考虑守恒形式的交通流A-R模型
其中, $\rho\geq 0$, $u\geq 0$分别表示交通流在马路上的车流密度和速度, $p$表示速度补偿.汽车交通的二阶模型是由Daganzo[10]提出, Aw和Rascle[1]为了补救二阶模型的不足提出了系统(1.1). A-R模型由Zhang[27]独立衍生.作为一个宏观系统, 系统(1.1)被广泛用于研究交通堵塞的形成和动态.
在文献[2]中, 通过把 $p$变成 $\varepsilon p $和含有密度约束 $0<\rho\leq\rho*$的 $p(\rho)=(\frac{1}{\rho}-\frac{1}{\rho*})^{-\gamma}$ $(\gamma>0$)研究它的极限行为.函数 $p(\rho)$被定义为 $\rho\leq \rho^{*}$, 而且当 $\rho\rightarrow \rho^{*}$时, 它趋向于无穷, 所以最大密度的极限是不能达到的.假设 $\rho^{*}$成一个固定的常数, 即使它实际上是依靠速度.然而研究得到, 在 $\rho\leq\rho*$约束下, 当 $\rho$趋向于 $\rho*, $压力项变得活跃.最近, Shen和Sun[19]研究了放弃最大密度约束的极限行为, 即 $\rho=\rho*$不是奇特点.那么, 从双曲守恒律上看, 以下方程是有意义的
其中, 用 $ p(\rho)$替代系统(1.1)中的 $\rho p(\rho), $这是为了方便和简洁计算.
当压力消失时, 系统(1.2)的极限形式是以下无压气体动力学(PGD)模型
系统(1.3)被称为交通模型或零压Euler方程.它常用来描述自由粒子在低温状态下发生碰撞粘合在一起的运动[4]和宇宙中大尺寸结构的形成过程[20-21].
在2010年, Shen和Sun[19]研究了在方程组(1.2)中令 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 它的黎曼解的极限, $p(\rho)$表示为
然而Shen和Sun[19]证实了当压力趋向于零时, 方程组(1.2)和(1.4)的黎曼解不收敛于方程组(1.3)的黎曼解.为了解决以上问题, 考虑另一压力方程(参考文献[15])
Chaplygin气体 $(\alpha=1)$是由Chaplygin[6], Tsien[24]和von Karman[13]提出来的, 它是为了分析空气动力学中的飞机机翼在上升时所承受的压力, 然后适当引入的数学模型. Chaplygin气体拥有负压和出现在特定的宇宙学理论中.
含有压力方程(1.5)的方程组(1.1)与含有压力方程(1.5)的方程组(1.2)有本质上的区别.对于前者, 它是一个线性退化的系统, 即特征值是线性退化的; 于是经典基本波仅涉及接触间断.然而, 对于后者, 它有一个真正非线性特征值和一个线性退化的特征值;第一基本波是稀疏波或激波, 第二基本波是接触间断, 并且黎曼解出现Delta激波.
本文是为了解决方程组(1.2)和(1.5)的黎曼问题. Chaplygin气体模型被视为暗物质和暗能量的同一模型[12, 14-15].本文主要讨论A-R模型(1.2)和(1.5)在以下黎曼初值条件下的黎曼问题
其中 $\rho_{\pm} >0$, $u_{\pm} >0.$
本章的结构安排如下:第二节, 利用相平面中关于特征线分析的方法, 得到两种类型的黎曼解, 包含1-激波或1-稀疏波和2-接触间断.第三节, 在适当广义的Rankine-Hugoniot条件以及熵条件下, 建立了 $\delta$-激波的存在性以及唯一性.第四节, 当压力消去时, 分析黎曼解的极限行为.可得当 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解的极限出现一个 $\delta$-激波和一个真空状态.更重要的是, 证实了当 $\varepsilon\rightarrow 0$时, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解收敛于方程组(1.3)的黎曼解.
在这一节里, 我们将给出有关方程组(1.2)和(1.5)的基本的特征和对条件(1.6)下的黎曼问题进行求解.方程组(1.2)可简单地写成
由此可知相应的特征值为
与之对应的右特征向量为
计算有
因此方程组(1.2)和(1.5)在 $\rho>0$为严格双曲型.由上可得当 $0<\alpha<1$时, $\lambda_{1}$是真正地非线性, $\lambda_{2}$是线性退化的.所以, 第一类的基本波是稀疏波或激波, 对于第二类的基本波是接触间断.
