数学物理学报  2017, Vol. 37 Issue (5): 808-813   PDF    
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卢天秀
辛邦颖
毛巍
关于非自治离散系统中敏感性的一些结论
卢天秀1,2, 辛邦颖3, 毛巍1     
1. 四川理工学院数学与统计学院 四川自贡 643000;
2. 人工智能四川省重点实验室 四川自贡 643000;
3. 西昌学院汽车与电子工程学院 四川西昌 615013
摘要:该文在一类非自治离散系统中定义了对初值敏感依赖,Li-Yorke敏感和稠Li-Yorke敏感,给出了三者之间的关系.然后得到了复合系统的敏感性的充要条件.
关键词非自治离散系统    对初值敏感依赖    Li-Yorke敏感    稠Li-Yorke敏感    复合系统    
Some Properties of Sensitivity in Nonautonomous Discrete Systems
Lu Tianxiu1,2, Xin Bangying3, Mao Wei1     
1. School of Mathematics and Statistics, Sichuan University of Science and Engineering, Sichuan Zigong 643000;
2. Artificial Intelligence Key Laboratory of Sichuan Province, Sichuan Zigong 643000;
3. School of Automotive and Electronic Engineering, Xichang College, Sichuan Xichang 615013
Abstract: This paper introduce new definitions of sensitive dependence on initial conditions, Li-Yorke sensitive, and densely Li-Yorke sensitive in nonautonomous discrete systems. The relations between these three concepts are given. Then, necessary and sufficient conditions of sensitivity of compound systems are derived.
Key words: Nonautonomous discrete system     Sensitive dependence on initial conditions     LiYorke sensitive     Densely Li-Yorke sensitive     Compound system    
1 引言

自1975年李天岩和Yorke[1]给出混沌定义以来, 动力系统的混沌性质成为了学者们研究的热点之一. 1989年, Devaney[2]介绍了另外一种混沌定义, 也就是大家熟知的Devaney混沌.度量空间$(X,d)$上一个映射$f$称为Devaney混沌的, 如果$f$传递, 周期点稠密并且对初值敏感依赖.随后, 1992年, Banks[3]证明了$f:(X,d)\rightarrow (X,d)$的传递性和周期点稠密性蕴含了对初值的敏感依赖性(其中$X$是一个没有孤立点的紧度量空间), 这保证了无限度量空间上Devaney混沌性在拓扑共轭下是保持的.此外, 为了描述动力系统演变过程中的不可预测性, 其他混沌定义也相继出现, 比如分布混沌[4], 全局混沌[5], 稠混沌[6], Li-Yorke敏感[7], $\mathcal {F}$ -敏感[8], 跟踪性质[9], 等等.

大多数文献都是在自治系统$(X,f)$中研究混沌性质.然而, 若将动力系统的一系列扰动描述成不同的映射对其作用, 便成为了Kolyada和Snoha在文献[10]中提出的非自治离散系统.令$I=[0.1]$, 考虑一列连续映射$f_{n}: I\rightarrow I,n\in {\Bbb N}$, ${\Bbb N}$表示自然数集, 记作$f_{1,\infty}=(f_{1},f_{2},\cdots)$.这个序列定义了一个非自治离散系统$(I,f_{1,\infty})$.点$x\in I$的轨道记作$Orb(x,f_{1,\infty})=(f^{n}_{1}(x))^{\infty}_{n=0}$, 其中$f^{n}_{1}=f_{n}\circ\cdots\circ f_{1}$ ($n\geq1$), $f^{0}_{1}$为恒等映射.与其他处理这类系统的文献一样(比如文献[11-13]), 我们假定$f_{n}$ ($n\in{\Bbb N}$)都是满射.本文讨论系统$(X,f_{1,\infty})$及其复合系统(定义见第3节)的敏感性.

