考虑双曲守恒律系统

$ \left\{\begin{array}{ll}\rho_t+\big(\rho (u-p)\big)_x=0,\\ (\rho u)_t+\big(\rho u(u-p)\big)_x=0,\end{array}\right . $

(1.1)

其中，$p=p(\rho)$, $\rho\geq0.$式子(1.1) 是属于非对称Keyfitz-Kranzer系统^{[13, 16]}

$ \left\{\begin{array}{ll}\rho_t+\big(\rho \phi(\rho,u_1,u_2,\cdots ,u_n)\big)_x=0,\\ (\rho u_{i})_t+\big(\rho u_i \phi(\rho,u_1,u_2,\cdots ,u_n)\big)_x=0, \,\,\,i=1,2,\cdots ,n\end{array}\right . $

(1.2)

的一种情形.方程(1.2) 是很有意义的, 因为它出现在各个领域, 如弹性理论、磁流体动力学和提高石油采收率.对于Delta激波, 非对称形式比对称形式更方便.式子(1.1) 也是由Aw和Rascle^[1]提出的交通流模型的一个变形, 其中$\rho$, $u>0$分别表示在道路上汽车的密度和速度.函数$p(\rho)$是光滑严格递增的, 且满足

$\rho p''(\rho)+2p' (\rho) >0,\,\,\,\,\,\,\rho>0. $

(1.3)

状态方程为

$p(\rho)=-\frac{1}{\rho},$

(1.4)

其中$\rho>0$.方程(1.4) 作为计算空气动力学中飞机机翼的提升力的一个适当的数学近似, 它是由Chaplygin^[4]和Tsien^[28]提出的.当密度趋向于无穷时, 声速$c=\frac{1}{\rho}$趋向于零.这种不寻常的属性允许在有限时间出现质量浓度. Chaplygin气体在某些宇宙学的理论中被认为是暗能量的一个可能模型^{[2-3, 9, 20]}.

在2014年, Guo, Zhang和Yin^[10]用分离$\delta$ -函数研究了Chaplygin气体方程的$\delta$ -激波的相互作用.最近, Shao和Huang^[21]用分离$\delta$ -函数法研究了A-R交通模型的$\delta$ -激波的相互作用.然而, 注意到目前为止相对比较少文章用分离$\delta$ -函数的方法研究方程组(1.1) 的$\delta$ -激波的相互作用.受文献[10, 21]的启发, 本文主要目的是利用类似的方法研究方程组(1.1) 和(1.4) 中$\delta$ -激波和接触间断所有可能的交互性.对于方程组(1.1) 和(1.4), Cheng^[7]解决了黎曼问题和证实了$\delta$激波解的存在唯一性.在这个模型中, $\delta$ -激波的形成展示了在宇宙进化中的一些现象, 比如黑洞的形成和发展, 宇宙的繁荣和膨胀等.对于$\delta$ -激波的相关研究, 可以参考文献[5-8, 10-15, 17-19, 21-27].

本文主要研究方程组(1.1) 和(1.4) 中$\delta$ -激波和接触间断所有可能的交互性.基本波的相互作用现在被公认为在理论、数字和应用的领域内扮演着添砖加瓦的战略性作用.因此, 这里考虑三个分段常初值

$\big(\rho,u\big)\big(t=0,x\big)= \left\{ \begin{array}{ll} ( \rho_{-},u_{-}) ,\,\,\,- \infty < x <-\varepsilon ,\\ ( \rho_{m},u_{m} ) ,\,\,\,-\varepsilon < x < \varepsilon,\\ ( \rho_{+},u_{+}) ,\,\,\,\varepsilon < x <+\infty, \end{array} \right. $

(1.5)

其中$\varepsilon \rightarrow 0$足够小, 根据相互性我们构造出全局解.在交互的过程中, $\delta$ -激波的强度已被完全计算.而且, 令$\varepsilon \rightarrow 0$, 我们可以得到扰动黎曼问题的解正好趋于相应的黎曼问题的解, 这就证明了黎曼解的稳定性.

最难解决的问题是其他基础波和$\delta$ -激波的相互性会产生$\delta(x)$和$H(x)$的乘积.为了克服这问题, 我们利用Nedeljkov和Oberguggenberger^[17-19]提出的沿着平面$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}} $上一条正则曲线的$\delta$ -函数的分离法.通过用分离$\delta$ -函数法, 这样分段光滑函数和不连续函数的乘积沿着这曲线才有意义, 且通过映射到通常的Radon-测度空间来定义微分.通过利用分离$\delta$ -函数法, 包括$\delta$ -激波和其他基本波的相互作用在文献[10-12, 19, 21, 23]中被广泛研究.

本文的结构如下.在第二节中, 介绍非对称Keyfitz-Kranzer系统(1.1) 和(1.4) 的黎曼问题.而且, 为了方便读者阅读, 也给出在平面$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}} $上的规则曲线上基于分离$\delta$ -测度的解的概念.在第三节, 当初值为三片段常状态时, 研究$\delta$ -激波和接触间断在不同情形下的相互性.可构造出全局解, 通过令$\varepsilon \rightarrow 0$, 分析黎曼解的稳定性.

