Ulam在1940年提出了第一个涉及群同态的稳定性问题[19].设$G_1$是一个群, $G_2$是一个带有度量$d(\cdot,\cdot)$的度量群.对于给定的$\epsilon > 0$, 是否存在一个$\delta > 0 $使得如果一个映射$h : G_1 \rightarrow G_2 $对所有的$x,y \in G_1$满足了不等式$d(h(xy),h(x)h(y)) < \delta $, 那么存在一个同态$H : G_1\rightarrow G_2$对所有的$x \in G_1$满足$d(h(x),H(x)) < \epsilon$?
在1941年, 对于$G_1$和$G_2$都是Banach空间的的情况, Hyers肯定地回答了Ulam的问题[13].在1978年, Rassias推广了Hyers的结果[16].
在此之后, 很多数学家和学者广泛地研究了各种类型的函数方程、微分方程、积分方程、算子方程、代数方程等的Hyers-Ulam稳定性(可参考文献[3-4, 6-7, 9, 11-12, 20-27]以及这些文献中的相关参考文献).
Euler-Lagrange二次函数方程是最基本的函数方程之一, 它具有下列形式
二次映射$f(x)=ax^2$是该函数方程的一个解.因此, 通常我们也称以上方程是二次的.众所周知, 两个实向量空间之间的映射$f$是二次的充分必要条件是存在惟一一个对称的双可加映射$B$使得对所有的$x$都有$f(x)=B(x,x)$ (参见文献[1, 14]).该双可加映射$B$具有如下形式
Skof研究了二次函数方程(1.1)的Hyers-Ulam稳定性问题, 主要针对映射$f: E_1\rightarrow E_2$, 这里$E_1$是赋范空间, $E_2$是Banach空间[18]. Cholewa证明了如果用Abelian群代替$E_1$, Skof定理还是成立的[5].在文献[8]中, Czerwik研究了二次函数方程(1.1)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性. Grabiec推广了以上提到的相关结果[10].
本文的主要目的是研究带有参数$s$的二次-可加混合型函数方程
的一般解, 同时研究了该函数方程在拟Banach空间上的Hyers-Ulam-Rassias稳定性, 其中$k>1$, $s\neq 1-2k$.
容易验证, 映射$f(x)=ax+bx^2$是函数方程(1.2)的一个解.
在这一部分, 我们回顾关于拟Banach空间一些基本的定义和结论.
定义2.1 [2, 17] 设$X$是一个实的向量空间.在$X$上的一个实值函数$\|\cdot\|$称作拟范数, 如果该函数满足下列条件:
(a) 对任意的$x\in X$, $\|x\|\geq 0$, 并且$\|x\|=0$当且仅当$x=0$;
(b) 对任意的$\lambda\in {\Bbb R}$和$x\in X$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$;
(c) 存在一个常数$M\geq1$使得对任意的$x,y\in X$都有$\|x+y\|\leq M(\|x\|+\|y\|)$. 从条件(c)不难得到, 对任意的整数$n\geq 1$和任意的$x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1}\in X$有
定义2.2 如果$\|\cdot\|$是一个$X$上的拟范数, 那么有序对$(X,\|\cdot\|)$称为拟赋范空间.最小可能的常数$M$称为拟范数$\|\cdot\|$的凹性模数.一个完备的拟赋范空间称为拟Banach空间.
定义2.3 如果对任意的$x,y\in X$, 拟范数$\|\cdot\|$满足
这里$0<p\leq1$, 那么, 拟范数$\|\cdot\|$称为$p$ -范数.对这种情况, 相应的拟Banach空间也称为$ p$-Banach空间.
对于一个$p$ -范数$\|\cdot\|$, $d(x,y):=\|x-y\|^p$就是空间$X$上的一个平移不变度量.根据Aoki-Rolewicz定理[2, 17], 每一个拟范数都等价于某一个$p$ -范数.由于使用$p$ -范数更容易处理一些问题, 我们主要把注意力放在$p$ -范数上.
在本文中, 证明主要结论还会用到下面的引理.
引理2.1 [15] 设$0\leq p \leq1$, $x_1,x_2,\cdots,x_n$都是非负实数, 那么
在这一部分, 首先我们给出一些预备性的结果, 在证明主要结论时会用到这些结果.
