研究金融系统的复杂动力学行为是微观和宏观经济领域中的一个重要问题^[1].众所周知, 非线性金融系统中存在周期和混沌行为.但是, 如果金融系统中存在混沌现象, 就意味着该系统具有不确定性, 这使得很难对它进行合理的、有效的预测.因此, 研究金融系统的复杂动力学行为, 特别是混沌现象, 是很重要的.文献[2-3]提出如下金融模型

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -a(x+y),\\ \dot{y} = -y-axz,\\ \dot{z} = b+axy,\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(1.1)

其中$a>0$和$b>0$是系统参数, $x$是利率, $y$是投资需求, $z$是价格指数.易知, 当$a=1.79$, $b=4$时, 系统(1.1) 存在混沌吸引子(见图 1).

在文献[4]中, 作者在投资需求上增加一个时滞反馈项$K[y(t)-y(t-\tau)]$得到如下系统

$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -a(x+y),\\ \dot{y} = -y-axz+K[y(t)-y(t-\tau)],\\ \dot{z} = b+axy,\\ \end{array} \right. $

并研究了该系统平衡点的稳定性和Hopf分支.

根据文献[5]中思想, 我们在系统(1.1) 中的利率和投资需求上增加时滞反馈控制项, 得到如下系统

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -a(x+y)+K_1[x(t)-x(t-\tau)],\\ \dot{y} = -y-axz+K_2[y(t)-y(t-\sigma)],\\ \dot{z} = b+axy,\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(1.2)

其中$K_1$和$K_2$是反馈增益, $K_1$, $K_2$, $\tau$, $\sigma \in \mathbb{R}$, $\tau,\sigma\in(0,+\infty)$.本文主要研究时滞反馈项对系统(1.2) 的动力学行为的影响.

本小节研究系统(1.2) 平衡点的稳定性与Hopf分支的存在性.显然, 系统(1.2) 有两个平衡点$S_1=(\sqrt{b/a},-\sqrt{b/a},1/a)$和$S_2=(-\sqrt{b/a},\sqrt{b/a},1/a)$.我们只讨论平衡点$S_1$, $S_2$可做类似的分析.系统(1.2) 在$S_1$处的特征方程为

$\begin{eqnarray} &&\lambda^3 + (1+a-K_1-K_2) \lambda^2 + (ab+K_1K_2-K_1-aK_2) \lambda +2a^2b-abK_1 \\ &&+K_1[\lambda^2+(1-K_2)\lambda+ab]{\rm e}^{-\lambda\tau}+K_2[\lambda^2+(a-K_1)\lambda]{\rm e}^{-\lambda\sigma}\\ &&+K_1K_2\lambda {\rm e}^{-\lambda(\tau+\sigma)}=0. \end{eqnarray}$

(2.1)

此时, 方程(2.1) 变为

$\begin{eqnarray} \lambda^3+(1+a)\lambda^2+ab\lambda+2a^2b=0. \end{eqnarray}$

(2.2)

由Routh-Hurwitz判据^[6]可得下面引理.

引理 2.1 (1) 如果$0<a<1$, 则方程(2.2) 的所有根具有负实部, 即平衡点$S_1$是局部渐近稳定的.

(2) 如果$a=1$, 则方程(2.2) 有一对纯虚根$\pm {\rm i}\sqrt{b}$和一个负实根-2, 且Re$\lambda'(a)|_{a=1}>0$, 即系统(1.2) 经历了Hopf分支.

(3) 如果$a>1$, 则方程(2.2) 有一个负实根和一对共轭复根, 即平衡点$S_1$不稳定.

此时, 方程(2.1) 变为

$\begin{equation} \lambda^3+(1+a-K_1)\lambda^2+(ab-K_1)\lambda+2a^2b-abK_1+K_1(\lambda^2+\lambda+ab){\rm e}^{-\lambda\tau}=0. \end{equation}$

(2.3)

设i$\omega(\omega>0)$是方程(2.3) 的根.代入方程(2.3) 可得

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \omega^3+(K_1-ab)\omega=K_1(\omega^2-ab)\sin\omega\tau+K_1\omega \cos\omega\tau,\\ (1+a-K_1)\omega^2-2a^2b+abK =K_1(ab-\omega^2)\cos\omega\tau+K_1\omega \sin\omega\tau,\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(2.4)

即

$\begin{equation} \omega^6+p\omega^4+q\omega^2+r = 0,\end{equation}$

(2.5)

其中$p=(a+1)^2-2ab-2aK_1,\,\,q=a^2b(b+6K_1-4a-4),\,\,r=4a^3b^2(a-K_1).$令$\xi=\omega^2$, 则方程(2.5) 变为

$\begin{equation}\xi^3+p\xi^2+q\xi+r = 0.\end{equation}$

(2.6)

记

$\begin{equation} h(\xi)=\xi^3+p\xi^2+q\xi+r.\end{equation}$

(2.7)

引理 2.2^[7] (1) 如果$a<K_1$, 则方程(2.6) 至少有一个正实根.

(2) 如果$a\geq K_1$且$p^2\leq 3q$, 则方程(2.6) 无正实根.

(3) 如果$a\geq K_1$且$p^2> 3q$, 则方程(2.6) 有正实根的充要条件是$\xi_1>0$和$h(\xi_1)\leq0$, 其中$\xi_1=(-p+\sqrt{p^2-3q})/3$.

为了方便, 作如下假设

($H_1$) $ a\geq K_1$, $p^2\leq3q$.

($H_2$) $ a<K_1$.

($H_3$) $ a\geq K_1$, $p^2>3q$, $\xi_1=\frac{-p+\sqrt{p^2-3q}}{3}>0$, $h(\xi_1)\leq0$.

