在本文中, 我们假设读者熟悉亚纯函数值分布理论相关知识.设 ${\cal F}$ 为区域 $D$ 内的一族亚纯函数.若在函数族 ${\cal F}$ 的任意函数序列 $\{f_n\}$ 中均存在子序列 $\{f_{n_j}\}$ , 使得 $\{f_{n_j}\}$ 在 $D$ 内按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数 $f$ , 或一致趋于无穷, 则称函数族 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规, 参见文献[5-6, 14-15].

设 $f(z)$ 与 $g(z)$ 是区域 $D$ 内的两个亚纯函数, $h(z)$ 是区域 $D$ 内的全纯函数.若 $f(z)-h(z)$ 与 $g(z)-h(z)$ 有相同的零点个数, 则称 $f(z)$ 与 $g(z)$ 分担函数 $h(z)$ .

早在1992年, Schwick^[13]首先将正规定则与分担值建立起联系, 他证明了

定理1.1  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, $a_1, a_2, a_3$ 是三个相互判别的有穷复数.如果对任意的 $f\in {\cal F}$ , $f$ 与 $ f'$ 分担 $a_i(i=1, 2, 3)$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

此后, 许多学者研究了与分担值相关的正规族问题, 并取得了许多有意义的结果(参见文献[4, 7-9, 11-12, 16]).

在2004年, Fang and Zalcman^[4]证明了

定理1.2  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, $n(\ge 1)$ 是一个正整数.如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $f$ 与 $g$ 分担 $0$ , 且 $f^nf'$ 与 $g^ng'$ 分担一个非零常数 $a$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

当 $n\ge 2$ 时, 在2008年, Zhang^[16]改进了定理1.2到如下形式.

定理1.3  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, $n(\ge 2)$ 是一个正整数.如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $f^nf'$ 与 $g^ng'$ 分担一个非零常数 $a$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

在2010年, Lei and Fang^[9]推广了定理1.2与定理1.3.

定理1.4  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, $P$ 是多项式满足 $\deg P \ge 3 $ , 或者 $\deg P = 2$ 且 $P$ 仅有一个零点, $b$ 是一个非零有穷复数.如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 分担 $b$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

定理1.5  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数且其极点重级均 $\ge 2$ , $P$ 是具有两个不同零点的多项式, $b$ 是一个有穷复数.如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 分担 $b$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

一个自然的问题:定理1.4与定理1.5对于分担全纯函数是否仍然成立？

本文研究了该问题, 证明了下述定理.

定理1.6  设 $m(\ge 0)$ 是一个正整数, $h(z)(\not \equiv 0)$ 是区域 $D$ 内的全纯函数, 且其零点重级均 $\le m$ , $P$ 是多项式满足 $\deg P \ge 3 $ , 或者 $\deg P = 2$ 且 $P$ 仅有一个零点.设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, 其零点与极点重级均 $\ge m+1$ .如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 分担 $h(z)$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

定理1.7  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数且其极点重级均 $\ge 2$ , $P$ 是具有两个不同零点的多项式, $h(z)$ 是区域 $D$ 内的全纯函数.如果对于 ${\cal F}$ 中的任意两个函数 $f, g$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 分担 $h(z)$ , 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

事实上, 我们证明了以下更一般的结果.

定理1.8  设 $m(\ge 0)$ 是一个正整数, $h(z)(\not \equiv 0)$ 是区域 $D$ 内的全纯函数, 且其零点重级均 $\le m$ , $P$ 是多项式满足 $\deg P \ge 3 $ 或者当 $\deg P = 2$ 时, $P$ 仅有一个零点.设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数, 其零点与极点重级均 $\ge m+1$ .如果对于任意的 $f\in {\cal F}$ , $P(f)f'-h$ 在 $D$ 内至多有一个零点, 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