2 敏感性的定义

首先, 我们给出系统$(I,f_{1,\infty})$ ($I$上的度量记作$\rho$)对初值敏感依赖的定义(或称映射$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖).

定义2.1 一个系统$(I,f_{1,\infty})$称为对初值敏感依赖的, 如果存在$\delta >0$, 对$\forall x\in I$$\forall\varepsilon >0$, $\exists y\in B(x,\varepsilon )$ (其中$B(x,\varepsilon )$表示$x$$\varepsilon $ -邻域), $\exists n\in{\Bbb N}$, 有$\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))\geq\delta $.

2003年, Akin和Kolyada[7]提出了Li-Yorke敏感的概念, 将上述对初值的敏感依赖性与Li-Yorke混沌联系起来.类似文献[7]中Li-Yorke敏感的定义, 可以在非自治系统中作如下推广:

定义2.2 一个系统$(I,f_{1,\infty})$称为是Li-Yorke敏感的, 如果存在$\delta >0$, 对$\forall x\in I$以及$\forall\varepsilon >0$, 存在$y\in B(x,\varepsilon )$满足

$\limsup\limits_{k\rightarrow \infty} \rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))>\delta ; ~\liminf\limits_{k\rightarrow \infty} \rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))=0.$ (2.1)

下面给出一个Li-Yorke敏感的映射.

例2.1 [14] 定义映射$g: [0,\frac{1}{3}]\rightarrow[0,\frac{1}{3}]$, $f: [0,1]\rightarrow[0,1]$如下

$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x,& {\rm } \ 0\leq x\leq\frac{1}{9},\\[3mm]3(\frac{2}{9}-x),& {\rm } \ \frac{1}{9}\leq x\leq\frac{2}{9},\\[3mm]3(x-\frac{2}{9}),& {\rm } \ \frac{2}{9}\leq x\leq\frac{1}{3}; \end{array} \right.~~~f(x)=\left\{\begin{array}{ll} g(x),& {\rm } \ 0\leq x\leq\frac{1}{3},\\[3mm]g(x-\frac{1}{3})+\frac{1}{3},& {\rm } \ \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{2}{3},\\[3mm]g(x-\frac{1}{3})+\frac{2}{3},& {\rm } \ \frac{2}{3}\leq x\leq1. \end{array} \right. $

$f_{i}=f (i\in{\Bbb N})$, 则$f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

为方便后面的叙述, 对任意$\delta >0$, 记

$P_{\delta }(f_{1,\infty})=\{x\in I\,\Big|\,\forall \varepsilon >0,\exists y\in B(x,\varepsilon ),\exists k\in {\Bbb N},\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))\geq\delta \},$ (2.2)
$Q_{\delta }(f_{1,\infty})=\{x\in I\,\Big|\,\forall \varepsilon >0,\exists y\in B(x,\varepsilon ),(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )\},$ (2.3)

其中

$LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )=\left\{(x,y)\in I\times I \,\Big|\,\limsup\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))>\delta ; \liminf\limits_{k\rightarrow \infty}\rho(f^{k}_{1}(x),f^{k}_{1}(y))=0\right\}.$ (2.4)

定理2.1 动力系统$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖当且仅当对任意的$\delta >0$$P_{\delta }(f_{1,\infty})$稠于$I$.

(必要性) 由映射对初值敏感依赖的定义易知结论成立.

(充分性) 假设$f_{1,\infty}$不是对初值敏感依赖的, 则, $\forall\xi>0$, $\exists x_{\xi}\in X$以及$\varepsilon _{\xi}>0$, 使得, $\forall y\in B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})$, $\forall k\in {\Bbb N}$, 有$\rho(f^{k}_{1}(x_{\xi}),f^{k}_{1}(y)) <\xi$.从而, 对任意点对$(y_{1},y_{2})\in B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})$, $\forall k\in {\Bbb N}$, 有

