本文研究了以下一般边界条件下具结构化的细菌种群模型

$ \begin{equation} \frac{\partial\psi}{\partial t}(u, v, t)=-h(v)\frac{\partial\psi} {\partial u}(u, v, t)-\sigma(u, v)\psi(u, v, t) +\int_{a}^{b}r(u, v, v')\psi(u, v', t){\rm d}v'. \end{equation} $

(1.1)

其中$h(v)$表示速度权重因子, $\psi(u, v, t)$表示由细菌成熟度$u\in(0, 1)$和细菌成熟速度$v\in(a, b)$在时间$t$构成的细菌密度函数; $r(u, v, v')$表示细菌成熟速度从$v'$到$v$改变时的转变速率, $\sigma(u, v)$为总转变截面, 且

$ \sigma(u, v)=\int_{a}^{b}r(u, v', v){\rm d}v'. $

在生物学上, 每一有丝分裂时, 子细菌被看成种群细菌的一部分, 它们之间存在相互关系$k(u, v, v')$, 在数学上表示为下列一般边界条件

$ \begin{equation} \psi(0, v)=\alpha\psi(1, v)+\frac{p}{h(v)}\int^{b}_{a}\int^{1}_{0}k(u, v, v') \psi(u', v', t){\rm d}u'{\rm d}v'. \end{equation} $

(1.2)

这里常数$\alpha, p\geq0$表示每一有丝分裂子细菌的平均数.

模型(1.1)是由Boulanouar在文献[1-2]中提出的一类具结构化的细菌种群模型, 它是以细菌的成熟度和成熟速度为特征提出的另一类迁移方程.近年来, 关于这类模型的迁移方程研究较少.文献[1-2]仅在$\alpha=0$的边界条件下, 分别得到了该模型相应的迁移算子生成正不可约$C_0$半群和讨论了该模型生成半群的渐近行为等结果.文献[3-10]仅对速度权重因子$h(v)=v$特殊情况的种群细胞增生模型进行了研究, 其中文献[3]在$\sigma(u, v)=0$和$r(u, v, v')=0$的情况下, 讨论了这类种群细胞增生模型生成半群的渐近行为等; 文献[4-5]在$\alpha=0$的边界条件下, 分别讨论了这类模型生成正不可约$C_0$半群和该迁移半群的渐近行为等; 文献[6-7]也在$\alpha=0$边界条件下, 分别讨论了另一类种群细菌增生模型生成正不可约$C_0$半群和该迁移半群的渐近行为等; 文献[8-9]在$L^p\ (1\leq p < \infty)$空间, 分别在$\alpha=0$和$\alpha\neq 0$的边界条件下, 都获得了该模型相应的迁移算子的谱在某右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果; 文献[10]对这类种群细胞增生模型在一般边界条件下, 证明了该生成半群的Dyson-Phillips展式的9阶余项$R_9(t)$在$L^1$空间上是弱紧的和在$L^{p}\ (1 < p < +\infty)$空间上是紧的, 从而获得了该迁移算子的谱在某右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果.但是对这类具结构化的细菌种群模型在一般边界条件下的情况如何?目前还未见研究成果.本文在$L^1$空间上对该具结构化的细菌种群模型进行了研究, 讨论了该模型生成的正$C_0$迁移半群是不可约的和迁移算子的谱分析, 得到了该迁移方程的解在一致拓扑意义下的渐近行为, 从而给出了该细菌种群的异步生长特性等结果.

设

$ X=L^1(\Omega)(\Omega=(0, 1)\times(a, b)=I\times J, 0\leq a < b\leq \infty) $

和索伯列夫空间

$ W =\Big \{\psi\in X|h(v)\frac{\partial\psi}{\partial u}\in X\Big\}. $

它们分别按范数

$ \|\psi\|=\int_{\Omega}|\psi(u, v)|{\rm d}u{\rm d}v=\int_a^b\int_0^{1}|\psi(u, v)|{\rm d}u{\rm d}v $

和

$ \|\varphi\|_{W}=\|\varphi\|+\Big\|h(v)\frac{\partial\varphi}{\partial u}\Big\| $

构成Banach空间, 且定义$Y=L^1(J, h(v){\rm d}v)$为迹空间, 其范数为

$ \|\varphi\|_{Y}=\int_a^{b}|\varphi(v)|h(v){\rm d}v. $

边界空间为

$ X^{0} = L^{1} (\{0\}\times(a, b);h(v){\rm d}v); X^{1} = L^{1} (\{1\}\times(a, b);h(v){\rm d}v). $

其中$h(v)$为有界可测函数.假设

$ (A_{h}^{1}) h\geq h(v)>0;$

$(A_{k}^{1}) \overline{k}={ess}\sup\{\int_a^b|k(u', v, v')|{\rm d}v:(u', v')\in\Omega\} < \infty;$

$(A_{k}^{'1}) \overline{k}(v)={ess}\sup\{|k(u', v, v')|:(u', v')\in\Omega\}\in X;$

$(A_{k}^{2}) k(u, v, v')>0, (u, v, v')\in \Omega\times J, $ a.e..