引理3.1 设$X,Y$都是实向量空间.如果一个偶映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2), 那么$f$是二次的.
证 设$f$是一个偶映射.对任意的$x\in X$, 有$f(-x)=f(x)$.在方程(1.2)中, 用$(0,0)$代替$(x,y)$, 得到
在方程(1.2)中, 取$x=0$, 并应用$f$是偶映射和$s\neq 1-2k$, 可得
对任意的$y\in X$都成立.现在, 在方程(1.2)中, 用$(x-y,x+y)$代替$(x,y)$, 再使用(3.2)式, 有
对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.3)式中, 用$(x,0)$代替$(x,y)$, 得到
对任意的$x\in X$都成立.在(3.3)式中, 用$(x,(k+1)y)$代替$(x,y)$, 再应用(3.4)式, 可得
对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.5)式中, 交换$x$和$y$, 得到
对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.6)式中, 用$(k-1)y$代替$y$, 可得
对任意的$x,y\in X$都成立.
在方程(3.7)中, 应用(3.3)和(3.4)式, 得
对任意的$x,y\in X$都成立, 这就证明了$f$是一个二次映射.证毕.
引理3.2 设$X,Y$都是实向量空间.如果一个奇映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2), 那么$f$是可加的.
证 设$f$是一个奇映射.对任意的$x\in X$, 有$f(-x)=-f(x)$.在方程(1.2)中, 取$(x,y)$为$(0,0)$, 可得$f(0)=0$.在方程(1.2)中, 取$x=0$, 并考虑到$f$的奇性和$s\neq 1-2k$, 得到$f(ky)=kf(y)$对任意的$y\in X$成立.在方程(1.2)中, 用$(x-y,x+y)$代替$(x,y)$, 再应用$f(ky)=kf(y)$, 有
对任意的$x,y\in X$都成立.在方程(3.9)中, 用$(\frac{x}{k+1},0)$代替$(x,y)$, 化简得到
对任意的$x\in X$都成立.在方程(3.9)中, 取$y=0$, 化简得到
对任意的$x\in X$都成立.在方程(3.9)中, 用$(\frac{x}{k+1},y)$代替$(x,y)$, 并乘以$k+1$, 得
对任意的$x,y\in X$都成立.在(3.12)式中, 交换$x$和$y$, 并应用$f$的奇性, 得到
对任意的$x,y\in X$都成立.现在, 在方程(3.13)中用$-y$代替$y$, 得到
对任意的$x,y\in X$都成立.把(3.13)和(3.14)式加到一起, 并化简, 可得
对任意的$x,y\in X$都成立.现在, 在(3.15)式中用$(\frac{x}{k+1},y)$代替$(x,y)$, 应用(3.10)式, 得到
对任意的$x,y\in X$都成立.在方程(3.16)中, 交换$x$和$y$, 并应用$f$的奇性, 有
对任意的$x,y\in X$都成立.把(3.16)式加到(3.17)式上, 得到
对任意的$x,y\in X$都成立.这就证明了$f$是一个可加映射.证毕.
下面, 给出函数方程(1.2)的一般解.
定理3.1 设$X,Y$都是实向量空间, $f: X\rightarrow Y$是一个映射.对任意的$x,y\in X$, $f$满足方程(1.2)的充分必要条件是存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$使得$f(x)=B(x,x)+A(x)$对任意的$x\in X$都成立.
证 假设存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$使得$f(x)=B(x,x)+A(x)$对任意的$x\in X$都成立.容易证明
对任意的$x,y\in X$都成立.因此, 映射$f: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).
反过来, 对于任何的$x\in X$, 取
和
明显地, $f_o$是一个奇映射, $f_e$是一个偶映射.容易证明, 对于任何的$x\in X$, 有$f(x)=f_o(x)+f_e(x)$, 并且$f_o$和$f_e$分别满足方程(1.2).由引理3.1, 得到$f_e$是一个二次映射.由引理3.2, 得到$f_o$是一个可加映射.因此, 存在一个对称的双可加映射$B: X\times X\rightarrow Y$使得对任意的$x\in X$都有$f_e(x)=B(x,x)$.于是,
对任意的$x\in X$都成立, 这里$A(x)=f_o(x)$, $x\in X$.
