 $F(T)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)$ .定义映射 $W:C\rightarrow C$ 为

$ \begin{equation}\label{E:3.24}Wx:=\delta Tx+(1-\delta)Gx, \ \ \ \forall x\in C, \end{equation} $

(3.24)

其中 $G$ 在引理3.2中所定义.根据引理2.6, 我们看到 $W:C\rightarrow C$ 是非扩张的且 $F(W)=F(T)\bigcap F(G)=F$ .定义 $x_t=Q_C[t\gamma f(x_t)+(I-t\mu V)Wx_t]$ .根据引理3.4, 我们推断出 $\{x_t\}$ 强收敛到 $x^*\in F$ , 它是变分不等式(3.14)的唯一解.

第四步.表明

$ \begin{equation}\label{E:3.25}\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_n-x^*)\rangle\leq0.\end{equation} $

(3.25)

注意到

$ \begin{array}{rcl}\|y_n-x_n\|&\leq&\|x_{n+1}-x_n\|+\|x_{n+1}-y_n\|\\ &\leq&\|x_{n+1}-x_n\|+\|\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+[(1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V]y_n-y_n\|\\ &\leq&\|x_{n+1}-x_n\|+\alpha_n\|\gamma f(x_n)-\mu Vy_n\|+\gamma_n\|x_n-y_n\|, \end{array} $

这意味着

$ \begin{equation}\label{E:3.26}\|y_n-x_n\|\leq\frac{1}{1-\gamma_n}(\|x_{n+1}-x_n\| +\alpha_n\|\gamma f(x_n)-\mu Vy_n\|). \end{equation} $

(3.26)

从 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\gamma_n<1$ , $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\alpha_n=0$ , (3.21)与(3.26)式, 有

$ \begin{equation} \label{E:3.27}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|y_n-x_n\|=0. \end{equation} $

(3.27)

注意到

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.28}\|Wx_n-y_n\|&=&\|\delta Tx_n+(1-\delta)Gx_n-\delta_n T_nx_n-(1-\delta_n)k_n\|\nonumber\\ &=&\|\delta Tx_n-\delta T_nx_n+\delta T_nx_n-\delta_n T_nx_n+(1-\delta)Gx_n-(1-\delta_n)k_n\|\nonumber\\ &\leq&\delta\| Tx_n-T_nx_n\|+|\delta-\delta_n|(\|T_nx_n\|+\|k_n\|).\end{eqnarray} $

(3.28)

根据引理2.7, 我们得到

$ \begin{equation}\label{E:3.29}\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|Tx_n-T_nx_n\|\leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{\omega\in \{x_n, n\geq0\}}\|T\omega-T_n\omega\|=0. \end{equation} $

(3.29)

既然 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\delta_n=\delta$ , 由(3.27)-(3.29)式, 有

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.30} &&\|Wx_n-x_n\| \leq\|Wx_n-y_n\|+\|y_n-x_n\|\nonumber\\ &\leq&\delta\| Tx_n-T_nx_n\| +|\delta-\delta_n|(\|T_nx_n\|+\|k_n\|)+\|y_n-x_n\|\rightarrow0, \ \ \hbox{当} \ n\rightarrow\infty.\end{eqnarray} $

(3.30)

根据引理3.5, (3.25)式成立.

第五步.表明 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x^*\in F.$

赋 $h_n=\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y_n, \ \forall n\geq1.$ 那么, $x_{n+1}=Q_Ch_n.$ 从引理2.3, 2.4, 2.8和(3.16)式, 我们有