其中$h$是实数.显然假设$(A_{k}^{'1})$是比$(A_{k}^{1})$更强.设$(T(t))_{t\geq 0}$是Banach空间$X$上的$C_0$半群, $B$是它的母元, 半群$(T(t))_{t\geq 0}$的型和本质型分别定义为^[5]

$ \begin{equation} \omega(T(t))=\lim\limits_{t \rightarrow \infty}\frac{\ln\|T(t)\|}{t}; \omega_{ess}(T(t))=\lim\limits_{t \rightarrow \infty}\frac{\ln\|T(t)\|_{ess}}{t}. \end{equation} $

(1.3)

其中$\|\cdot\|_{ess}$是Calkin代数$L(X)/K(X)$上的本质范数, $L(X)$表示$X$上所有紧算子, $K(X)$表示$L(X)$的双边闭理想, 且有

$ \begin{equation} \omega_{ess}(T(t))\leq \omega(T(t)); r_{ess}(T(t))= {\rm e}^{\omega_{ess}(T(t))t}, \forall t\geq 0. \end{equation} $

(1.4)

注意$\|C\|_{ess}=0$当且仅当$C$是紧算子.母元$B$的谱界$s(B)$定义为

$ \begin{equation} s(B)=\left\{ \begin{array}{ll} \sup\{{\rm Re}(\lambda): \lambda\in \sigma(B)\}, &{\rm if} \sigma(B)\neq \emptyset, \\-\infty, &{\rm if} \sigma(B)= \emptyset. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.5)

当$X=L^p(1\leq p < \infty)$时, 则^[11]

$ \begin{equation} \omega(T(t))=s(B). \end{equation} $

(1.6)

引理1.1 ^{[12, Lemma 1.1]}  设$(T(t))_{t\geq 0}$是Banach格空间$X$上的不可约正$C_0$半群, 且有$\omega_{ess}(T(t)) < \omega(T(t))$, 则在$X$上存在秩1投影算子$P$和$\varepsilon>0$, 使得$\forall \eta\in(0, \varepsilon)$, 存在$M(\eta)\geq 1$, 有

$ \parallel {\rm e}^{-\omega(T(t))t}T(t)-P\parallel_{L(X)}\leq M(\eta){\rm e}^{-\eta t}, t\geq 0. $

引理1.2 ^{[2, Lemma 2.1]}  设$S$和$T$是$L^1(\Omega)$上的有界算子,

1) 若$S$和$T$是弱紧算子, 则$ST$是紧算子;

2) 若$T$是弱紧算子和$0\leq S\leq T$, 则$S$也是弱紧算子;

3) 若$T$是弱紧算子和$0\leq |S|\leq T$, 则$S$也是弱紧算子.

引理1.3 ^{[2, Lemma 2.3]}  设$A$和$A+B$是$X $上$C_0$半群$(T(t))_{t\geq 0}$和$(U(t))_{t\geq 0}$的生成元, $B$是$X$上的有界算子.若$BT(t)B $是弱紧算子, 则$ \omega_{ess}(U(t))=\omega_{ess}(T(t))$.

定义下列边界算子

$ \begin{equation} H_{\alpha, 0}\varphi=\alpha\varphi, H_{0, p}\varphi =\frac{p}{h(v)}\int_0^1\int_{a}^{b}k(u', \cdot, v')\varphi(u', v'){\rm d}u'{\rm d}v', H_{\alpha, p}=H_{\alpha, 0}+H_{0, p}. \end{equation} $

(1.7)

则$ H_{\alpha, 0}, H_{0, p}$和$H_{\alpha, p} $都是正算子, 且^[12]

$ \begin{equation} \|H_{\alpha, p}\|_{L(Y)}=\alpha+p. \end{equation} $

(1.8)

设

$ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} T_{\alpha, p} \varphi(u, v)=-h(v)\frac{\partial\varphi(u, v)}{\partial u}, \\[2mm] D(T_{\alpha, p})=\{\varphi\in W : \gamma_0\varphi=H_{\alpha, p}\gamma_1\varphi\}. \end{array} \right. \end{equation} $

(2.1)

若$ \alpha=p=0$, 则算子$T_{0, 0}$在$X $上产生一个正$C_0 $半群为^[2]

$ \begin{equation} U_{0, 0}(t)\varphi(u, v)=\chi(u, h(v), t)\varphi(u-th(v), v), \end{equation} $

(2.2)

$ \chi (u,y,t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{{\rm{if}}\;\;ty \le u,}\\ {0,}&{{\rm{if}}\;ty > u.} \end{array}} \right. $

类似于文献[3, Theorem 2.2; Theorem 3.1]的证明即可得

引理2.1   假设$(A_h)(A_{k}^{1})$成立, 则算子$ T_{\alpha, p}$在$X$上产生一个正$ C_0$半群

$ \begin{equation} U_{\alpha, p}(t)=U_{0, 0}(t)+B_{\alpha, p}(t) \end{equation} $

(2.3)

和

$ \begin{equation} \parallel U_{\alpha, p}(t)\parallel_{L(X)}\leq\max\{1, \alpha+p\} {\rm e}^{t\omega_{\alpha, p}}, t\geq 0, \end{equation} $

(2.4)

其中$\omega_{\alpha, p}=\max\{0, h\ln(\alpha+p)\} $.

