本文考虑如下非线性椭圆边值问题非负解的存在性与正则性

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {\rm{div}}(\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}\nabla u}}{{{{(1 + |u|)}^\gamma }}}) + B\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{|u{|^\theta }}} = f,}&{x \in \Omega ,}\\ {u > 0,}&{x \in \Omega ,}\\ {u = 0,}&{x \in \partial \Omega ,} \end{array}} \right.$

(1.1)

其中, $\Omega \subset {\Bbb R}^N$ ($N\geq p$)是一有界区域, $B, \gamma, \theta>0$, $p>1$, $f$是某一Lebesgue空间$L^{m}(\Omega )\ (m\geq1)$中的非负函数.

近些年来, 带有退化强制项的非线性椭圆方程受到越来越多的关注, 其中比较典型的方程是

$\left\{\begin{array}{ll} -{\rm div}(a(x, u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)=f, \ &x\in\Omega , \\ u=0, \ &x\in\partial \Omega . \end{array}\right.$

(1.2)

这里$p>1$, $a: \Omega \times{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}$是一Carathéodory函数, 并且满足

$\frac{\mu_1}{(1+|s|)^\gamma}\leq a(x, s)\leq \mu_2,$

(1.3)

其中$\mu_1, \mu_2>0$, $0＜\gamma＜1$.注意到, 条件(1.3)表明当$u$很大时, $-{\rm div}(a(x, u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$所定义的算子不是强制的.

Boccardo等^[1]研究了当$p=2$时问题(1.2)解的性质并且证明了退化强制项对问题(1.2)解的可积性有不好的影响.具体地讲, 假设$f\in L^m(\Omega )$(不要求在$\Omega $上是严格正的), 他们证明了除$m>\frac{N}{2}$的情形外, 问题(1.2)解的可积性都要低于不带退化强制项的椭圆问题解的可积性.之后Alvino等^[2]将这个结果推广到了$1＜p＜N$.他们就$a(x, s)=\frac{1}{(1+|s|)^{\alpha (p-1)}}$, $0＜\alpha ＜1$的情形证明了当$m>\frac{N}{p}$时, 问题(1.2)至少存在一个$W^{1, p}_{0}(\Omega )\cap L^\infty(\Omega )$解; 当$\frac{Np}{(N-p)(1-\alpha )(p-1)}＜m＜\frac{N}{p}$时, 问题(1.2)至少存在一个$W_0^{1, p}(\Omega )\cap L^s(\Omega )$解, 其中$s=\frac{Nm(p-1)(1-\theta)}{N-mp}$; 当${\rm max}\Big\{1, \frac{N}{[N(1-\alpha )\alpha ](p-1)+1} \Big\}＜m＜\frac{Np}{(N-p)(1-\alpha )(p-1)}$时, 问题(1.2)至少存在一个$W_0^{1, q}(\Omega )\cap L^s(\Omega )$解, 其中$q= \frac{Nm(p-1)(1-\alpha )}{N-m[1+\alpha (p-1)]}$, $s=\frac{Nm(p-1)(1-\alpha )}{N-mp}$.

很多文献关注了如下带有低阶项的非线性椭圆方程

$\left\{\begin{array}{ll} -{\rm div}(a(x, u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+g(x, u, \nabla u)=f, \ &x\in\Omega , \\ u=0, \ &x\in\partial \Omega , \end{array}\right.$

(1.4)

并且发现不同类型的低阶项对解的正则性有好的影响^[3-5].在文献[3]中低阶项$g$是一个定义在$\Omega \times{\Bbb R}\times{\Bbb R}^N$上的Carathéodory函数, 满足$g(x, s, \xi)s\geq0$, $|g(x, s, \xi)|\leq d(x)h(|s|)|\xi|^2$, 且存在正常数$c_1, c_2$使得当$|s|\geq c_2$时, $c_1|\xi|^2\leq|g(x, s, \xi)|$, 其中$d\in L^1(\Omega )$, $h$是单调递增的连续函数.作者证明了此时问题(1.4)解的正则性要高于问题(1.2)的.文献[4]首先考虑了$p=2$, $g(x, u, \nabla u)=|u|^{q-1}u$的情形, 并证明了只要$q$充分大, 则对任意$f\in L^1(\Omega )$问题(1.4)总存在分布解, 这在问题(1.2)中是得不到的.文献[4]考虑的另一类低阶项$g(x, u, \nabla u)=g(u)$满足存在$s_0>0$使得$g: [0, s_0)\rightarrow {\Bbb R}$是连续的单调递增函数, 并且$g(0)=0$, $\lim\limits_{s\rightarrow s_0}g(s)=+\infty$.作者得到了比前一种低阶项更好的正则化效应.事实上, 他们证明了对任意的$f\in L^1(\Omega )$, 问题(1.4)都存在有界$H_0^1(\Omega )$解.文献[5]考虑了问题(1.1)在$p=2$时的特殊情形.借助"Truncation"办法结合先验估计, 作者得到了当$0＜\theta＜2$时, 低阶梯度项对问题(1.1)解的正则性的影响.

受以上文献的启发, 我们将文献[5]中的结果推广到$p>1$的一般情形.我们将研究问题(1.1)解的存在性以及正则性等结果.该问题最大的困难在于:

(1) 微分算子$A(u)= -{\rm div}\Big(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{(1+|u|)^{\gamma}}\Big)$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中不是强制的(即当$u$很大时, $\frac{1}{(1+|u|)^{\gamma}}$趋于零, 详见文献[6]);

(2) 低阶项$\frac{|\nabla u|^p}{|u|^{\theta}}$关于$u$是奇异的;

(3) 对一般的$p>1$ ($p=2$除外), 我们不能直接从$u_n\rightharpoonup u$在$W_0^{1.p}(\Omega )$弱收敛得到$|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\rightharpoonup |\nabla u|^{p-2}\nabla u$在$L^{\frac{p}{p-1}}(\Omega , {\Bbb R}^N)$中弱收敛.经典的求非线性椭圆方程解的存在性的方法不能应用于问题(1.1).为了克服上述困难, 我们借助正则化方法用非退化强制和非奇异算子分别逼近$-{\rm div}\Big(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{(1+|u|)^{\gamma}}\Big)$和奇异项$\frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}$, 然后通过选取适当的检验函数得到逼近解序列$\{u_n\}$的一系列的先验估计, 最后通过极限过程得到问题(1.1)解的存在性以及正则性等结果.这里比较关键的是证明逼近解序列及其梯度的一些强收敛的结果, 对此我们将通过选取合适的检验函数来实现.

带有奇异低阶项的半线性或拟线性椭圆方程解的存在性和正则性的文献还有很多, 感兴趣的读者可参见文献[7-10].

本文安排如下:在第二部分我们将引入相应的逼近问题并通过选取适当的检验函数得到逼近解序列的一些先验估计.在第三部分我们将介绍本文的主要结果并给出具体的证明.