$ \begin{eqnarray*} &&\|x_{n+1}-x^*\|^q\\ &=&\langle Q_Ch_n-h_n, J_q(x_{n+1}-x^*) \rangle+\langle h_n-x^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle\\ &\leq&\langle h_n-x^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle\\ &\leq&[(1-\gamma_n)-\alpha_n\tau]\|y_n-x^*\|\|x_{n+1}-x^*\|^{q-1}+\gamma_n\|x_n-x^*\|\|x_{n+1}-x^*\|^{q-1}\\ &&+\alpha_n\langle \gamma f(x_n)-\gamma f(x^*), J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle+\alpha_n\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle\\ &\leq&[(1-\gamma_n)-\alpha_n\tau+\gamma_n+\alpha_n\gamma L]\|x_n-x^*\|\|x_{n+1}-x^*\|^{q-1}\\ &&+\alpha_n\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle\\ &=&[1-\alpha_n(\tau-\gamma L)]\{\frac{1}{q}\|x_n-x^*\|^q+\frac{q-1}{q}\|x_{n+1}-x^*\|^q\}\\ &&+\alpha_n\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle\\ &\leq&\frac{1-\alpha_n(\tau-\gamma L)}{q}\|x_n-x^*\|^q+\frac{q-1}{q}\|x_{n+1}-x^*\|^q+\alpha_n\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle, \end{eqnarray*} $

这意味着

$ \begin{equation}\label{E:3.31}\|x_{n+1}-x^*\|^q\leq[1-\alpha_n(\tau-\gamma L)]\|x_n-x^*\|^q+q\alpha_n\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle.\end{equation} $

(3.31)

赋 $b_n=\frac{q\langle \gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(x_{n+1}-x^*)\rangle}{\tau-\gamma L}$ , $a_n=\alpha_n(\tau-\gamma L)$ .那么(3.31)式引起

$ \begin{equation}\label{E:3.32}\|x_{n+1}-x^*\|^q\leq(1-a_n)\|x_n-x^*\|^q+a_nb_n.\end{equation} $

(3.32)

从条件(ⅰ)和(3.25)式, 有 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\infty, \ \ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0$ 和 $\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}b_n\leq0.$ 应用引理2.4到(3.32)式, 有 $x_n\rightarrow x^*\in F$ , 当 $n\rightarrow\infty.$

下面, 我们给出一个满足定理3.1条件的例子.

例3.1  设 $E={\Bbb R}$ (实数集), 对任意的 $x, y\in E$ , 内积为标准内积 $\langle x, y\rangle=xy$ , 范数为 $\|x\|=|x|$ .令 $C=[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .定义 $H:C\rightarrow E$ 为 $H(x)=2x$ .容易看到 $H$ 是强增生、Lipschitz连续算子, 强增生和Lipschitz常数为 $r=2>0$ .定义 $A, B:C\rightarrow E $ 为 $A(x)=\sin x$ 和 $B(x)=\arctan x$ , 那么 $A$ 和 $B$ 是两个关于 $H$ 的逆强增生算子, 逆强增生常数分别为 $\alpha=\beta=2$ .定义 $M_i:(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\rightarrow E, i=1, 2$ 为 $M_1(x)=\tan x$ , $M_2(x)=\tan x+x$ , 可以看到 $M_1$ 和 $M_2$ 是两个 $H$ -增生映射.定义 $C=[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上的无限族映射 $\{S_n\}$ 如下

$ S_n(x):=\left\{\begin{array}{ll}x, & x\in [-\frac{\pi}{2}, 0), \\[3mm] x-c_nx^2, \ \ & x\in[0, \frac{\pi}{2}], \end{array}\right. $

其中 $\frac{1}{2}<c_n\leq1, n=1, 2, \cdots$ .我们可以取 $c_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}$ .通过直接计算, 可以看到 $\{S_n:C\rightarrow C\}$ 是一无限族 $\lambda_n$ -严格伪压缩映射且 $\lambda_n=\frac{1}{\pi c_n}$ 和 $\lambda=\inf\{\lambda_n:n\geq1\} =\frac{1}{\pi}>0$ .容易看到 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足AKTT -条件且

$ S(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n(x)= \left\{\begin{array}{ll}x, & x\in [-\frac{\pi}{2}, 0), \\[3mm] x-\frac{1}{2}x^2, \ \ & x\in[0, \frac{\pi}{2}]. \end{array}\right. $

