考虑守恒形式的交通流A-R模型

$ \left\{\begin{array}{ll}\rho_t+(\rho u)_x=0, \\ (\rho (u+p(\rho)))_t+(\rho u(u+p(\rho)))_x=0, \end{array}\right . $

(1)

其中, $\rho\geq 0$, $u\geq 0$分别表示交通流在马路上的车流密度和速度, $p$表示速度补偿.汽车交通的二阶模型是由Daganzo^[10]提出, Aw和Rascle^[1]为了补救二阶模型的不足提出了系统(1.1). A-R模型由Zhang^[27]独立衍生.作为一个宏观系统, 系统(1.1)被广泛用于研究交通堵塞的形成和动态.

在文献[2]中, 通过把 $p$变成 $\varepsilon p $和含有密度约束 $0<\rho\leq\rho*$的 $p(\rho)=(\frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho*})^{-\gamma}$ $(\gamma>0$)研究它的极限行为.函数 $p(\rho)$被定义为 $\rho\leq \rho^{*}$, 而且当 $\rho\rightarrow \rho^{*}$时, 它趋向于无穷, 所以最大密度的极限是不能达到的.假设 $\rho^{*}$成一个固定的常数, 即使它实际上是依靠速度.然而研究得到, 在 $\rho\leq\rho*$约束下, 当 $\rho$趋向于 $\rho*, $压力项变得活跃.最近, Shen和Sun^[19]研究了放弃最大密度约束的极限行为, 即 $\rho=\rho*$不是奇特点.那么, 从双曲守恒律上看, 以下方程是有意义的

$ \left\{\begin{array}{ll}\rho_t+(\rho u)_x=0, \\ (\rho u+\varepsilon p(\rho))_t+(\rho u^2+\varepsilon up(\rho))_x=0, \end{array}\right . $

(1.2)

其中, 用 $ p(\rho)$替代系统(1.1)中的 $\rho p(\rho), $这是为了方便和简洁计算.

当压力消失时, 系统(1.2)的极限形式是以下无压气体动力学(PGD)模型

$ \left\{\begin{array}{ll}\rho_t+(\rho u)_x=0, \\ (\rho u)_t+(\rho u^2)_x=0.\end{array}\right . $

(1.3)

系统(1.3)被称为交通模型或零压Euler方程.它常用来描述自由粒子在低温状态下发生碰撞粘合在一起的运动^[4]和宇宙中大尺寸结构的形成过程^[20-21].

在2010年, Shen和Sun^[19]研究了在方程组(1.2)中令 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 它的黎曼解的极限, $p(\rho)$表示为

$ p(\rho)=\rho^{\gamma}, \, \, \, \, \, \gamma> 1. $

(1.4)

然而Shen和Sun^[19]证实了当压力趋向于零时, 方程组(1.2)和(1.4)的黎曼解不收敛于方程组(1.3)的黎曼解.为了解决以上问题, 考虑另一压力方程(参考文献[15])

$ p(\rho)=-\frac{1}{\rho^{\alpha}}, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 0<\alpha<1. $

(1.5)

Chaplygin气体 $(\alpha=1)$是由Chaplygin^[6], Tsien^[24]和von Karman^[13]提出来的, 它是为了分析空气动力学中的飞机机翼在上升时所承受的压力, 然后适当引入的数学模型. Chaplygin气体拥有负压和出现在特定的宇宙学理论中.

含有压力方程(1.5)的方程组(1.1)与含有压力方程(1.5)的方程组(1.2)有本质上的区别.对于前者, 它是一个线性退化的系统, 即特征值是线性退化的; 于是经典基本波仅涉及接触间断.然而, 对于后者, 它有一个真正非线性特征值和一个线性退化的特征值；第一基本波是稀疏波或激波, 第二基本波是接触间断, 并且黎曼解出现Delta激波.

本文是为了解决方程组(1.2)和(1.5)的黎曼问题. Chaplygin气体模型被视为暗物质和暗能量的同一模型^{[12, 14-15]}.本文主要讨论A-R模型(1.2)和(1.5)在以下黎曼初值条件下的黎曼问题

$ (\rho, u)(x, 0)=(\rho_{\pm}, u_{\pm}), \, \, \, \, \, \, \, \, \, \pm{x}>0, $

(1.6)

其中 $\rho_{\pm} >0$, $u_{\pm} >0.$

本章的结构安排如下:第二节, 利用相平面中关于特征线分析的方法, 得到两种类型的黎曼解, 包含1-激波或1-稀疏波和2-接触间断.第三节, 在适当广义的Rankine-Hugoniot条件以及熵条件下, 建立了 $\delta$-激波的存在性以及唯一性.第四节, 当压力消去时, 分析黎曼解的极限行为.可得当 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解的极限出现一个 $\delta$-激波和一个真空状态.更重要的是, 证实了当 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解收敛于方程组(1.3)的黎曼解.

