本文考虑如下带有线性记忆的阻尼吊桥方程

$ \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}+\nu u_{t}+\alpha\triangle^{2}u-\int^{\infty}_{0}\mu(s)\Delta^{2}u(t-s){\rm d}s+ku^{+}+f(u)=g(x), ~(x, t)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}, \\[8pt] u=0, \triangle u=0, ~x\in\Gamma, ~t\in{\Bbb R}, \\ u(x, \tau)=u_{0}(x, \tau), u_{t}(x, \tau)=\partial_{t}u_{0}(x, \tau)=u_{1}(x, \tau), ~(x, \tau)\in\Omega\times(-\infty, 0] \end{array} \right. $

(1.1)

解的渐近性态, 其中$\Omega$是${\Bbb R}^{2}$中具有光滑边界$\Gamma$的有界区域. $u(x, t)$是未知函数, 代表了桥面在竖直方向的振动; $\alpha$是正常数; $ku^{+}$表示恢复力, $k>0$是弹性系数, $u^{+}=\max\{u, 0\}$是$u$的正部, $u_{0}:\Omega\times(-\infty, 0]\rightarrow{\Bbb R}$表示$u$的过去历史; $\mu$是记忆核; $\nu u_{t}$表示粘弹性阻尼, $\nu>0$是一个给定的正常数; $g(x)\in L^{2}(\Omega)$是外力项.

吊桥方程是工程中的一个重要数学模型, 1990年, 由Lazer和McKenna在文献[1]中作为非线性分析中的一个新问题提出.最近, 相似的模型被很多研究者考虑和探讨, 他们主要致力于研究解的存在性和衰退估计, 参见文献[2-3]和相关文献.作为先驱性工作, 钟承奎等人在文献[4]中首次研究了如下自治吊桥方程

$ u_{tt}+au_{t}+\triangle^{2}u+ku^{+}+f(u)=g(x) $

强解和强全局吸引子的存在性.马巧珍等人系统地探讨了单个和耦合吊桥方程解的长期行为, 包括自治和非自治的情况, 并且非线性函数满足的条件比文献[4-5]更弱, 参见文献[6-7]和相关文献.带线性阻尼的非自治吊桥方程拉回吸引子的存在性在文献[8-10]中被研究, 文献[11]中作者得到了带非线性阻尼的自治吊桥方程的全局吸引子.最近, Kang在文献[12]中通过定义合适的Lyapunov函数, 证明了带线性记忆而不带阻尼项的吊桥方程在弱拓扑空间中全局吸引子的存在性.然而, 方程中的阻尼项在实际问题中是重要且有意义的, 因此, 本文考虑具有历史记忆的的阻尼吊桥方程在强拓扑空间中解的长时间行为.关于带过去历史的相关问题的解的渐近行为的研究也可参见文献[13-16, 20]等.

为了得到本文的主要结果, 首先需要将方程$(1.1)$转化为一个确定的自治动力系统.为此, 借助文献[12, 15]的思想, 引入表示历史位移的变量, 即

$ \eta=\eta^{t}(x, s)=u(x, t)-u(x, t-s), ~(x, s)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}, ~t\geqslant0. $

(1.2)

则

$ \eta^{t}_{t}(x, s)=-\eta^{t}_{s}(x, s)+u_{t}(x, t), ~(x, s)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}, ~t\geqslant0. $

(1.3)

令$\alpha=1+\int^{\infty}_{0}\mu(s){\rm d}s$且$\mu\in L^{1}({\Bbb R}^{+})$, 方程$(1.1)$可转化为等价的自治系统

$ \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}+\varepsilon u_{t}+\triangle^{2}u+\int^{\infty}_{0}\mu(s)\Delta^{2}\eta^{t}(s){\rm d}s+ku^{+}+f(u)=g(x), ~(x, t)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}, \\[8pt] \eta_{t}=-\eta_{s}+u_{t}, ~(x, t, s)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}\times{\Bbb R}^{+}. \end{array} \right. $

(1.4)

$ u=\Delta u=0, ~(x, t)\in\Gamma\times{\Bbb R}^{+}, ~\eta=\triangle\eta=0, ~(x, t, s)\in\Gamma\times{\Bbb R}^{+}\times{\Bbb R}^{+}; $

(1.5)

$ u(x, 0)=u_{0}(x), ~u_{t}(x, 0)=u_{1}(x), ~\eta^{t}(x, 0)=0, ~\eta^{0}(x, s)=\eta_{0}(x, s), $

(1.6)

其中

$ \left\{\begin{array}{ll} u_{0}(x)=u_{0}(x, 0), &~x\in\Omega, \\ u_{1}(x)=\partial_{t}u_{0}(x, t)\mid_{t=0}, &~x\in\Omega, \\ \eta_{0}(x, s)=u_{0}(x, 0)-u_{0}(x, -s), &~(x, s)\in\Omega\times{\Bbb R}^{+}. \end{array} \right. $

不失一般性, 用$(\cdot, \cdot)$和$\|\cdot\|$分别表示$L^{2}(\Omega)$中的内积和范数.特别地

$ H=V_{0}=L^{2}(\Omega), ~V=V_{1}=H^{2}(\Omega)\cap H^{1}_{0}(\Omega), $

其相应的内积和范数分别为

$ (u, v)_{V}=(\triangle u, \triangle v), ~\|u\|_{V}=\|\triangle u\|. $

定义

$ D(A)=\{u\in H^{4}(\Omega):~u|_{\partial\Omega}=\triangle u|_{\partial\Omega}=0\}, $

其中$Au=\triangle^{2}u$.内积和范数分别用$(Au, Av)$和$\|Au\|^{2}=(Au, Au)$表示.

显然, $D(A)\subset V\subset H=H^{*}\subset V^{*}$, 并且嵌入是稠密的, 这里$H^{*}, V^{*}$分别为$H, V$的对偶空间.

