令 ${\cal A}$ 表示单位圆盘 ${\Bbb U}=\{ z\in{\Bbb C}: |z|<1\}$ 内解析且具有如下形式

$ f(z)=z+\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_{n}z^{n} $

的函数类.

令 ${\cal S}, {\cal S}^*, {\cal K}, {\cal C}, {\cal C}^*$ 分别表示 ${\Bbb U}$ 中 ${\cal A}$ 的单叶, 星象, 凸象, 近于凸, 拟凸函数子类(见文献[1-4]).

设 $\Sigma_p$ 表示去心单位圆盘 ${\Bbb U}^*=\{z\in {\Bbb C}:0<|z|<1\}={\Bbb U}\backslash\{0\}$ 内解析且具有如下形式的亚纯 $p$ 叶实系数函数类

$ \begin{equation}\label{eq:a1} f(z)=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kz^{k-p} \quad( a_k\in {\Bbb R}, p\in {\Bbb N}=\{1, 2, \cdots\}). \end{equation} $

(1.1)

特别地, 记 $\Sigma_1=\Sigma$ .

设 $f, g\in \Sigma_p$ , 其中函数 $f$ 具有(1.1)式形式且 $g$ 定义为

$ g(z)=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^\infty b_kz^{k-p}\quad( b_k\in {\Bbb R}). $

函数 $f$ 和 $g$ 的Hadamard积(卷积) $f*g$ 定义为

$ (f*g)(z):=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^\infty a_kb_kz^{k-p}=:(g*f)(z) \quad(a_k, b_k\in {\Bbb R}). $

令 ${\cal P}$ 表示在 ${\Bbb U}$ 内解析且具有如下形式

$ \begin{equation}\label{eq:a2} p(z)=1+\sum\limits_{k=1}^\infty p_kz^k \end{equation} $

(1.2)

的函数 $p(z)$ 的全体, 且 ${\rm Re}p(z)>0$ .

设函数 $u(z)$ 和 $v(z)$ 在 ${\cal A}$ 中解析, 若存在一个Schwarz函数 $\omega(z)$ , 在 ${\Bbb U}$ 内满足 $\omega(0)=0$ 和 $|\omega(z)|<1$ , 使得 $u(z)=v(\omega(z))~(z\in {\Bbb U})$ , 则称函数 $u(z)$ 从属于 $v(z)$ , 记作 $u(z)\prec v(z)$ .另外, 若 $v$ 在 ${\Bbb U}$ 内单叶, 则 $u(z)\prec v(z)$ 等价于

$ u(0)=v(0)~~~\hbox{和}~~~u({\Bbb U})\subset v({\Bbb U}). $

函数 $f(z)\in {\cal A}$ 属于函数类 ${\cal S}^*(\phi)$ , 如果满足如下条件

$ \frac{zf'(z)}{f(z)}\prec \phi(z), $

其中 $\phi(z)\in {\cal P}$ .函数类 ${\cal S}^*(\phi)$ 和相应的凸函数类 ${\cal K}(\phi)$ 由Ma和Minda定义^[5].

1959年, Sakaguchi在文献[6]中引入关于对称点的星象函数类 $S_s^*$ , $f\in S_s^*$ 当且仅当

$ {\rm Re} \frac{zf'(z)}{f(z)-f(-z)}>0. $

1987年, El-Ashwa和Thomas^[7]引入并研究了关于共轭点的星象函数类及关于对称共轭点的星象函数类, 分别满足如下条件

$ {\rm Re}\frac{zf'(z)}{f(z)+\overline{f}(\overline{z})}>0\quad \hbox{和} \quad {\rm Re}\frac{zf'(z)}{f(z)-\overline{f}(-\overline{z})}>0. $

利用从属原理, 本文引入并研究了亚纯 $p$ 叶实系数函数类 $\Sigma_p$ 的子类如下.

定义1.1 函数 $f(z)\in \Sigma_p$ 属于关于对称共轭点的亚纯 $p$ 叶 $\beta$ 阶倒星象实系数函数类 ${\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ 当且仅当

$ \begin{equation}\label{eq:a3} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}\prec \phi(z), \end{equation} $

(1.3)

其中 $p\in{\Bbb N}, \beta\in{\Bbb R}, p\beta<1, \phi(z)=1+B_1z+B_2z^2+\cdots\in{\cal P}, B_1>0$ .函数 $f(z)\in \Sigma_p$ 属于关于对称共轭点的亚纯 $p$ 叶 $\beta$ 阶倒凸象实系数函数类 ${\cal MK}_{sc}(p;\beta;\phi)$ 当且仅当

$ -zf'(z)/p\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi). $

定义1.2 函数 $f(z)\in \Sigma_p$ 属于关于对称共轭点的亚纯 $p$ 叶 $\beta$ 阶倒近于凸实系数函数类 ${\cal MCS}_{sc}(p;\beta;\phi, \psi)$ 当且仅当

$ \begin{equation}\label{eq:a4} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}\prec \psi(z), \end{equation} $

(1.4)

其中 $p\in{\Bbb N}, \beta\in{\Bbb R}, p\beta<1, g\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi), \phi(z)=1+B_1z+B_2z^2+\cdots\in{\cal P}, B_1>0, $ $ \psi(z)=1+D_1z+D_2z^2+\cdots\in{\cal P}, D_1>0$ .