在这一节里, 我们将给出有关方程组(1.2)和(1.5)的基本的特征和对条件(1.6)下的黎曼问题进行求解.方程组(1.2)可简单地写成

$ \left(\begin{array}{cc}\rho\\u \end{array}\right)_t+\left( \begin{array}{cc} u~~& \rho \\[2mm] 0 ~~& u-\varepsilon p'(\rho)+\frac{\varepsilon p(\rho)}{\rho} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\rho\\u \end{array}\right)_x=0. $

(2.1)

由此可知相应的特征值为

$ \lambda_{1}=u-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \lambda_{2}=u, $

与之对应的右特征向量为

$ \overrightarrow{r}_1=\bigg(1,-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{\alpha+2}}\bigg)^T, \, \, \, \, \, \overrightarrow{r}_2=(1, 0 )^T. $

计算有

$ \bigtriangledown\lambda_1\cdot \overrightarrow{r_1}=\frac{\alpha(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{\alpha+2}}\neq0, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \bigtriangledown\lambda_2\cdot \overrightarrow{r_2}\equiv 0. $

因此方程组(1.2)和(1.5)在 $\rho>0$为严格双曲型.由上可得当 $0<\alpha<1$时, $\lambda_{1}$是真正地非线性, $\lambda_{2}$是线性退化的.所以, 第一类的基本波是稀疏波或激波, 对于第二类的基本波是接触间断.

下面我们找出方程组(1.2)和(1.5)的相似解

$ (\rho, u)(x, t)=(\rho, u)(\xi), \, \, \, \, \xi=\frac{x}{t}. $

那么, 黎曼问题可转化成常微分方程的边值问题

$ \left\{\begin{array}{ll} -\xi\rho _{\xi}+(\rho u)_{\xi}=0, \\ -\xi(\rho u+\varepsilon p(\rho))_{\xi}+(\rho u^2+\varepsilon up(\rho))_{\xi}=0 \end{array}\right . $

(2.2)

和 $(\rho, u)(\pm\infty)=(\rho_{\pm}, u_{\pm}).$式子(2.2)等价于

$ \left( \begin{array}{cc} u-\xi~~&\rho \\ -\xi u-\xi\varepsilon p'(\rho)+ u^2+\varepsilon up'(\rho)~~&-\xi\rho+2\rho u+\varepsilon p(\rho) \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\rho_{\xi}\\u_{\xi} \end{array}\right)=0. $

(2.3)

式子(2.3)除了包括常数解 $(\rho>0)$, 还包括了一个稀疏波, 它是含有 $(\rho, u)(\xi)$形式的连续解.那么, 当 $0<\alpha<1$, 对于任意给的左状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $通过1-稀疏波连接状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边的可能的状态 $(\rho, u)$, 可写成

$ R(\rho_{-}, u_{-}): \left\{ \begin{array}{ll} \xi=u-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}, \\[3mm] u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}_{-}}, \\ u>u_{-}, \rho<\rho_{-}. \end{array} \right. $

(2.4)

对于已知的状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $考虑对于全部可能的状态 $(\rho, u)$是通过1-激波与状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边连接的.如果 $\xi=\sigma$是一个边界的间断解, 那么R-H条件可写成

$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\sigma[\rho] +[\rho u]=0, \\ \displaystyle -\sigma[\rho u+\varepsilon p(\rho)] +[\rho u^2+\varepsilon up(\rho)]=0, \end{array} \right. $

(2.5)

其中 $[\rho]=\rho_{+}-\rho_{-}, $ $\rho_{+}$和 $\rho_{-}$分别表示函数 $\rho$在间断曲线左侧和右侧的函数值, $\sigma$表示间断曲线的速度.

通过分析计算可得, Lax-激波的不等式蕴含了 $\rho>\rho_{-}.$那么当 $0<\alpha<1$, 对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $对于全部可能的状态是通过1-激波与状态 $(\rho, u)$右边, 形式如下

$ S(\rho_{-}, u_{-}):\left\{ \begin{array}{ll} \sigma=u+\frac{\varepsilon \rho_{-}(\rho^{-\alpha-1}-\rho_{-}^{-\alpha-1})}{\rho-\rho_{-}} =u_{-}+\frac{\varepsilon \rho(\rho^{-\alpha-1}-\rho_{-}^{-\alpha-1})}{\rho-\rho_{-}}, \\[3mm] u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}, \\[2mm] u<u_{-}, \rho>\rho_{-}. \end{array} \right. $

(2.6)

方程(2.6)的第二个式子对 $u$关于 $\rho$求导, 可得

$ u_{\rho}=-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{(\alpha+2)}}<0, \, \, \, \, u_{\rho\rho}=\frac{(\alpha+1)(\alpha+2)\varepsilon}{\rho^{\alpha+3}}>0. $

因此1-激波的曲线是单调递减的、凸的, 在 $(\rho, u)$平面上的渐近线为 $u=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}_{-}}$.由于 $\lambda_{2}$是线性退化的, 对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-})$, 我们讨论所有可能状态 $(\rho, u)$, 它是通过一个接触间断去连接状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边当且仅当

$ J:\xi=u=u_{-}. $

(2.7)

