Ulam在1940年提出了第一个涉及群同态的稳定性问题^[19].设$G_1$是一个群, $G_2$是一个带有度量$d(\cdot,\cdot)$的度量群.对于给定的$\epsilon > 0$, 是否存在一个$\delta > 0 $使得如果一个映射$h : G_1 \rightarrow G_2 $对所有的$x,y \in G_1$满足了不等式$d(h(xy),h(x)h(y)) ＜ \delta $, 那么存在一个同态$H : G_1\rightarrow G_2$对所有的$x \in G_1$满足$d(h(x),H(x)) ＜ \epsilon$?

在1941年, 对于$G_1$和$G_2$都是Banach空间的的情况, Hyers肯定地回答了Ulam的问题^[13].在1978年, Rassias推广了Hyers的结果^[16].

在此之后, 很多数学家和学者广泛地研究了各种类型的函数方程、微分方程、积分方程、算子方程、代数方程等的Hyers-Ulam稳定性(可参考文献[3-4, 6-7, 9, 11-12, 20-27]以及这些文献中的相关参考文献).

Euler-Lagrange二次函数方程是最基本的函数方程之一, 它具有下列形式

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y).$

(1.1)

二次映射$f(x)=ax^2$是该函数方程的一个解.因此, 通常我们也称以上方程是二次的.众所周知, 两个实向量空间之间的映射$f$是二次的充分必要条件是存在惟一一个对称的双可加映射$B$使得对所有的$x$都有$f(x)=B(x,x)$ (参见文献[1, 14]).该双可加映射$B$具有如下形式

$ B(x,y)=\frac{1}{4}(f(x+y)-f(x-y)). $

Skof研究了二次函数方程(1.1)的Hyers-Ulam稳定性问题, 主要针对映射$f: E_1\rightarrow E_2$, 这里$E_1$是赋范空间, $E_2$是Banach空间^[18]. Cholewa证明了如果用Abelian群代替$E_1$, Skof定理还是成立的^[5].在文献[8]中, Czerwik研究了二次函数方程(1.1)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性. Grabiec推广了以上提到的相关结果^[10].

本文的主要目的是研究带有参数$s$的二次-可加混合型函数方程

$\begin{eqnarray*} &&2k[f(x+ky)+f(kx+y)]\\ & =& k(1-s+k+ks+2k^2)f(x+y)+k(1-s-3k+ks+2k^2)f(x-y)\\ && +2kf(kx)+2k(s+k-ks-2k^2)f(x)+2(1-k-s)f(ky)+2ksf(y) \end{eqnarray*}$

(1.2)

的一般解, 同时研究了该函数方程在拟Banach空间上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 其中$k>1$, $s\neq 1-2k$.

容易验证, 映射$f(x)=ax+bx^2$是函数方程(1.2)的一个解.

在这一部分, 我们回顾关于拟Banach空间一些基本的定义和结论.

定义2.1 ^{[2, 17]} 设$X$是一个实的向量空间.在$X$上的一个实值函数$\|\cdot\|$称作拟范数, 如果该函数满足下列条件:

(a) 对任意的$x\in X$, $\|x\|\geq 0$, 并且$\|x\|=0$当且仅当$x=0$;

(b) 对任意的$\lambda\in {\Bbb R}$和$x\in X$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$;

(c) 存在一个常数$M\geq1$使得对任意的$x,y\in X$都有$\|x+y\|\leq M(\|x\|+\|y\|)$. 从条件(c)不难得到, 对任意的整数$n\geq 1$和任意的$x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1}\in X$有

$\left\|\sum\limits_{i=1}^{2n}x_i\right\|\leq M^n\sum\limits_{i=1}^{2n}\|x_i\|,\left\|\sum\limits_{i=1}^{2n+1}x_i\right\|\leq M^{n+1}\sum\limits_{i=1}^{2n+1}\|x_i\|.$

(2.1)

定义2.2 如果$\|\cdot\|$是一个$X$上的拟范数, 那么有序对$(X,\|\cdot\|)$称为拟赋范空间.最小可能的常数$M$称为拟范数$\|\cdot\|$的凹性模数.一个完备的拟赋范空间称为拟Banach空间.

定义2.3 如果对任意的$x,y\in X$, 拟范数$\|\cdot\|$满足

$\|x+y\|^p\leq\|x\|^p+\|y\|^p,$

(2.2)

这里$0<p\leq1$, 那么, 拟范数$\|\cdot\|$称为$p$ -范数.对这种情况, 相应的拟Banach空间也称为$ p$-Banach空间.

