自1975年李天岩和Yorke^[1]给出混沌定义以来, 动力系统的混沌性质成为了学者们研究的热点之一. 1989年, Devaney^[2]介绍了另外一种混沌定义, 也就是大家熟知的Devaney混沌.度量空间$(X,d)$上一个映射$f$称为Devaney混沌的, 如果$f$传递, 周期点稠密并且对初值敏感依赖.随后, 1992年, Banks^[3]证明了$f:(X,d)\rightarrow (X,d)$的传递性和周期点稠密性蕴含了对初值的敏感依赖性(其中$X$是一个没有孤立点的紧度量空间), 这保证了无限度量空间上Devaney混沌性在拓扑共轭下是保持的.此外, 为了描述动力系统演变过程中的不可预测性, 其他混沌定义也相继出现, 比如分布混沌^[4], 全局混沌^[5], 稠混沌^[6], Li-Yorke敏感^[7], $\mathcal {F}$ -敏感^[8], 跟踪性质^[9], 等等.

大多数文献都是在自治系统$(X,f)$中研究混沌性质.然而, 若将动力系统的一系列扰动描述成不同的映射对其作用, 便成为了Kolyada和Snoha在文献[10]中提出的非自治离散系统.令$I=[0.1]$, 考虑一列连续映射$f_{n}: I\rightarrow I,n\in {\Bbb N}$, ${\Bbb N}$表示自然数集, 记作$f_{1,\infty}=(f_{1},f_{2},\cdots)$.这个序列定义了一个非自治离散系统$(I,f_{1,\infty})$.点$x\in I$的轨道记作$Orb(x,f_{1,\infty})=(f^{n}_{1}(x))^{\infty}_{n=0}$, 其中$f^{n}_{1}=f_{n}\circ\cdots\circ f_{1}$ ($n\geq1$), $f^{0}_{1}$为恒等映射.与其他处理这类系统的文献一样(比如文献[11-13]), 我们假定$f_{n}$ ($n\in{\Bbb N}$)都是满射.本文讨论系统$(X,f_{1,\infty})$及其复合系统(定义见第3节)的敏感性.

首先, 我们给出系统$(I,f_{1,\infty})$ ($I$上的度量记作$\rho$)对初值敏感依赖的定义(或称映射$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖).

定义2.1 一个系统$(I,f_{1,\infty})$称为对初值敏感依赖的, 如果存在$\delta >0$, 对$\forall x\in I$和$\forall\varepsilon >0$, $\exists y\in B(x,\varepsilon )$ (其中$B(x,\varepsilon )$表示$x$的$\varepsilon $ -邻域), $\exists n\in{\Bbb N}$, 有$\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))\geq\delta $.

2003年, Akin和Kolyada^[7]提出了Li-Yorke敏感的概念, 将上述对初值的敏感依赖性与Li-Yorke混沌联系起来.类似文献[7]中Li-Yorke敏感的定义, 可以在非自治系统中作如下推广:

定义2.2 一个系统$(I,f_{1,\infty})$称为是Li-Yorke敏感的, 如果存在$\delta >0$, 对$\forall x\in I$以及$\forall\varepsilon >0$, 存在$y\in B(x,\varepsilon )$满足

$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty} \rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))>\delta ; ~\liminf\limits_{k\rightarrow \infty} \rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))=0.$

(2.1)

下面给出一个Li-Yorke敏感的映射.

例2.1 ^[14] 定义映射$g: [0,\frac{1}{3}]\rightarrow[0,\frac{1}{3}]$, $f: [0,1]\rightarrow[0,1]$如下

$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x,& {\rm } \ 0\leq x\leq\frac{1}{9},\\[3mm]3(\frac{2}{9}-x),& {\rm } \ \frac{1}{9}\leq x\leq\frac{2}{9},\\[3mm]3(x-\frac{2}{9}),& {\rm } \ \frac{2}{9}\leq x\leq\frac{1}{3}; \end{array} \right.~~~f(x)=\left\{\begin{array}{ll} g(x),& {\rm } \ 0\leq x\leq\frac{1}{3},\\[3mm]g(x-\frac{1}{3})+\frac{1}{3},& {\rm } \ \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{2}{3},\\[3mm]g(x-\frac{1}{3})+\frac{2}{3},& {\rm } \ \frac{2}{3}\leq x\leq1. \end{array} \right. $