为了得到问题(1.1)解的存在性结果, 我们采取"Truncation"办法引入如下逼近问题

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} -{\rm div}\bigg(\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n}{(1+|T_n(u_n)|)^{\gamma}}\bigg) + B\frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(|u_n|+\frac{1}{n})^{\theta+1}}=T_n(f), &x\in\Omega ,\\ u_n>0, &x\in\Omega,\\ u_n=0, &x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.1)

其中

$T_n(s)={\rm max}\{-n, {\rm min}\{n, s\}\}, \ \forall\ n\in{\mathbb{N}}, s\in{\mathbb{R}}.$

问题(2.1)弱解的存在性结果可由下面定理给出, 其证明可参考文献[11-13].

定理2.1  设$f\in L^{\infty}(\Omega )$是一非负函数; $M:\Omega \times{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}^{N^2}$是Carathéodory函数, 且存在正常数$\alpha _0$和$\beta_0$使得对几乎所有的$x\in\Omega $以及任意的$(s, \xi)\in{\Bbb R}\times{\Bbb R}^N$都有$M(x, s)|\xi|^{p-2}\xi\cdot\xi\geq \alpha _0|\xi|^p$, $|M(x, s)|\leq \beta_0$; $g(s)$是一个Carathéodory函数满足$g(s)s\geq0$, $|g(s)|\leq r(s)$, 其中$r$是一个连续的非负递增函数.那么问题

$\left\{\begin{array}{ll} -{\rm div}\big(M(x, u)|\nabla u|^{p-2}\nabla u\big) + g(u)|\nabla u|^p=f, &x\in\Omega , \\ u=0, &x\in\partial \Omega \end{array}\right.$

存在一个非负的$W_0^{1, p}(\Omega )$解.

由定理2.1可知对每一个$n$问题(2.1)都存在非负解$u_n\in W_0^{1, p}(\Omega )$.进一步, 我们可以得到$u_n \in L^{\infty}(\Omega )\cap C(\Omega )$ (详见文献[7, 14]).下面我们通过几个引理给出逼近解序列$\{u_n\}$的一些先验估计及收敛性.

引理2.1  设$u_n$是问题(2.1)的解, 则有

$B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}{\rm d}x\leq\int_\Omega f{\rm d}x.$

(2.2)

证  令$\varepsilon >0$, 在问题(2.1)中取$\frac{u_n}{u_n+\varepsilon }$作为检验函数可得

$ \int_\Omega \frac{\varepsilon |\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma(u_n+\varepsilon )^2} {\rm d}x+ B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1} }\frac{u_n}{u_n+\varepsilon }{\rm d}x =\int_\Omega T_n(f)\frac{u_n}{u_n+\varepsilon }{\rm d}x. $

令$\varepsilon \rightarrow0$并利用Fatou引理可得结论.

引理2.2  设$0＜\theta＜p$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的非负函数.若$m\geq\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 则问题(2.1)的解序列$\{u_n\}$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中是一致有界的, 且存在$u\in W_0^{1, p}(\Omega )$及$\{u_n\}$的子列(仍记为其本身)使得在$W_0^{1, p}(\Omega )$上$u_n\rightharpoonup u$弱收敛, 在$\Omega $上$u_n\rightarrow u$几乎处处收敛.

证  在问题(2.1)中取$(u_n+1)^{\theta}-1$作为检验函数, 舍掉左端的非负项可得

$B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x \leq B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x +\int_\Omega T_n(f)(u_n+1)^\theta {\rm d}x-\int_\Omega T_n(f) {\rm d}x. $

结合(2.2)式, 我们得到

$ B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x \leq \int_\Omega f(u_n+1)^\theta {\rm d}x+C \leq C\int_\Omega f u_n^\theta {\rm d}x+C, $

这里及以后我们用$C$代表不依赖于$n$的正常数, 它可能在不同的位置取值不同.为了估计$\|u_n\|_{W^{1, p}_0(\Omega )}$, 首先考虑在集合$\{u_n\geq1\}$上.由上面的不等式可得

$\begin{eqnarray*} \frac{B}{2}\int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x&\leq& B\int_{\{u_n\geq1\}}\frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x\\ &\leq&B\int_\Omega\frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x\\ &\leq&C\int_\Omega f u_n^\theta {\rm d}x+C \\ &\leq& C\int_{\{u_n\geq1\}} f(u_n-1)^\theta {\rm d}x+C. \end{eqnarray*}$

注意到$f\in L^m(\Omega )$, $m\geq\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}=\big(\frac{p^*}{\theta}\big)'$, 对上式左端使用Sobolev不等式, 右端使用指数为$\frac{p^*}{\theta}$的Hölder不等式, 我们得到

$\begin{eqnarray} S\frac{B}{2}\bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n-1)^{p^*} {\rm d}x\bigg]^{\frac{p}{p^*}}&\leq& \frac{B}{2}\int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x\nonumber\\ %&& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leq B\int_{u_n\geq1}\frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x\\ %&&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leq B\int_\Omega\frac{u_n|\nabla u_n|^p}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^\theta {\rm d}x\\ &\leq&C\int_{\{u_n\geq1\}} f(u_n-1)^\theta {\rm d}x+C\nonumber\\ &\leq&C\bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n-1)^{p^*} {\rm d}x\bigg]^{\frac{\theta}{p^*}}+C. \end{eqnarray}$

(2.3)

注意到$\theta＜p$, 则由上式可得

$\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n-1)^{p^*} {\rm d}x\leq C .$

结合上面的不等式以及(2.3)式我们有

$\int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x\leq C .$

(2.4)

为了在集合$\{u_n＜1\}$上也得到相应的估计, 在问题(2.1)中我们取$T_1(u_n)$作为检验函数并舍掉左端非负的一阶项, 可得

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^\gamma}\int_{\{u_n＜1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x&\leq&\int_{\{u_n＜1\}} \frac{|\nabla u_n|^{p-2}}{(1+u_n)^\gamma}\nabla u_n\cdot\nabla T_1(u_n) {\rm d}x\\ &\leq&\int_\Omega T_n(f)T_1(u_n) {\rm d}x\\ &\leq&\int_\Omega f {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

这表明

$\int_{\{u_n＜1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x\leq C .$

(2.5)

结合(2.4)和(2.5)式知$\|u_n\|_{W^{1, p}_0(\Omega )}\leq C$.从而存在$u \in W_0^{1, p}(\Omega )$及$\{u_n\}$的子列(仍记为其本身)使得$u_n$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中弱收敛于$u$, 并且在$\Omega $上几乎处处收敛于$u$.

引理2.3  设$0＜\theta＜p$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的非负函数.若$\frac{N}{pN-\theta(N-1)}＜m＜\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 则问题(2.1)的解序列$\{u_n\}$在$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$中一致有界, 且存在$u\in W_0^{1, \sigma}(\Omega )$及$\{u_n\}$的子列(仍记为其本身)使得在$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$上$u_n\rightharpoonup u$弱收敛, 在$\Omega $上$u_n\rightarrow u$几乎处处收敛.这里$\sigma=\frac{mN(p-\theta)}{N-\theta m}$.