对于一个$p$ -范数$\|\cdot\|$, $d(x,y):=\|x-y\|^p$就是空间$X$上的一个平移不变度量.根据Aoki-Rolewicz定理^{[2, 17]}, 每一个拟范数都等价于某一个$p$ -范数.由于使用$p$ -范数更容易处理一些问题, 我们主要把注意力放在$p$ -范数上.

在本文中, 证明主要结论还会用到下面的引理.

引理2.1 ^[15] 设$0\leq p \leq1$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$都是非负实数, 那么

$\bigg(\sum\limits_{i=1}^nx_i\bigg)^p\leq\sum\limits_{i=1}^nx_i^p.$

(2.3)

在这一部分, 首先我们给出一些预备性的结果, 在证明主要结论时会用到这些结果.

引理3.1 设$X,Y$都是实向量空间.如果一个偶映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2), 那么$f$是二次的.

证 设$f$是一个偶映射.对任意的$x\in X$, 有$f(-x)=f(x)$.在方程(1.2)中, 用$(0,0)$代替$(x,y)$, 得到

$f(0)=0.$

(3.1)

在方程(1.2)中, 取$x=0$, 并应用$f$是偶映射和$s\neq 1-2k$, 可得

$f(ky)=k^2f(y)$

(3.2)

对任意的$y\in X$都成立.现在, 在方程(1.2)中, 用$(x-y,x+y)$代替$(x,y)$, 再使用(3.2)式, 有

$\begin{eqnarray} &&f((k+1)x+(k-1)y)+f((k+1)x-(k-1)y)\\ &=& 2(1-s+k+ks+2k^2)f(x)+2(1-s-3k+ks+2k^2)f(y)\\ && +(s+k-ks-k^2)[f(x+y)+f(x-y)] \end{eqnarray}$

(3.3)

对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.3)式中, 用$(x,0)$代替$(x,y)$, 得到

$f((k+1)x)=(k+1)^2f(x)$

(3.4)

对任意的$x\in X$都成立.在(3.3)式中, 用$(x,(k+1)y)$代替$(x,y)$, 再应用(3.4)式, 可得

$(k+1)^2f(x+(k-1)y)+(k+1)^2f(x-(k-1)y)\\= 2(1-s+k+ks+2k^2)f(x)+2(1-s-3k+ks+2k^2)(k+1)^2f(y)\\ +(s+k-ks-k^2)[f(x+(k+1)y)+f(x-(k+1)y)]$

(3.5)

对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.5)式中, 交换$x$和$y$, 得到

$(k+1)^2f(y+(k-1)x)+(k+1)^2f(y-(k-1)x)\\ = 2(1-s+k+ks+2k^2)f(y)+2(1-s-3k+ks+2k^2)(k+1)^2f(x)\\ +(s+k-ks-k^2)[f(y+(k+1)x)+f(y-(k+1)x)]$

(3.6)

对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.6)式中, 用$(k-1)y$代替$y$, 可得

$(k+1)^2f((k-1)y+(k-1)x)+(k+1)^2f((k-1)y-(k-1)x)\\ =2(1-s+k+ks+2k^2)f((k-1)y)+2(1-s-3k+ks+2k^2)(k+1)^2f(x)\\ +(s+k-ks-k^2)[f((k-1)y+(k+1)x)+f((k-1)y-(k+1)x)]$

(3.7)

对任意的$x,y\in X$都成立.

在方程(3.7)中, 应用(3.3)和(3.4)式, 得

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$

(3.8)

对任意的$x,y\in X$都成立, 这就证明了$f$是一个二次映射.证毕.

引理3.2 设$X,Y$都是实向量空间.如果一个奇映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2), 那么$f$是可加的.

证 设$f$是一个奇映射.对任意的$x\in X$, 有$f(-x)=-f(x)$.在方程(1.2)中, 取$(x,y)$为$(0,0)$, 可得$f(0)=0$.在方程(1.2)中, 取$x=0$, 并考虑到$f$的奇性和$s\neq 1-2k$, 得到$f(ky)=kf(y)$对任意的$y\in X$成立.在方程(1.2)中, 用$(x-y,x+y)$代替$(x,y)$, 再应用$f(ky)=kf(y)$, 有