不失一般性, 假设方程(2.6) 有三个正实根$\xi_k \ (k=1,2,3)$.所以方程(2.5) 有三个正实根$\omega_k=\sqrt{\xi_k} \ (k=1,2,3)$.由(2.4) 式可得

$\begin{eqnarray} \tau^j_k=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{\omega_k}[2j\pi+\arccos A],\\ \frac{1}{\omega_k}[2(j+1)\pi+\arccos A], \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(2.8)

其中

$\begin{eqnarray*} &&A=\cos\omega_k\tau_k=\frac{(K_1-a)\omega_k^4+(3a^2b+K_1-2abK_1)\omega^2_k+a^2b^2(K_1-2a)}{K_1[\omega_k^4+(1-2ab)^2\omega_k^2+a^2b^2]},\\ &&B=\sin\omega_k\tau_k=\frac{\omega_k^5+(a+1-2ab)\omega_k^3+a^2b(b-2)\omega_k}{K_1[\omega_k^2+(\omega_k^2-ab)^2]},\\\ &&k=1,2,3; \ j=0,1,2,\cdots. \end{eqnarray*}$

所以当$\tau=\tau^j_k$时, 方程(2.3) 有一对纯虚根$\pm {\rm i}\omega_k$.定义

$\begin{eqnarray}\tau_0 = \tau^0_{k_0}= \min\limits_{k \in\{{1,2,3}\}}{\{\tau_k^{0}\}},\omega_0 = \omega_{k_{0}}. \end{eqnarray}$

(2.9)

引理 2.3^[8] 考虑方程

$\begin{eqnarray*} p(\lambda,{\rm e}^{-\lambda\tau_1},\cdots,{\rm e}^{-\lambda\tau_m}) &=&\lambda^n+p^{(0)}_1\lambda^{n-1}+\cdots+p^{(0)}_{n-1}\lambda+p^{(0)}_n\\ &&+(p^{(1)}_1\lambda^{n-1}+\cdots+p^{(1)}_{n-1}\lambda+p^{(1)}_n){\rm e}^{-\lambda\tau_1}\\ &&+\cdots+(p^{(m)}_1\lambda^{n-1}+\cdots+p^{(m)}_{n-1}\lambda+p^{(m)}_n){\rm e}^{-\lambda\tau_m}, \end{eqnarray*}$

其中$\tau_i\geq0\ (i=1,2,\cdots,m)$和$p^{(i)}_j\ (i=0,1,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$是常数.则当$\tau_1$, $\tau_2$, $\cdots,\tau_m$变化时, $p(\lambda,{\rm e}^{-\lambda\tau_1},\cdots,{\rm e}^{-\lambda\tau_m})$在右半开平面上零点个数发生变化当且仅当有零点出现在或穿过虚轴.

由引理2.1和引理2.3可得下面引理.

引理 2.4 (1) 如果($H_1$)成立, 则当$\tau\geq0$时, 方程(2.3) 和(2.2) 具有正实部根的个数相同.

(2) 如果($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau\in[0,\tau_0)$时, 方程(2.3) 和(2.2) 具有正实部根的个数相同.

设$\lambda(\tau)=\alpha(\tau)\pm {\rm i}\omega(\tau)$是方程(2.3) 的根, 且$\alpha(\tau^j_k)=0$, $\omega(\tau^j_k)=\omega_k\ (k=1,2,3)$.

引理 2.5 如果$h'(\xi_k)\neq 0$, 则$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\tau^j_k)}{{\rm d}\tau}\neq 0$, 且$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\tau^j_k)}{{\rm d}\tau}$与$h'(\xi_k)$正负性相同.

证 把$\lambda(\tau)$代入方程(2.3), 并关于$\tau$求导可得

$ \bigg[\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\tau^j_k)}{{\rm d}\tau}\bigg]^{-1}=\frac{\xi_k}{\Omega}{3\xi^2_k+2p\xi_k+q}=\frac{\xi_k}{\Omega}h'(\xi_k), $

其中$\Omega=K^2_1\omega^2_k[\omega^2_k+(\omega^2_k-ab)^2]>0$.又$h'(\xi_k)\neq 0$, 所以$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\tau^j_k)}{{\rm d}\tau}\neq 0$.又因为$\xi_k>0$, 所以$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\tau^j_k)}{{\rm d}\tau}$与$h'(\xi_k)$的正负性相同.引理证毕.

由引理2.1-2.5和文献[9]中泛函微分方程的Hopf分支定理可得下面定理.

定理 2.1 假设$0<a<1$.

(1) 如果($H_1$)成立, 则当$\tau\geq0$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的.

(2) 如果($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau\in[0,\tau_0)$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的, 且随着$\tau$的增加, 可能会出现一系列稳定开关.

(3) 如果$h'(\xi_k)\neq0$, 且($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau=\tau^j_k$, $k=1,2,3;j=0,1,2,\cdots$时, 系统(1.2) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支.

定理 2.2 假设$a>1$.

(1) 如果($H_1$)成立, 则当$\tau\geq0$时, 平衡点$S_1$不稳定.

(2) 如果($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau\in[0,\tau_0)$时, 平衡点$S_1$不稳定, 且随着$\tau$的增加, 可能会出现一系列稳定开关.

(3) 如果$h'(\xi_k)\neq0$, 且($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau=\tau^j_k$, $k=1,2,3;j=0,1,2,\cdots$时, 系统(1.2) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支.

本小节我们考虑方程(2.1), 并假设$\tau$处于方程(2.3) 的稳定区间中.为了方便, 记

$\begin{eqnarray} F(\beta)&=&\beta^6-2K_1\sin(\beta\tau)\beta^5+[(2aK_1-2K_1^2)\cos(\beta\tau)+a^2+2a+1+2K_1^2 \\ &&-2ab-2aK_1-2K_2]\beta^4+2K_1\sin(\beta\tau)(2K_2+2ab-1-a-K_2^2)\beta^3\\ &&+[2K_1\cos(\beta\tau)(2abK_1+2K_1K_2-3a^2b-K_1-aK_2)+2a^2bK_2\\ &&+2aK_1K_2+6a^2bK_1-4K_1^2ab+a^2b^2-4K_1^2K_2-4a^2b+4a^3b\\ &&+2K_1^2]\beta^2+2a^2bK_1\sin(\beta\tau)(2-b-K_2)\beta+4a^2b^2+2a^2b^2K_1^2\\ &&-4a^3b^2K_1+4a^3b^2K_1\cos(\beta\tau)-2a^2b^2K_1^2\cos(\beta\tau). \end{eqnarray}$

(2.10)