定义1.3 函数 $f(z)\in \Sigma_p$ 属于关于对称共轭点的亚纯 $p$ 叶 $\beta$ 阶倒拟凸实系数函数类 ${\cal MCK}_{sc}(p;\beta;\phi, \psi)$ 当且仅当

$ \begin{equation}\label{eq:a5} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{(g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z}))'}{2(zf'(z))'}+\beta\right\}\prec \psi(z), \end{equation} $

(1.5)

其中 $p\in{\Bbb N}, \beta\in{\Bbb R}, p\beta<1, g\in {\cal MK}_{sc}(p;\beta;\phi), \phi(z)=1+B_1z+B_2z^2+\cdots\in{\cal P}, B_1>0, $ $\psi(z)=1+D_1z+D_2z^2+\cdots\in{\cal P}, D_1>0$ .

引理1.1^[5] 如果 $p(z)=1+c_1z+c_2z^2+\cdots\in {\cal P}$ , 则

$ |c_2-\upsilon c_1^2|\leq\left\{ \begin{array}{ll} -4\upsilon+2, \quad &\upsilon\leq0, \\ 2,&0\leq \upsilon \leq 1, \\ 4\upsilon-2, &\upsilon\geq 1. \end{array} \right. $

当 $\upsilon<0$ 或 $\upsilon>1$ 时, 等式成立当且仅当 $p(z)=(1+z)/(1-z)$ 或其旋转.

当 $0<\upsilon<1$ 时, 等式成立当且仅当 $p(z)=(1+z^2)/(1-z^2)$ 或其旋转.

当 $\upsilon=0$ 时, 等式成立当且仅当

$ p(z)=\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\lambda\Big)\frac{1+z}{1-z}+ \Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\lambda\Big)\frac{1-z}{1+z}\quad (0\leq \lambda\leq1) $

或其旋转.

当 $\upsilon=1$ 时, 等式成立当且仅当 $p(z)$ 为 $\upsilon=0$ 时等式成立的倒数.

特别地, 当 $0<\upsilon<1$ 时, 有

$ |c_2-\upsilon c_1^2|+\upsilon|c_1|^2\leq2\quad\Big(0<\upsilon\leq\frac{1}{2}\Big) $

及

$ |c_2-\upsilon c_1^2|+(1-\upsilon)|c_1|^2\leq2\quad\Big(\frac{1}{2}<\upsilon\leq1\Big). $

引理1.2^[5] 如果 $p(z)=1+c_1z +c_2z^2+\cdots\in{\cal P}$ 且 $\gamma$ 为复数, 则

$ |c_2-\gamma c_1^2|\leq 2\max\{1, |2\gamma-1|\}. $

当 $p(z)$ 取得如下函数时, 取得极值

$ p(z)=\frac{1+z^2}{1-z^2} \quad \hbox{或} \quad p(z)=\frac{1+z}{1-z}. $

首先, 我们得到了本文中定义的函数类的积分表达式.所得结论推广了亚纯 $p$ 叶函数类的一般已得到的积分表达式^[8-11].

定理2.1 若 $f(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ , 则

$ \begin{equation}\label{eq:b1} f(z)=\frac{\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(\omega(z))+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p, \end{equation} $

(2.1)

其中

$ \begin{equation}\label{eq:b2} \phi^\omega_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(\omega(t))}{t[(1-p\beta)\phi(\omega(t))+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}(\omega(-\overline{t}))}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}(\omega(-\overline{t}))+p\beta]}, \end{equation} $

(2.2)

$ \begin{equation}\label{eq:b3} E_p(z)=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^{p-1}\frac{p}{p-k}z^{k-p}+\sum\limits_{k=p+1}^{\infty}\frac{p}{p-k}z^{k-p}, \end{equation} $

(2.3)

$a_p$ 为任意实数, $\omega(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega(0)=0$ 及 $|\omega(z)|<1$ .