$ \ \ 2k[f((k+1)x+(k-1)y)+f((k+1)x-(k-1)y)]\\ =2k(1-s+k+ks+2k^2)f(x)-2k(1-s-3k+ks+2k^2)f(y)\\ = \ \ +(4k^2+2ks-2k^2s-4k^3)f(x-y)+(2k-2k^2)f(x+y)$

(3.9)

对任意的$x,y\in X$都成立.在方程(3.9)中, 用$(\frac{x}{k+1},0)$代替$(x,y)$, 化简得到

$f(\frac{x}{k+1})=\frac{1}{k+1}f(x)$

(3.10)

对任意的$x\in X$都成立.在方程(3.9)中, 取$y=0$, 化简得到

$f((k+1)x)=(k+1)f(x)$

(3.11)

对任意的$x\in X$都成立.在方程(3.9)中, 用$(\frac{x}{k+1},y)$代替$(x,y)$, 并乘以$k+1$, 得

$ 2k(k+1)[f(x+(k-1)y)+f(x-(k-1)y)]\\= 2k(1-s+k+ks+2k^2)f(x)-2k(k+1)(1-s-3k+ks+2k^2)f(y)\\ +(4k^2+2ks-2k^2s-4k^3)f(x-(k+1)y)+(2k-2k^2)f(x+(k+1)y)$

(3.12)

对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.12)式中, 交换$x$和$y$, 并应用$f$的奇性, 得到

$2k(k+1)[f((k-1)x+y)-f((k-1)x-y)]\\ = 2k(1-s+k+ks+2k^2)f(y)-2k(k+1)(1-s-3k+ks+2k^2)f(x)\\ -(4k^2+2ks-2k^2s-4k^3)f((k+1)x-y)+(2k-2k^2)f((k+1)x+y)$

(3.13)

对任意的$x,y\in X$都成立.现在, 在方程(3.13)中用$-y$代替$y$, 得到

$2k(k+1)[f((k-1)x-y)-f((k-1)x+y)]\\ =-2k(1-s+k+ks+2k^2)f(y)-2k(k+1)(1-s-3k+ks+2k^2)f(x)\\ -(4k^2+2ks-2k^2s-4k^3)f((k+1)x+y)+(2k-2k^2)f((k+1)x-y)$

(3.14)

对任意的$x,y\in X$都成立.把(3.13)和(3.14)式加到一起, 并化简, 可得

$ 4k(k+1)(1-s-3k+ks+2k^2)f(x)\\ = (-6k^2-2ks+2k^2s+4k^3+2k)f((k+1)x-y)\\ +(-6k^2-2ks+2k^2s+4k^3+2k)f((k+1)x+y)$

(3.15)

对任意的$x,y\in X$都成立.现在, 在(3.15)式中用$(\frac{x}{k+1},y)$代替$(x,y)$, 应用(3.10)式, 得到

$4k(1-s-3k+ks+2k^2)f(x)=(-6k^2-2ks+2k^2s+4k^3+2k)[f(x+y)+f(x-y)]$

(3.16)

对任意的$x,y\in X$都成立.在方程(3.16)中, 交换$x$和$y$, 并应用$f$的奇性, 有

$4k(1-s-3k+ks+2k^2)f(y)=(-6k^2-2ks+2k^2s+4k^3+2k)[f(x+y)-f(x-y)]$

(3.17)

对任意的$x,y\in X$都成立.把(3.16)式加到(3.17)式上, 得到

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

(3.18)

对任意的$x,y\in X$都成立.这就证明了$f$是一个可加映射.证毕.

下面, 给出函数方程(1.2)的一般解.

定理3.1 设$X,Y$都是实向量空间, $f: X\rightarrow Y$是一个映射.对任意的$x,y\in X$, $f$满足方程(1.2)的充分必要条件是存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$使得$f(x)=B(x,x)+A(x)$对任意的$x\in X$都成立.

证 假设存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$使得$f(x)=B(x,x)+A(x)$对任意的$x\in X$都成立.容易证明

$2k[f(x+ky)+f(kx+y)]\\=2k(1+k^2)B(x,x)+2k(1+k^2)B(y,y)+8k^2B(x,y)+2k(1+k)A(x)+2k(1+k)A(y)\\ =k(1-s+k+ks+2k^2)f(x+y)+k(1-s-3k+ks+2k^2)f(x-y)\\ +2kf(kx)+2k(s+k-ks-2k^2)f(x)+2(1-k-s)f(ky)+2ksf(y)$

(3.19)

对任意的$x,y\in X$都成立.因此, 映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).