证  令$l=\frac{p^*-\theta m'}{pm'-p^*}$.由$m＜\min\Big\{\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}, \frac{N}{p}\Big\}$知$p^*-\theta m'＜0$, $pm'-p^*>0$.因此$l＜0$.又由$\theta＜p$得$\theta+pl=\frac{p^*(p-\theta)}{pm'-p^*}>0$.在问题(2.1)中取$(u_n+1)^{\theta+pl}-1$作为检验函数, 舍掉左端的非负项并利用引理2.1中得到的估计式(2.2), 得

$ B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^{\theta+pl} {\rm d}x\leq \int_\Omega f(u_n+1)^{\theta+pl} {\rm d}x+C.$

同引理2.2的证明类似, 在集合$\{u_n\geq1\}$上, 有

$\begin{eqnarray*} &&\frac{B}{2(l+1)^p}\int_{\{u_n\geq1\}}\big|\nabla[(u_n+1)^{l+1}-2^{l+1}]\big|^p {\rm d}x \\ &=&\frac{B}{2}\int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^p(u_n+1)^{pl} {\rm d}x\\ &\leq&B\int_{\{u_n\geq1\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}(u_n+1)^{\theta+pl} {\rm d}x\\ &\leq&\int_{\{u_n\geq1\}}f(u_n+1)^{\theta+pl} {\rm d}x +C. \end{eqnarray*}$

对上式左端使用Sobolev不等式, 右端使用Hölder不等式, 得

$\begin{eqnarray} &&\frac{BS}{2(l+1)^p}\bigg\{\int_{\{u_n\geq1\}}\big[(u_n+1)^{l+1}-2^{l+1}\big]^{p^*}{\rm d}x\bigg\}^{\frac{p}{p^*}}\nonumber \\ &\leq&\frac{B}{2}\int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^p(u_n+1)^{pl} {\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}f^m {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{m}} \bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n+1)^{(pl+\theta)m'} {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{m'}}+C\nonumber\\ &\leq&C\bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n+1)^{(pl+\theta)m'} {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{m'}}+C. \end{eqnarray}$

(2.6)

注意到$l=\frac{p^*-\theta m'}{pm'-p^*}$等价于$(pl+\theta)m'=(l+1)p^*$, 且由对$m$和$\theta$的假设知$\frac{p}{p^*}\geq\frac{1}{m'}$.从而由(2.6)式易得

$\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n+1)^{(l+1)p^*} {\rm d}x=\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n+1)^{(pl+\theta)m'} {\rm d}x\leq C.$

(2.7)

由(2.6), (2.7)式及Hölder不等式并注意到$-l\frac{\sigma p}{p-\sigma}=(l+1)p^*$, 可得

$\begin{eqnarray} \int_{\{u_n\geq1\}}|\nabla u_n|^\sigma {\rm d}x &=&\int_{\{u_n\geq1\}}\frac{|\nabla u_n|^\sigma}{(u_n+1)^{-l\sigma}}(u_n+1)^{-l\sigma} {\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}\frac{|\nabla u_n|^p}{(u_n+1)^{-lp}} {\rm d}x\bigg]^{\frac{\sigma}{p}} \bigg[\int_{\{u_n\geq1\}}(u_n+1)^{-l\sigma\frac{p}{p-\sigma}}{\rm d}x\bigg]^{\frac{p-\sigma}{p}} \\ &\leq& C. \end{eqnarray}$

(2.8)

下面考虑在集合$\{u_n\leq1\}$上的估计.在问题(2.1)中取$T_1(u_n)$作为检验函数并舍掉左端非负的一阶梯度项, 得

$ \int_{\{u_n＜1\}}\frac{|\nabla T_1(u_n)|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x\leq\int_\Omega T_n(f)T_1(u_n){\rm d}x\leq\int_\Omega f {\rm d}x. $

注意到在集合$\{u_n\leq1\}$上$T_1(u_n)\leq u_n\leq1$, 故由上式可得

$\frac{1}{2^\gamma}\int_{\{u_n＜1\}}|\nabla u_n|^p {\rm d}x\leq C.$

(2.9)

结合(2.8)和(2.9)式知$u_n$在$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$中一致有界.此外, 由$\sigma>1$知存在函数$u\in W_0^{1, \sigma}(\Omega )$及$\{u_n\}$的子列(仍记为其本身)使得$u_n$在$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$中弱收敛于$u$, 并且在$\Omega $上$u_n$几乎处处收敛于$u$.

引理2.4  设$u_n$是问题(2.1)的解, 那么对每一个固定的$k>0$, $T_k(u_n)$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中关于$n$一致有界.

证  在问题(2.1)中取$T_k(u_n)$作为检验函数, 舍掉左端非负项得

$ \int_{\{u_n\leq k\}}\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_k(u_n)}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x \leq\int_\Omega T_n(f)T_k(u_n) {\rm d}x\leq Ck. $

注意到在集合$\{u_n\leq k\}$上$T_n(u_n)\leq u_n\leq k$, 故有

$\int_{\Omega }|\nabla T_k(u_n)|^p {\rm d}x=\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^p {\rm d}x\leq Ck(1+k)^\gamma. $

因此, $T_k(u_n)$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中是一致有界的.

引理2.5  设$u_n$是问题(2.1)的解, 则存在$\{u_n\}$的子列(仍记为其本身)使得$\nabla u_n$几乎处处收敛于$\nabla u$.

证  令$h, k>0$.在问题(2.1)中取$T_h(u_n-T_k(u))$作为检验函数, 得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x \leq h\int_\Omega f {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^p u_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}h {\rm d}x.$

结合上式和(2.2)式得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x \leq Ch, $

即

$\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x \leq Ch.$

(2.10)

注意到对任意的$a, b \in {\Bbb R}^N$, 下面的基本不等式成立

$\langle |a{|^{p - 2}}a - |b{|^{p - 2}}b,a - b\rangle \ge \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_p}|a - b{|^p},}&{p \ge 2,}\\ {\frac{{{C_p}|a - b{|^2}}}{{{{(|a| + |b|)}^{2 - p}}}},}&{1 ＜ p ＜ 2,} \end{array}} \right.$

其中$\langle\cdot, \cdot\rangle$表示$N$维欧式空间中的内积.因此当$p\geq2$时, 有

$|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p\leq C_p(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))(\nabla u_n-\nabla T_k(u)). $

进而我们得到

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p}{(1+u_n)^\gamma} {\rm d}x\\ &\leq& \int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x\\ &\leq &C_p\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u)) (\nabla u_n-\nabla T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x\\ &=&C_p\bigg[\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n \cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x\\ &&-\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u) \cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x\bigg]\\ &\leq &C_ph-C_p\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u) \cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u))}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

在上式中令$n\rightarrow\infty$取上极限得

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p}{(1+u_n)^\gamma} {\rm d}x \leq C_ph.$

注意到在集合$\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}$上有$u_n\leq h+k$, 因此