定义

$ L_{\mu}^{2}({\Bbb R}^{+};V_{i})= \bigg\{\eta:{\Bbb R}^{+}\rightarrow V_{i}|\int_{0}^{\infty}\mu(s)\|\eta(s)\|_{V_{i}}^{2}{\rm d}s<\infty \bigg\}, $

它是一个Hilbert空间, 相应的内积和范数分别为

$ (u, v)_{\mu, V_{i}}=\int^{\infty}_{0}\mu(r)(u(r), v(r))_{V_{i}}{\rm d}r, $

$ \|u\|_{\mu, V_{i}}^{2}=(u, u)_{\mu, V_{i}}=\int^{\infty}_{0}\mu(r)\|u(r)\|_{V_{i}}^{2}{\rm d}r, ~i=0, 1, 2, $

其中$V_{2}=D(A)$.最后, 介绍如下Hilbert空间

$ {\cal H}_{0}=V\times H\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+};V), \qquad {\cal H}_{1}=D(A)\times V\times L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+};D(A)). $

利用Poincaré不等式可得

$ \lambda_{1}\|v\|^{2}\leqslant\|\triangle v\|^{2}, ~\forall v\in V, $

其中$\lambda_{1}$是$\triangle^{2}$的第一个特征值.

此外, 假设非线性函数$f:{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}$满足如下条件

(F$_{1})~~ \liminf\limits_{|s|\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s}\geqslant-\rho=-\rho(\lambda_{1}), ~\forall ~s\in{\Bbb R}$, 其中$\rho>0$;

(F$_{2})~~ |f(s)|\leqslant k_{0}(1+|s|^{p})$, 其中$k_{0}>0$且$p\geqslant1$.

记忆核函数$\mu(\cdot)$满足如下条件

(H$_{1})~~\mu\in C^{1}({\Bbb R}^{+})\cap L^{1}({\Bbb R}^{+}), ~\mu'(s)\leqslant0\leqslant \mu(s), ~\forall s\in{\Bbb R}^{+}$;

(H$_{2})~~\int^{\infty}_{0}\mu(s){\rm d}s=\mu_{0}>0, ~\forall s\in{\Bbb R}^{+}$;

(H$_{3})~~ \mu'(s)+\delta\mu(s)\leqslant0, ~\forall s\in{\Bbb R}^{+}, ~\delta>0$.

由文献[12, 定理2.1]可知, 问题(1.4)-(1.6) 在弱拓扑空间中的解是适定的, 由此可定义映射$S(t):{\cal H}_{0}\rightarrow{\cal H}_{0}$, 即

$ S(t)(u_{0}, u_{1}, \eta_{0})=(u(t), u_{t}(t), \eta^{t}), ~t\geqslant0, $

其中$(u(t), u_{t}(t), \eta^{t})$是系统(1.4)-(1.6) 唯一的弱解, 算子$S(t)$满足半群的性质且可定义一个在${\cal H}_{0}$上局部Lipschitz连续的非线性$C_{0}$ -半群.

下面的抽象结果对证明我们的定理是必要的.

定义2.1^[17]  设$X$为Banach空间, $\{S(t)\}_{t\geqslant0}$是$X$上的算子族.我们说$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$是$X$上的强弱连续半群, 如果$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$满足

(ⅰ) $S(0)=Id$ (恒等式);

(ⅱ) $S(t)S(s)=S(t+s), ~\forall t, s\geqslant0$;

(ⅲ) 当$t_{n}\rightarrow t, ~x_{n}\rightarrow x$时, $S(t_{n})x_{n}\rightharpoonup S(t)x$.

定理2.1^[17]  设$X$和$Y$是使得$X\hookrightarrow Y$的两个Banach空间, $\{S(t)\}_{t\geqslant0}$是$Y$中的连续或弱连续半群.如果$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$将$X\times{\Bbb R}^{+}$上的紧子集映为$X$中的有界集, 则$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$是$X$上的强弱连续半群.

定理2.2^[5]  设$X$和$Y$是两个Banach空间, $X\subset Y$是连续嵌入.如果函数$\varphi\in L^{\infty}(0, T;X)$且在$Y$中弱连续, 则$\varphi$在$X $中弱连续.

因此, 结合上述抽象结果和在${\cal H}_{1}$上的先验估计3.2, 我们有如下结果.

定理2.3  设条件(F$_{1}$)-(F$_{2}$), (H$_{1}$)-(H$_{3})$成立且$g\in L^{2}(\Omega)$.则对任意给定的$T>0$, 具有初值$(u_{0}, u_{1}, \eta_{0})\in{\cal H}_{1}$的初边值问题(1.4)-(1.6) 有唯一的解$(u, u_{t}, \eta)$, 满足

$ u\in L^{\infty}(0, T;D(A)), ~u_{t}\in L^{\infty}(0, T;V), ~\eta\in L^{\infty}(0, T;L^{2}_{\mu}({\Bbb R}^{+}, D(A)). $

此外, $(u, u_{t}, \eta)$是从$[0, T]$到${\cal H}_{1}$的弱连续函数, 且(1.4)-(1.6) 生成的半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在${\cal H}_{1}$中是强弱连续的.

定义2.2^[18]  设$X$为Banach空间, $B$为$X$中的有界集, 定义于$X\times X$上的函数$\phi(\cdot, \cdot)$称为$B\times B$上的收缩函数, 如果对于任意的序列$\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset B$, 存在子列$\{x_{n_{k}}\}^{\infty}_{k=1}\subset \{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}$, 使得

$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\lim\limits_{l\rightarrow\infty}\phi(x_{n_{k}}, x_{n_{l}})=0. $

(2.1)

${\mathfrak C}$表示定义于$B\times B$上的收缩函数的集合.

定理2.4^[18]  设$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$为Banach空间$(X, \|\cdot\|)$上的半群, 并存在有界吸收集$B_{0}$.进一步, 对任意的$\epsilon>0$, 存在$T=T(B_{0}, \epsilon)$以及$\phi_{T}(\cdot, \cdot)\in{\mathfrak C}(B_{0})$, 使得

$ \|S(T)x-S(T)y\|\leqslant\epsilon+\phi_{T}(x, y), ~\forall(x, y)\in B_{0}, $

其中$\phi_{T}$依赖于$T$.则$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在$X$中渐近紧, 即对于任意的有界序列$\{y_{n}\}^{\infty}_{n=1}\subset X$和$\{t_{n}\}$, 当$t_{n}\rightarrow\infty$时, $\{S(t_{n})y_{n}\}_{n=1}^{\infty}$在$X$中准紧.