反过来, 对于任何的$x\in X$, 取

$f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$

(3.20)

和

$f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}.$

(3.21)

明显地, $f_o$是一个奇映射, $f_e$是一个偶映射.容易证明, 对于任何的$x\in X$, 有$f(x)=f_o(x)+f_e(x)$, 并且$f_o$和$f_e$分别满足方程(1.2).由引理3.1, 得到$f_e$是一个二次映射.由引理3.2, 得到$f_o$是一个可加映射.因此, 存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$使得对任意的$x\in X$都有$f_e(x)=B(x,x)$.于是,

$f(x)=B(x,x)+A(x)$

(3.22)

对任意的$x\in X$都成立, 这里$A(x)=f_o(x)$, $x\in X$.

在这一部分, 设$X$是具有拟范数$\|\cdot\|_X$的拟赋范空间, $Y$是具有$p$ -范数$\|\cdot\|_Y$的$p$-Banach空间.设$M$是$p$ -范数$\|\cdot\|_Y$的凹性模.

我们将应用Najati和Moghimi^[15]的方法, 证明函数方程(1.2)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.为了叙述方便, 我们采用以下简单的记号:对于给定的映射$f: X\rightarrow Y$和任意的$x,y\in X$, 记

$D_f(x,y)=2k[f(x+ky)+f(kx+y)]-k(1-s+k+ks+2k^2)f(x+y)\\ -k(1-s-3k+ks+2k^2)f(x-y)-2kf(kx)\\ -2k(s+k-ks-2k^2)f(x)-2(1-k-s)f(ky)-2ksf(y).$

(4.1)

定理4.1 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$, 有

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^n\varphi \left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0$

(4.2)

成立, 并且对任意的$x\in X$, 有

$\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)＜\infty$

(4.3)

成立.如果奇映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$满足不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\varphi (x,y),$

(4.4)

那么极限

$A(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)$

(4.5)

对任意的$x\in X$都存在, 并且$A: X\rightarrow Y$是惟一的对任意的$x\in X$都满足下列不等式

$\left\|f(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{1}{2k|2k+s-1|}\left[{\tilde{\phi_o}}(x)\right]^{\frac{1}{p}}$

(4.6)

的可加映射, 这里${\tilde{\phi_o}}(x):=\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right).$

证 在(4.4)式中, 用$(0,y)$代替$(x,y)$, 并应用映射$f$的奇性, 有

$\left\|f(ky)-kf(y)\right\|_Y\leq\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$

(4.7)

对任意的$y\in X$都成立.对任意的$y\in X$, 设$\phi(y)=\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$.在(4.7)式中, 用$\frac{x}{k^{n+1}}$代替$y$, 并且用$k^n$乘以(4.7)式的两侧, 得到

$\left\|k^{n+1}f\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)-k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\|_Y\leq k^n\phi\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)$

(4.8)

对任意的$x\in X$和所有的非负整数$n$都成立.对所有满足条件$n\geq m$的非负整数$m$和$n$, 以及任意的$x\in X$, 有

$\begin{eqnarray} && \left\|k^{n+1}f\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)-k^mf\left(\frac{x}{k^m}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ &= & \left\|k^{n+1}f\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)-k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)+k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)-k^{n-1}f\left(\frac{x}{k^{n-1}}\right) +k^{n-1}f\left(\frac{x}{k^{n-1}}\right)\right.\nonumber\\ && \left.-k^{n-2}f\left(\frac{x}{k^{n-2}}\right)+\cdots+k^{m+1}f\left(\frac{x}{k^{m+1}}\right) -k^mf\left(\frac{x}{k^m}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ &\leq & \sum_{i=m}^n\left\|k^{i+1}f\left(\frac{x}{k^{i+1}}\right)-k^if\left(\frac{x}{k^i}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ &\leq & \sum_{i=m}^nk^{ip}\phi^p\left(\frac{x}{k^{i+1}}\right). \end{eqnarray}$

(4.9)

因为

$\phi^p(x)=\frac{1}{2^p|2k+s-1|^p}\varphi ^p(0,x)$

(4.10)

对任意的$x\in X$成立, 因此, 由(4.3)和(4.10)式可以得到

$\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\phi^p\left(\frac{x}{k^i}\right)＜\infty$

(4.11)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.9)和(4.11)式可得到对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$是一个Cauchy序列.由于$Y$是完备的, 对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$都收敛.于是, 我们可以定义下列映射$A$, 对任意的$x\in X$,

$A(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right).$

(4.12)

在(4.9)式中, 取$m=0$, 并且当$n\rightarrow\infty$时取极限, 可以得到

$\left\|f(x)-A(x)\right\|_Y^p\leq\frac{1}{k^p}\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\phi^p\left(\frac{x}{k^i}\right)$

(4.13)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.10)式和(4.13)式就证明了(4.6)式.