定理1.9  设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数且其极点重级均 $\ge 2$ , $P$ 是具有两个不同零点的多项式, $h(z)$ 是区域 $D$ 内的全纯函数.如果对于任意的 $f\in {\cal F}$ , $P(f)f'-h$ 在 $D$ 内至多有一个零点, 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

例1.1  设 $D =\{z\in {\Bbb C}|\ |z|< 1\}$ , $P(\omega)=\omega^n(n\ge2)$ , $h(z)\equiv 0$ .设

$ {\cal F}=\{f_j(z)=e^{jz} \mid j=1, 2, \cdots \}. $

显然, 对任意的正整数 $j$ , $P(f_j)f_j'-h(z)$ 在 $D$ 内没有零点, 但 ${\cal F}$ 在 $z =0$ 处不正规.这说明定理1.8中 $h(z)\not\equiv0$ 是必要的.

例1.2  设 $D =\{z\in {\Bbb C}|\ |z|< 1\}$ , $P(\omega)=\omega^n(n\ge2)$ , $h(z)=\frac{1}{z^{n+2}}$ .设

$ {\cal F}=\{f_j(z)=\frac{1}{jz} \mid j=1, 2, \cdots \}. $

显然, 对任意的正整数 $j$ , $P(f_j)f_j'-h(z)$ 在 $D$ 内没有零点, 但 ${\cal F}$ 在 $z =0$ 处不正规.这说明当 $h(z)$ 是亚纯函数时, 定理1.8结论不成立.

引理2.1 ^{[3, 11, 15]}  设 ${\cal F}$ 是单位圆 $\Delta $ 内的一族亚纯函数, 且 ${\cal F}$ 中函数的零点重级均 $\ge l$ .设 $\alpha$ 是一个满足 $-1<\alpha <l$ 的实数.若 ${\cal F}$ 在 $z_0\in \Delta $ 处不正规, 则存在

a) 点列 $z_j\in \Delta, $ $z_j \rightarrow z_0$ ;

b) 函数列 $f_j\in {{\cal F}}$ ;

c) 正数列 $\rho_j\to 0$ ,

使得 $g_j(\xi)=\rho_{j} ^{-\alpha}f_j(z_j+\rho_j\xi)$ 在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数 $g(\xi )$ , 且 $g(\xi )$ 的所有零点重级至少是 $l$ .

引理2.2 ^[5]  设 $f_1(\not\equiv 0)$ 与 $f_2(\not\equiv 0)$ 是复平面 ${\Bbb C}$ 内的两个亚纯函数.则有

$ N(r, f_1f_2)-N(r, \frac{1}{f_1f_2})=N(r, f_1)+N(r, f_2)-N(r, \frac{1}{f_1})-N(r, \frac{1}{f_2}). $

引理2.3^{[1-2, 9-10, 16-17]}  设 $n(\ge 2), m(\ge 0)$ 是两个整数, $p(z)(\not \equiv 0)$ 是 $m$ 的多项式.设 $f(z)$ 是复平面 ${\Bbb C}$ 内的一个非常数亚纯函数, 且其零点与极点重级均 $\ge m+1$ .则 $f^n(z)f'(z)-p(z)$ 至少有两个不同零点.

引理2.4  设 $h(z)$ 区域 $D$ 内的全纯函数, $P$ 是至少具有三个不同零点的多项式, 设 ${\cal F}$ 是区域 $D$ 内的一族亚纯函数.如果, 对任意的 $f\in {\cal F}$ , $P(f)f'-h$ 在 $D$ 内至多有一个零点, 则 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.

证  因 $P$ 是至少具有三个不同零点的多项式, 因此可设

$ P(\omega) = Q(\omega)(\omega-a_1)(\omega-a_2 )(\omega-a_3 ), $

其中 $Q(\omega) (\not\equiv 0) $ 是多项式, $a_j (j=1, 2, 3)$ 是三个相互判别的有穷复数.假设 ${\cal F}$ 在 $z_0 (\in D)$ 处不正规.由引理2.1知, 存在点列 $z_j\to z_0$ , 正数列 $\rho_j\to 0$ , 以及函数列 $\{f_j\}\subseteq {\cal F}$ 使得

$ g_j(\xi)=f_j(z_j+\rho_j\xi){\Rightarrow}g(\xi) $

(2.1)

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $g$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数.