定理2.5^[20]  一个耗散的动力系统$({\cal H}, S(t))$有一个紧的全局吸引子当且仅当它是渐近紧的.

本文的主要结果如下.

定理2.6  设条件(F$_{1}$)-(F$_{2})$, (H$_{1}$)-(H$_{3})$成立且$g\in L^{2}(\Omega)$, 则由问题(1.4)-(1.6) 生成的动力系统有一个紧的强全局吸引子${\cal A}_{\nu}\subset{\cal H}_{1}, ~\nu\geqslant0$, 且以范数$\|\cdot\|_{{\cal H}_{1}}$吸引${\cal H}_{1}$中的任意有界集.

首先, 由(F$_{1})$可知, 存在常数$K_{1}, K_{2}>0, \eta=\eta(\rho)>0$, 使得

$ \begin{equation} f(s)s+\eta s^{2}+K_{1}\geqslant0, ~\forall s\in{\Bbb R}; \end{equation} $

(3.1)

$ \begin{equation} F(s)+\eta s^{2}+K_{2}\geqslant0, ~\forall s\in{\Bbb R}. \end{equation} $

(3.2)

用$v=u_{t}+\sigma u$与方程$(1.4)_{1}$在$H$中作内积后得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+k\|u^{+}\|^{2})+\sigma\|\triangle u\|^{2}+(\nu-\sigma)(u_{t}, v)+(\eta^{t}, u_{t})_{\mu, V} \\ &&+\sigma(\eta^{t}, u)_{\mu, V}+\sigma k\|u^{+}\|^{2}+ (f(u), v)=(g, v). \end{eqnarray} $

(3.3)

结合$(1.4)$式, (H$_{2}$)-(H$_{3})$以及Hölder不等式, 由$(3.3)$式可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2} +\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}\|^{2})+\sigma\left(1-\frac{\mu_{0}\sigma} {\delta}\right)\|\triangle u\|^{2}+(\nu-\sigma)\|v\|^{2}\\ &&-\sigma(\nu-\sigma)(u, v)+\frac{\delta}{4}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+\sigma k\|u^{+}\|^{2}+ (f(u), v)\leqslant(g, v). \end{eqnarray} $

(3.4)

取充分小的$\sigma$, 使得

$ \begin{equation} 1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}-\frac{\nu\sigma}{2\lambda_{1}}\geqslant1-\sigma, ~~\frac{\nu}{2}-\sigma\geqslant\frac{\nu}{4}. \end{equation} $

(3.5)

结合Hölder, Young和Poincaré不等式有

$ \begin{eqnarray} && \sigma \left(1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}\right)\|\triangle u\|^{2}+(\nu-\sigma)\|v\|^{2}-\sigma(\nu-\sigma)(u, v)\\ &\geqslant &\sigma\left(1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}\right)\|\triangle u\|^{2}+(\nu-\sigma)\|v\|^{2}-\frac{\nu\sigma}{\sqrt{\lambda_{1}}}\|\triangle u\|_{2}\|v\|_{2} \\ &=&\sigma\left(1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}-\frac{\nu\sigma}{2\lambda_{1}}\right)\|\triangle u\|^{2}+\left(\frac{\nu}{2}-\sigma\right)\|v\|^{2}\\ &\geqslant &\sigma(1-\sigma)\|\triangle u\|^{2}+\frac{\nu}{4}\|v\|^{2}. \end{eqnarray} $

(3.6)

将$(3.6)$式代入$(3.4)$式, 整理可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}\|^{2}+2\int_{\Omega}F(u){\rm d}x-2\int_{\Omega}gu{\rm d}x\right)+ \sigma(1-\sigma)\|\triangle u\|^{2}\\ &&+\frac{\nu}{4}\|v\|^{2}+\frac{\delta}{4}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+\sigma k\|u^{+}\|^{2}+\sigma\int_{\Omega}f(u)u{\rm d}x-\sigma\int_{\Omega}gu{\rm d}x\leqslant0. \end{eqnarray} $

(3.7)

取$\sigma_{0}=\min\left\{2\sigma(1-\sigma), \frac{\nu}{2}, \frac{\delta}{2}, \sigma\right\}$, 令

$ \begin{equation} E(t)=\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+ k\|u^{+}\|^{2}+2\int_{\Omega}F(u){\rm d}x-2\int_{\Omega}gu{\rm d}x, \end{equation} $

(3.8)

$ \begin{equation} I(t)=\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}\|^{2}+2\int_{\Omega}f(u)u{\rm d}x-2\int_{\Omega}gu{\rm d}x. \end{equation} $

(3.9)

则有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)+\sigma_{0}I(t)\leqslant0, $

即

$ \begin{equation} E(t)\leqslant-\sigma_{0}\int_{0}^{t}I(\tau){\rm d}\tau+E(0), \end{equation} $

(3.10)

其中

$ \begin{equation} E(0)=\|\triangle u_{0}\|^{2}+\|u_{1}+\sigma u_{0}\|^{2}+\|\eta_{0}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}_{0}\|^{2}+2\int_{\Omega}F(u_{0}){\rm d}x-2\int_{\Omega}gu_{0}{\rm d}x. \end{equation} $

(3.11)

根据(3.1)-(3.2) 式和(3.8)-(3.9) 式, 利用Sobolev紧嵌入定理可得

$ \begin{eqnarray} E(t)&\geqslant &\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}\|^{2}-2\int_{\Omega}(\eta u^{2}+K_{2}){\rm d}x-\sigma_{0}\|u\|^{2}-\frac{1}{\sigma_{0}}\|g\|^{2} \\ &\geqslant & \left(1-\frac{k+2\eta+\sigma_{0}}{\lambda_{1}}\right)\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}-M_{1}, \end{eqnarray} $

(3.12)

其中$M_{1}=2K_{2}|\Omega|+\frac{\|g\|^{2}}{\sigma_{0}}$.类似地

$ \begin{eqnarray} I(t)&=&\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}+k\|u^{+}\|^{2}+2\int_{\Omega}f(u)u{\rm d}x-2\int_{\Omega}gu{\rm d}x \\ &\geqslant & \left(1-\frac{k+2\eta+\sigma_{0}}{\lambda_{1}}\right)\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}-M_{2}, \end{eqnarray} $