在这一部分, 设$X$是具有拟范数$\|\cdot\|_X$的拟赋范空间, $Y$是具有$p$ -范数$\|\cdot\|_Y$的$p$-Banach空间.设$M$是$p$ -范数$\|\cdot\|_Y$的凹性模.
我们将应用Najati和Moghimi[15]的方法, 证明函数方程(1.2)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性.为了叙述方便, 我们采用以下简单的记号:对于给定的映射$f: X\rightarrow Y$和任意的$x,y\in X$, 记
定理4.1 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$, 有
成立, 并且对任意的$x\in X$, 有
成立.如果奇映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$满足不等式
那么极限
对任意的$x\in X$都存在, 并且$A: X\rightarrow Y$是惟一的对任意的$x\in X$都满足下列不等式
的可加映射, 这里${\tilde{\phi_o}}(x):=\sum\limits_{i=1}^\infty k^{ip}\varphi ^p\left(0,\frac{x}{k^i}\right).$
证 在(4.4)式中, 用$(0,y)$代替$(x,y)$, 并应用映射$f$的奇性, 有
对任意的$y\in X$都成立.对任意的$y\in X$, 设$\phi(y)=\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$.在(4.7)式中, 用$\frac{x}{k^{n+1}}$代替$y$, 并且用$k^n$乘以(4.7)式的两侧, 得到
对任意的$x\in X$和所有的非负整数$n$都成立.对所有满足条件$n\geq m$的非负整数$m$和$n$, 以及任意的$x\in X$, 有
因为
对任意的$x\in X$成立, 因此, 由(4.3)和(4.10)式可以得到
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.9)和(4.11)式可得到对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$是一个Cauchy序列.由于$Y$是完备的, 对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^nf\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$都收敛.于是, 我们可以定义下列映射$A$, 对任意的$x\in X$,
在(4.9)式中, 取$m=0$, 并且当$n\rightarrow\infty$时取极限, 可以得到
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.10)式和(4.13)式就证明了(4.6)式.
现在, 我们证明映射$A$是可加的.从(4.1), (4.2), (4.4)和(4.5)式, 可以得到
对任意的$x,y\in X$成立.因此, 映射$A: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).因为$f$是奇映射, 由(4.12)式得到映射$A: X\rightarrow Y$也是奇映射.于是, 由引理3.2, 得到映射$A: X\rightarrow Y$是可加的.
为了证明$A$的惟一性, 设$T: X\rightarrow Y$是另一个满足(4.6)式的可加映射.有
对任意的$x\in X$成立.因为
对任意的$x\in X$成立, 那么, 由(4.15)和(4.16)式, 可得
对任意的$x\in X$成立.因此$A=T$.
推论4.1 设$\theta$是一非负实数, $\alpha,\beta$是满足条件$\alpha,\beta>1$的两个实数.如果一个奇映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$都满足不等式
那么, 存在惟一的可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$满足
证 在定理4.1中, 对任意的$x,y\in X$, 取
容易证明
对任意的$x,y\in X$都成立.有
对任意的$x\in X$成立.因此, $\varphi (x,y)$满足定理4.1的条件.因为${\tilde{\phi_o}}(x) =\frac{\theta^pk^p\|x\|_X^{\beta p}}{k^{\beta p}-k^p}$, 由(4.6)式, 得
对任意的$x\in X$成立.
定理4.2 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是一个满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$,
并且对任意的$x\in X$,
如果偶映射$f: X\rightarrow Y$满足条件$f(0)=0$, 并且对任意的$x,y\in X$满足不等式
对任意的$x\in X$都存在, 并且$Q: X\rightarrow Y$是惟一的一个对任意的$x\in X$都满足不等式
的二次映射.
证 在(4.25)式中, 取$x=0$, 并应用$f(0)=0$和$f$的偶性, 得
对任意的$y\in X$成立.对于任意的$y\in X$, 设$\psi(y)=\frac{1}{2|2k+s-1|}\varphi (0,y)$.在(4.28)式中用$\frac{x}{k^{n+1}}$代替$y$, 用$k^{2n}$乘以(4.28)式的两侧, 有
对任意的$x\in X$成立.对于满足条件$n\geq m$的所有非负整数$n$和$m$, 以及任意的$x\in X$, 应用(4.29)式, 有
由于$\psi^p(x)=\frac{1}{2^p|2k+s-1|^p}\varphi ^p(0,x)$对任意的$x\in X$成立, 结合(4.24)式, 可得
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.30)和(4.31)式得到序列$\left\{k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$对任意的$x\in X$都是Cauchy列.由于$Y$是完备的, 对任意的$x\in X$, 序列$\left\{k^{2n}f\left(\frac{x}{k^n}\right)\right\}$都是收敛的.于是, 对任意的$x\in X$, 我们可以定义下列映射$Q: X\rightarrow Y$,
在(4.30)式中, 取$m=0$, 当$n\rightarrow\infty$时取极限, 得
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.24)和(4.33)式就证明了(4.27)式.