现在, 我们证明映射$A$是可加的.从(4.1), (4.2), (4.4)和(4.5)式, 可以得到

$\begin{eqnarray} \left\|D_A(x,y)\right\|_Y &=&\lim_{n\rightarrow\infty}k^n\left\|D_f\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)\right\|_Y\nonumber\\ &\leq& \lim_{n\rightarrow\infty}k^n\varphi\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.14)

对任意的$x,y\in X$成立.因此, 映射$A: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).因为$f$是奇映射, 由(4.12)式得到映射$A: X\rightarrow Y$也是奇映射.于是, 由引理3.2, 得到映射$A: X\rightarrow Y$是可加的.

为了证明$A$的惟一性, 设$T: X\rightarrow Y$是另一个满足(4.6)式的可加映射.有

$\left\|f(x)-T(x)\right\|_Y\leq\frac{1}{2k|2k+s-1|}\left[{\tilde{\phi_o}}(x)\right]^{\frac{1}{p}}$

(4.15)

对任意的$x\in X$成立.因为

$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}k^{np}\widetilde{\phi_o}\left(\frac{x}{k^n}\right) & =& \lim_{n\rightarrow\infty}k^{np}\sum_{i=1}^\infty k^{ip}\varphi^p\left(0,\frac{x}{k^{n+i}}\right)\nonumber\\ & =& \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^\infty k^{(n+i)p}\varphi^p\left(0,\frac{x}{k^{n+i}}\right)\nonumber\\ & =& \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=n+1}^\infty k^{ip}\varphi^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.16)

对任意的$x\in X$成立, 那么, 由(4.15)和(4.16)式, 可得

$\begin{eqnarray} \left\|A(x)-T(x)\right\|_Y^p & =& \left\|\lim_{n\rightarrow\infty}k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)-\lim_{n\rightarrow\infty}k^nT\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ & =& \lim_{n\rightarrow\infty}k^{np}\left\|f\left(\frac{x}{k^n}\right)-T\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ & \leq & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k^{np}}{2^pk^p|2k+s-1|^p}\widetilde{\phi_0}\left(\frac{x}{k^n}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.17)

对任意的$x\in X$成立.因此$A=T$.

推论4.1 设$\theta$是一非负实数, $\alpha,\beta$是满足条件$\alpha,\beta>1$的两个实数.如果一个奇映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$都满足不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\theta(\|x\|_{X}^\alpha+\|y\|_X^\beta),$

(4.18)

那么, 存在惟一的可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$满足

$\left\|f(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^p)^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta.$

(4.19)

证 在定理4.1中, 对任意的$x,y\in X$, 取

$\varphi (x,y)=\theta(\|x\|_{X}^\alpha+\|y\|_X^\beta).$

(4.20)

容易证明

$\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}k^n\varphi\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right) &=&\lim_{n\rightarrow\infty}k^n\theta\left(\left\|\frac{x}{k^n}\right\|_X^\alpha+\left\|\frac{y}{k^n}\right\|_X^\beta\right)\nonumber\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}k^n\theta\left(\frac{\|x\|_X^\alpha}{k^{n\alpha}}+\frac{\|y\|_X^\beta}{k^{n\beta}}\right)\nonumber\\ &=&\lim_{n\rightarrow\infty}\theta\left(\frac{\|x\|_X^\alpha}{k^{n(\alpha-1)}}+\frac{\|y\|_X^\beta}{k^{n(\beta-1)}}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.21)

对任意的$x,y\in X$都成立.有

$\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^\infty k^{ip}\varphi^p\left(0, \frac{x}{k^i}\right) & =& \sum_{i=1}^\infty k^{ip}\theta^p\left(\left\|0\right\|_X^\alpha+\left\|\frac{x}{k^i}\right\|_X^\beta\right)^p\nonumber\\ & =& \sum_{i=1}^\infty k^{ip}\theta^p\frac{\|x\|_X^{\beta p}}{k^{i\beta p}}\nonumber\\ & =& \frac{\theta^pk^p\|x\|_X^{\beta p}}{k^{\beta p}-k^p} \end{eqnarray}$

(4.22)

对任意的$x\in X$成立.因此, $\varphi (x,y)$满足定理4.1的条件.因为${\tilde{\phi_o}}(x) =\frac{\theta^pk^p\|x\|_X^{\beta p}}{k^{\beta p}-k^p}$, 由(4.6)式, 得

$ \left\|f(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^p)^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta $

对任意的$x\in X$成立.