(3.13)

其中$M_{2}=2K_{1}|\Omega|+\frac{\|g\|^{2}}{\sigma_{0}}$.令$\frac{k+2\eta}{\lambda_{1}}<1$, 且$0<\sigma_{0}<\lambda_{1}-k-2\eta$, 则有

$ \begin{equation} 1-\frac{k+2\eta+\sigma_{0}}{\lambda_{1}}>0. \end{equation} $

(3.14)

结合(3.12)-(3.14) 式, 存在一个常数$C_{1}$, 使得

$ \begin{equation} E(t)\geqslant C_{1}(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V})-M_{1}, \end{equation} $

(3.15)

$ \begin{equation} I(t)\geqslant C_{1}(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V})-M_{2}. \end{equation} $

(3.16)

故由(3.15)-(3.16) 式和$(3.10)$式可知

$ \begin{eqnarray} &&C_{1} (\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V})-M_{1} \\ &\leqslant & -\sigma_{0}\int^{t}_{0}[C_{1}(\|\triangle u\|^{2}+\|v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V})-M_{2}]{\rm d}t+E(0). \end{eqnarray} $

(3.17)

因此, 对$\forall K>\frac{M_{2}}{C_{1}}$, 存在$t_{0}=t_{0}(B)$使得

$ \begin{equation} \|\triangle u(t_{0})\|^{2}+\|v(t_{0})\|^{2}+\|\eta^{t_{0}}\|^{2}_{\mu, V}\leqslant K. \end{equation} $

(3.18)

所以, 如果$u$是系统(1.4)-(1.6) 的解, 令

$ B_{0}=\bigcup\limits_{t\geqslant0}S(t)B_{1}, $

其中

$ B_{1}=\{(u_{0}, u_{1}, \eta_{0})^{T}\in{\cal H}_{0}:\|\triangle u_{0}\|^{2}+\|v_{0}\|^{2}+\|\eta_{0}\|^{2}_{\mu, V}\leqslant K\}, $

则$B_{0}$是半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$的一个有界吸收集.

另一方面, 由上述讨论可知, 存在一个常数$\mu_{1}$使得

$ \begin{equation} \|\triangle u(t)\|^{2}+\|v(t)\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, V}\leqslant \mu_{1}^{2}, ~\forall t\geqslant t_{0}. \end{equation} $

(3.19)

用$Av=Au_{t}+\sigma Au$与方程$(1.4)_{1}$在$H$中作内积后得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} (\|Au\|^{2}+\|\triangle v\|^{2})+\sigma\|A u\|^{2}+(\nu-\sigma)(u_{t}, Av)+(\eta^{t}, u_{t})_{\mu, D(A)} \\ &&+\sigma(\eta^{t}, u)_{\mu, D(A)}+(ku^{+}, Av)+ (f(u), Av)=(g, Av).\end{eqnarray} $

(3.20)

类似前面的讨论, 我们有

$ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} (\|Au\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}) +\sigma\left(1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}\right)\|Au\|^{2}+(\nu-\sigma)\|\triangle v\|^{2} \\ &&-\sigma(\nu-\sigma)(Au, v)+\frac{\delta}{4}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}+(ku^{+}, Av)+ (f(u), Av)\leqslant(g, Av).\end{eqnarray} $

(3.21)

进一步, 类似$(3.6)$式的估计有

$ \begin{equation} \sigma\left(1-\frac{\mu_{0}\sigma}{\delta}\right)\|Au\|^{2}+(\nu-\sigma)\|\triangle v\|^{2}-\sigma(\nu-\sigma)(Au, v)\geqslant \sigma(1-\sigma)\|Au\|^{2}+\frac{\nu}{4}\|\triangle v\|^{2}. \end{equation} $

(3.22)

此外, 由条件$(F_{2})$可知, $f(u), f'(u)$在$L^{\infty}$中一致有界, 即存在一个常数$M>0$, 使得

$ \begin{equation}\|f(u)\|_{L^{\infty}}\leqslant M, ~~\|f'(u)\|_{L^{\infty}}\leqslant M. \end{equation} $

(3.23)

因此, 结合Hölder, Young, Cauchy不等式及$(3.19)$式, 可得

$ \begin{eqnarray} (ku^{+}, Av)&\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(ku^{+}, Au)+\sigma(ku^{+}, Au)-k\|(u^{+})_{t}\|\|Au\| \\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(ku^{+}, Au)+\sigma(ku^{+}, Au)-k\|u_{t}\|\|Au\|\\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(ku^{+}, Au)+\sigma(ku^{+}, Au)-\frac{\sigma}{2}\|Au\|^{2}-\frac{k^{2}\mu_{1}^{2}}{2\sigma}, ~~t\geqslant t_{0}, \end{eqnarray} $

(3.24)

$ \begin{eqnarray} (f(u), Av)&\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(u), Au)+\sigma(f(u), Au)-\int_{\Omega}|f'(u)||u_{t}||Au|{\rm d}x \\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(u), Au)+\sigma(f(u), Au)-\frac{\sigma}{4}\|Au\|^{2}-\frac{M^{2}\mu_{1}^{2}}{\sigma}, ~~t\geqslant t_{0}, \end{eqnarray} $

(3.25)

将$(3.22)$式和(3.24)-(3.25) 式代入$(3.21)$式, 整理可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|Au\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}+2(ku^{+}, Au)+2(f(u), Au) -2(g, Au))\\ &&+ \sigma\left(\frac{1}{2}-2\sigma\right)\|Au\|^{2} +\frac{\nu}{2}\|\triangle v\|^{2}+\frac{\delta}{2}\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)} \\ &&+2\sigma(ku^{+}, Au)+ 2\sigma(f(u), Au)-2\sigma(g, Au)\leqslant C, \end{eqnarray} $

(3.26)

其中$C=\frac{\mu_{1}^{2}(2M^{2}+k^{2})}{\sigma}$, 令

$ \sigma_{0}=\min\left(\frac{\sigma}{2}-2\sigma^{2}, \frac{\nu}{2}, \frac{\delta}{2}\right), $