于是, 我们可以总结对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-})$, 与右边连接的状态有:1-稀疏波曲线, 1-激波曲线和2-接触间断曲线.在相平面中, 这些曲线将分成三个区域 $I=\Big\{(\rho, u)\Big|u<u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha +1}}\Big\}, $ $II=\Big\{(\rho, u)\Big|u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha +1 }}<u<u_{-}\Big\}$和 $III=\Big\{(\rho, u)\Big|u>u_{-}\Big\}.$根据右边的状态 $(\rho_{+}, u_{+})$在不同的区域, 构造出唯一的全局的黎曼解是与常状态连接 $(\rho_{\pm}, u_{\pm})$的, 如下

$ 1.~ (\rho_{+}, u_{+})\in II(\rho_{-}, u_{-}):S+J;\quad 2.~ (\rho_{+}, u_{+})\in III(\rho_{-}, u_{-}):R+J. $

以上黎曼解中, 中间的常状态 $(\rho_{*}, u_{*})$可以表示为

$ u_{+}=u_{*}, \, \, \, \, \, u_{*}-\frac{\varepsilon}{\rho_{*}^{\alpha+1}}=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}} $

和

$ (\rho_{*}, u_{*})=\bigg(\bigg( \frac{\varepsilon \rho_{-}^{\alpha+1}}{(u_{+}-u_{-})\rho_{-}^{\alpha+1}+\varepsilon}\bigg)^{\frac{1}{\alpha+1}} , u_{+}\bigg). $

然而, 对于 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$的情形, 黎曼解不能由经典基本波构造出来.事实上, 来自初值的特征线将在区域 $\Omega$重叠.所以, 奇性出现在区域 $\Omega$上.简单得知, 奇性不可能是有限振幅的跳跃, 因为在有界跳跃上时, 奇性是不满足于R-H条件的.总而言之, 不可能有这种形式的解, 是分段光滑有界的.所以, 具有权重的 $\delta$-测度的黎曼解将被构造出.

接下来, 我们将定义方程组(1.2)和(1.5)的广义解, 可参考相关文献[12, 15, 17, 22, 25].

假设 $\Gamma=\{\gamma_{i}:i\in I\}$是表示在闭的上半平面 $\{(x, t):x\in R, t\in [0, +\infty)\}\in {\Bbb R}^2$上的一个图像, 它包括了光滑的曲线 $\gamma_{i}=\{(x, t):S_{i}(x, t)=0\}, \, i\in I$, 其中 $I$表示一个有限的集合.令 $I_{0}$表示 $I$的子集, 使得对于 $i\in I_{0}$的曲线 $\gamma_{i}$的起点在 $x$-轴上; $\Gamma_{0}=\{x_{k}^{0}:i\in I_{0}\}$表示曲线 $\gamma_{i}$, $i\in I_{0}$, 的全部初始点集合.

下面将讨论 $\delta$-激波类型的初值 $(\rho^{0}(x), u^{0}(x))$, 其中

$ \rho^{0}(x)=\rho_{0}(x)+e^{0}\delta (\Gamma_{0}), $

$u^{0}, \rho_{0}\in L^{\infty}({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$, $e^{0}\delta (\Gamma_{0}) =\sum\limits_{i\in I}e^{0}\delta (x-x_{i}^{0})$和当 $i\in I_{0}$时, $e_{i}^{0}$是常数.此外, 对于(1.2)式的压力方程 $p(\rho)=-\frac{1}{\rho^{\alpha}}$, 关于 $\rho$, 它是非线性的, 可以表示为

$ \begin{eqnarray} p^{0}(x, t)=-\frac{1}{\rho_{0}^{\alpha}}, \end{eqnarray} $

(3.1)

其中可注意到 $\delta$-测度对压力没有影响.

定义3.1  一对分布 $(\rho(x, t), u(x, t))$以及图像 $\Gamma$, 其中 $\rho(x, t)$是以下形式之和

$ \rho(x, t)=\widehat{\rho}(x, t)+e(x, t)\delta(\Gamma)\, \, \, \, \mbox{和}\, \, \, \, p(x, t)=-\frac {1}{(\widehat{\rho }(x, t))^{\alpha }}, $

$u, \widehat{\rho}\in L^{\infty}({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$且对于 $i\in I$, $e(x, t)\delta(\Gamma)=\sum\limits_{i\in I}e_{i}(x, t)\delta (\gamma_{i})$, $e_{i}(x, t)\in C(\Gamma)$, 它被称为方程组(1.2)广义的 $\delta$-激波类型解, 它含有 $\delta$-激波类型的初值 $(\rho^{0}(x), u^{0}(x))$, 若对任意的检验函数 $\phi(x, t)\in C^\infty_0({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$都有以下积分等式成立

