整篇文章中我们所使用的空间都是复Banach空间.符号 ${\Bbb N}$, $\Bbb R_+$和 ${\Bbb C}$分别是指自然数集、正实数集和复数域.

文献[1]中, Li和Yorke观察到一类周期为3的区间映射具有复杂的动力学行为, 这种现象就是目前人们所熟知的Li-Yorke意义下的混沌. Schweizer和Smítal^[2]研究了紧区间上自映射具有正拓扑商之后, 拓广了Li-Yorke混沌概念的意义, 即得到了分布混沌的定义.此后各种混沌的定义逐渐发展起来^[3], 然而人们也观察到分布混沌的概念通常是独立于其它混沌的概念的^[4-5].在实际计算中, 即使是比较简单的分布混沌情形, 也是非常难以从定义直接给出证明的.最近, 人们试图在线性空间的背景下来研究分布混沌行为.

在线性空间中, 尤其是在Banach空间或Fréchet空间, 人们最初研究的是连续线性算子通过迭代所生成离散动力系统的分布混沌行为^[6-12].此后又推广到对线性算子 $C_0$ -半群动力系统的研究, 一些富有意义的成果, 例如在处理与某些偏微分方程有关的 $C_0$ -半群时, 随着人们研究的深入而不断地涌现^[13].对以实直线或正半实直线为指标集的半群分布混沌的研究, 相关的结果可以参考文献[14-15].而对以复平面上扇形为指标集的半群情形的研究会更加复杂, 其行为的变化也更加丰富^[16-17].本文主要致力于以复扇形为指标集的转移半群分布混沌行为的研究.这里复扇形的形式为 $\Delta=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha\}$, $\alpha\in(0, \frac{\pi}{2})$.

给定 $\Delta$和 $r, r_1, r_2>0$, 引进下面的符号: $\Delta_{[r_1, r_2]}=\{t\in \Delta: r_1\leq |t|\leq r_2\}$, $\Delta_{(r_1, r_2)}=\{t\in \Delta: r_1< |t|< r_2\}$, 以及 $\Delta_{[r, \infty)}=\{t\in \Delta: |t|\geq r\}$.有时为了方便我们也记 $\Delta_r=\Delta_{[0, r]}$.

定义1.1  设 $\Delta$为一个复扇形. $\Delta$上的相容权函数定义为一个可测函数 $\rho: \Delta\longrightarrow \Bbb R$, 满足

(ⅰ) $\rho(t)>0, \forall t\in \Delta$;

(ⅱ) 存在常数 $M \geq 1$和 $\omega\in \Bbb R$, 使得 $\rho(t)\leq M{\rm e}^{\omega t'} \rho(t+t'), \forall t'\in \Delta$.

不失一般性, 我们可假定 $\omega\geq 0$.此后 $\rho$将表示相容权函数, $M, \omega$将表示如定义中所示的常数.

设 $\rho$为 $\Delta$上的一个相容权函数, 我们考虑下面的函数空间

$ L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C})=\bigg\{u:\Delta\longrightarrow {\Bbb C}\ |\ u~\mbox{可测}, ~\int_\Delta|u(\tau)|^p\rho(\tau){\rm d}\tau<\infty \bigg\};\\ C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C})=\{u:\Delta\longrightarrow {\Bbb C}\ |\ u~\mbox{连续}, ~\lim\limits_{\tau\rightarrow\infty}\rho(\tau)u(\tau)=0 \}. $

分别定义这两个函数空间上的范数如下

$ \|u\|_p=\bigg(\int_\Delta|u(\tau)|^p\rho(\tau){\rm d}\tau\bigg)^{\frac{1}{p}}, ~u\in L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C});\\ \|u\|_\infty=\sup\limits_{\tau\in \Delta}|u(\tau)|\rho(\tau), ~u\in C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C}).~~~~~ $

在这个范数下, $(L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_p )$以及 $(C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_\infty )$就成为Banach空间, 并且具有紧支撑的光滑函数在这些空间中稠密.

定义1.2  设 $X$是空间 $(L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_p )$或 $(C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_\infty )$, 其相容权函数为 $\rho$.对于 $t\in \Delta$以及 $u\in X$, 定义 $T(t)u$如下

$ [T(t)u](\tau)=u(\tau+t), $

这里 $\tau\in \Delta$, 我们称 $\{T(t)\ |\ t\in \Delta\}$ $X$上的转移半群.