结合$(3.26)$式可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|Au\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}+2(ku^{+}, Au)+2(f(u), Au) -2(g, Au)) \\ &&+\sigma_{0}(\|Au\|^{2} +\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}+2(ku^{+}, Au)+ 2(f(u), Au)-2(g, Au))\leqslant C. \end{eqnarray} $

(3.27)

此外, 利用Hölder不等式, Sobolev嵌入定理, 并结合$(3.19)$式和$(3.23)$式, 我们有

$ \begin{eqnarray} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\frac{1}{2}\|Au\|^{2}+2(ku^{+}, Au)\right) &= & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}ku^{+}\|^{2}-4k^{2}\int_{\Omega}|u^{+}||u^{+}_{t}|{\rm d}x \\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}ku^{+}\|^{2}-4k^{2}\mu_{1}^{2} \end{eqnarray} $

(2.28)

和

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t} \left(\frac{1}{2}\|Au\|^{2}+2(f(u), Au)-2(g, Au)\right) \\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}f(u)-\sqrt{2}g\|^{2}-4\int_{\Omega}|f(u)||f'(u)||u_{t}|{\rm d}x+4\int_{\Omega}f'(u)u_{t}g{\rm d}x \\ &\geqslant & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}f(u)-\sqrt{2}g\|^{2}-4M^{2}\mu_{1}-4M\mu_{1}\|g\|, ~~t\geqslant t_{0}. \end{eqnarray} $

(3.29)

将(3.28)-(3.29) 式代入$(3.27)$式可得

$ \begin{eqnarray} &&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}ku^{+}\|^{2}+\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}f(u)-\sqrt{2}g\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)} \right)\\ &&+\sigma_{0}\left(\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}ku^{+}\|^{2}+\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}f(u)-\sqrt{2}g\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}\right) \leqslant\tilde{C}, \\ \end{eqnarray} $

(3.30)

其中$t\geqslant t_{0}$, $\tilde{C}=C+4k^{2}\mu_{1}^{2}(1+\sigma_{0})+ 2M^{2}(\sigma_{0}+2\mu_{1})+4M\|g\|_{2}(\sigma_{0}+ \mu_{1})+2\sigma_{0}\|g\|^{2}$.

定义泛函

$ W(t)=\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}ku^{+}\|^{2}+\|\sqrt{\frac{1}{2}}Au+\sqrt{2}f(u)-\sqrt{2}g\|^{2}+\|\triangle v\|^{2}+\|\eta^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}, $

则有

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}W(t)+\sigma_{0}W(t)\leqslant\tilde{C}, ~t\geqslant t_{0}(B). $

根据Gronwall引理可得

$ W(t)\leqslant W(t_{0}){\rm e}^{-\sigma_{0}(t-t_{0})}+\frac{\tilde{C}}{\sigma_{0}}, ~t\geqslant t_{0}. $

(3.31)

因此, 若${\cal H}_{1}$上有一个以$P_{0}$为中心, 以$\rho$为半径的球$B_{{\cal H}_{1}}(P_{0}, \rho)$, 则根据$(3.31)$式, 存在一个常数$R_{1}>0$, 使得

$ \sup\limits_{(u(t_{0}), u_{t}(t_{0}), \eta^{t_{0}})\in B}W(t_{0}) \leqslant R_{1}^{2}. $

若$t_{1}-t_{0}\geqslant\frac{1}{\sigma_{0}}\log R_{1}^{2}$, 则$W(t)\leqslant\mu_{2}^{2}, ~t\geqslant t_{1}$, 其中$\mu_{2}^{2}=1+\frac{\tilde{C}}{\sigma_{0}}$.

这样, 我们得到${\cal H}_{1}$上有界吸收集的存在性, 即如下结果.

引理3.1  设条件(F$_{1}$)-(F$_{2}$), (H$_{1}$)-(H$_{3})$成立且$g\in L^{2}(\Omega)$, 则空间${\cal H}_{1}$中以0为中心, $\mu_{2}$为半径的球$B_{1}=B_{{\cal H}_{1}}(0, \mu_{2})$是问题(1.4)-(1.6) 生成的解半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在${\cal H}_{1}$中的有界吸收集, 即对${\cal H}_{1}$中的任意有界集$B$, 存在$t=t_{0}(B)$, 使得当$t\geqslant t_{0}(B)$时, 有$S(t)B\subset B_{1}$.

有界吸收集的存在性意味着对于依赖于有界集$B\subset{\cal H}_{1}$的初值, 问题(1.4)-(1.6) 的解全局有界, 即若$(u, u_{t}, \eta)$是问题(1.4)-(1.6) 在有界集$B$上对应于初值$(u_{0}, u_{1}, \eta_{0})$的解, 则

$ \|(u(t), u_{t}(t), \eta^{t})\|_{{\cal H}_{1}}\leqslant C_{B}, ~\forall t\geqslant0, $

(3.32)

其中$C_{B}>0$是依赖于$B$的常数.

本节中, 借助文献[11, 19, 21]的思想, 首先给出一个能量不等式的先验估计.然后用定理4.1得到${\cal H}_{1}$上的渐近紧性.方便起见, 令$B_{1}$为引理3.1中得到的有界吸收集, 且定义如下泛函

$ E_{w}(t)=\frac{1}{2}\|Aw\|^{2}+\frac{1}{2}\|\triangle w_{t}\|^{2}+\frac{1}{2}\|\xi^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}. $

为了得到渐近紧性, 首先给出一个先验估计.

令$(u_{i}(t), u_{i_{t}}(t), ~\eta_{i}^{t}(s))\ (i=1, 2)$是对应于$(u_{0}^{i}, v_{0}^{i}, \eta_{0}^{i})\in B_{1}$的解, $w(t)=u_{1}(t)-u_{2}(t)$, $\xi^{t}(s)=\eta_{1}^{t}(s)-\eta_{2}^{t}(s)$.则$w(t)$和$\xi^{t}(s)$满足

$ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} w_{tt}+\nu w_{t}+\triangle^{2}w+\int^{\infty}_{0}\mu(s)\Delta^{2}\xi^{t}(s){\rm d}s+ku_{1}^{+}-ku_{2}^{+}+f(u_{1})-f(u_{2})=0, \\ \xi_{t}=-\xi_{s}+w_{t}. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

(4.1)

相应的初值条件为$(w(0), w_{t}(0), \xi^{0}(s))=(u_{0}^{1}, v_{0}^{1}, \eta_{0}^{1})-(u_{0}^{2}, v_{0}^{2}, \eta_{0}^{2})$.

