本文我们考虑如下Choquard型方程

$ \begin{equation}\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta_p u+V(x)|u|^{p-2}u=\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u)\right)f(u), \quad x\in {\Bbb R}^N, \\ u\in W^{1, p}({\Bbb R}^N), \quad u>0, \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

其中, $N\geq 3$, $0 < \alpha < N$, $p$-Laplacian算子定义为

$ \Delta_p u={\rm div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right), ~~~ 1 < p < N. $

位势$V(x)$为非负连续函数, $F(t)=\int_0^tf(s){\rm d}s$为函数$f$的原函数,

$ |x|^{-\alpha}*F(u)=\int_{{\Bbb R}^N}|x-y|^{-(N-\alpha)}F(u(y)){\rm d}y. $

当$N=3$, $p=2$, $\alpha=2$且$F(u)=|u|^2$时, 方程(1.1)通常被称为稳态Choquard方程. Choquard方程描述了带电粒子与未知电磁场的相互作用, 在天体力学、量子力学、统计物理中都有广泛应用.该系统最早由Pekar^[11]在描述极化子的量子力学时提出.随后, Penrose^[12]利用此系统来描述粒子在自身重力场下的运动情况.近年来, 众多学者围绕此方程展开深刻研究, 在解的存在性、对称性以及正则性等方面取得重要进展.

当位势函数$V(x)\equiv1$时, Lieb^[4], Lions^[6-7]以及Moroz, Schaftingen^[8-11]等人利用变分理论、限制极小法等方法得到了方程(1.1)解的存在性、对称性以及正则性等重要性质.当方程带有强制位势时, 利用变分理论, Cao, Wang和Zou^[3]得到了$\alpha=2$时问题(1.1)驻波解的存在性. Schaftingen和Xia^[14]考虑了满足$\lim\limits_{|x|\rightarrow \infty}\frac{V(x)}{|x|^{\frac{N+\alpha}{p}-N}}=\infty$条件下带有强制位势的Choquard方程解的存在性, 它们将非线性项$F(u)=|u|^q$中$q$的范围由$\frac{N+\alpha}{N} < q < \frac{N+\alpha}{(N-2)_{+}}$推广至$1 < q < \frac{N+\alpha}{(N-2)_{+}}$.围绕周期位势, Ackermann^[1]利用山路引理得到了$F(u)=u^2$时方程解的存在性. Choquard型方程的相关研究可以参见文献[2, 15].最近, Moroz和Van Schaftingen围绕Choquard方程写了一篇综述, 详细介绍了Choquard型方程的最新进展^[10].

本文我们主要考虑位势满足周期性与强制性时Choquard型方程解的存在性.令${\Bbb R}^N={\Bbb R}^K\times {\Bbb R}^{N-K}\ (N\geq 3, k\geq 1)$, 位势函数可写为$V(x)=V(y, z)$, 其中$x= (y, z)$, $y\in {\Bbb R}^K$, $z\in {\Bbb R}^{N-K}$.我们假定$V(x)$为连续函数并且满足周期性和强制性, 具体而言, $V(x)$满足

$(V_1)$  存在$R>0$和$V_0>0$使得对任意$x\in {\Bbb R}^N$, $V(x)\geq 0$; 对所有$|x|>R$, $V(x)\geq V_0$;

$(V_2)$  对$y\in{\Bbb R}^K$, 一致有$\lim\limits_{|z|\rightarrow\infty} V(y, z)=\infty$;

$(V_3)$  对所有的$n_0\in {\Bbb Z}^K$, $y\in {\Bbb R}^{K}$以及$z\in {\Bbb R}^{N-K}$, 均有$V(y, z)=V(y+n_0, z)$成立.

最近, Souto和Lima^[13]研究了上述混合位势, 利用变分理论, 他们证明了$p=2$时问题(1.1)非平凡解的存在性.本文将探讨更一般的情况: $1 < p < N $时解的存在性问题.

