设$\Omega $是${\Bbb R}^n$中边界Lipschitz光滑的有界开区域, $f\in L^{\infty}(\Omega )$, 我们在权Sobolev空间$X=W^{1, p}_0(\mu^{\varepsilon }_1, \mu^{\varepsilon }_2, \Omega )$里考虑下述边值问题的均匀化
这个模型有几个简单的例子, 比如
以及
这篇文章中, 我们通过联合权Sobolev空间与调和分析中的经典地补偿紧性办法来研究退化椭圆方程$(P_{\varepsilon })$的均匀化, 其中$(P_{\varepsilon })$的退化性是指它的方程满足下面假设条件$(H_2)$和$(H_5)$.
首先是对于每个$\varepsilon $问题$(P_{\varepsilon })$的存在性, 读者可以查阅文献[6, 13-14].
当$\varepsilon $趋于零时, 对于问题$(P_{\varepsilon })$非退化也就是满足强制条件
时的渐近行为已有大量的研究, 比如文献[1, 4]等.而且, 在退化椭圆方程的情形, 文献[2]在更强的条件下有一个初步的结果, 另外相关结果也参考文献[5, 7].对于抛物方程问题的相关研究可以参考文献[3, 8-10].事实上, 偏微分方程的均匀化理论一直是一个热门的问题, 可以参看Kenig, Lin和Shen最近的工作[11-12].
在这个文章中我们将用字母$C$各种可能与$\varepsilon $无关的正常数.
本文的主要假设为
$(H_1)$向量函数$a(y, \alpha , \lambda)=(a_1, a_2, \cdots, a_n): \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$是Carathéodory类函数, 也就是说, $a$关于$y$可测, 关于$(\alpha , \lambda)$连续.
$(H_2)$对于$ Y=(0, 1)^n$, $a(y, \alpha , \lambda)$关于变量$y$是以$Y$为周期的.
$(H_3)$对任意$\lambda\in \mathbb{R}^n, \alpha \in \mathbb{R}, $存在$p>1$, $C>0$, 使得
其中正函数$\mu_1(y)$是$Y$ -周期$A_p$ Muckenhoupt权(见定义2.1).
$(H_4)$对任意的$\lambda_1, \lambda_2\in \mathbb{R}^n$以及$\lambda_1 \neq \lambda_2$,
$(H_5)$对于$\alpha _1, \alpha _2\in R$, $\forall r\in(0, 1)$, 存在正常数$\beta>0, $
$(H_6)$设连续函数$g(y, \alpha ):{\Bbb R}^n \times {\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R}$满足下列条件$(p>1, \beta>0, 0<r\leq 1)$
正函数$\mu_2(y)$是$Y$ -周期$A_p$ Muckenhoupt权(见定义2.1).
现在我们定义一些泛函空间来研究我们的问题, 假设$\mu_1$, $\mu_2$是$\Omega $上的正连续可测函数, 满足
其中$2 \leq p< \infty$.
对每个开集$\Omega \subset {\Bbb R}^n$, 定义
容易证明$W^{1, p}(\mu_1\mu_2, \Omega )$赋予范数
是自反可分的Banach空间.我们代表${W^{1, p}_0(\mu_1, \mu_2, \Omega )}$为$C^{\infty}_0(\Omega )$类函数在$W^{1, p}(\mu_1, \mu_2, \Omega )$的完备化, $V^*$为$V$的对偶空间, 以及$ V=W^{1, p}_0(\mu_1, \mu_2, \Omega )$.
定义1.1 对每个$\varepsilon >0$, 函数$u^{\varepsilon }$被称为问题$(P_{\varepsilon })$的弱解是指$u^{\varepsilon }\in V=W^{1, p}_0(\mu_1^{\varepsilon }, \mu_2^{\varepsilon }, \Omega )$且$u^{\varepsilon }$在分布意义下满足$(P_{\varepsilon })$, 即
本文主要定理是:
定理1.1 如果$(H_1)-(H_6)$被满足, 对每个${\varepsilon }>0$, 问题$(P_{\varepsilon })$存在唯一解$u^{\varepsilon }$, 对于$u\in W^{1, p}_0(\Omega )$满足下述边值问题
则, 当$\varepsilon \rightarrow 0$, 下述结论成立
期中算子$A: {\Bbb R}\times {\Bbb R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$及$G(u)$被定义为
同时, ${\Phi}^{\alpha }_{\lambda}$满足下列问题
其中$W^{1, p}_{_{per}}(\mu_1, \mu_2, Y)$代表$W^{1, p}(\mu_1, \mu_2, Y)$中一些$Y$的两边具有同样的trace的函数类.
定义2.1[5] 设$p>1, K\geq 1$且$\mu$是${\Bbb R}^n$中的权(即, $\mu$满足$(1.4)$式), $\mu$属于$A_p(K)$类是指:对${\Bbb R}^n$中的各面平行于坐标平面的任意矩形$Q$, 有
其中$|Q|$代表$Q$的Lebesgue测度, ${\rlap{-} \smallint }_{Q}\mu{\rm d}y=\frac{1}{|Q|}\int_{Q}\mu{\rm d}y$, 记$A_p:=\bigcup_{K\geq 1}A_p(K)$.
