整篇文章中我们所使用的空间都是复Banach空间.符号 ${\Bbb N}$, $\Bbb R_+$和 ${\Bbb C}$分别是指自然数集、正实数集和复数域.
文献[1]中, Li和Yorke观察到一类周期为3的区间映射具有复杂的动力学行为, 这种现象就是目前人们所熟知的Li-Yorke意义下的混沌. Schweizer和Smítal[2]研究了紧区间上自映射具有正拓扑商之后, 拓广了Li-Yorke混沌概念的意义, 即得到了分布混沌的定义.此后各种混沌的定义逐渐发展起来[3], 然而人们也观察到分布混沌的概念通常是独立于其它混沌的概念的[4-5].在实际计算中, 即使是比较简单的分布混沌情形, 也是非常难以从定义直接给出证明的.最近, 人们试图在线性空间的背景下来研究分布混沌行为.
在线性空间中, 尤其是在Banach空间或Fréchet空间, 人们最初研究的是连续线性算子通过迭代所生成离散动力系统的分布混沌行为[6-12].此后又推广到对线性算子 $C_0$ -半群动力系统的研究, 一些富有意义的成果, 例如在处理与某些偏微分方程有关的 $C_0$ -半群时, 随着人们研究的深入而不断地涌现[13].对以实直线或正半实直线为指标集的半群分布混沌的研究, 相关的结果可以参考文献[14-15].而对以复平面上扇形为指标集的半群情形的研究会更加复杂, 其行为的变化也更加丰富[16-17].本文主要致力于以复扇形为指标集的转移半群分布混沌行为的研究.这里复扇形的形式为 $\Delta=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha\}$, $\alpha\in(0, \frac{\pi}{2})$.
给定 $\Delta$和 $r, r_1, r_2>0$, 引进下面的符号: $\Delta_{[r_1, r_2]}=\{t\in \Delta: r_1\leq |t|\leq r_2\}$, $\Delta_{(r_1, r_2)}=\{t\in \Delta: r_1< |t|< r_2\}$, 以及 $\Delta_{[r, \infty)}=\{t\in \Delta: |t|\geq r\}$.有时为了方便我们也记 $\Delta_r=\Delta_{[0, r]}$.
定义1.1 设 $\Delta$为一个复扇形. $\Delta$上的相容权函数定义为一个可测函数 $\rho: \Delta\longrightarrow \Bbb R$, 满足
(ⅰ) $\rho(t)>0, \forall t\in \Delta$;
(ⅱ) 存在常数 $M \geq 1$和 $\omega\in \Bbb R$, 使得 $\rho(t)\leq M{\rm e}^{\omega t'} \rho(t+t'), \forall t'\in \Delta$.
不失一般性, 我们可假定 $\omega\geq 0$.此后 $\rho$将表示相容权函数, $M, \omega$将表示如定义中所示的常数.
设 $\rho$为 $\Delta$上的一个相容权函数, 我们考虑下面的函数空间
分别定义这两个函数空间上的范数如下
在这个范数下, $(L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_p )$以及 $(C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_\infty )$就成为Banach空间, 并且具有紧支撑的光滑函数在这些空间中稠密.
定义1.2 设 $X$是空间 $(L^p_\rho(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_p )$或 $(C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C}), \|u\|_\infty )$, 其相容权函数为 $\rho$.对于 $t\in \Delta$以及 $u\in X$, 定义 $T(t)u$如下
这里 $\tau\in \Delta$, 我们称 $\{T(t)\ |\ t\in \Delta\}$ $X$上的转移半群.
受到实半直线上 $C_0$ -半群分布混沌概念的启发, 我们首先给出一些以复扇形为指标集的相关定义.
定义1.3 设 $A$是 $\Delta$的一个Lebesgue可测子集, 定义集合 $A$的上稠性和下稠性分别如下
定义1.4 称Banach空间 $X$上的一个 $C_0$ -算子半群 ${{\cal T}}=\{T_t\}_{t\in\Delta}$是分布混沌的, 如果存在一个不可数子集 $S\subset X$, 以及 $\delta>0$, 使得对每对不同点 $x, y\in S$和每个 $\varepsilon>0$, 有
我们称集 $S$是 ${{\cal T}}$的一个分布 $\delta$-scrambled集, 并且称 $\{x, y\}$是 ${{\cal T}}$的一个分布混沌对.如果scrambled集 $S$在 $X$上是稠密的, 则称半群 ${{\cal T}}$是稠分布混沌的; 假设 $S=X$, 则称 ${{\cal T}}$是完全分布混沌的.