对于非线性项$f$, 我们假定

$(f_1)$  $f$为连续函数, 且当$t>0$时, $f(t)>0$; 当$t\leq 0$时, $f(t)=0$.

$(f_2)$  存在$q_1, q_2$, 满足

$ \frac{p}{2}\left(1+\frac{\alpha}{N}\right) < q_1\leq q_2 < \frac{p^*}{2}\left(1+\frac{\alpha}{N}\right) \left(p^*=\frac{Np}{N-p}\right), $

使得$|f(t)|\leq C_0\left(|t|^{q_1-1}+|t|^{q_2-1}\right); $

$(f_3)$  存在正常数$\theta>\frac{p}{2}$, 使得当$t>0$时, $\frac{f(t)}{t^{\theta-1}}$为递增的且无界的.

注1.1  利用条件$(f_3)$, 我们得到$f(t)t-\theta F(t)$在$t>0$中单调递增且无界, 因此, 当$t>0$时, $f(t)t-\theta F(t)>0$.这表明$\frac{F(t)}{t^{\theta}}$单调递增且无界.从而我们得到对任意的$M>0$, 当$t$充分大时, 有$\frac{F(t)}{t^{\theta}}>M$.

在上述假设条件下, 我们得到如下定理.

定理1.1 若位势函数$V$满足$(V_1)-(V_3)$, 非线性项$f$满足$(f_1)-(f_3)$, 则问题(1.1)具有山路水平解.

注1.2 当$p=2$, Souto, Lima在文献[13]中考虑了问题(1.1)解的存在性.本文考虑对于一般的$1 < p < N$情形下解的存在性, 推广了文献[13]中结果.尽管我们的方法来源于文献[13], 但是在处理$p$-Laplacian和非局部项时计算将更加复杂.

在本部分, 我们列出主要注记以及将要用到的重要性质.

主要注记如下:

$\bullet$ $W^{1, p}({\Bbb R}^N)$记为带有如下乘积的Sobolev空间

$ (u|v)=\int_{{\Bbb R}^N}\left|\nabla u\right|^{p-2}\nabla u\cdot\nabla v{\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^N}\left|u\right|^{p-2}uv{\rm d}x. $

相应的范数记为$\|u\|_{W^{1, p}}^p=(u|u)$.

$\bullet$

$ \|u\|_q:=\bigg(\int_{{\Bbb R}^N}|u|^q{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{q}}. $

$\bullet$ $B_R(x)\subset{\Bbb R}^N$表示中心为$x$, 半径为$R$的球.

$\bullet$

$ E_V:=\bigg\{u\in W^{1, p}({\Bbb R}^N)\large|\int_{{\Bbb R}^N}V(x)\left|u\right|^{p}{\rm d}x < \infty\bigg\}. $

$\bullet$ 在$V(x)$的假定条件下, 我们可以得到$ W^{1, p}({\Bbb R}^N)$的子空间$E_V$带有范数

$ \|u\|=\left(\int_{{\Bbb R}^N}\left(\left|\nabla u\right|^{p}+V(x)\left|u\right|^{p}\right){\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}. $

更近一步, $E_V$连续嵌入$W^{1, p}({\Bbb R}^N)$.

关于问题(1.1)的相关能量函数可以定义为

$ \begin{equation} I(u)=\frac{1}{p}\int_{{\Bbb R}^N}\left(\left|\nabla u\right|^{p}+V(x)|u|^{p}\right){\rm d}x-\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^N\times{\Bbb R}^N}|x-y|^{-(N-\alpha)}F(u(x))F(u(y)){\rm d}x{\rm d}y. \end{equation} $

(2.1)

利用$f$的增长条件以及Hardy-Littlewood-Sobolev不等式^[5], 我们得到$I(u)$在$E_V$中适定, 且$I(u)\in C^1({\Bbb R}^N)$, 它的导数定义为

$ \begin{eqnarray} I'(u)v&=&\int_{{\Bbb R}^N}\left(\left|\nabla u\right|^{p-2}\nabla u\nabla v+V(x)|u|^{p-2}uv\right){\rm d}x\nonumber\\ &&-\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u)\right)f(u(x))v(x){\rm d}x, \quad \forall \ u, v\in E_V. \end{eqnarray} $

(2.2)

在本部分, 我们给出定理1.1的完整证明.首先我们证明能量函数$I$满足山路几何.