引理 2.6 假设$F(\beta)$有有限多个正零点, 记为$\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\}$, 则当$\sigma=\sigma_k^j$时, 方程(2.1) 有一对纯虚根$\pm {\rm i}\beta_k$, 其中

$\begin{eqnarray} \sigma^j_k=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\beta_k}[2j\pi+\arccos P_2],\,\,\,\,\,Q_2\geq0,\\ \frac{1}{\beta_k}[2(j+1)\pi-\arccos P_2],\,\,Q_2<0, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.11)

$\begin{eqnarray*} P_2&=&\cos(\beta_k\sigma_k^{j})\\ &=&\frac{(1-K_2)(1-2K_1\sin(\beta_k\tau))\beta_k^2+(a^2K_2-a^2b)\beta_k} {K_2\beta_k[\beta_k^2+a^2-2K_1\beta_k\sin(\beta_k\tau)+2K_1(K_1-a)(1-\cos(\beta_k\tau))]}\\ &&+\frac{K_1(a+2K_1K_2-2K_1-2aK_2)(\cos(\beta_k\tau)-1)\beta_k+a^2bK_1\sin(\beta_k\tau)} {K_2\beta_k[\beta_k^2+a^2-2K_1\beta_k\sin(\beta_k\tau)+2K_1(K_1-a)(1-\cos(\beta_k\tau))]},\\ Q_2&=&\sin(\beta_k\sigma_k^{j})\\ &=&\frac{\beta_k^4-2K_1\sin(\beta_k\tau)\beta_k^3+[2K_1(K_1-a)(1-\cos(\beta_k\tau))+a^2+a-ab]\beta_k^2} {K_2\beta_k[\beta_k^2+a^2-2K_1\beta_k\sin(\beta_k\tau)+2K_1(K_1-a)(1-\cos(\beta_k\tau))]}\\ &&+\frac{aK_1\sin(\beta_k\tau)(ab-1)\beta_k+abK_1(3a-2K_1)(1-\cos(\beta_k\tau))-2a^3b} {K_2\beta_k[\beta_k^2+a^2-2K_1\beta_k\sin(\beta_k\tau)+2K_1(K_1-a)(1-\cos(\beta_k\tau))]}, \\ &&\qquad\qquad\qquad k=1,2,\cdots,s; \ j=0,1,2,\cdots. \end{eqnarray*}$

证 设${\rm i}\beta(\beta>0)$是方程(2.1) 的根.把${\rm i}\beta$代入(2.1) 式并分离实部和虚部可得

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{rl} &K_2\beta^2\sin(\beta\sigma)+K_2(a-K_1)\beta\cos(\beta\sigma)+ K_1K_2\beta\cos[\beta(\tau+\sigma)]\\ =& \beta^3-(ab+K_1K_2-K_1-aK_2)\beta+K_1(ab-\beta^2)\sin(\beta\tau)\\ &-K_1(1-K_2)\beta\cos(\beta\tau), \\ &-K_2\beta^2\cos(\beta\sigma)+K_2(a-K_1)\beta\sin(\beta\sigma)+K_1K_2\beta\sin[\beta(\tau+\sigma)] \\ =& (1+a-K_1-K_2)\beta^2-2a^2b+abK_1-K_1(ab-\beta^2)\cos(\beta\tau)\\ &-K_1(1-K_2)\beta\sin(\beta\tau). \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.12)

即

$\begin{equation} F(\beta)=0. \end{equation}$

(2.13)

所以方程(2.13) 的根为$\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s\}$.定义$\sigma_k^j$如(2.11) 式, 则$(\sigma_k^j,\beta_j)$是方程(2.12) 的根.因此, 当$\sigma=\sigma_k^j$时, $\pm {\rm i}\beta_j$是方程(2.1) 的一对纯虚根.引理证毕.

定义

$\begin{equation} \sigma_0=\min\{\sigma_k^j,\ k=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots\}, \end{equation}$

(2.14)

并记与其相对应的$\beta_j$为$\beta_0$.设$\lambda(\sigma)=\alpha(\sigma)+{\rm i}\beta(\sigma)$是方程(2.1) 在$\sigma=\sigma_k^j$附近的根, 且$\alpha(\sigma_0)=0$, $\beta(\sigma_0)=\beta_0$.

引理 2.7 如果$\Delta\neq0$, 则$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\sigma^j_k)}{{\rm d}\sigma}\neq 0$, 且$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\sigma^j_k)}{{\rm d}\sigma}$和$\Delta$的正负性相同, 其中

$\begin{eqnarray*} \Delta&=&[\beta_k\cos(\beta_k\tau)-(a-K_1)\sin(\beta_k\tau)][a_1\sin\beta_k(\tau+\sigma_k^j)\\ &&-a_2\cos\beta_k(\tau+\sigma_k^j)+a_3\sin(\beta_k\sigma_k^j)-a_4\cos(\beta_k\sigma_k^j)+a_5]\\ &&-[\beta_k\sin(\beta_k\tau)+(a-K_1)\cos(\beta_k\tau)+K_1][a_1\cos\beta_k(\tau+\sigma_k^j)\\ &&+a_2\sin\beta_k(\tau+\sigma_k^j)+a_3\cos(\beta_k\sigma_k^j)+a_4\sin(\beta_k\sigma_k^j)+a_6],\\ a_1&=&ab+K_1K_2-K_1-aK_2-3\beta_k^2,\ a_2=2\beta_k(1+a-K_1-K_2),\\ a_3&=&K_1(K_2+\tau\beta_k^2-\tau ab),\ a_4=K_1\beta_k(2-\tau+\tau K_2),\\ a_5&=&K_2(a-K_1)\sin(\beta_k\tau)-2K_2\beta_k\cos(\beta_k\tau)+K_1K_2\beta_k\tau,\\ a_6&=&K_2(a-K_1)\cos(\beta_k\tau)+2K_2\beta_k\sin(\beta_k\tau)+K_1K_2. \end{eqnarray*}$