在复平面 ${\Bbb C}$ 除去 $g$ 的极点的任意紧子集内, 均有

$ \begin{eqnarray*} &&\rho_j\left[P(f_j(z_j+\rho_j\xi))f_j'(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\right]\\ &&\to Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi). \end{eqnarray*} $

如果 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi)\equiv 0$ , 则 $g$ 是常数, 矛盾.

断言 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi)$ 至多有一个不同零点.否则, 假设 $\xi_1, \xi_2$ 是 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi)$ 的两个不同零点.取充分小的 $\sigma$ 使得 $D_1\cap D_2=\emptyset $ 且 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi)$ 在 $D_1\bigcup D_2$ 内除了 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 没有其它零点, 其中 $D_1=\{\xi:\mid\xi-\xi_1\mid< \sigma\}$ , $D_2=\{\xi:\mid\xi-\xi_2\mid< \sigma\}$ .

由Hurwitz定理知, 当 $j$ 充分大时, 存在 $\xi_{1, j}\to \xi_1$ 与 $\xi_{2, j}\to \xi_2$ 使得

$ P(f_j(z_j+\rho_j\xi_{1, j}))f_j'(z_j+\rho_j\xi_{1, j})-h(z_j+\rho_j\xi_{1, j})=0, $

$ P(f_j(z_j+\rho_j\xi_{2, j}))f_j'(z_j+\rho_j\xi_{2, j})-h(z_j+\rho_j\xi_{2, j})=0. $

由引理2.4的假设知, $P(f(z))f'(z)-h(z)$ 在 $D$ 内至多有一个零点, 因此 $z_j+\rho_j\xi_{1, j}=z_j+\rho_j\xi_{2, j}$ , 即 $\xi_{1, j}=\xi_{2, j}=(z_0-z_j)\diagup\rho_j$ , 这与 $D_1\cap D_2=\emptyset $ 矛盾, 因此断言成立.

显然, $g$ 不可能是多项式.另一方面, 从Nevanlinna第二基本定理知 $g$ 不可能是超越亚纯函数.因此 $g$ 是一个非多项式有理函数.因为 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a_1)(g(\xi)-a_2)(g(\xi)-a_3)g'(\xi)$ 至多有一个零点, $g$ 至少不取 $\{a_1, a_2, a_3\}$ 中的两个值.不失一般性, 可设 $g\neq a_1$ , $g\neq a_2$ , 因此有

$ g(\xi)=a_1+\frac{1}{p(\xi)}, ~~ g(\xi)= a_2+\frac{1}{q(\xi)}, $

其中 $p(\xi), q(\xi)$ 为非常数多项式.于是可得

$ a_2-a_1 =\frac{1}{p(\xi)}-\frac{1}{q(\xi)}=\frac{q(\xi)-p(\xi)}{p(\xi)q(\xi)}, $

矛盾.因此 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.引理2.4得证.

如果 $P(z)$ 仅有简单零点, 则 $P(z)$ 至少有三个不同零点, 由引理2.4可得 ${\cal F}$ 的区域 $D$ 内正规.以下考虑 $P(z)$ 至少有一个重零点的情形.因此, 可设

$ P(z)=a_n(z-b)^n+a_{n-1}(z-b)^{n-1}+\cdots+a_q(z-b)^q, $

其中 $q\ge 2$ 是一个正整数, $a_q(\neq 0)$ , $b$ 是有穷复数.假设 ${\cal F}$ 在 $z_0\in D$ 处不正规.以下分两种情形讨论.