引理3.1  假定$0 < \alpha < N$, $V$满足$(V_1)$, $f$满足$(f_1)-(f_3)$, 则

(1) 存在$\rho$, $\delta>0$使得$I\Large|_{\|u\|=\rho}\geq \delta >0$.

(2) 存在$\phi\in E_V$以及$\|\phi\|>\rho$使得$I(\phi) < 0$.

证  参见文献[13].

根据上述结论, 由山路引理我们可以得到:存在Cerami序列$\{u_n\}\subset E_V$满足

$ I(u_n)\rightarrow C_V, \quad I'(u_n)u_n\rightarrow 0, $

其中

$ C_V=\inf\limits_{\alpha\in\Gamma}\max\limits_{t\in[0, 1]}I(\alpha(t)), $

$ \Gamma=\{\alpha\in C([0, 1], E_V)\large|\alpha(0)=0, I(\alpha(1)) < 0\}. $

另外, 我们可以证明

引理3.2  若$\{u_n\}\subset E_V$, $\|u_n\|\rightarrow \infty$且$I(u_n)$有界, 令$w_n=\frac{u_n}{\|u\|}$, 则在$E_V$中, $w_n\rightharpoonup w $, 在${\Bbb R}^N$中几乎处处满足$w\leq 0$.

证  参见文献[13].

更进一步, 我们可以证明

引理3.3  若$\{u_n\}\subset E_V$满足$I(u_n)\rightarrow C_V$, $I'(u_n)(u_n)\rightarrow 0$, 那么, $\{u_n\}$在$E_V$中有界.

证  假设上述结论不成立, 那么$\|u_n\|\rightarrow \infty$.令$w_n=\frac{u_n}{\|u_n\|}$, 由于$\|w_n\|=1$, 利用引理3.2, 我们可以假定在$E_V$中, $w_n\rightharpoonup w$并且$w\leq 0$.根据Lion引理我们得到, 下面两种情形之一成立:

(A); 存在$x_n=(y_n, z_n)\in {\Bbb R}^N$以及$\rho$, $R>0$使得

$ \int_{B_R(x_n)}|w_n|^p{\rm d}x\geq \rho>0; $

或者

(B) $w_n\rightarrow 0$, 在$L^q({\Bbb R}^N)$ ($p < q < p^*$)中.

若情形(A)出现, 我们可以进一步得到$\{z_n\}$在${\Bbb R}^{N-K}$中有界.即:存在常数$R_0>0$使得$|z_n|\leq R_0$.事实上, 若$\{z_n\}$不是有界的, 那么当$n\rightarrow \infty$时, 对于任意的$x=(y, z)\in B_R(y_n, z_n)$, 我们有$|x|\rightarrow \infty$.从而对于$x\in B_R(y_n, z_n)$以及充分大的$n$, 我们有$V(x)> \frac{1}{\rho}$.因此

$ \begin{eqnarray*} 0 < \rho\leq \int_{B_R(y_n, z_n)}|w_n|^p{\rm d}x < \rho\int_{B_R(y_n, z_n)}V(x)|w_n|^p{\rm d}x\leq \rho, \end{eqnarray*} $

这是矛盾的.利用$(z_n)$的有界性, 我们得到存在$R_0>0$使得$B_R(y_n, z_n)\subset B_{R+R_0}(y_n, 0)$.因此, 我们可以选择$\bar{y_n}\in {\Bbb Z}^K$使得$|\bar{y}_n-y_n|\leq \sqrt{K}$, 从而$B_R(y_n, z_n)\subset B_{R+R_0}(y_n, 0)\subset B_{R+R_0+\sqrt{K}}(\bar{y}_n, 0)$.因此, 令$\bar{R}=R+R_0+\sqrt{K}$, 那么

