众所周知, 物理学、工程学、统计学以及应用数学中的许多问题与如下二阶线性微分方程的解密切相关(参见文献[1])

$ \frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}z^{2}}+p(z)\frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}+q(z)y(z)=0,$

(1.1)

其中$p(z)$, $q(z)$为给定的复值函数.

关于方程(1.1)的研究一直是数学工作者兴趣的课题(参见文献[2-5]).方程(1.1)的解的解析性完全为其系数$p(z)$和$q(z)$的解析性所确定.设$p(z),q(z)$在区域中除若干个孤立的奇点外, 是$z$的单值解析函数.区域中的点可分为两类:方程的常点(如果方程中的系数$p(z)$和$q(z)$都在点$z_0$及其领域内是解析的, 则称$z_0$为方程的常点)和方程的奇点(只要$p(z)$和$q(z)$之一在点$z_0$不是解析的, 则称$z_0$为方程的奇点).下面我们给出几个定义.

定义1.1 若$z=z_{0}$是方程(1.1)的一个奇点, 则称$z=z_{0}$是方程(1.1)的正则奇点当且仅当

$(z-z_{0})\cdot p(z),\ \ (z-z_{0})^{2}\cdot q(z)$

(1.2)

在$\{z: |z-z_{0}|＜R\}$内解析, 其中$R$是正实数.

定义1.2 给定正整数$n$, 我们把具有$n$个正则奇点的这一类方程称为Fuchsian型方程.

当$n=3$时, Fuchsian型方程

$ z(1-z)\frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}z^{2}}+\left[\gamma-\left(\alpha+\beta+1\right)z\right]\frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}-\alpha\beta y(z)=0$

(1.3)

也称为Gauss超几何方程, 其中$0,1,\infty$是其三个正则奇点.函数

$ _{2}F_{1}\left(\alpha,\beta;\gamma;z\right):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{n}(\beta)_{n}}{n!(\gamma)_{n}}z^{n},\ \gamma\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$

(1.4)

满足方程(1.3)且在圆盘$D(0,1):=\{z:|z|＜1\}$收敛, 其中$(\alpha)_{n}:=\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n-1)=\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}$称为长度为$n$的递增阶乘.

在超几何方程(1.3)中, 用$\frac{z}{b}$代替$z$, 然后用$b$除, 得

$z(1-\frac{z}{b})\frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}z^{2}}+\left[\gamma-\left(\alpha+\beta+1\right)\frac{z}{b}\right] \frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}-\alpha\frac{\beta}{b} y(z)=0.$

(1.5)

这个方程的奇点是$0,b,\infty$, 都是正则奇点.现在令$b=\beta\rightarrow \infty$, 得

$ z\frac{{\rm d}^{2}y}{{\rm d}z^{2}}+(\gamma-z)\frac{{\rm d}y}{{\rm d}z}-\alpha y(z)=0.$

(1.6)

这个新的方程只有两个奇点$0$和$\infty$, 前者仍是正则奇点, 后者是原来两正则奇点$b(\beta)$和$\infty$的合流, 现在成为非正则奇点. (1.6)式称为超几何合流方程.

整函数

$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{n}}{n!(\gamma)_{n}}z^{n},\ \gamma\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$

(1.7)

是方程(1.6)的一个解, 称为合流超几何函数(Kummer函数).特别地, 当$\alpha=-n=0,-1,-2,\cdots$时, $_{1}F_{1}(-n;\gamma;z)$是多项式(参见文献[2, 5-7]).

在量子力学中，量子谐波振荡器在一维中的常见问题可视为合流超几何函数的应用.当参数$\alpha$和$\gamma$都是整数的或者其一是整数的情况下, 在统计学中, $_{1}F_{1}(\alpha,\gamma;z)$出现在许多重要的统计数据分布, 比如$F$ -统计和$D^{2}$ -统计(参见文献[10-11]).