定理4.2 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是一个满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$,

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2n}\varphi \left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0,$

(4.23)

并且对任意的$x\in X$,

${\tilde{\psi_e}}(x):=\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)＜\infty.$

(4.24)

如果偶映射$f: X\rightarrow Y$满足条件$f(0)=0$, 并且对任意的$x,y\in X$满足不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\varphi (x,y),$

(4.25)

那么极限

$Q(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)$

(4.26)

对任意的$x\in X$都存在, 并且$Q: X\rightarrow Y$是惟一的一个对任意的$x\in X$都满足不等式

$\left\|f(x)-Q(x)\right\|_Y\leq\frac{M}{2k^2|2k+s-1|}\left[{\tilde{\psi_e}}(x)\right]^{\frac{1}{p}}$

(4.27)

的二次映射.

证 在(4.25)式中, 取$x=0$, 并应用$f(0)=0$和$f$的偶性, 得

$\left\|f(ky)-k^2f(y)\right\|_Y\leq\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$

(4.28)

对任意的$y\in X$成立.对于任意的$y\in X$, 设$\psi(y)=\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$.在(4.28)式中用$\frac{x}{k^{n+1}}$代替$y$, 用$k^{2n}$乘以(4.28)式的两侧, 有

$\left\|k^{2(n+1)}f\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)-k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\|_Y\leq k^{2n}M\psi\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)$

(4.29)

对任意的$x\in X$成立.对于满足条件$n\geq m$的所有非负整数$n$和$m$, 以及任意的$x\in X$, 应用(4.29)式, 有

$\left\|k^{2(n+1)}f\left(\frac{x}{k^{n+1}}\right)-k^{2m}f\left(\frac{x}{k^m}\right)\right\|_Y^p\leq M^p\sum\limits_{i=m}^nk^{2ip}\psi^p\left(\frac{x}{k^{i+1}}\right).$

(4.30)

由于$\psi^p(x)=\frac{1}{2^p|2k+s-1|^p}\varphi ^p(0,x)$对任意的$x\in X$成立, 结合(4.24)式, 可得

$\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\psi^p\left(\frac{x}{k^i}\right)＜\infty$

(4.31)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.30)和(4.31)式得到序列$\left\{k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$对任意的$x\in X$都是Cauchy列.由于$Y$是完备的, 对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$都是收敛的.于是, 对任意的$x\in X$, 我们可以定义下列映射$Q: X\rightarrow Y$,

$Q(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right).$

(4.32)

在(4.30)式中, 取$m=0$, 当$n\rightarrow\infty$时取极限, 得

$\left\|f(x)-Q(x)\right\|_Y^p\leq\frac{M^p}{k^{2p}}\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\psi^p\left(\frac{x}{k^i}\right)$

(4.33)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.24)和(4.33)式就证明了(4.27)式.

现在, 我们证明$Q$是二次的.由(4.1), (4.23), (4.25)和(4.26)式, 可得

$\begin{eqnarray} \left\|D_Q(x,y)\right\|_Y &=&\lim_{n\rightarrow\infty}k^{2n}\left\|D_f\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)\right\|_Y\nonumber\\ &\leq & \lim_{n\rightarrow\infty}k^{2n}\varphi\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.34)

对任意的$x,y\in X$成立.于是, 映射$Q: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).因为$f$是偶映射, (4.32)式说明映射$Q: X\rightarrow Y$也是偶映射.由引理3.1, 得映射$Q: X\rightarrow Y$是二次的.

下面证明$Q$的惟一性.设$Q': X\rightarrow Y$是另一个满足(4.27)式的二次映射.因为

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2np}\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^{i+n}}\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{i=n+1}^\infty k^{2ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)=0$

(4.35)

对任意的$x\in X$成立, 那么

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2np}{\tilde{\psi_e}}\left(\frac{x}{k^n}\right)=0$

(4.36)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.27)和(4.36)式可证明

$\begin{eqnarray} \left\|Q(x)-Q'(x)\right\|_Y^p & =& \lim_{n\rightarrow\infty}k^{2np}\left\|f\left(\frac{x}{k^n}\right)-Q'\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\|_Y^p\nonumber\\ & \leq & \frac{M^p}{2^pk^{2p}|2k+s-1|^p}\lim_{n\rightarrow\infty}k^{2np}\widetilde{\psi_e}\left(\frac{x}{k^n}\right)=0 \end{eqnarray}$

(4.37)

对任意的$x\in X$成立.因此$Q=Q'$.