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p {\rm d}x \leq C_ph(1+h+k)^\gamma.$

(2.11)

而当$1＜p＜2$时, 由不等式(2.10)可得

$\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_h(u_n-T_k(u)) {\rm d}x \leq Ch(1+h+k)^\gamma. $

因此

$\begin{eqnarray} &&\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^p {\rm d}x \nonumber\\ &\leq&\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|}{(1+|\nabla u_n|+|\nabla T_k(u)|)^{1-\frac{p}{2}}} (1+|\nabla u_n|+|\nabla T_k(u)|)^{\frac{p}{2}} {\rm d}x \nonumber\\ &\leq&\bigg[\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}\frac{|\nabla u_n-\nabla T_k(u)|^2}{(1+|\nabla u_n|+|\nabla T_k(u)|)^{2-p}} {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{2}}\nonumber\\ &&\times\bigg[\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}(1+|\nabla u_n|+|\nabla T_k(u)|)^p {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{2}}\nonumber\\ &\leq& C_p\bigg[\int_{\{|u_n-T_k(u)|\leq h\}}(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))(\nabla u_n-\nabla T_k(u)) {\rm d}x\bigg]^{\frac{1}{2}}\nonumber\\ &\leq&\big[C_ph(1+h+k)^\gamma\big]^{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray}$

(2.12)

由引理2.2和引理2.3知$u_n$在$W_0^{1, \eta}(\Omega )$中一致有界(其中$\eta$分别等于$p$和$\sigma$).令$q\in(1, \eta)$, 则有

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega|\nabla(u_n-u)|^q {\rm d}x&=&\int_{\{|u_n-u|\leq h,|u|\leq k\}}|\nabla(u_n-u)|^q {\rm d}x \\ &&+\int_{\{|u_n-u|\leq h,|u|>k\}}|\nabla(u_n-u)|^q {\rm d}x +\int_{\{|u_n-u|>h\}}|\nabla(u_n-u)|^q {\rm d}x . \end{eqnarray*}$

对上式右端应用Hölder不等式可得

$\begin{eqnarray*} &&\int_\Omega|\nabla(u_n-u)|^q {\rm d}x\\ &\leq&C\big[\int_{\{|u_n-u|\leq h,|u|\leq k\}}|\nabla(u_n-u)|^p {\rm d}x \big]^{\frac{q}{p}} +C\bigg[\mu(\{|u|>k\})^{1-\frac{q}{\eta}}+\mu(\{|u_n-u|>h\})^{1-\frac{q}{\eta}}\bigg], \end{eqnarray*}$

这里$\mu(E)$是集合$E$的Lebesgue测度.在上式中令$n\rightarrow\infty$取上极限并结合(2.11)和(2.12)式可得

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega |\nabla u_n-\nabla u|^q {\rm d}x\leq \left\{ \begin{array}{ll} \big[C_ph(1+k+h)^\gamma\big]^{\frac{q}{p}}+C\mu(\{|u|>k\})^{1-\frac{q}{\eta}}, &p\geq2. \\ \big[C_ph^{\frac{1}{2}}(1+k+h)^{\frac{\gamma}{2}}\big]^{\frac{q}{p}} +C\mu(\{|u|>k\})^{1-\frac{q}{\eta}}, &1＜p＜2. \end{array} \right.$

再令$h\rightarrow0$, 得

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega |\nabla u_n-\nabla u|^q {\rm d}x\leq C\mu(\{|u|>k\})^{1-\frac{q}{\eta}}. $

注意到当$k\rightarrow+\infty$时$\mu(\{|u|>k\})\rightarrow0$, 在上式中令$k\rightarrow\infty$知$\nabla u_n\rightarrow \nabla u$强收敛于$L^q(\Omega )$.因此在抽子列的意义下就有$\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处于$\Omega $.证毕.

在这一部分我们将利用前面所得的结论研究问题(1.1)解的存在性和正则性.我们将$0＜\theta＜1$和$1\leq\theta＜p$两种情形对应的结果分别阐述并证明.

情形Ⅰ    $0＜\theta＜1$.

定理3.1  设$0＜\theta＜1$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的一个非负函数.若$m\geq\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 则存在一个在$\Omega $内严格正的函数$u\in W_0^{1, p}(\Omega )$, 使得$\frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\in L^{1}(\Omega )$并且满足对任意$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )\cap L^{\infty}(\Omega )$有

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla \varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x =\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.1)

定理3.2  设$0＜\theta＜1$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的一个非负函数.若$\frac{N}{pN-\theta(N-1)}＜m＜\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 则存在一个在$\Omega $内严格正的函数$u\in W_0^{1, \sigma}(\Omega )$, $\sigma=\frac{mN(p-\theta)}{N-\theta m}$, 使得$\frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\in L^{1}(\Omega )$并且满足对任意$\varphi \in C_0^1(\Omega )$有

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x =\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.2)

下面我们首先证明在第二节的引理中得到的逼近解序列的极限函数$u$在$\Omega $内是严格正的.

命题3.1  设$0＜\theta＜1$, $u$是在引理2.2或引理2.3中得到的逼近解序列$u_n$的极限函数, 那么$u>0$于$\Omega $内.

证  设$\phi\in C_0^{\infty}(\Omega )$, $\phi\geq0$.定义函数

$ H_n(s)=\int_0^s\frac{t(1+T_n(t))^\gamma}{(t+\frac{1}{n})^{\theta+1}}{\rm d}t, \ \ \ H(s)=\int_0^s\frac{(1+t)^\gamma}{t^\theta}{\rm d}t, \ \ \ s\geq0. $

注意到$\theta＜1$, 所以$H(s)$的定义是合理的.在问题(2.1)中取${\rm e}^{-BH_n(u_n)}\phi$作为检验函数, 得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \phi {\rm e}^{-BH_n(u_n)}} {(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x-\int_\Omega T_n(f){\rm e}^{-BH_n(u_n)}\phi {\rm d}x\\ =B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma}{\rm e}^{-BH_n(u_n)}H_n'(u_n)\phi {\rm d}x- B\int_\Omega \frac{u_n|\nabla u_n|^p {\rm e}^{-BH_n(u_n)}\phi}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x=0.$

从而有

$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \phi {\rm e}^{-BH_n(u_n)}}{(1+T_n(u_n))^\gamma} {\rm d}x =\int_\Omega T_n(f){\rm e}^{-BH_n(u_n)}\phi {\rm d}x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ge \int_\Omega T_1(f){\rm e}^{-BH_n(u_n)}\phi {\rm d}x.$

(3.3)

令

$ P_n(s)=\int_0^s\bigg[\frac{{\rm e}^{-BH_n(t)}}{(1+T_n(t))^\gamma}\bigg]^{\frac{1}{p-1}}{\rm d}t, \ \ \ \ P(s)=\int_0^s\bigg[\frac{{\rm e}^{-BH(t)}}{(1+t)^\gamma}\bigg]^{\frac{1}{p-1}}{\rm d}t, $