$ \begin{equation} B_{\alpha, p}(t)\varphi(u, v) =\xi (u, h(v), t)H_{\alpha, p} \Big[\gamma_1U_{\alpha, p}\Big(t-\frac{u}{h(v)}\Big)\varphi\Big](v). \end{equation} $

(2.5)

$ \xi (u,y,t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{{\rm{if}}\;ty > u,}\\ {0,}&{{\rm{if}}\;ty \le u.} \end{array}} \right. $

定义算子

$ \begin{equation} S\varphi(u, v)=-\sigma(u, v)\varphi(u, v). \end{equation} $

(2.6)

$ \begin{equation} B_{\alpha, p}=T_{\alpha, p}+S, D(B_{\alpha, p})=D(T_{\alpha, p}). \end{equation} $

(2.7)

则$S$是$X $上的有界算子, 且根据扰动定理^[13]可知

引理2.2   若假设$(A_h)(A_{k}^{1}) $被满足, 则算子$ B_{\alpha, p}$在$ X$上产生一个正$C_0 $半群$(V_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0} $, 且有

$ \begin{equation} \parallel V_{\alpha, p}(t)\parallel_{L(X)}\leq \max\{1, \alpha+p\} {\rm e}^{t(\omega_{\alpha, p}-\underline{\sigma})}, t\geq 0. \end{equation} $

(2.8)

其中$\underline{\sigma}=ess\inf\{\sigma(u, v): (u, v)\in \Omega\}$.若$0\leq \alpha <1$, 则

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} \omega_{ess}(V_{\alpha, 0}(t))\leq -\underline{\sigma}. \end{array} \end{equation} $

(2.9)

假设

$ \begin{equation} \begin{array}{l} (A_{r}^{1})~~ \overline{r}=ess\sup\limits_{(u, v)\in \Omega}\int_{a}^{b}|r(u, v, v')|{\rm d}v' < \infty; \\[2mm] (A_{r}^{2})~~ r(u, v, v')>0, ~~\forall\ {\rm a.e}~~ r(u, v, v')\in \Omega \times J. \end{array} \end{equation} $

(2.10)

定义

$ P_{r}\varphi=\int_a^b r(u, v, v')\varphi(u, v', t){\rm d}v'. $

则$P_{r}$是$X$上的有界算子, 且迁移算子$A_{\alpha, p}$定义为

$ \begin{equation} A_{\alpha, p}=B_{\alpha, p}+P_{r}, ~~~~ D(A_{\alpha, p})=D(B_{\alpha, p}). \end{equation} $

(2.11)

根据引理2.2和扰动定理^[13]知

引理2.3  假设$(A_h)(A_{k}^{1})(A_{r}^{1})$成立, 则迁移算子$A_{\alpha, p}$在$X$上产生一个正$C_0$半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$, 且

$ \begin{equation} \begin{array}{ll} \parallel W_{\alpha, p}(t)\parallel_{L(X)}\leq \max\{1, \alpha+p\} {\rm e}^{t(\omega_{\alpha, p}-\underline{\sigma}+\overline{r})}, ~~t\geq 0. \end{array} \end{equation} $

(2.12)

定理2.4   假设$(A_h)(A_{k}^{1})(A_{r}^{1})$成立, $\forall \alpha, \alpha'\geq 0, ~~p, p'\geq 0$, 若$\alpha\geq\alpha', ~p\geq p'$, 则

$ \begin{equation} W_{\alpha, p}(t)\geq W_{\alpha', p'}(t), ~~t\geq 0 \end{equation} $

(2.13)

和

$ \begin{equation} V_{\alpha, p}(t) \leq W_{\alpha, p}(t) \leq {\rm e}^{\overline{r}t}V_{\alpha, p}(t), ~~~~t\geq 0. \end{equation} $

(2.14)

从而正半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$是不可约的.