推论4.2 设$\theta$是一非负实数, $\alpha,\beta$是两个满足条件$\alpha,\beta>2$的实数.如果偶映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$满足$f(0)=0$和不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\theta(\|x\|_{X}^\alpha+\|y\|_X^\beta),$

(4.38)

那么, 存在惟一的二次映射$Q: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$都满足不等式

$\left\|f(x)-Q(x)\right\|_Y\leq\frac{M\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^{2p})^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta.$

(4.39)

证 在定理4.2中, 对任意的$x,y\in X$, 取

$\varphi (x,y)=\theta(\|x\|_{X}^\alpha+\|y\|_X^\beta).$

(4.40)

容易证明$\varphi (x,y)$满足定理4.2的条件.事实上,

${\tilde{\psi_e}}(x)=\frac{k^{2p}\theta^p}{k^{\beta p}-k^{2p}}\|x\|_X^{\beta p}$

(4.41)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.27)式, 得

$ \|f(x)-Q(x)\|_Y\leq\frac{M\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^{2p})^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta $

对任意的$x\in X$成立.

下面的定理和推论是方程(1.2)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性的主要结果.

定理4.3 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是一个满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$, 有

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2n}\varphi \left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0$

(4.42)

成立, 并且对任意的$x\in X$, 有

$\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)＜\infty$

(4.43)

成立.如果映射$f: X\rightarrow Y$满足$f(0)=0$, 并对任意的$x,y\in X$, 满足不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\varphi (x,y),$

(4.44)

那么, 存在一个二次映射$Q: X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$都满足方程(1.2), 并且

$\begin{eqnarray} \|f(x)-Q(x)-A(x)\|_Y &\leq&\frac{M^3}{4k^2|2k+s-1|}\left(\widetilde{\psi_e}(x)+\widetilde{\psi_e}(-x)\right)^{\frac{1}{p}}\\ &&+\frac{M^2}{4k|2k+s-1|}\left(\widetilde{\phi_o}(x)+\widetilde{\phi_o}(-x)\right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray}$

(4.45)

对任意的$x\in X$成立, 这里的${\tilde{\psi_e}}(x)$和${\tilde{\phi_o}}(x)$已经分别在定理4.2和定理4.1中做了定义.此外, 这样的$Q$和$A$都是惟一的.

证 对任意的$x\in X$, 取$f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$, 那么$f_e(0)=0,f_e(-x)=f_e(x)$, 并且对任意的$x,y\in X$, 有

$\left\|D_{f_e}(x,y)\right\|_Y\leq\frac{M}{2}[\varphi (x,y)+\varphi (-x,-y)].$

(4.46)

对任意的$x,y\in X$, 取

$\Phi(x,y)=\frac{M}{2}[\varphi (x,y)+\varphi (-x,-y)].$

(4.47)

有

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}k^{2n}\Phi\left(\frac{x}{k^n},\frac{y}{k^n}\right)=0$

(4.48)

对任意的$x,y\in X$成立.应用引理2.1, 得

$\Phi^p(x,y)\leq\frac{M^p}{2^p}[\varphi ^p(x,y)+\varphi ^p(-x,-y)]$

(4.49)

对任意的$x,y\in X$成立.因此, 对任意的$x\in X$有

$\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\Phi^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)＜\infty.$

(4.50)

由定理4.2知, 存在惟一的二次映射$Q: X\rightarrow Y$, 对任意的$x\in X$满足

$\left\|f_e(x)-Q(x)\right\|_Y\leq\frac{M}{2k^2|2k+s-1|}\left[{\tilde{\Psi_e}}(x)\right]^{\frac{1}{p}},$

(4.51)

其中

${\tilde{\Psi_e}}(x)=\sum\limits_{i=1}^\infty k^{2ip}\Phi^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right).$

(4.52)