受到实半直线上 $C_0$ -半群分布混沌概念的启发, 我们首先给出一些以复扇形为指标集的相关定义.

定义1.3  设 $A$是 $\Delta$的一个Lebesgue可测子集, 定义集合 $A$的上稠性和下稠性分别如下

$ \overline{\mbox{Dens}}(A):=\limsup\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\mu(A\cap\Delta_r)}{\mu(\Delta_r)}, \\ \underline{\mbox{Dens}}(A):=\liminf\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{\mu(A\cap\Delta_r)}{\mu(\Delta_r)}. $

定义1.4  称Banach空间 $X$上的一个 $C_0$ -算子半群 ${{\cal T}}=\{T_t\}_{t\in\Delta}$是分布混沌的, 如果存在一个不可数子集 $S\subset X$, 以及 $\delta>0$, 使得对每对不同点 $x, y\in S$和每个 $\varepsilon>0$, 有

$ \overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sy\|>\delta\})=1, \\ \overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sy\|<\varepsilon\})=1. $

我们称集 $S$是 ${{\cal T}}$的一个分布 $\delta$-scrambled集, 并且称 $\{x, y\}$是 ${{\cal T}}$的一个分布混沌对.如果scrambled集 $S$在 $X$上是稠密的, 则称半群 ${{\cal T}}$是稠分布混沌的; 假设 $S=X$, 则称 ${{\cal T}}$是完全分布混沌的.

下一节我们仅在空间 $(L^p_\rho(I, {\Bbb C}), \|u\|_p )$上讨论转移半群的分布混沌性, 在空间 $(C_{0, \rho}(I, {\Bbb C}), $ $\|u\|_\infty )$上相关的结果可以相似地获得.

利用权函数空间上的转移半群人们可以较好地理解各种混沌概念. Xavier Barrachina和Alfred Peris研究了实半直线上的分布混沌, 并且获得了一些富有意义的成果^[14].在这一节里, 我们首先把这些结果推广到复扇形指标集的情形上.

定理2.1  设 ${{\cal T}}=\{T_t\}_{t\in \Delta}$是 $X=L^p_\rho(\Delta, \Bbb C)$或 $C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C})$上的转移半群.那么下面是等价的.

(1) 存在 $f\in X$和 $\delta>0$, 使得

$ \underline{\mbox{Dens}}\{s\in \Delta; \|T_sf\|_p<\delta\}=0; $

(2) 存在 $f\in X$, 使得对每个 $N>0$, 有

$ \underline{\mbox{Dens}}\{s\in \Delta; \|T_sf\|_p<N\}=0; $

(3) ${{\cal T}}$是稠分布混沌的.

证  假定(1)成立, 则可以在 ${\Bbb N}$找到一个递增的序列 $(m_k)_k$, 使得

$ \int_{\Delta_{[{m_k}, \infty})}|f(t)|^p\rho(t){\rm d}t<\frac{1}{2^k}. $

定义 $h$如下

$ h(t):=\left\{\begin{array} {ll} (1+k)f(t), ~~&t\in \Delta_{[m_k, m_{k+1})}, \\ f(t),&t\in \Delta_{[0, m_1)}. \end{array} \right. $

设 $m_0:=0$.则 $h\in X$, 这是因为

$ \begin{eqnarray*} \|h(t)\|^p_p&=&\int_{\Delta}|h(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\sum\limits_{i\geq 0}\int_{\Delta_{[m_i, m_{i+1})}}|h(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\sum\limits_{i\geq 0}(1+i)^p\int_{\Delta_{[m_i, m_{i+1})}}|f(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &<&\int_{\Delta_{[0, m_1)}}|f(t)|^p\rho(t){\rm d}t+\sum\limits_{k\geq 1}\frac{(1+k)^p}{2^k}\\ &<&\infty. \end{eqnarray*} $

固定一个任意的数 $N>\delta$以及 $k_0\in {\Bbb N}$, 满足 $k_0>\frac{N}{\delta}$.对任意 $|t|>m_{k_0}, |k_0f(t)|\leq |h(t)|$.由于 $\Delta=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha\}$, $\alpha\in(0, \frac{\pi}{2})$, 所以存在 $L>m_{k_0}$使得对任意 $|s|>L$有 $|s+t|>m_{k_0}$.这样, 对所有的 $s\in \Delta_{[L, \infty)}$, 有

$ \begin{eqnarray*} k_0^p\|T_sf\|^p_p&=&\int_{\Delta}|k_0(T_sf)(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\int_{\Delta}|k_0f(t+s)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &\leq&\int_{\Delta}|h(t+s)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\int_{\Delta}|T_sh(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\|T_sh\|_p^p. \end{eqnarray*} $

因此我们有

$ \underline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sh\|_p<N\})\leq \underline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: k_0\|T_sf\|_p<k_0\delta\})=0. $

由此可得 $(1)\Rightarrow (2)$成立.