证  设$t\geq 0, g\in (X)_{+}$, 则由文献[3, Lemma 4.3, Theorem 4.1]知

$ \begin{equation} U_{\alpha, p}(t) g\geq U_{\alpha', p'}(t) g \end{equation} $

(2.15)

和$(U_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$是不可约的.若$\forall n\geq 1$, 则

$ \Big[{\rm e}^{-\frac{t}{n}\sigma}U_{\alpha, p}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g\geq \Big[{\rm e}^{-\frac{t}{n}\sigma} U_{\alpha', p'}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g, ~~~~t\geq 0. $

在上式两边令$n\rightarrow \infty$, 由Trotter公式^[13]知

$ \begin{equation} V_{\alpha, p}(t) g\geq V_{\alpha', p'}(t) g, ~~~~t\geq 0. \end{equation} $

(2.16)

又因为

$ {\rm e}^{-\overline{\sigma}t}U_{\alpha, p}(t) g\leq \Big[{\rm e}^{-\frac{t}{n}\sigma}U_{\alpha, p}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g \leq U_{\alpha, p}(t) g, ~~~~t\geq 0. $

其中$\overline{\sigma}=ess\sup\{\sigma(u, v): (u, v)\in \Omega\}$.则由Trotter公式^[13]和引理1.2即知

$ \begin{equation} {\rm e}^{-\overline{\sigma}t}U_{\alpha, p}(t) \leq V_{\alpha, p}(t) \leq U_{\alpha, p}(t), ~~~~t\geq 0 \end{equation} $

(2.17)

和$(V_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$是不可约的.若$\forall n\geq 1$, 则由(2.16)式知

$ \Big[{\rm e}^{\frac{t}{n}P_{r}}V_{\alpha, p}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g\geq \Big [{\rm e}^{\frac{t}{n}P_{r}} V_{\alpha', p'}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g, ~~~~t\geq 0. $

在上式两边令$n\rightarrow \infty$, 由Trotter公式^[13]知(2.13)式成立.因为

$ V_{\alpha, p}(t) g\leq\Big[{\rm e}^{\frac{t}{n}P_{r}}V_{\alpha, p}\Big(\frac{t}{n}\Big)\Big]^n g \leq {\rm e}^{\overline{r}t}V_{\alpha, p}(t) g, ~~~~t\geq 0, $

则由Trotter公式^[13]知(2.14)式成立.从而由引理1.2知:正半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$的不可约性.从而本定理获证.

令

$ \begin{equation} H_{\alpha, p, \lambda}=\gamma_1\theta_{\lambda} H_{\alpha, p}. \end{equation} $

(2.18)

其中$\theta_{\lambda}(v)={\rm e}^{-\frac{\lambda }{h(v)}}$.则

$ \begin{equation} H_{\alpha, p, \lambda}= H_{\alpha, 0, \lambda}+H_{0, p, \lambda}. \end{equation} $

(2.19)

定义算子

$ \begin{equation} L_{\alpha, p, \lambda}=(I-H_{\alpha, 0, \lambda})^{-1}H_{0, p, \lambda}. \end{equation} $

(2.20)

则

$ \begin{equation} L_{\alpha, p, \lambda}=\Theta_{\alpha, p, \lambda}H_{0, 1}, \end{equation} $

(2.21)

其中$\Theta_{\alpha, p, \lambda}(v)=\frac{p}{{\rm e}^{\frac{\lambda}{ h(v)}}-\alpha}$.

引理2.5  假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 若$0 < 1-\alpha < p$, 则$L_{\alpha, p, \lambda}$是$Y$上的正弱紧算子, 且

$ \begin{equation} r(L_{\alpha, p, 0})=\frac{p}{1-\alpha}>1 \end{equation} $

(2.22)

和

$ \begin{equation} \lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}r(L_{\alpha, p, \lambda})=0. \end{equation} $

(2.23)

证  设$\lambda\geq 0$, 当$\alpha < 1$时, 则$0\leq \alpha {\rm e}^{-\frac{\lambda}{h(v)}} < 1$.令$\psi\in (Y)_{+}$, 则

$ L_{\alpha, p, \lambda}\psi(v)\leq\frac{p\overline{k}(v)}{(1-\alpha)h(v)}\int_a^b\psi(v'){\rm d}v'. $

因为

$ \frac{p}{1-\alpha}\int_a^b\frac{\overline{k}(v)}{h(v)}h(v){\rm d}v=\frac{p}{1-\alpha}\|\overline{k}\|_{Y} < +\infty. $

所以$\frac{\overline{k}(v)}{h(v)}$是秩1算子, 从而知$L_{\alpha, p, \lambda}$是$Y$上的正弱紧算子.又因为

$ \|L_{\alpha, p, 0}\psi\|_{Y}=\frac{p}{1-\alpha}\|\psi\|_{Y}. $

则

$ \|L_{\alpha, p, 0}^n\|_{L(Y)}=\Big[\frac{p}{1-\alpha}\Big]^{n}. $

所以

$ r(L_{\alpha, p, 0})=\frac{p}{1-\alpha}>1. $

另一方面, 由于

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}r(L_{\alpha, p, \lambda}) &\leq&\lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}\|(I-H_{\alpha, 0, \lambda})^{-1}H_{0, p, \lambda}\|_{L(Y)} \\ &\leq& p\lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}\frac{1}{1-\alpha {\rm e}^{-\frac{\lambda}{h}}} \lim\limits_{\lambda \rightarrow \infty}{\rm e}^{-\frac{\lambda}{h}}=0. \end{eqnarray*} $

所以本引理获证.