此外, 数学物理学中的许多问题可以通过合流超几何函数的零点位置来解决.如果$\alpha,\gamma,\gamma-\alpha\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$, 那么$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$在复平面${\Bbb C}$上有无穷多个零点.探索这些零点的分布是件很自然的事.对于实参数, 已有许多已知的结果(参见文献[12]).如果给定$\alpha,\gamma\in{\Bbb C}$以及让变量充分大, 则$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的那些"较大的"零点满足

$ z=\pm(2n+\alpha)\pi {\rm i}+\ln \left(-\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\gamma-\alpha)}(\pm2n\pi {\rm i})^{\gamma-2\alpha}\right) +O(n^{-1}\ln n),$

(1.8)

这里$n$是充分大的正整数, 对数取其主值(参见http://dlmf.nist.gov/13.9).遗憾的是, 此结果只能给出模足够大时的零点信息.本文中, 我们将试图寻找对每一个零点均成立的共同属性.

下文中, 用${\cal Z}(F)$表示$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点集合, 并记${\cal Z}(F)=\{z_n\}$, 同时点列$\{z_n\}$按其模的增序排列且重级零点按其重数算, 即

$|z_{1}|\leq |z_{2}| \leq \cdots \leq |z_{n}|\leq \cdots.$

(1.9)

此外, 称使$\sum |z_{n}|^{-\tau}$收敛的正数$\tau$的下确界为函数$F$的零点收敛指数, 记为$\lambda(F)$.

文献[13]和[14]已经给出了下列事实.

$ \sum\limits^{\infty}_{j=1}z_j^{-2}=\frac{\alpha(\alpha-\gamma)}{\gamma^2(\gamma+1)}$

(1.10)

以及

$ \sum\limits^{\infty}_{j=1}z_j^{-3}=\frac{\alpha(\alpha-\gamma)(\gamma-2\alpha)}{\gamma^3(\gamma+1)(\gamma+2)}.$

(1.11)

后来, Ahmed和Muldoon在文献[15]中证明了, 对于一列绝对值非减的复数列$\{z_n\}$, 如果满足

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{z_n}{n}=C\not=0,$

(1.12)

这里$C$是个复常数, 同时满足公式$(1.10)$和$(1.11)$, 以及

$2\gamma z^2_k\sum\limits^{\infty}_{j=1}z_j^{-1}(z_k-z_j)^{-1}=(\gamma-2\alpha)z_k-\gamma(\gamma+2),k=1,2,\cdots,$

(1.13)

那么点列$\{z_n\}$与函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点列是一致的.

鉴于以上结果, 自然地提出下列问题:对于合流超几何函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点收敛指数$\lambda(F)$是否满足$\lambda(F)\leq 1$?

本文我们得到了以下结果, 给出了上述问题的肯定答案.

定理1.1 设合流超几何函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$满足$\alpha,\gamma,\gamma-\alpha\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$.则对于$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点列$\{z_n\}$, 存在一个正常数$M$, 使得$|z_n|\geq M n$对所有$n\geq 1$成立.

定理1.1中的条件"$\gamma-\alpha\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$"是必要的.例如, 置$\gamma=\alpha$, 则$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)=e^z$没有零点.

注1.1 当$n$足够大的情况下, 上述结果也可直接通过(1.8)式获得.

由上述定理, 我们可得如下推论.

推论1.1 设合流超几何函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$满足$\alpha,\gamma,\gamma-\alpha\not\in {\Bbb Z}_{\leq 0}$, 则$\lambda(F)\leq 1$.

设$f$在圆盘$|z|\leq r$内解析且满足$f(0)\not=0$, $f$在圆盘$|z|<r$内的零点记为$a_1,a_2,\cdots,a_n$, 重级零点按其重数计算.下列公式, 亦称为Jensen公式(参见文献[16-19])刻画了解析函数零点的一个性质.

$\log|f(0)|+\sum\limits^{n}_{k=1}\log{\frac{r}{|a_k|}}=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 \log{|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}\theta}.$

(1.14)

下节将借助Jensen公式，对超几何合流函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点性质进行论证.

为了证明我们的结果, 首先给出下列引理.