则(3.3)式表明$P_n(u_n)$在分布的意义下满足不等式

$-{\rm div}(|\nabla(P_n(u_n))|^{p-2}\nabla(P_n(u_n)))\geq T_1(f){\rm e}^{-BH_n(u_n)}. $

由于$P_n'$有界且$u_n\in W_0^{1, p}(\Omega )$, 故对每一个$n\in N$都有$P_n(u_n)\in W_0^{1, p}(\Omega )$.设$z_n$和$z$分别是下述问题在齐次Dirichlet边界条件下的$ W_0^{1, p}(\Omega )$弱解, 即

$-{\rm div}(|\nabla z_n|^{p-2}\nabla z_n)=T_1(f){\rm e}^{-BH_n(u_n)} $

和

$-{\rm div}(|\nabla z|^{p-2}\nabla z)=T_1(f){\rm e}^{-BH(u)}, $

则有

$-{\rm div}(|\nabla(P_n(u_n))|^{p-2}\nabla(P_n(u_n)))\geq -{\rm div}(|\nabla z_n|^{p-2}\nabla z_n). $

由$p$-Laplace型方程的比较原理和标准估计易知$P_n(u_n(x))\geq z_n(x)$在$\Omega $上几乎处处成立且$z_n$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中一致有界.故存在$\{z_n\}$的子列(仍记为其本身)使得$z_n\rightarrow z$弱收敛于$W_0^{1, p}(\Omega )$且在$\Omega $上几乎处处收敛.令$n\rightarrow\infty$知$P(u)\geq z$在$\Omega $上几乎处处成立.由强极值原理知$z>0$, 从而$P(u)>0$.最后因为$P$是严格单调递增的, 因此$u>0$于$\Omega $内.证毕.

推论3.1  设$0＜\theta＜1$, $u$是在引理2.2或引理2.3中所得到的逼近解序列$u_n$的极限函数, 则$\frac{|\nabla u|^p}{u^\theta}\in L^1(\Omega )$.

证  在(2.2)式中令$n\rightarrow\infty$并结合引理2.2 (或引理2.3), 引理2.5, 命题3.1及Fatou引理可得

$B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^\theta} {\rm d}x\leq\int_\Omega f {\rm d}x.$

结论得证.

下面我们来证明定理3.1, 即证明极限函数$u$就是问题(1.1)的$W_0^{1, p}(\Omega )$弱解.

证  只需证明对任意非负有界的$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )$, (3.1)式成立即可.事实上任意有界的$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )$都可以写成$\varphi _{+}-\varphi _{-}$的形式, 其中$\varphi _{\pm}$是$W_0^{1, p}(\Omega )$中的非负有界函数.在(2.1)式中取$\varphi $作为检验函数, 有

$\int_\Omega {\frac{{|\nabla {u_n}{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + {T_n}({u_n}))}^\gamma }}}} \nabla {u_n} \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla {u_n}{|^p}{u_n}}}{{{{({u_n} + \frac{1}{n})}^{\theta + 1}}}}} \varphi {\rm{d}}x = \int_\Omega {{T_n}} (f)\varphi {\rm{d}}x.$

注意到$\frac{\nabla \varphi }{(1+T_n(u_n))^{\gamma}}\rightarrow\frac{\nabla \varphi }{(1+u)^{\gamma}}$强收敛于$L^p(\Omega )$, $\nabla u_n\rightharpoonup\nabla u$弱收敛于$L^p(\Omega )$, $\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处于$\Omega $, 由Fatou引理可得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x \leq\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.4)

下面我们证明反方向的不等式.为此, 对$n\in N$和$s\geq0, $定义

$ H_{\frac{1}{n}}(t)=\int_0^t\frac{B(1+s)^\gamma}{(s+\frac{1}{n})^\theta}{\rm d}s, \ \ \ H_0(t)=\int_0^t\frac{B(1+s)^\gamma}{s^\theta}{\rm d}s. $

由于$\theta＜1$, 所以$H_0(t)$的定义是合理的.令$j\in{\Bbb N}$, 在问题(2.1)中取$\nu={\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_{\frac{1}{j}}(T_{j}(u))}\varphi $作为检验函数可得

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \phi} {(1+T_n(u_n))^\gamma}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))} {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_j(u)} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\frac{(1+T_j(u))^\gamma}{(T_j(u)+\frac{1}{j})^\theta} {\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x\\ =\int_\Omega T_n(f){\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma}\frac{(1+u_n)^\gamma}{(u_n+\frac{1}{n})^\theta} {\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x\\ -B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x.$

(3.5)

注意到由下面的不等式

$\bigg(\frac{u_n+1}{1+T_n(u_n)}\bigg)^\gamma\geq1>\frac{u_n}{u_n+\frac{1}{n}}, $

可知(3.5)式中最后两项之和是非负的.在(3.5)式中先令$n\rightarrow\infty$, 有

$\begin{array}{l} \int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}\nabla u \cdot \nabla \phi }}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} {{\rm{e}}^{ - {H_0}(u)}}{{\rm{e}}^{{H_{\frac{1}{j}}}({T_j}(u))}}{\rm{d}}x\\ \quad + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}\nabla u \cdot \nabla {T_j}(u)}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \frac{{{{(1 + {T_j}(u))}^\gamma }}}{{{{({T_j}(u) + \frac{1}{j})}^\theta }}}{{\rm{e}}^{ - {H_0}(u)}}{{\rm{e}}^{{H_{\frac{1}{j}}}({T_j}(u))}}\varphi {\rm{d}}x\\ \ge \int_\Omega f {{\rm{e}}^{ - {H_0}(u)}}{{\rm{e}}^{{H_{\frac{1}{j}}}({T_j}(u))}}\varphi {\rm{d}}x\\ \quad + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \frac{{{{(1 + u)}^\gamma }}}{{{{(u)}^\theta }}}{{\rm{e}}^{ - {H_0}(u)}}{{\rm{e}}^{{H_{\frac{1}{j}}}({T_j}(u))}}\varphi {\rm{d}}x\\ \quad \quad - B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{u^\theta }}}} {{\rm{e}}^{ - {H_0}(u)}}{{\rm{e}}^{{H_{\frac{1}{j}}}({T_j}(u))}}\varphi {\rm{d}}x. \end{array}$

再令$j\rightarrow\infty$并注意到${\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\leq1$, 得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x \geq\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.6)

因此, (3.4)和(3.6)式表明:对任意非负有界函数$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )$, 都有

$\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \nabla u \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{u^\theta }}}} \varphi {\rm{d}}x = \int_\Omega f \varphi {\rm{d}}x.$

证毕.

下面我们证明定理3.2.