证 对方程(2.1) 两端同时关于$\sigma$求导可得

$\begin{eqnarray*} \Big(\frac{{\rm d}\sigma}{{\rm d}\tau}\Big)^{-1}&=&\frac{(3\lambda^2+2(1+a-K_1-K_2)\lambda+ab+K_1K_2-K_1-aK_2){\rm e}^{\lambda(\tau+\sigma)}} {K_2\lambda^2[(\lambda+a-K_1){\rm e}^{\lambda\tau}+K_1]}\\ &&-\frac{K_1[\tau\lambda^2+(\tau-2-\tau K_2)\lambda-1+K_2+\tau ab]{\rm e}^{\lambda\sigma}} {K_2\lambda^2[(\lambda+a-K_1){\rm e}^{\lambda\tau}+K_1]}\\ &&+\frac{K_2(2\lambda+a-K_1){\rm e}^{\lambda\tau}+K_1K_2(1-\tau\lambda)} {K_2\lambda^2[(\lambda+a-K_1){\rm e}^{\lambda\tau}+K_1]}-\frac{\sigma}{\lambda}. \end{eqnarray*}$

由(2.12) 式, 计算可得

$ \Big(\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\sigma^j_k)}{{\rm d}\sigma}\Big)^{-1}=\frac{\Delta}{M}, $

其中$\sin(\beta_k\sigma_k^j)$和$\cos(\beta_k\sigma_k^j)$如引理2.6中定义,

$\begin{eqnarray*} M&=&K_2\beta_k^2[(a-K_1)\cos(\beta_k\tau)+\beta_k\sin(\beta_k\tau)+K_1]^2\\ &&+K_2\beta_k^2[(a-K_1)\sin(\beta_k\tau)+\beta_k\cos(\beta_k\tau)+K_1]^2. \end{eqnarray*}$

因为$\Delta\neq0$, $M>0$, 所以$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\sigma^j_k)}{{\rm d}\sigma}\neq 0$, 且$\frac{{\rm d\,Re} \lambda(\sigma^j_k)}{{\rm d}\sigma}$和$\Delta$的正负性相同.引理证毕.

由引理2.6和引理2.7可得下面的结论.

定理 2.3 假设$\sigma_0$如(2.14) 式定义.

(1) 如果($H_1$)成立, 且$F(\omega)$无正零点, 则当$\sigma\geq0$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的; 如果$(H_1)$成立, 且$F(\omega)$有正零点, 则当$\sigma\in[0,\sigma_0)$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的.对后一种情况, 如果$\Delta\neq0$, 则当$\sigma=\sigma_k^j\ (k=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots)$时, 系统(1.2) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支.

(2) 如果$(H_2)$或者$(H_3)$成立, 且$F(\omega)$无正零点, 则当$\sigma\geq0$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的; 如果$(H_2)$或者$(H_3)$成立, 且$F(\omega)$有正零点, 则当$\sigma\in[0,\sigma_0)$时, 平衡点$S_1$是局部渐近稳定的.对后一种情况, 如果$\Delta\neq0$, 则当$\sigma=\sigma_k^j\ (k=1,2,\cdots,s;j=1,2,\cdots)$时, 系统(1.2) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支.

引理 3.1 假设$\sigma=0$, $a=1$, 且($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau\in[0,\tau_0)$时, 方程(2.3) 的根除0外, 其余根都具有负实部.

证 显然, $0$是方程(2.3) 的根.由引理2.5, 方程(2.3) 无纯虚根.用反证法证明.令$1-a=\delta$, 假设对某个$\tau^*\in(0,\tau_0)$方程(2.3) 有一个根具有正实部, 记为$\lambda_0=\upsilon_0+{\rm i}\zeta_0$.设$\lambda(\delta,\tau)=\upsilon(\delta,\tau)+{\rm i}\zeta(\delta,\tau)$是方程(2.3) 的根, 且满足$\upsilon(\delta=0,\tau^*)=\upsilon_0>0$和$\zeta(\delta=0,\tau^*)=\zeta_0$.因为$\upsilon(\delta,\tau)$关于$\delta$连续, 所以当$\delta\in(0,\kappa_1)$时, 存在$\kappa_1>0$使得$\upsilon(\delta,\tau^*)>0$.又$\lim\limits_{\delta\to0}{\tau_0(\delta)}=\tau_0$, 所以当$\delta\in(0,\kappa_2)$, $0<\gamma_0\leq\tau_0-\tau^*$时, 存在$\kappa_2>0$使得$|\tau_0(\delta)-\tau_0|<\gamma_0$.因此可得$\tau^*\in(0,\tau_0(\delta))$.记$\kappa=\min{\{\kappa_1,\kappa_2}\}$, 所以当$\delta\in(0,\kappa)$时, $\upsilon(\delta,\tau^*)>0$, $\tau^*\in(0,\tau_0(\delta))$.与引理2.5矛盾.引理证毕.

定理 3.1 假设$\sigma=0$, $a=1$, 且($H_2$)或者($H_3$)成立, 则当$\tau=\tau_0$时, 方程(2.3) 的根除0和$\pm {\rm i}\omega_0$外, 其余根都具有负实部.

证 显然, 0是方程(2.3) 的根.由引理2.5, $\pm {\rm i}\omega_0$是方程(2.3) 的根.假设当$\tau=\tau_0$时, 方程(2.3) 有一个根具有正实部, 记为$\lambda_0=\upsilon_0+{\rm i}\zeta_0$.设$\lambda(\tau)=\upsilon(\tau)+ {\rm i}\zeta(\tau)$是方程(2.3) 的根, 且满足$\upsilon(\tau_0)=\upsilon_0>0$和$\zeta(\tau_0)=\zeta_0$.因此, 当$\tau\rightarrow\tau^-_0$时, 方程(2.3) 有一个具有正实部的根.这与引理3.1矛盾.定理证毕.

类似于引理3.1和定理3.1的证明, 可以得到下面两个结论.

引理 3.2 假设$a=1$, $F(\omega)$至少有一个正零点.

(1) 如果$(H_1)$成立, 则当$\sigma\in[0,\sigma_0)$时, 方程(2.1) 的根除0外, 其余根都具有负实部.

(2) 如果$(H_2)$或者$(H_3)$成立, 且$\tau\in[0,\tau_0)$, 则当$\sigma\in[0,\sigma_0)$时, 方程(2.1) 的根除0外, 其余根都具有负实部.