引理2.1  ^[17-20]设$\varphi (x)$是区间$[a,b]$上的正值函数且$\log \varphi (z)$可积, 则

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\log \varphi (x){\rm d}x\leq \log \left(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\varphi (x){\rm d}x\right).$

(2.1)

定理1.1的证明 设$\{z_n\}$为合流超几何函数$f(z):=_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点列.由Jensen公式可得

$\log|f(0)|+\sum\limits^{n(r)}_{k=1}\log{\frac{r}{|z_k|}}=\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\log{|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}\theta},$

(2.2)

其中, $n(r)$表示$f$在$|z|<r$内的零点个数.

注意到$f(0)=1$, 对上述不等式两边取指数, 同时应用引理, 可得

$\prod\limits^{n(r)}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}\leq \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}\theta.$

(2.3)

如果$n>n(r)$, 则有

$\prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}=\prod\limits^{n(r)}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}\prod\limits^{n}_{k=n(r)+1}\frac{r}{|z_k|}\leq \prod\limits^{n(r)}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}.$

(2.4)

如果$n<n(r)$, 则有

$\prod\limits^{n(r)}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}=\prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}\prod\limits^{n(r)}_{k=n+1}\frac{r}{|z_k|}\geq \prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}.$

(2.5)

由此可见

$\prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|}\leq \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}\theta$

(2.6)

对$r>0$以及所有$n\geq 1$成立.

由于合流超几何函数

$f(z)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m}}{m!(\gamma)_{m}}z^{m}\ (\gamma\neq 0,-1,-2,\cdots),$

(2.7)

因此

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0|f(r{\rm e}^{{\rm i}\theta})|{\rm d}\theta &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m}}{m!(\gamma)_{m}}r^{m}{\rm e}^{{\rm i}n\theta}\right|{\rm d}\theta \\ &\leq\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\sum\limits_{m=0}^{\infty}\left|\frac{(\alpha)_{m}}{m!(\gamma)_{m}}\right|r^{m}{\rm d}\theta \\ &=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\left|\frac{(\alpha)_{m}}{m!(\gamma)_{m}}\right|r^{m}.\end{eqnarray*}$

(2.8)

下面我们分三种情况进行讨论.

情形1 如果$\Re \alpha＜ \Re \gamma$, 那么可以找到最小的正整数$j\in {\Bbb Z}^{+}$, 使得$\Re \alpha+j>0$以及$|\alpha+j|＜|\gamma+j|$.记

$C(\alpha,\gamma)=1+\max\limits_{1\leq i\leq j}\left|\frac{(\alpha)_{i}}{(\gamma)_{i}}\right|.$

(2.9)

从而对于$0\leq m\leq j$, 有

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right|\leq C(\alpha,\gamma).$

(2.10)

当$k\geq j$时, 由$\left|\frac{\alpha+k}{\gamma+k}\right|＜1$可知

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right| =\left|\frac{(\alpha)_{j}}{(\gamma)_{j}}\cdot\frac{(\alpha+j)_{m-j}}{(\gamma+j)_{m-j}}\right| \leq C(\alpha,\gamma)\cdot \left|\frac{(\alpha+j)_{m-j}}{(\gamma+j)_{m-j}}\right|＜ C(\alpha,\gamma)$

(2.11)

对于所有$j<m$成立.因此, 对于所有$m\geq 0$都有

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right|\leq C(\alpha,\gamma).$

(2.12)

进一步地, 我们有

$\prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|} \leq \left(C(\alpha,\gamma)\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{r^{m}}{m!}\right) = C(\alpha,\gamma) {\rm e}^{r}.$

(2.13)

情形2 如果$\Re \alpha> \Re \gamma$, 那么可以找到一个最小的正整数${\tilde{j}}\in {\Bbb Z}^{+}$使得$\Re \gamma+{\tilde{j}}>0$以及$|\alpha+{\tilde{j}}|>|\gamma+{\tilde{j}}|$.从而存在正整数$\beta\geq 2$使得$\beta|\gamma+{\tilde{j}}|>|\alpha+{\tilde{j}}|$.类似地, 记

${\tilde{C}}(\alpha,\gamma)=1+\max\limits_{1\leq i\leq {\tilde{j}}}\left|\frac{(\alpha)_{i}}{(\gamma)_{i}}\right|.$