现在, 我们证明$Q$是二次的.由(4.1), (4.23), (4.25)和(4.26)式, 可得
对任意的$x,y\in X$成立.于是, 映射$Q: X\rightarrow Y$满足方程(1.2).因为$f$是偶映射, (4.32)式说明映射$Q: X\rightarrow Y$也是偶映射.由引理3.1, 得映射$Q: X\rightarrow Y$是二次的.
下面证明$Q$的惟一性.设$Q': X\rightarrow Y$是另一个满足(4.27)式的二次映射.因为
对任意的$x\in X$成立, 那么
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.27)和(4.36)式可证明
对任意的$x\in X$成立.因此$Q=Q'$.
推论4.2 设$\theta$是一非负实数, $\alpha,\beta$是两个满足条件$\alpha,\beta>2$的实数.如果偶映射$f: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$满足$f(0)=0$和不等式
那么, 存在惟一的二次映射$Q: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$都满足不等式
证 在定理4.2中, 对任意的$x,y\in X$, 取
容易证明$\varphi (x,y)$满足定理4.2的条件.事实上,
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.27)式, 得
下面的定理和推论是方程(1.2)的Hyers-Ulam-Rassias稳定性的主要结果.
定理4.3 设$\varphi : X\times X\rightarrow [0,+\infty)$是一个满足下列条件的函数:对任意的$x,y\in X$, 有
成立.如果映射$f: X\rightarrow Y$满足$f(0)=0$, 并对任意的$x,y\in X$, 满足不等式
那么, 存在一个二次映射$Q: X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x,y\in X$都满足方程(1.2), 并且
对任意的$x\in X$成立, 这里的${\tilde{\psi_e}}(x)$和${\tilde{\phi_o}}(x)$已经分别在定理4.2和定理4.1中做了定义.此外, 这样的$Q$和$A$都是惟一的.
证 对任意的$x\in X$, 取$f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$, 那么$f_e(0)=0,f_e(-x)=f_e(x)$, 并且对任意的$x,y\in X$, 有
对任意的$x,y\in X$, 取
有
对任意的$x,y\in X$成立.应用引理2.1, 得
对任意的$x,y\in X$成立.因此, 对任意的$x\in X$有
由定理4.2知, 存在惟一的二次映射$Q: X\rightarrow Y$, 对任意的$x\in X$满足
其中
容易计算
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.51)式得到
对任意的$x\in X$, 取$f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$, 那么$f_o(0)=0,f_o(-x)=-f_o(x)$, 并且
对任意的$x,y\in X$成立.由定理4.1得到, 存在惟一的可加映射$A: X\rightarrow Y$对任意的$x\in X$满足
这里
对任意的$x\in X$成立, 由(4.56)式, 得
对任意的$x\in X$成立.于是, 由(4.54)和(4.59)式, 可得
对任意的$x\in X$成立.证毕.
推论4.3 设$\theta$是非负实数, $\alpha,\beta$是满足条件$\alpha,\beta>2$的两个实数.如果映射$f: X\rightarrow Y$满足条件$f(0)=0$, 并且对任意的$x,y\in X$满足不等式
那么, 存在一个二次映射$Q: X\rightarrow Y$和一个可加映射$A: X\rightarrow Y$都满足方程(1.2), 并且
对任意的$x\in X$成立.此外, 这样的$Q$和$A$都是惟一的.
证 设对任意的$x,y\in X$, 取函数$\varphi : X\times X\rightarrow[0,\infty)$为
对任意的$x,y\in X$成立.应用推论4.2, 有
对任意的$x\in X$成立.应用推论4.1, 有
对任意的$x\in X$成立.结合(4.64)和(4.65)式, 得到(4.61)式.