定理 3.2 假设$a=1$, $F(\omega)$至少有一个正零点.

(1) 假设$(H_1)$成立, 则当$\sigma=\sigma_0$时, 方程(2.1) 的根除0和$\pm {\rm i}\omega_0$外, 其余根都具有负实部.

(2) 如果$(H_2)$或者$(H_3)$成立, 且$\tau\in[0,\tau_0)$, 则当$\sigma=\sigma_0$时, 方程(2.1) 的根除0和$\pm {\rm i}\omega_0$外, 其余根都具有负实部.

本小节我们应用中心流形理论和规范型方法研究Hopf分支的性质^[10], 即分支的方向和分支周期解的稳定性.假设Re$\frac{{\rm d}\lambda(\sigma)}{{\rm d}\sigma}|_{\sigma=\tilde{\sigma}}\neq0$, 其中$\tilde{\sigma}\in\{\sigma_k^j:k=1,2,\cdots,s;j=0,1,2,\cdots\}$.

做时间尺度变换$t \to \frac{t}{\sigma}$, 系统(1.2) 变为

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -\sigma a(x+y)+\sigma K_1\Big[x(t)-x\Big(t-\frac{\tau}{\sigma}\Big)\Big],\\ \dot{y} = -\sigma(y+axz)+\sigma K_2[y(t)-y(t-1)],\\ \dot{z} = \sigma(b+axy).\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(4.1)

系统(4.1) 在平衡点$S_1$的线性化为

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -\sigma a(x+y)+\sigma K_1\Big[x(t)-x\Big(t-\frac{\tau}{\sigma}\Big)\Big],\\ \dot{y} = -\sigma(x+y+\sqrt{ab}z)+\sigma K_2[y(t)-y(t-1)],\\ \dot{z} = \sigma\sqrt{ab}(y-x),\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$

(4.2)

非线性项为

$\begin{eqnarray}\ f=\sigma a\left(\begin{array}{ccc} 0\\ -xz\\ xy\\ \end{array}\right). \end{eqnarray}$

(4.3)

系统(4.2) 的特征方程为

$\begin{eqnarray} &&\nu^3 + \sigma(1+a-K_1-K_2) \nu^2 + \sigma^2(ab+K_1K_2-K_1-aK_2) \nu \\ &&+\sigma^3(2a^2b-abK_1) +K_1\sigma[\nu^2+\sigma(1-K_2)\nu+ab\sigma^2]{\rm e}^{-\frac{\tau}{\sigma}\nu}\\ &&+K_2\sigma[\nu^2+\sigma(a-K_1)\nu]{\rm e}^{-\nu}+K_1K_2\sigma^2\nu {\rm e}^{-(1+\frac{\tau}{\sigma})\nu}=0. \end{eqnarray}$

(4.4)

由方程(2.1) 和(4.4) 可得$\nu=\tau\sigma$, 当$\sigma=\tilde{\sigma}$ ($k=1,2,\cdots,s$; $j=0,1,2,\cdots$)时, 方程(4.4) 有两个根$\pm {\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k$, 且横截条件成立.令$\sigma=\tilde{\sigma}+\mu$, 则$\mu=0$是方程(4.1) 的Hopf分支值.

对$\varphi\in C\big([-1, 0]<,{\Bbb R}^3\big)$, 令

$\begin{eqnarray} L_{\mu}\varphi &= &(\tilde{\sigma}+\mu) \left(\begin{array}{ccc} K_1-a&-a&0\\ -1&K_2-1&-\sqrt{ab}\\ -\sqrt{ab}&\sqrt{ab}&0\\ \end{array}\right) \varphi(0)-(\tilde{\sigma}+\mu) \left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&K_2&0\\ 0&0&0\\ \end{array}\right)\\ &&\varphi(-1)\\ &&-(\tilde{\sigma}+\mu) \left(\begin{array}{ccc} 0&K_1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{array}\right)\varphi(-\frac{\tau}{\tilde{\sigma}}), \end{eqnarray}$

(4.5)

$\begin{equation} f(\mu ,\varphi) = a(\tilde{\sigma}+\mu)\left(\begin{array}{ccc} 0\\ -\varphi_1(0)\varphi_3(0)\\ \varphi_1(0)\varphi_2(0)\\ \end{array}\right). \end{equation}$

(4.6)

由Riesz表示定理, 存在有界变差函数矩阵$\eta(\theta,\mu):[-1, 0]\rightarrow {\Bbb R}^{3^3}$使

$\begin{equation} L_{\mu}\varphi=\int_{-1}^{0} {\rm d}\eta(\theta,\mu)\varphi(\theta),\ \ \varphi \in C\big([-1, 0], {\Bbb R}^3\big). \end{equation}$

(4.7)

对$\varphi\in C^1\big([-1, 0],C^3\big)$, 令

$\begin{equation} A(\mu)\varphi=\left\{\begin{array}{ll} {\rm d}\varphi(\theta)/{\rm d}\theta,& \theta \in \left [-1,0 \right ),\\ \int_{-1}^{0}{\rm d}\eta(t,\mu)\varphi(t),& \theta=0, \end{array}\right. \end{equation}$

(4.8)

$\begin{equation} R(\mu)\varphi=\left\{\begin{array}{ll} 0,& \theta \in \left [-1,0 \right ),\\ f(\mu,\varphi),& \theta=0. \end{array}\right. \end{equation}$

(4.9)

所以方程(4.1) 变为

$\begin{equation} \dot{u}_t=A(\mu)u_t+R(\mu)u_t, \end{equation}$

(4.10)

其中$u=(x,y,z)^T$, $u_t=u(t+\theta)$, $\theta \in [-1, 0]$.