引理2.6  假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 若$0\leq\alpha < 1$, 则

$ \begin{equation} \lambda\in\sigma(T_{\alpha, p})\Rightarrow 1\in\sigma_p(L^2_{\alpha, p, \lambda}). \end{equation} $

(2.24)

证  设$1\in \rho(L_{\alpha, p, \lambda})$, 则$\forall g\in Y$, 方程

$ \psi=L_{\alpha, p, \lambda}\psi+(I-H_{\alpha, 0, \lambda})^{-1}\gamma_1(\lambda-T_{0, 0})^{-1}g $

有唯一解$\psi\in Y$, 所以$\psi$也是方程

$ \psi=H_{\alpha, p, \lambda}\psi+\gamma_1(\lambda-T_{0, 0})^{-1}g $

唯一解.由于$\forall\lambda> \max\{0, h \ln(\alpha+p)\}$, 则

$ \|H_{\alpha, p, \lambda}\|_{L(y)}\leq (\alpha+p){\rm e}^{-\frac{\lambda}{h}} < 1. $

所以

$ \begin{equation} \psi=(I-H_{\alpha, p, \lambda})^{-1}\gamma_1(\lambda-T_{0, 0})^{-1}g. \end{equation} $

(2.25)

令

$ \varphi=\theta(u, v)\psi+(\lambda-T_{0, 0})^{-1}g, $

其中$\theta(u, v)={\rm e}^{-\frac{\lambda u}{h(v)}}$, $\psi$为(2.25)式, 则$\varphi\in D(T_{\alpha, p})$.所以方程

$ (\lambda-T_{\alpha, p})\varphi=g $

有唯一解$\psi\in Y$.故$\lambda\in \rho(T_{\alpha, p})$.因为$L_{\alpha, p, \lambda}^2$是紧算子, 则由谱映象定理知

$ 1\in [\sigma(L_{\alpha, p, \lambda})]^2=\sigma(L_{\alpha, p, \lambda}^2)=\sigma_p(L_{\alpha, p, \lambda}^2). $

所以本引理获证.

定理2.7  假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 若$0 < 1-\alpha < p$, 则$r(L_{\alpha, p, \lambda})$是一个严格递减的连续函数, 且

$ \begin{equation} \omega(U_{\alpha, p}(t))>0, ~~~~r(L_{\alpha, p, \omega(U_{\alpha, p})})=1. \end{equation} $

(2.26)

证  由引理2.5知: $L^2_{\alpha, p, \lambda}$是$Y$上正紧算子, 根据文献[14], 谱半径$r(L_{\alpha, p, \lambda})>0$是$L_{\alpha, p, \lambda}$的一个简单本征值, 根据文献[15, Chap. Ⅶ. 6. Theo. 9]知: $r(L_{\alpha, p, \lambda})$是$\lambda(\lambda>\mu\geq 0)$的连续函数.由(2.21)式知

$ \begin{eqnarray} L_{\alpha, p, \lambda}\varphi(v)&=&\frac{p{\rm e}^{-\frac{\lambda}{h(v)}}}{1-\alpha {\rm e}^{-\frac{\lambda}{h(v)}}}H_{0, 1}\varphi(v) \\ &\leq& \frac{p{\rm e}^{-\frac{\mu}{h(v)}}}{1-\alpha {\rm e}^{-\frac{\mu}{h(v)}}}{\rm e}^{\frac{\mu-\lambda}{h(v)}}H_{0, 1}\varphi(v) \\ &\leq&{\rm e}^{\frac{\mu-\lambda}{h}}L_{\alpha, p, \mu}\varphi(v), ~~ \forall\varphi\in (Y_1)_{+}, \end{eqnarray} $

(2.27)

则

$ L_{\alpha, p, \lambda}\leq {\rm e}^{\frac{\mu-\lambda}{h}}L_{\alpha, p, \mu}. $

从而

$ r(L_{\alpha, p, \lambda})\leq {\rm e}^{\frac{\mu-\lambda}{b}}r(L_{\alpha, p, \mu}) < r(L_{\alpha, p, \mu}). $

故$r(L_{\alpha, p, \lambda})$是严格递减连续函数.又由(2.22)式和(2.23)式, 存在唯一$\lambda_0>0$, 使得

$ \begin{equation} r(L_{\alpha, p, \lambda_0})=1. \end{equation} $

(2.28)

若$\lambda\in\sigma(T_{\alpha, p})\bigcap C_+$, 由引理2.6, 存在$\psi\neq 0$, 使得$L^2_{\alpha, p, \lambda}\psi=\psi$.从而, 由(2.21)式知

$ L_{\alpha, p, {\rm Re}\lambda}|\psi|\geq \mid L_{\alpha, p, \lambda}\psi\mid. $