$ \begin{eqnarray} && \int_{{\Bbb R}_{+}}\int_{\Bbb R}\bigg(\widehat{\rho}\phi_{t} +\widehat{\rho}u \phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t +\sum\limits_{i\in I}\int_{\gamma_{i}}e_{i}(x, t) \frac{{\rm d} \phi(x(t), t)}{{\rm d}l}{\rm d}l \nonumber\\ &&+\int_{\Bbb R}\rho_{0}(x) \phi (x, 0){\rm d}x+\sum\limits_{i\in I_{0}}e_{i}^{0} \phi(x_{i}^{0}, 0)=0, \nonumber\\ && \int_{{\Bbb R}_{+}}\int_{\Bbb R}\bigg(\big(\widehat{\rho} u+\varepsilon p\big)\phi_{t}+\big(\widehat{\rho} u^2+\varepsilon up\big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t +\\ &&\sum\limits_{i\in I}\int_{\gamma_{i}}e_{i}(x, t) u_{\delta}(x, t)\frac{{\rm d}\phi(x, t)}{{\rm d}l}{\rm d}l \\ &&+\int_{\Bbb R}\big(\rho_{0}(x)u^{0}(x)+\varepsilon p(\rho_{0}(x))\big)\phi(x, 0){\rm d}x+\sum\limits_{i\in I_{0}}e_{i}^{0}u_{\delta}^{0}\big(x_{i}^{0}\big)\phi(x_{i}^{0}, 0)=0, \end{eqnarray} $

(3.2)

其中 $\frac{\partial\phi(x, t)}{\partial l}$表示在图像 $\Gamma$上切向导数, $\int_{\gamma_{i}}{\rm d}l$表示在曲线 $\gamma_{i}$上一个线积分, $u_{\delta}(x, t)$表示 $\delta$-激波的速度, 有

$ u_{\delta}^{0}(x_{i}^{0})=u_{\delta}(x_{i}^{0}, 0)=-\frac{(S_{i})_{t}}{(S_{i})_{x}}\bigg|_{(x_{i}^{0}, 0)}, \, \, \, i\in I_{0}. $

定理3.1  对柯西问题(1.2)和(1.5), 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$, 问题(1.2)有一个 $\delta$-激波类型的解

$ \begin{eqnarray*} u(x, t)&=&u_{-}+[u]H(x-x(t)), \\ \rho(x, t)&=&\rho_{-}+[\rho]H(x-x(t))+e(t)\delta(x-x(t)), \end{eqnarray*} $

它在定义3.1中积分等式是成立的, 其中 $\Gamma=\{(x, t):x=x(t)=\sigma_{\delta}t, \, t\geq0\}$, $\widehat{\rho}(x, t)=\rho_{-}+[\rho]H(x-x(t)), $

$ \int_{\Gamma}e(x, t)\frac{\partial\phi(x, t)}{\partial l}{\rm d}l=\int_{0}^{+\infty}e(x, t)\frac{{\rm d}\phi(x, t)}{{\rm d}t}{\rm d}t. $

并且 $ H(x)$是Heaviside函数

$ H(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, \, \, \, \, \mbox{当}\, \, \, x<0, \\ 1, \, \, \, \, \mbox{当} \, \, \, x>0. \end{array}\right. $

另外

$ \begin{eqnarray*} e(t)&=&\sigma_{\delta}[\rho]t-[\rho u]t, \\ e(t)\sigma_{\delta}&=&\sigma_{\delta}[\rho u+\varepsilon p(\rho)]t-[\rho u^2+\varepsilon u p(\rho)]t. \end{eqnarray*} $

证  下面将验证构造出来的 $\delta$-测度解在分布意义下是满足定义3.1的, 即

$ \int_{{\Bbb R}_{+}}\int_{\Bbb R}\bigg(\widehat{\rho}\phi_{t}+\widehat{\rho}u \phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t +\int_{0}^{+\infty}e(t) \frac{d \phi(x(t), t)}{{\rm d}t}{\rm d}t+\\ \int_{\Bbb R}\rho_{0}(x)\phi(x, 0){\rm d}x=0, $

(3.3)

$ \int_{{\Bbb R}_{+}}\int_{\Bbb R}\bigg(\big(\widehat{\rho} u+\varepsilon p\big)\phi_{t}+\big(\widehat{\rho} u^2+\varepsilon up\big)\phi_{x}\bigg){\rm d}x{\rm d}t +\\ \int_{0}^{+\infty}u_{\delta}e(t)\frac{{\rm d}\phi(x(t), t)}{{\rm d}t}{\rm d}t \\ +\int_{\Bbb R}(\rho_{0}(x)u^{0}(x)+\varepsilon p(\rho_{0}(x)))\phi(x, 0){\rm d}x=0, $

(3.4)

对于全部检验函数 $\phi(x, t)\in \wp({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$都是成立的, 在此 $u_{\delta}=\sigma_{\delta}$, 其中 $\rho_{0}(x)=\rho_{-}+[\rho]H(x)$和 $u^{0}(x)=u_{-}+[u]H(x)$.