证 假设 $f(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ .根据定义1.1及从属关系, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b4} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}=\phi(\omega(z)), \end{equation} $

(2.4)

其中 $\omega(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega(0)=0, |\omega(z)|<1$ .用 $-\overline{z}$ 替代(2.4)式中的 $z$ , 得

$ \begin{equation}\label{eq:b5} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{f(-\overline{z})+(-1)^p\overline{f}(z)}{-2\overline{z}f'(-\overline{z})}+\beta\right\}=\phi(\omega(-\overline{z})). \end{equation} $

(2.5)

由(2.5)式, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b6} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{\overline{f}(-\overline{z})+(-1)^pf(z)}{-2z\overline{f'}(-\overline{z})}+\beta\right\}=\overline{\phi}(\omega(-\overline{z})). \end{equation} $

(2.6)

根据(2.4)和(2.6)式, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b7} \frac{z(f'(z)+(-1)^{p+1}\overline{f'}(-\overline{z}))}{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})} =-\frac{p}{2}\left(\frac{1}{(1-p\beta)\phi(\omega(z))+p\beta}+\frac{1}{(1-p\beta)\overline{\phi}(\omega(-\overline{z}))+p\beta}\right). \end{equation} $

(2.7)

上式等价于

$ \begin{equation}\label{eq:b8} \frac{(\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2})'}{\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2}}+\frac{p}{z} =-\frac{p(1-p\beta)}{2}\phi^\omega_{p\beta}(z), \end{equation} $

(2.8)

其中 $\phi^\omega_{p\beta}(z)$ 由(2.2)式定义.对等式(2.8)两边积分, 得

$ \begin{equation}\label{eq:b9} \log\left[\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2}\cdot z^p\right]=-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta}(t){\rm d}t, \end{equation} $

(2.9)

即

$ \begin{equation}\label{eq:b10} \frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2}=z^{-p}\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}. \end{equation} $

(2.10)

根据(2.4)-(2.10)式, 有

$ \begin{eqnarray*} f'(z)=-\frac{p}{z^{p+1}[(1-p\beta)\phi(\omega(z))+p\beta]}\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}. \end{eqnarray*} $

根据Hadamard积(卷积)的性质, 有

$ \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{zf'(z)}{-p}\ast \bigg(z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^{p-1} \frac{p}{p-k}z^{k-p}+\sum\limits_{k=p+1}^{\infty}\frac{p}{p-k}z^{k-p}\bigg)+a_p. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta} (t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(\omega(z))+p\beta]}\ast \bigg(z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^{p-1}\frac{p}{p-k}z^{k-p}+\sum\limits_{k=p+1}^{\infty}\frac{p}{p-k}z^{k-p}\bigg)+a_p, \end{eqnarray*} $

其中 $a_p$ 为任意实数.

从而定理2.1得证.

推论2.1 设 $f(z)\in {\cal MK}_{sc}(p;\beta;\phi)$ , 则

$ \begin{eqnarray*} f(z)=\frac{\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^\omega_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(\omega(z))+p\beta]}\ast H_p(z)+a_p, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{equation}\label{eq:b11} H_p(z)=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^{p-1} \Big(\frac{p}{p-k}\Big)^2z^{k-p}+\sum\limits_{k=p+1}^{\infty} \Big(\frac{p}{p-k}\Big)^2z^{k-p}, \end{equation} $

(2.11)

$\phi^\omega_{p\beta}(t)$ 由(2.2)式定义, $a_p$ 为任意实数, $\omega(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega(0)=0, |\omega(z)|<1$ .

定理2.2 设 $f(z)\in {\cal MCS}_{sc}(p;\beta;\phi;\psi)$ , 则

$ \begin{equation}\label{eq:b12} f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{\omega_2}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\psi(\omega_1(z))+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p, \end{equation} $

(2.12)

其中 $\phi^{\omega_2}_{p\beta}(t)$ 由(2.2)式定义, $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, $a_p$ 为任意实数, $\omega_1(z), \omega_2(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega_1(0)=\omega_2(0)=0, |\omega_1(z)|<1$ 及 $|\omega_2(z)|<1$ .

证 假设 $f(z)\in {\cal MCS}_{sc}(p;\beta;\phi;\psi)$ .根据定义1.2及从属关系, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b13} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}=\psi(\omega_1(z)) \end{equation} $

(2.13)

和

$ \begin{equation}\label{eq:b14} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zg'(z)}+\beta\right\}=\phi(\omega_2(z)), \end{equation} $

(2.14)

其中 $\omega_1(z)$ 和 $\omega_2(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega_1(0)=\omega_2(0)=0, |\omega_1(z)|<1$ 及 $|\omega_2(z)|<1$ .

根据定理2.1中的(2.10)式, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b15} \frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2}=z^{-p}\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi^{\omega_2}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}, \end{equation} $

(2.15)

其中 $\phi_{p\beta}^{\omega_2}(t)$ 由(2.2)式定义.

由(2.13)及(2.15)式, 有

$ \begin{equation}\label{eq:b16} f'(z)=\frac{-p\exp\left\{-\frac{p(1-p\beta)}{2}\int_0^z\phi_{p\beta}^{\omega_2}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p+1}[(1-p\beta)\psi(\omega_1(z))+p\beta]}. \end{equation} $

(2.16)

与定理2.1类似, 从而得到定理2.2中(2.12)式.