情形1   $h(z_0)\neq 0$ .则存在 $\delta>0$ , 使得对任意的 $z\in D_\delta(z_0)=\{z:\mid z-z_0\mid< \delta\}$ , $h(z)\neq 0$ .令 ${\cal G}=\{g=f-b:f\in {\cal F}\}$ .显然 ${\cal G}$ 在 $z_0$ 处不正规.

因此, 由引理2.1知, 存在点列 $ z_j\to z_0$ , 正数列 $\rho_j\to 0$ , 以及函数列 $\{g_j\}\subseteq {\cal G}$ , 使得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.1} G_j(\xi)=\frac{g_j(z_j+\rho_j\xi)}{\rho_j^{\frac{1}{q+1}}}{\Rightarrow}G(\xi) \end{eqnarray} $

(3.1)

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $G$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数, 且 $G(\xi)$ 的级至多为 $2$ .

由(3.1)式, 当 $q\le s\le n$ 时, 均有

$ g_j^{s}(z_j+\rho_j\xi)g'_j(z_j+\rho_j\xi)=\rho_j^{\frac{s-q}{q+1}}G_j^{s}(\xi)G'_j(\xi). $

因此, 当 $\xi \in {\Bbb C}\setminus \{G^{-1}(\infty)\} $ 时, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&P(f_j(z_j+\rho_j\xi))f'_j(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\\ &=&\left[a_n(g_j(z_j+\rho_j\xi))^n+\cdots+a_q(g_j(z_j+\rho_j\xi))^q\right]g'_j(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\\ &=&\sum\limits_{s=q}^{n}\rho_j^{\frac{s-q}{q+1}}a_sG_j^{s}(\xi)G'_j(\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\\ &\to& a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)-h(z_0). \end{eqnarray*} $

显然, $a_qG^{q}(\xi)gG'(\xi)-h(z_0)\not \equiv 0$ .若不然 $a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)\equiv h(z_0)$ , 则 $G$ 没有零点与极点.再由 $G$ 是一个非常数亚纯函数且级至多为 $2$ , 知存在 $( c_1, c_2 ) \neq (0, 0)$ 使得

$ G(\xi)=e^{c_0+c_1\xi+c_2\xi^2} $

成立.这与 $a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)\equiv h(z_0)$ 矛盾.

使用类似引理2.4的讨论可得 $a_qG^q(\xi)G'(\xi)-h(z_0)$ 至多有一个零点.另一方面, 由引理2.3可得 $a_qG^q(\xi)G'(\xi)-h(z_0)$ 至少有两个不同零点, 矛盾.

情形2   $h(z_0)=0$ .则存在 $\delta>0$ 使得对任意的 $z\in D'_\delta(z_0)=\{z:\mid z-z_0\mid< \delta\}$ , 均有 $h(z)\neq 0$ .不失一般性, 可设 $z_0=0$ , $h(z)=z^tb(z)$ , 其中 $t(1\le t\le m)$ 是正整数, $b(z_0)= 1$ , 且当 $z\in D_\delta(z_0)$ 时 $b(z)\neq 0$ (若不然, 构造相应的函数族 ${\cal G}=\{g=f(z+z_0), f\in {\cal F}, z\in D_\delta(0)\}$ 即可).

以下分两种情形讨论.

情形2.1   $b=0$ .即 $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_qz^q$ , $q\ge 2, a_q\neq 0$ .由引理2.1知, 存在点列 $ z_j\to z_0$ , 正数列 $ \rho_j\to 0$ , 以及函数列 $\{f_j\}\subseteq {\cal F}$ , 使得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.2} G_j(\xi)=\frac{f_j(z_j+\rho_j\xi)}{\rho_j^{\frac{t+1}{q+1}}}{\Rightarrow}G(\xi) \end{eqnarray} $

(3.2)

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $G$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数, 且 $G(\xi)$ 的零点与极点重级均 $\ge 1+m\ge 2$ .

以下再分两种情形讨论.