对$\varphi \in C\big([-1, 0],(C^3)^*\big)$和$\psi\in C^1\big([0, 1],C^3\big)$, 定义

$\begin{equation} A^*\psi(s)=\left\{\begin{array}{ll} -{\rm d}\psi(s)/{\rm d}s,&s\in \left(0,1 \right],\\ \int_{-1}^{0}\psi(-t){\rm d}\eta(t,0),&s=0, \end{array}\right. \end{equation}$

(4.11)

$\begin{equation} \langle \psi,\varphi \rangle= \overline{\psi}(0)\varphi(0)-\int_{-1}^{0}\int_{\xi=0}^{\theta} \overline{\psi}(\xi-\theta){\rm d}\eta(\theta)\varphi(\xi)d\xi, \end{equation}$

(4.12)

其中$\eta(\theta)=\eta(\theta,0)$, $A^*$和$A(0)$是共轭算子.所以$\pm {\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k$是$A(0)$的特征值.这样, 它们也是$A^*$的特征值.直接计算可得, $A(0)$和$A^*$对应于i$\tilde{\sigma}\beta_k$和$-{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k$的特征向量分别为

$ q(\theta)=\left( 1,\xi,\eta \right)^T{\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta}= \left( 1, -\frac{{\rm i}\beta_k+a-K_1}{a+K_1{\rm e}^{-{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}}}, -\frac{\sqrt{ab}({\rm i}\beta_k+2a-K_1+K_1{\rm e}^{-{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}})}{{\rm i}\beta_k(a+K_1{\rm e}^{-{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}})} \right)^T{\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta} $

和

$ q^*(s)=D\left( 1, \xi^*, \eta^* \right){\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_ks}= D\left( 1, \frac{{\rm i}\beta_k(K_1-a)-\beta_k^2}{{\rm i}\beta_k+ab}, \frac{\sqrt{ab}({\rm i}\beta_k+K_1-a)}{{\rm i}\beta_k+ab} \right){\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_ks}, $

其中

$ D=\frac{1}{1+\bar{\xi}\xi^*+\bar{\eta}\eta^*-K_1\tau \bar{\xi}{\rm e}^{{\rm i}\beta_k\tau}-K_2\tilde{\sigma}\bar{\xi}\xi^* {\rm e}^{{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}}}. $

且$\langle q^*,q \rangle=1$, $\langle q^*,\overline{q} \rangle=0.$

当$\mu=0$时, 令$u_t$是方程(4.10) 的解, 定义

$ z_t=\langle q^*,u_t \rangle,\ \ w(t,\theta)=u_t(\theta)-2{\rm Re}\{z(t)q(\theta)\}. $

在中心流形${\cal C}_0$上

$ w(t,\theta)=w \big(z(t),\overline{z}(t),\theta\big)=w_{20}(\theta)\frac{z^2}{2}+w_{11}(\theta)z\overline{z}+ w_{02}(\theta)\frac{\overline{z}^2}{2}+w_{30}(\theta)\frac{z^3}{6}+\cdots, $

其中$z$和$\overline{z}$是${\cal C}_0$沿方向$q^*$和$\overline{q}^*$的局部坐标.因为$\mu=0$, 所以对方程(4.10) 的解$u_t\in{\cal C}_0$, 有

$\begin{eqnarray} \dot{z}(t)&=&{\rm i}\tau_0\omega_0z+\big \langle q*(\theta),f\big(w(z,\overline{z},\theta)+2{\rm Re}\{z(t)q(\theta)\}\big)\big\rangle \\ &=&{\rm i}\tau_0\omega_0z+\overline{q}^*(0)f\big(w(z,\overline{z},0)+2{\rm Re}\{z(t)q(0)\}\big) \\ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}&{\rm i}\tau_0\omega_0z+\overline{q}^*(0)f_0(z,\overline{z}). \end{eqnarray}$

(4.13)

即

$\begin{equation} \dot{z}(t)={\rm i}\tau_0\omega_0z(t)+g(z,\overline{z}), \end{equation}$

(4.14)

其中

$\begin{eqnarray} f_0(z,\overline{z})&=&f_{z^2}\frac{z^2}{2}+ f_{\overline{z}^2}\frac{\overline{z}^2}{2}+f_{z\overline{z}}z\overline{z}+f_{z^2\overline{z}}\frac{z^2\overline{z}}{2}+\cdots, \end{eqnarray}$

(4.15)

$\begin{eqnarray} g(z,\overline{z})&=&\overline{q}^*(0)f_0\big(w(z,\overline{z},0)+2{\rm Re}\{z(t)q(0)\}\big)\\ &=&g_{20} \frac{z^2}{2}+g_{11} z \overline{z} + g_{02} \frac{\overline{z}^2}{2} + g_{21} \frac{z^2\overline{z}}{2}+\cdots. \end{eqnarray}$

(4.16)

比较(4.13) 和(4.14) 式的系数可得

$\begin{equation} g_{20}=\overline{q}^*(0)f_{z^2},\ g_{11}=\overline{q}^*(0)f_{z\overline{z}},\ g_{02}=\overline{q}^*(0)f_{\overline{z}^2},\ g_{21}=\overline{q}^*(0)f_{z^2\overline{z}}. \end{equation}$

(4.17)

所以由(4.10) 和(4.14) 式可得

$\begin{eqnarray} \dot{w}&=&\dot{u}_t-\dot{z}q-\dot{\overline{z}}\overline{q}\\ &=&\left\{\begin{array}{ll} A w-2{\rm Re}\{\overline{q}^*(0)f_0q(\theta)\},&-1\le\theta<0,\\ A w - 2{\rm Re}\{\overline{q}^*(0)f_0q(0)\}+f_0,&\theta=0, \end{array}\right.\\ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}&A w +H(z,\overline{z},\theta), \end{eqnarray}$

(4.18)

其中

$\begin{equation} H(z,\overline{z},\theta)=H_{20}\frac{z^2}{2}+H_{11}(\theta)z\overline{z}+H_{02}(\theta)\frac{\overline{z}^2}{2}+\cdots. \end{equation}$

(4.19)

由(4.18) 和(4.19) 式可得

$\begin{equation} \begin{array}{l}(A-2{\rm i}\tau_0\omega_0I)w_{20}(\theta)=-H_{20}(\theta),\ A w_{11}(\theta)=-H_{11}(\theta),\\ (A-2{\rm i}\tau_0\omega_0I)w_{02}(\theta)=-H_{02}(\theta). \end{array} \end{equation}$

(4.20)