假设(2)成立, 我们可以找到一个递增的序列 $(n_k)_{k\in \Bbb N}\subset {\Bbb N}$, 使得对每个 $k\in {\Bbb N}$, 有

$ \frac{\mu(\{s\in \Delta_{n_k}:\|T_sf\|_p<2N\})}{\mu(\Delta_{n_k})}<\frac{1}{k}, ~~~~~\mbox{对每个}~ N>0. $

由于 $\mu(\Delta_r)=\frac{\alpha}{2}r^2$, 由上面的不等式可得

$ \mu(\{s\in \Delta_{n_k}:\|T_sf\|_p<2N\})<\frac{\alpha n_k^2}{2k}, ~~~~~ \mbox{对每个}~ N>0. $

我们还可以在 ${\Bbb N}$中找到一个充分快递增的序列 $(q_k)_{k\in \Bbb N}$, 使得对如上定义的 $h$有

$ h(t):=\left\{\begin{array} {ll} f(t), ~~&t\in \Delta_{[q_{2k-1}, q_{2k})}; \\ 0,&\mbox{其它.} \end{array} \right. $

另一方面, 对每个 $k\in {\Bbb N}$, 可有一个 $j=j(k)$, 满足 $k\leq j$, 使得 $kq_{2k-1}<n_{j(k)}<q_{2k}$, 以及对每个 $N>0$, 存在 $K_0\in {\Bbb N}$使得 $k>k_0$时有

$ \|T_sh-T_sf\|_p<N, ~~~~~~\mbox{对任意的}~ s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}. $

得到上述结论的原因如下.对于 $k>k_0$, 有

$ \begin{eqnarray*} \|T_sh-T_sf\|^p_p&=&\int_{\Delta}|(T_sh-T_sf)(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &\leq&\int_{\Delta}|h(s+t)-f(s+t)|^p\rho(t+s)M{\rm e}^{\omega |s|}{\rm d}t\\ &\leq& M{\rm e}^{\omega n_{j(k)}}\int_{s+\Delta}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t. \end{eqnarray*} $

令

$ \int_{\Delta_{[q_{2k-1}, \infty)}}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t<\frac{N^p} {M{\rm e}^{\omega n_{j(k)}}}. $

我们可以看到对每个 $s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}$, 且 $k>k_0$有

$ \begin{eqnarray*} \|T_sh-T_sf\|^p_p&\leq& M{\rm e}^{\omega n_{j(k)}}\int_{s+\Delta}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &\leq& M{\rm e}^{\omega n_{j(k)}}\bigg(\int_{\Delta_{[q_{2k-1}, q_{2k})}}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &+&\int_{\Delta_{[q_{2k}, \infty)}}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t\bigg)\\ &=&M{\rm e}^{\omega n_{j(k)}}\bigg(0+\int_{\Delta_{[q_{2k}, \infty)}}|h(t)-f(t)|^p\rho(t){\rm d}t\bigg)\\ &<&\frac{N^pM{\rm e}^{\omega n_j(k)}}{M{\rm e}^{\omega n_j(k)}}\\ &=&N^p. \end{eqnarray*} $

因此, 对每个 $s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}$, 且 $k$充分大, 如果 $\|T_sh\|_p<N$, 则有

$ \begin{eqnarray*} \|T_sf\|_p&=& \|T_sf-T_sh+T_sh\|_p\\ &\leq& \|T_sf-T_sh\|_p+\|T_sh\|_p\\ &<&N+N=2N. \end{eqnarray*} $

这样, 我们就可以得到

$ \mu(\{s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}: \|T_sh\|_p<N\}) \leq \mu(\{s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}: \|T_sf\|_p<2N\}). $