情形2.1.1   $z_j/ \rho_j \to \infty $ .令

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.3} F_j(\xi)=\frac{f_j(z_j+z_j\xi)}{z_j^{\frac{t+1}{q+1}}}. \end{eqnarray} $

(3.3)

对任意的整数 $s$ , 当 $q\le s\le n$ 时, 均有

$ \frac{1}{z_j^t}f_j^{s}(z_j+z_j\xi)f'_j(z_j+z_j\xi)=z_j^{\frac{(s-q)(t+1)}{q+1}}F_j^{s}(\xi)F'_j(\xi). $

因此, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{s=q}^{n}z_j^{\frac{(s-q)(t+1)}{q+1}}a_sF_j^{s}(\xi)F'_j(\xi)-(1+\xi)^tb(z_j+z_j\xi)\\ &=&\frac{1}{z_j^t}\left[P(f_j(z_j+z_j\xi))f'_j(z_j+z_j\xi)-h(z_j+z_j\xi)\right]. \end{eqnarray*} $

与引理2.4类似的讨论可得

$ \sum\limits_{s=q}^{n}z_j^{\frac{(s-q)(t+1)}{q+1}}a_sF_j^{s}(\xi)F'_j(\xi)-(1+\xi)^tb(z_j+z_j\xi) $

在 $\Delta$ 内至多有一个零点.

显然, $F_j$ 的零点与极点重级均 $\ge m+1$ .

以下先证明函数族 $\{F_j\}$ 在 $\Delta=\{\xi:\mid \xi \mid <1\}$ 内正规.假设 $\{F_j\}$ 在 $\xi_0\in \Delta$ 处不正规.由引理2.1知, 存在点列 $\xi_j\to \xi_0$ , 正数列 $ \eta_j\to 0$ , 以及 $\{F_j\}$ 的子函数列(以下仍记为 $\{F_j\}$ ), 使得

$ H_j(\zeta)=\frac{F_j(\xi_j+\eta_j\zeta)}{\eta_j^{\frac{1}{q+1}}}{\Rightarrow}H(\zeta) $

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $H$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数, 且 $H(\zeta)$ 的零点与极点重级均 $\ge 1+m$ .

对任意的整数 $s$ , 当 $q\le s\le n$ 时, 均有

$ F_j^{s}(\xi_j+\eta_j\zeta)F'_j(\xi_j+\eta_j\zeta)=\eta_j^{\frac{s-q}{q+1}}H_j^{s}(\zeta)H'_j(\zeta). $

因此, 当 $\zeta\in {\Bbb C}/\{H^{-1}(\infty)\}$ 时, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{s=q}^{n}z_j^{\frac{(s-q)(1+t)}{q+1}}a_sF_j^{s}((\xi_j+\eta_j\zeta))F'_j(\xi_j+\eta_j\zeta)-(1+(\xi_j+\eta_j\zeta))^tb(z_j+z_j(\xi_j+\eta_j\zeta))\\ &=&\sum\limits_{s=q}^{n}z_j^{\frac{(s-q)(1+t)}{q+1}}\eta_j^{\frac{s-q}{q+1}}a_sH_j^{s}(\xi)H'_j(\xi)-(1+(\xi_j+\eta_j\zeta))^tb(z_j+z_j(\xi_j+\eta_j\zeta))\\ &\to &a_qH^n(\zeta)H'(\zeta)-(1+\xi_0)^t. \end{eqnarray*} $

因为 $\xi_0\in \Delta$ , 显然有 $(1+\xi_0)^t\neq 0$ .类似情形1的讨论可得 $\{F_j\}$ 在区域 $\Delta$ 内正规.