下面我们找出方程组(1.2)和(1.5)的相似解
那么, 黎曼问题可转化成常微分方程的边值问题
和 $(\rho, u)(\pm\infty)=(\rho_{\pm}, u_{\pm}).$式子(2.2)等价于
式子(2.3)除了包括常数解 $(\rho>0)$, 还包括了一个稀疏波, 它是含有 $(\rho, u)(\xi)$形式的连续解.那么, 当 $0<\alpha<1$, 对于任意给的左状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $通过1-稀疏波连接状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边的可能的状态 $(\rho, u)$, 可写成
对于已知的状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $考虑对于全部可能的状态 $(\rho, u)$是通过1-激波与状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边连接的.如果 $\xi=\sigma$是一个边界的间断解, 那么R-H条件可写成
其中 $[\rho]=\rho_{+}-\rho_{-}, $ $\rho_{+}$和 $\rho_{-}$分别表示函数 $\rho$在间断曲线左侧和右侧的函数值, $\sigma$表示间断曲线的速度.
通过分析计算可得, Lax-激波的不等式蕴含了 $\rho>\rho_{-}.$那么当 $0<\alpha<1$, 对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-}), $对于全部可能的状态是通过1-激波与状态 $(\rho, u)$右边, 形式如下
方程(2.6)的第二个式子对 $u$关于 $\rho$求导, 可得
因此1-激波的曲线是单调递减的、凸的, 在 $(\rho, u)$平面上的渐近线为 $u=u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho^{\alpha+1}_{-}}$.由于 $\lambda_{2}$是线性退化的, 对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-})$, 我们讨论所有可能状态 $(\rho, u)$, 它是通过一个接触间断去连接状态 $(\rho_{-}, u_{-})$右边当且仅当
于是, 我们可以总结对于任意给的左边状态 $(\rho_{-}, u_{-})$, 与右边连接的状态有:1-稀疏波曲线, 1-激波曲线和2-接触间断曲线.在相平面中, 这些曲线将分成三个区域 $I=\Big\{(\rho, u)\Big|u<u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha +1}}\Big\}, $ $II=\Big\{(\rho, u)\Big|u_{-}-\frac{\varepsilon}{\rho_{-}^{\alpha +1 }}<u<u_{-}\Big\}$和 $III=\Big\{(\rho, u)\Big|u>u_{-}\Big\}.$根据右边的状态 $(\rho_{+}, u_{+})$在不同的区域, 构造出唯一的全局的黎曼解是与常状态连接 $(\rho_{\pm}, u_{\pm})$的, 如下
以上黎曼解中, 中间的常状态 $(\rho_{*}, u_{*})$可以表示为
和
然而, 对于 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$的情形, 黎曼解不能由经典基本波构造出来.事实上, 来自初值的特征线将在区域 $\Omega$重叠.所以, 奇性出现在区域 $\Omega$上.简单得知, 奇性不可能是有限振幅的跳跃, 因为在有界跳跃上时, 奇性是不满足于R-H条件的.总而言之, 不可能有这种形式的解, 是分段光滑有界的.所以, 具有权重的 $\delta$-测度的黎曼解将被构造出.
接下来, 我们将定义方程组(1.2)和(1.5)的广义解, 可参考相关文献[12, 15, 17, 22, 25].
假设 $\Gamma=\{\gamma_{i}:i\in I\}$是表示在闭的上半平面 $\{(x, t):x\in R, t\in [0, +\infty)\}\in {\Bbb R}^2$上的一个图像, 它包括了光滑的曲线 $\gamma_{i}=\{(x, t):S_{i}(x, t)=0\}, \, i\in I$, 其中 $I$表示一个有限的集合.令 $I_{0}$表示 $I$的子集, 使得对于 $i\in I_{0}$的曲线 $\gamma_{i}$的起点在 $x$-轴上; $\Gamma_{0}=\{x_{k}^{0}:i\in I_{0}\}$表示曲线 $\gamma_{i}$, $i\in I_{0}$, 的全部初始点集合.