$\rho(f^{k}_{1}(y_{1}),f^{k}_{1}(y_{2})) \leq \rho(f^{k}_{1}(y_{1}),f^{k}_{1}(x_{\xi}))+ \rho(f^{k}_{1} (x_{\xi}),f^{k}_{1}(y_{2}))<2\xi. $

即: $\forall\xi>0$, 有$B(x_{\xi},\varepsilon _{\xi})\cap{P}_{2\xi}(f_{1,\infty})=\emptyset$, 这与存在$\delta >0$使得${P}_{\delta } (f_{1,\infty})$稠于$X$矛盾.故$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

上面的定理告诉我们, ${P}_{\delta } (f_{1,\infty})$的稠密性蕴含动力系统$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖.那么, ${Q}_{\delta } (f_{1,\infty})$稠于$I$意味着什么呢?为此, 我们定义一个新的概念, 称为稠Li-Yorke敏感.

定义2.3 动力系统$(I,f_{1,\infty})$称为稠Li-Yorke敏感的, 如果$\exists\delta >0$, 有$Q_{\delta }(f_{1,\infty})$稠于$I$.

例2.2 [14] 令$f: [0.1]\rightarrow[0.1],f(x)=1-|1-2x|$, 且$f_{i}=f (i\in{\Bbb N})$, 则$f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

定理2.2 若动力系统$(I,f_{1,\infty})$稠Li-Yorke敏感, 则$(I,f_{1,\infty})$对初值敏感依赖.

 由(2.3)和(2.4)式知, 对任意$\delta >0$, 都有$Q_{\delta } (f_{1,\infty})\subset P_{\delta }(f_{1,\infty})$.因此, 由$f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感以及定理2.1可得$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

此外, 由Li-Yorke敏感和稠Li-Yorke敏感的定义知, Li-Yorke敏感蕴含稠Li-Yorke敏感, 因此, 对非自治动力系统$(I,f_{1,\infty})$, 下面的结论成立:

Li-Yorke敏感$\Rightarrow$稠Li-Yorke敏感$\Rightarrow$对初值敏感依赖

3 复合系统的敏感性

本节讨论非自治复合系统中关于敏感性的一些性质.

对任意$m,n\in {\Bbb N}$, 定义

$g_{1}=f_{m}\circ\cdots\circ f_{1},~g_{2}=f_{2m}\circ\cdots\circ f_{m+1},~\cdots,g_{p}=f_{pm}\circ\cdots\circ f_{(p-1)m+1},~\cdots.$ (3.1)

$(I,g_{1,\infty})$$(I,f_{1,\infty})$的一个复合系统.也记$g_{1,\infty}$$f^{[m]}_{1,\infty}$, $f^{k}_{n}=f_{n+k-1}\circ\cdots\circ f_{n}$, $n\geq1$.

首先, 我们给出下面两个引理.

引理3.1  [13]若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$, 则$\forall m\in {\Bbb N}$, $m\geq2$, 序列$(f^{m}_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f^{m}$.

引理3.2 若映射序列$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛于$f$, 则$\forall\varepsilon >0$以及$m\in {\Bbb N}$, $\exists\delta (\varepsilon )>0$, $\exists N(m)\in {\Bbb N}$, 使得, $\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\delta (\varepsilon )$, $\forall n\geq N(m)$, 有$\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))<\varepsilon $.

 由引理3.1和不等式

$\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}_{n}(y))\leq\rho(f^{m}_{n}(x),f^{m}(x))+\rho(f^{m}(x),f^{m}(y))+\rho(f^{m}(y),f^{m}_{n}(y)),$

结论显然成立.

定理3.1 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

 若$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖, 则$\exists\delta >0$, $\forall x\in I$, $\forall\varepsilon >0$, $\exists y_{x,\varepsilon }\in B(x,\varepsilon )$以及$n_{x,\varepsilon }\in {\Bbb N}$使得$\rho(f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }}_{1} (y_{x,\varepsilon }))>\delta $.

