本文以下, 除特别声明外, 处处假设 $H, \ H_1, \ H_2$ 是三个实的Hilbert空间, $C$ 是 $H$ 之一非空闭凸子集.

一映像 $T : C \to C$ 称为渐进非扩张的, 如果存在一序列 $\{k_n\} \subset [1, \infty)$ 且 $k_n \to 1$ 使得

$ \| T^n x- T^n y\| \le k_n\| x- y\|,\ \ \forall n \ge 1, \ x, y \in C. $

由 $C$ 到 $C$ 的一映像族 ${\mathfrak T}$ : = $\{T(s) : 0\le s < \infty\}$ 称为 $C$ 上的渐进非扩张半群(相应的, $C$ 上的非扩张半群), 如果其满足下面的条件

(ⅰ) $T (0)x = x$ , 对所有的 $x \in C$ ;

(ⅱ) $T (s + t) = T (s)T (t)$ 对所有的 $s, t \ge 0$ ;

(ⅲ) 存在一序列 $\{k_n\} \subset [1, \infty)$ (相应的, $\{k_n=1\}$ )使得 $k_n \to 1$ 而且满足下面的条件

$ \| T^n(s) x- T^n(s) y\| \le k_n \| x- y\| ~~~ \forall x, y \in C, \ n \ge 1, \ s\ge 0; $

(ⅳ) 对每一 $x \in C$ , $s \mapsto T(s)x$ 是连续的.

我们用Fix $({\mathfrak T}$ )表半群 ${\mathfrak T}$ 所有公共不动点的集合, 即

$ {\rm Fix}({\mathfrak T}) : = \{x \in C : T (s)x = x, \ 0 \le s < \infty\} = \ \bigcap\limits_{0 \le s < \infty}{\rm Fix}(T(s)), $

其中Fix $(T(s))$ 是 $T(s), \ s \ge 0$ 的不动点的集合.

一映像 $T : H_1 \to H_1$ 称为

(ⅰ) 单调的, 如果

$ \langle T x- T y, x - y\rangle \ge 0, \ \forall x, y \in H_1; $

(ⅱ) $\alpha$ -强单调的, 如果存在一常数 $\alpha > 0$ 使得

$ \langle T x - T y, x - y\rangle \ge \alpha \| x-y\| ^2, \ \forall x, y \in H_1; $

(ⅲ) 坚实非扩张的, 如果

$ \| Tx - Ty\| ^2 \le \langle T x - T y, x - y\rangle, \ \forall x, y \in H_1. $

(1.1)

注1.1  易知, 坚实的非扩张映像的定义等价于下面的表述

(ⅲ)′ $T : C \to C$ 称为坚实非扩张的, 如果

$ \| Tx - Ty\| ^2 \le \| x-y\| ^2 - \langle x - y, \ (x - T x) - (y- T y)\rangle, \ \forall x, y \in C. $

(1.2)

(ⅳ) 一多值映像 $M : H_1 \to 2^{H_1}$ 称为单调的, 如果对一切的 $x, y \in H_1$ , $u \in Mx$ , $v \in My$ 有

$ \langle x - y, u - v\rangle \ge 0. $

(ⅴ) 一单调映像 $M : H_1 \to 2^{H_1}$ 称为极大的, 如果 $M$ 的图像Graph $(M)$ 不能真包含于其它单调映像的图像中.

已知, 一单调映像 $M$ 是极大的, 当且仅当对任一 $(x, u) \in H_1 \times H_1$ , 当 $(y, v) \in {\rm Graph}(M)$ , 且 $\langle x - y, u - v\rangle \ge 0$ 时, 就有 $u \in Mx$ .

设 $M : H_1 \to 2^{H_1}$ 是一多值极大单调映像.则 $M$ 的豫解映像 $J_{\lambda}^M : H_1 \to H_1$ , 由下式定义

$ J_{\lambda}^M(x) := (I + \lambda M)^{-1}(x), \ \forall x \in H_1, $

(1.3)

对某一 $\lambda > 0$ , 其中 $I$ 表 $H_1$ 上的恒等映像.

应指出:对所有的 $\lambda > 0$ 豫解映像 $J_{\lambda}^M$ 是单值的、非扩张的和坚实非扩张的.

最近, Moudafi^[1]引入了下面的分裂变分包含问题(简记为SVIP):求 $x^* \in H_1$ , $y^* = Ax^* \in H_2$ 使得

$ 0 \in B_1(x^*) \ \ \mbox{且} 0 \in B_2(y^*), $

(1.4)

其中 $A: H_1 \to H_2$ 是一有界线性算子, $B_1 : H_1 \to 2^{H_1}$ 和 $B_2 : H_2 \to 2^{H_2}$ 是两个多值的极大单调映像.

由豫解映像 $J_{\lambda}^M$ 的定义易知, 下面的引理成立.

引理1.2  SVIP (1.4)等价于求 $x^* \in H_1$ , $y^* = Ax^* \in H_2$ 使得对某一 $\lambda > 0$ , 有

$ x^* \in {\rm Fix}(J_{\lambda}^{B_1}) \mbox{ 且} y^* \in {\rm Fix}(J_{\lambda}^{B_2}). $

(1.5)

以后, 我们用下面的 $\Omega$ 表问题(1.4)或(1.5)的解集

$ \begin{array}[b]{rl} \Omega:&= \{ x^* \in H_1, y^* = Ax^*\in H_2 \ \mbox{使得} \ x^* \in B^{-1}_1 (0), \ Ax^* \in B^{-1}_2 (0)\}\\ & = \{ x^* \in H_1, y^* = Ax^*\in H_2 \ \mbox{使得} \ x^* \in {\rm Fix}(J_{\lambda}^{B_1}), \ Ax^* \in {\rm Fix}(J_{\lambda}^{B_2})\}. \end{array} $

(1.6)

Moudafi^[1]也引入一种迭代方法, 用以求解SVIP (1.4).这一方法也可视为Censor等^[2]对分裂变分不等式问题所给出的迭代方法的重要的推广.正如Moudafi在文献[1]中所指出的, SVIP (1.4)包含下面的一些问题为特例, 例如:分裂公共不动点问题, 分裂变分不等式问题, 分裂零点问题, 分裂可行性问题^[1-6].这些问题已被深入的研究, 而且在实际问题中已被用作为图像恢复、计算机断层扫描和放射治疗计划的模型(参见文献[5-8]).