首先, 用$Aw$与方程$(4.1)_{1}$作内积且在$[0, T]\times\Omega$上积分得

$ \begin{eqnarray} \int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s &=&\int_{\Omega}\triangle w_{t}(0)\triangle w(0){\rm d}x -\int_{\Omega}\triangle w_{t}(T)\triangle w(T){\rm d}x \\ && +\int^{T}_{0}\|\triangle w_{t}\|^{2}{\rm d}s-\frac{\nu}{2}\|\triangle w(T)\|^{2} +\frac{\nu}{2}\|\triangle w(0)\|^{2} \\ &&-\int^{T}_{0}(\xi, w)_{\mu, D(A)}{\rm d}s -k\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(u^{+}_{1}-u^{+}_{2})Aw{\rm d}x{\rm d}s \\ &&-\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(s))-f(u_{2}(s)))Aw(s){\rm d}x{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(4.2)

利用Hölder和Young不等式有

$ \begin{eqnarray} -k\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(u_{1}^{+}-u_{2}^{+})Aw{\rm d}x{\rm d}s &\leqslant&k\int^{T}_{0}\int_{\Omega}|u^{+}_{1}-u^{+}_{2} |\cdot|Aw|{\rm d}x{\rm d}s \\ &\leqslant& kL\int^{T}_{0}\int_{\Omega}|w|\cdot|Aw|{\rm d}x{\rm d}s \\ &\leqslant& \frac{1}{2}\int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s+\frac{k^{2}L^{2}}{2} \int^{T}_{0}\|w\|^{2}{\rm d}s, \end{eqnarray} $

(4.3)

上面的估计我们用到: $|u_{1}^{+}-u_{2}^{+}|\leqslant L|u_{1}-u_{2}|=L|w|$, 其中$L>0$是一个合适的正常数.则由(4.2)-(4.3) 式可得

$ \begin{eqnarray} \int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s &=&\int_{\Omega}\triangle w_{t}(0)\triangle w(0){\rm d}x -\int_{\Omega}\triangle w_{t}(T)\triangle w(T){\rm d}x+ \int^{T}_{0}\|\triangle w_{t}\|^{2}{\rm d}s\\ &&-\frac{\nu}{2}\|\triangle w(T)\|^{2}+\frac{\nu}{2} \|\triangle w(0)\|^{2}-\int^{T}_{0}(\xi, w)_{\mu, D(A)}{\rm d}s +\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s \\ &&+\frac{k^{2}L^{2}}{2}\int^{T}_{0}\|w\|^{2}{\rm d}s- \int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(s))-f(u_{2}(s)))Aw(s){\rm d}x{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(4.4)

利用Young不等式和条件(H$_{2})$, 有

$ \begin{eqnarray} (\xi^{t}, w)_{\mu, D(A)}\geqslant-\frac{\mu_{0}}{2}\|\xi^{t}\|^{2}_{\mu, D(A)}-\frac{1}{2}\|Aw\|^{2}. \end{eqnarray} $

(4.5)

其次, 用$Aw_{t}$与方程$(4.1)_{1}$作内积且在$[s, T]\times\Omega$上积分得

$ \begin{eqnarray} &&E_{w} (T)+\nu\int^{T}_{s}\|\triangle w_{t}\|^{2}{\rm d}\tau +\frac{\delta}{2}\int^{T}_{s}\|\xi^{\tau}\|_{\mu, D(A)}^{2}{\rm d}\tau \\ &\leqslant& E_{w}(s)-k\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(u_{1}^{+}-u_{2}^{+}) Aw_{t}{\rm d}x{\rm d}\tau- \int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau)))Aw_{t}(\tau) {\rm d}x{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(4.6)

其中$0\leqslant s\leqslant T$.利用Young不等式和(3.19) 式可知

$ \begin{eqnarray} -k\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(u_{1}^{+}-u _{2}^{+})Aw_{t}{\rm d}x{\rm d}\tau &= & -k\int^{T}_{s}\left[\frac{\rm d}{{\rm d}t}(u^{+}_{1}-u^{+}_{2}, Aw)-((u^{+}_{1}-u^{+}_{2})_{t}, Aw)\right]{\rm d}\tau \\ &\leqslant& -k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T))+k(u^{+}_{1}(s)-u^{+}_{2}(s), Aw(s)) \\ &&+k\int^{T}_{s}[\|(u^{+}_{1})_{t}\|+\|(u^{+}_{2})_{t}\|]\cdot\|Aw\|{\rm d}\tau \\ &\leqslant& -k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T))+k(u^{+}_{1}(s)-u^{+}_{2}(s), Aw(s))\\ &&+2k\mu_{1}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(4.7)

从而由(4.6)-(4.7) 式可得

$ \begin{eqnarray} &&E_{w} (T)+\nu\int^{T}_{s}\|\triangle w_{t}\|^{2}{\rm d}\tau +\frac{\delta}{2}\int^{T}_{s}\|\xi^{\tau}\|_{\mu, D(A)}^{2}{\rm d}\tau \\ &\leqslant& E_{w}(s)-k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T))+k(u^{+}_{1}(s )-u^{+}_{2}(s), Aw(s)) \\ &&+2k\mu_{1}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau- \int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau)))Aw_{t} (\tau){\rm d}x{\rm d}\tau. \end{eqnarray} $

(4.8)