下一节我们仅在空间 $(L^p_\rho(I, {\Bbb C}), \|u\|_p )$上讨论转移半群的分布混沌性, 在空间 $(C_{0, \rho}(I, {\Bbb C}), $ $\|u\|_\infty )$上相关的结果可以相似地获得.
利用权函数空间上的转移半群人们可以较好地理解各种混沌概念. Xavier Barrachina和Alfred Peris研究了实半直线上的分布混沌, 并且获得了一些富有意义的成果[14].在这一节里, 我们首先把这些结果推广到复扇形指标集的情形上.
定理2.1 设 ${{\cal T}}=\{T_t\}_{t\in \Delta}$是 $X=L^p_\rho(\Delta, \Bbb C)$或 $C_{0, \rho}(\Delta, {\Bbb C})$上的转移半群.那么下面是等价的.
(1) 存在 $f\in X$和 $\delta>0$, 使得
(2) 存在 $f\in X$, 使得对每个 $N>0$, 有
(3) ${{\cal T}}$是稠分布混沌的.
证 假定(1)成立, 则可以在 ${\Bbb N}$找到一个递增的序列 $(m_k)_k$, 使得
定义 $h$如下
设 $m_0:=0$.则 $h\in X$, 这是因为
固定一个任意的数 $N>\delta$以及 $k_0\in {\Bbb N}$, 满足 $k_0>\frac{N}{\delta}$.对任意 $|t|>m_{k_0}, |k_0f(t)|\leq |h(t)|$.由于 $\Delta=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha\}$, $\alpha\in(0, \frac{\pi}{2})$, 所以存在 $L>m_{k_0}$使得对任意 $|s|>L$有 $|s+t|>m_{k_0}$.这样, 对所有的 $s\in \Delta_{[L, \infty)}$, 有
因此我们有
由此可得 $(1)\Rightarrow (2)$成立.
假设(2)成立, 我们可以找到一个递增的序列 $(n_k)_{k\in \Bbb N}\subset {\Bbb N}$, 使得对每个 $k\in {\Bbb N}$, 有
由于 $\mu(\Delta_r)=\frac{\alpha}{2}r^2$, 由上面的不等式可得
我们还可以在 ${\Bbb N}$中找到一个充分快递增的序列 $(q_k)_{k\in \Bbb N}$, 使得对如上定义的 $h$有
另一方面, 对每个 $k\in {\Bbb N}$, 可有一个 $j=j(k)$, 满足 $k\leq j$, 使得 $kq_{2k-1}<n_{j(k)}<q_{2k}$, 以及对每个 $N>0$, 存在 $K_0\in {\Bbb N}$使得 $k>k_0$时有
得到上述结论的原因如下.对于 $k>k_0$, 有
令
我们可以看到对每个 $s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}$, 且 $k>k_0$有
因此, 对每个 $s\in \Delta_{[q_{2k-1}, n_{j(k)})}$, 且 $k$充分大, 如果 $\|T_sh\|_p<N$, 则有
这样, 我们就可以得到
由此
所以
另一方面, 在定义函数 $h$时我们引入充分大的由0组成的区间段使得对任意 $\varepsilon>0$有 $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in \Delta:\|T_sh\|_p<\varepsilon\}=1$.例如, 取 $q_{2k+1}>kq_{2k}$, 并且取 $k$充分大, 使得
那么存在 $k_0\in {\Bbb N}$满足对每个 $k>k_0$, 以及每个 $s\in\Delta_{[q_{2k}, kq_{2k})}$, 有
注意到 $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\frac{(kq_{2k})^2-(q_{2k})^2}{(kq_{2k})^2}=1$, 因此我们可得
固定 $X$中的一个具有紧支撑的稠密函数序列 $(y_n)_n$, 并定义
显然 $S$是 $X$的一个稠密子集.下面我们将说明 $S$是转移半群 ${{\cal T}}$的一个分布 $\delta'$-scrambled集.