令 $A$表示(3.4)式的左边, 则有

$ \begin{eqnarray} A&=&\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{x(t)}\Big((\rho_{-}u_{-}+ \varepsilon p(\rho_{-}))\phi_{t}+(\rho_{-}u_{-}^{2}+\varepsilon u_{-} p(\rho_{-}))\phi_{x}\Big){\rm d}x{\rm d}t \\ &&+\int_{0}^{+\infty}\int_{x(t)}^{+\infty}\Big((\rho_{+}u_{+}+ \varepsilon p(\rho_{+}))\phi_{t}+(\rho_{+}u_{+}^{2}+\varepsilon u_{+} p(\rho_{+}))\phi_{x}\Big){\rm d}x{\rm d}t \\ &&+\int_{0}^{+\infty} \sigma_{\delta}e(t) \frac{d \phi(x(t), t)}{{\rm d}t}{\rm d}t +\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, 0){\rm d}x \\ && +\int_{0}^{+\infty}(\rho_{+}u_{+}+\varepsilon p(\rho_{+}))\phi(x, 0){\rm d}x. \end{eqnarray} $

(3.5)

不失一般性, 假设 $\sigma_{\delta}>0$, 那么(3.5)式的右边第一项等于

$ \int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi_{t}{\rm d}x{\rm d}t + \int_{0}^{+\\ \infty}\int_{0}^{x(t)}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi_{t}{\rm d}x{\rm d}t \\ +\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{x(t)}(\rho_{-}u_{-}^{2}+\varepsilon u_{-}p(\rho_{-}))\phi_{x}{\rm d}x{\rm d}t \\ =-\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, 0){\rm d}x+\\ \int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{x(t)}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi_{t}{\rm d}x{\rm d}t\\ +\int_{0}^{+\infty}(\rho_{-}u_{-}^{2}+\varepsilon u_{-}p(\rho_{-}))\phi(x(t), t){\rm d}t \\ =-\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, 0){\rm d}x+\\ \int_{0}^{+\infty}{\rm d}x\int_{t(x)}^{+\infty}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi_{t}{\rm d}t \\ +\int_{0}^{+\infty}(\rho_{-}u_{-}^{2}+\varepsilon u_{-}p(\rho_{-}))\phi(x(t), t)){\rm d}t \\ =-\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, 0){\rm d}x-\\ \int_{0}^{+\infty}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, t(x)){\rm d}x \\ +\int_{0}^{+\infty}\frac{\rho_{-}u_{-}^{2}+\varepsilon u_{-}p(\rho_{-})}{\sigma_{\delta}}\phi(x, t(x)){\rm d}x \\ =-\int_{-\infty}^{0}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\phi(x, 0){\rm d}x +\\ \int_{0}^{+\infty}(\rho_{-}u_{-}+\varepsilon p(\rho_{-}))\bigg(\frac{u_{-}}{\sigma_{\delta}}-1\bigg)\phi(x, t(x)){\rm d}x .\quad $

(3.6)

类似地, (3.5)式的右边第二项等于

$ \int_{0}^{+\infty}{\rm d}x\int^{t(x)}_{0}(\rho_{+}u_{+}+\varepsilon p(\rho_{+}))\phi_{t}{\rm d}t\\ -\int_{0}^{+\infty}\frac{\rho_{+}u_{+}^{2}+\varepsilon u_{+}p(\rho_{+})}{\sigma_{\delta}} \phi(x, t(x)){\rm d}x \\ =-\int_{0}^{+\infty}(\rho_{+}u_{+}+\varepsilon p(\rho_{+}))\phi(x, 0){\rm d}x+\\ \int_{0}^{+\infty}(\rho_{+}u_{+}+\varepsilon p(\rho_{+}))\bigg(1-\frac{u_{+}}{\sigma_{\delta}}\bigg)\phi(x, t(x)){\rm d}x.\quad $

(3.7)

(3.5)式的右边第三项等于

$ \begin{eqnarray} &&\big(\sigma_{\delta}[\rho u+\varepsilon p]-[\rho u^{2}+\varepsilon u p]\big)t\phi(x(t), t)\Big|_{0}^{+\infty}\\ &&-\big(\sigma_{\delta}[\rho u+\varepsilon p]-[\rho u^{2}+\varepsilon u p]\big)\int_{0}^{+\infty}\phi(x(t), t){\rm d}t \\ &=&-\frac{\big(\sigma_{\delta}[\rho u+\varepsilon p]-[\rho u^{2}+\varepsilon u p]\big)}{\sigma_{\delta}} \int_{0}^{+\infty}\phi(x, t(x)){\rm d}x. \end{eqnarray} $

(3.8)

结合上述式子(3.5)-(3.8), 有

$ A=0. $

类似的方法同样可验证(3.3)式.

根据定义3.1, 类似定理3.1的证明, 我们得到方程组(1.2)的 $\delta$-激波类型的解也满足广义的R-H条件.

定理3.2  假设光滑曲线 $\Gamma=\{(x, t):x=x(t)\}$将区域 $\Omega\subset {\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+}$划分为左右两个区域 $\Omega_{\pm}=\{(x, t):\pm(x-x(t))>0\}$, $(\rho(x, t), u(x, t))$表示方程组(1.2)广义的 $\delta$-激波类型的解, 在区域 $\Omega_{\pm}$上的光滑函数 $\widehat{\rho}(x, t), $ $u(x, t)$在曲线 $\Gamma$上有单侧极限 $\widehat{\rho}_{\pm}$, $u_{\pm}$.那么对于 $\delta$-激波的广义R-H条件为