则

$ \begin{equation} |\psi|=\mid L_{\alpha, p, \lambda}^2\psi\mid\leq L_{\alpha, p, {\rm Re}\lambda}^2\mid\psi\mid. \end{equation} $

(2.29)

所以$\forall n\geq 1$, 有$L_{\alpha, p, {\rm Re}\lambda}^{2n}\geq 1$.因此

$ r(L_{\alpha, p, {\rm Re}\lambda})\geq 1. $

因为$r(L_{\alpha, p, \lambda})$是严格退减的, 则Re$\lambda\leq \lambda_0$, 且

$ \begin{equation} s(T_{\alpha, p})\leq \lambda_0. \end{equation} $

(2.30)

反过来, 因为$r(L_{\alpha, p, \lambda_0})=1$, 由引理2.5和文献[16, Prop. 2.1; 14], 则存在$\psi_{\lambda_0}\in( Y)_{+}$和$\psi_{\lambda_0}\neq 0$, 使得$L_{\alpha, p, \lambda_0}\psi_{\lambda_0}=\psi_{\lambda_0}$, 且

$ \begin{equation} \psi_{\lambda_0}=H_{0, p, \lambda_0}\psi_{\lambda_0}+H_{\alpha, 0, \lambda_0}\psi_{\lambda_0}=H_{\alpha, p, \lambda_0}\psi_{\lambda_0}. \end{equation} $

(2.31)

令$\varphi=\theta_{\lambda_0}H_{\alpha, p}\psi_{\lambda_0}$, 则

$ -h(v)\frac{\partial\varphi}{\partial u}=\lambda_0\varphi. $

由(2.28)式和(2.15)式知

$ \begin{eqnarray*} \gamma_0\varphi&=&H_{\alpha, p}\psi_{\lambda_0} =H_{\alpha, p}[H_{\alpha, p, \lambda_0}\psi_{\lambda_0}]=H_{\alpha, p} [(\gamma_1\theta_{\lambda_0})H_{\alpha, p}\psi_{\lambda_0}]\\ &=&H_{\alpha, p}\gamma_1[\theta_{\lambda_0}H_{\alpha, p}\psi_{\lambda_0}] =H_{\alpha, p}(\gamma_1\varphi). \end{eqnarray*} $

则

$ \lambda_0\in \sigma_p(T_{\alpha, p})\subset \sigma(T_{\alpha, p}). $

从而

$ \begin{equation} \lambda_0\leq s(T_{\alpha, p}). \end{equation} $

(2.32)

所以, 由(2.30)式和(2.32)式知$s(T_{\alpha, p})=\lambda_0>0$.根据(2.4)式知$\omega(U_{\alpha, p})=s(T_{\alpha, p})$.故$\omega(U_{\alpha, p})=\lambda_0>0$.从而本定理获证.

在本节讨论半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$的渐近行为.首先计算半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$的本质谱型.所以, 先考虑以下结果.

定理3.1  假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 则$\forall t:0 < t < b^{-1}$, $s\geq 0$, $B_{0, p}(t)U_{\alpha, 0}(s)B_{0, p}(t)$是$X$上的弱紧算子.

证  由(2.5)式, (2.6)式和(1.7)式知

$ U_{\alpha, p}(t)=U_{0, 0}(t)+B_{\alpha, p}(t)=U_{0, 0}(t)+B_{\alpha, 0}(t)+B_{0, p}(t)=U_{\alpha, 0}(t)+B_{0, p}(t). $

其中

$ U_{\alpha, 0}(t)=U_{0, 0}(t)+B_{\alpha, 0}(t); $

$ B_{\alpha, 0}(t)=\xi (u, h(v), t)H_{\alpha, 0}\Big[\gamma_1U_{0, 0}\Big(t-\frac{u}{h(v)}\Big)\Big]; $

$ B_{0, p}(t)=\xi (u, h(v), t)H_{0, p}\Big[\gamma_1U_{0, 0}\Big(t-\frac{u}{h(v)}\Big)\Big]. $

因为$U_{0, 0}(s)$为$X$上的有界算子, 且

$ |B_{\alpha, 0}(s)\varphi|\leq \alpha(1+\alpha) \xi(u, h(v), t){\rm e}^{t(1+h\ln\alpha)} < \infty. $

即$B_{\alpha, 0}(s)$也是$X$上的有界算子, 所以欲证本定理成立, 只需证$B_{0, p}(t)$是$X$上的弱紧算子即可.事实上, 因为

$ \begin{eqnarray} B_{0, p}(t)\varphi(u, v)&\leq& \frac{p}{h(v)}\xi(u, h(v), t)\\ &&\times\int_a^b\int_0^{1}|k(u', v, v')| \Big|U_{0, 0}\Big(t-\frac{u}{h(v)}\Big)\varphi(u', v')\Big|{\rm d}u'{\rm d}v'\\ &\leq&\frac{p\overline{k}(v)}{h(v)}\xi(u, h(v), t)\int_a^b\int_0^{1}\chi \Big(u', h(v'), t-\frac{u}{h(v)}\Big)\\ &&\times\Big|\varphi\Big(u'-\Big(t-\frac{u}{h(v)}\Big)h(v'), v'\Big)\Big|{\rm d}u'{\rm d}v'. \end{eqnarray} $