设 $x, x'\in S$, 且 $x\neq x'$.取 $x=y_m+\alpha h$以及 $x'=y_n+\beta h$满足 $\alpha<\beta<1$.则有
既然 $y_n$和 $y_m$是具有紧支撑的函数, 因而存在 $r_0$, 当 $|s|\geq r_0$时有 $T_s(y_m)=T_s(y_n)=0$.这样, 有
因此, $\overline{\mbox{Dens}}(\{s\in \Delta: \|T_sx-T_sx'\|_p<\varepsilon\})=1.$
注意到(1)式: $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: \|T_sh\|_p<N\}=0$, 显然有 $\underline{\mbox{Dens}}\{s\in\Delta: (\beta-\alpha)\|T_sh\|_p <\delta'\}=0.$这样我们就证明了 $(2)\Rightarrow (3)$.
对于 $(3)\Rightarrow(1)$, 只需取 $g, h\in S$, $g\neq h$, 这里 $S$是 ${\cal T}$的一个scrambled集.由分布混沌的定义存在 $\delta>0$, 使得
定义 $f:=g-h$, 则 $\|T_sf\|_p=\|T_sg-T_sh\|_p$, 因此
这样就完成了整个定理的证明.
下面我们将在加权空间 $L^p$上根据相容权函数来给出转移 $C_0$-半群是分布混沌的一个充分条件.为此, 我们先证明两个引理.
引理2.2 设 ${\cal K}\in {\Bbb N}$, 满足 $\underline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau$, $l>0$.则有
相应地
证 既然 $\underline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau$, 则存在 $n_0$使得对所有的 $n\geq n_0$有 ${\cal K}\cap[0, n]>n\tau$.设 ${\cal K}\cap[0, n]=\{n_1, n_2, \ldots, n_k\}$.那么有
由上面的过程还可以得到
由 $\underline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\}$和 $\overline{\mbox{Dens}}\{t\in\Delta_{[il, (i+1)l)}: i\in {\cal K}\}$两者之间的关系我们可以得到
证毕.
引理2.3 设 $A\subset\Delta$是一个可测集, 满足 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1, \lambda\in (0, 1)$, $l>0$.定义 ${\cal K}_\lambda:=\{k\in{ {\Bbb N}}: \mu(A\bigcap \Delta_{[il, (i+1)l)})>\lambda\mu(\Delta_{[il, (i+1)l)})\}$.则有 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K}_\lambda)=1$.
证 假定 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K})=\tau<1$, 则有 $\underline{\mbox{Dens}}({\Bbb N}\setminus{\cal K})= 1-\tau$, 因此存在 $n_0\in {\Bbb N}$使得对每个 $n\geq n_0$, 有 $|{\Bbb N}\setminus{\cal K}|\geq n(1-\tau)$.对每个 $j\in {\Bbb N}\setminus{\cal K}$, 存在一个可测集 $B_j\subset\Delta_{[jl, (j+1)l)}$以及 $\beta_\lambda\in (0, 1-\lambda]$, 使得 $\mu(B_j)\geq \beta_\lambda\mu(\Delta_{[jl, (j+1)l)})$和 $A\bigcap B_j=\emptyset$成立.定义 ${\cal B}=\bigcup\limits_{j\in \Bbb N\setminus{\cal K}}B_j\subset\Delta \setminus A$.则对每个 $n\geq n_0$, 有
设 $({\Bbb N}\setminus{\cal K})\bigcap \{1, 2, \ldots, n\}=\{n_1, n_2, \cdots, n_k\}$.注意到当 $j\in \Bbb N\setminus{\cal K}$时有 $B_j\subset \Delta_{[jl, (j+1)l)}$.则
由此可得
显然这是一个矛盾.因此 $\overline{\mbox{Dens}}({\cal K})=1$.
注2.4 在实际应用中, 对于上面的引理可取 $l=1$, 文献[13]中作者为了方便就作出这样的假定, 并不影响所得出的结果.
定理2.5 如果存在一个可测子集 $A\subset\Delta$, 使得 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$且 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 则转移半群 $\{T_t\}_{t\in\Delta}$在 $X$上是稠密分布混沌的.