在这一节里, 简单回顾方程组(1.1) 和(1.4) 的黎曼解, 初值为

$ (\rho,u)(0,x) =(\rho_{\pm}, u_{\pm}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\pm x> 0,$

(2.1)

其中$\rho_{\pm} >0$, 细节可参考文献[7].方程组(1.1) 和(1.4) 的特征值为

$ \lambda_{1}=u ,\,\,\,\,\,\,\,\lambda_{2}=u+\frac{1}{\rho}. $

(2.2)

相应的右特征向量分别为

$ \overrightarrow{r}_1=(1,0)^{T},\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow{r}_2=\big(1,\frac{1}{\rho^{2}}\big)^{T}. $

(2.3)

直接计算, 有

$ \nabla\lambda_{i}\cdot r_{i}\equiv 0,\,\,\,\,\,i=1,2. $

可得$\lambda_{1}$和$\lambda_{2}$都是线性退化的, 相应的基本波都是接触间断.

通常, 我们找出自相似解

$(\rho,u)(t,x)=(\rho,u)(\xi),\,\,\,\,\xi=\frac{x}{t}.$

(2.4)

那么黎曼问题(1.1), (1.4) 和(2.1) 转化为以下常微分方程的边值问题

$ \left\{\begin{array}{ll} -\xi\rho_{\xi}+(\rho u +1)_{\xi}=0,\\ -\xi(\rho u)_{\xi}+(\rho u^{2}+u)_{\xi}=0 \end{array}\right . $

(2.5)

和

$(\rho,u)(\pm\infty)=(\rho_{\pm},u_{\pm}).$

(2.6)

对光滑解, 方程组(2.5) 可写成

$ \left(\begin{array}{cccc}u-\xi &\rho\\-\xi u+u^{2} &-\xi \rho+2\rho u+1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\rho_{\xi}\\u_{\xi} \end{array}\right)=0.$

(2.7)

它有一般解(常状态)

$(\rho,u)(\xi)={\mbox{ constant} } \,\,\,\,\,(\rho> 0),$

或奇异解

$ \xi=u=u_{-} $

和

$ \xi=u+\frac{1}{\rho}=u_{-}+\frac{1}{\rho_{-}}. $

(2.8)

对于在$\xi=\sigma$有界间断上, R-H条件为

$\left\{ \begin{array}{ll} -\sigma[\rho]+[\rho u+1]=0,\\ -\sigma[\rho u]+[\rho u^{2}+u]=0, \end{array} \right. $

(2.9)

其中$[\rho]=\rho -\rho_{-}$.求解(2.9) 式, 有

$\sigma=u=u_{-},$

$\sigma=u+\frac{1}{\rho}=u_{-}+\frac{1}{\rho_{-}}. $

(2.10)

由(2.8) 和(2.10) 式, 我们注意到稀疏波和激波在相平面上是一致的, 它相应的接触间断为

$J_{1}:\xi=u=u_{-},$

(2.11)

$J_{2}:\xi=u+\frac{1}{\rho}=u_{-}+\frac{1}{\rho_{-}}.$

(2.12)

在相平面中, 经过点$(\rho_{-},u_{-}),$画出曲线(2.12) 中对于$\rho>0$的这部分, 记为$J_{2}.$它有两条渐近线分别为$u=u_{-}+\frac{1}{\rho_{-}}$和$\rho=0.$经过点$\big(\rho_{-},u_{-}-\frac{1}{\rho_{-}}\big),$画出曲线$u+\frac{1}{\rho}=u_{-},$记为$S.$易得相平面被分为五个区域, 分别是$I,II,III,IV$和$V$.

对任意一个给定的右状态$(\rho_{+},u_{+}),$可构造出方程(1.1) 和(2.1) 的黎曼解.当$(\rho_{+},u_{+})\in I \cup II \cup III \cup IV,$黎曼解包含一个1 -接触间断, 一个2 -接触间断, 和一个非真空中间常状态$(\rho_{*},u_{*})$, 其中

$u_{*}=u_{-},\,\,\, \frac{1}{\rho_{*}}=u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}-u_{-}.$

(2.13)

当$(\rho_{+},u_{+})\in V,$从初值出发的特征线将会在区域$\Omega=\big\{(x,t):u_{+}+ \frac{1}{\rho_{+}}< \frac{x}{t} < u_{-}\big\}$内重合.所以, 奇性会在区域$\Omega$内产生.易知奇性不可能是有限振幅的跳跃, 因为在有界跳跃上时, 奇性是不满足于R-H条件的.换句话说, 不存在这样的解, 它是分段光滑和有界.受文献[26]的启发, 我们寻找狄拉克$\delta$ -分布的解.事实上, $\delta$ -激波的出现是由于线性退化特征线的重合.

对于方程组(1.1) 和(1.4), 在一定分布下, 解的定义可以由如下给出.

定义2.1 一对$(\rho,u)$在一定分布下构成(1.1) 和(1.4) 的解, 如果它对任意检验函数$\varphi\in C^{\infty}_{0}({\Bbb R}^{+}\times {\Bbb R}^{1})$都满足

$ \left\{ \begin{array}{ll} \int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(\rho\varphi_{t}+\big(\rho(u-p)\big)\varphi_{x}){\rm d}x{\rm d}t=0,\\[3mm] \int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}((\rho u)\varphi_{t}+(\rho u(u-p))\varphi_{x}){\rm d}x{\rm d}t=0. \end{array} \right. $

(2.14)

另外, 我们以下面的方式定义二维加权$\delta$函数.