$ \begin{eqnarray}\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{{\rm d}e(t)}{{\rm d}t}=\Big(\dot{x}(t)[\rho]-[\rho u] \Big)\Big|_{x=x(t)}, \\ \displaystyle \frac{{\rm d}(e(t)\dot{x}(t))}{{\rm d}t}= \Big(\dot{x}(t)[\rho u+\varepsilon p(\rho)]-[\rho u^2+\varepsilon u p(\rho)] \Big)\Big|_{x=x(t)}, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(3.9)

其中 $e(t)\dot{=}e(x(t), t)$和 $\dot{x}(t)=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}.$

此外, 为了能够保证解的唯一性, 间断线也应该满足下面的熵条件

$ \begin{eqnarray} \lambda_{2}(\rho_{+}, u_{+})<\sigma_{\delta}<\lambda_{1}(\rho_{-}, u_{-}), \end{eqnarray} $

(3.10)

这说明了在间断线两侧的全部特征线是都进入的.这时, 黎曼问题可以转化为解决常微分方程(3.9), 带有以下初值

$ t=0, \, \, \, \, x(0)=0, \, \, \, w(0)=0. $

通过(3.9)式可有以下代数方程

$ \begin{eqnarray} e(t)&=&\sigma[\rho]t-[\rho u]t, \\ e(t)\sigma&=&\sigma[\rho u+\varepsilon p(\rho)]t-[\rho u^2+\varepsilon u p(\rho)]t, \end{eqnarray} $

(3.11)

那么有

$ \begin{eqnarray} [\rho]\sigma^2-\bigg([\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]\bigg)\sigma+\bigg[\rho u^2-\frac{\varepsilon u}{\rho^{\alpha}}\bigg]=0. \end{eqnarray} $

(3.12)

对于 $[\rho]=0$, (3.12)式是一个关于 $\sigma$的线性方程, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&\sigma=\frac{\Big[\rho u^2-\frac{\varepsilon u}{\rho^{\alpha}}\Big]}{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon }{\rho^{\alpha}}\Big]}, ~~x(t)=\frac{\Big[\rho u^2-\frac{\varepsilon u}{\rho^{\alpha}}\Big]}{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon }{\rho^{\alpha}}\Big]}t, \\ &&e(t)=-[\rho u]t. \end{eqnarray} $

(3.13)

对于 $[\rho]\neq0$, (3.12)式是一个关于 $\sigma$的二次方程, 判别式可写成

$ \begin{eqnarray*} \Delta&=&\bigg([\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon }{\rho^{\alpha}}\bigg]\bigg)^2-4[\rho]\bigg[\rho u^2-\frac{\varepsilon u}{\rho^{\alpha}}\bigg] \\ &=&4\rho_{-} \rho_{+}(u_{-}-u_{+})\bigg(\big(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\big) +\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha+1}}\bigg)+\bigg(\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha}}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha}}\bigg)^2. \end{eqnarray*} $

因为任意状态 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$, 有

$ u_{+}<u_{-}-\frac{\varepsilon }{\rho_{-}^{\alpha +1}}, $

那么可得

$ u_{+}<u_{-}, $

从而

$ \begin{eqnarray} \Delta>0. \end{eqnarray} $

(3.14)

对(3.12)式进行求解, 有

$ \begin{eqnarray} &&\sigma=\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]+\sqrt\Delta}{2[\rho]}, \, \, \, \, \, x(t)=\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]+\sqrt\Delta}{2[\rho]}t, \\ &&e(t)=\frac{-[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]+\sqrt\Delta}{2}t \end{eqnarray} $

(3.15)

和

$ \begin{eqnarray} &&\sigma=\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-\sqrt\Delta}{2[\rho]}, \, \, \, \, \, x(t)=\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-\sqrt\Delta}{2[\rho]}t, \\ &&e(t)=\frac{-[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-\sqrt\Delta}{2}t. \end{eqnarray} $

(3.16)

简单分析计算, 由 $\varepsilon$足够小, 有

$ \begin{eqnarray*} &&[\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]-2[\rho]\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1) \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) \\ &=&[\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]-2[\rho]\bigg(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg)+\frac{2\alpha\varepsilon(\rho_{+}-\rho_{-})} {\rho_{-}^{\alpha+1}} \\ &=&-\rho_{-}\bigg(u_{-}-\big(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\big)\bigg)-\rho_{+}\bigg(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\bigg) \\ &&-\rho_{+}\bigg(\big(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\big)+\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha+1}}\bigg)+\frac{2\alpha\varepsilon(\rho_{+}-\rho_{-})} {\rho_{-}^{\alpha+1}}<0, \\ &&\frac{\bigg([\rho u]+\big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\big]-2[\rho]\big(u_{-}-\frac{(\alpha+1) \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\big)\bigg)^{2}-\Delta}{2[\rho]} \\ &=&-\frac{2\alpha(\alpha+1)\varepsilon^{2} }{\rho_{-}^{2\alpha+1}}+2\rho_{+}\bigg(\big(u_{-}-\frac{\varepsilon} {\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\big)-\big(\frac{\alpha\varepsilon} {\rho_{-}^{\alpha+1}}-\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha+1}}\big)\bigg) \\ &&\times \bigg(\big(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\big)-\frac{\alpha\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg)>0 \end{eqnarray*} $