证 定义 $f$如下
由于 $\|f(t)\|=\int_A1^p\rho(s){\rm d}s<\infty$, 因此 $f\in X$.取 $l>0$使得 $\mu( A\cap\Delta_{[0, 2l]})>\frac{1}{2}\mu(\Delta_{[0, 2l]})>\frac{1}{2}$.则存在一个 $\delta>0$使得对每个 $t\in \Delta_{[0, 2l]}$ 有 $\rho(t)>2\delta$.定义集 ${\cal K}=\{k\in {\Bbb N}: \mu(A\cap\Delta_{[kl, (k+1)l]}) >$ $\frac{1}{2}\mu(\Delta_{[kl, (k+1)l]})\}$.由引理2.3可知 $\overline{\mbox{dens}}({\cal K})=1$.现定义集合 $A'=\bigcup\limits_{k\in{\cal K}}(\Delta_{[(k-1)l, kl]}\cap A)$, 则有 $\overline{\mbox{dens}}(A')=\overline{\mbox{dens}}({\cal K})=1$.
设 $s\in A'$, 则存在 $k\in {\cal K}$使得 $s\in \Delta_{[(k-1)l, kl]}\cap A$.
因此有 $\underline{\mbox{dens}}\{s\in \Delta: \|T_sf\|_p<\delta^{1/p}\}=0$, 由定理2.1, 我们就完成了定理的证明.
下面的定理表明, 在指标集 $\Delta$的某些子集上, 转移半群 $\{T_t\}_t$仍然是分布混沌的.
定理2.6 设 $\Delta_\alpha=\{r{\rm e}^{{\rm i}\theta}: r\geq 0, |\theta|\leq \alpha, \alpha\in(0, \frac{\pi}{2})\}$.扇形 $\Delta_\beta$是扇形指标集 $\Delta_\alpha$的一个子集, 并且两者具有共同的原点.假定 $\Delta_\alpha$是 $A$的一个可测子集, 且相对于 $\Delta_\alpha$有 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$.那么有
(1) $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)=1$, 相对于 $\Delta_\beta$, 这里 $A_\beta=A\cap \Delta_\beta$.
(2) $\overline{\mbox{Dens}}(s+\Delta_\alpha)=1$, $\forall ~s\in\Delta_\alpha$.
此外, 假定 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 则转移半群 $\{T_t\}_{t\in\Delta_\beta}$和 $\{T_t\}_{t\in\{s+\Delta_\alpha\}}$在 $X$上是稠分布混沌的.
证 假定对某个 $\tau>0$, 相对于 $\Delta_\beta$有 $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)<\tau<1$.那么有 $\underline{\mbox{Dens}}(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\geq 1-\tau$.这意味着对每个 $n\geq n_0$, 存在 $n_0\in {\Bbb N}$使得
设 $B=\bigcup\limits_{i=n_0}^{\infty}\left[(\Delta_\beta\setminus A_\beta)\cap \Delta_{\beta[i, i+1]}\right]$.显然有 $B\subset \Delta_\alpha\setminus A$.则当 $n\geq n_0$时计算 $B$的下稠集有
这样
显然这是一个矛盾!因此有 $\overline{\mbox{Dens}}(A_\beta)=1$.既然 $\int_A\rho(s){\rm d}s<\infty$, 可得 $\int_{A_\beta}\rho(s){\rm d}s<\infty$.因此由定理2.4, $\{T_t\}_{t\in\Delta_\beta}$是稠分布混沌的.
令 $\Delta^s_{\alpha}=s+\Delta_{\alpha}$, $A_s= A\cap \Delta^s_{\alpha}$.为得到 $\{T_t\}_{t\in\{s+\Delta_\alpha\}}, s\in\Delta_\alpha$在 $X$上是稠分布混沌的, 只须证明
根据 $\int_{A_s}\rho(s){\rm d}s < \int_{A}\rho(s){\rm d}s<\infty$和定理2.4即可得出结论.
易知 $\Delta^s_{\alpha [0, n]}\subset\Delta_{\alpha [0, |s|+n]}.$ 因此有
由此可以得到
既然 $\overline{\mbox{Dens}}(A)=1$, 则
因此
这样, 我们就完成了定理的证明.