2012年, Byrne等^[4]研究了下面的关于SVIP (1.4)的迭代方法的弱和强收敛性:对给定的 $x_0 \in H_1$ 和 $\lambda > 0$ , 计算由下面的程序所生成的迭代序列 $\{x_n\}$

$ x_{n+1} = J_{\lambda}^{B_1}(x_n + \gamma A^*(J_{\lambda}^{B_2} - I)Ax_n). $

(1.7)

最近, Kazmi和Rizvi^[9]研究了下面的关于分裂变分包含问题和非扩张映像 $S$ 的不动点问题的迭代方法的强收敛性

$ \left\{ \begin{array}{l} u_n = J_{\lambda}^{B_1}(x_n + \gamma A^*(J_{\lambda}^{B_2} - I)Ax_n);\\ x_{n+1} = \alpha_n f (x_n) + (1 - \alpha_n)Su_n, \ \lambda > 0. \end{array} \right . $

(1.8)

受Moudafi^[1], Byrne等^[4], Kazmi和Rizvi^[9], Deepho等^[10], Sitthithakerngkiet等^[11]的工作的启发, 本文的目的是借助收缩投影的方法引入和研究一种迭代程序, 借以逼近Hilbert空间中分裂变分包含问题和渐进非扩张半群的不动点问题的一公解.文中还证明, 由所提出的迭代方法所生成的序列, 强收敛于这一公解.本文所介绍的结果是相关课题已知结果的改进和推广.

在本节中我们将追述某些概念和引理, 它们将在证明我们的主要结果时被用到.

设 $C$ 是 $H$ 的一非空闭凸子集.对每一 $x \in H$ , (度量)投影 $P_C: H \to C$ 被定义为唯一元 $P_C x \in C$ 使得

$ \begin{eqnarray*} \| x -P_C x\| =\inf\limits_{y \in C} \| x-y\| . \end{eqnarray*} $

如所周知, 对每一给定的 $x \in H$ , $y = P_C (x)$ 的充分必要条件是

$ \langle y -z, \; x -y\rangle \ge 0, \;\; \forall\ z \in C, $

(2.1)

而且 $P_C$ 是一由 $H$ 到 $C$ 上的坚实的非扩张映像, 即

$ \|P_Cx - P_C y\|^2 \leq \langle P_Cx - P_C y, x-y \rangle. $

(2.2)

一映像 $T: C \rightarrow H$ 称为 $\alpha$ -逆强单调的, 如果存在一 $\alpha>0$ 使得

$ \alpha \|Tx - Ty\|^2 \le \langle x-y, Tx - Ty\rangle, \forall \ x, y \in C. $

(2.3)

上式表面每一坚实的非扩张映像是1 -逆强单调的.而且, 易于证明下面的结果成立.

引理2.1  如果 $T: C \rightarrow H$ 是 $\alpha$ -逆强单调的, 则对每一 $\lambda\in (0, 2\alpha], I-\lambda T$ 是 $C$ 到 $H$ 的一非扩张映像(参见文献[12]).

引理2.2  设 $H$ 是一实Hilbert空间, 则下面的结果成立

$ \|tx+(1-t)y\|^2=t\|x\|^2+(1-t)\|y\|^2-t(1-t)\|x-y\|^2 $

对所有的 $x, y\in H$ 和对所有的 $t\in [0, 1]$ .

引理2.3^[13]  设 $H$ 是一实Hilbert空间, $C$ 是 $H$ 之一非空闭凸子集, 而 $S:C\rightarrow C$ 是一渐进非扩张映像.如果 $S$ 的不动点集Fix $(S)$ 是非空的, 则它是闭凸的, 而且, 映像 $I-S$ 在零点半闭, 即, 对 $C$ 中任意的序列 $\{x_n\}$ 使得 $\{x_n\}$ 弱收敛于 $\bar x$ 而且 $\| x_n - Sx_n\| \rightarrow 0$ , 则 $\bar x\in {\rm Fix}(S)$ .

在本节中, 我们将对所提出的迭代方法证明一个强收敛定理.在本节中, 我们处处假设

(1) $H_1$ 和 $H_2$ 是两个实Hilbert空间;

(ⅱ) $A : H_1 \to H_2$ 是一有界的线性算子, $A^*$ 是 $A$ 的共轭算子, 而且它是强正的, 即存在一常数 $\gamma > 0$ , 使得

$ \langle A^* x, \; y \rangle \ge \gamma \| x\| \| y\|, \ \forall y \in H_1, \ x \in H_2. $

(ⅲ) $B_1 : H_1 \to 2^{H_1}$ 和 $B_2 : H_2 \to 2^{H_2}$ 是两个极大单调算子;

(ⅳ) $J_{\lambda}^{B_1}: H_1 \to H_1$ 和 $J_{\lambda}^{B_2}: H_2 \to H_2$ 分别是 $B_1$ 和 $B_2$ 的由(1.3)式定义的豫解算子;

(ⅴ) ${\mathfrak T}$ = $\{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一渐进非扩张半群.