(3.1)

令$ x=u'-(t-\frac{u}{h(v)})h(v')$, 则${\rm d}x={\rm d}u'$, 所以

$ \begin{equation} B_{0, p}(t)\varphi(u, v) \leq\frac{p\overline{k}(v)}{h(v)}\xi(u, h(v), t)\int_a^b\int_0^{1}\varphi(x, v')|{\rm d}x{\rm d}v', ~~\forall\varphi\geq 0. \end{equation} $

(3.2)

又令$f_{t}(u, v)=\frac{\overline{k}(v)}{h(v)}\xi(u, h(v), t)$, 则

$ \begin{equation} \parallel f_{t}\parallel=\int_a^b \Big[\int_0^{1}\xi(u, h(v), t){\rm d}u\Big]\frac{\overline{k}(v)}{h(v)}{\rm d}v =t\|\overline{k}\|_{L(a, b)} < \infty. \end{equation} $

(3.3)

即$f_{t}$是$X$上的一个正秩1算子, 从而由(3.2)式和文献[2, Lemma 2.1]知: $B_{0, p}(t)$是$X$上的弱紧算子.

定理3.2   假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 则

$ \begin{equation} \omega_{ess}(V_{\alpha, p}(t))=\omega_{ess}(V_{\alpha, 0}(t)). \end{equation} $

(3.4)

证   以下分两步证明.

第一步  令$t\geq 0$和$s\geq 0$固定.则正半群$(U_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$和$(V_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$有下列Duhamel公式

$ V_{\alpha, p}(t)=U_{\alpha, p}(t)+\int_0^t U_{\alpha, p}(t-s)SV_{\alpha, p}(s){\rm d}s. $

$ V_{\alpha, 0}(t)= U_{\alpha, 0}(t)+\int_0^t U_{\alpha, 0}(t-s)SV_{\alpha, 0}(s){\rm d}s. $

由(2.15)式知: $U_{\alpha, p}(t)\geq U_{\alpha, 0}(t)$.因为$S$是负算子, 则

$ V_{\alpha, p}(t)\leq U_{\alpha, p}(t)+\int_0^t U_{\alpha, 0}(t-s)SV_{\alpha, p}(s){\rm d}s $

和

$ \begin{eqnarray*} V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t)&\leq& U_{\alpha, p}(t)-U_{\alpha, 0}(t) +\int_0^t U_{\alpha, 0}(t-s)S[V_{\alpha, p}(s)-V_{\alpha, 0}(s)]{\rm d}s\\ &=&B_{0, p}(t)+L. \end{eqnarray*} $

由(2.16)式知: $V_{\alpha, p}(s)\geq V_{\alpha, 0}(s)$, 因为$S$是负算子, 则

$ 0\leq V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t)\leq B_{0, p}(t). $

所以

$ \begin{equation} 0\leq (V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t))V_{\alpha, 0}(s)(V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t)) \leq B_{0, p}(t)U_{\alpha, 0}(s)B_{0, p}(t). \end{equation} $

(3.5)

由定理3.1和文献[2, Lemma 2.1]知:$\forall t, s\geq 0$, $(V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t))V_{\alpha, 0}(s)(V_{\alpha, p}(t)-V_{\alpha, 0}(t))$是$X$上的弱紧算子.

第二步  令$q=\|V_{\alpha, 0}(t_0)\|_{L(X)}+1$, $t_0=a/2$, 则$\forall n\in N$,

$ q^{-n}(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0))V_{\alpha, 0}(nt_0)(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0)) $

是弱紧算子.从而算子

$ \begin{equation} (V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0)) \Big(\sum\limits_{n=0}^{m} \Big[\frac{V_{\alpha, 0}(t_0)}{q}\Big]^n\Big)(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0)) \end{equation} $

(3.6)

也是$X$上弱紧算子($\forall m\in N$).当$q^{-1}\|V_{\alpha, 0}(t_0)\| < 1$, 则$(I-\frac{V_{\alpha, 0}(t_0)}{q})$是可逆算子, 所以, 上面的和式在$L(X)$上收敛于弱紧算子

$ q(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0))(q-V_{\alpha, 0}(t_0))^{-1}(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0)). $

因此

$ [(V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0))(q-V_{\alpha, 0}(t_0))^{-1}]^{4} $

是紧算子.最后由文献[17]知

$ r_{ess}(V_{\alpha, 0}(t_0))=r_{ess}((V_{\alpha, p}(t_0)-V_{\alpha, 0}(t_0))+V_{\alpha, 0}(t_0)) =r_{ess}(V_{\alpha, p}(t_0)). $

所以由(1.6)式和(1.4)式即知本定理成立.