又

$ u_{t}(\theta)=w(z,\overline{z},\theta)+z q(\theta)+\overline{zq}(\theta), $

所以

$\begin{eqnarray*} &&x(t)=z+\bar{z}+w_{20}^{(1)}(0)\frac{z^2}{2}+w_{11}^{(1)}(0)z\overline{z}+w_{02}^{(1)}(0)\frac{\overline{z}^2}{2}+\cdots,\\ &&y(t)=\xi z+\bar{\xi}\bar{z}+w_{20}^{(2)}(0)\frac{z^2}{2}+w_{11}^{(2)}(0)z\overline{z}+w_{02}^{(2)}(0)\frac{\overline{z}^2}{2}+\cdots,\\ &&z(t)=\eta z+\bar{\eta}\bar{z}+w_{20}^{(3)}(0)\frac{z^2}{2}+w_{11}^{(3)}(0)z\overline{z}+w_{02}^{(3)}(0)\frac{\overline{z}^2}{2}+\cdots. \end{eqnarray*}$

因此可得

$\begin{eqnarray} g_{20}&=&-2\bar{D}a\tilde{\sigma}(\bar{\eta^*}\xi-\bar{\xi^*}\eta),\\ g_{11}&=&2\bar{D}a\tilde{\sigma}(\bar{\eta^*}{\rm Re}\{\xi\}-\bar{\xi^*}{\rm Re}\{\eta\}),\\ g_{02}&=&-2\bar{D}a\tilde{\sigma}(\bar{\eta^*}\bar{\xi}-\bar{\xi^*}\bar{\eta}),\\ g_{21}&=&-\bar{D}a\tilde{\sigma}\bar{\xi^*}[2w^{(3)}_{11}(0)+w^{(3)}_{20}(0)+2\eta w^{(1)}_{11}(0)+\bar{\eta}w^{(1)}_{20}(0)]\\ &&+\bar{D}a\tilde{\sigma}\bar{\eta^*}[2w^{(2)}_{11}(0)+w^{(2)}_{20}(0)+2\xi w^{(1)}_{11}(0)+\bar{\xi}w^{(1)}_{20}(0)]. \end{eqnarray}$

(4.21)

当$\theta\in \left [-1,0 \right)$时, 有

$\begin{equation} H(z,\overline{z},\theta)=-2 {\rm Re}\{\overline{q}^*(0)f_0q(\theta)\}=-g q(\theta)-\overline{g q}(\theta). \end{equation}$

(4.22)

与(4.19) 式比较系数可得

$\begin{equation} H_{20}(\theta)=-g_{20}q(\theta)-\overline{g}_{02}\overline{q}(\theta),\ H_{11}(\theta)=-g_{11}q(\theta)-\overline{g}_{11}\overline{q}(\theta). \end{equation}$

(4.23)

因此, 计算可得

$\begin{eqnarray*} w_{20}(\theta)&=&\frac{{\rm i}g_{20}}{\tilde{\sigma}\beta_k}q(0){\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta} +\frac{{\rm i}\overline{g}_{02}}{3\tilde{\sigma}\beta_k}\overline{q}(0){\rm e}^{-{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta} +E_1{\rm e}^{2{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta},\\ w_{11}(\theta)&=&-\frac{{\rm i}g_{11}}{\tilde{\sigma}\beta_k}q(0){\rm e}^{{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta} +\frac{{\rm i}\overline{g}_{11}}{\tilde{\sigma}\omega_o}\overline{q}(0){\rm e}^{-{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta}+E_2, \end{eqnarray*}$

其中$E_1=(E^{(1)}_1,E^{(2)}_1,E^{(3)}_1)\in {\Bbb R}^3$和$E_2=(E^{(1)}_2,E^{(2)}_2,E^{(3)}_2)\in {\Bbb R}^3$是常向量.注意到

$ \Big(2{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_kI-\int_{-1}^0 {\rm e}^{2{\rm i}\tilde{\sigma}\beta_k\theta} {\rm d}\eta(\theta)\Big)E_1=f_{z^2},\ \ \Big(\int_{-1}^0{\rm d}\eta(\theta)\Big)E_2=-f_{z\overline{z}}, $

我们得到

$\begin{eqnarray*} &&E^{(1)}_1=\frac{2(\xi\sqrt{ab}+2{\rm i}\eta\beta_k)(a+K_1{\rm e}^{-2{\rm i}\tau\beta_k})}{A},\ \ E^{(1)}_2=\frac{(a+K_1){\rm Re}\{\xi\}}{a\sqrt{ab}},\\ &&E^{(2)}_1=-\frac{2(\xi\sqrt{ab}+2{\rm i}\eta\beta_k)(2{\rm i}\beta_k+a-K_1)}{A},\ \ E^{(2)}_2=\frac{(K_1-a){\rm Re}\{\alpha\}}{a\sqrt{ab}},\\ &&E^{(3)}_1=\frac{2}{A} \left|\begin{array}{ccc} 2{\rm i}\beta_k+a-K_1&a+K_1{\rm e}^{-2{\rm i}\tau\beta_k}& 0\\ 1 & 2{\rm i}\beta_k+1-K_2+{\rm e}^{-2{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}} &-\eta\\ \sqrt{ab}& -\sqrt{ab}&\xi\\ \end{array}\right|,\\ &&E^{(3)}_2=-\frac{1}{2a^2b} \left|\begin{array}{ccc} a-K_1&a+K_1& 0\\ 1 & 1 &-2{\rm Re}\{\eta\}\\ \sqrt{ab}& -\sqrt{ab}&2{\rm Re}\{\xi\}\\ \end{array}\right|, \end{eqnarray*}$

其中

$ A=\left|\begin{array}{ccc} 2{\rm i}\beta_k+a-K_1&a+K_1{\rm e}^{-2{\rm i}\tau\beta_k}& 0\\ 1 & 2{\rm i}\beta_k+1-K_2+{\rm e}^{-2{\rm i}\beta_k\tilde{\sigma}} &\sqrt{ab}\\ \sqrt{ab}& -\sqrt{ab}&2{\rm i}\beta_k\\ \end{array}\right|. $