和

$ [\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]-2[\rho]u_{+}=-\rho_{-}\bigg(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+} \bigg)-\rho_{-}(u_{-}-u_{+})-\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha}}<0, \\ \frac{\Big([\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big] -2[\rho]u_{+}\Big)^{2}-\Delta}{2[\rho]} =-2\rho_{-}(u_{-}-u_{+})\bigg(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\bigg)<0. $

由此, 对于解(3.15), 有

$ \sigma-\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) =\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]+\sqrt\Delta}{2[\rho]}-\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) \\ =\frac{\Big([\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-2[\rho]\Big(u_{-} -\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\Big)\Big)^{2} -\Delta}{2[\rho]\Big([\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-2[\rho]\Big(u_{-} -\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\Big)-\sqrt\Delta\Big)}<0 $

(3.17)

和

$ \begin{eqnarray} \sigma-u_{+}&=&\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big] +\sqrt\Delta}{2[\rho]}-u_{+} \\ &=&\frac{\Big([\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big] -2[\rho]u_{+}\Big)^{2}-\Delta}{2[\rho] \Big([\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big] -2[\rho]u_{+}-\sqrt\Delta\Big)}>0, \end{eqnarray} $

(3.18)

这说明熵条件(3.10)是有效的.对于解(3.16), 当 $\rho_{-}<\rho_{+}$时, 有

$ \begin{eqnarray} \sigma-u_{+}=\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]- \sqrt\Delta}{2[\rho]}-u_{+}\\ =\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-2[\rho] u_{+}-\sqrt\Delta}{2[\rho]}<0. \end{eqnarray} $

(3.19)

当 $\rho_{-}>\rho_{+}$时, 有

$ \begin{eqnarray*} &&[\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]-2[\rho]\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1) \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) \\ &<&[\rho u]+\bigg[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\bigg]-2[\rho]\bigg(u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) \\ &=&-\rho_{-}\bigg(u_{-}-\bigg(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg)\bigg)-\rho_{+}\bigg(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\bigg) \\ &&-\rho_{+}\bigg(\bigg(u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}-u_{+}\bigg)+\frac{\varepsilon}{\rho_{+}^{\alpha+1}}\bigg)<0, \end{eqnarray*} $

因此

$ \sigma-\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) =\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big]-\sqrt\Delta}{2[\rho]}-\bigg(u_{-}-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}\bigg) \\ =\frac{[\rho u]+\Big[\rho u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha}}\Big] -2[\rho]\Big(u_{-}-\frac{(\alpha+1)\varepsilon} {\rho_{-}^{\alpha+1}}\Big)-\sqrt\Delta}{2[\rho]}>0. $

(3.20)

这说明解(3.16)是不满足熵条件(3.10)的.于是我们有下面的结论.

定理3.3  当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I (\rho_{-}, u_{-}), $黎曼问题(1.2), (1.5)和(1.6)确有且只有一个熵解, 其测度形式为

$ (\rho, u)(x, t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, &x<\sigma t, \\ \displaystyle \big(e(t)\delta(x-\sigma t), \sigma\big), \, \, \, \, &x=\sigma t, \\ \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, \, \, &x>\sigma t, \end{array} \right. $

(3.21)

其中, 对于 $[\rho]=0$, $\sigma$和 $e(t)$由(3.13)式表示; 对于 $[\rho]\neq0$, $\sigma$和 $e(t)$由(3.15)式表示.

定理3.4  黎曼问题(1.2), (1.5)和(1.6)存在唯一熵解, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in II (\rho_{-}, u_{-})$时, 全局的解包含了一个1-激波和一个2-接触间断, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in III (\rho_{-}, u_{-})$时, 包含了一个1-稀疏波和一个2-接触间断, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I (\rho_{-}, u_{-})$时, 包含了 $\delta$-激波.

在这一节中, 讨论压力消失时, 广义Chaplygin气体的交通模型的黎曼解的极限.接下来, 按照 $u_{-}$和 $u_{+}$的大小分以下三种情况讨论.

引理4.1  若 $u_{+}<u_{-}$时, 那么存在一个 $\varepsilon_{0}$, 使得 $(\rho_{+}, u_{+})\in I $, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}.$

证  由

$ u_{+}<u_{-}-\frac{ \varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha+1}}, $

那么可得 $(\rho_{+}, u_{+})\in I$, 因而断定 $\varepsilon_{0}=(u_{-}-u_{+})\rho_{-}^{\alpha+1}.$

定理4.1  对于情形 $ u_{+}<u_{-}$, 假设 $(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t)$是方程组(1.2), (1.5)和(1.6)的黎曼解, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$, 那么令 $\varepsilon \to 0$, 黎曼解的极限可表示为

$ (\rho, u)(x, t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, &x<x(t), \\ \displaystyle \big(e(t)\delta(x-x(t)), u_{\delta}\big), \, \, \, \, \, &x=x(t), \\ \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, \, \, &x>x(t), \end{array} \right. $

(4.1)