下面将讨论 $\delta$-激波类型的初值 $(\rho^{0}(x), u^{0}(x))$, 其中
$u^{0}, \rho_{0}\in L^{\infty}({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$, $e^{0}\delta (\Gamma_{0}) =\sum\limits_{i\in I}e^{0}\delta (x-x_{i}^{0})$和当 $i\in I_{0}$时, $e_{i}^{0}$是常数.此外, 对于(1.2)式的压力方程 $p(\rho)=-\frac{1}{\rho^{\alpha}}$, 关于 $\rho$, 它是非线性的, 可以表示为
其中可注意到 $\delta$-测度对压力没有影响.
定义3.1 一对分布 $(\rho(x, t), u(x, t))$以及图像 $\Gamma$, 其中 $\rho(x, t)$是以下形式之和
$u, \widehat{\rho}\in L^{\infty}({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$且对于 $i\in I$, $e(x, t)\delta(\Gamma)=\sum\limits_{i\in I}e_{i}(x, t)\delta (\gamma_{i})$, $e_{i}(x, t)\in C(\Gamma)$, 它被称为方程组(1.2)广义的 $\delta$-激波类型解, 它含有 $\delta$-激波类型的初值 $(\rho^{0}(x), u^{0}(x))$, 若对任意的检验函数 $\phi(x, t)\in C^\infty_0({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$都有以下积分等式成立
其中 $\frac{\partial\phi(x, t)}{\partial l}$表示在图像 $\Gamma$上切向导数, $\int_{\gamma_{i}}{\rm d}l$表示在曲线 $\gamma_{i}$上一个线积分, $u_{\delta}(x, t)$表示 $\delta$-激波的速度, 有
定理3.1 对柯西问题(1.2)和(1.5), 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$, 问题(1.2)有一个 $\delta$-激波类型的解
它在定义3.1中积分等式是成立的, 其中 $\Gamma=\{(x, t):x=x(t)=\sigma_{\delta}t, \, t\geq0\}$, $\widehat{\rho}(x, t)=\rho_{-}+[\rho]H(x-x(t)), $
并且 $ H(x)$是Heaviside函数
另外
证 下面将验证构造出来的 $\delta$-测度解在分布意义下是满足定义3.1的, 即
对于全部检验函数 $\phi(x, t)\in \wp({\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+})$都是成立的, 在此 $u_{\delta}=\sigma_{\delta}$, 其中 $\rho_{0}(x)=\rho_{-}+[\rho]H(x)$和 $u^{0}(x)=u_{-}+[u]H(x)$.
令 $A$表示(3.4)式的左边, 则有
不失一般性, 假设 $\sigma_{\delta}>0$, 那么(3.5)式的右边第一项等于
类似地, (3.5)式的右边第二项等于
(3.5)式的右边第三项等于
结合上述式子(3.5)-(3.8), 有
类似的方法同样可验证(3.3)式.
根据定义3.1, 类似定理3.1的证明, 我们得到方程组(1.2)的 $\delta$-激波类型的解也满足广义的R-H条件.
定理3.2 假设光滑曲线 $\Gamma=\{(x, t):x=x(t)\}$将区域 $\Omega\subset {\Bbb R}\times {\Bbb R}_{+}$划分为左右两个区域 $\Omega_{\pm}=\{(x, t):\pm(x-x(t))>0\}$, $(\rho(x, t), u(x, t))$表示方程组(1.2)广义的 $\delta$-激波类型的解, 在区域 $\Omega_{\pm}$上的光滑函数 $\widehat{\rho}(x, t), $ $u(x, t)$在曲线 $\Gamma$上有单侧极限 $\widehat{\rho}_{\pm}$, $u_{\pm}$.那么对于 $\delta$-激波的广义R-H条件为
其中 $e(t)\dot{=}e(x(t), t)$和 $\dot{x}(t)=\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}.$
此外, 为了能够保证解的唯一性, 间断线也应该满足下面的熵条件
这说明了在间断线两侧的全部特征线是都进入的.这时, 黎曼问题可以转化为解决常微分方程(3.9), 带有以下初值
通过(3.9)式可有以下代数方程
那么有
对于 $[\rho]=0$, (3.12)式是一个关于 $\sigma$的线性方程, 我们有
对于 $[\rho]\neq0$, (3.12)式是一个关于 $\sigma$的二次方程, 判别式可写成
因为任意状态 $(\rho_{+}, u_{+})\in I(\rho_{-}, u_{-})$, 有
那么可得
从而
对(3.12)式进行求解, 有
简单分析计算, 由 $\varepsilon$足够小, 有
由此, 对于解(3.15), 有
这说明熵条件(3.10)是有效的.对于解(3.16), 当 $\rho_{-}<\rho_{+}$时, 有
当 $\rho_{-}>\rho_{+}$时, 有
因此
这说明解(3.16)是不满足熵条件(3.10)的.于是我们有下面的结论.