由此

$ \begin{eqnarray*} &&\mu(\{s\in \Delta_{[0, n_{j(k)})}: \|T_sh\|_p<N\})\\ &\leq& \mu(\Delta_{[0, q_{2k-1})})+\mu(\{s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}: \|T_sh\|_p<N\})\\ &\leq &\mu(\Delta_{[0, q_{2k-1})})+\mu(\{s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}: \|T_sf\|_p<2N\})\\ &<& \frac{\alpha q^2_{2k-1}}{2}+\frac{\alpha n^2_{j(k)}}{2j(k)}. \end{eqnarray*} $

所以

$ \begin{eqnarray} \underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: \|T_sh\|_p<N\} &\leq &\lim\limits_{k\rightarrow\infty} \frac{\mu(\{s\in \Delta_{[0, n_{j(k)}]}: \|T_sh\|_p<N\})}{\mu(\Delta_{[0, n_{j(k)}]})}\\ &\leq& \lim\limits_{k\rightarrow\infty} \frac{\frac{\alpha q^2_{2k-1}}{2}+\frac{\alpha n^2_{j(k)}}{2j(k)}}{\frac{\alpha n^2_{j(k)}}{2}}\\ &\leq &\lim\limits_{k\rightarrow\infty} \bigg(\frac{q^2_{2k-1}}{(kq_{2k-1})^2}+\frac{1}{j(k)}\bigg)\\ &=&0. \end{eqnarray} $

(2.1)

另一方面, 在定义函数 $h$时我们引入充分大的由0组成的区间段使得对任意 $\varepsilon>0$有 $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in \Delta:\|T_sh\|_p<\varepsilon\}=1$.例如, 取 $q_{2k+1}>kq_{2k}$, 并且取 $k$充分大, 使得

$ \int_{\Delta_{[q_{2k+1}, \infty)}}|h(t)|^p\rho(t){\rm d}t<\frac{1}{M{\rm e}^{\omega k^2q_{2k}}}. $

那么存在 $k_0\in {\Bbb N}$满足对每个 $k>k_0$, 以及每个 $s\in\Delta_{[q_{2k}, kq_{2k})}$, 有

$ \begin{eqnarray*} \|T_sh\|^p_p&=&\int_{\Delta}|h(t+s)(t)|^p\rho(t){\rm d}t=\int_{s+\Delta}|h(r)|^p\rho(r-s){\rm d}r\\ &\leq& M{\rm e}^{\omega |s|}\int_{s+\Delta}|h(r)|^p\rho(r){\rm d}r\\ &\leq &M{\rm e}^{\omega kq_{2k}}\bigg(\int_{\Delta_{[q_{2k}, q_{2k+1})}}|h(r)|^p\rho(r){\rm d}r +\int_{\Delta_{[q_{2k+1}, \infty)}}|h(r)|^p\rho(r){\rm d}r\bigg)\\ &\leq& M{\rm e}^{\omega kq_{2k}}\bigg(0+\int_{\Delta_{[q_{2k+1}, \infty)}}|h(r)|^p\rho(r){\rm d}r\bigg)\\ &<&\frac{M{\rm e}^{\omega kq_{2k}}}{M{\rm e}^{\omega k^2q_{2k}}}\\ &=&{\rm e}^{-{\omega k(k-1)q_{2k}}}. \end{eqnarray*} $

注意到 $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{(kq_{2k})^2-(q_{2k})^2}{(kq_{2k})^2}=1$, 因此我们可得

$ \overline{\mbox{Dens}}\{s\in \Delta: \|T_sh\|_p<\varepsilon\}=1, ~~\forall~\varepsilon>0. $

固定 $X$中的一个具有紧支撑的稠密函数序列 $(y_n)_n$, 并定义

$ S=\bigcup\limits_{n\in {\Bbb N}}\bigg(y_n+\left\{\alpha h: \frac{1}{n+1}<\alpha<\frac{1}{n}\right\}\bigg). $

显然 $S$是 $X$的一个稠密子集.下面我们将说明 $S$是转移半群 ${{\cal T}}$的一个分布 $\delta'$-scrambled集.