因此可得

$\begin{eqnarray*} &&C_1(0)=\frac{\rm i}{2\tau_0\omega_0}\bigg(g_{20}g_{11}-2|g_{11}|^2-\frac{1}{3}|g_{02}|^2\bigg)+\frac{g_{21}}{2},\\ &&\beta_2=2{\rm Re}{C_1(0)},\ \ \mu_2=-\frac{Re{C_1(0)}}{\alpha'(\tau_0)},\\ &&T_2=-\frac{{\rm Im}C_1(0)+\mu_2{\rm Im}(\lambda'(\tilde{\sigma}))}{\beta_k\tilde{\sigma}}. \end{eqnarray*}$

由文献[12]知, $\mu_2$决定Hopf分支的方向:当$\mu_2>0(<0)$时, Hopf分支是前向(后向)的, 即当$\sigma>\tilde{\sigma}(<\tilde{\sigma})$时, 分支周期解存在. $\beta_2$决定分支周期解的稳定性:当$\beta_2<0(>0)$时, 分周期解是稳定(不稳定)的. $T_2$决定分支周期解的周期:当$T_2>0(<0)$时, 分支周期解的周期增加(减小).

取$a=1.79$, $b=4$, 则系统(1.2) 变为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = -1.79(x+y)+K_1[x(t)-x(t-\tau)],\\ \dot{y} = -y-1.79xz+K_2[y(t)-y(t-\sigma)],\\ \dot{z} = 4+1.79xy,\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.1)

它的平衡点为$S_1(1.4949,-1.4949,0.5587)$和$S_2(-1.4949,1.4949,0.5587)$.显然, 当$\tau=\sigma=0$或$K_1=K_2=0$时, 系统(5.1) 存在混沌吸引子(见图 1).

根据第2节的讨论, 我们取$K_1=K_2=-1$.当$\sigma=0$时, 由方程(2.8) 和引理2.5可得

$\begin{eqnarray} \omega_1=3.0282,\ \tau^j_1=1.5552+2.0749j\ (j=0,1,2,\cdots),\ \frac{{\rm Re}\lambda(\tau^j_1)}{{\rm d}\tau}>0, \end{eqnarray}$

(5.2)

$\begin{eqnarray} \omega_2=2.8121,\ \tau^j_2=0.5586+2.2343j\ (j=0,1,2,\cdots),\ \frac{{\rm Re}\lambda(\tau^j_2)}{{\rm d}\tau}<0. \end{eqnarray}$

(5.3)

计算可得

$\begin{eqnarray*} \tau^0_2&=&0.5586<\tau^0_1=1.5552<\tau^1_2=2.7929<\tau^1_1=3.6301<\tau^2_2=5.0272\\ &<&\tau^2_1=5.705<\tau^3_2=7.2615<\tau^3_1=7.7799<\tau^4_2=9.4924\\ &<&\tau^4_1=9.8548\\ &<&\tau^5_2=11.7301<\tau^5_1=11.9297<\tau^6_2=13.9644<\tau^6_1=14.0046\\ &<&\tau^7_2=16.1987. \end{eqnarray*}$

因此, 由定理2.2, (5.2) 式和(5.3) 式可得下面的结论.

结论 5.1 假设$\tau^j_k\ (k=1,2;j=0,1,2,\cdots)$如(2.8) 式定义, 且$\sigma=0$.

(1) 当$\tau\in[0,\tau^0_2)\cup\Big(\bigcup\limits^{5}_{i=0}(\tau^i_1,\tau^{i+1}_2)\Big)\cup(\tau^6_1,+\infty)$时, 平衡点$S_1$不稳定(见图 2).

(2) 当$\tau\in{\bigcup\limits_{i=0}^{6}}(\tau^i_2,\tau^{i}_1)$时, 平衡点$S_1$局部渐近稳定(见图 3).

(3) 当$\tau=\tau^j_k$, $k=1,2;j=0,1,2,\cdots$时, 系统(5.1) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支(见图 4).

取$\tau=0.7$, 由(2.10) 式可得$F(\beta)=0$仅有一个正实根$\beta_1=3.0377$.由(2.11) 式和引理2.7可得

$\begin{equation} \sigma^j_1=2.4621+2.0684j,\ \ \frac{ {\rm Re}\lambda(\sigma^0_1)}{{\rm d}\sigma}<0,\ \ j=0,1,2,\cdots. \end{equation}$

(5.4)

因此, 由定理2.3和(5.4) 式可得下面结论.

结论 5.2 假设$\sigma^j_1\ (j=0,1,2,\cdots)$如(5.4) 式定义.

(1) 当$\sigma\in[0,\sigma^0_1)$时, 平衡点$S_1$局部渐近稳定(见图 5).

(2) 当$\sigma=\sigma^j_1$, $j=0,1,2,\cdots$时, 系统(5.1) 在平衡点$S_1$处经历Hopf分支(见图 6).

根据第4节的符号可得$\tilde{\sigma}=1.221$, $\beta_1=3.0377$.再根据第4节的算法计算可得$\beta_2<0$, $\mu_2<0$.因此, Hopf分支是后向的, 分支周期解是局部渐近稳定的(见图 6).

最后, 我们通过数值模拟发现了一些有趣的现象.由结论5.1知, 当$\tau=0.1$, $\sigma=0$时, 平衡点$S_1$是不稳定的(实际上, 出现了混沌吸引子见图 2 (a)).但是如果在投资需求的变化率上增加时滞反馈项$K_2[y(t)-y(t-\sigma)]$.应用Matlab进行数值模拟, 我们得到了一些有趣的现象, 见图 7-9. 图 8和图 9更进一步的表明, 在投资需求的变化率上增加时滞反馈项$K_2[y(t)-y(t-\sigma)]$可以有效的控制金融市场的不稳定行为.

上述理论分析和数值模拟表明, 通过选取合适的反馈增益和时滞可以把混沌现象控制为稳定的平衡点或稳定的周期解, 即金融市场趋于一种稳定的平衡状态或以一种稳定的周期方式运行.这两种状态都可以有效的预测金融市场的未来状态, 是我们所希望看到的.另外, 在第3节我们讨论了Hopf-zero分支的存在性, 这是余维2的分支, 我们将来会对其进行更深入的研究, 关于高余维分支的研究可参考文献[11-12].