定义2.2 在光滑曲线$ S=\{(t(s),x(s)):a<s<b\}$上的一个二维加权$\delta$函数$w(s)\delta_{S}$可定义为:对任意检验函数$\varphi\in C^{\infty}_{0}({\Bbb R}^{2})$

$ \langle w(s)\delta_{S},\varphi\rangle=\int_{a}^{b}w(s) \varphi(t(s),x(s)){\rm d}s.$

考虑方程组(1.1) 和(1.4) 如下形式的解

$(\rho,u)(t,x)=\left\{ \begin{array}{ll} (\rho_{-},u_{-}),& \hbox{$x<\sigma t $,} \\ (w(t)\delta(x-\sigma t),\sigma),& \hbox{$x=\sigma t$,} \\ (\rho_{+},u_{+}),& \hbox{$x>\sigma t$,} \end{array} \right. $

(2.15)

其中$\sigma$是一个常数, $w(t)\in C^{1}[0,+\infty)$和$\delta(\cdot)$表示标准Dirac测度. $x(t)$, $w(t)$和$\sigma$分别表示$\delta$ -激波的位置, 权重和速度, 满足如下的广义R-H条件

$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t}=\sigma,\\[3mm] \frac{{\rm d}w(t)}{{\rm d}t}=\sigma [\rho]-[\rho u+1],\\[3mm] \frac{{\rm d}(w(t)\sigma)}{{\rm d}t}=\sigma [\rho u]-[\rho u^{2}+u], \end{array} \right. $

(2.16)

其中$[\rho]= \rho_{+}-\rho_{-}$, 其初值为

$(x,w)(0) = (0,0).$

解(2.16) 式, 当$[\rho]\neq0$时, 有

$x(t)=\frac{[\rho u]+\sqrt{[\rho u]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+u]}}{[\rho]}t,$

$\sigma=\frac{[\rho u]+\sqrt{[\rho u]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+u]}}{[\rho]},\,\,\,w(t)=\sqrt{[\rho u]^{2}-[\rho][\rho u^{2}+u]}t.$

(2.17)

当$[\rho]=0$时, 有

$x(t)=\frac{u_{-}+u_{+}+\frac{1}{\rho_{-}}}{2}t,\,\,\,\sigma=\frac{u_{-}+u_{+}+\frac{1}{\rho_{-}}}{2},$

$w(t)=\rho_{-}(u_{-}-u_{+})t.$

(2.18)

我们可证实$\delta$ -激波满足以下熵条件

$u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}\leq \sigma\leq u_{-},$

(2.19)

这意味$\delta$ -激波两侧的所有特征线都进去.于是我们得到了非对称Keyfitz-Kranzer系统的黎曼问题的全局解.

接下来, 简要介绍$\delta$ -函数的左右边概念, 这个概念在后续的讨论中会被广泛利用, 其具体的研究可参考文献[10-12, 18-19, 21, 23-24].

分段光滑曲线$\Gamma$把$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}} $划分成两个开集合$\Omega_{1}$和$\Omega_{2}$, 且$\Omega_{1}\bigcap\Omega_{2}=\emptyset$, $\Omega_{1}\bigcup\Omega_{2}=\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}}$.令$C(\Omega_{i})$和$M(\Omega_{i})$分别是带有$L^{\infty}$ -范数的有界连续实值函数空间和在$\Omega_{i}$ $(i=1,2)$上的测度空间.记$C_{\Gamma}=(C(\Omega_{1}),C(\Omega_{2}))$, $M_{\Gamma}=(M(\Omega_{1}),M(\Omega_{2}))$, 那么$G=(G_{1}, G_{2})\in C_{\Gamma}$和$D=(D_{1},D_{2})\in M_{\Gamma}$的乘积定义为一个元素$GD=(G_{1}D_{1},G_{2}D_{2})\in M_{\Gamma}$, 其中$G_{i}D_{i}(i=1,2)$被定义为一个连续函数和一个测度通常的乘积.所以, 上述的乘积定义是有意义的.

我们把在$\overline{\Omega_{i}} $的测度当做支集在$\overline{\Omega_{i}}(i=1,2) $上的$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}} $的测度.根据这点, 可得映射$m: M_{\Gamma}\rightarrow M(\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}}) $, 使得$m(D)=D_{1}+D_{2}$.同样, 可得$m(GD)=G_{1}D_{1}+G_{2}D_{2}$.

本文中解的概念描述如下:在空间进行$M_{\Gamma}$乘法和复合, 然后在微分分布空间中, 利用映射$m: M_{\Gamma}\rightarrow M(\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}}) $.

在这节中, 我们考虑三片段常数初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5), 构造出全局解.在交互性的过程, 计算出$\delta$ -激波的强度.初值(1.5) 是相对应黎曼初值(2.1) 的一个扰动.我们考虑, 当$\varepsilon\rightarrow0$, $(\rho_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(x,t)$的极限是否就是系统(1.1), (1.4) 和(2.1) 黎曼解, 其中$(\rho_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(x,t)$是系统(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解.我们将解决这个问题, 同时构造出解来.

根据从起点分别为$(-\varepsilon,0)$和$(\varepsilon,0)$的$\delta$ -激波和接触间断的不同组合, 我们分四种情形讨论.在各种情况下, 仅考虑$\rho_{+}\neq\rho_{-}$, 当$\rho_{+}=\rho_{-}$时, 也可以类似说明.

情形3.1 $u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\leq u_{-},\,u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}\leq u_{m}$.