定理2.3 设 $f(z)\in {\cal MCK}_{sc}(p;\beta;\phi;\psi)$ , 则

$ \begin{equation}\label{eq:b17} f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{\omega_2}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\psi(\omega_1(z))+p\beta]}\ast H_p(z)+a_p, \end{equation} $

(2.17)

其中 $a_p$ 为任意实数, $\phi^{\omega_2}_{p\beta}(t)$ 由(2.2)式定义, $H_p(z)$ 由(2.11)式定义, $\omega_1(z), \omega_2(z)$ 在 ${\Bbb U}$ 内解析且 $\omega_1(0)=\omega_2(0)=0, |\omega_1(z)|<1, |\omega_2(z)|<1$ .

本节中, 我们得到本文中函数类的系数估计并获得了相应的极值函数.特别地, 画出了函数值域的图像.

定理3.1 设函数 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 若对于 $p\geq 2$ , $f(z)\in{\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|\leq \left\{\begin{array}{ll} \frac{p(1-p\beta)B_1}{2}\left[\frac{B_2}{B_1}-B_1(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu}{p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)\right], ~~&\mu\leq\sigma_1, \\ \frac{p(1-p\beta)B_1}{2}, &\sigma_1\leq\mu\leq\sigma_2, \\ \frac{p(1-p\beta)B_1}{2}\left[B_1(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu}{p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)-\frac{B_2}{B_1}\right],& \mu\geq\sigma_2, \end{array}\right. $

其中

$ \begin{equation}\label{eq:c1} \sigma_1=\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}\left[\frac{B_2-B_1}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right], \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation}\label{eq:c2} \sigma_2=\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}\left[\frac{B_2+B_1}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right]. \end{equation} $

(3.2)

上面估计是精确的.

证 因为 $f(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ , 存在解析函数 $\omega:{\Bbb U}\rightarrow{\Bbb U}$ 满足 $\omega(0)=0$ 及 $|\omega(z)|<1$ , 使得

$ \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}= \phi(\omega(z)). $

令

$ F(z):=\frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{f(z)+(-1)^p\overline{f}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}. $

从而有

$ \begin{equation}\label{eq:c3} F(z)=1-\frac{(1-\frac{1}{p})}{1-p\beta}a_1 z+\left[\frac{(1-\frac{1}{p})^2}{1-p\beta}a_1^2+\frac{2}{p(1-p\beta)}a_2\right]z^2+\cdots. \end{equation} $

(3.3)

定义函数 $p(z)$ 为

$ p(z)=\frac{1+\omega(z)}{1-\omega(z)}=1+p_1z+p_2z^2+\cdots, $

上式等价于

$ \omega(z)=\frac{p(z)-1}{p(z)+1}=\frac{1}{2}\left\{p_1z+\left(p_2-\frac{p_1^2}{2}\right)z^2+\left[p_3+\frac{p_1}{2}\left(\frac{p_1^2}{2}-p_2\right)-\frac{p_1p_2}{2}\right]z^3+\cdots\right\}. $

显然 $p\in{\cal P}$ .从而, 有

$ \begin{equation}\label{eq:c4} F(z)=\phi\left(\frac{p(z)-1}{p(z)+1}\right)=1+\frac{1}{2}B_1p_1z+\left[\frac{1}{2}B_1p_2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)p_1^2\right]z^2+\cdots. \end{equation} $

(3.4)

根据(3.3)和(3.4)式, 得

$ \begin{equation}\label{eq:c5} a_1=-\frac{(1-p\beta)}{2(1-\frac{1}{p})}B_1p_1, \end{equation} $

(3.5)

$ \begin{equation}\label{eq:c6} a_2=\frac{p(1-p\beta)}{2}\left[\frac{1}{2}B_1p_2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)p_1^2-\frac{(1-p\beta)}{4}B_1^2p_1^2\right]. \end{equation} $

(3.6)

因此, 有

$ \begin{equation}\label{eq:c7} a_2-\mu a_1^2=\frac{p(1-p\beta)B_1}{4}\{p_2-\gamma p_1^2\}, \end{equation} $

(3.7)

其中

$ \gamma=\frac{(1-p\beta)B_1}{2}+\frac{\mu(1-p\beta) B_1}{p(1-\frac{1}{p})^2}-\frac{B_2-B_1}{2B_1}. $

利用引理1.1和定理2.1, 极值函数如下.