又因为$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{n}(n\geq 1)$一致连续.从而, $\exists\xi>0$, $\exists N\in{\Bbb N}$, 使得, $\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\xi$, $\forall n>N$, 有$\rho(f^{i}_{n}(x),f^{i}_{n}(y))<\delta (0\leq i\leq m)$.因此, $\exists N_{0}>3m$, 使得$\forall x,y\in I: \rho(x,y)<\xi$, $\forall n>N_{0}$, 有$\rho(f^{i}_{n}(x),f^{i}_{n}(y))<\delta (0\leq i\leq m)$.

因为$f^{i}_{1}$($i:1\leq i\leq 2N_{0}$)一致连续, 即, $\exists \varepsilon ^{*}>0$, 使得$\forall x_{1},x_{2}\in I: \rho(x_{1},x_{2})<\varepsilon ^{*}$, $\forall n>N_{0}$, 有$\rho(f^{i}_{1}(x_{1}),f^{i}_{1}(x_{2}))<\delta (1\leq i\leq 2N_{0})$.从而, $\forall x\in I$, $\forall \varepsilon <\varepsilon ^{*}$, 有$n_{x,\varepsilon }>2N_{0}\geq6m$.因此, $\exists i_{0}\in \{0,1,\cdots,m-1\}$, $\exists l\in {\Bbb N}$, 使得$n_{x,\varepsilon }-i_{0}=ml$.

注意到

$\delta <\rho(f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }}_{1}(y_{x,\varepsilon }))=\rho(f^{i_{0}}_{n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1}(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(x)),f^{i_{0}}_{n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1}(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(y_{x,\varepsilon }))) $

以及$n_{x,\varepsilon }-i_{0}+1\geq N_{0}$.因此, 对任意$\varepsilon <\varepsilon ^{*}$, 我们有, $\rho(f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(x),f^{n_{x,\varepsilon }-i_{0}}_{1}(y_{x,\varepsilon }))\geq\xi$.又因为$m|n_{x,\varepsilon }-i_{0}$, 可得, 对任意$m\in {\Bbb N}$, 有$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

反之, 若对任意$m\in {\Bbb N}$$f^{[m]}_{1,\infty}$对初值敏感依赖, 显然有$f_{1,\infty}$对初值敏感依赖.

定理3.2 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$, $f^{[m]}_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

(必要性)  $f_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的, 即, $\exists\delta >0$, 对$\forall x\in I$, $\forall\varepsilon >0$, $\exists y\in B(x,\varepsilon )$使得

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))>\delta,~ \liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))=0. $

容易证明:

(ⅰ)存在递增序列$\{n_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$使得$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n_{s}}_{1}(x),f^{n_{s}}_{1}(y))=0$.

事实上, $\forall i: 0\leq i\leq m-1$, 记$N_{i}=\{jm+i: j\in {\Bbb N}^{+}\}\cap\{n_{s}: s\in {\Bbb N}\}$.可得$\cup^{s-1}_{i=0}N_{i}=\{n_{s}: s\in {\Bbb N}\}$.从而, $\exists i^{*}\in\{0,1,\cdots,k-1\}$使得$N_{i^{*}}$是一个无限集.

$N_{i^{*}}=\{n^{(i^{*})}_{s}\}^{\infty}_{s=0}$, 它是$\{n_{s}\}_{s\in {\Bbb N}}$的一个子序列.那么, $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\rho(f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(x),f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(y))=0$.又因为$\forall k\in{\Bbb N}$, $f^{m-i^{*}}_{k}$一致连续, 则

$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y)) \\ =\lim\limits_{s\rightarrow \infty}\rho(f^{m-i^{*}}_{n^{(i^{*})}_{s}+1}\circ f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(x),f^{m-i^{*}}_{n^{(i^{*})}_{s}+1}\circ f^{n^{(i^{*})}_{s}}_{1}(y))=0.$

(ⅱ)因为$\forall i: 0\leq i\leq m-1$, $\forall k\in {\Bbb N}$, $f^{i}_{k}$一致连续.因此, 对上述$\delta >0$, $\exists \beta>0$, 使得$\forall x',y' \in I: \rho(x',y' )<\beta$, 有$\rho(f^{i}_{k}(x' ),f^{i}_{k}(y' ))<\frac{\delta }{2}(0\leq i\leq m-1)$.