容易计算

$\begin{eqnarray} \widetilde{\Psi_e}(x) & =& \sum_{i=1}^\infty k^{2ip}\Phi^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right)\nonumber\\ & \leq&\sum_{i=1}^\infty k^{2ip}\frac{M^p}{2^p}\left[\varphi^p(0,\frac{x}{k^i})+\varphi^p(0,-\frac{x}{k^i})\right]\nonumber\\ & =& \frac{M^p}{2^p}\left[\sum_{i=1}^\infty k^{2ip}\varphi^p\left(0, \frac{x}{k^i}\right)+\sum_{i=1}^\infty k^{2ip}\varphi^p\left(0, -\frac{x}{k^i}\right)\right]\nonumber\\ & =& \frac{M^p}{2^p}\left[\widetilde{\psi_e}(x)+\widetilde{\psi_e}(-x)\right] \end{eqnarray}$

(4.53)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.51)式得到

$\left\|f_e(x)-Q(x)\right\|_Y\leq\frac{M^2}{4k^2|2k+s-1|}\left({\tilde{\psi_e}}(x)+{\tilde{\psi_e}}(-x)\right)^{\frac{1}{p}}$

(4.54)

对任意的$x\in X$成立.

对任意的$x\in X$, 取$f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$, 那么$f_o(0)=0,f_o(-x)=-f_o(x)$, 并且

$\left\|D_{f_o}(x,y)\right\|_Y\leq\Phi(x,y)$

(4.55)

对任意的$x,y\in X$成立.由定理4.1得到, 存在惟一的可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$满足

$\left\|f_o(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{1}{2k|2k+s-1|}\left[{\tilde{\Phi_o}}(x)\right]^{\frac{1}{p}},$

(4.56)

这里

${\tilde{\Phi_o}}(x)=\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\Phi^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right).$

(4.57)

因为

${\tilde{\Phi_o}}(x)\leq \frac{M^p}{2^p}\left[{\tilde{\phi_o}}(x)+{\tilde{\phi_o}}(-x)\right]$

(4.58)

对任意的$x\in X$成立, 由(4.56)式, 得

$\left\|f_o(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{M}{4k|2k+s-1|}\left({\tilde{\phi_o}}(x)+{\tilde{\phi_o}}(-x)\right)^{\frac{1}{p}}$

(4.59)

对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.54)和(4.59)式, 可得

$\begin{eqnarray*} \left\|f(x)-Q(x)-A(x)\right\|_Y &\leq&\frac{M^3}{4k^2|2k+s-1|}\left(\widetilde{\psi_e}(x)+\widetilde{\psi_e}(-x)\right)^{\frac{1}{p}}\\ &&+\frac{M^2}{4k|2k+s-1|}\left(\widetilde{\phi_o}(x)+\widetilde{\phi_o}(-x)\right)^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$

对任意的$x\in X$成立.证毕.

推论4.3 设$\theta$是非负实数, $\alpha,\beta$是满足条件$\alpha,\beta>2$的两个实数.如果映射$f: X\rightarrow Y$满足条件$f(0)=0$, 并且对任意的$x,y\in X$满足不等式

$\left\|D_f(x,y)\right\|_Y\leq\theta(\|x\|_{X}^\alpha+\|y\|_X^\beta),$

(4.60)

那么, 存在一个二次映射$Q: X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$都满足方程(1.2), 并且

$\left\|f(x)-Q(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{M^2\theta}{2|2k+s-1|}\left(\frac{M}{(k^{\beta p}-k^{2p})^{\frac{1}{p}}}+\frac{1}{(k^{\beta p}-k^p)^{\frac{1}{p}}}\right)\|x\|_X^\beta$

(4.61)

对任意的$x\in X$成立.此外, 这样的$Q$和$A$都是惟一的.

证 设对任意的$x,y\in X$, 取函数$\varphi : X\times X\rightarrow[0,\infty)$为

$\varphi (x,y):=\theta\left(\|x\|_X^\alpha+\|y\|_X^\beta\right).$

(4.62)

容易证明

$\left\|D_{f_e}(x,y)\right\|_Y\leq M\varphi (x,y),\left\|D_{f_o}(x,y)\right\|_Y\leq M\varphi (x,y)$

(4.63)

对任意的$x,y\in X$成立.应用推论4.2, 有

$\left\|f_e(x)-Q(x)\right\|_Y\leq\frac{M^2\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^{2p})^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta$

(4.64)

对任意的$x\in X$成立.应用推论4.1, 有

$\left\|f_o(x)-A(x)\right\|_Y\leq\frac{M\theta}{2|2k+s-1|(k^{\beta p}-k^p)^{\frac{1}{p}}}\|x\|_X^\beta$

(4.65)

对任意的$x\in X$成立.结合(4.64)和(4.65)式, 得到(4.61)式.