首先, 我们给出下面的引理.

引理3.1  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, B_1, \ B_2, \ J_{\lambda}^{B_1}, \ J_{\lambda}^{B_2}$ 满足上述条件.设 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径, $\gamma \in (0, \frac{2}{L})$ .则 $(I-\gamma A^*(I-J_\lambda^{B_2})A)$ 和 $J_{\lambda}^{B_1}(I-\gamma A^*(I-J_\lambda^{B_2})A)$ 均为非扩张映像.

证  因 $J_\lambda^{B_2}$ 是坚实的非扩张映像, 故 $(I-J_\lambda^{B_2})$ 也是坚实的非扩张映像, 从而其为1 -逆强单调映像.于是有

$ \begin{eqnarray} & &\| (I-J_\lambda^{B_2})Ax-(I-J_\lambda^{B_2})Ay\|^2\\ &=&\| Ax-Ay\|^2-2\langle Ax-Ay, J_\lambda^{B_2}Ax - J_\lambda^{B_2}Ay \rangle + \| J_\lambda^{B_2}Ax - J_\lambda^{B_2}Ay\|^2 \\ & \leq& \| Ax-Ay\|^2-\langle Ax-Ay, J_\lambda^{B_2}Ax - J_\lambda^{B_2}Ay\rangle \\ &=&\langle Ax-Ay, (I-J_\lambda^{B_2})Ax-(I-J_\lambda^{B_2})Ay\rangle, \ \forall x, y \in H_1. \end{eqnarray} $

(3.1)

由(3.1)式得知

$ \begin{eqnarray} &&\|A^* (I-J_\lambda^{B_2}) Ax- A^* (I-J_\lambda^{B_2}) Ay \|^2\\ &\le& L \| (I-J_\lambda^{B_2}) Ax- (I-J_\lambda^{B_2}) Ay \|^2\\ &\le& L \langle Ax-Ay, (I-J_\lambda^{B_2})Ax-(I-J_\lambda^{B_2})Ay\rangle\\ & =& L \langle x- y, A^*(I-J_\lambda^{B_2})Ax- A^*(I-J_\lambda^{B_2})Ay\rangle \ \forall x, y \in H_1. \end{eqnarray} $

(3.2)

上式表明 $A^\ast (I-J_\lambda^{B_2}) A$ 是一 $\frac{1}{L}$ -逆强单调映像.因 $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 故由引理2.1, $I-\gamma A^*(I-J_\lambda^{B_2})A$ 是一非扩张映像.从而 $J_\lambda^{B_1}(I-\gamma A^*(I-J_\lambda^{B_2})A)$ 也是一非扩张映像.引理3.1得证.

定理3.2  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, B_1, \ B_2, \ J_{\lambda}^{B_1}, \ J_{\lambda}^{B_2}$ 所满足的条件与引理3.1中的相同.设 ${\mathfrak T}$ = $\{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是具序列 $\{k_n\} \subset [1, \infty)$ 的渐进非扩张半群, 而且当 $n\rightarrow \infty$ 时 $k_n\rightarrow 1$ .记 $\Gamma:$ =Fix( ${\mathfrak T}$ ) $\bigcap \Omega$ , 其中 $\Omega$ 是问题(1.4)的解集, 其由(1.6)式定义.对初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成一序列 $\{x_n\}$

$ \begin{eqnarray} \left \{ \begin{array}{l} u_n= J_{r_n}^{B_1} (I-\gamma A^\ast (I- J_{r_n}^{B_2})A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \ \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2+\theta_n \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(3.3)

其中 $\theta_n =(1-\alpha_n)(k_n^2 -1)\sup\{\|x_n-u\|^2: u\in \Gamma\}$ , $\{s_n\}$ 是一正数的序列. $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1, \forall n \ge 1$ , $0 <b \leq r_n <+\infty$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 而且 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果下列条件满足

(1) $\Gamma: ={\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega \not = \emptyset$ 而且有界;

(2) $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - T(h)(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s)\| = 0$ , 对每一 $h > 0$ ,

则由(3.3)式所生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in {\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega$ .

证  定理3.2的证明分成五步.

第一步  我们证明对每一 $n \ge 1$ , $C_n$ 是一闭凸集.

事实上, 因不等式 $ \| y_n -z\| ^2 \le \| x_n -z\| ^2 + \theta_n$ 等价于

$ 2 \langle x_n - y_n, z\rangle \le \| x_n\| ^2 - \| y_n\| ^2 + \theta_n, $

而且 $z \mapsto 2 \langle x_n - y_n, z\rangle$ 是一连续的凸函数.故对每一 $n \ge 1$ , $C_n$ 是 $H_1$ 之一凸闭子集.

第二步  现证Fix( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_n, \forall n \ge 1$ .