显然, $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)=[-\frac{\pi}{2}, 0]$ .我们观察到, 对于上面的算子 $H, A, B, M_1, M_2$ , 问题(1.5)有一个解 $x^*=0$ .因此, $0\in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)\bigcap F(G)\neq\emptyset$ .定义 $V:C\rightarrow E$ 为 $V(x)=x+\arctan x$ , 我们看到 $V$ 是 $k$ -Lipschitz连续和 $\eta$ -强增生的, 常数 $k=2$ , $\eta=1$ .定义 $f:C\rightarrow E$ 为 $f(x)=x^2$ , 那么, $f$ 是 $L$ -Lipschitz连续的, $L=\pi$ .既然 $E=R$ , 我们有 $q=2, c_q=1.$ 因此, 我们可以取 $\mu=\frac{1}{4}$ , $\rho_1=\rho_2=1$ , $\tau=\frac{1}{8}$ , $\gamma=\frac{1}{9\pi}$ , $d=\frac{2}{\pi}$ .赋 $\alpha_n=\frac{1 }{n}, \gamma_n=\frac{1}{2n}, \delta_n=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}, \sigma_n=\frac{1}{2}$ .那么, 定理3.1的所有条件被满足.

注3.3  在定理3.1中, 取 $H=I, \delta_n\equiv \delta, \ \sigma_n\equiv \sigma$ , 那么算法(3.13)引起算法(1.7), 问题(1.5)引起问题(1.6), 在所有映射与参数条件相同的情况下, 我们能得到定理1.1的结论.这表明定理3.1将定理1.1从问题(1.6)推广到问题(1.5).而且, 定理3.1还去掉了广义对偶映射是弱序列连续的这一较强条件.

推论3.1  设 $E$ 是严格凸、 $q$ -一致光滑的Banach空间, $H:E\rightarrow E$ 是一个强增生、Lipschitz连续算子, 强增生和Lipschitz常数为 $r>0$ .设 $M:E\rightarrow 2^E$ 是 $H$ -增生映射, $A:E\rightarrow E$ 是关于 $H$ 的 $\alpha$ -逆强增生算子.假定 $V:E\rightarrow E$ 是 $k$ -Lipschitz连续和 $\eta$ -强增生算子, $f:E\rightarrow E$ 是 $L$ -Lipschitz连续算子.设 $\{S_n:E\rightarrow E\}$ 是一无限族 $\lambda_n$ -严格伪压缩映射, $\{\lambda_n\}\subset(0, 1)$ 且 $\inf\{\lambda_n:n\geq1\}=\lambda>0$ , 以致于 $F=\bigcap_{n=1}^{\infty}F(S_n)\bigcap VI(E, A, M)\neq\emptyset$ , 其中 $ VI(E, A, M)$ 表示问题(1.9)的解集.设 $\mu, \rho_1, \gamma, L, \tau, \sigma_n, d$ 如定理3.1所设.对所有的 $x\in E$ 和 $n\geq1$ , 定义映射 $T_n(x):=(1-\sigma_n)(x)+\sigma_nS_n(x)$ .任意给定 $x_1\in E$ , 设 $\{x_n\}$ 是由下式产生的迭代序列

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.33}k_n&=&R_{M, \rho_1}^H(H-\rho_{1}A)x_n, \nonumber\\ y_n&=&\delta_nT_nx_n+(1-\delta_n)k_n, \nonumber\\ x_{n+1}&=&\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)y_n.\end{eqnarray} $

(3.33)

假定 $\{\alpha_n\}, \{\gamma_n\}, \{\delta_n\}$ 和 $\{\sigma_n\}$ 满足与定理3.1相同的条件.

另外, 假定 $\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 满足AKTT-条件.对所有的 $x\in E$ , 定义 $S:E\rightarrow E$ 为 $Sx:=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_nx$ .假定 $F(S)=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)$ .那么, $\{x_n\}$ 强收敛到 $x^*\in F, $ 它是下面变分不等式的唯一解

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.34}\langle\gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(p-x^*)\rangle\leq0, \hspace{4mm}\forall p\in F, \end{eqnarray} $

(3.34)

其中 $F=F(S)\bigcap VI(E, A, M)$ .