令$f_{i}=f (i\in{\Bbb N})$, 则$f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

为方便后面的叙述, 对任意$\delta >0$, 记

$P_{\delta }(f_{1,\infty})=\{x\in I\,\Big|\,\forall \varepsilon >0,\exists y\in B(x,\varepsilon ),\exists k\in {\Bbb N},\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))\geq\delta \},$

(2.2)

$Q_{\delta }(f_{1,\infty})=\{x\in I\,\Big|\,\forall \varepsilon >0,\exists y\in B(x,\varepsilon ),(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )\},$

(2.3)

其中

$LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )=\left\{(x,y)\in I\times I \,\Big|\,\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))>\delta ; \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))=0\right\}.$

(2.4)

定理2.1 动力系统$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖当且仅当对任意的$\delta >0$有$P_{\delta }(f_{1,\infty})$稠于$I$.

证 (必要性) 由映射对初值敏感依赖的定义易知结论成立.

(充分性) 假设$f_{1,\infty}$不是对初值敏感依赖的, 则, $\forall\xi>0$, $\exists x_{\xi}\in X$以及$\varepsilon _{\xi}>0$, 使得, $\forall y\in B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})$, $\forall k\in {\Bbb N}$, 有$\rho(f^{k}_{1}(x_{\xi}),f^{k}_{1}(y)) ＜\xi$.从而, 对任意点对$(y_{1},y_{2})\in B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})$, $\forall k\in {\Bbb N}$, 有

$\rho(f^{k}_{1}(y_{1}),f^{k}_{1}(y_{2})) \leq \rho(f^{k}_{1}(y_{1}),f^{k}_{1}(x_{\xi}))+ \rho(f^{k}_{1} (x_{\xi}),f^{k}_{1}(y_{2}))＜2\xi. $

即: $\forall\xi>0$, 有$B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})\cap{P}_{2\xi}(f_{1,\infty})=\emptyset$, 这与存在$\delta >0$使得${P}_{\delta } (f_{1,\infty})$稠于$X$矛盾.故$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

上面的定理告诉我们, ${P}_{\delta } (f_{1,\infty})$的稠密性蕴含动力系统$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖.那么, ${Q}_{\delta } (f_{1,\infty})$稠于$I$意味着什么呢?为此, 我们定义一个新的概念, 称为稠Li-Yorke敏感.

定义2.3 动力系统$(I,f_{1,\infty})$称为稠Li-Yorke敏感的, 如果$\exists\delta >0$, 有$Q_{\delta }(f_{1,\infty})$稠于$I$.

例2.2 ^[14] 令$f: [0.1]\rightarrow[0.1],f(x)=1-|1-2x|$, 且$f_{i}=f (i\in{\Bbb N})$, 则$f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

定理2.2 若动力系统$(I,f_{1,\infty})$稠Li-Yorke敏感, 则$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖.

证 由(2.3)和(2.4)式知, 对任意$\delta >0$, 都有$Q_{\delta } (f_{1,\infty})\subset P_{\delta }(f_{1,\infty})$.因此, 由$f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感以及定理2.1可得$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

此外, 由Li-Yorke敏感和稠Li-Yorke敏感的定义知, Li-Yorke敏感蕴含稠Li-Yorke敏感, 因此, 对非自治动力系统$(I,f_{1,\infty})$, 下面的结论成立:

Li-Yorke敏感$\Rightarrow$稠Li-Yorke敏感$\Rightarrow$对初值敏感依赖

本节讨论非自治复合系统中关于敏感性的一些性质.