设 $p\in{\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega$ , 则 $p = T(s)p, \ \forall s\ge 0$ , $J^{B_1}_{r_n}p = p$ , $J^{B_2}_{r_n} Ap = Ap$ , 故 $(I-\gamma A^\ast(I-T_{r_n}^{F_2})A) p = p$ .显然, ( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_1 $ .设Fix( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_n $ 对某一 $n \ge 2$ , 利用归纳法, 现在我们证明Fix( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_{n+1} $ .事实上, 由(3.3)式及引理3.1得知

$ \begin{eqnarray} \|u_n-p\|&=&\| J_{r_n}^{B_1} (I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2})A ) x_n- J_{r_n}^{B_1} (I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2})A ) p \| \\ &\leq& \|(I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2})A ) x_n-(I-\gamma A^* (I-J_{r_n}^{B_2})A ) p \|\\ &=& \|x_n-p\|. \end{eqnarray} $

(3.4)

同样由(3.3)和(3.4)式, 及引理2.2可得

$ \begin{eqnarray} \|y_n-p\|^2 &= &\|\alpha_n x_n + (1-\alpha_n) \Big (\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s\Big) - p\|^2 \\ &=& \alpha_n \|x_n-p\|^2+(1-\alpha_n) \bigg\|\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}(T^n (s)u_n - p){\rm d}s\bigg\|^2\\ && - \alpha_n (1-\alpha_n) \bigg\|x_n - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s \bigg\| ^2 \\ &\le& \alpha_n \|x_n-p\|^2+(1-\alpha_n) \Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}\| T^n (s)u_n - p\|{\rm d}s\Big)^2\\ && - \alpha_n (1-\alpha_n) \bigg\|x_n - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s \bigg\| ^2 \\ &\le& \alpha_n \|x_n-p\|^2 + (1-\alpha_n)k^2_n \| u_n - p\| ^2\\ && - \alpha_n (1-\alpha_n)\|x_n - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s \| ^2 \\ &\le& \alpha_n \|x_n-p\|^2 + (1-\alpha_n)k^2_n \| x_n - p\| ^2\\ & =& \|x_n-p\|^2+(1-\alpha_n)(k_n^2 - 1) \| x_n - p\| ^2\\ & \le &\|x_n-p\|^2+ \theta_n, \end{eqnarray} $

(3.5)

其中

$ \begin{equation} \theta_n = (1-\alpha_n)(k_n^2 - 1) \sup\limits_{u \in \Gamma}\{\| x_n - u\| ^2\}. \end{equation} $

(3.6)

这表明 $p \in C_{n+1}$ , 从而Fix( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_{n+1}$ .结论被证明.

第三步  现证 $\{x_n\}$ 是一Cauchy序列.

事实上, 由(3.3)式知 $x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0$ , $x_{n}=P_{C_{n}}x_0$ 且 $C_{n+1} \subset C_n$ .由(2.1)式有

$ \langle x_0 - x_{n+1}, x_{n+1} - y \rangle \geq 0, ~~\forall y \in C_{n+1}. $

因 $\Gamma= {\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega \subset C_{n+1}$ , 故有

$ \langle x_0 - x_{n+1}, x_{n+1} - p \rangle \geq 0, ~~\forall p \in \Gamma. $

这就证明

$ 0 \le \langle x_0 - x_{n+1}, x_{n+1} - x_0 + x_0 - p \rangle \le -\| x_{n+1} - x_0\| ^2 + \| x_{n+1} - x_0\| \| x_0 - p \| . $

简化后, 可得 $ \| x_{n+1} - x_0\| \le \| x_0 - p \|, $ 即, $\{x_n\}$ 是有界的, 从而 $\{u_n\}$ 和 $\{y_n\}$ 也是有界的.

另因 $ \langle x_0 - x_{n}, x_n - x_{n+1} \rangle \geq 0, $ 故有

$ 0 \le \langle x_0 - x_{n}, x_n - x_0 + x_0 - x_{n+1} \rangle \le -\| x_{n} - x_0\| ^2 + \| x_{n+1} - x_0\| \| x_0 - x_n\|, $

即, $\| x_n - x_0\| \le \| x_{n+ 1} - x_0\| $ .因 $\{x_n\}$ 有界, 于是得知极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \| x_n - x_0\| $ 存在.

故对任意的正整数 $ n, m $ , 由(3.3)式得知 $x_m = P_{C_m}x_0$ 而且 $x_n = P_{C_n}x_0$ .借用投影的性质, 得知

$ \| x_n - x_m\| ^2 + \| x_m - x_0\| ^2 \le \| x_n - x_0 \| ^2. $

因为极限 $\lim\limits_{n \to \infty} \| x_n - x_0\| $ 存在, 故有

$ \| x_n - x_m\| ^2 \le \| x_n - x_0 \| ^2 - \| x_m - x_0\| ^2 \to 0 ( n, \ m \to \infty). $

这表明 $\{x_n\}$ 是一Cauchy序列.不失一般性, 可设

$ \begin{equation} \lim\limits_{n \to \infty} x_n = x^*\in C_n \ \forall n \ge 1. \end{equation} $

(3.7)

又因 $\{x_n\}$ 和 $\Gamma$ 都是有界的, 故由(3.6)式得知

$ \begin{equation} \theta_n \to 0 ( n \to \infty). \end{equation} $

(3.8)

第四步  下面我们证明

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\| T(h) x_{n}-x_n\|=0, \ \forall h \ge 0. \end{equation} $

(3.9)

事实上, 因 $x_{n+1}\in C_{n+1}\subset C_n$ , 由 $C_{n+1}$ 的构造得知

$ \| y_n-x_{n+1}\|^2 \leq \|x_n-x_{n+1}\|^2+\theta_n. $

故

$ \begin{equation} \| y_n-x_{n+1}\| \leq \|x_n-x_{n+1}\|+\sqrt{\theta_n}. \end{equation} $

(3.10)

上式与(3.7)和(3.8)式一起表明

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\| y_n-x_{n+1}\|=0. $

于是有

$ \begin{equation} \| y_n-x_{n}\| \leq \|y_n-x_{n+1}\|+\|x_n-x_{n+1}\| \to 0 ( n \to \infty). \end{equation} $

(3.11)

因 $J_{r_n}^{B_1}$ 是坚实的非扩张映像, 由(3.2)式知 $A^\ast (I-J_\lambda^{B_2}) A$ 是一 $\frac{1}{L}$ -逆强单调映像.如果 $p \in \Gamma$ , 则有