(ⅰ) 如果 $\mu<\sigma_1$ 或 $\mu>\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^2_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(z)+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ \phi^2_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(t)}{t[(1-p\beta)\phi(t)+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}(-\overline{t})}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}(-\overline{t})+p\beta]}, $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)[B_2-(1-2\beta)B_1^2], ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅱ) 如果 $\sigma_1<\mu<\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^3_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(z^2)+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ \phi^3_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(t^2)}{t[(1-p\beta)\phi(t^2)+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}(\overline{t}^2)}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}(\overline{t}^2)+p\beta]}, $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)B_1, ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数}, ~~& p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅲ) 如果 $\mu=\sigma_1$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^\lambda_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(\frac{z(z+\lambda)}{1+\lambda z})+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ \phi^\lambda_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(\frac{t(t+\lambda)}{1+\lambda t})}{t[(1-p\beta)\phi(\frac{t(t+\lambda)}{1+\lambda t})+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}(\frac{-\overline{t}(-\overline{t}+\lambda)}{1-\lambda \overline{t}})}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}(\frac{-\overline{t}(-\overline{t}+\lambda)}{1-\lambda \overline{t}})+p\beta]}\quad(0\leq \lambda \leq 1), $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)[(1-\lambda^2)B_1+\lambda^2B_2-(1-2\beta)\lambda^2B_1^2], ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅳ) 如果 $\mu=\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{\widetilde{\lambda}}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\phi(-\frac{z(z+\lambda)}{1+\lambda z})+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ \phi^{\widetilde{\lambda}}_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(-\frac{t(t+\lambda)}{1+\lambda t})}{t[(1-p\beta)\phi(-\frac{t(t+\lambda)}{1+\lambda t})+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}(\frac{\overline{t}(-\overline{t}+\lambda)}{1-\lambda \overline{t}})}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}(\frac{\overline{t}(-\overline{t}+\lambda)}{1-\lambda \overline{t}})+p\beta]}\quad(0\leq \lambda \leq 1), $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)[(\lambda^2-1)B_1+\lambda^2B_2-(1-2\beta)\lambda^2B_1^2], ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

定理3.1得证.

定理3.1中, 分别取 $\phi(z)=\frac{1+Az}{1+Bz}$ 和 $\phi(z)=\frac{1+(1-2\alpha)z}{1-z}$ , 则有如下推论.

推论3.1 设 $-1\leq B<A\leq 1, p\geq2$ . $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 若 $f(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\frac{1+Az}{1+Bz})$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|\leq\left\{\begin{array}{ll} \frac{p(1-p\beta)(A-B)}{2}\left[-B-(A-B)(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu}{p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)\right], &\mu\leq\sigma_1, \\ \frac{p(1-p\beta)(A-B)}{2}, &\sigma_1\leq\mu\leq\sigma_2, \\ \frac{p(1-p\beta)(A-B)}{2}\left[(A-B)(1-p\beta)\Big(1+\frac{2\mu} {p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)+B\right], & \mu\geq\sigma_2, \end{array}\right. $

其中 $\sigma_1=\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}\left[-\frac{B+1}{(1-p\beta)(A-B)}-1\right], \sigma_2=\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}\left[-\frac{B-1}{(1-p\beta)(A-B)}-1\right].$ 上面估计是精确的.

(ⅰ) 如果 $\mu<\sigma_1$ 或 $\mu>\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{(1+Bz)\left\{1-[A-p\beta(A-B)]^2z^2\right\}^{\frac{p(1-p\beta)(A-B)}{2[A-p\beta(A-B)]}}}{z^p\left\{1+[A-p\beta(A-B)]z\right\}}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} -(1-2\beta)(A-B)(A-2\beta(A-B)), ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅱ) 如果 $\sigma_1<\mu<\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{1}{z^p}(1+Bz^2)\left\{1+[A-p\beta(A-B)]z^2\right\}^{\frac{p(1-p\beta)(A-B)}{2[A-p\beta(A-B)]}-1}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, 且

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)(A-B), ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅲ) 如果 $\mu=\sigma_1$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{[Bz^2+(B+1)\lambda z+1]\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^\lambda_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}\left\{[A-p\beta(A-B)]z^2+[A-p\beta(A-B)+1]\lambda z+1\right\}}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, $0\leq \lambda \leq 1$ 及

$ \begin{eqnarray*} \phi^\lambda_{p\beta}(t)&=&\frac{(B-A)(t+\lambda)}{[A-p\beta(A-B)]t^2+[A-p\beta(A-B)+1]\lambda t+1}\\ &&+\frac{(B-A)(t-\lambda)}{[A-p\beta(A-B)]t^2-[A-p\beta(A-B)+1]\lambda t +1}, \end{eqnarray*} $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)(A-B)\left\{1-\lambda^2[1+B+(1-2\beta)(A-B)]\right\}, ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

(ⅳ) 如果 $\mu=\sigma_2$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=\frac{[Bz^2+(B-1)\lambda z-1]\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{\widetilde{\lambda}}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}\left\{[A-p\beta(A-B)]z^2+[A-p\beta(A-B)-1]\lambda z-1\right\}}\ast E_p(z)+a_p $