证  在定理3.1中, 取 $C=E$ , 那么 $Q_E=I$ (恒等映射).取 $B=0, M_2=0, M_1=M$ , 那么算法(3.13)引起算法(3.33), 问题(1.5)引起问题(1.9).根据定理3.1, 容易得到这个结论.

注3.4  推论3.1表明定理3.1将文献[3]中的结果从问题(1.9)推广到问题(1.5), 从 $2$ -一致光滑的Banach空间推广到 $q$ -一致光滑的Banach空间, 从有限个严格伪压缩映射推广到无限个严格伪压缩映射, 从粘滞逼近方法推广到广义迭代方法.

推论3.2  设 $C$ 是严格凸、 $q$ -一致光滑Banach空间 $E$ 的非空、闭凸子集.设 $Q_C:E\rightarrow C$ 是sunny非扩张收缩.假定 $ V, f, \{S_n\}_{n=1}^{\infty}, \{T_n\}_{n=1}^{\infty}$ 如定理3.1中所定义.假定 $F=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F(S_n)\neq\emptyset$ .设 $\mu, \gamma, L, \tau, d$ 是与定理3.1相同的参数.任意给定 $x_0\in C$ , 设 $\{x_n\}$ 是由下式产生的迭代序列

$ \begin{eqnarray}\label{E:3.35} x_{n+1}=Q_C[\alpha_n\gamma f(x_n)+\gamma_nx_n+((1-\gamma_n)I-\alpha_n\mu V)T_nx_n].\end{eqnarray} $

(3.35)

假定 $\{\alpha_n\}, \{\gamma_n\}$ 和 $\{\sigma_n\}$ 满足与定理3.1相同的条件.设 $S:C\rightarrow C$ 如定理3.1中所定义.那么 $\{x_n\}$ 强收敛到 $x^*\in F$ , 它是下面变分不等式的唯一解

$ \langle\gamma f(x^*)-\mu Vx^*, J_q(p-x^*)\rangle\leq0, \hspace{4mm}\forall p\in F. $

证  取 $M_1=M_2=0$ , $A=B=0$ , $H=I$ , $\delta_n\equiv1, $ 那么算法(3.13)引起算法(3.35).根据定理3.1, 很容易得到要证的结论.

注3.5  容易看到推论3.2的结论以及在 $V, f, \{S_n\}_{n=1}^{\infty}, \{\alpha_n\}, \{\sigma_n\}$ 上的条件与文献[8]中的定理3.5是相同的, 然而, 推论3.2取消了广义对偶映射 $J_q$ 是弱序列连续的这一较强条件.这也就是说推论3.2改进了文献[8]中的定理3.5.

在这一部分, 我们给出一个具体实例来比较算法(1.4)和算法(3.35).所有的程序用Visual Studio 2013编写.所有的实验结果在PC机Intel(R) Core (TM) i5-5200U CPU @ 2.20GHz 2.20GHz, RAM 4.00GB上执行.

设 $E$ , $C$ , $ V, f, \{S_n\}_{n=1}^{\infty}$ 与例3.1相同.假定 $\mu, d, \sigma_n, \alpha_n, \gamma_n, \gamma$ 也与例3.1中相同.

设 $y_n=T_n(x_n)=\frac{1}{2}x_n+\frac{1}{2}S_n(x_n)$ .根据算法(3.35), 我们有

$ x_{n+1}=Q_C \bigg[\frac{1}{9n\pi}x_n^2+\frac{x_n}{2n}+\frac{4n-3}{4n}y_n-\frac{1}{4n}\arctan y_n \bigg]. $

这样, 我们有下面的具体计算.