$\alpha=\min\{\frac{\delta }{2},\frac{\beta}{2}\}$.容易得到

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y))>\alpha. $

事实上, 假设

$\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(x),f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{m+1}\circ f^{m}_{1}(y))\leq\alpha. $

则, $\exists n\in{\Bbb N}$使得

$\rho(f^{i}_{nm}\circ f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{1}(x),f^{i}_{nm}\circ f^{m}_{m(n-1)+1}\circ\cdots\circ f^{m}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}. $

即, $\rho(f^{nm+i}_{1}(x),f^{nm+i}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}$.从而, $\limsup\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{n}_{1}(x),f^{n}_{1}(y))\leq\frac{\delta }{2}$.这与$f_{1,\infty}$Li-Yorke敏感矛盾.

由(ⅰ)和(ⅱ)知, $f^{[m]}_{1,\infty}$是Li-Yorke敏感的.

(充分性) 显然.证毕.

定理3.3 若$(f_{n})^{\infty}_{n=1}$一致收敛, 则$f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感当且仅当对任意$m\in {\Bbb N}$, $f^{[m]}_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感.

  $f_{1,\infty}$稠Li-Yorke敏感, 也就是说, $\exists\delta >0$, 使得$\overline{Q_{\delta }(f_{1,\infty})}=I$.

因为$f^{i}_{k}$ ($k\in {\Bbb N}$)一致连续, 则, $\forall i: 0<i<m-1$, 对上述$\delta >0$, $\exists\varepsilon >0$, 使得$\forall x',y' \in I: \rho(x',y' )<\varepsilon $, 都有$\rho(f^{i}_{k}(x' ),f^{i}_{k}(y' ))<\frac{\delta }{2}$($0\leq i\leq m-1$).

$\alpha=\min\{\frac{\delta }{2},\frac{\varepsilon }{2}\}$.由定理3.2的证明知, 当$(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )$时, 有$(x,y)\in LY_{\rho}(f^{[m]}_{1,\infty},\alpha)$ ($\forall m\in {\Bbb N}$).因此

$I=\overline{Q_{\delta }(f_{1,\infty})} =\overline{Q_{\alpha}(f^{[m]}_{1,\infty})}\subset I. $

即, $f^{[m]}_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

反之, 若对任意$m\in {\Bbb N}$, $(x,y)\in LY_{\rho}(f^{[m]}_{1,\infty},\alpha)$, 显然$(x,y)\in LY_{\rho}(f_{1,\infty},\delta )$.从而, 充分性成立.证毕.

注3.1 事实上, 由定理3.1, 定理3.2和定理3.3的证明, 若存在一个$m\in {\Bbb N}: m\geq 2$, 使得$f^{[m]}_{1,\infty}$是对初值敏感依赖的(Li-Yorke敏感的, 或稠Li-Yorke敏感的), 便可知$f_{1,\infty}$是对初值敏感依赖的(Li-Yorke敏感的, 或稠Li-Yorke敏感的).

注3.2 定理3.1, 定理3.2和定理3.3条件中的一致收敛不能去掉, 下面给出一个反例.