或其旋转, 其中 $E_p(z)$ 由(2.3)式定义, $0\leq \lambda \leq 1$ 及

$ \begin{eqnarray*} \phi^{\widetilde{\lambda}}_{p\beta}(t)&=&\frac{(A-B)(t+\lambda)}{-[A-p\beta(A-B)]t^2-[A-p\beta(A-B)-1]\lambda t+1}\\ && +\frac{(A-B)(t-\lambda)}{-[A-p\beta(A-B)]t^2+[A-p\beta(A-B)-1]\lambda t+1}, \end{eqnarray*} $

$ a_p= \left\{\begin{array}{ll} (1-2\beta)(A-B)\left\{\lambda^2[1-B-(1-2\beta)(A-B)]-1\right\}, ~~&p=2, \\ \hbox{任意实数},&p\geq 3. \end{array}\right. $

推论3.2 设 $0\leq \alpha<1, p\geq2$ .函数 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 如果

$ f(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\frac{1+(1-2\alpha)z}{1-z}), $

则

$ |a_2-\mu a_1^2|\leq\left\{\begin{array}{ll} p(1-p\beta)(1-\alpha)\left[1-2(1-\alpha)(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu}{p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)\right], &\mu\leq\sigma_1, \\ p(1-p\beta)(1-\alpha), &\sigma_1\leq\mu\leq\sigma_2, \\ p(1-p\beta)(1-\alpha)\left[2(1-\alpha)(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu}{p(1-\frac{1}{p})^2}\Big)-1\right],& \mu\geq\sigma_2, \end{array}\right. $

其中 $\sigma_1=-\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}, \sigma_2=\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2(1-p\beta)(1-\alpha)}-\frac{p(1-\frac{1}{p})^2}{2}.$ 上面估计是精确的.

在推论3.2中, 取 $p=2, \beta=\frac{1}{8}, \alpha=0$ , 得到如下结论.

推论3.3 如果 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 且 $f(z)\in{\cal MS}_{sc}(2;\frac{1}{8};\frac{1+z}{1-z})$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|\leq\left\{\begin{array}{ll} -\frac{3}{4}-9\mu, ~~& \mu\leq -\frac{1}{4}, \\ \frac{3}{2}, & -\frac{1}{4}\leq\mu\leq \frac{1}{12}, \\ \frac{3}{4}+9\mu,& \mu\geq \frac{1}{12}. \end{array}\right. $

上面估计是精确的.

(ⅰ) 如果 $\mu<-\frac{1}{4}$ 或 $\mu>\frac{1}{12}$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=z^{-2}-3z^{-1}-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}z+\frac{3}{16}z^2+\frac{1}{16}z^3-\frac{1}{64}z^4 $

或其旋转.

(ⅱ) 如果 $-\frac{1}{4}<\mu<\frac{1}{12}$ , 则等式成立当且仅当

$ f(z)=z^{-2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}z^2+\frac{1}{8}z^4 $

或其旋转.

特别地, 我们分别画出了函数(ⅰ)和(ⅱ)的值域的图像, 见图 1和图 2.

如果 $\sigma_1<\mu<\sigma_2$ , 根据引理1.1, 定理3.1可得如下结论.

定理3.2 函数 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, $f(z)\in{\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ .设 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 分别由(3.1)和(3.2)式给出, 且

$ \sigma_3=\frac{p}{2}(1-\frac{1}{p})^2\left[\frac{B_2}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right]. $

如果 $\sigma_1\leq\mu\leq\sigma_3$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|+\left[\mu+\left(1-\frac{B_2-B_1}{B_1^2(1-p\beta)}\right)\frac{p}{2} \Big(1-\frac{1}{p}\Big)^2\right]|a_1|^2\leq\frac{p(1-p\beta)B_1}{2}. $

如果 $\sigma_3\leq\mu\leq\sigma_2$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|+\left[\left(\frac{B_1+B_2}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right)\frac{p}{2} \Big(1-\frac{1}{p}\Big)^2-\mu\right]|a_1|^2\leq\frac{p(1-p\beta)B_1}{2}. $

利用与定理3.1同样的方法, 可以得到下面的结论.

定理3.3 函数 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 如果 $f(z)\in {\cal MK}_{sc}(p;\beta;\phi)(p\geq3)$ , 则

$ |a_2-\mu a_1^2|\leq\left\{\begin{array}{ll} \frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|}\left[\frac{B_2}{B_1}-B_1(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu(1-\frac{2}{p})}{p(1-\frac{1}{p})^4}\Big)\right], ~~&\mu\leq\sigma_1, \\ \frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|}, &\sigma_1\leq\mu\leq\sigma_2, \\ \frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|}\left[B_1(1-p\beta) \Big(1+\frac{2\mu(1-\frac{2}{p})}{p(1-\frac{1}{p})^4}\Big)-\frac{B_2}{B_1}\right],& \mu\geq\sigma_2, \end{array}\right. $

其中

$ \sigma_1=\frac{p(1-\frac{1}{p})^4}{2(1-\frac{2}{p})}\left[\frac{B_2-B_1}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right] $

及

$ \sigma_2=\frac{p(1-\frac{1}{p})^4}{2(1-\frac{2}{p})}\left[\frac{B_2+B_1}{B_1^2(1-p\beta)}-1\right]. $

上面估计是精确的.