设 $x, x'\in S$, 且 $x\neq x'$.取 $x=y_m+\alpha h$以及 $x'=y_n+\beta h$满足 $\alpha<\beta<1$.则有

$ \begin{eqnarray*} &&\overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sx'\|_p<\varepsilon\})\\ &=&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\mu(\{s\in \Delta_r: \|T_sx-T_sx'\|_p<\varepsilon\})} {\mu (\Delta_r)}\\ &=&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty} \frac{\mu(\{s\in \Delta_r: \|T_s(y_m+\alpha h)-T_s(y_n+\beta h)\|_p<\varepsilon\})}{\mu (\Delta_r)}\\ &\geq&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty} \frac{\mu(\{s\in \Delta_r: \|T_s(y_m)-T_s(y_n)\|_p+\|(\alpha -\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu (\Delta_r)}. \end{eqnarray*} $

既然 $y_n$和 $y_m$是具有紧支撑的函数, 因而存在 $r_0$, 当 $|s|\geq r_0$时有 $T_s(y_m)=T_s(y_n)=0$.这样, 有

$ \begin{eqnarray*} &&\overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sx'\|_p<\varepsilon\})\\ &=&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\bigg( \frac{\mu(\{s\in \Delta_{r_0}: \|T_s(y_m)-T_s(y_n)\|_p+\|(\alpha-\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu (\Delta_r)}\\ &&+\frac{\mu(\{s\in \Delta_{[r_0, \infty)}: \|T_s(y_m)-T_s(y_n)\|_p+\|(\alpha-\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu(\Delta_r)}\bigg)\\ &=&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\bigg(0+\frac{\mu(\{s\in \Delta_{[r_0, \infty)}: \|(\alpha-\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu(\Delta_r)}\bigg)\\ &=&\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\mu(\{s\in \Delta_{r_0}: \|(\alpha-\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu(\Delta_r)}\\ &+&\frac{\mu(\{s\in \Delta_{[r_0, \infty)}: \|(\alpha-\beta)T_sh\|_p<\varepsilon\})}{\mu(\Delta_r)}\\ &=&\overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: (\beta-\alpha)\|T_sh\|_p<\varepsilon\})\\ &=&1. \end{eqnarray*} $

因此, $\overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sx'\|_p<\varepsilon\})=1.$

注意到(1)式: $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: \|T_sh\|_p<N\}=0$, 显然有 $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: (\beta-\alpha)\|T_sh\|_p <\delta'\}=0.$这样我们就证明了 $(2)\Rightarrow (3)$.

对于 $(3)\Rightarrow(1)$, 只需取 $g, h\in S$, $g\neq h$, 这里 $S$是 ${\cal T}$的一个scrambled集.由分布混沌的定义存在 $\delta>0$, 使得

$ \underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: \|T_sg-T_sh\|_p<\delta\}=0. $

定义 $f:=g-h$, 则 $\|T_sf\|_p=\|T_sg-T_sh\|_p$, 因此

$ \underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: \|T_sf\|_p<\delta\}=0. $

这样就完成了整个定理的证明.

下面我们将在加权空间 $L^p$上根据相容权函数来给出转移 $C_0$-半群是分布混沌的一个充分条件.为此, 我们先证明两个引理.

引理2.2  设 ${\cal K}\in {\Bbb N}$, 满足 $\underline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau$, $l>0$.则有

$ \tau^2\leq\underline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\} \leq 1-(1-\tau)^2. $

相应地

$ (1-\tau)^2\leq\overline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\} \leq 1-\tau^2. $

证  既然 $\underline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau$, 则存在 $n_0$使得对所有的 $n\geq n_0$有 ${\cal K}\cap[0, n]>n\tau$.设 ${\cal K}\cap[0, n]=\{n_1, n_2, \ldots, n_k\}$.那么有

$ \begin{eqnarray*} &&\underline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\}\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\sum\limits_{i\in{\cal K}\bigcap\{1, 2, \ldots, n\}}\mu(\Delta_{[il, (i+1)l)})}{\mu(\Delta_{nl})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(\Delta_{[n_1l, (n_1+1)l)})+ \mu(\Delta_{[n_2l, (n_2+1)l)})+\ldots+\mu(\Delta_{[n_kl, (n_k+1)l)})}{\mu(\Delta_{nl})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{l^2(2n_1+1)+ l^2(2n_2+1)+\ldots +l^2(2n_k+1)}{ n^2l^2}\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{2(n_1+n_2+\ldots+n_k)+k}{n^2} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{k[\frac{2(n_1+n_2+\ldots+n_k)}{k}+1]}{n^2} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{n_1+n_2+\ldots+n_k}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &\geq&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{1+2+\ldots+k}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{\frac{k(k+3)}{2}}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n}+\frac{4}{n}\bigg]\\ &=&\tau^2. \end{eqnarray*} $