对任意$m,n\in {\Bbb N}$, 定义

$g_{1}=f_{m}\circ\cdots\circ f_{1},~g_{2}=f_{2m}\circ\cdots\circ f_{m+1},~\cdots,g_{p}=f_{pm}\circ\cdots\circ f_{(p-1)m+1},~\cdots.$

(3.1)

称$(I,g_{1,\infty})$为$(I,f_{1,\infty})$的一个复合系统.也记$g_{1,\infty}$为$f^{[m]}_{1,\infty}$, $f^{k}_{n}=f_{n+k-1}\circ\cdots\circ f_{n}$, $n\geq1$.

首先, 我们给出下面两个引理.

引理3.1  ^[13]若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$, 则$\forall m\in {\Bbb N}$, $m\geq2$, 序列$(f^{m}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{m}$.

引理3.2 若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$, 则$\forall\varepsilon >0$以及$m\in {\Bbb N}$, $\exists\delta (\varepsilon )>0$, $\exists N(m)\in {\Bbb N}$, 使得, $\forall x,y\in I: \rho(x,y)＜\delta (\varepsilon )$, $\forall n\geq N(m)$, 有$\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))＜\varepsilon $.

证 由引理3.1和不等式

$\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))\leq\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}(x))+\rho(f^{m}(x),f^{m}(y))+\rho(f^{m}(y),f^{m}_{n}(y)),$

结论显然成立.

定理3.1 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$有$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

证 若$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖, 则$\exists\delta >0$, $\forall x\in I$, $\forall\varepsilon >0$, $\exists y_{x,\varepsilon }\in B(x,\varepsilon )$以及$n_{x,\varepsilon }\in {\Bbb N}$使得$\rho(f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }}_{1} (y_{x,\varepsilon }))>\delta $.

又因为$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{n}(n\geq 1)$一致连续.从而, $\exists\xi>0$, $\exists N\in{\Bbb N}$, 使得, $\forall x,y\in I: \rho(x,y)＜\xi$, $\forall n>N$, 有$\rho(f^{i}_{n}(x),f^{i}_{n}(y))＜\delta (0\leq i\leq m)$.因此, $\exists N_{0}>3m$, 使得$\forall x,y\in I: \rho(x,y)＜\xi$, $\forall n>N_{0}$, 有$\rho(f^{i}_{n}(x),f^{i}_{n}(y))＜\delta (0\leq i\leq m)$.

因为$f^{i}_{1}$($i:1\leq i\leq 2N_{0}$)一致连续, 即, $\exists \varepsilon ^{*}>0$, 使得$\forall x_{1},x_{2}\in I: \rho(x_{1},x_{2})＜\varepsilon ^{*}$, $\forall n>N_{0}$, 有$\rho(f^{i}_{1}(x_{1}),f^{i}_{1}(x_{2}))＜\delta (1\leq i\leq 2N_{0})$.从而, $\forall x\in I$, $\forall \varepsilon ＜\varepsilon ^{*}$, 有$n_{x,\varepsilon }>2N_{0}\geq6m$.因此, $\exists i_{0}\in \{0,1,\cdots,m-1\}$, $\exists l\in {\Bbb N}$, 使得$n_{x,\varepsilon }-i_{0}=ml$.

注意到

$\delta ＜\rho(f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(y_{x,\varepsilon }))=\rho(f^{i_{0}}_{n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1}(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(x)),f^{i_{0}}_{n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1}(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(y_{x,\varepsilon }))) $

以及$n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1\geq N_{0}$.因此, 对任意$\varepsilon ＜\varepsilon ^{*}$, 我们有, $\rho(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(y_{x,\varepsilon }))\geq\xi$.又因为$m|n_{x,\varepsilon }-i_{0}$, 可得, 对任意$m\in {\Bbb N}$, 有$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

反之, 若对任意$m\in {\Bbb N}$有$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖, 显然有$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

定理3.2 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$, $f^{[m]}_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

证 (必要性)  $f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的, 即, $\exists\delta >0$, 对$\forall x\in I$, $\forall\varepsilon >0$, $\exists y\in B(x,\varepsilon )$使得

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))>\delta,~ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))=0. $

容易证明:

(ⅰ)存在递增序列$\{n_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$使得$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n_{s}}_{1}(x),f^{n_{s}}_{1}(y))=0$.