在$[0, T]$上对(4.8) 式积分, 结合Young不等式和(3.19) 式, 我们有

$ \begin{eqnarray} TE_{w}(T)&\leqslant&\int^{T}_{0}E_{w}(s){\rm d}s-k\int^{T}_{0}(u^{+}_{1}(T) -u^{+}_{2}(T), Aw(T)){\rm d}s \\ &&+k\int^{T}_{0}(u^{+}_{1}(s)-u^{+}_{2}(s), Aw(s)){\rm d}s +2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau {\rm d}x \\ &&-\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau)))Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau{\rm d}s \\ &\leqslant& \int^{T}_{0}E_{w}(s){\rm d}s-k\int^{T}_{0}(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T)) {\rm d}s \\ &&+2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw(s)\|{\rm d}s +2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau {\rm d}x \\ &&-\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau))) Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(4.9)

此外, 将(4.8) 式中的$s$用0代替可得

$ \begin{eqnarray} &&\int^{T}_{0} \|\triangle w_{t}(\tau)\|^{2}{\rm d}\tau+\int^{T}_{0} \|\xi^{\tau}\|_{\mu, D(A)}^{2}{\rm d}\tau\\ &\leqslant&C_{2}E_{w}(0)-C_{2}k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T)) +C_{2}k(u^{+}_{1}(0)-u^{+}_{2}(0), Aw(0)) \\ &&+2C_{2}k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw\|{\rm d}\tau- C_{2}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau)))Aw_{t} (\tau){\rm d}x{\rm d}\tau, \end{eqnarray} $

(4.10)

其中$C_{2}$是依赖于$\nu, ~\delta$的常数.因此, 由(4.4)-(4.5) 式和(4.10) 式有

$ \begin{eqnarray} \int^{T}_{0}E_{w}(s){\rm d}s&\leqslant &C_{2}C_{3}E_{w}(0) -C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T)) \\ &&+C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(0)-u^{+}_{2}(0), Aw(0)) +2C_{2}C_{3}k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw\|{\rm d}\tau \\ &&- C_{2}C_{3}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau))) Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau\\ &&+\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(0)\triangle w(0){\rm d}x -\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(T)\triangle w(T){\rm d}x \\ && -\frac{\nu}{4}\|\triangle w(T)\|^{2}+\frac{\nu}{4}\|\triangle w(0)\|^{2} +\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s +\frac{k^{2}L^{2}}{4} \int^{T}_{0}\|w\|^{2}{\rm d}s \\ &&-\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(s)) -f(u_{2}(s)))Aw(s){\rm d}x{\rm d}s, \end{eqnarray} $

(4.11)

其中$C_{3}=\max\{1, (\mu_{0}+2)/4\}$, 结合(4.9) 式和(4.11) 式可得

$ \begin{eqnarray} TE_{w}(T)&\leqslant &C_{2}C_{3}E_{w}(0)-C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(T) -u^{+}_{2}(T), Aw(T)) \\ &&+C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(0)-u^{+}_{2}(0), Aw(0)) +\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(0)\triangle w(0){\rm d}x \\ &&-\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(T)\triangle w(T){\rm d}x-\frac{\nu}{4}\|\triangle w(T)\|^{2}+\frac{\nu}{4}\|\triangle w(0)\|^{2}\\ &&-k\int^{T}_{0}(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T)){\rm d}s+ 2C_{2}C_{3}k\mu_{1} \int^{T}_{0}\|Aw\|{\rm d}\tau \\ && +\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s -C_{2}C_{3}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau))) Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau \\ && +\frac{k^{2}L^{2}}{4}\int^{T}_{0}\|w\|^{2}{\rm d}s -\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(s)) -f(u_{2}(s)))Aw(s){\rm d}x{\rm d}s \\ &&+2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw(s)\|{\rm d}s +2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau {\rm d}x \\ &&-\int^{T}_{0}\int^{T}_{s} \int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau)))Aw_{t} (\tau){\rm d}x{\rm d}\tau{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(4.12)

令

$ \begin{eqnarray} C_{B}&=&C_{2}C_{3}E_{w}(0)-C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T))+ C_{2}C_{3}k(u^{+}_{1}(0)-u^{+}_{2}(0), Aw(0)) \\ &&+\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(0)\triangle w(0){\rm d}x -\frac{1}{2}\int_{\Omega}\triangle w_{t}(T)\triangle w(T){\rm d}x -\frac{\nu}{4}\|\triangle w(T)\|^{2}+\frac{\nu}{4}\|\triangle w(0)\|^{2} \\ &&-k\int^{T}_{0}(u^{+}_{1}(T)-u^{+}_{2}(T), Aw(T)){\rm d}s, \end{eqnarray} $

(4.13)

$ \begin{eqnarray} &&\phi_{T}((u_{0}^{1}, v_{0}^{1}, \eta_{0}^{1}), (u_{0}^{2}, v_{0}^{2}, \eta_{0}^{2})) \\ &=&2C_{2}C_{3}k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw\|{\rm d}\tau +\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\|Aw\|^{2}{\rm d}s+\frac{k^{2}L^{2}}{4}\int^{T}_{0}\|w\|^{2}{\rm d}s \\ &&- C_{2}C_{3}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau))) Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau+2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\|Aw(s)\|{\rm d}s \\ &&-\frac{1}{2}\int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{1}(s))-f(u_{2}(s)))Aw(s){\rm d}x{\rm d}s +2k\mu_{1}\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\|Aw\|{\rm d}\tau {\rm d}x \\ &&-\int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{1}(\tau))-f(u_{2}(\tau))) Aw_{t}(\tau){\rm d}x{\rm d}\tau{\rm d}s. \end{eqnarray} $

(4.14)

则有

$ \begin{eqnarray}E_{w}(T)\leqslant\frac{C_{B}}{T}+\frac{1}{T}\phi_{T} ((u_{0}^{1}, v_{0}^{1}, \eta_{0}^{1}), (u_{0}^{2}, v_{0}^{2}, \eta_{0}^{2})). \end{eqnarray} $

(4.15)

引理4.1  设$f(\cdot)$满足条件(F$_{1})$-(F$_{2})$, 且$\{u_{n}(t), u_{n_{t}}(t), \eta_{n}(t)\}$在$L^{\infty}(s, T;{\cal H}_{1})$中弱*收敛.则

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f(u_{n}(t, x))-f(u_{m}(t, x)) , Au_{n_{t}}(t, x)-Au_{m_{t}}(t, x)){\rm d}t=0. \end{eqnarray} $