(2.14)

则当$0\leq m\leq {\tilde{j}}$时, 有

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right|\leq {\tilde{C}}(\alpha,\gamma).$

(2.15)

注意到当$k\geq {\tilde{j}}$时, $\left|\frac{\alpha+k}{\gamma+k}\right|>1$以及$\left|\frac{\alpha+k}{\gamma+k}\right|$关于$k$递减且下界为$1$.由此可得

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right| =\left|\frac{(\alpha)_{{\tilde{j}}}}{(\gamma)_{{\tilde{j}}}} \cdot\frac{(\alpha+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}{(\gamma+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}\right| \leq {\tilde{C}}(\alpha,\gamma)\cdot \left|\frac{(\alpha+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}{(\gamma+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}\right|\\ = {\tilde{C}}(\alpha,\gamma)\cdot \left|\frac{(\alpha+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}{\beta^{m}\cdot(\gamma+{\tilde{j}})_{m-{\tilde{j}}}}\right|\cdot\beta^{m} \leq {\tilde{C}}(\alpha,\gamma)\cdot\beta^{m}$

(2.16)

对于所有${\tilde{j}}<m$成立.因此, 对于所有$m\geq 0$都有

$\left|\frac{(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m}}\right|\leq {\tilde{C}}(\alpha,\gamma)\cdot\beta^{m}.$

(2.17)

进一步地, 我们有

$\prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|} \leq {\tilde{C}}(\alpha,\gamma)\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(\beta r)^{m}}{m!} ={\tilde{C}}(\alpha,\gamma) {\rm e}^{\beta r}.$

(2.18)

情形3 如果$\Re \alpha= \Re \gamma$, 那么可以找到一个最小的正整数$\widehat{j}\in {\Bbb Z}^{+}$使得$\Re \alpha+\widehat{j}=\Re \gamma+\widehat{j}>0$.对于$|\alpha+\widehat{j}|\leq|\gamma+\widehat{j}|$和$|\alpha+\widehat{j}|>|\gamma+\widehat{j}|$的情形可分别由情形1和情形2得出结果.

综合以上三种情形, 可知存在常数$C\geq 1$, 使得对所有$n\geq 1$和$r>0$都有

$\frac{r^n}{|z_n|^n}\leq \prod\limits^{n}_{k=1}\frac{r}{|z_k|} \leq C {\rm e}^{\beta r}.$

(2.19)

从而对所有$n\geq 1$和$r>0$, 我们有

$|z_n|^n \geq \frac{r^n}{C {\rm e}^{\beta r}}.$

(2.20)

置

$H(r):=\frac{r^n}{C {\rm e}^{\beta r}},\ \ \ \ r\in(0,\infty).$

通过简单计算可得

$\max\limits_{r\in(0,\infty)}H(r)=H\left(\frac{n}{\beta}\right)=C^{-1}\left(\frac{n} {{\rm e}\beta}\right)^n.$

(2.21)

结合$(2.20)$式可知, 对所有$n\geq 1$有

$|z_n| \geq C^{-\frac{1}{n}}\left(\frac{n}{{\rm e}\beta}\right)\geq \frac{n}{C {\rm e} \beta},$

(2.22)

即存在正整数$M>0$使得$|z_n|\geq M n$对所有$n\geq 1$成立.

在第一节中, 我们提到对于一列绝对值非减的复数列$\{z_n\}$, 如果满足

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{z_n}{n}=C\not=0,$

(3.1)

这里$C$是个复常数, 同时满足公式$(1.10)$, $(1.11)$以及

$2\gamma z^2_k\sum\limits^{\infty}_{j=1}z_j^{-1}(z_k-z_j)^{-1}=(\gamma-2\alpha)z_k-\gamma(\gamma+2),k=1,2,\cdots,$

(3.2)

那么点列$\{z_n\}$与函数$_{1}F_{1}(\alpha;\gamma;z)$的零点列是一致的.

结合本文的主要定理, 我们猜测$(3.1)$式可减弱为对所有$n\geq 1$, 有

$|z_n|\geq Mn (M>0).$

(3.3)