引理2.1[5] 设$p>1$, $K\geq 1$, 然后存在两个正常数$\delta =\delta (n, p, K)$和$C=C(n, p, K)$对${\Bbb R}^n$中的各面平行于坐标平面的任意矩形$Q$, $\mu \in A_p(K)$, 使得
引理2.2[10] 对所有$(\alpha , \lambda)\in {\Bbb R}\times {\Bbb R}^n$, 存在正常数$C_1=C_1(n, p), C_2=C_2(n, p)$, 使得
引理2.3[10] 向量函数$A(\alpha , \lambda):{\Bbb R}\times {\Bbb R}^n \rightarrow {\Bbb R}^n $是连续的且满足, 对任意的$\alpha , \lambda_1, \lambda_2 $, $\lambda_1 \neq \lambda_2, $有
证 用$u^{\varepsilon }$数乘以$(P_{\varepsilon })$方程两边并积分得
由条件$(H_3$)和$(H_5), $有
其中$\mu^{\varepsilon }_i=\mu_i(\frac{x}{\varepsilon }) i=1, 2.$
由于$f\in L^{\infty}(\Omega )$, 我们有
在另外一方面, 我们能说明存在一个与$\varepsilon $无关的正常数$C$使得
其中$\frac1p+\frac{1}{p'}=1$.
由$(H_2)$, Hölder不等式和Poincaré不等式, 可得
然后(3.4)式来自于(3.3)和(3.5)式.
类似地, 由(3.3)式, 可得
为了证明$\{u^{\varepsilon }\}, \{a^{\varepsilon }\}$以及$\{g^{\varepsilon }\}$的收敛性, 我们首先证明对于$\varepsilon \in (0, 1)$, 存在$\sigma >0$使得$\{u^{\varepsilon }\}$在$W^{1, 1+\sigma}_0(\Omega ))$, $\{a^{\varepsilon }\}$以及$\{g^{\varepsilon }\}$在$(L^{1+\sigma}(\Omega ))^n$一致有界.
用Hölder不等式, 有
然后, 通过选择$0<\sigma<1$使得$\frac{1+\sigma}{p-(1+\sigma)}=\frac{1+\delta }{p-1}$, 其中$\delta $在引理2.1所定义, 再从文献[7]和(3.14)式, 存在正常数$C$使得
类似地, 由(3.4)和(3.6)式, 可得
因此, 存在$u^*\in W^{1, 1+\sigma}_0(\Omega )), a_0\in$ $(L^{1+\sigma}(\Omega ))^n, g_0\in L^{1+\sigma}(\Omega )$使得
另外, 由Sobolev嵌入定理以及(3.10)式有
为了完成这个定理的证明, 只需证明
事实上, 由$(P_0)$解的唯一性以及(3.14)式, 容易有
让我们首先证明(3.14)式的ⅰ), 这需要表明
由Hölder不等式, 对于每个$\psi \in C_0^0(\Omega )$
取(3.16)式极限有
类似地, 由(3.4})和(3.6)式, 有
再用$(H_6)$, (1.12)式和(3.13)式, 则
注意到$0<\sigma<1$,
由(3.12)和(3.19)式, 我们获得(3.14)式的ⅲ).
下面我们证明(3.14)式的ⅱ).我们将充分利用文献[10]的技巧, 对$k\in N$, 取${\Bbb R}^{n}$的边长为$2^{-k}$矩形分解$\{Q_{i, k}\}$, 同时定义
显然, $I_k$是有限集, 对于函数$u$, 记
以及${\Large \chi_{_{i, k}} }$代表$[\Omega ](i, k)$的特征函数.
由引理2.3知道$A(\alpha , \lambda)$是连续的, 结果对每个$\lambda\in {\Bbb R}^n$, 有
容易明白
同时
对$i, k\in N$, $\lambda\in {\Bbb R}^n$, $\alpha =\langle u \rangle_{i, k}$, 设${\Phi}^{\lambda}_{i, k}$是(1.13)式的解.记
且
因为${\Phi}^{\lambda}_{i, k}$是(1.13)式的解, 有
再由$(H_2)$,
对于$\lambda\in {\Bbb R}^n$, 由(2.4)式
同理可得, 存在常数$C>0$和$\sigma>0$使得
然后, 类似于(3.10)和(3.13)式, 有
从(1.13)式, 对$\varepsilon >0$, 有
设
由(3.24)式有
在另外一方面, 我们能获得一个类似于文献[5, 定理2.3]的权补偿紧性结果.
因此, 对于$\psi_k\in E_k$和(3.11), (3.13), (3.23), (3.24)式, 有
另一方面,
由$(H_5)$和Hölder不等式, 有
类似地, 有
再由(1.9), (3.21), (3.29), (3.30)式以及$(H_5)$, 对任意的非负函数$\psi\in C_0^0(\Omega )$, 有
再用Minty技巧, 对任意$\xi \in {\Bbb R}^n$, 有
这暗含(3.14)式的ⅱ)成立, 定理1.1的证明完成.