事实上, $\forall i: 0\leq i\leq m-1$, 记$N_{i}=\{jm+i: j\in {\Bbb N}^{+}\}\cap\{n_{s}: s\in {\Bbb N}\}$.可得$\cup^{s-1}_{i=0}N_{i}=\{n_{s}: s\in {\Bbb N}\}$.从而, $\exists i^{*}\in\{0,1,\cdots,k-1\}$使得$N_{i^{*}}$是一个无限集.

令$N_{i^{*}}=\{n^{(i^{*})}_{s}\}^{\infty}_{s=0}$, 它是$\{n_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$的一个子序列.那么, $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\rho(f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(x),f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(y))=0$.又因为$\forall k\in{\Bbb N}$, $f^{m-i^{*}}_{k}$一致连续, 则

$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y)) \\ =\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\rho(f^{m-i^{*}}_{n^{(i^{*})}_{s}+1}\circ f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(x),f^{m-i^{*}}_{n^{(i^{*})}_{s}+1}\circ f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(y))=0.$

(ⅱ)因为$\forall i: 0\leq i\leq m-1$, $\forall k\in {\Bbb N}$, $f^{i}_{k}$一致连续.因此, 对上述$\delta >0$, $\exists \beta>0$, 使得$\forall x',y' \in I: \rho(x',y' )＜\beta$, 有$\rho(f^{i}_{k}(x' ),f^{i}_{k}(y' ))＜\frac{\delta }{2}(0\leq i\leq m-1)$.

令$\alpha=\min\{\frac{\delta }{2},\frac{\beta}{2}\}$.容易得到

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y))>\alpha. $

事实上, 假设

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y))\leq\alpha. $

则, $\exists n\in{\Bbb N}$使得

$\rho(f^{i}_{nm}\circ f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{1}(x),f^{i}_{nm}\circ f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}. $

即, $\rho(f^{nm+i}_{1}(x),f^{nm+i}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}$.从而, $\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}$.这与$f_{1,\infty}$Li-Yorke敏感矛盾.

由(ⅰ)和(ⅱ)知, $f^{[m]}_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

(充分性) 显然.证毕.

定理3.3 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$, $f^{[m]}_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感.

证  $f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感, 也就是说, $\exists\delta >0$, 使得$\overline{Q_{\delta }(f_{1,\infty})}=I$.

因为$f^{i}_{k}$ ($k\in {\Bbb N}$)一致连续, 则, $\forall i: 0<i<m-1$, 对上述$\delta >0$, $\exists\varepsilon >0$, 使得$\forall x',y' \in I: \rho(x',y' )＜\varepsilon $, 都有$\rho(f^{i}_{k}(x' ),f^{i}_{k}(y' ))＜\frac{\delta }{2}$($0\leq i\leq m-1$).

令$\alpha=\min\{\frac{\delta }{2},\frac{\varepsilon }{2}\}$.由定理3.2的证明知, 当$(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )$时, 有$(x,y)\in LY_{\rho}(f^{[m]}_{1,\infty},\alpha)$ ($\forall m\in {\Bbb N}$).因此

$I=\overline{Q_{\delta }(f_{1,\infty})} =\overline{Q_{\alpha}(f^{[m]}_{1,\infty})}\subset I. $

即, $f^{[m]}_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

反之, 若对任意$m\in {\Bbb N}$, $(x,y)\in LY_{\rho}(f^{[m]}_{1,\infty},\alpha)$, 显然$(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )$.从而, 充分性成立.证毕.

注3.1 事实上, 由定理3.1, 定理3.2和定理3.3的证明, 若存在一个$m\in {\Bbb N}: m\geq 2$, 使得$f^{[m]}_{1,\infty}$是对初值敏感依赖的(Li-Yorke敏感的, 或稠Li-Yorke敏感的), 便可知$f_{1,\infty}$是对初值敏感依赖的(Li-Yorke敏感的, 或稠Li-Yorke敏感的).

注3.2 定理3.1, 定理3.2和定理3.3条件中的一致收敛不能去掉, 下面给出一个反例.