定理3.4 如果函数 $f(z)$ 具有(1.1)式形式且 $f(z)\in{\cal MCS}_{sc}(p;\beta;\phi, \psi)(p\geq3)$ , 则

$ \begin{eqnarray*} |a_2-\mu a_1^2|&\leq&\frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|}\times\max\left\{1, \left|(1-p\beta)B_1-\frac{B_2}{B_1}\right|\right\}\\ &&+\frac{(1-p\beta)D_1}{|1-\frac{2}{p}|}\times\max\left\{1, \left|\left(1-\frac{(1-\frac{2}{p})\mu }{(1-\frac{1}{p})^2}\right)(1-p\beta)D_1-\frac{D_2}{D_1}\right|\right\}. \end{eqnarray*} $

证 由于 $f(z)\in {\cal MCS}_{sc}(p;\beta;\phi, \psi)$ , 存在函数 $g(z)=z^{-p}+\sum\limits_{k=1}^\infty b_kz^{k-p}\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ 及一个Schwartz函数 $\omega_1(z)$ 满足

$ \begin{equation}\label{eq:c8} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\}= \psi(\omega_1(z)). \end{equation} $

(3.8)

令 $p_1(z)=\frac{1+\omega_1(z)}{1-\omega_1(z)}$ , 显然 $p_1\in {\cal P}$ .因此, 设 $p_1(z)=1+d_1z+d_2z^2+\cdots$ .从而

$ \begin{equation}\label{eq:c9} \psi(\omega_1(z))=\psi\bigg(\frac{p_1(z)-1}{p_1(z)+1}\bigg)=1+\frac{1}{2}D_1d_1z+\left[\frac{1}{2}D_1d_2+\frac{1}{4}(D_2-D_1)d_1^2\right]z^2+\cdots. \end{equation} $

(3.9)

另一方面

$ \begin{eqnarray}\label{eq:c10} &&\frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zf'(z)}+\beta\right\} \\ &=&1-\frac{(1-\frac{1}{p})a_1 }{1-p\beta} z+\frac{b_2+(1-\frac{1}{p})^2a_1^2-(1-\frac{2}{p})a_2}{1-p\beta}z^2+\cdots. \end{eqnarray} $

(3.10)

由(3.8), (3.9)及(3.10)式, 得

$ \begin{eqnarray}\label{eq:c11} && 1-\frac{(1-\frac{1}{p})a_1 }{1-p\beta} z+\frac{b_2+(1-\frac{1}{p})^2a_1^2-(1-\frac{2}{p})a_2}{1-p\beta}z^2+\cdots \\ &=&1+\frac{1}{2}D_1d_1z+\left[\frac{1}{2}D_1d_2+\frac{1}{4}(D_2-D_1)d_1^2\right] z^2+\cdots. \end{eqnarray} $

(3.11)

比较(3.11)式中 $z$ 和 $z^2$ 的系数, 得

$ \begin{equation}\label{eq:c12} -\frac{(1-\frac{1}{p})a_1 }{1-p\beta}=\frac{1}{2}D_1d_1 \end{equation} $

(3.12)

及

$ \begin{equation}\label{eq:c13} \frac{b_2+(1-\frac{1}{p})^2a_1^2-(1-\frac{2}{p})a_2}{1-p\beta}=\left[\frac{1}{2}D_1d_2+\frac{1}{4}(D_2-D_1)d_1^2\right]. \end{equation} $

(3.13)

由于 $g(z)\in {\cal MS}_{sc}(p;\beta;\phi)$ , 存在一个Schwartz函数 $\omega_2:{\Bbb U}\rightarrow{\Bbb U}$ 满足 $\omega_2(0)=0$ , 使得

$ \begin{equation}\label{eq:c14} \frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zg'(z)}+\beta\right\}= \phi(\omega_2(z)). \end{equation} $

(3.14)

令 $p_2(z)=\frac{1+\omega_2(z)}{1-\omega_2(z)}$ , 显然 $p_2\in {\cal P}$ .设 $p_2(z)=1+c_1z+c_2z^2+\cdots$ , 从而

$ \begin{equation}\label{eq:c15} \phi(\omega_2(z))=\phi\left(\frac{p_2(z)-1}{p_2(z)+1}\right)=1+\frac{1}{2}B_1c_1z+\left[\frac{1}{2}B_1c_2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)c_1^2\right]z^2+\cdots. \end{equation} $

(3.15)

另一方面

$ \begin{eqnarray}\label{eq:c16} &&\frac{-p}{1-p\beta}\left\{\frac{g(z)+(-1)^p\overline{g}(-\overline{z})}{2zg'(z)}+\beta\right\} \\ &=&1-\frac{(1-\frac{1}{p})}{1-p\beta}b_1 z+\left[\frac{(1-\frac{1}{p})^2}{1-p\beta}b_1^2+\frac{2}{p(1-p\beta)}b_2\right]z^2+\cdots . \end{eqnarray} $