在这一情况中, 当$t$足够小时, 初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解可简要写成(见图 3.1)

$(\rho_{-},u_{-})+\delta S_{1}+(\rho_{m},u_{m})+\delta S_{2}+(\rho_{+},u_{+}),$

其中“+”表示“跟随”.

两个$\delta$ -激波($\delta S_{1}$和$\delta S_{2}$)的传播速度分别是$\sigma_{1}$和$\sigma_{2}$, 其中$\sigma_{1}$和$ \sigma_{2}$分别满足

$u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\leq \sigma_{1}\leq u_{-},\,\,\,\,\,\,u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}\leq \sigma_{2} \leq u_{m}. $

于是, 易知$\delta$ -激波$\delta S_{1}$在有限的时间内会赶追上$\delta S_{2}$.交点$(x_{1},t_{1})$可由以下式子决定

$ \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+\varepsilon=\sigma_{1}t_{1} ,\\ x_{1}-\varepsilon=\sigma_{2}t_{1}, \end{array}\right .$

(3.1)

其中

$\sigma_{1}=\frac{\rho_{m} u_{m}-\rho_{-} u_{-}+\frac{{\rm d}w_{1}(t)}{{\rm d}t}}{\rho_{m}-\rho_{-}},\,\,\,\,\,\,\,w_{1}(t)=\sqrt{\rho_{-}\rho_{m}(u_{m}-u_{-})^2+(u_{-}-u_{m})(\rho_{m}-\rho_{-})}t_{1};$

$\sigma_{2}=\frac{\rho_{+} u_{+}-\rho_{m} u_{m}+\frac{{\rm d}w_{2}(t)}{{\rm d}t}}{\rho_{+}-\rho_{m}},\,\,\,\,\,\,\,w_{2}(t)=\sqrt{\rho_{+}\rho_{m}(u_{+}-u_{m})^2+(u_{m}-u_{+})(\rho_{+}-\rho_{m})}t_{1}.$

求解(3.1) 式, 有

$(x_{1},t_{1})=\Big(\frac{2\varepsilon \sigma_{1}}{\sigma_{1}-\sigma_{2}}-\varepsilon,\frac{2\varepsilon}{\sigma_{1}-\sigma_{2}}\Big).$

(3.2)

在交点$(x_{1},t_{1})$处, 会产生如下形式新的初值

$ u|_{t=t_{1}}=\left\{\begin{array}{ll} u_{-},\,\,\,\,x<x_{1},\\ u_{+},\,\,\,\,x>x_{1}, \end{array},\,\,\,\,\rho|_{t=t_{1}}=\left\{\begin{array}{ll} \rho_{-},\,\,\,\,x<x_{1},\\ \rho _{+},\,\,\,\,x>x_{1},\end{array}\right.+\beta(t_{1})\delta(x_{1},t_{1}),\right. $

(3.3)

其中$\beta(t_{1})$表示在时刻$t_{1}$时, $\delta$ -激波$\delta S_{1} $和$\delta S_{2} $的强度之和, 计算可得

$ \beta(t_{1})=\sqrt{\rho_{-}\rho_{m}(u_{m}-u_{-})^2+(u_{-}-u_{m})(\rho_{m}-\rho_{-})}t_{1} $

$ \hspace{18mm}+ \sqrt{\rho_{+}\rho_{m}(u_{+}-u_{m})^2+(u_{m}-u_{+})(\rho_{+}-\rho_{m})}t_{1}.$

(3.4)

在相交之后, 一个新的$\delta$ -激波生成, 记为$\delta S_{3}$, 我们可表示成

$ \left\{\begin{array}{ll} u(x,t)=u_{-}+(u_{+}-u_{-})H ,\\ \rho (x,t)=\rho_{-}+(\rho_{+}-\rho_{-})H+\beta_{-}(t)D^{-}+\beta_{+}(t)D^{+}, \end{array}\right .$

(3.5)

其中$H$表示Heaviside函数, $\beta(t)D=\beta_{-}(t)D^{-}+\beta_{+}(t)D^{+}$表示分离的$\delta$ -函数.它们都在直线$x=x_{1}+(t-t_{1})\sigma_{3}$上, 也就是说, 它们是直线$x=x_{1}+(t-t_{1})\sigma_{3}$上的函数, 其中$\sigma_{3}$表示$\delta S_{3}$的传播速度.尽管它们都是同一条直线上, 但$D^{-}$表示集合$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}}\cap \{(x,t)|x\leq x_{1}+(t-t_{1})\sigma_{3}\} $的$\delta$ -测度, $D^{+}$表示集合$\overline{{\Bbb R}_{+}^{2}}\cap \{(x,t)|x\geq x_{1}+(t-t_{1})\sigma_{3}\} $的$\delta$ -测度.