例3.1 考虑双边符号空间$\Sigma_{2}=\{(\cdots,x_{-2},x_{-1}; x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ): x_{i}\in\{0,1\},\forall i\in {\Bbb Z}\}$, 其中${\Bbb Z}$表示整数集, 且$\Sigma_{2}$上的度量如下定义, $\forall x=(\cdots,x_{-1}; x_{0},x_{1},\cdots ),y=(\cdots,y_{-1}; y_{0},y_{1},\cdots )\in\Sigma_{2}$,

$\rho(x,y)=\sum\limits^{+\infty}_{j= -\infty}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{|j|}}.$

(3.2)

定义移位映射$\tau: \Sigma_{2}\to \Sigma_{2}$如下:对任意$x=(\cdots,x_{-1}; x_{0},x_{1},\cdots )\in\Sigma_{2}$, $\tau(x)=(\cdots,x_{-1},x_{0}; x_{1},\cdots )$.

令

$f_{i}=\left\{\begin{array}{ll} \tau^{-(i+2)},& {\rm } \ i\in\{3n+1: n\in {\Bbb N}\},\\ \tau^{i+1},& {\rm } \ i\in\{3n+2: n\in {\Bbb N}\},\\ id_{\Sigma_{2}},& {\rm } \ i\in\{3n: n\in {\Bbb N}\}. \end{array} \right. $

其中$id_{\Sigma_{2}}$表示$\Sigma_{2}$上的恒等映射.

容易得到, 对任意$n\in {\Bbb N}$, 有

$f_{3n+2}\circ\cdots\circ f_{5}\circ f_{2}=\tau^{3(n+1)},~ f_{3(n+1)}\circ f_{3n+2}\circ f_{3n+1}=id_{\Sigma_{2}}. $

下证$f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的, 而$f^{[3]}_{1,\infty}$不是.对初值敏感依赖和Li-Yorke敏感的情形类似.

令$\delta =\frac{1}{2^{k-1}}$($k\in {\Bbb N}$为常数).对任意$U\in\Sigma_{2}$, $x=(\cdots,0,0; x_{0},x_{1},\cdots )\in U$, 取$\varepsilon =\frac{1}{2^{k-2}}$, 令$y=(y_{j})^{+\infty}_{j=-\infty}$, 其中, 若$j<k$时, $y_{j}=x_{j}$; 若$j\geq k$时, $y_{j}=1-x_{j}$.则

$\rho(x,y)=\sum\limits^{+\infty}_{j=-\infty}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{j}} =\sum\limits_{j\geq k}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{j}}=\sum\limits_{j\geq k}\frac{1}{2^{j}} =\frac{1}{2^{k-1}}＜\varepsilon . $

即, $y\in B(x,\varepsilon )$.

又

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{3n+2}_{1}(x),f^{3n+2}_{1}(y))=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(\tau^{3(n+1)}(x),\tau^{3(n+1)}(y))> \frac{1}{2^{0}}+ \frac{1}{2^{1}}+ \cdots >\delta ; $

$\begin{eqnarray*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{3n+1}_{1}(x),f^{3n+1}_{1}(y)) &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(\tau^{-3(n+1)}(x),\tau^{-3(n+1)}(y)) \\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{2^{3(n+1)+k}}+\frac{1}{2^{3(n+1)+k+1}}+ \cdots)\\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{3(n+1)+(k-2)}}=0.\end{eqnarray*}$

因此

$\limsup\limits_{i\rightarrow \infty}\rho(f^{i}_{1}(x),f^{i}_{1}(y))>\delta,~~\liminf\limits_{i\rightarrow \infty}\rho(f^{i}_{1}(x),f^{i}_{1}(y))=0. $

我们得到, $x\in Q_{\delta }(f_{1,\infty})$.因此, $f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

然而, $f^{[3]}_{1,\infty}$不是稠Li-Yorke敏感的, 因为$f_{3(n+1)}\circ f_{3n+2}\circ f_{3n+1}=id_{\Sigma_{2}}$ ($\forall n\in {\Bbb N}$).而恒等映射不满足任何混沌定义.