$ \begin{eqnarray*} \|u_n-p\|^2&=&\|J_{r_n}^{B_1} ( x_n-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) Ax_n ) - J_{r_n}^{B_1}( p-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) Ap ) \|^2\\ &\leq &\|( I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) A ) x_n- (I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) A) p\|^2\\ &&-\|(I- J_{r_n}^{B_1} ) ( I-\gamma A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A ) x_n - (I-J_{r_n}^{B_1} ) ( I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) A ) p\|^2\\ &=&\|x_n-p-\gamma( A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) A x_n -A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A p ) \|^2-\|z_n-J_{r_n}^{B_1}z_n\|^2\\ &=&\|x_n-p\|^2-2\gamma\langle x_n-p, A^\ast (I- J_{r_n}^{B_2}) A x_n -A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A p \rangle \\ &&+\gamma^2\| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n -A^\ast (I-J_{r_n}^{B_2}) A p \|^2-\|z_n-J_{r_n}^{B_1}z_n\|^2 \ {\rm (by} (3.2)) \\ &\leq& \|x_n-p\|^2+\gamma(\gamma- \frac{2}{L})\| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|^2-\|z_n-J_{r_n}^{B_1}z_n\|^2, \end{eqnarray*} $

其中 $z_n=( I-\gamma A^\ast (I-J_{r_n}^{B_2}) A ) x_n$ .上式与(3.5)式一起表明

$ \begin{eqnarray*} \|y_n-p\|^2&=&\|\alpha_n x_n + (1-\alpha_n) \Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s\Big) - p\|^2\\ &\le &\alpha_n \|x_n-p\|^2 + (1-\alpha_n)k^2_n \| u_n - p\| ^2\\ &\le& \alpha_n \|x_n-p\|^2 + (1-\alpha_n)k^2_n \{\|x_n-p\|^2 \\ && +\gamma\Big(\gamma- \frac{2}{L}\Big)\| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|^2-\|z_n-J_{r_n}^{B_1}z_n\|^2\}. \end{eqnarray*} $

简化后, 并启用条件 $0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , 可得

$ \begin{eqnarray} &&(1-c)k_n^2 \bigg [\gamma \Big( \frac{2}{L}-\gamma\Big)\| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|^2+ \|z_n-J_{r_n}^{B_1} z_n\|^2\bigg] \\ & \le &(1-\alpha_n)k_n^2\bigg [\gamma \Big ( \frac{2}{L}-\gamma\Big)\| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|^2+ \|z_n-J_{r_n}^{B_1} z_n\|^2 \bigg] \\ &\leq&(\alpha_n+(1-\alpha_n)k_n^2) \|x_n-p\|^2-\|y_n-p\|^2\\ & = &\alpha_n \|x_n-p\|^2-\|y_n-p\|^2 + (1-\alpha_n)k_n^2 \|x_n-p\|^2\\ &\leq& ( \|x_n-p\|+ \|y_n-p\|)\|x_n-y_n\|+(1-\alpha_n)(k_n^2-1)\|x_n-p\|^2. \end{eqnarray} $

(3.12)

上式与(3.11)式一起表明

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\| A^\ast (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|=0, ~~ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|z_n-J_{r_n}^{B_1} z_n\| =0. \end{equation} $

(3.13)

根据假设 $A^*$ 是一强正的线性有界算子, 于是有

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\| (I- J_{r_n}^{B_2}) A x_n \|=0. \end{equation} $

(3.14)

从而由(3.3)和(3.13)式得知

$ \begin{eqnarray} \|u_n-x_n\| &=&\|J_{r_n}^{B_1}z_n-x_n\| \\ &\leq&\|J_{r_n}^{B_1}z_n-z_n\|+\|z_n-x_n\| \\ &=&\|J_{r_n}^{B_1} z_n-z_n\|+\|(I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2}) A ) x_n-x_n\| \\ &=&\|J_{r_n}^{B_1}z_n-z_n\|+\gamma \| A^* (I-J_{r_n}^{B_2}) A x_n \| \to 0 (n \to \infty). \end{eqnarray} $

(3.15)

现在我们证明当 $n\rightarrow \infty$ 时

$ \bigg\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - x_n\bigg\| \to 0. $

事实上, 由(3.3)式可得

$ \begin{eqnarray*} \|y_n-x_n\|&=& \bigg\| \alpha_nx_n+(1-\alpha_n) \Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s\Big) -x_n \bigg\| \\ &=&(1-\alpha_n)\bigg\|\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s -x_n\bigg\|. \end{eqnarray*} $

于是由(3.11)式有

$ \begin{equation} \bigg \|\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s - x_n \bigg\| =\frac{1}{1-\alpha_n}\|y_n-x_n\| \to 0 ( n \to \infty). \end{equation} $

(3.16)

上式与(3.15)式一起表明

$ \begin{eqnarray} &&\bigg\|\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - x_n\bigg\|\\ & \le &\bigg\|\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s\bigg\| +\bigg \| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s - x_n\bigg\| \\ & \le &\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} \| T^n (s)x_n - T^n (s)u_n\|{\rm d}s + \bigg \| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s - x_n\bigg\| \\ & \le& \frac{1}{s_n} k_n \int_0^{s_n} \| x_n - u_n\|{\rm d}s + \bigg\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)u_n {\rm d}s - x_n\bigg\| \to 0 ( n \to \infty). \end{eqnarray} $

(3.17)

借助条件(2)及(3.17)式, 对任意的 $h > 0$ 有

$ \begin{eqnarray} \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \| x_n - T (h)x_n \| & \le& \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg\| x_n - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s \bigg\| \\ &&+ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - T(h)\Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s\Big)\bigg\| \\ && + \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg\| T (h)\Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s\Big) - T(h)x_n\bigg\| \\ &\le& \limsup\limits_{n \rightarrow \infty}(1+ k_1) \bigg\| x_n - \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s\bigg \| \\ &&+ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \bigg\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - T(h) \Big(\frac{1}{s_n} \int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s\Big)\bigg\| \\ & =& 0 \end{eqnarray} $

(3.18)

于是得知对每一 $h \ge 0$ , 有 $ \lim\limits_{n \to \infty}\|T(h)x_n-x_n\| = 0. $ 结论(3.9)得证.