(4.16)

证  设

$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{ll} w_{n}\rightarrow w, &~~\texttt{在}~L^{\infty}(s, T;D(A))~\texttt{中弱收敛}, \\ w_{n_{t}}\rightarrow w_{t}, &~~\texttt{在}~L^{\infty}(s, T;V)~\texttt{中弱收敛}. \end{array} \right.\end{eqnarray} $

(4.17)

则由嵌入定理可得

$ \begin{eqnarray} \mbox{在空间 $C([s, T];V)$ 中, $u_{n}\rightarrow u$ 强收敛.} \end{eqnarray} $

(4.18)

另一方面, 根据定理2.2和(4.17) 式可知, 序列$\{u_{n}\}$在$C(s, T;D(A))$中有界且对每一个$t\in[s, T]$, 序列$\{u_{n}(t)\}$在$D(A)$中有界.故由(4.17) 式可得在空间$D(A)$中, $u_{n}(t)\rightarrow u(t)$弱收敛.从而有

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{1}(0, T)$ 中, $(f(u_{n}), Au_{n})\rightarrow(f(u), Au)$ 强收敛.}\end{eqnarray} $

(4.19)

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{1}(0, T)$ 中, $(f'(u_{n})u_{n_{t}}, Au_{n})\rightarrow (f'(u)u_{t}, Au)$ 强收敛. } \end{eqnarray} $

(4.20)

此外, 由于

$ \begin{eqnarray} (f(u_{n}(t)), Au_{n_{t}}(t))=\frac{\partial}{\partial t} (f(u_{n}(t)), Au_{n}(t))-(f'(u_{n}(t))u_{n_{t}}(t), Au_{n}(t)), \end{eqnarray} $

(4.21)

则有

$ \begin{eqnarray} &&\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f(u_{n}(t))-f(u_{m}(t)) , Au_{n_{t}}(t, x)-Au_{m_{t}}(t, x)){\rm d}t\\ &=& \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}\frac{\partial}{\partial_{t}}f(u_{n}(t), Au_{n}(t)){\rm d}t -\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f'(u_{n}(t))u_{n_{t}}(t), Au_{n}(t)){\rm d}t\\ &&+ \lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}\frac{\partial}{\partial_{t}}f(u_{m} (t), Au_{m}(t)){\rm d}t -\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f'(u_{m}(t))u_{m_{t}}(t), Au_{m}(t)){\rm d}t \\ &&- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}\frac{\partial}{\partial_{t}}f(u_{n}(t), Au_{m}(t)){\rm d}t+ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f'(u_{n}(t))u_{n_{t}}(t), Au_{m}(t)){\rm d}t\\ &&- \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}\frac{\partial}{\partial_{t}}f(u_{m}(t), Au_{n}(t)){\rm d}t+ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty}\int^{T}_{s}(f'(u_{m}(t))u_{m_{t}}(t), Au_{n}(t)){\rm d}t\\ &=& 2f(u(T), Au(T))-f(u(s), Au(s))-2\int^{T}_{s}(f'(u)u_{t}, Au){\rm d}t\\ &&-2f(u(T), Au(T))-f(u(s), Au(s))+2\int^{T}_{s}(f'(u)u_{t}, Au){\rm d}t=0. \end{eqnarray} $

(4.22)

证毕.

定理4.1  在定理$2.6$的假设条件下, 由问题(1.4)-(1.6) 生成的半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$在${\cal H}_{1}$中渐近紧.

证  由于半群$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$存在有界吸收集, 对任意的$\{S(t)\}_{t\geqslant0}$, 取$T$足够大, 使得$\frac{C_{B}}{T}\leqslant\varepsilon.$因此, 根据定理2.4, 只需证明对固定的$T$, (4.14) 式中定义的函数属于${\mathfrak C}(B_{1})$, 即$\phi_{T}(\cdot, \cdot)$满足(2.1) 式.令$(u_{n}, u_{t_{n}}, \eta_{n})$是关于初始值$(u_{0}^{n}, v_{0}^{n}, \eta_{0}^{n})\in B_{1}, n=1, 2, \cdots$的解.则由于$B_{1}$是${\cal H}_{1}$中的有界正不变集, 不失一般性, 假设

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{\infty}(0, T;D(A))$ 中, $u_{n}\rightarrow u$ 弱$^{*}$收敛.} \end{eqnarray} $

(4.23)

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{\infty}(0, T;V)$ 中, $u_{n_{t}}\rightarrow u_{t}$ 弱$^{*}$收敛.} \end{eqnarray} $

(4.24)

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{2}(0, T;D(A))$ 中, $u_{n}\rightarrow u$ 强收敛.} \end{eqnarray} $

(4.25)

$ \begin{eqnarray} &&\mbox{在空间 $L^{2}(0, T;V)$ 中, $u_{n_{t}}\rightarrow u_{t}$ 强收敛.} \end{eqnarray} $

(4.26)

下面, 依次处理(4.14) 式中的每一项.首先, 由(4.25) 式有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty} \int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{n}(s))-f(u_{m}(s))) (Au_{n}(s)-Au_{m}(s)){\rm d}x{\rm d}s=0. $

(4.27)

进一步, 根据引理4.1, 可知

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty} \int^{T}_{0}\int_{\Omega}(f(u_{n}(s))-f(u_{m}(s))) (Au_{n_{t}}(s)-Au_{m_{t}}(s)){\rm d}x{\rm d}\tau=0, $

(4.28)

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lim\limits_{m\rightarrow\infty} \int^{T}_{0}\int^{T}_{s}\int_{\Omega}(f(u_{n}(\tau))-f(u_{m}(\tau))) (Au_{n_{t}}(\tau)-Au_{m_{t}}(\tau)){\rm d}x{\rm d}\tau{\rm d}s=0. $

(4.29)

因此, 结合(4.27)-(4.29) 式, 可得$\phi_{T}(\cdot, \cdot)\in {\mathfrak C}(B_{1})$.

定理2.6的证明  由引理3.1和定理4.1可知, $({\cal H}_{1}, S(t))$是耗散的动力系统且是渐近紧的.则由定理2.5可得其紧的吸引子的存在性.