例3.1 考虑双边符号空间$\Sigma_{2}=\{(\cdots,x_{-2},x_{-1}; x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ): x_{i}\in\{0,1\},\forall i\in {\Bbb Z}\}$, 其中${\Bbb Z}$表示整数集, 且$\Sigma_{2}$上的度量如下定义, $\forall x=(\cdots,x_{-1}; x_{0},x_{1},\cdots ),y=(\cdots,y_{-1}; y_{0},y_{1},\cdots )\in\Sigma_{2}$,

$\rho(x,y)=\sum\limits^{+\infty}_{j= -\infty}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{|j|}}.$ (3.2)

定义移位映射$\tau: \Sigma_{2}\to \Sigma_{2}$如下:对任意$x=(\cdots,x_{-1}; x_{0},x_{1},\cdots )\in\Sigma_{2}$, $\tau(x)=(\cdots,x_{-1},x_{0}; x_{1},\cdots )$.

$f_{i}=\left\{\begin{array}{ll} \tau^{-(i+2)},& {\rm } \ i\in\{3n+1: n\in {\Bbb N}\},\\ \tau^{i+1},& {\rm } \ i\in\{3n+2: n\in {\Bbb N}\},\\ id_{\Sigma_{2}},& {\rm } \ i\in\{3n: n\in {\Bbb N}\}. \end{array} \right. $

其中$id_{\Sigma_{2}}$表示$\Sigma_{2}$上的恒等映射.

容易得到, 对任意$n\in {\Bbb N}$, 有

$f_{3n+2}\circ\cdots\circ f_{5}\circ f_{2}=\tau^{3(n+1)},~ f_{3(n+1)}\circ f_{3n+2}\circ f_{3n+1}=id_{\Sigma_{2}}. $

下证$f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的, 而$f^{[3]}_{1,\infty}$不是.对初值敏感依赖和Li-Yorke敏感的情形类似.

$\delta =\frac{1}{2^{k-1}}$($k\in {\Bbb N}$为常数).对任意$U\in\Sigma_{2}$, $x=(\cdots,0,0; x_{0},x_{1},\cdots )\in U$, 取$\varepsilon =\frac{1}{2^{k-2}}$, 令$y=(y_{j})^{+\infty}_{j=-\infty}$, 其中, 若$j<k$时, $y_{j}=x_{j}$; 若$j\geq k$时, $y_{j}=1-x_{j}$.则

$\rho(x,y)=\sum\limits^{+\infty}_{j=-\infty}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{j}} =\sum\limits_{j\geq k}\frac{|x_{j}-y_{j}|}{2^{j}}=\sum\limits_{j\geq k}\frac{1}{2^{j}} =\frac{1}{2^{k-1}}<\varepsilon . $

即, $y\in B(x,\varepsilon )$.

$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{3n+2}_{1}(x),f^{3n+2}_{1}(y))=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(\tau^{3(n+1)}(x),\tau^{3(n+1)}(y))> \frac{1}{2^{0}}+ \frac{1}{2^{1}}+ \cdots >\delta ; $
$\begin{eqnarray*}\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(f^{3n+1}_{1}(x),f^{3n+1}_{1}(y)) &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\rho(\tau^{-3(n+1)}(x),\tau^{-3(n+1)}(y)) \\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{2^{3(n+1)+k}}+\frac{1}{2^{3(n+1)+k+1}}+ \cdots)\\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{2^{3(n+1)+(k-2)}}=0.\end{eqnarray*}$

因此

$\limsup\limits_{i\rightarrow \infty}\rho(f^{i}_{1}(x),f^{i}_{1}(y))>\delta,~~\liminf\limits_{i\rightarrow \infty}\rho(f^{i}_{1}(x),f^{i}_{1}(y))=0. $

我们得到, $x\in Q_{\delta }(f_{1,\infty})$.因此, $f_{1,\infty}$是稠Li-Yorke敏感的.

然而, $f^{[3]}_{1,\infty}$不是稠Li-Yorke敏感的, 因为$f_{3(n+1)}\circ f_{3n+2}\circ f_{3n+1}=id_{\Sigma_{2}}$ ($\forall n\in {\Bbb N}$).而恒等映射不满足任何混沌定义.

参考文献
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