第五步  最后我们证明(3.7)式中的极限 $x^*$ 是SVIP (1.4)的一解, 而且, 它也是渐进非扩张半群 ${\mathfrak T}$ = $\{T(s): 0 \le s < \infty\}$ 的一不动点, 即, $x^* \in{\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega$ .

事实上, 因 $x_n \rightarrow x^\ast$ 而且对每一 $h \ge 0$ , $ \| x_n-T(h)x_n\| \rightarrow 0$ , 于是由引理2.3得知对每一 $h \ge 0$ , $x^* \in {\rm Fix}(T(h))$ 即, $x^* \in {\rm Fix}({\mathfrak T}). $

现在我们证明 $x^\ast\in \Omega$ .

事实上, 由(3.3)式, $u_n= J_{r_n}^{B_1} (I-\gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2})A ) x_n, $ 故有

$ x_n - \gamma A^* (I- J_{r_n}^{B_2})A x_n \in (I + r_n B_1) (u_n). $

(3.19)

因 $\{u_n\}$ 有界, 故存在一子列 $\{u_{n_k}\} \subset \{u_n\}$ 使得 $u_{n_k}\rightharpoonup w$ ( $H_1$ 中的某一点).因 $\| x_n - u_n\| \to 0$ 而且 $x_n \to x^*$ , 这就证明 $x^* = w$ .对(3.19)式简化后, 即得

$ \frac {1}{r_{n_k}} (x_{n_k} - u_{n_k} - \gamma A^* (I- J_{r_{n_k}}^{B_2})A)x_{n_k} \in B_1 (u_{n_k}). $

(3.20)

在(3.20)式中让 $k \to \infty$ 取极限, 并由(3.13)和(3.15)式及极大单调映像的图像是弱-强闭的事实, 得知 $0 \in B_1(x^*)$ , 即, $x^* \in {\rm Fix}(J_\lambda^{B_1})$ .其次, 因 $\{x_n\}$ 和 $\{u_n\}$ 具有相同的渐进性质, 故 $\{Ax_{n_k}\}$ 弱收敛于 $ Ax^*$ .另由(3.14)式, 引理2.3及豫解式 $J_{\lambda}^{B_2}$ 是非扩张的事实, 得知 $0 \in B_2(Ax^*)$ , 即, $Ax^* \in{\rm Fix}(J_\lambda^{B_2})$ .于是 $x^* \in {\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega$ , 即, $x^*$ 不仅是SVIP (1.4)的一解, 而且它也是渐进非扩张半群 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}$ 的一不动点.

定理3.2得证.

注^[14]  下面我们给出满足定理3.2中条件(2)的渐进非扩张半群的例子.

设 $H$ 是一实的Hilbert空间, $L(H)$ 是 $H$ 上所有有界线性算子的空间.对给定的 $\psi \in L(H)$ , 由下面的式子定义一有界线性算子族 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}$

$ T(t) = e^{-t\psi}: \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!} t^k \psi^k. $

则这一算子族 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}$ 满足渐进非扩张半群的性质, 且构成 $H$ 上的一自映像的单参数半群, 并满足定理3.2中的条件(2).

下面考虑非扩张半群的情形.首先我们给出下面的引理.

引理3.3^[15]   设 $C$ 是一实Hilbert空间 $H$ 中的一非空有界的闭凸子集.设 ${\mathfrak T} = \{T (s) : 0 \le s < \infty\}$ 是 $C$ 上的一非扩张半群.则对任意的 $h \ge 0$ , 有

$ \lim\limits_{t \to \infty}\sup\limits_{x \in C}\bigg\| \frac{1}{t}\int_0^t T(t)x {\rm d}s - T(h)\Big(\frac{1}{t}\int_0^t T(t)x {\rm d}s \Big)\bigg\| =0. $

(3.21)

于是由引理3.3可得下面的结果.

定理3.4   设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, B_1, \ B_2, \ J_{\lambda}^{B_1}, \ J_{\lambda}^{B_2}$ 满足引理3.1中的条件.设 ${\mathfrak T}_1 = \{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一非扩张半群.记 $\Gamma_1: ={\rm Fix}({\mathfrak T}_1)\bigcap \Omega$ , 其中 $\Omega$ 是问题(1.4)的解集, 其由(1.6)式定义.对一初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成一序列 $\{x_n\}$

$ \left \{ \begin{array}{ll} u_n= J_{r_n}^{B_1} (I-\gamma A^\ast (I- J_{r_n}^{B_2})A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2 \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1, \end{array} \right. $

(3.22)

其中 $\{s_n\}$ 是一正实数的序列使得 $s_n \to \infty$ , 且对每一 $n \ge 1$ , $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , $0<b \leq r_n <+\infty$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 其中 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果 $\Gamma_1 \neq \emptyset$ , 则由(3.22)式生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in{\rm Fix}({\mathfrak T}_1)\bigcap \Omega$ .