引理3.3   假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 若$\underline{h}=ess\inf\limits_{v\in (a, b)}h(v)>0$, 则

$ \begin{equation} \omega_{ess}(V_{0, p})=-\infty. \end{equation} $

(3.7)

证  令$t>\frac{1}{\underline{h}}$, 由(2.2)式知: $U_{0, 0}(t)=0$.由(2.17)式知:$V_{0, 0}(t)=0$, 所以由(1.3)式知:$\omega_{ess}(V_{0, 0}(t))=-\infty$.故由定理3.2知(3.7)式成立, 从而本引理获证.

若假设$\overline{r}\leq \underline{\sigma}$成立.且$\alpha+p\leq 1$, 则$\omega_{\alpha, p}=0$,

$ \|W_{\alpha, p}(t)\|_{L(X)}\leq {\rm e}^{(\overline{r}-\underline{\sigma})t}, ~~~~t\geq 0. $

所以, $\forall t\geq 0~~s\geq 0, ~~t>s$和$\forall \varphi\in X$,

$ \|W_{\alpha, p}(t)\varphi\|= \|W_{\alpha, p}(t-s)W_{\alpha, p}(s)\varphi\| \leq {\rm e}^{(\overline{r}-\underline{\sigma})(t-s)}\|W_{\alpha, p}(s)\varphi\|\leq \|W_{\alpha, p}(s)\varphi\|. $

因此, 这说明该种群细菌密度是减少的, 所以生物学上对$\alpha+p\leq 1$的情况是不感兴趣.因此仅研究$\alpha+p> 1$的情况下该细菌种群模型生成半群的渐近行为.

定理3.4   假设$(A_h)(A_{k}^{'1})(A_{r}^{1})$成立, 设$0\leq\alpha < 1$和$p>0$, 令

$ \lambda_{\alpha}=\left\{ \begin{array}{ll} \overline{\sigma}-\underline{\sigma}, ~~&{\rm if}~ \alpha\neq 0, \\ 0, ~~~~~~~~&{\rm if}~ \alpha=0 \end{array} \right. $

和

$ \begin{equation} r(L_{\alpha, p, \lambda_\alpha})>1. \end{equation} $

(3.8)

则

$ \begin{equation} \omega_{ess}(W_{\alpha, p}(t)) < \omega(W_{\alpha, p}(t)), \end{equation} $

(3.9)

且存在$X$上秩1投影$P$和$\varepsilon>0$, 使得$\forall \eta\in(0, \varepsilon)$, 存在$M(\eta)\geq 1$, 满足

$ \parallel {\rm e}^{-t\omega(W_{\alpha, p}(t))}W_{\alpha, p}(t)-P\parallel_{L(X)}\leq M(\eta){\rm e}^{-\eta t}, ~~t\geq 0. $

证   由文献[10, Theorem 3.2], 在$X$上的正半群$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$的Dyson-Phillips展式的9阶余项$R_9(t)$是弱紧算子, 则由文献[18, Theorem 2.5]知

$ \begin{equation} r_{ess}(W_{\alpha, p}(t))\leq r_{ess}(V_{\alpha, p}(t)). \end{equation} $

(3.10)

由(1.4)式知

$ \begin{equation} \omega_{ess}(W_{\alpha, p}(t))\leq\omega_{ess}(V_{\alpha, p}(t)). \end{equation} $

(3.11)

根据(3.8)式, 引理2.5和定理2.7, 则

$ 1 < r(L_{\alpha, p, \overline{\sigma}-\underline{\sigma}})\leq r(L_{\alpha, p, 0}) =\frac{p}{1-\alpha}. $

由(2.25)式知

$ r(L_{\alpha, p, \omega(U_{\alpha, p}(t))})=1 < r(L_{\alpha, p, \overline{\sigma}-\underline{\sigma}}) $

和

$ \begin{equation} \overline{\sigma}-\underline{\sigma} <\omega(U_{\alpha, p}(t)). \end{equation} $

(3.12)

所以由(2.17)式知

$ \begin{equation} -\overline{\sigma}+\omega(U_{\alpha, p}(t))\leq \omega(V_{\alpha, p}(t)) \leq \omega(U_{\alpha, p}(t)), ~~t\geq 0. \end{equation} $

(3.13)

故由定理3.2和(3.11)-(3.13)式知

$ \begin{eqnarray} \omega_{ess}(W_{\alpha, p}(t))&=&\omega_{ess}(V_{\alpha, p}(t))=\omega_{ess}(V_{\alpha, 0}(t)) \leq -\underline{\sigma} \\ &<&-\overline{\sigma}+\omega(U_{\alpha, p}(t)) \leq \omega(V_{\alpha, p}(t))\leq \omega(W_{\alpha, p}(t)). \end{eqnarray} $

(3.14)

所以, (3.9)式成立.由于$(W_{\alpha, p}(t))_{t\geq 0}$是正不可约半群.故由引理1.1知本定理成立.