由(3.5) 式, 计算有

$\rho_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}-\rho_{-})+\beta_{-}' (t)+\beta_{+}' (t))\delta-\sigma(\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.6)

$(\rho u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})\delta+(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.7)

$(\rho u)_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})+u_{-}\beta_{-}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t))\delta -\sigma(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.8)

$(\rho u^{2}+u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{-}u_{-}^{2}+u_{+}-u_{-})\delta+(u_{-}^{2}\beta_{-}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t))\delta' .$

(3.9)

把(3.6)-(3.7) 式代入系统(1.1) 的第一个方程, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}-\rho_{-})+\beta_{-}' (t)+\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-}=0, \\ -\sigma(\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t))+u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right .$

(3.10)

把(3.8)-(3.9) 式代入系统$(1.1)_2$, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})+u_{-}\beta_{-}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{-}u_{-}^{2}+u_{+}-u_{-}=0, \\ -\sigma(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))+u_{-}^{2}\beta_{-}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right .$

(3.11)

由(3.10) 和(3.11) 式, 可看出方程的个数已超过了计算所需的方程个数.注意到初值条件(3.4), 从(3.10) 式, 计算得

$\beta(t)=\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{1})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{-}(u_{+}-u_{-})^2+(\rho_{+}-\rho_{-})(u_{-}-u_{+})}(t-t_{1}). $

(3.12)

同理, 由$(3.11)_1$和$(3.10)_2$式, 有

$\beta(t)=\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{1})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{-}(u_{+}-u_{-})^2+(\rho_{+}-\rho_{-})(u_{-}-u_{+})}(t-t_{1}). $

(3.13)

这表明方程(3.10) 和(3.11) 是兼容的.

由(3.3) 式易知当$\varepsilon\rightarrow0$时, $(x_{1},t_{1})$趋向于$(0,0)$, 并且由(3.4) 式有$\beta(t_{1})\rightarrow0$.于是, (1.1), (1.4) 和(1.5) 式解的极限仍是一个$\delta$ -激波, 这正是系统(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

情形3.2 $u_{-}\leq u_{m}+\frac{1}{\rho _{m}}, u_{+}+\frac{1}{\rho _{+}}\leq u_{m}$.

在这种情况下, 当$t$足够小时, 初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解可简要写成(见图 3.2.1, 图 3.2.2或图 3.2.3)

$(\rho_{-},u_{-})+J_{1}^{-}+(\rho_{1},u_{1})+J_{2}^{-}+(\rho_{m}, u_{m})+\delta S_{1}+(\rho_{+},u_{+}).$

并且, 由(2.10) 式, 有

$u_{1}=u_{-},\,\,\,\,\,\frac{1}{\rho_{1}}=u_{m}-u_{-}+\frac{1}{\rho_{m}}. $

(3.14)

易知2 -接触间断$J_{2}^{-}$的传播速度是$u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}$, $\delta$ -激波$\delta S_{1}$的传播速度是$\sigma_{1}$, 且$\sigma_{1}$满足$u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}\leq \sigma_{1}\leq u_{m}.$那么, $J_{2}^{-}$和$\delta S_{1}$在有限的时间内将会相交, 其交点$(x_{1},t_{1})$可表达成

$ \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+\varepsilon=\big(u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\big)t_{1} ,\\[2mm]x_{1}-\varepsilon=\sigma_{1}t_{1}. \end{array}\right .$

(3.15)

这说明

$(x_{1},t_{1})=\bigg(\frac{2\varepsilon \big(u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\big)}{u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}-\sigma_{1}}-\varepsilon,\frac{2\varepsilon}{u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}-\sigma_{1}}\bigg),$

(3.16)

其中

$\sigma_{1}=\frac{\rho_{+} u_{+}-\rho_{m} u_{m}+\frac{{\rm d}w_{1}(t)}{{\rm d}t}}{\rho_{+}-\rho_{m}},\,\,\,\,\,\,\,w_{1}(t)=\sqrt{\rho_{+}\rho_{m}(u_{+}-u_{m})^2+(\rho_{+}-\rho_{m})(u_{m}-u_{+})}t_{1}.$

$\delta S_{1}$的强度可用如下公式计算

$\beta (t_{1})=w_{1}(t_{1})=\sqrt{\rho_{+}\rho_{m}(u_{+}-u_{m})^2+(\rho_{+}-\rho_{m})(u_{m}-u_{+})}t_{1}.$

(3.17)

那么在时刻$t=t_{1}$时, 有一个新的黎曼问题, 其初值为

$ (\rho,u)(t_{1},x)=\left\{\begin{array}{ll} (\rho _{1},u_{1}),\,\,\,\,x<x_{1},\\ (\rho _{+},u_{+}),\,\,\,\,x>x_{1}.\end{array} \right .$

(3.18)

为讨论这种情形, 我们进一步分成如下两种子情形来讨论.

子情形3.2.1 $u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}<u_{-}.$

在这种情形下, 在相交后, 出现一个新的$\delta$ -激波, 记为$\delta S_{2}$ (看图 3.2.1).和情形3.1类似, $\delta S_{2}$可表示成

$ \left\{\begin{array}{ll} u(x,t)=u_{1}+(u_{+}-u_{1})H ,\\ \rho (x,t)=\rho_{1}+(\rho_{+}-\rho_{1})H+\beta_{1}(t)D^{-}+\beta_{+}(t)D^{+}. \end{array}\right .$

(3.19)

由(3.19) 式, 计算出

$\rho_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}-\rho_{1})+\beta_{1}' (t)+\beta_{+}' (t))\delta-\sigma(\beta_{1}(t)+\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.20)

$(\rho u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}-\rho_{1}u_{1})\delta+(u_{1}\beta_{1}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.21)

$(\rho u)_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{1}u_{1})+u_{1}\beta_{-}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t))\delta -\sigma(u_{1}\beta_{1}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.22)

$(\rho u^{2}+u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{1}u_{1}^{2}+u_{+}-u_{1})\delta+(u_{1}^{2}\beta_{1}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t))\delta' .$

(3.23)