证  事实上, 因 ${\mathfrak T}_1 = \{T(s): 0 \le s < \infty\}$ 是一非扩张半群, 故 $\{k_n = 1\}$ .于是 $\theta_n =(1-\alpha_n)(k_n^2 -1)\sup\{\|x_n-u\|^2: u\in \Gamma_1\} = 0$ .从而条件" $\Gamma_1$ 是有界的"自然成立.另一方面, 由引理3.3, 对每一 $ h \ge 0$ 有

$ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty}\bigg\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T (s)x_n {\rm d}s - T(h)\Big(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T(s)x_n {\rm d}s\Big)\bigg\| = 0. $

借用证明定理3.2时所使用的方法, 可证定理3.4的结论成立.

设 $H_1, \ H_2$ 是二实的Hilbert空间, 设 $A: H_1 \to H_2$ 是一有界的线性算子.所谓的关于函数 $f: H_1 \to {\Bbb R}$ 和 $g: H_2 \to {\Bbb R}$ 的分裂最优化问题(SOP)^[16-17]是求一 $x^*\in H_1$ , $Ax^* \in H_2$ 使得

$ \begin{equation} f(x^*)\geq f(x)~~\forall~x\in H_1, \ ~ g(Ax^*)\geq g(y), ~~ \forall~y\in H_2. \end{equation} $

(4.1)

下面, 我们用 $\Omega_1$ 表分裂最优化问题(4.1)的解集.

设 $f : H_1\rightarrow {\Bbb R}$ 和 $g: H_2 \rightarrow R$ 是二真凸下半连续的函数.记 $B_1 = \partial f$ , $B_2 = \partial g$ .则 $\partial f: H_1 \to H_1$ 和 $\partial g: H_2 \to H_2$ 均为极大单调映像.我们用 $J_\lambda^{\partial f}$ 和 $J_\lambda^{\partial g}$ 分别表 $\partial f$ 和 $\partial g$ 的的豫解算子, 则问题(SOP) (4.1)等价于下面的分裂变分包含问题:求 $x^* \in H_1$ , $y^* = Ax^* \in H_2$ 使得

$ \begin{equation} 0 \in \partial f(x^*), \ 0 \in \partial g(Ax^*), \end{equation} $

(4.2)

于是由定理3.2, 可得下面的结论.

定理4.1  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, f, \ g, \partial f, \ \partial g, \ J_{\lambda}^{\partial f}, \ J_{\lambda}^{\partial g}$ 同上.设 ${\mathfrak T}$ = $\{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一具序列 $\{k_n\} \subset [1, \infty)$ 且 $ \lim\limits_{n \to \infty}k_n =1$ 的渐进非扩张半群.记 $\Gamma_2: ={\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega_2$ , 其中 $\Omega_2$ 是问题(4.2)的解集.对一初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成一序列 $\{x_n\}$

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} u_n= J_{r_n}^{\partial f} (I-\gamma A^\ast (I- J_{r_n}^{\partial g})A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \ \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2+\theta_n \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.3)

其中 $\theta_n =(1-\alpha_n)(k_n^2 -1)\sup\{\|x_n-u\|^2: u\in \Gamma_2\}$ , $\{s_n\}$ 是一正数的序列, 且对每一 $n \ge 1$ . $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , $0<b \leq r_n <+\infty$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 其中 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果满足下面的条件

(1) $\Gamma_2 \neq \emptyset$ 且是有界的;

(2) $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - T(h)(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s)\| = 0$ , 对每一 $h > 0$ ,

则由(4.3)式生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in{\rm Fix}({\mathfrak T}) \bigcap \Omega_2$ .

定理4.2  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, f, \ g, \partial f, \ \partial g, \ J_{\lambda}^{\partial f}, \ J_{\lambda}^{\partial g}$ 满足定理4.1中的条件.设 ${\mathfrak T}_3 = \{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一非扩张半群.记 $\Gamma_3: ={\rm Fix}({\mathfrak T}_3)\bigcap \Omega_3$ , 其中 $\Omega_3$ 是问题(4.2)的解集.对一初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成一序列 $\{x_n\}$

$ \begin{equation} \left \{ \begin{array}{ll} u_n= J_{r_n}^{\partial f} (I-\gamma A^\ast (I- J_{r_n}^{\partial g})A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \ \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2 \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1, \end{array} \right. \end{equation} $

(4.4)

其中 $\{s_n\}$ 是一正实数的序列使得 $s_n \to \infty$ , 对每一 $n \ge 1$ , $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , 而且 $0<b \leq r_n <+\infty$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 其中 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果 $\Gamma_3 \neq \emptyset$ , 则由(4.4)式生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in{\rm Fix}({\mathfrak T}_3)\bigcap \Omega_3$ .

在文献[2]中, Censor等提出下面的分裂变分不等式问题(简记为, SVIP):求一点 $x^*\in C$ , $ y^*=Ax^* \in Q$ 使得

$ \begin{equation} \langle f(x^*), x-x^*\rangle \geq 0, ~~ \forall~x\in C, ~ ~~\langle g(y^*), y-y^*\rangle \geq 0, ~~ \forall~y\in Q, \end{equation} $

(4.5)

其中 $A:C\rightarrow Q$ 是一有界的线性算子, $f: C \to C$ 和 $g: Q \to Q$ 是 $\alpha$ -逆强单调映像, 其中 $\alpha$ 是一正常数. $\Omega_4$ 表分裂变分不等式问题(4.5)的解集.