由上面的过程还可以得到

$ \begin{eqnarray*} &&\underline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l]}: i\in {\cal K}\}\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{n_1+n_2+\ldots+n_k}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &\leq&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{n+(n-1)+(n-2)+\cdots+(n-k+1)}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2\frac{nk-\frac{k(k-1)}{2}}{nk}+\frac{1}{n}\bigg]\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2-\frac{k}{n}+\frac{2}{n}\bigg]\\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n} \bigg[2-\frac{|{\cal K}\cap[0, n]|}{n}+\frac{2}{n}\bigg]\\ &=&\tau(2-\tau)\\ &=&1-(1-\tau)^2. \end{eqnarray*} $

由 $\underline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\}$和 $\overline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\}$两者之间的关系我们可以得到

$ (1-\tau)^2\leq\overline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\} \leq 1-\tau^2. $

证毕.

引理2.3  设 $A\subset\Delta$是一个可测集, 满足 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1, \lambda\in (0, 1)$, $l>0$.定义 ${\cal K}_\lambda:=\{k\in{ {\Bbb N}}: \mu(A\bigcap \Delta_{[il, (i+1)l)})>\lambda\mu(\Delta_{[il, (i+1)l)})\}$.则有 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K}_\lambda)=1$.

证  假定 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau<1$, 则有 $\underline{\mbox{Dens}}({\Bbb N}\setminus{\cal K})= 1-\tau$, 因此存在 $n_0\in {\Bbb N}$使得对每个 $n\geq n_0$, 有 $|{\Bbb N}\setminus{\cal K}|\geq n(1-\tau)$.对每个 $j\in {\Bbb N}\setminus{\cal K}$, 存在一个可测集 $B_j\subset\Delta_{[jl, (j+1)l)}$以及 $\beta_\lambda\in (0, 1-\lambda]$, 使得 $\mu(B_j)\geq \beta_\lambda\mu(\Delta_{[jl, (j+1)l)})$和 $A\bigcap B_j=\emptyset$成立.定义 ${\cal B}=\bigcup\limits_{j\in \Bbb N\setminus{\cal K}}B_j\subset\Delta \setminus A$.则对每个 $n\geq n_0$, 有

$ \begin{eqnarray*} {\cal B}\bigcap \Delta_{[l, (n+1)l)}&=&{\cal B}\bigcap (\Delta_{[l, 2l)}+\Delta_{[2l, 3l)}+\ldots+\Delta_{[nl, (n+1)l)})\\ &=&{\cal B}\bigcap \Delta_{[l, 2l)}+{\cal B}\bigcap\Delta_{[2l, 3l)}+\ldots+ {\cal B}\bigcap\Delta_{[nl, (n+1)l)}. \end{eqnarray*} $

设 $({\Bbb N}\setminus{\cal K})\bigcap \{1, 2, \ldots, n\}=\{n_1, n_2, \cdots, n_k\}$.注意到当 $j\in \Bbb N\setminus{\cal K}$时有 $B_j\subset \Delta_{[jl, (j+1)l)}$.则

$ \underline{\mbox{Dens}}({\cal B})= \liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu({\cal B}\bigcap \Delta_{[l, (n+1)l)})} {\mu(\Delta_{[l, (n+1)l)})}\\ =\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(B_{n_1}\bigcap \Delta_{[n_1l, (n_1+1)l)}+B_{n_2} \bigcap\Delta_{[n_2l, (n_2+1)l)}+\ldots+B_{n_k}\bigcap\Delta_{[n_kl, (n_k+1)l)})}{\mu(\Delta_{[l, (n+1)l)})}\\ \geq\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\beta_\lambda\mu(\Delta_{[n_1l, (n_1+1)l)})+ \beta_\lambda\mu(\Delta_{[n_2l, (n_2+1)l)})+\ldots+\beta_\lambda\mu(\Delta_{[n_kl, (n_k+1)l)})} {\mu(\Delta_{[l, (n+1)l)})}\\ =\underline{\mbox{Dens}}(\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\Bbb N}\setminus{\cal K}\})\beta_\lambda\\ \geq(1-\tau)^2\beta_\lambda\hspace{20mm}(\mbox{由 引理2.2})\\ >0. $

由此可得

$ \overline{\mbox{Dens}}(A)=1-\underline{\mbox{Dens}}(\Delta\setminus A) \leq 1-\underline{\mbox{Dens}}({\cal B})<1, $

显然这是一个矛盾.因此 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K})=1$.

注2.4  在实际应用中, 对于上面的引理可取 $l=1$, 文献[13]中作者为了方便就作出这样的假定, 并不影响所得出的结果.