(3.16)

由(3.14), (3.15)及(3.16)式, 得

$ \begin{eqnarray}\label{eq:c17} &&1-\frac{(1-\frac{1}{p})}{1-p\beta}b_1 z+\left[\frac{(1-\frac{1}{p})^2}{1-p\beta}b_1^2+\frac{2}{p(1- p\beta)}b_2\right]z^2+\cdots\\ &=&1+\frac{1}{2}B_1c_1z+\left[\frac{1}{2}B_1c_2+\frac{1}{4}(B_2-B_1)c_1^2\right]z^2+\cdots. \end{eqnarray} $

(3.17)

比较(3.17)式中 $z$ 和 $z^2$ 的系数, 得

$ \begin{equation}\label{eq:c18} -\frac{(1-\frac{1}{p})}{1-p\beta}b_1=\frac{1}{2}B_1c_1 \end{equation} $

(3.18)

及

$ \begin{equation}\label{eq:c19} b_2=\frac{p(1-p\beta)B_1}{4}\left[c_2+\frac{B_2-B_1}{2B_1}c_1^2-\frac{(1-p\beta)B_1c_1^2}{2}\right]. \end{equation} $

(3.19)

因此, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\Big(1-\frac{2}{p}\Big)(a_2-\mu a_1^2)\\ &=&\frac{p(1-p\beta)B_1}{4}\left[c_2-\left(\frac{(1-p\beta)B_1}{2}-\frac{B_2-B_1}{2B_1}\right)c_1^2\right]\\ &&-\frac{(1-p\beta)D_1}{2}\left[d_2-\left(\frac{[(1-\frac{1}{p})^2-\mu (1-\frac{2}{p})](1-p\beta)D_1}{2(1-\frac{1}{p})^2}-\frac{D_2-D_1}{2D_1}\right)d_1^2\right]. \end{eqnarray*} $

从而

$ \begin{eqnarray*} |a_2-\mu a_1^2|&\leq&\frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|}\times\max\left\{1, \left|(1-p\beta)B_1-\frac{B_2}{B_1}\right|\right\}\\ &&+\frac{(1-p\beta)D_1}{|1-\frac{2}{p}|}\times\max\left\{1, \left|\left(1-\frac{(1-\frac{2}{p})\mu }{(1-\frac{1}{p})^2}\right)(1-p\beta)D_1-\frac{D_2}{D_1}\right|\right\}. \end{eqnarray*} $

上面估计是精确的, 极值函数如下

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{m}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\psi(z^{n-1})+p\beta]}\ast E_p(z)+a_p, \quad n=2, 3, $

其中

$ \phi^m_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(t^{m-1})}{t[(1-p\beta)\phi(t^{m-1})+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}((-\overline{t})^{m-1})}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}((-\overline{t})^{m-1})+p\beta]}, \quad m=2, 3, $

$E_p(z)$ 由(2.3)式定义及 $a_p$ 为任意实数.定理3.4证毕.

定理3.5 设 $f(z)$ 具有(1.1)式形式, 若 $f(z)\in {\cal MCK}_{sc}(p;\beta;\phi, \psi)(p\geq3)$ , 则

$ \begin{eqnarray*} |a_2-\mu a_1^2|&\leq&\frac{p(1-p\beta)B_1}{2|1-\frac{2}{p}|^{2}}\times\max\left\{1, \left|(1-p\beta)B_1-\frac{B_2}{B_1}\right|\right\}\\ &&+\frac{(1-p\beta)D_1}{|1-\frac{2}{p}|^{2}}\times\max\left\{1, \left|\left(1-\frac{(1-\frac{2}{p})^{2}\mu }{(1-\frac{1}{p})^4}\right)(1-p\beta)D_1-\frac{D_2}{D_1}\right|\right\}. \end{eqnarray*} $

上面估计是精确地, 极值函数如下

$ f(z)=\frac{\exp\left\{\frac{-p(1-p\beta)}{2}\int_0^z \phi^{m}_{p\beta}(t){\rm d}t\right\}}{z^{p}[(1-p\beta)\psi(z^{n-1})+p\beta]}\ast H_p(z)+a_p, \quad n=2, 3, $

其中

$ \phi^m_{p\beta}(t)=\frac{1-\phi(t^{m-1})}{t[(1-p\beta)\phi(t^{m-1})+p\beta]}+\frac{1-\overline{\phi}((-\overline{t})^{m-1})}{t[(1-p\beta)\overline{\phi}((-\overline{t})^{m-1})+p\beta]}, \quad m=2, 3, $

$H_p(z)$ 由(2.11)式定义, 及 $a_p$ 为任意实数.