证  我们首先证明对任意非负函数$\varphi \in C_0^1(\Omega )$, (3.2)式都成立.类似于定理3.1中的讨论, 对任意$\varphi \in C_0^1(\Omega ), \varphi \geq0$仍然有

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x \leq\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.7)

由于此时我们得不到$u_n$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中的一致有界性估计, 所以在证明反向不等式时, 我们需要稍微修改定理3.1中相应部分的证明.注意到由引理2.4, 我们得到了$T_k(u_n)$在$W_0^{1, p}(\Omega )$中是一致有界的.令$k\in {\Bbb N}$, $s\in{\Bbb R}$, 定义下面的截断函数

${R_k}(s) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;}&{s \le k,}\\ {k + 1 - s,\;}&{k ＜ s ＜ k + 1,}\\ {0,\;}&{s \ge k + 1.} \end{array}} \right.$

在(2.1)式中取

$\nu={\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_{\frac{1}{j}}(T_{j}(u))}R_k(u_n)\varphi $

作为检验函数, 其中$H_{\frac{1}{n}}(t)$, $H_0(t)$和在定理3.1的证明中所定义的函数相同, $j\in {\Bbb N}$, 则

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla \phi} {(1+T_n(u_n))^\gamma}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u_n) {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla T_j(u)} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\frac{(1+T_j(u))^\gamma}{(T_j(u)+\frac{1}{j})^\theta} {\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u_n)\varphi {\rm d}x\\ =\int_\Omega T_n(f){\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u_n)\varphi {\rm d}x\\ +\int_{\{k\leq u_n\leq k+1\}}\frac{|\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma}\frac{(1+u_n)^\gamma}{(u_n+\frac{1}{n})^\theta} {\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u_n)\varphi {\rm d}x\\ -B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u_n)\varphi {\rm d}x.$

(3.8)

同样地, 由下面的不等式知(3.8)式最后两项之和是非负的

$\bigg(\frac{u_n+1}{1+T_n(u_n)}\bigg)^\gamma\geq1>\frac{u_n}{u_n+\frac{1}{n}}. $

在(3.8)式中舍掉非负项$\int_{\{k\leq u_n\leq k+1\}}\frac{|\nabla u_n|^p}{(1+T_n(u_n))^\gamma}{\rm e}^{-H_{\frac{1}{n}}(u_n)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}\varphi {\rm d}x$并令$n\rightarrow\infty$, 由Fatou引理, $u_n\rightharpoonup u$弱收敛于$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$, $T_k(u_n)\rightharpoonup T_k(u)$弱收敛于$W_0^{1, p}(\Omega )$, 可得

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot\nabla \phi} {(1+u)^\gamma}{\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u) {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot\nabla T_j(u)} {(1+u)^\gamma}\frac{(1+T_j(u))^\gamma}{(T_j(u)+\frac{1}{j})^\theta} {\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u)\varphi {\rm d}x\\ \ge \int_\Omega f{\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u)\varphi {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{(1+u)^\gamma}\frac{(1+u)^\gamma}{(u)^\theta} {\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u)\varphi {\rm d}x\\ -B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}{\rm e}^{-H_0(u)}{\rm e}^{H_\frac{1}{j}(T_{j}(u))}R_k(u)\varphi {\rm d}x.$

类似于定理3.1中的证明, 在上式中先令$j\rightarrow\infty$, 再令$k\rightarrow\infty$, 可得

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x \geq\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.9)

结合不等式(3.7)和(3.9)知对任意$0\leq\varphi \in C_0^1(\Omega )$有

$\int_\Omega \frac{|\nabla u|^{p-2}}{(1+u)^{\gamma}}\nabla u\cdot\nabla\varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\varphi {\rm d}x =\int_\Omega f\varphi {\rm d}x.$

(3.10)

现在设$\varphi $是$C_0^{1}(\Omega )$中的任意函数, 定义磨光函数$\varphi ^{\varepsilon }_{\pm} =\rho^\varepsilon \ast\varphi _{\pm}$, 其中$\rho^\varepsilon $是磨光核, $\varepsilon >0$.则对任意充分小的$\varepsilon $都有$\varphi _{\pm}^{\varepsilon }\in C_0^1(\Omega )$.因此在(3.10)式中取$\varphi _{\pm}^{\varepsilon }$作为检验函数, 有

$\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \nabla u \cdot \nabla (\varphi _ + ^\varepsilon - \varphi _ - ^\varepsilon ){\rm{d}}x + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{u^\theta }}}} (\varphi _ + ^\varepsilon - \varphi _ - ^\varepsilon ){\rm{d}}x = \int_\Omega f (\varphi _ + ^\varepsilon - \varphi _ - ^\varepsilon ){\rm{d}}x.$

注意到$\varphi _+^\varepsilon -\varphi _-^\varepsilon $在$\Omega $上一致收敛于$\varphi $, 并且对任意的$q\geq1$, $\varphi _+^\varepsilon -\varphi _-^\varepsilon $于$W_0^{1, q}(\Omega )$中强收敛于$\varphi $.在上式中令$\varepsilon \rightarrow0$取极限可得结论.证毕.

情形II~ $1\leq\theta＜p$.

当$1\leq \theta＜p$时, 我们要求函数$f$满足更强的条件来得到与$0＜\theta＜1$时平行的结果.

定理3.3  设$1\leq \theta＜p$, $\gamma>\theta-1$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的一个非负函数, $m\geq\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 且对每个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都有

$ {\rm ess inf}\{f(x):x\in \omega\}>0. $

则存在一个在$\Omega $内严格正的函数$u\in W_0^{1, p}(\Omega )$, 使得$\frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\in L^{1}(\Omega )$且对任意$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )\cap L^{\infty}(\Omega )$都有

$\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \nabla u \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{u^\theta }}}} \varphi {\rm{d}}x = \int_\Omega f \varphi {\rm{d}}x.$

定理3.4  令$\sigma=\frac{mN(p-\theta)}{N-\theta m}$.设$1\leq \theta＜p$, $\gamma>\theta-1$, $f$是$L^{m}(\Omega )$中的一个非负函数, $\frac{N}{pN-\theta(N-1)}＜m＜\frac{pN}{pN-\theta(N-p)}$, 且对每个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都有

${\rm ess inf}\{f(x):x\in \omega\}>0, $

则存在一个在$\Omega $内严格正的函数$u\in W_0^{1, \sigma}(\Omega )$, 使得$\frac{|\nabla u|^p}{u^{\theta}}\in L^{1}(\Omega )$并且对任意的$\varphi \in C_0^1(\Omega )$都有

$\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \nabla u \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x + B\int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^p}}}{{{u^\theta }}}} \varphi {\rm{d}}x = \int_\Omega f \varphi {\rm{d}}x.$

首先, 我们证明对每一个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都存在一个不依赖于$n$的正常数$c_\omega$, 使得在$\omega$上问题(2.1)的解序列$u_n$满足$u_n\geq c_\omega$.这需要用到下面的定理(参见文献[7, 15]).