定理2.5  如果存在一个可测子集 $A\subset\Delta$, 使得 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$且 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 则转移半群 $\{T_t\}_{t\in\Delta}$在 $X$上是稠密分布混沌的.

证  定义 $f$如下

$ f(t):=\left\{\begin{array} {l@{, \quad}l} 1&t\in A; \\ 0&\mbox{其它}. \end{array} \right. $

由于 $\|f(t)\|=\int_A1^p\rho(s){\rm d}s<\infty$, 因此 $f\in X$.取 $l>0$使得 $\mu( A\cap\Delta_{[0, 2l]})>\frac{1}{2}\mu(\Delta_{[0, 2l]})>\frac{1}{2}$.则存在一个 $\delta>0$使得对每个 $t\in \Delta_{[0, 2l]}$ 有 $\rho(t)>2\delta$.定义集 ${\cal K}=\{k\in {\Bbb N}: \mu(A\cap\Delta_{[kl, (k+1)l]}) >$ $\frac{1}{2}\mu(\Delta_{[kl, (k+1)l]})\}$.由引理2.3可知 $\overline{\mbox{dens}}({\cal K})=1$.现定义集合 $A'=\bigcup\limits_{k\in{\cal K}}(\Delta_{[(k-1)l, kl]}\cap A)$, 则有 $\overline{\mbox{dens}}(A')=\overline{\mbox{dens}}({\cal K})=1$.

设 $s\in A'$, 则存在 $k\in {\cal K}$使得 $s\in \Delta_{[(k-1)l, kl]}\cap A$.

$ \begin{eqnarray*} \|T_sf\|_p^p&>&\int_{\Delta_{[0, 2l]}\cap A}|T_sf(t)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &=&\int_{\Delta_{[0, 2l]}\cap A}|f(t+s)|^p\rho(t){\rm d}t\\ &>&\int_{s+(\Delta_{[0, 2l]}\cap A)}|f(t)|^p2\delta dt\\ &=&2\delta\mu\{[s+(\Delta_{[0, 2l]}\cap A)]\}\\ &>&2\delta\times\frac{1}{2}\\ &=&\delta. \end{eqnarray*} $

因此有 $\underline{\mbox{dens}}\{s\in \Delta: \|T_sf\|_p<\delta^{1/p}\}=0$, 由定理2.1, 我们就完成了定理的证明.

下面的定理表明, 在指标集 $\Delta$的某些子集上, 转移半群 $\{T_t\}_t$仍然是分布混沌的.

定理2.6  设 $\Delta_\alpha=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha, \alpha\in(0, \frac{\pi}{2})\}$.扇形 $\Delta_\beta$是扇形指标集 $\Delta_\alpha$的一个子集, 并且两者具有共同的原点.假定 $\Delta_\alpha$是 $A$的一个可测子集, 且相对于 $\Delta_\alpha$有 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$.那么有

(1) $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)=1$, 相对于 $\Delta_\beta$, 这里 $A_\beta=A\cap \Delta_\beta$.

(2) $\overline{\mbox{Dens}}(s+\Delta_\alpha)=1$, $\forall ~s\in\Delta_\alpha$.

此外, 假定 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 则转移半群 $\{T_t\}_{t\in\Delta_\beta}$和 $\{T_t\}_{t\in\{s+\Delta_\alpha\}}$在 $X$上是稠分布混沌的.

证  假定对某个 $\tau>0$, 相对于 $\Delta_\beta$有 $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)<\tau<1$.那么有 $\underline{\mbox{Dens}}(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\geq 1-\tau$.这意味着对每个 $n\geq n_0$, 存在 $n_0\in {\Bbb N}$使得

$ \frac{\mu[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[0, n]}]}{\mu(\Delta_{\beta[0, n]})}\geq 1-\tau.\\ \mu\left[\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right] \geq (1-\tau)\mu\bigg(\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\Delta_{\beta[i, i+1]}\bigg).\\ \sum\limits_{i=0}^{n-1}\mu\left[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right] \geq (1-\tau)\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big).\\ \sum\limits_{i=0}^{n_0-1}\mu(\Delta_{\beta[i, i+1]})+ \sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\left[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right]\\ \geq (1-\tau)\sum\limits_{i=0}^{n_0-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)+ (1-\tau)\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big).\\ \sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\left[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right] \geq (1-\tau)\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)- \tau\sum\limits_{i=0}^{n_0-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big). $