$ \int_{B_{\bar{R}}(\bar{y}_n, 0)}|w_n|^p{\rm d}x\geq \rho>0; $

定义$\tilde{w}_n(x)=w_n(x+x_n)$, $x_n=(\bar{y}_n, 0)$, 那么$\|\tilde{w}_n\|=\|w_n\|$, $\tilde{w}_n$在$E_V$中有界.因此在$E_V$中, $\tilde{w}_n\rightharpoonup \tilde{w}$.由于

$ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{B_R(0)}\tilde{w}_n^p{\rm d}x=\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{B_R(x_n)}w_n^p{\rm d}x>\rho, $

我们得到$\tilde{w}\neq 0$.因为$I(u_n)\rightarrow C_V$, 利用$\|u_n\|\rightarrow \infty$可以得到

$ \begin{equation} \frac{\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u_n)\right)F(u_n){\rm d}x}{\|u_n\|^p}=\frac{2}{p}+o_n(1). \end{equation} $

(3.1)

令

$ G_n:=\{x\in{\Bbb R}^N\large|u_n(x+x_n)\geq \delta\}, $

根据条件$(f_3)$, 我们得到$\frac{F(t)}{t^{\frac{p}{2}}}$为单调递增且无界, 因此, 对任意的$M>0$, 存在$t_0>\delta>0$使得

$ \frac{F(t)}{t^{\frac{p}{2}}}>M, \quad\mbox{对所有的} \quad t>t_0. $

而对于任一$x\in G_n$以及充分大的$n$, 利用$u_n(x+x_n)=\|u_n\|w_n(x+x_n)=\|u_n\|\tilde{w}_n$, $\|u_n\|\rightarrow \infty$以及$\tilde{w}_n(x)\rightarrow \tilde{w}(x)\neq 0$, 我们得到$u_n(x+x_n)>t_0$.更进一步, 存在某个$R>0$, 使得对于充分大的$n$, 有$B_R(0)\subset G_n$.因此我们得到对充分大的$n$, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u_n)\right)F(u_n){\rm d}x}{\|u_n\|^p}\\ &=&\int_{{\Bbb R}^N\times{\Bbb R}^N}|x-y|^{-(N-\alpha)}\frac{F(u_n(y+x_n))}{u_n(y+x_n)^{\frac{p}{2}}}w_n^{\frac{p}{2}}(y+x_n)\frac{F(u_n(x+x_n))}{u_n(x+x_n)^{\frac{p}{2}}}w_n^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x{\rm d}y\\ &\geq& M^2\int_{B_R(0)\times B_R(0)}|x-y|^{-(N-\alpha)}\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(y)\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x{\rm d}y. \end{eqnarray*} $

因此, 利用(3.1)式我们得到对于充分大的$n$, 有

$ \begin{eqnarray*} M^2\int_{B_R(0)\times B_R(0)}|x-y|^{-(N-\alpha)}\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(y)\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x{\rm d}y\leq \frac{2}{p}+o_n(1), \end{eqnarray*} $

这表明

$ \begin{eqnarray*} \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}M^2\int_{B_R(0)\times B_R(0)}|x-y|^{-(N-\alpha)}\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(y)\tilde{w}_n^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x{\rm d}y\leq \frac{2}{p}+o_n(1), \end{eqnarray*} $

因此, 利用Fatou引理, 我们得到

$ \begin{eqnarray*} M^2\int_{B_R(0)\times B_R(0)}|x-y|^{-(N-\alpha)}\tilde{w}^{\frac{p}{2}}(y)\tilde{w}^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x{\rm d}y\leq \frac{2}{p}+o_n(1). \end{eqnarray*} $