定理3.3 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I (\rho_{-}, u_{-}), $黎曼问题(1.2), (1.5)和(1.6)确有且只有一个熵解, 其测度形式为
其中, 对于 $[\rho]=0$, $\sigma$和 $e(t)$由(3.13)式表示; 对于 $[\rho]\neq0$, $\sigma$和 $e(t)$由(3.15)式表示.
定理3.4 黎曼问题(1.2), (1.5)和(1.6)存在唯一熵解, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in II (\rho_{-}, u_{-})$时, 全局的解包含了一个1-激波和一个2-接触间断, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in III (\rho_{-}, u_{-})$时, 包含了一个1-稀疏波和一个2-接触间断, 当 $(\rho_{+}, u_{+})\in I (\rho_{-}, u_{-})$时, 包含了 $\delta$-激波.
在这一节中, 讨论压力消失时, 广义Chaplygin气体的交通模型的黎曼解的极限.接下来, 按照 $u_{-}$和 $u_{+}$的大小分以下三种情况讨论.
引理4.1 若 $u_{+}<u_{-}$时, 那么存在一个 $\varepsilon_{0}$, 使得 $(\rho_{+}, u_{+})\in I $, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}.$
证 由
那么可得 $(\rho_{+}, u_{+})\in I$, 因而断定 $\varepsilon_{0}=(u_{-}-u_{+})\rho_{-}^{\alpha+1}.$
定理4.1 对于情形 $ u_{+}<u_{-}$, 假设 $(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t)$是方程组(1.2), (1.5)和(1.6)的黎曼解, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$, 那么令 $\varepsilon \to 0$, 黎曼解的极限可表示为
它恰好是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.其中
证 对于 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解可表示为
其中, $(x^{\varepsilon}(t), u_{\delta}^{\varepsilon}, e^{\varepsilon}(t))$是由(3.13)或(3.15)式定义的.令 $\varepsilon \to 0$, 有
将(4.3)和(4.4)式结合起来, 由此得到
证毕.
定理4.2 对于情形 $ u_{+}>u_{-}$, 假设 $(\rho^{\varepsilon}, u^{\varepsilon})(x, t) $是方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解, 其中 $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$.那么对于 $\varepsilon \to 0$的黎曼解极限可表示为
它恰好是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.
证 对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 方程组(1.2)和(1.5)的黎曼解是由一1-稀疏波 $R$紧随后的2-接触间断 $J$组成, 除两个常数状态 $(\rho_{-}, u_{-})$和 $(\rho_{+}, u_{+})$以外, 还包括了中间的常数状态 $(\rho_{*}^{\varepsilon}, u_{*}^{\varepsilon})$, 其中
有以下关系成立
在式子(4.6)中, 令 $\varepsilon \to 0$的极限, 有1-稀疏波 $R$退化成以下1-接触间断
此外, 在中间的状态中的交通密度取极限 $\varepsilon \to 0$, 有
这隐含着一个真空的状态出现, 尽管在方程组(1.2)和(1.5)黎曼解中没有真空.总之, 对于情形 $ u_{+}>u_{-}$, 可得极限
这正是PGD系统(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.
定理4.3 对于情形 $ u_{+}=u_{-}$, 系统(1.2)和(1.5)的黎曼解为
这是零压气体动力学模型(1.3)带相同的黎曼初值(1.6)的解.
注4.1 Shen和Sun[19]所示当压力消失时, 交通模型(1.2), (1.4)的黎曼解不收敛于零压气体动力学模型(1.3)带相同初值的黎曼解.然而, 我们证实当压力消失时, 广义Chaplygin气体的Aw-Rascle ( $AR$)交通模型(1.2)和(1.5)的黎曼解能收敛于零压气体动力学模型(1.3)带相同初值的黎曼解.