第一步.如果 $-\frac{\pi}{2}\leq x_n<0$ , 那么 $y_n=x_n$ ; 如果 $0\leq x_n\leq\frac{\pi}{2}$ , 那么 $y_n=x_n-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1})x_n^2;$

第二步. $z_n=\frac{1}{9n\pi}x_n^2+\frac{x_n}{2n}+\frac{4n-3}{4n}y_n-\frac{1}{4n}\arctan y_n;$

第三步.如果 $-\frac{\pi}{2}\leq z_n\leq\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=z_n$ .如果 $z_n<-\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=-\frac{\pi}{2}$ .如果 $z_n>\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=\frac{\pi}{2}$ .

第四步.赋 $n:=n+1$ , 返回第一步.

根据推论3.2, 我们得到 $x_n$ 强收敛到 $x^*\in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ , 它是下面变分不等式的唯一解

$ \langle\frac{1}{9\pi} {(x^*)}^2-\frac{1}{4}(x^*+\arctan x^*), p-x^*\rangle\leq0, \hspace{4mm}\forall p\in [-\frac{\pi}{2}, 0]. $

根据算法(1.4), 我们有

$ x_{n+1}=Q_C\bigg[\frac{1}{9n\pi}x_n^2+\frac{4n-1}{4n}y_n-\frac{1}{4n}\arctan y_n \bigg]. $

这样, 我们有下面的具体计算.

第一步.如果 $-\frac{\pi}{2}\leq x_n<0$ , 那么 $y_n=x_n$ ; 如果 $0\leq x_n\leq\frac{\pi}{2}$ , 那么 $y_n=x_n-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1})x_n^2;$

第二步. $z_n=\frac{1}{9n\pi}x_n^2+\frac{4n-1}{4n}y_n-\frac{1}{4n}\arctan y_n;$

第三步.如果 $-\frac{\pi}{2}\leq z_n\leq\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=z_n$ .如果 $z_n<-\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=-\frac{\pi}{2}$ .如果 $z_n>\frac{\pi}{2}$ , 那么 $x_{n+1}=\frac{\pi}{2}$ .

第四步.赋 $n:=n+1$ , 返回第一步.

根据文献[8]中的定理3.5, 我们得到 $x_n$ 强收敛到 $x^*\in [-\frac{\pi}{2}, 0]$ , 它是下面变分不等式的唯一解

$ \langle\frac{1}{9\pi} {(x^*)}^2-\frac{1}{4}(x^*+\arctan x^*), p-x^*\rangle\leq0, \hspace{4mm}\forall p\in [-\frac{\pi}{2}, 0]. $

现在, 分别取初始点 $x_1=0.5, $ $x_1=0.8, $ $x_1=0.9, $ $x_1=1$ .我们在"表 1"中列出算法(3.35)和算法(1.4)的数字实验结果来比较这两个算法的执行时间(CPU(s))和迭代数目(Iter.).

停止标准为: $\|x_n-x^*\|=\|x_n\|\leq TOL=10^{-6}$ .

注4.1  从表 1, 我们看到, 如果取相同的初始点和停止标准, 算法(3.35)比算法(1.4)在执行时间与迭代数目上有较大的竞争优势.而且, 当初始点改变很小时, 执行时间与迭代数目也只有微小的改变.

为寻找问题(1.5)的解集与无限个严格伪压缩映射公共不动点集的公共元素, 我们构建了迭代算法(3.13), 当 $H=I$ 时, 该算法转变成算法(1.7).注3.1-3.5表明该文的主要结果推广和改进了文献[3, 8, 18-19]中的相关结论.值得一提的是在定理3.1的证明中引理3.4和3.5起了非常重要的作用.这篇论文的主要新颖之处在于我们取消了广义对偶映射 $J_q$ 的弱序列连续性.

最近, 一些作者已经注意到逆强增生这类映射, 它是强增生、Lipschitz连续映射类的重要推广^{[19, 26]}.因此, 在未来的研究中, 将定理3.1中的算子 $V$ 推广到逆强增生映射类是非常值得期待的.