把(3.20) 和(3.21) 式代入方程组(1.1) 的第一个方程, 有如下关系

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}-\rho_{1})+\beta_{1}' (t)+\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}-\rho_{1}u_{1}=0, \\ -\sigma(\beta_{1}(t)+\beta_{+}(t))+u_{1}\beta_{1}(t)+u_{+}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right .$

(3.24)

把(3.22) 和(3.23) 式代入$(1.1)_2$式, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{1}u_{1})+u_{1}\beta_{1}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{1}u_{1}^{2}+u_{+}-u_{1}=0, \\ -\sigma(u_{1}\beta_{1}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))+u_{1}^{2}\beta_{1}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right .$

(3.25)

由(3.24) 和(3.25) 式, 可得方程的个数超过了计算所需的方程个数.注意到初值条件(3.17), 可从(3.24) 式中得出

$\beta(t)=\beta_{1}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{1})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{1}(u_{+}-u_{1})^2+(\rho_{+}-\rho_{1})(u_{1}-u_{+})}(t-t_{1}). $

由$(3.25)_1$和$(3.24)_2$式, 有

$\beta(t)=\beta_{1}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{1})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{1}(u_{+}-u_{1})^2+(\rho_{+}-\rho_{1})(u_{1}-u_{+})}(t-t_{1}), $

这意味着(3.24) 和(3.25) 式是可兼容的.

易知1 -接触间断$J_{1}^{-}$的传播速度是$u_{-}$, $\delta$ -激波$\delta S_{2}$的传播速度是$\sigma_{2},$其中$\sigma_{2}$满足$u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}<\sigma_{2}<u_{-}.$于是, $J_{1}^{-}$将在有限的时间内和$\delta S_{2}$相交.其交点$(x_{2},t_{2})$可表示成

$ \left\{\begin{array}{ll} x_{2}+\varepsilon=u_{-}t_{2} ,\\ x_{2}-x_{1}=\sigma_{2}(t_{2}-t_{1}), \end{array}\right .$

(3.26)

其中

$(x_{2},t_{2})=\bigg(\frac{(\varepsilon +x_{1}-\sigma_{2}t_{1})u_{-}}{u_{-}-\sigma_{2}}-\varepsilon, \frac{\varepsilon +x_{1}-\sigma_{2}t_{1}}{u_{-}-\sigma_{2}}\bigg).$

(3.27)

在交点$(x_{2},t_{2})$处, $\delta S_{2}$的强度可计算出

$\beta(t_{2})=\beta(t_{1})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{1}(u_{+}-u_{1})^2+(\rho_{+}-\rho_{1})(u_{1}-u_{+})}(t_{2}-t_{1}). $

(3.28)

那么, 在时刻$t=t_{2}$时, 又产生一个黎曼问题, 它的初值为

$ (\rho,u)(t_{2},x)=\left\{\begin{array}{ll} (\rho _{-},u_{-}),\,\,\,\,x<x_{2},\\ (\rho _{+},u_{+}),\,\,\,\,x>x_{2}.\end{array} \right .$

(3.29)

由于$u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}} < u_{-},$在相交后, 又会出现一个新的$\delta$ -激波$\delta S_{3}$, 由(3.5) 式可计算出

$\rho_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}-\rho_{-})+\beta_{-}' (t)+\beta_{+}' (t))\delta-\sigma(\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.30)

$(\rho u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})\delta+(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.31)

$(\rho u)_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})+u_{-}\beta_{-}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t))\delta -\sigma(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))\delta' ,$

(3.32)

$(\rho u^{2}+u)_{x}(x,t)=(\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{-}u_{-}^{2}+u_{+}-u_{-})\delta+(u_{-}^{2}\beta_{-}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t))\delta' .$

(3.33)

将(3.30) 和(3.31) 式代入$(1.1)_{1}$式, 并且比较$\delta$和$\delta ' $的系数, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}-\rho_{-})+\beta_{-}' (t)+\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-}=0, \\ -\sigma(\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t))+u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right.$

(3.34)

由(3.32)-(3.33) 和$(1.1)_2$式, 可得

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{+}u_{+}-\rho_{-}u_{-})+u_{-}\beta_{-}' (t)+u_{+}\beta_{+}' (t)+\rho_{+}u_{+}^{2}-\rho_{-}u_{-}^{2}+u_{+}-u_{-}=0, \\ -\sigma(u_{-}\beta_{-}(t)+u_{+}\beta_{+}(t))+u_{-}^{2}\beta_{-}(t)+u_{+}^{2}\beta_{+}(t)=0. \end{array}\right .$

(3.35)

注意到初值条件(3.28), 由(3.34) 式, 可计算出

$\beta(t)=\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{2})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{-}(u_{+}-u_{-})^2+(\rho_{+}-\rho_{-})(u_{-}-u_{+})}(t-t_{2}). $

由$(3.35)_1$和$(3.34)_2$式, 有

$ \beta(t)=\beta_{-}(t)+\beta_{+}(t)=\beta(t_{2})+\sqrt{\rho_{+}\rho_{-}(u_{+}-u_{-})^2+(\rho_{+}-\rho_{-})(u_{-}-u_{+})}(t-t_{2}). $

这意味(3.34) 和(3.35) 式是兼容的.