显然, 问题(SVIP) (4.5)等价于下面的不动点问题:求一点 $x^*\in C$ , $ y^*=Ax^* \in Q$ 使得

$ \begin{equation} x^* \in {\rm Fix} (P_C(I - \lambda f)), ~~~~\ Ax^* \in {\rm Fix}(P_Q(I - \lambda g)), \ \lambda \in (0, 2\alpha). \end{equation} $

(4.6)

下面我们证明 $P_C(I - \lambda f)$ 及 $P_Q(I - \lambda g), \ \lambda \in (0, 2\alpha)$ 均为坚实的非扩张映像.事实上, 因 $P_C$ 是一坚实的非扩张映像, 于是由(1.2)式知

$ \begin{eqnarray} &&\| P_C(I - \lambda f)x - P_C(I - \lambda f)y\| ^2\\ & \le &\| (I - \lambda f)x - (I - \lambda f)y\| ^2 - \| (I - P_C(I - \lambda f))x - (I - P_C(I - \lambda f)) y\| ^2. \end{eqnarray} $

(4.7)

因 $ \lambda \in (0, 2\alpha)$ , 故有

$ \begin{eqnarray} \| (I - \lambda f)x - (I - \lambda f)y\| ^2 &=& \| x - y\| ^2 + \lambda^2 \| fx - fy\| ^2 - 2\lambda \langle x - y, fx - fy\rangle\\ &=& \| x - y\| ^2 + \lambda^2 \| fx - fy\| ^2 - 2\lambda\alpha \| fx - fy\| ^2\\ &\le &\| x - y\| ^2 + \lambda (\lambda - 2\alpha) \| fx - fy\| ^2\\ & \le& \| x - y\| ^2. \end{eqnarray} $

(4.8)

把(4.8)式代入(4.7)式, 即得

$ \begin{eqnarray} && \| P_C(I - \lambda f)x - P_C(I - \lambda f)y\| ^2\\ &\le &\| x - y\| ^2 - \| (I - P_C(I - \lambda f))x - (I - P_C(I - \lambda f)) y\| ^2. \end{eqnarray} $

(4.9)

上式表明 $P_C(I - \lambda f), \ \lambda \in (0, 2\alpha)$ 是坚实的非扩张映像.

类似地, 我们也可证明 $P_Q(I - \lambda g), \ \lambda \in (0, 2\alpha)$ 是坚实非扩张的.

上面的证明表明, 映像 $P_C(I - \lambda f)$ 和 $P_Q(I - \lambda g)$ 在分裂变分不等式问题(4.6)中所起的作用, 与映像 $J_{\lambda}^{B_1}$ 和 $J_{\lambda}^{B_2}$ 在分裂变分包含问题(1.5)中所起的作用相同.于是由定理3.2可得下面的结果.

定理4.3  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, f, \ g$ 如上.设 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是具序列 $\{k_n\} \subset [1, \infty)$ , $k_n\rightarrow 1$ ( $n\rightarrow \infty$ )的渐进非扩张半群.记 $\Gamma_4: ={\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega_4$ , 其中 $\Omega_4$ 是分裂变分不等式问题(4.6)的解集.对一初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成已序列 $\{x_n\}$

$ \left \{ \begin{array}{ll} u_n= P_C(I - \lambda_n f)(I-\gamma A^* (I- P_Q(I- \lambda_n g))A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T^n (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \ \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2+\theta_n \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1, \end{array} \right. $

(4.10)

其中 $\theta_n =(1-\alpha_n)(k_n^2 -1)\sup\{\|x_n-u\|^2: u\in \Gamma_4\}$ , $\{s_n\}$ 是一正数的序列, 而且对每一 $n \ge 1$ , $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , $ \lambda_n \in (0, 2\alpha)$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果下列条件满足

(1) $\Gamma_2 \neq \emptyset$ 且是有界的;

(2) $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty}\| \frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s - T(h)(\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n} T^n (s)x_n {\rm d}s)\| = 0$ , 对每一 $h > 0$ ,

则由(4.10)式生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in{\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega_4$ .特别, 如果 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一非扩张半群, 则有下面的结论.

定理4.4  设 $H_1, \ H_2, \ A, \ A^*, f, \ g$ 与定理4.3中的相同.设 ${\mathfrak T} = \{T(s): 0 \le s < \infty\}: H_1 \to H_1$ 是一非扩张半群.记 $\Gamma_5: ={\rm Fix}({\mathfrak T})\bigcap \Omega_5$ , 其中 $\Omega_5$ 是分裂变分不等式问题(4.6)的解集.对一初始点 $x_0\in H_1$ , 取 $C_1= H_1$ , $x_1=P_{C_1}x_0$ , 由下式生成已序列 $\{x_n\}$

$ \left \{ \begin{array}{ll} u_n= P_C(I - \lambda_n f)(I-\gamma A^* (I- P_Q(I - \lambda_n g))A ) x_n, \\ y_n=\alpha_n x_n+(1-\alpha_n)\frac{1}{s_n}\int_0^{s_n}T (s)u_n {\rm d}s, \\ C_{n+1}=\{ z\in C_n: \ \|y_n-z\|^2\leq \|x_n-z\|^2 \}, \\ x_{n+1}=P_{C_{n+1}}x_0, \forall n\geq 1, \end{array} \right. $

(4.11)

其中 $\{s_n\}$ 是一正数的序列, 且 $s_n \to \infty$ , 而且对每一 $n \ge 1$ , $ 0 < a \le \alpha_n < c < 1$ , $ \lambda_n \in (0, 2\alpha)$ , $\gamma\in (0, \frac{2}{L})$ , 其中 $L$ 是算子 $A^* A$ 的谱半径.如果 $\Gamma_5 \neq \emptyset$ , 则由(4.11)式生成的序列 $\{x_n\}$ 强收敛于一点 $x^* \in$ Fix( ${\mathfrak T})\bigcap \Omega_5$ .