定理3.5  设$B:\Omega \times{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}$是一个Carathéodory函数满足对每一个紧子集$\omega \subset\subset\Omega $都存在$m_\omega>0$使得对几乎所有的$x\in\Omega $和每一个$s\geq0$都有$B(x, s)\geq m_\omega l(s)$.假设$l: {\Bbb R}^+\rightarrow{\Bbb R}^+$是一个连续递增函数使得当$s$充分大时, $\frac{l(s)}{s^{p-1}}$也是递增的且存在$t_0>0$使得

$\int_{t_0}^{+\infty}\frac{{\rm d}t}{(\int_0^tl(s){\rm d}s)^{\frac{1}{p}}}＜+\infty.$

(3.11)

则对每一个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $, 都存在常数$C_\omega>0$使得问题$-{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)+B(x, v)=0$的每一个满足$v^+\in L^{\infty}_{loc}(\Omega )$以及$B(x, v^+)\in L_{loc}^1(\Omega )$的弱下解$v\in W_{loc}^{1, p}(\Omega )$都有$v\leq c_\omega$于$\omega$内.

命题3.2   设$1\leq\theta＜p$, $u_n$是问题(2.1)的解, 则对每一个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都存在一个与$n$无关的正常数$c_\omega$, 使得$u_n\geq c_\omega$于$\omega$.

命题3.2可使用类似文献[5]中的技巧予以证明, 细节从略.

注3.1   称函数$v$是问题$-{\rm div}(|\nabla v|^{p-2}\nabla v)+l(ⅳ)g(x)=0$的弱下解, 如果$v\in W_{loc}^{1, 1}(\Omega )$, 且对任意$\phi\in C_0^{\infty}(\Omega )$, $\phi\geq0$都有

$ \int_\Omega |\nabla v|^{p-2}\nabla v\cdot\nabla\phi {\rm d}x+\int_\Omega l(ⅳ)g(x)\phi {\rm d}x\leq0. $

推论3.2  设$1\leq\theta＜p$, 则$\frac{|\nabla u_n|^p}{u^\theta}\in L^1(\Omega )$.

证   类似于推论3.1的证明, 在(2.2)中令$n\rightarrow\infty$, 利用$u_n\rightarrow u$几乎处处于$\Omega $, $\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处于$\Omega $以及$u>0$几乎处处于$\Omega $内, 并结合Fatou引理可得

$B\int_\Omega \frac{|\nabla u|^p}{u^\theta} {\rm d}x\leq\int_\Omega f {\rm d}x. $

证毕.

推论3.3   对每一个紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都存在一个正常数$\tilde{c}_\omega$(与$n$无关)使得

$\frac{u_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\leq \tilde{c}_\omega, \ \ \forall\ x\in \omega. $

证   由命题3.2知$u_n\geq c_\omega>0$于$\omega$内, 因此对任意的紧子集$\omega\subset\subset\Omega $都有

$\frac{u_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\leq\frac{1}{u_n^\theta}\leq\frac{1}{c_\omega^\theta}= \tilde{c}_\omega, \ \ \ \forall\ x\in \omega. $

为了对问题(2.1)中的低阶项取极限, 我们需要证明对任意给定的$k$, $T_k(u_n)$在$W_{loc}^{1, p}(\Omega )$中都是强收敛的.

引理3.1  设$u_n$是问题(2.1)的解, 则对任意给定的$k$, 在抽子列的意义下有$T_k(u_n)\rightarrow T_k(u)$强收敛于$W_{loc}^{1, p}(\Omega )$.

证只需证明对所有的非负函数$\phi\in C_0^\infty(\Omega )$都有

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_\Omega | \nabla ({T_k}({u_n}) - {T_k}(u)){|^p}\phi {\rm{d}}x = 0.$

令$\varphi _\lambda(s)=s{\rm e}^{\lambda s^2}, \lambda>0$.在问题(2.1)中取$\varphi _\lambda (T_k(u_n)-T_k(u))\phi$作为检验函数, 其中$\lambda$待定, 则有

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ =-\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla\phi} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u)) {\rm d}x\\ +\int_\Omega T_n(f)\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x.$

注意到由于$u_n\rightharpoonup u$弱收敛于$W_0^{1, \eta}(\Omega )$($\eta=p$或$\sigma$), $\frac{\nabla\phi} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\rightarrow0$强收敛于$L^r(\Omega )(\forall\ r>1)$, 所以不难证明当$n\rightarrow\infty$时

$\begin{eqnarray*} &&\int_\Omega\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla\phi} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u)) {\rm d}x\rightarrow0,\\ &&\int_\Omega T_n(f)\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\rightarrow0. \end{eqnarray*}$

从而有

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ +B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x=\varepsilon (n),$

(3.12)

其中$\varepsilon (n)\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$.取$\omega_{\phi}\subset\subset\Omega $满足${\rm supp}\phi\subset\omega_{\phi}$, 那么

$B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ \ge -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_\Omega |\nabla T_k(u_n)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x.$

(3.13)

结合(3.12)和(3.13)式得

$ \int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ - B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_\Omega |\nabla T_k(u_n)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\leq\varepsilon (n).$

(3.14)

注意到

$\int_{\{u_n\geq k\}}\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x=\varepsilon (n). $

因此, (3.14)式等价于

$\int_{\{u_n\leq k\}}\frac{|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x\\ -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_\Omega |\nabla T_k(u_n)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\leq\varepsilon (n).$

(3.15)

注意到

$\int_{\{u_n\leq k\}}\frac{|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u)\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))\phi {\rm d}x=\varepsilon (n). $

将上式加到(3.15)式两端得

$\int_{\{u_n\leq k\}}\frac{(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+T_n(u_n))^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)\\ -T_k(u))\phi {\rm d}x -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_\Omega |\nabla T_k(u_n)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\leq\varepsilon (n).$

(3.16)

由于在集合$\{u_n\leq k\}$上$T_n(u_n)\leq u_n\leq k$, 故

$\int_{\{u_n\leq k\}}\frac{(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+k)^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)\\ -T_k(u))\phi {\rm d}x-B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\leq\varepsilon (n).$

(3.17)

注意到

$|\nabla T_k(u_n)|^p=(|\nabla T_k(u_n)|^{p-2}\nabla T_k(u_n)-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))(\nabla T_k(u_n)-\nabla T_k(u))\\ + |\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u)\cdot\nabla T_k(u_n)+|\nabla T_k(u_n)|^{p-2}\nabla T_k(u_n)\cdot\nabla T_k(u)- |\nabla T_k(u)|^p.$

将其带入(3.17)式得

$\int_{\{u_n\leq k\}}\frac{(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u))} {(1+k)^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)\\ -T_k(u))\phi {\rm d}x -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}} (|\nabla T_k(u_n)|^{p-2}\nabla T_k(u_n)-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))(\nabla T_k(u_n)\\ -\nabla T_k(u)) |\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x+B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u)|^p|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\\ -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u)\cdot\nabla T_k(u_n)|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\\ -B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^{p-2}\nabla T_k(u_n)\cdot\nabla T_k(u)|\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x\leq\varepsilon (n).$