从而存在常数$C>0$使得对任意的$M>0$, 有

$ \begin{eqnarray*} CM^2\left(\int_{B_R(0)}\tilde{w}^{\frac{p}{2}}(x){\rm d}x\right)^2\leq \frac{2}{p}+o_n(1), \end{eqnarray*} $

这是矛盾的, 因此情形(A)不成立.若情形(B)成立, 我们有

$ \int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(Rw_n)\right)F(Rw_n){\rm d}x\rightarrow \int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(Rw)\right)F(Rw){\rm d}x=0, $

我们知道对任意的$n\in {\Bbb N}$, 存在$t_n\in [0, 1]$使得

$ I(t_nu_n)=\max\limits_{s\in [0, 1]}I(su_n). $

下面我们证明$t_n\in (0, 1)$.

事实上, 给定$R>0$, 我们得到对充分大的$n$, $\frac{R}{\|u_n\|}\in (0, 1)$, 那么

$ \begin{eqnarray*} I(t_nu_n)&\geq& I\left(\frac{R}{\|u_n\|}u_n\right)=I(Rw_n)\\ &=&\frac{R^p}{p}-\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(Rw_n)\right)F(Rw_n){\rm d}x. \end{eqnarray*} $

因此$I(t_nu_n)\geq \frac{R^p}{p}+o_n(1)$, 这表明$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}I(t_nu_n)=\infty$.从而, 根据$I(0)=0$以及$I(u_n)=C_V$可以得到$t_n\in (0, 1)$.

因此

$ \begin{eqnarray*} 2qI(u_n)& < &2qI(t_nu_n)=2qI(t_nu_n)-I'(t_nu_n)t_nu_n\\ &=&\left(\frac{2q}{p}-1\right)t_n^p\|u_n\|^p-\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(t_nu_n)\right)[qF(t_nu_n)-f(t_nu_n)t_nu_n]{\rm d}x\\ &\leq& \left(\frac{2q}{p}-1\right)\|u_n\|^p-\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u_n)\right)[qF(u_n)-f(u_n)u_n]{\rm d}x\\ &=&2qI(u_n)-I'(u_n)u_n=2qI(u_n)+o_n(1), \end{eqnarray*} $

这是矛盾的, 情形$(B)$不成立, 我们得到$\{u_n\}$有界.

因此, 在$E_V$中, $u_n\rightharpoonup u$并且$I'(u)=0$.另外, 根据Lions引理以及引理3.3的证明, 我们得到

存在$y_n\in {\Bbb Z}^K$以及$\rho>0$, $R>0$使得

$ \begin{equation} \int_{B_R(y_n, 0)}|u_n|^p{\rm d}x\geq \rho>0; \end{equation} $

(3.2)

为了得到非平凡解, 我们定义$w_n(y, z)=u_n(y+y_n, z)$, 那么$\|w_n\|=\|u_n\|$, 从而在$E_V$中, $w_n\rightharpoonup w$.结合不等式(3.2), 我们得到$w\neq 0$.

下面我们证明$w$为$I$的临界点.事实上, 根据定义我们有

$ \begin{eqnarray*} I(w_n)&=&\frac{1}{p}\|w_n\|^p-\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(w_n)\right)F(w_n){\rm d}x\\ &=&\frac{1}{p}\|u_n\|^p-\frac{1}{2}\int_{{\Bbb R}^N}\left(|x|^{-(N-\alpha)}*F(u_n)\right)F(u_n){\rm d}x\\ &=&I(u_n)\rightarrow C_V, \end{eqnarray*} $

同时, 对任意的$\varphi\in E_V$, 有

$ \begin{eqnarray*} |I'(w_n)\varphi|\leq |I'(u_n)\varphi|\leq |I'(u_n)||\varphi|\rightarrow 0. \end{eqnarray*} $

因此, $w$为$I$的非平凡临界点.更进一步, 我们可以得到$w$为山路水平解(证明参见文献[13]).从而定理1.1得到证明.