它恰好是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.其中

$ \displaystyle \big(x(t), u_{\delta}, e(t)\big) =\\ \bigg(\frac{\sqrt{\rho_{-}}u_{-}+\sqrt{\rho_{+}}u_{+}}{\sqrt{\rho_{-}}+\sqrt{\rho_{+}}}t, \frac{\sqrt{\rho_{-}}u_{-}+\sqrt{\rho_{+}}u_{+}}{\sqrt{\rho_{-}}+\sqrt{\rho_{+}}}, \sqrt{\rho_{-}\rho_{+}} (u_{-}-u_{+})t\bigg). $

(4.2)

证  对于 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解可表示为

$ (\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t) \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, &x<x^{\varepsilon}(t), \\ \displaystyle \big(e^{\varepsilon}(t)\delta(x-x ^{\varepsilon}(t)), u_{\delta}^{\varepsilon}\big), \, \, \, \, \, &x=x^{\varepsilon}(t), \\ \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, \, \, &x>x^{\varepsilon}(t), \end{array} \right. $

(4.3)

其中, $(x^{\varepsilon}(t), u_{\delta}^{\varepsilon}, e^{\varepsilon}(t))$是由(3.13)或(3.15)式定义的.令 $\varepsilon \to 0$, 有

$ (x(t), u_{\delta}, e(t))=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}(x^{\varepsilon}(t), u_{\delta}^{\varepsilon}, e^{\varepsilon}(t)). $

(4.4)

将(4.3)和(4.4)式结合起来, 由此得到

$ (\rho, u)(x, t)=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t). $

证毕.

定理4.2  对于情形 $ u_{+}>u_{-}$, 假设 $(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t) $是方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$.那么对于 $\varepsilon \to 0$的黎曼解极限可表示为

$ (\rho, u)(x, t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, &\xi<u_{-}, \\ \displaystyle vacuum, \, \, \, \, \, &u_{-}<\xi<u_{+}, \\ \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, \, \, &\xi>u_{+}, \end{array} \right. $

(4.5)

它恰好是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.

证  对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解是由一1-稀疏波 $R$紧随后的2-接触间断 $J$组成, 除两个常数状态 $(\rho_{-}, u_{-})$和 $(\rho_{+}, u_{+})$以外, 还包括了中间的常数状态 $(\rho_{*}^{\varepsilon}, u_{*}^{\varepsilon})$, 其中

$ (\rho_{*}^{\varepsilon}, u_{*}^{\varepsilon})= \bigg(\bigg(\frac{\varepsilon \rho_{-}^{\alpha+1}}{(u_{+}-u_{-})\rho_{-}^{\alpha+1}+\varepsilon}\bigg)^{\frac{1}{\alpha+1}}, u_{+}\bigg), $

有以下关系成立

$ R(\rho_{-}, u_{-}): \left\{ \begin{array}{ll} \xi=u-\frac{(\alpha+1)\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}, \\[3mm] u-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}}=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}_{-}}, \\[2mm] u>u_{-}, \rho< \rho_{-}. \end{array} \right.\\ J:\xi=u=u_{+}. $

(4.6)

在式子(4.6)中, 令 $\varepsilon \to 0$的极限, 有1-稀疏波 $R$退化成以下1-接触间断

$ J_{1}:\xi=u=u_{-}. $

此外, 在中间的状态中的交通密度取极限 $\varepsilon \to 0$, 有

$ \lim\limits_{\varepsilon \to 0}\rho_{*}^{\varepsilon}=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}\bigg(\frac{\varepsilon \rho_{-}^{\alpha+1}}{(u_{+}-u_{-})\rho_{-}^{\alpha+1}+\varepsilon}\bigg)^{\frac{1}{\alpha+1}}=0, $

(4.7)

这隐含着一个真空的状态出现, 尽管在方程组(1.2)和(1.5)黎曼解中没有真空.总之, 对于情形 $ u_{+}>u_{-}$, 可得极限

$ (\rho, u)(x, t)=\lim\limits_{\varepsilon \to 0}(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t)= \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, & -\infty<\frac{x}{t}<u_{-}, \\[3mm] \displaystyle (0, u_{+}), \, \, \, \, \, & u_{-}<\frac{x}{t}<u_{+}, \\[3mm] \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, & u_{+}<\frac{x}{t}<+\infty, \end{array} \right. $

(4.8)

这正是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.

定理4.3  对于情形 $ u_{+}=u_{-}$, 系统(1.2)和(1.5)的黎曼解为

$ (\rho, u)(x, t)= \left\{ \begin{array}{ll } \displaystyle (\rho_{-}, u_{-}), \, \, \, \, \, &\xi<u_{+}, \\ \displaystyle (\rho_{+}, u_{+}), \, \, \, \, \, &\xi>u_{+}, \end{array} \right. $

(4.9)

这是零压气体动力学模型(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.

注4.1  Shen和Sun^[19]所示当压力消失时, 交通模型(1.2), (1.4)的黎曼解不收敛于零压气体动力学模型(1.3)带相同初值的黎曼解.然而, 我们证实当压力消失时, 广义Chaplygin气体的Aw-Rascle ( $AR$)交通模型(1.2)和(1.5)的黎曼解能收敛于零压气体动力学模型(1.3)带相同初值的黎曼解.