由(3.16) 和(3.17) 式可知, 当$\varepsilon\rightarrow0$时, $(x_{1},t_{1})$和$(x_{2},t_{2})$都趋于$(0,0)$.并且, 由(3.17) 和(3.28) 式得出, 当$\varepsilon\rightarrow0$时, 有$\beta(t_{1})\rightarrow0$和$\beta(t_{2})\rightarrow0$.于是, 方程组(1.1), (1.4) 和(1.5) 解的极限仍然是一个$\delta$ -激波, 这恰好是方程组(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

子情形3.2.2 $ u_{-} = u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}.$

在这子情形中, 类似子情形3.2.1，在交互后, 出现一个新的$\delta$ -激波, 记作$\delta S_{2} $, $\delta S_{2} $的强度由(3.28) 式决定. $\delta S_{2} $的速度等于$J_{1}^{-}$的速度.那么, 当$t>t_{1}$时, 方程组(1.1), (1.4) 和(1.5) 可表达成(看图 3.2.2)

$(\rho_{-},u_{-})+ J_{1}^{-}+(\rho_{1},u_{1} )+\delta S_{2} +(\rho_{+},u_{+} ).$

由(3.16) 式可知, 当$\varepsilon\rightarrow0$时, $(x_{1},t_{1})$趋向于$(0,0)$.并且, 由(3.17) 式得出, 当$\varepsilon\rightarrow0$时, 有$\beta(t_{1})\rightarrow0$.于是, 方程组(1.1), (1.4) 和(1.5) 解的极限仍然是一个$\delta$ -激波, 这正是方程组(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

子情形3.2.3 $u_{-}< u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}.$

在这子情形下, 2 -接触间断和$\delta$ -激波交互之后, 将出现两个新的接触间断$J_{1}^{1}$和$J_{2}^{1}$ (看图 3.2.3).中间状态$(\rho_{2},u_{2})$满足

$u_{2}=u_{1},\,\,\,\,\,\frac{1}{\rho_{2}}=u_{+}-u_{1}+\frac{1}{\rho_{+}},$

(3.36)

其中$u_{1}$满足(3.14) 式.

那么, 当$t>t_{1}$时, 方程组(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解可写成

$(\rho_{-}, u_{-})+J_{1}^{-}+(\rho_{1}, u_{1})+J_{1}^{1}+(\rho_{2}, u_{2})+J_{2}^{1}+(\rho_{+}, u_{+}).$

令$\varepsilon\rightarrow0$, 可得方程组(1.1), (1.4) 和(1, 5) 解的极限就是系统(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

情形3.3 $u_{-}\leq u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}},\,\,\,u_{m}\leq u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}$.

在这一情形下, 当$t$足够小时, 初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解可简要写成(看图 3.3.1(a)或图 3.3.1(b)或图 3.3.2或图 3.3.3)

$(\rho_{-},u_{-})+J_{1}^{-}+(\rho_{1}, u_{1})+J_{2}^{-}+(\rho_{m},u_{m})+J_{1}^{+}+(\rho_{2}, u_{2})+J_{2}^{+}+(\rho_{+},u_{+}).$

并且, 由(2.10) 式, 有

$u_{1}=u_{-},\,\,\,\,\,\frac{1}{\rho_{1}}=u_{m}-u_{-}+\frac{1}{\rho_{m}}. $

(3.37)

$u_{2}=u_{m},\,\,\,\,\,\frac{1}{\rho_{2}}=u_{+}-u_{m}+\frac{1}{\rho_{+}}. $

(3.38)

容易看出2 -接触间断$J_{2}^{-}$的传播速度是$u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}$, 1 -接触间断$J_{1}^{+}$的传播速度是$u_{m}.$于是, $J_{2}^{-}$和$J_{1}^{+}$会在有限的时间内相遇, 且交点$(x_{1},t_{1})$由下列方程决定

$ \left\{\begin{array}{ll} x_{1}+\varepsilon=\Big(u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\Big)t_{1} ,\\[2mm]x_{1}-\varepsilon=u_{m}t_{1}, \end{array}\right.$

(3.39)

其中

$(x_{1},t_{1})=(2\varepsilon\rho_{m} u_{m}+\varepsilon,2\varepsilon\rho_{m}).$

(3.40)

那么在时刻$t=t_{1}$时, 一个新的黎曼问题产生, 其初值如下

$ (\rho,u)(t_{1},x)=\left\{\begin{array}{ll} (\rho _{1},u_{1}),\,\,\,\,x<x_{1},\\ (\rho _{2},u_{2}).\,\,\,\,x>x_{1},\end{array} \right.$

(3.41)

考虑到状态$(\rho _{1},u_{1})$和$(\rho _{2},u_{2})$, 分以下两种子情形来讨论.

子情形3.3.1 $u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}<u_{-}.$

在交互后, 会出现一个新的$\delta$ -激波, 记作$\delta S_{1}$, 可表示成

$ \left\{\begin{array}{ll} u(x,t)=u_{1}+(u_{2}-u_{1})H ,\\ \rho (x,t)=\rho_{1}+(\rho_{2}-\rho_{1})H+\beta_{1}(t)D^{-}+\beta_{2}(t)D^{+}. \end{array}\right.$

(3.42)

由(3.42) 式, 可计算出

$\rho_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{2}-\rho_{1})+\beta_{1}' (t)+\beta_{2}' (t))\delta-\sigma(\beta_{1}(t)+\beta_{2}(t))\delta' ,$

(3.43)

$(\rho u)_{x}(x,t)=(\rho_{2}u_{2}-\rho_{1}u_{1})\delta+(u_{1}\beta_{1}(t)+u_{2}\beta_{2}(t))\delta' ,$