因此存在 $\{F_j\}$ 的子函数列以及 $F(\xi)$ ( $F(\xi)$ 是亚纯函数或 $F(\xi)\equiv \infty$ ), 使得下式成立

$ \begin{equation}\label{eq3.4} F_j(\xi){\Rightarrow}F(\xi). \end{equation} $

(3.4)

如果 $F(0)\neq \infty$ .由 $m-\frac{t+1}{q+1}>0$ 以及方程(3.2)-(3.4)可得, 对于任意的 $\xi\in {\Bbb C}/\{G^{-1}(\infty)\}$ , 有

$ \begin{eqnarray*} G^{(m)}(\xi)&=&\lim\limits_{j\to \infty}G_j^{(m)}(\xi)=\lim\limits_{j\to \infty}\frac{f_j^{(m)}(z_j+\rho_j\xi)}{\rho_j^{\frac{t+1}{q+1}-m}}\\ &=&\lim\limits_{j\to \infty}(\frac{\rho_j}{z_j})^{m-\frac{t+1}{q+1}}F_j^{(m)}(\frac{\rho_j}{z_j}\xi)=0. \end{eqnarray*} $

因此, 有 $G^{(m)}\equiv 0$ .即 $G$ 是次数不超过 $m$ 的多项式.另一方面, 结合 $G$ 零点重级至少为 $m+1$ , 可得 $G$ 是一个常数, 矛盾.

如果 $F(0)= \infty$ .则由

$ \frac{1}{F_j(\frac{\rho_j}{z_j}\xi)}=\frac{z_j^{\frac{t+1}{q+1}}}{f_j(z_j+\rho_j\xi)}\to \frac{1}{F(0)}= 0, $

可得, 当 $\xi\in {\Bbb C}/\{G^{-1}(0)\}$ 时, 有

$ \frac{1}{G(\xi)}=\lim\limits_{j\to \infty}\frac{\rho_j^{\frac{t+1}{q+1}}}{f_j(z_j+\rho_j\xi)}=\lim\limits_{j\to \infty}(\frac{\rho_j}{z_j})^{\frac{t+1}{q+1}}\frac{z_j^{\frac{t+1}{q+1}}}{f_j(z_j+\rho_j\xi)}=0. $

因此 $G(\xi) \equiv \infty$ , 这与 $G(\xi)$ 是非常数亚纯函数矛盾.

情形2.1.2   $z_j/ \rho_j \to \alpha $ , 其中 $\alpha$ 是一个有穷复数.由(3.2)式, 对任意的整数 $s$ , 当 $q\le s\le n$ 时, 均有

$ \frac{1}{\rho_j^t}f_j^{s}(z_j+\rho_j\xi)f'_j(z_j+\rho_j\xi)=\rho_j^{\frac{(s-q)(t+1)}{q+1}}G_j^{s}(\xi)G'_j(\xi). $

因此, 当 $\xi \in {\Bbb C}\setminus \{G^{-1}(\infty)\} $ 时, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\sum\limits_{s=q}^{n}\rho_j^{\frac{(s-q)(t+1)}{q+1}}a_sG_j^{s}(\xi)G'_j(\xi)-(\xi+\frac{z_j}{\rho_j})^tb(z_j+\rho_j\xi)\\ &=&\frac{1}{\rho_j^t}\left[P(f_j(z_j+\rho_j\xi))f'_j(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\right]\\ &\to& a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)-(\xi+\alpha)^t.\\ \end{eqnarray*} $

类似情形1的讨论可得 $a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)-(\xi+\alpha)^t\not \equiv 0$ , 且 $a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)-(\xi+\alpha)^t$ 在 ${\Bbb C}$ 内至多有一个零点.

另一方面, 由引理2.3可得 $a_qG^{q}(\xi)G'(\xi)-(\xi+\alpha)^t$ 至少有两个不同零点, 矛盾.

情形2.2   $b\neq 0$ .即 $P(z)=a_n(z-b)^n+a_{n-1}(z-b)^{n-1}+\cdots+a_q(z-b)^q=Q(z)(z-b)^q$ , 其中 $q\ge 2$ 是正整数, $a_q\neq 0$ , $b\neq 0$ 是两个有穷复数, $Q(z)\not\equiv 0$ 是多项式.