由引理3.1知$T_k(u_n)\rightarrow T_k(u)$强收敛于$W_{loc}^{1, p}(\Omega )$, 因此

$\begin{eqnarray*} &&B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u)\cdot\nabla T_k(u_n)|\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x=\varepsilon(n),\\ &&B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^{p-2}\nabla T_k(u_n)\cdot\nabla T_k(u)|\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x=\varepsilon(n),\\ &&B\tilde{c}_{\omega_\phi}\int_{\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u)|^p|\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\phi {\rm d}x=\varepsilon(n). \end{eqnarray*}$

从而我们得到

$\begin{eqnarray*} &&\int_{\{u_n\leq k\}}(|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla T_k(u)|^{p-2}\nabla T_k(u))\cdot\nabla(T_k(u_n)-T_k(u)) \\ &&\times \bigg[\frac{1}{(1+k)^\gamma}\varphi_\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))-B\tilde{c}_{\omega_\phi} |\varphi_\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\bigg]\phi {\rm d}x\leq\varepsilon(n). \end{eqnarray*}$

注意到由$\varphi _\lambda$的选取我们知道对任意的$a, b>0$, 若$\lambda>\frac{b^2}{4a^2}$则有

$a\varphi _\lambda'(s)-b|\varphi _\lambda(s)| \geq\frac{a}{2}.$

取定$\lambda>\frac{(1+k)^{2\gamma}(B\tilde{c}_{\omega_\phi})^2}{4}$, 则有

$\frac{1}{(1+k)^\gamma}\varphi _\lambda'(T_k(u_n)-T_k(u))-B\tilde{c}_{\omega_\phi} |\varphi _\lambda(T_k(u_n)-T_k(u))|\geq\frac{1}{2(1+k)^\gamma}. $

因此

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_\Omega {(|\nabla {T_k}({u_n}){|^{p - 2}}\nabla {T_k}({u_n}) - |\nabla {T_k}(u){|^{p - 2}}\nabla {T_k}(u))(\nabla {T_k}({u_n}) - \nabla {T_k}(u))} \phi {\rm{d}}x \to 0.$

即$T_k(u_n)\rightarrow T_k(u)$强收敛于$W_{loc}^{1, p}(\Omega )$.证毕.

下面我们统一给出定理3.3和定理3.4的证明, 区别仅在于检验函数$\varphi $所属的空间不同.

证  由引理2.2和引理2.3知问题(2.1)的解序列$u_n$分别在$W_0^{1, p}(\Omega )$和$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$中是一致有界的, 并且$u_n$满足

$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^{p-2}}{(1+T_n(u_n))^{\gamma}}\nabla u_n\cdot\nabla \varphi {\rm d}x+B\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\varphi {\rm d}x =\int_\Omega T_n(f)\varphi {\rm d}x.$

(3.18)

对于定理3.3的证明, 我们选取检验函数$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )$.对于定理3.4的证明, 我们选取检验函数$\varphi \in C_0^1(\Omega )$.进一步, 由引理2.5知在抽子列的意义下有$\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处于$\Omega $.

对于处理(3.18)式左端第一项, 在定理3.3中, 我们利用$u_n\rightharpoonup u$弱收敛于$W_0^{1, p}(\Omega )$, $u_n\rightarrow u$几乎处处收敛于$\Omega $, $\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处收敛于$\Omega $以及$\frac{\nabla\varphi }{(1+T_n(u_n))^{\gamma}}\rightarrow \frac{\nabla\varphi }{(1+u)^{\gamma}}$强收敛于$(L^p(\Omega ))^N$, 则对任意$\varphi \in W_0^{1, p}(\Omega )$, 令$n\rightarrow\infty$取极限即可得到

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_\Omega {\frac{{|\nabla {u_n}{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + {T_n}({u_n}))}^\gamma }}}} \nabla {u_n} \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x = \int_\Omega {\frac{{|\nabla u{|^{p - 2}}}}{{{{(1 + u)}^\gamma }}}} \nabla u \cdot \nabla \varphi {\rm{d}}x.$

同理在定理3.4中, 我们利用$u_n\rightharpoonup u$弱收敛于$W_0^{1, \sigma}(\Omega )$, $u_n\rightarrow u$几乎处处收敛于$\Omega $, $\nabla u_n\rightarrow\nabla u$几乎处处收敛于$\Omega $, 以及$\frac{\nabla\varphi }{(1+T_n(u_n))^{\gamma}}\rightarrow \frac{\nabla\varphi }{(1+u)^{\gamma}}$强收敛于$(L^r(\Omega ))^N(\forall r\geq1)$, 则对任意$\varphi \in C_0^1(\Omega )$, 令$n\rightarrow\infty$取极限即可得到相同的收敛结果.

对于(3.18)式中$\int_\Omega \frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}\varphi {\rm d}x$这一项, 我们先证明$\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}}$是等度可积的.设$E\subset\subset\omega\subset\subset\Omega $, 则

$\begin{eqnarray} \int_E\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x&\leq& \int_{E\cap\{u_n\leq k\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x+ \int_{E\cap\{u_n\geq k\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x\nonumber\\ &\leq&\tilde{c}_\omega\int_{E\cap\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^p {\rm d}x+ \int_{\{u_n\geq k\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.19)

在问题(2.1)中取$T_1(u_n-T_{k-1}(u_n))$作为检验函数, 得

$B\int_{\{u_n\geq k\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x \leq\int_{\{u_n\geq k-1\}}f {\rm d}x.$

(3.20)

注意到$u_n$在$L^1(\Omega )$中是一致有界的, 故存在常数$C>0$使得$\mu(\{u_n\geq k-1\}) \leq\frac{C}{k-1}$.从而当$k\rightarrow\infty$时, (3.20)式的右端项关于$n$是一致地收敛到$0$的, 即存在$k_0>1$使得

$\int_{\{u_n\geq k\}}\frac{|\nabla u_n|^pu_n}{(u_n+\frac{1}{n})^{\theta+1}} {\rm d}x\leq\frac{\varepsilon }{2}, \ \ \forall\ k\geq k_0, \ \forall\ n\in {\Bbb N}. $

进一步, 由引理3.1知$T_k(u_n)\rightarrow T_k(u)$强收敛于$W_{loc}^{1, p}(\Omega )$, 从而存在$n_\varepsilon , \delta _\varepsilon >0$使得对任意满足$\mu(E)＜\delta _\varepsilon $的$E\subset\subset\Omega $都有

$\int_{E\cap\{u_n\leq k\}}|\nabla T_k(u_n)|^p {\rm d}x=\int_E|\nabla T_k(u_n)|^p {\rm d}x\leq\frac{\varepsilon }{2\tilde{c}_\omega}, \ \ \ \forall\ n\geq n_\varepsilon . $

结合上式和(3.20)式知$\frac{|\nabla u_n|^p u_n}{(u_n+\frac{1}{n})}$是等度可积的.现在由$\frac{|\nabla u_n|^p u_n}{(u_n+\frac{1}{n})}\rightarrow\frac{|\nabla u|^p}{u^\theta}$几乎处处收敛于$\Omega $, 以及Vitali定理就可得到我们要证明的结果.证毕.