(3.44)

$(\rho u)_{t}(x,t)=(-\sigma(\rho_{2}u_{2}-\rho_{1}u_{1})+u_{1}\beta_{1}' (t)+u_{2}\beta_{2}' (t))\delta -\sigma(u_{1}\beta_{1}(t)+u_{2}\beta_{2}(t))\delta' ,$

(3.45)

$(\rho u^{2}+u)_{x}(x,t)=(\rho_{2}u_{2}^{2}-\rho_{1}u_{1}^{2}+u_{2}-u_{1})\delta+(u_{1}^{2}\beta_{1}(t)+u_{2}^{2}\beta_{2}(t))\delta' .$

(3.46)

把(3.43) 和(3.44) 式代入方程组(1.1) 的第一个方程, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{2}-\rho_{1})+\beta_{1}' (t)+\beta_{2}' (t)+\rho_{2}u_{2}-\rho_{1}u_{1}=0, \\ -\sigma(\beta_{1}(t)+\beta_{2}(t))+u_{1}\beta_{1}(t)+u_{2}\beta_{2}(t)=0. \end{array}\right.$

(3.47)

由(3.45) 和(3.46) 和$(1.1)_2$式, 有

$ \left\{\begin{array}{ll} -\sigma(\rho_{2}u_{2}-\rho_{1}u_{1})+u_{1}\beta_{1}' (t)+u_{2}\beta_{2}' (t)+\rho_{2}u_{2}^{2}-\rho_{1}u_{1}^{2}+u_{2}-u_{1}=0, \\ u_{1}\beta_{1}(t)+u_{2}\beta_{2}(t)+u_{1}^{2}\beta_{1}(t)+u_{2}^{2}\beta_{2}(t)=0. \end{array}\right.$

(3.48)

由(3.47) 式, 可得

$\beta(t)=\beta_{1}(t)+\beta_{2}(t)=\sqrt{\rho_{2}\rho_{1}(u_{2}-u_{1})^2+(\rho_{2}-\rho_{1})(u_{1}-u_{2})}(t-t_{1}), $

(3.49)

其中$u_1,u_2,\rho_1,\rho_2 $满足(3.37) 和(3.38) 式.由(3.48) 式, 可计算出

$\beta(t)=\beta_{1}(t)+\beta_{2}(t)=\sqrt{\rho_{2}\rho_{1}(u_{2}-u_{1})^2+(\rho_{2}-\rho_{1})(u_{1}-u_{2})}(t-t_{1}). $

所以方程组(3.47)-(3.48) 是兼容的.

传播速度$\sigma$满足$u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}} < \sigma <u_{-}$.接触间断$J_{1}^{-}$和$J_{2}^{+}$将会和$\delta$ -激波在有限时间内交互, 这时, 新的$\delta$ -激波产生了.和情形3.2的分析类似, 所以在此我们省略(看图 3.3.1(a)或者图 3.3.1(b)).

令$\varepsilon\rightarrow0 $, 易知初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 解的极限就是系统(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

子情形3.3.2 $u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}=u_{-}.$

类似子情形3.3.1, 在时刻$t_{1}$后, 会出现一个新的$\delta$ -激波$\delta S_{1}$, 且$\delta S_{1}$的强度可由(3.49) 式给出.所以, 当$t> t_{1}$时, 初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解可表示为(见图 3.3.2)

$(\rho_{-},u_{-}) + J_{1}^{-} + (\rho_{1},u_{1})+\delta S_{1} + J_{2}^{+} + (\rho_{+},u_{+}).$

子情形3.3.3 $u_{-}<u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}.$

在这种情形下, 易知, 2 -接触间断$J_{2}^{-}$和1 -接触间断$J_{1}^{+}$交互后, 出现2个新的接触间断$J_{1}$和$J_{2}$, 且中间状态$(\rho_{3},u_{3})$满足

$u_{3}=u_{1},\,\,\,\,\,\frac{1}{\rho_{3}}=u_{2}-u_{1}+\frac{1}{\rho_{2}},$

(3.50)

其中$u_{1}$, $u_{2}$, $\rho_{1}$, $\rho_{2}$分别满足(3.37) 和(3.38) 式.所以, 当$t>t_{1}$时, 方程组(1.1), (1.4) 和(3.1) 的解可以表示成

$(\rho_{-}, u_{-})+J_{1}^{-}+(\rho_{1}, u_{1})+J_{1}+(\rho_{3}, u_{3})+J_{2}+(\rho_{2}, u_{2})+J_{2}^{+}+(\rho_{+}, u_{+}).$

令$\varepsilon\rightarrow0 $, 可知初值问题方程组(1.1), (1.4) 和(1.5) 解的极限就是方程组(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.

情形3.4 $u_{m}+\frac{1}{\rho_{m}}\leq u_{-},\,\,u_{m}\leq u_{+}+\frac{1}{\rho_{+}}$.

情形3.4的讨论类似于情形3.2, 这里省略.

迄今为止, 我们已经完成了所有交互情况的讨论, 也构造出在扰动初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的全局解.最后, 总结以下结论.

定理3.1 扰动初值问题(1.1), (1.4) 和(1.5) 的解当$\varepsilon\rightarrow0$时, 收敛于相应的黎曼问题(1.1), (1.4) 和(2.1) 的黎曼解.也就是, 系统(1.1), (1.4) 和(1.5) 的黎曼解在微小的扰动下是稳定的.