由引理2.1知, 存在点列 $z_j\to z_0$ , 正数列 $\rho_j\to 0$ , 以及函数列 $\{f_j\}\subseteq {\cal F}$ , 使得

$ \begin{eqnarray*}\label{eq3.5} G_j(\xi)=f_j(z_j+\rho_j\xi){\Rightarrow}G(\xi) \end{eqnarray*} $

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $G$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数, 且 $G(\xi)$ 的零点与极点重级均 $\ge 1+m\ge 2$ .

对任意的 $\xi \in {\Bbb C}/\{G^{-1}(\infty)\}$ , 均有

$ \begin{eqnarray*} &&\rho_j\left[P(f_j(z_j+\rho_j\xi))f'_j(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\right]\\ &=&P(G_j(\xi))G'_j(\xi)-\rho_jh(z_j+\rho_j\xi)\\ &\to& P(G(\xi))G'(\xi)=Q(G(\xi))(G(\xi)-b)^qG'(\xi). \end{eqnarray*} $

如果 $Q(G(\xi))(G(\xi)-b)^qG'(\xi)\equiv 0$ , 则 $G$ 是常数, 矛盾.

类似引理2.4的讨论可得 $Q(G(\xi))(G(\xi)-b)^qG'(\xi)$ 至多有一个零点.由 $G(\xi)$ 的零点与极点重级均 $\ge 1+m\ge 2$ , 可得 $G(\xi)(G(\xi)-b)$ 至多有一个零点.因此, $G(\xi)\neq 0$ 或者 $G(\xi)\neq b$ .不防设 $G(\xi)\neq 0$ .由Nevanlinna第一以及第二基本定理可得

$ \begin{eqnarray}\label{eq3.6} T(r, G)&\le & \overline{N}(r, G)+\overline{N}(r, \frac{1}{G})+\overline{N}(r, \frac{1}{G-b})+S(r, G)\\ &\le &\frac{1}{2}N(r, G)+\log r+S(r, G). \end{eqnarray} $

(3.5)

从(3.5)式可得

$ T(r, G)\le 2\log r + S(r, G). $

因此 $G$ 是一个次数不超过 $2$ 的有理函数.再由 $G(\xi)\neq 0$ 知 $G(\xi)$ 不可能是非常数多项式, 结合 $G(\xi)$ 的零点与极点重级均 $\ge 1+m\ge 2$ , 可设 $G(\xi)=\frac{A}{(\xi-\beta)^2}$ .则 $G(\xi)-b=\frac{A}{(\xi-\alpha)^2}-b$ 恰有两个零点, 这与 $G(\xi)-b$ 至多有一个零点矛盾.因此 $G$ 是常数, 矛盾.

综上所述, ${\cal F}$ 在 $D$ 内正规.定理1.8证毕.

因 $P$ 是至少有两个不同零点的多项式, 可设

$ P(\omega) = Q(\omega)(\omega-a)(\omega-b ), $

其中 $Q(\omega) \not\equiv 0 $ 是多项式, $a, b\in {\Bbb C}$ 是两个相互判别的有穷复数.假设 ${\cal F}$ 在 $z_0 \in D$ 处不正规.由引理2.1知, 存在点列 $z_j\to z_0$ , 正数列 $\rho_j\to 0$ , 以及函数列 $\{f_j\}\subseteq {\cal F}$ , 使得

$ \begin{eqnarray}\label{eq4.1} g_j(\xi)=f_j(z_j+\rho_j\xi){\Rightarrow}g(\xi) \end{eqnarray} $

(4.1)

在复平面 ${\Bbb C}$ 内按球面距离内闭一致成立, 其中 $g$ 是 ${\Bbb C}$ 内的非常数亚纯函数, 且 $g(\xi)$ 的极点均为重极点.