(2.2)

设 $B=\bigcup\limits_{i=n_0}^{\infty}\left[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right]$.显然有 $B\subset \Delta_\alpha\setminus A$.则当 $n\geq n_0$时计算 $B$的下稠集有

$ \begin{eqnarray*} \underline{\mbox{Dens}}(B)&=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\mu\bigg[B\cap \Big(\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\Delta_{\alpha[i, i+1]}\Big)\bigg]}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &\geq&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\mu\bigg[B\cap \Big(\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\Delta_{\beta[i, i+1]}\Big)\bigg]}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\mu\bigg(\Big(\bigcup\limits_{i=n_0}^{\infty}[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}]\Big)\cap \Big(\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\Delta_{\beta[i, i+1]}\Big)\bigg)}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\mu\Big(\bigcup\limits_{i=n_0}^{n-1}(\Delta_\beta\setminus A_\beta) \cap\Delta_{\beta[i, i+1]}\Big)}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\big((\Delta_\beta\setminus A_\beta) \cap\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &\geq&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{(1-\tau)\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)- \tau\sum\limits_{i=0}^{n_0-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)} {\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \hspace{5mm}\mbox{by (2.2)} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{(1-\tau)\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\mu\big(\Delta_{\beta[i, i+1]}\big)}{\mu(\Delta_{\alpha[0, n]})} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} (1-\tau)\frac{\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}\beta(2i+1)}{\alpha n^2} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{(1-\tau)\beta}{\alpha}\cdot\frac{2\sum\limits_{i=n_0}^{n-1}i+n-n_0}{ n^2} \\ &=&\liminf\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{(1-\tau)\beta}{\alpha}\cdot\frac{2\times\frac{(n-n_0)(n+n_0-1)}{2}+n-n_0}{ n^2} \\ &=&\frac{(1-\tau)\beta}{\alpha}\\ &>&0. \end{eqnarray*} $

这样

$ \overline{\mbox{Dens}}(A)=1-\underline{\mbox{Dens}}(\Delta\setminus A)\leq 1-\underline{\mbox{Dens}}(B)<1. $

显然这是一个矛盾!因此有 $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)=1$.既然 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 可得 $\int_{A_\beta}\rho(s){\rm d}s<\infty$.因此由定理2.4, $\{T_t\}_{t\in\Delta_\beta}$是稠分布混沌的.

令 $\Delta^s_{\alpha}=s+\Delta_{\alpha}$, $A_s= A\cap \Delta^s_{\alpha}$.为得到 $\{T_t\}_{t\in\{s+\Delta_\alpha\}}, s\in\Delta_\alpha$在 $X$上是稠分布混沌的, 只须证明

$ \overline{\mbox{Dens}}(A_s)= \limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A_s\cap \Delta^s_{\alpha [0, n]})}{\mu(\Delta^s_{\alpha [0, n]})}=1. $

根据 $\int_{A_s}\rho(s){\rm d}s < \int_{A}\rho(s){\rm d}s<\infty$和定理2.4即可得出结论.

易知 $\Delta^s_{\alpha [0, n]}\subset\Delta_{\alpha [0, |s|+n]}.$ 因此有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(\Delta^s_{\alpha [0, n]})} {\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\alpha n^2}{\alpha (|s|+n)^2}=1. $

由此可以得到

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]}\setminus\Delta^s_{\alpha [0, n]})} {\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})}=0. $

既然 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$, 则

$ \begin{eqnarray*} 1&=&\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A\cap\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})} {\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})} \\ &=&\limsup\limits_{n\rightarrow\infty} \frac{\mu(A\cap(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]}\setminus\Delta^s_{\alpha [0, n]}))+\mu(A\cap\Delta^s_{\alpha [0, n]})} {\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})}\\ &=&\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A\cap\Delta^s_{\alpha [0, n]})}{\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})} \\ &=&\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A_s\cap\Delta^s_{\alpha [0, n]})}{\mu(\Delta_{\alpha [0, |s|+n]})} \\ &\leq&\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A_s\cap\Delta^s_{\alpha [0, n]})} {\mu(\Delta^s_{\alpha [0, n]})}. \end{eqnarray*} $

因此

$ \overline{\mbox{Dens}}(A_s)=\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\mu(A_s\cap\Delta^s_{\alpha [0, n]})} {\mu(\Delta^s_{\alpha [0, n]})}=1. $

这样, 我们就完成了定理的证明.