由(4.1)式知, 对任意的 $\xi \in {\Bbb C}/\{g^{-1}(\infty)\}$ , 均有

$ \begin{eqnarray*} &&\rho_j\left[P(f_j(z_j+\rho_j\xi))f_j'(z_j+\rho_j\xi)-h(z_j+\rho_j\xi)\right]\\ &&\to Q(g(\xi))(g(\xi)-a)(g(\xi)-b)g'(\xi). \end{eqnarray*} $

如果 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a)(g(\xi)-b)g'(\xi)\equiv 0$ , 则 $g$ 是常数, 矛盾.

类似引理2.4的讨论可得 $Q(g(\xi))(g(\xi)-a)(g(\xi)-b)g'(\xi)$ 至多有一个零点.因此 $(g(\xi)-a)(g(\xi)-b)$ 至多有一个零点.所以, $g(\xi)\neq a$ 或者 $g(\xi)\neq b$ .不防设 $g(\xi)\neq a$ .

由Nevanlinna第一、第二基本定理以及 $g$ 的极点均为重极点, 可得

$ \begin{eqnarray*} T(r, g)&\le & \overline{N}(r, g)+\overline{N}(r, \frac{1}{g-a})+\overline{N}(r, \frac{1}{g-b})+S(r, g)\\ &\le &\overline{N}(r, g)+\log r+S(r, g)\le \frac{1}{2}{N}(r, g)+\log r+S(r, g). \end{eqnarray*} $

即 $T(r, g)\le 2\log r+S(r, g)$ .因此 $g$ 是一个次数不超过 $2$ 的有理函数.再由 $g(\xi)\neq a$ 知 $g(\xi)$ 不可能是非常数多项式.结合 $g$ 的极点均是重极点, 可得 $g(\xi)=a+\frac{A}{(\xi-\alpha)^2}$ .则 $g(\xi)-b=\frac{A}{(\xi-\alpha)^2}+a-b$ 恰有两个不同零点.这与 $g(\xi)-b$ 至多有一个零点矛盾.因此, $g$ 是常数, 矛盾.

综上所述, ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.定理1.9证毕.

设 $z_0\in D$ .以下证明 ${\cal F}$ 在 $z_0$ 处正规.令 $f\in {\cal F}$ .以下分两种情形讨论.

情形1    $P(f(z_0))f'(z_0)\neq h(z_0)$ .则存在 $z_0$ 的某个邻域 $D_\delta(z_0)=\{z: \mid z- z_0\mid < \delta\}$ , 使得当 $z\in D_\delta(z_0)$ 时 $P(f(z))f'(z)\neq h(z)$ .由于对任意的函数对 $f, g \in {\cal F}$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 在 $D$ 内分担 $h(z)$ .则对任意的 $g\in {\cal F}$ , 当 $z\in D_\delta(z_0)$ 时 $P(g(z))g'(z)\neq h(z)$ .再由定理1.8知 ${\cal F}$ 在 $D_\delta(z_0)$ 内正规.因此 ${\cal F}$ 在 $z_0$ 处正规.

情形2   $P(f(z_0))f'(z_0)= h(z_0)$ .则存在 $z_0$ 的某个邻域 $D_\delta(z_0)=\{z:\mid z- z_0\mid < \delta\}$ , 使得当 $z\in D^{0}_\delta(z_0)$ 时 $P(f(z))f'(z)\neq h(z)$ .由于对任意的函数对 $f, g \in {\cal F}$ , $P(f)f'$ 与 $P(g)g'$ 在 $D$ 内分担 $h(z)$ .则对任意的 $g\in {\cal F}$ , 当 $z\in D^{0}_\delta(z_0)$ 时 $P(g(z))g'(z)\neq h(z)$ , 且 $P(g(z_0))g'(z_0)= h(z_0)$ .因此 $P(g(z))g'(z)- h(z)$ 在 $D_\delta(z_0)$ 内恰有一个零点.再由定理1.8知 ${\cal F}$ 在 $D_\delta(z_0)$ 内正规.

综上所述, 及由 $z_0$ 的任意性知 ${\cal F}$ 在区域 $D$ 内正规.定理1.6证毕.

同理可证定理1.7.